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Notas Sobre Varias Variables Reales

Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

65

UNIDAD 3

DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTENIDOS:

Derivadas parciales, definición, diferenciación; interpretación geométrica. Aplicaciones

económicas: funciones marginales, elasticidades. Teorema del valor medio.

Diferenciabilidad y el diferencial total; significado geométrico de la diferencial. Plano

tangente y recta normal a una superficie. Aplicaciones económicas: sustitución de factores

en la producción, sustitución de bienes en la utilidad.

Diferenciales sucesivas. Derivadas parciales de orden superior. Derivadas de funciones

compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas. Teorema de Euler.

Funciones económicas homogéneas. Aplicaciones en la teoría de la distribución según la

productividad marginal. Ecuación del plano tangente cuando la superficie está expresada en

forma implícita. Fórmula de Taylor y Mac Laurin para funciones de dos variables.

Aplicaciones económicas.

COMENTARIOS:

Suplemento Campo La Nación 22/7/2000

Préstamos y retiros, dos factores con peso propio. Son la espada de Damocles del agro.

El negocio agropecuario tiene en el crédito y en el retiro de capital a dos de sus habituales

enemigos. El abuso de ellos puede hacer naufragar cualquier intento productivo. No

obstante, si se realizan con sentido común pueden contribuir a un resultado positivo.

DESARROLLO:

Definición: Sea una función de dos variables x e y .La derivada parcial de f con respecto

a x, es aquella función denotada por ,1 fD tal que en cualquier punto(x;y) del dominio de f,

está dada por:

Δx

y)f(x;y)Δx;f(xlím

0Δx

si este límite existe. Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y, es aquella

función denotada por fD2 , tal que en cualquier punto (x;y) del dominio de f, está dada por:

Δy

y)f(x;Δy)yf(x;lím

0Δy

si este límite existe.


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66

En los ejercicios 1 a 6, obtenga las derivadas parciales pedidas a partir de la definición que

toma en consideración a Δx ó Δy.

1°) 103y5xy)f(x;

Solución:

5Δx

x5lím

Δx

10)3y(5x103yΔx)5(xlím

Δx

y)f(x;y)Δx;f(xlímy)f(x;D

0Δx0Δx0Δx1

Este valor obtenido significa que la función variará aproximadamente en 5 unidades,

cuando la primera coordenada varíe en una unidad mientras que la segunda coordenada

permanezca constante. Es decir, por ejemplo, si consideramos f(1;0)=15 y f(2;0) = 20 se

observa que el resultado varió en 5 unidades cuando x creció en una unidad e y permaneció

constante en 0 unidades.

2°) y)f(x;D y6x3xyy)f(x; 2

2

Solución:

Series1

Series7

Series13

Series19

0

5

10

15

20

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2 0

0,2

0,4

0,6

0,8 1

15-20

10-15

5-10

0-5


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y2x3y

)yy2x3(ylím

0y

Δy

)y6x(3xyΔy)(y6xΔy)3x(ylím

0Δy

y)f(x;Δy)yf(x;límy)f(x;D

22

0Δy0Δy2

Por lo tanto el valor funcional se modificará aproximadamente en 3x-2y unidades, cuando

la segunda coordenada varié en una unidad permaneciendo la primera coordenada

constante.

Por ejemplo: f(1;1)= 8 f(1; 2) = 8 O sea el valor funcional se modificó 0 unidades

cuando la segunda coordenada varió en una unidad permaneciendo constante la primera

coordenada.

3°) y);(x,f yxy)f(x; x2

122

4°) y)f(x;D y);f(x;D yxy2xy)f(x; yx

22

5°) y)f(x;D y);f(x;D 5y3xy)f(x; yx

32

6°) y)f(x;D y);f(x,Dy 5xy)f(x; yx

2

7°) Dada:

26y3xy)f(x; 22

calcule y)f(x;D1 7°.a) Aplicando la fórmula cuando el incremento de x tiende 0

Series1

Series7

Series13Series19

-10

-5

0

5

10

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2 0

0,2

0,4

0,6

0,8 1

5-10

0-5

-5-0

-10--5


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7°.b) Aplicando la fórmula cuando x tiende al valor 2

7°.c) Aplicando la definición y luego sustituyendo por el par (2;1).

