Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
141
UNIDAD 5
CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
CONTENIDOS:
Introducción. Integrales definidas. Integrales iteradas. Integrales dobles, interpretación
geométrica, propiedades de la integral doble, reducción de la integral doble a integrales
iteradas.
Cambio de variables en las integrales dobles; coordenadas polares. Integrales múltiples,
introducción.
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142
DESARROLLO:
Definición Del Área De Una Región Plana:
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a; b]; y ba;x 0f(x)
Si R es la región delimitada por la curva y = f(x); el eje x y las rectas x = a y x = b; y si
se divide el intervalo [a; b] en n subintervalos de manera tal que n
abΔx
y
i1ii x;xc . Entonces si f(ci) es el valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo
subintervalo, la medida del área de la región R está dada por:
εA-x)f(clímNn y Zn 0/siN 0ε
x)f(clímA
n
1i
in
n
1i
in
que e a decir Equivalent
Esta ecuación significa que para cualquier 0ε , existe un N>0 tal que si n es un
número entero positivo y si n>N entonces:
εA-x)f(cn
1i
i
Definición: Suma de Riemman:
Si el intervalo [a;b] se divide en subintervalos que no todos tienen la misma longitud, a
dicho conjunto de subintervalos se lo denomina partición (Δ) del [a;b]. La longitud del
intervalo más largo de la partición (Δ) se llama norma de la partición y se la denota
por .
Ahora bien,
iemman Suma de Rnombre de:recibe el
xx)f(ξnkk/1 Δconx;x;xξSea n
1i
1iiiki1ii
Función Integrable en un intervalo cerrado:
Sea f una función cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a; b]. Se dice que f es
integrable en [a; b] si existe un número L que satisface la condición de que, para
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143
cualquier ε>0, existe una δ>0 tal que para toda partición Δ para la cual
LxΔξf
:como representa secual Lo
LxΔξfni1xxξyδ;Δ
n
1i
i
n
1i
ii1ii
0lím
Definición de integral definida: Si f una función definida en el intervalo cerrado [a; b];
entonces la integral definida de f de a a b, denotada por ,f(x)dx
b
a
está dada por:
existe límite el si;x)Δf(ξlímf(x)dxn
1i
ii0Δ
b
a
Teorema: Si una función es continua en el intervalo cerrado [a; b], entonces es
integrable en [a; b].
Definición Del Área De Una Región Plana: Sea f una función continua en el intervalo
cerrado [a; b]; y ba;x 0f(x)
Si R es la región delimitada por la curva y = f(x); el eje x y las rectas x = a y x = b;
entonces la medida A del área de la región plana R está dada por:
b
a
n
1i
ii0Δ
f(x)dxx)Δf(ξlímA
Teorema: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a; b]. Si m y M son,
respectivamente, los valores funcionales mínimo absoluto y máximo absoluto de f en
[a;b] de manera tal que
abMf(x)dxabmba;xMf(x)m
b
a
Teorema del valor medio para integrales: Si la función es continua en el intervalo
cerrado [a ; b]; entonces existe un número en [a ; b]; tal que:
abχff(x)dx
b
a
El valor χf dado por el teorema del valor medio para integrales se denomina valor
promedio (o valor medio) de f en [a;b]. Es una generalización de la media aritmética de
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144
un conjunto finito de números, donde dichos números corresponden a pares de la forma
ii wfw ; , con wi perteneciente al i-ésimo intervalo de una partición de [a ; b].
Definición del valor promedio de una función: Si la función f es integrable en el
intervalo cerrado [a ; b]; entonces el valor promedio de f en [a ; b] es:
ab
b
a
f(x)dx
Primer Teorema Fundamental del Cálculo:
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a ;b] y sea x cualquier número
perteneciente a tal intervalo. Si F es la función definida por:
f(x)F´(x)f(t)dtF(x)
x
a
Si se utiliza la notación de Leibniz para las derivadas, se puede escribir este teorema
como:
f(x)f(t)dtdx
dx
a
Esta ecuación expresa que si primero se integra f y después se deriva el resultado se
regresa a la función original f.