Solución:

7°.a)

12x

)x4(x3lím

xx

0x

Δx

8263Δ12Δ12lím

Δx

2)6.1(3.426.1Δx)3(2límf(2;1)D

2

0Δx

22

0Δx1

7°.b)

122x

2)2)(x3(xlím

2x

4)3(xlím

2x

2)6.1(3.4263xlímf(x;1)D

2x

2

2x

2

2x1

7°.c)

6xΔx

x)3Δx(6xlím

Δx

3Δ6xΔxlím

Δx

2)6y(3x26yΔx)3(xlímy)f(x;D

0Δx

2

0Δx

2222

0Δx1

x

o sea 12f(2;1)D1

Por lo tanto, usando las diversas fórmulas de la definición de derivada parcial obtenemos el

mismo resultado. En este caso concreto, podemos asegurar que el valor funcional se

modificará aproximadamente en 12 unidades cuando la primera coordenada varíe en una

unidad manteniéndose constante en 1 la segunda coordenada.

8°) Utilizando la función del ejercicio anterior, calcule f(2;1)D2 aplicando las fórmulas,

oportunamente.

9°) Determine la derivada parcial respecto de y para y1,5xy)f(x; 2 por medio de la

definición


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10°) a) Obtenga cada una de las derivadas parciales. Para ello mantenga constante todas las

variables, excepto la que corresponda, siendo

)4y3x(1,5x)y(xy)f(x; 23

Solución:

34y)(3x2

11,5x)y(x)4y3x1,5)(y1,5x)(3xy2(xy)(x;f 2

1

2323

x

=

))43)(5,1(2

343)5,13(2)(5,1( 2

1

323

yxxyxyxyxxyx

y)(x;f y

)4()43(2

1)5,1()43()5,1(2 2

1

2333 yxxyxyxxxyx

))43)(5,1(43)(5,1(2 2

1

333

yxxyxyxxxyx

b) Evalúe cada una de las derivadas parciales anteriores en el par (2; 0,3) e interprete el

resultado obtenido.

Solución:

)3,0 ;2(xf -5,27

Interpretación: Cuando x crece en una unidad e y se mantiene constante en 0,3 , el valor

funcional variará aproximadamente en -5,27 unidades.

36,21)3,0;2( yf

Interpretación: Cuando y crece en una unidad y x se mantiene constante en 2, el valor

funcional variará aproximadamente en -21,36 unidades

En los ejercicios 11 a 14, obtenga cada una de las derivadas parciales.

11°) 2234 yxyf(x;y)

12°) yxxyf(x;y) lnln

13°) y)x(y)*(xf(x;y) 32cos


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70

14°) 22 3y2xy6xy)f(x;

15°) Compruebe que :

y)(x;f*yy)(x;f*xy)f(x; yx

Para:

xy

yxf(x;y)

33

Solución:

22

43

xyx

yy2xy)(x;f

22

43

yyx

x2xyy)(x;f

Por lo tanto:

22

33

22

33

22

44

22

4444

22

43

22

43 )(2222

yx

yx

yx

yxxy

yx

xyyx

yx

yxxyxyyx

yx

xxy y

yx

yyxx

Que es lo que queríamos demostrar

16°) Dada:

f(x,y) =

) ,((x,y

yxyx

yx

00) 0

)0,0(),( 22

33

Determine:

16°.a) f1(0,y) si y = 0

16°.b) f1(0,0)

16°.c) f2(x,0) si x = 0

16°.d) f2(0,0)

Solución:


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71

16°.a) 0)(

0

),0(),(),0(

220

22

33

001

yx

yxxlím

x

yyx

yx

límx

yfyxflímyf

xxx

16°.b) 10

0lim

0

)0,0()0,()0,0(

001

x

x

x

fxflímf

xx

16°.c) 0)0,(2 xf

16°.d) 1)0,0(2 f

17°) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie:

0364z9y36x 222

con el plano x = 1 en el punto ;3)12(1; . Interprete este resultado como una derivada

parcial.