Demostración:
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10Δx
10Δx
1
0Δx
11
0Δx
11
Δxx
x
1111
Δxx
x
x
a
Δxx
a
11
Δxx
a
11
x
a
11
xχlím:pues )f(xχflím)F´(x
χflímΔx
xFΔxxFlím
χfΔx
xFΔxxF
Δxχff(t)dtxFΔxx/FΔxx;xχ
f(t)dtf(t)dtf(t)dtxFΔxxF
f(t)dtΔxxF ba,Δxx Sea
f(t)dtxF ba,x Sea
1
1
1
1
11
1
1
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a;b] y sea g una función tal que:
b
a
b
ag(a)g(b)g(x)f(t)dt
ba;xf(x)g (x)
La demostración queda para el lector. Sugerencia: partir del Primer Teorema
Fundamental del Cálculo.
Integrales Iteradas: Se considera ahora el problema de hallar una función de varias
variables, para la cual una de sus derivadas parciales es conocida; o sea al proceso de
derivación parcial del cálculo diferencial corresponde el proceso de integración parcial
del cálculo integral.
Si F es una función de dos variables independientes x e y, se sabe que Fx´
se halla
derivando con respecto a x, permaneciendo y constante. Si por el contrario se conoce
Fx´, se puede conocer
U , integrando con respecto a x, mientras y permanece constante.
xxyxUyxUSea x 822824: 2
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146
Donde U resulta de integrar con respecto a x, permaneciendo y constante y α es la
constante de integración. Pero α puede depender de la variable y, puesto que dicha
variable, en el proceso de integración, permaneció constante; por lo tanto es pertinente
reescribir a U como:
yxxyxyxU 822; 2
Y donde α(y) denota a una función arbitraria de la variable y.
En lugar de relacionar integrales parciales sucesivas con derivaciones inversas,
interesan las relaciones entre integraciones parciales con integrales definidas, y que se
denotan, como:
b
a
2
1
2
1
);( );( dxdyyxFodxdyyxFy
y
b
a
y
y
Y el orden dydx, en esta denotación, significa que primero se integra con respecto a la
variable y permaneciendo x constante.
También es usual, utilizar la siguiente denotación:
b
a
2
1
);(y
ydyyxFdx
Las integrales sucesivas (definidas o indefinidas), de esta forma, se denominan
integrales iteradas o reiteradas.
En los ejercicios 1 a 6, obtenga las integrales iteradas, para la región R indicada en cada
caso y que pertenecen al plano xy:
1°) R
dAxy 223
donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales
3121 yx
Se tiene que:
243
3636
3
412
3
32)2(12
3
4
2
244
2
24121
2
3323
2
3
22
3232323
2
1
32
1
2
2
1
2222
2
1
3
1
22
2
1
3
1
2
2
1
3
1
22
xxdxxdxxx
dxyxydxdyxydydxxydAxyR
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Primero se integró parcialmente respecto de la variable y para posteriormente integrar
respecto de la variable x.
Realizar cambiando orden de integración, para comprobar igualdad en las resultantes.
2°) dAxyyxR
232 3
donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales
1011 yx
Se tiene que:
6
1
2
1
12
1
2
1
12
1
212
1
4
1
33
43
33
1
1
23
1
1
1
1
2
1
0
342
1
1
1
0
232
1
1
1
0
232232
xxdxxxdx
yx
yxdxdyxyyx
dydxxyyxdAxyyxR
Sea la región del plano: 1311 yx ; obtenga la integral iterada
correspondiente .
Obtenga la integral iterada pero para la región del plano: 1041 yx
Compare resultados.
6
80
2
)1(281
12
80
2
128
12
80
228
12
8028
4
80
34
3
4
1
33
43
33
2
1
1
23
1
1
2
1
1
1
1
32
4
2
1
3
342
1
1
1
3
232
1
1
1
3
232232
xxdxxx
dxxxxxdxy
xy
xdxdyxyyx
dydxxyyxdAxyyxR
12
95
6
15
12
65
2
1
12
1
2
16
12
64
212
1
4
1
33
43
33
4
1
23
4
1
4
1
2
1
0
342
4
1
1
0
232
4
1
1
0
232232
xxdxxxdx
yx
yxdxdyxyyx
dydxxyyxdAxyyxR
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En el primer caso el valor de la integral es menor que 1/6 y en el segundo caso es
mayor, y esto se debe a la manera en que se ha modificado el rectángulo de integración
y a las leyes en cuestión.
3°) R
dAyx
donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales
1020 yx
Se tiene que:
3
3204
3
4
2
32204
2
1
2
2
3
2
3
2
34
0
4
0
4
0
2
0
4
0
2
0
4
0
2
0 2
1
ydyydyy
dydydxyxdxdyyxdAyx xyR
4°) R
dAyyx 42
donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales
1321 yx
Comprobar, cambiando el orden de integración, la igualdad en las resultantes.
Rta.:30
4441
5°) R
dAyx
donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales
3010 yx
Rta.: 35
18
15
124
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6°)
R
dAyx2
donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales
2110 yx
Rta.:
4
3ln
INTEGRALES DOBLES: para la integral doble de una función de dos variables, se
pedirá que la función esté definida en una región cerrada de R2, el tipo más simple de
región cerrada es la región rectangular cerrada. Dos puntos diferentes,
22112121 /; ; baybabbByaaA , determinan un rectángulo cuyos lados son
paralelos a los ejes coordenados. Los puntos 21212121 ;;,; , ; abybabbBaaA se
denominan vértices y los segmentos de rectas que unen vértices consecutivos se llaman
lados del rectángulo. El conjunto de todos los puntos interiores del rectángulo recibe el
nombre de región rectangular abierta, y el conjunto de todos los puntos de un
rectángulo abierto junto con los puntos de sus lados se denomina región rectangular
cerrada ( R ). Sea f una función definida sobre R, dicha región será considerada como
una región de integración. El primer paso será definir una partición Δ de R; al dibujar
rectas paralelas a los ejes coordenados, se obtiene una red de rectángulos que cubren a
R. La norma de esta partición denotada por Δ está determinada por la longitud de la
diagonal más grande de los rectángulos de la red, o sea se elige la distancia mayor entre
dos puntos cualesquiera de la partición. Numerando las subregiones rectangulares de
manera arbitraria y considerando que en total ascienden a n, y denotando el ancho y la
longitud por: niiunidadesyunidadesx ii 1 ; y si cuadradasunidadesAi es el
área de la i-ésima subregión rectangular, se tiene que:
jxA ii i
Sea iv;u i un punto arbitrario de la i-ésima subregión y sea iv;uf i el valor
funcional en dicho punto, y considérese el producto entre iv;uf i y Ai para la citada
subregión, para todas las subregiones será posible obtener un producto similar y si se
toma la suma de todos ellos, o sea:
)v;f(un
1i
iii
A
la que recibe el nombre de suma de Riemann de una función de dos variables.
Definición del límite de una suma de Riemann de una función de dos variables:
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150
Sea f una función definida en una región rectangular cerrada R. El número L es el
límite de las sumas de la forma )v;f(un
1i
iii
A
Si L satisface la propiedad de que, para cualquier ε>0, existe una δ>0 tal que para
cualquier partición Δ para la cual δΔ y para toda elección posible del punto iv;u i
en el i-ésimo rectángulo ni1 , entonces:
LΔuf
:como escribe se existe, número tal Si
LΔuf
n
1i
ii0
n
1i
ii
Avlím
Av
i
i
Definición de la Integral Doble : Sea f una función definida en una región rectangular
cerrada R. La integral doble de f en R, denotada por ,yx;fR
dA está definida por:
n
1i
ii0
Δufyx;f AvlímdA i
R
Si este límite existe.
Teorema: Si una función es continua en una región rectangular cerrada R entonces es
integrable en R.
Obtener un valor aproximado de la integral doble R
dAxy 223 , donde R es la región
rectangular que tiene por vértices (-1;1) y (2;3) y la partición de R viene dada por las rectas:
2 1,0 yyxx y el par de cada subregión es su centro.
Los valores funcionales son:
Donde en la primera fila se detallan los valores de la primera coordenada y en la primer
columna los correspondientes a la segunda coordenada.
Por lo tanto:
251*31*01*71*41*71*4
)12(*5,2;5,1)12(*5,1;5,1)01(*5,2;5,0
)01(*5,1;5,0)10(*5,2;5,0)10(*5,1;5,023 2
fff
fffdAxyR
Téngase presente que la longitud niiunidadesyi 1 vale uno.