Solución:

La curva que resulta de la intersección de la superficie dada con el plano x=1, está dada por

04z9y72 22

O sea que 18y4

9z 22 con lo cual 18y

4

9z 2 ya que el punto dado debe

pertenecer a la curva en cuestión.

Por lo tanto:

18y4

94

y9)y(

y

z

2

Con lo que resulta que 2

33)P(

y

z0

18°) Obtenga la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie:

22

yxz

Con el plano y = 1 en el punto (2;1;5).

Interprete esta pendiente como una derivada parcial.


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APLICACIONES ECONÓMICAS:

19°) Un fabricante, para obtener un producto necesita de dos insumos en forma variable y

de acuerdo con la siguiente ley de producción:

221121 xx2x6x)x;q(x

19°.a) Hallar las productividades marginales

19°.b) Interpretar económicamente para los valores de insumos dados: x1=3 y x2= 4.

Solución:

19°.a) 2211 2x6)x;(xq

12x )x;(xq 1212

19°.b) 2)4;3( 1q

5)4;3( 2q

Si el insumo 1 aumenta infinitésimalmente, permaneciendo constante el insumo 2 en 4

unidades, la producción decrecerá aproximadamente en 2 unidades.

Si el insumo 2 aumenta infinitésimalmente, permaneciendo constante el insumo 1 en 3

unidades, la producción decrecerá aproximadamente en 5 unidades.

20°) La función de producción de un determinado país viene dada por la relación de Cobb-

Douglas: 0,350,65CTC)P(T;

donde T es el trabajo y C es el Capital

20°.a) Hallar las productividades marginales

20°.b) Analizar los signos de las derivadas parciales e interpretar.

20°.c) Ídem para la función de producción que viene dada por la relación de Arrrow:

1

)1();(

LKALKQ

Solución:

20°.a) 35,0C0,35-T 0,65T

C)P(T;

65,0C

0,65T 0,35 C

C)P(T;


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20°.b) Ambas derivadas parciales son positivas, o sea, si se incrementa el trabajo se

incrementará la productividad (manteniendo constante el capital). Si se incrementa el

capital se incrementará la productividad (manteniendo constante el trabajo).

Sigue la misma ley directa para el caso de decrementos.

20°.c)

0

;)1();(

)1()1();(

)1()1();(

)1()1(1);(

1

111

11

111

L

LKQ

AL

LKQ

LLKA

A

L

LKQ

LLKAL

LKQ

LLKAL

LKQ

0

;);(1

K

LKQ

AK

LKQ

Ambas derivadas parciales son positivas, o sea, si se incrementa el trabajo se incrementará

la productividad (manteniendo constante el capital). Si se incrementa el capital se

incrementará la productividad (manteniendo constante el trabajo).

Sigue la misma ley directa para el caso de decrementos.

21°) Si la función de costo conjunto de la producción de las cantidades de dos bienes es:

22 2yxyx10y)C(x;

21°.a) Determinar los costos marginales

21°.b) Analizar la variación de la función costo cuando x = 10 e y = 15 si varía

infinitésimalmente el bien y

21°.c) Idem, pero variando infinitésimalmente el bien x

Solución:

21°.a) y2x y)(x;Cx

4yx y)x;Cy (

21°.b) 70 10;15)Cy (


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74

O sea, cuando se incrementa una infinitésima de 15 unidades la producción del bien y,

manteniéndose constante en 10 unidades la producción del bien x, el costo de producción

conjunta se incrementa aproximadamente en 70 u.m.

21°.c) 35 10;15)Cx (

O sea, cuando se incrementa una infinitésima de 10 unidades la producción del bien x,

manteniéndose constante en 15 unidades la producción del bien y, el costo de producción

conjunta se incrementa aproximadamente en 35 u.m.