-0,5 0,5 1,5
1,5 4 4 0
2,5 7 7 3
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151
Obtener un valor aproximado de la integral doble R
dAxy 223 , donde R es la región
rectangular que tiene por vértices (-1;1) y (2;3) y la partición de R viene dada por las rectas:
2 5,1,1,5,0,0,5,0 yyxxxxx y el par de cada subregión es su centro.
25,241*5,0*625,1374,4375,1375,7375,6375,4375,3*2
)5,12(*5,2;75,1)5,12(*5,1;75,1
)15,1(*5,2;25,1)15,1(*5,1;25,1
)5,01(*5,2;75,0)5,01(*5,1;75,0
)05,0(*5,2;25,0)05,0(*5,1;25,0
)50,00(*5,2;25,0)5,00(*5,1;25,0
)15,0(*5,2;75,0)15,0(*5,1;75,023 2
f
ff
f
ff
ff
ffdAxyR
Recuérdese que la longitud niiunidadesyi 1 vale uno
Téngase presente que el valor exacto es 24; compárese ambos resultados obtenidos y
analícese convergencia.
La definición del límite de una suma de Riemann de una función de dos variables y la
definición de la integral doble, dadas anteriormente para una región rectangular cerrada,
se pueden aplicar para regiones cerradas no rectangulares, con la condiciones que la
frontera de dicha región consista en un número finito de arcos de curvas lisas unidos
entre sí, y como consecuencia se tiene como válido el siguiente teorema.
Teorema : Sea f una función de dos variables y continua en una región cerrada R del
plano xy tal que Ryxyxf ;0; . Si V unidades cúbicas es el volumen del sólido
S que tiene la región R como su base y cuya altura es yxf ; unidades en el punto
Ryx ; , entonces:
R
i dAAvlímV yx;fΔufn
1i
ii0
Propiedades de la Integral Doble:
teconscsidAcdARR
tan ,yx;fyx;cf
Si f y g son integrables en una región cerrada R, entonces la función f+g es integrable en
R y:
-0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75
1,5 3,375 4,375 4,375 3,375 1,375 -1,625
2,5 6,375 7,375 7,375 6,375 4,375 1,375
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152
RRR
dAdAdAg yx;gyx;fyx;yx;f
Sea f una función integrable en una región cerrada R, y, sean:
RyxMyxfm ;;
Si A es la medida del área de la región R, entonces:
MAdAyxfmAR
;
Teorema: Supóngase que la función f es continua en la región cerrada R y que la región
R se compone de dos subregiones R1 y R2 que no tienen puntos en común excepto
algunos puntos en partes de sus fronteras. Entonces:
21
yx;fyx;fyx;fRRR
dAdAdA
Reducción de la integral doble a integrales iteradas:
Teorema de Fubini para Integrales Dobles
Sea f : R2 →R una función real y continua en el rectánguloD = [a,b]×[c, d], entonces:
d
c
b
a
b
a
d
cR
dxdydydxdA yx;fyx;fyx;f
Si la región cerrada R se expresa como:
d
c
yg
ygR
b
a
xh
xhR
dxdydAygxygydyc
dydxdAxhyxhybxa
)(
)(
21
)(
)(
21
2
1
2
1
yx;fyx;f)()( )2
yx;fyx;f)()( )1
Tipo de Regiones:
)()( :2 Re
)()( :1 Re
21
21
ygxygydycTipogión
xhyxhybxaTipogión
Las integrales dobles, permiten calcular áreas, puesto que el área del recinto R en el
plano xy es numéricamente igual al volumen del cilindro de base R y altura igual a uno,
por lo tanto basta con integrar sobre R la función constante 1; yxf .
En los ejercicios 7 a 9 evalúe las siguientes integrales iteradas, analice la región R
determinada por los límites de integración e indique cuales regiones son del tipo 1, del
tipo 2 o de ambos. Tenga presente que a diferencia de las integrales iteradas presentadas
en los ejercicios anteriores (1 a 6), la integral externa se mantendrá.
7°) 1
0 0
2x
dydx
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153
La región es de tipo 1, pero puede ser de tipo 2:
1 10:2 Re
0 10:1 Re 2
xyyyTipogión
xyyxTipogión
3
1
3
1
0
31
0
2
0
1
0
1
0 0
22
x
dxxdxydydx
xx
8°) 2
1
13
2
x
x
dydx
La región es de tipo 1:
132 21:1 Re xyxyxTipogión
2
5
21213
2
1
22
1
2
1
13
2
2
1
2
1
13
2
xx
dxxdxxxdxydydx
x
x
x
x
9°) 1
0
ye
y
dxdyx
La región es de tipo 2: xexyyyTipogión 10:2 Re
45
32
9
4
3
2
5
2
3
2
3
2
5
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
1
0
2
5
2
31
0
2
3
2
31
0
2
31
0
ee
yedyyedyxdxdyx
yye
y
e
y
yy
10°) dydx
x
y
x
1
0
0
11
2
01 10:1 Re yxyxTipogión
Solución:
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154
dxx
xx
dxx
xdxx
xdxy
xdydx
x
y
xx
1
0
2
1
0
22
1
0
0
1
2
1
0
1
0
0
1
1
12
1
110
1
1
1
1
1
2
Antes de calcular la integral indicada, si efectuamos la división correspondiente resulta
que
43x1x1x2x2 , con lo cual :
2ln42
51ln42ln43
2
11
1ln432
11
431
1
4
1
31
1
431
1
12
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
2
xxx
dxx
x
dxxx
xxdx
x
xxdx
x
xx
11°)
2
0
4
4
2
2
y
y
dxdy (ejercicio a título informativo)
La región es de tipo 2: 22 44- 20:2 Re yxyyyTipogión
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155
22
42
24
2
2cos18
cos8cos18cos214*
2)
2
2(2 :
0)0(0 :
cos22
*2
144
14242
2
0
2
0
2
0
22
0
22
0
2
2
0
22
0
22
0
2
2
0
4
4
2
0
4
4
2
2
2
2
send
ddsendsen
LsarcsenycomoLs
LiarcsenycomoLi
ddyseny
Si
dyy
dyy
dyydyxdxdyy
y
y
y
12°) 1
0
y
0
xdxdy
Rta.:6
1
13°) dydxyx
2
0
3
x
2
Rta: 27
1616
14°) dydxxy
x
x
2
1
3
Rta: 2
15
En los ejercicios 15 a 18, obtenga el área, para la región R indicada en cada caso y que
pertenecen al plano xy:
15°)
5,35,1
32
y
R
x
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156
10223
2
3
2
5,3
5,1
3
2
3
2
5,2
5,1
xdxdxydydxA
El área de la región es 10 unidades cuadradas.
16°) R es la intersección de los pares pertenecientes al primer cuadrante de R2 con el
círculo de radio 2 en el mismo espacio.
Por lo tanto:
240
20
xy
R
x
24
2
1
244
2
14
2
0
2
2
0
2
4
0
2
0
2
0
4
0
22
xarcsenxxdxxdxydydxA
xx
El área de la región es π unidades cuadradas.
17°) R es la intersección de los pares pertenecientes al primer cuadrante de R2 con los
pares que se encuentran entre las rectas paralelas 2 1 yxyyx
Por lo tanto:
-2
-1
0
1
2
3
4
R2
R1
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157
xy
R
x
xyx
R
x
RRR
20
21
21
10
2
1
21
5,15,01
2
1
222
11
2
1
22
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
0
1
0
2
1
3
2
1
0
2
1
1
A
xxdxxdxydydxA
xdxdxydydxA
xx
x
x
x
x
El área de la región es 1,5 unidades cuadradas.
18°) R es la región del plano xy limitada por las curvas 22 4 xxyyxy
3
8
3
224
2
0
32
2
0
22
2
0
42
0
42
2
2
2
xxdxxxxdxydydxAxx
x
xx
x
El área de la región es 8/3 unidades cuadradas.