CLASIFICACIÓN DE LOS BIENES

a) Para la demanda en función de los precios

Sean: );( );( 212211 ppfDyppfD , funciones de demandas para ambos bienes,

dependiendo ellas de los precios de dichos bienes

NEGATIVA (S) POSITIVA (S)

i

i

p

D

Bien Típico Bien Giffen ó bien

Veblen

1

2

2

1

p

D

p

D

Bienes Complementarios Bienes Sustitutivos

b) Para la demanda en función del precio y del ingreso

c) Sea: );( IpfD , la función de demanda de un bien, dependiendo de su precio y

del ingreso del consumidor

NEGATIVA POSITIVA

I

D

Bien Inferior Bien Normal

22°) Sea la función de demanda de un producto 321 ;;x xx :

2

3

2

2

2

1321 0,3p0,3p0,5p150000)p;p;f(p

Donde p1 indica el precio por unidad de producto 1x , 32 py p indican los precios por

unidad de los productos 321 x y x,x

22°.a) Calcular todas las derivadas parciales.

22°.b) Si los precios actuales de cada uno de los productos son: p1= 10 u.m.; p2= 15 u.m. y

p3= 20 u.m.; evaluar las derivadas parciales e interpretar su significado.

22°.c) Qué sugerirán la función de demanda y sus derivadas parciales respecto a la

interdependencia entre los tres productos?


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75

ELASTICIDAD (TASA DE CAMBIO PROPORCIONAL)

ELASTICIDAD MEDIA:

La elasticidad de una función mide la relación entre el cambio porcentual en la variable

dependiente y el cambio porcentual en una de las variables independientes, o lo que es lo

mismo decir que es una medida de la sensibilidad (o respuesta) de la variable dependiente

ante los cambios en una de las variables independientes. Es el cociente entre las variaciones

relativas de la variable dependiente y de una de las variables independientes.

f

x

x

f

x

x

f

f

E i

i

i

i

xi

ELASTICIDAD PUNTUAL:

La elasticidad puntual, mide el porcentaje de cambio de la variable dependiente ante una

variación del 1% de una de las variables independientes.

f

x

x

f

f

x

x

flím

x

x

f

f

límElím i

i

i

ix

i

ix

xx ii

ii

000

Si se estudian funciones de producción, que dependen de los inputs/insumos; la

comparación de las productividades marginales de los insumos se hace difícil ya que vienen

expresadas en unidades de output/producto por unidad de input. Para evitar esta

dependencia de las unidades de los insumos en términos absolutos, se suele emplear una

medida adimensional de los cambios en la producción atribuibles a cambios en la

utilización de un determinado input: la elasticidad. La elasticidad del output respecto al

input i mide el porcentaje en que aumenta el output cuando dicho input aumenta en un uno

por ciento. Es decir:

f

x

x

fE i

i

xi


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76

CLASIFICACIÓN DE LA FUNCION DE ACUERDO A LA ELASTICIDAD:

VALOR ABSOLUTO DE LA

ELASTICIDAD

CLASIFICACION

Igual a Cero Perfectamente Inelástica significa que

variando la variable independiente la

variable dependiente permanece constante

Menor a uno Inelástica significa que variando la variable

independiente, la variable dependiente

cambia en menor proporción

Igual a uno Unitaria significa que variando la variable

independiente, la variable dependiente

cambia en igual proporción

Mayor a uno Elástica Unitaria significa que variando la

variable independiente, la variable

dependiente cambia en mayor proporción

Creciente ilimitadamente Perfectamente Elástica, la relación del

cambio proporcional es ilimitada o sea

incomparable

23°) Dadas q

p D

q

p D

2

21 funciones de demanda de dos artículos cuyos precios son p

y q respectivamente.

Clasificar los bienes y hallar las elasticidades de cada una de las demandas para los precios

q=10 p = 20

24°) Dada la función de producción: 0,40,6 C L 3 C)(L; P donde L es el trabajo y C el

capital.

Hallar las elasticidades parciales de la producción e interpretar el resultado para L= 5 y

C= 4

24°a) ídem para la función de Arrow:


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77

02,0

102,002,0 )1(3);(

LKLKQ

25°) Un fabricante ha determinado la relación existente entre las unidades de un bien que

vende anualmente y los gastos hechos en publicidad de los mismos por radio y televisión.

0,15xy0,1y0,5x20000y50000xy)V(x; 22

donde V(x;y) es el número de unidades vendidas anualmente, x el monto en miles de pesos

destinados a publicidad televisiva e y el monto en miles de pesos destinados a publicidad

radial.

25°.a) Si el monto destinado para publicidad por TV es 600000 u.m. y el monto para

publicidad por radio es 400000 u.m.; determine la venta anual proyectada.

25°.b) Qué sucede si se destinan 1000 u.m. menos a la publicidad por televisión, respecto

de las ventas? –en las condiciones del inciso a-

25°.c) Qué sucede si se destinan 1000 u.m. menos a la publicidad por radio, respecto de las

ventas? –en las condiciones del inciso a-

25°.d) Calcule la variación real de las unidades vendidas, tanto para el inciso b como para

el inciso c.

Solución:

25°.a) V(600;400) = 37768000

25°.b) 49340(600;400)Vx

25°.c) 19830(600;400)Vy

25°.d) V(599;400)V(600;400) 49340,5

V(600;399)V(600;400) 19830,1

FUNCIONES HOMOGÉNEAS

Definición:

Una función es homogénea de grado n, si cumple:

y)f(x, λ λy)x,f( n siendo un escalar real

O sea, si una función es homogénea, a partir de un par de valores (x,y) en el dominio y del

valor funcional resultante en dicho par, es posible conocer el valor funcional para cualquier

par de la forma y)x,( siempre que este par esté en el dominio.

Si una función es homogénea de grado n, las funciones marginales son funciones

homogéneas de grado n-1


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78

Una aplicación interesante, en el área de la economía es lo que se conoce como

Rendimientos a escala este concepto hace referencia a cómo varía la función de

producción cuando aumentan todos los inputs en la misma proporción, es decir, cuando se

aumenta la escala de la empresa. Supóngase que se está utilizando (x,y) para producir una

cierta cantidad de output y o lo que es lo mismo (x,y) f, decidiendo multiplicar (escalar)

todos los inputs por una cantidad determinada >0. Se dice que la tecnología presenta

a) rendimientos decrecientes a escala si:

0 y),f(x, λ λy)x,f( 1

b) rendimientos constantes a escala si:

0 y),f(x, λ λy)x,f( 1

c) rendimientos crecientes a escala si:

0 y),f(x, λλy)x,f( 1

En el caso a, la duplicación de inputs en un proceso productivo da lugar a un output

menor que llevar a cabo dos procesos productivos separados, por lo tanto la acumulación de

inputs en un proceso productivo no es beneficioso, ya que el producto de un proceso

productivo con el doble de inputs es inferior al de dos procesos productivos separados. En

el caso b, el resultado de duplicar los inputs es equivalente a llevar a cabo dos procesos

productivos separados, o sea la acumulación de inputs en un proceso productivo no es

beneficioso, ya que el producto de un proceso productivo con el doble de inputs es

semejante la acumulación de inputs en un proceso productivo es beneficioso, ya que el

producto de un proceso productivo con el doble de inputs es superior al de dos procesos

productivos separados al de dos procesos productivos separados. En el caso c, la

acumulación de inputs en un proceso productivo es beneficioso, ya que el producto de un

proceso productivo con el doble de inputs es superior al de dos procesos productivos

separados.

Puede ocurrir que una determinada tecnología genere rendimientos crecientes a escala en

algunos situaciones productiva y decrecientes en otra, en dichas situaciones resulta útil

emplear una medida local de los rendimientos de escala. Esta medida es la elasticidad de

escala, que se define como el cambio porcentual que se produce en el output debido a un

cambio de un uno por ciento en todos los inputs, y se define en términos matemáticos

como:

1

1

1ln

,...ln,...

n

n

xxfxxE


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79

Expresión que se evalúa en =1, por lo tanto se está considerando la escala presente de

operaciones

La elasticidad de escala se puede expresar como una suma de elasticidades parciales, ya

que:

n

j

j

j

n

nn

nnn

x

x

xxf

xxfxxf

xxfxxfxxE

1

1

11

111

,...

,...,...

,...

ln

,...ln,...

La cual evaluada en =1, deviene en:

n

j

xj

n

j n

j

j

nn E

xxf

x

x

xxfxxE

11 1

11

,...

,...,...

Por lo tanto, para calcular la elasticidad de escala en un punto, lo único que hay que hacer

es sumar las elasticidades de cada input, evaluadas en el punto mismo.