En los ejercicios 19 a 23, obtenga el volumen del sólido para la superficie denotada por
f(x;y) y condiciones indicados en cada caso
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
R
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158
19°) scoordenadoplanostreslosyyxyxyxf 2,3;16
1
9
14; 22
5,2127
2
6
47
9
2
6
47
48
1
9
14
16
1
9
14yx;f
3
0
3
3
0
2
2
0
3
0
32
3
0
2
0
22
dxxxdxx
dxyyxydydxyxdAVR
El volumen del sólido es 21,5 unidades cúbicas
20°) x
yxyyxf 2; si 3y0,2x1/)y;x(R
2ln2
9
2
271ln
2
9
2
92ln
2
918
ln2
9
29
1
2
99
2
1
3
yx;f
2
1
22
1
3
0
2
1
23
2
1
3
0
22
xx
dxx
xdxy
x
yx
dydxx
yxydxdy
x
yxydAV
RR
21°) senyxyxf ; si R y0,4x1/)y;x(
Rta: 15
22°) xyexyxf ; si R 1;0x1;0
Rta: 2e
23°) y
xyxf
1
1; si R 1y0,2x1/)y;x(
Rta: 2ln2
9
Integrales Múltiples: Cambio de Variables:
Si se tiene en cuenta que en algunos casos de integración es conveniente un cambio en
las variables elegidas, y en otros casos es necesario dicho cambio, se considera
importante para el desarrollo del curso remitirse en el espacio de dos dimensiones a las
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159
llamadas coordenadas polares; se dejan citadas en el espacio de tres dimensiones las
coordenadas cilíndricas como asimismo las coordenadas esféricas.
Definición de coordenadas polares:
Así como es posible localizar un punto en un plano mediante sus coordenadas
rectangulares (cartesianas), es igualmente posible localizarlo mediante otros sistemas de
coordenadas, siendo uno de ellos el sistema de coordenadas polares.
Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordenada, que representan la
distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten, en
una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo y un rayo fijo
(o semirrecta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa con la letra O.
el rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. La
semirrecta fija, generalmente se la dibuja en posición horizontal.
Sea P cualquier punto del plano, diferente de O. Sea θ la medida en radianes del ángulo
dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido contrario al giro de las agujas del
reloj y negativo en caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su
lado final el rayo OP. Si r es la distancia no dirigida de O a P, o sea OPr , un
conjunto de coordenadas polares de P está dado por r y θ, y se denotan estas
coordenadas como 20;0 ; rr .
Por ejemplo si
4
1;2P su localización es:
Si P es un punto del plano cuyas coordenadas cartesianas son yx; y sus coordenadas
polares son ;r , entonces se verifican las siguientes igualdades:
rsenyrx ;cos
Y además se tiene que:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,5 1 1,5 2
P(2;0,25π)
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160
0 tan ;22 xsix
yyxr
Determina las coordenadas polares 20;0 ; rr para
1;1 ;2;0 ;1;3 RQP
6
7
3
1tan
21322
r
6
7;2; PrP
2
11 ;0cos
22022
sen
r
2
1;2; QrQ
4
1
1
1tan
21122
r
4
1;2; QrR
Determinar las coordenadas cartesianas para
6
1;2;;
2
1;3; QrQPrP
)3;0(;
31*3
00*3cos
PyxP
rsen
r
)2
2;
2
6(;
2
2
2
1*2
2
6
2
3*2cos
QyxQ
rsen
r
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161
A modo de nota informativa:
Coordenadas cilíndricas del punto P del espacio tridimensional:
xyplanoalPpuntodelciadisz
xysobrePdeproyecciónladepolaresscoordenadarrzrP
tan:
;;20;0 ,;
Coordenadas esféricas del punto P del espacio tridimensional:
xyplanoelconformaOPsemirrectalayzejeelporadoerplanoelqueángulo
zejeelconOPsemirrectalaformaqueángulo
Ppuntoalorigencia deldisrrP
mindet :
tan: ,;
Teorema: Cambio de Variable en una Integral Doble
Sea f :R2 →R una función continua de las variables x y y definida en la región D ⊂ R
2 .
Sea T una función inyectiva que transforma los puntos
(u,v)∈ D′ ⊂ R2 en ( x, y )∈ D ⊂ R
2,
mediante la expresión T (u,v) = (x, y) . Suponga que T es de clase C1 y que la derivada
T′(u,v) es una matriz inversible ∀(u,v)∈ D′ , entonces:
dudvvu
yxvuTfdAyxf
D D;
;;;
´
El término vu
yx
;
;
se conoce como determinante del jacobiano y se obtiene como:
v
y
u
yv
x
u
x
vu
yx
det
;
;
Cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas polares en las integrales
dobles:
Sean:
senyx ;cos
El jacobiano será:
cos
cos
;
;
sen
sen
xy
xx
yxJ
Por lo tanto la integral doble, cumplirá la siguiente relación de igualdad:
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162
GR
ddsenFdxdyyxF ;cos;
Calcular en coordenadas polares el área del cuarto de círculo
222 ryx ;
en el primer cuadrante.
La región vendrá dada, en coordenadas cartesianas por:
220
0
xry
R
rx
La región vendrá dada, en coordenadas polares por:
20
0
G
r
4222
2
0
2
00
20
0
2
0222
rdddddxdy
rrr
ryx
r
Una aplicación:
En estadística la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es
la integral impropia de la función gaussiana sobre toda la recta de los reales, la
cual tiene amplias aplicaciones Su valor es:
No existe una integral indefinida elemental para
sin embargo es posible evaluarla. La forma más común de calcular la integral de Gauss
en el plano R2 es mediante la integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas,
para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor.
Teniendo en cuenta el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como:
2
22222
2
22
dxedyedxedxdyedxdye xyxyx
R
yx
Notas Sobre Varias Variables Reales
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163
Pero también puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas a coordenadas
polares:
00
0
2
0 02
122
22
2
22
dsedsededdedxdye ss
R
yx
Por lo tanto:
dxedxedxdye xx
R
yx 22
2
22
2
INTEGRALES MÚLTIPLES: para la integral múltiple de una función de m variables,
se pedirá que la función esté definida en una región cerrada y acotada R; el primer paso
será definir una partición Δ de R formada por n subregiones rectangulares sin
solapamientos; la norma de esta partición denotada por Δ está determinada por la
longitud de la diagonal más grande de las n subregiones rectangulares de la red, o sea se
elige la distancia mayor entre dos puntos cualesquiera de la partición. Numerando las
subregiones rectangulares de manera arbitraria y considerando que en total ascienden a
n, y denotando por mjjunidadesx j 1 la longitud de cada una de las
dimensiones y si unidadesAi es el área de la i-ésima subregión rectangular, se tiene
que:
m
j
ji xA1
i
Sea imu;;.........u i1 un punto arbitrario de la i-ésima subregión y sea imu;;.........uf i1
el valor funcional en dicho punto, y considérese el producto entre imu;;.........uf i1 y
iA para la citada subregión, para todas las subregiones será posible obtener un
producto similar y si se toma la suma de todos ellos, o sea:
;;.........ufn
1i
i1
iim Au
la que recibe el nombre de suma de Riemann de una función de m variables.
Definición del límite de una suma de Riemann de una función de m variables:
Sea f una función definida en una región cerrada y acotada R. El número L es el límite
de las sumas de la forma ;;.........ufn
1i
i1
iim Au
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164
Si L satisface la propiedad de que, para cualquier ε>0, existe una δ>0 tal que para
cualquier partición Δ para la cual δΔ y para toda elección posible del punto
imu;;.........u i1 en el i-ésimo rectángulo ni1 , entonces:
L;;.........uf
:como escribe se existe, número tal Si
L;;.........uf
n
1i
i10
n
1i
i1
iim
iim
Aulím
Au
Definición de la Integral Múltiple: Sea f una función definida en una región cerrada y
acotada R. La integral múltiple de f en R, denotada por dA,;;.........uf.... i1 R
imu
está definida por:
n
1i
i10
i1 ;;.........ufdA;;.........uf.... iim
R
im Aulímu
Si este límite existe.
Teorema: Si una función es continua en una región cerrada y acotada R entonces es
integrable en R.
Ejemplo para m=3
Evalúe la integral triple 2;01;23;2 ;)1(3 xxRsidVyxzR
4
451
4
5)1(
2
5)1(
2)1(
)1(4
)1()1(
1
2
21
2
1
2
2
2
21
2
3
2
2
0
1
2
3
2
41
2
3
2
3
0
33
ydyydyyx
dxdyyx
dxdyyz
xdzdxdyyxzdVyxzI
x
x
z
zR