Teorema de Euler:

Si una función f es homogénea de grado n, con derivadas parciales continuas, entonces

verifica que:

y)f(x;n y)(x;fy y)(x;f x yx

26°) Compruebe que: 3223 7yy3x2xy6xy)f(x;

es homogénea de grado 3. Verifique asimismo que se cumple el teorema de Euler.

Solución:

Veamos qué sucede con los valores funcionales en todos los pares múltiplos de un par

genérico (x;y); dichos pares son de la forma )y;x( con R


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80

y)f(x;λ)7yy3x2xy(6xλy)x)(( 2x)6(y)x;f( 33223323 32 )y(7)y()x(3

Por lo tanto f es homogénea de grado 3.

Observe, que para todo par múltiplo de (x;y), el valor funcional resulta ser el valor

funcional inicial multiplicado por el factor elevado al cubo.

Comprobemos que se verifica el Teorema de Euler:

y)f(x; 3y)(x;fy y)(x;f x yx

Primeramente tenemos que analizar la existencia de las derivadas parciales; observe que las

mismas existen para todo par ordenado de 2R , siendo:

22

2

y21x3xy4)y;x(

xy6y2

y

2

x

f

x 18y)(x;f

Por lo tanto:

y)3f(x;)7yy3x2xy3(6x

21yy9x6xy18x)21y3x(4xyy 6xy)2y(18x x

3223

32232222

27°) Compruebe que:

33

2

yx

yxy)f(x;

es homogénea de grado 0, verifique asimismo que se cumple el teorema de Euler

APLICACIONES ECONÓMICAS:

28°) Dada la funciones de producción de Cobb-Douglas y de Arrow, citadas en la unidad 1

en la aplicaciones económicas

Analizar si son homogéneas y en caso afirmativo, definir el grado de homogeneidad.

Solución:

Función de producción de Cobb-Douglas

Si 1 es homogénea de grado uno; de lo contrario es homogénea de grado

.

Función de producción de Arrow


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81

LKjQLKQj

LKjAjLjKAjLjKQ

;;

11;

1

11

Es homogénea de grado uno.

Generalmente las funciones de producción homogéneas son de grado uno, o sea el producto

aumenta en la misma proporción que los insumos y el rendimiento es constante, además

las productividades marginales son homogéneas de grado cero, lo cual implica que

dependen exclusivamente de la proporción en que se usan los insumos, permaneciendo

inalterables ante cambios proporcionales de los mismos.

Si el grado de homogeneidad es mayor a uno, significa que el producto aumenta en

proporción mayor que los insumos y el rendimiento es creciente.

Si el grado de homogeneidad es menor a uno, el producto aumenta en menor proporción

que los insumos y el rendimiento es decreciente.

Para cada una de las funciones de producción definidas en los ejercicios 29°) a 31°),

determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala. La

función representa a la producción total, x e y representan a los insumos.

29°) 323 2y0,5xy3xy)f(x;

30°) y

10

y

x

x

12y)f(x;

2

Solución:

Es homogénea de grado -1. Rendimiento a escala decreciente

31°) y

0,1x5y3xy)f(x;

2

32°) Dada la función de producción de Cobb-Douglas : 0,60,4 T C 5 T)(C; P

32°.a) Determinar su grado de homogeneidad

32°.b) Verificar que se cumple el teorema de Euler

32°.c) Hallar las productividades marginales y determinar el grado de homogeneidad

32°.d) Ídem para la función de producción de Arrow:

02,0

102,002,0 )1(3);(

LKLKQ

33°)El costo variable conjunto de dos bienes A y B responde a la función:

C(x,y)= √4𝑥2. 𝑦 + 𝑥. 𝑦2 + 𝑦3


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82

33°.a)Comprobar que es homogénea y hallar el grado

33°.b)Verificar el teorema de Euler

33°.c)Si se desea reducir el costo un 15% ¿En qué porcentaje deben variar x e y?

33°.d)Si las variables se incrementan en un 10 % ¿En qué porcentaje varía el costo?

Definición: Si f es una función de dos variables x e y, entonces el incremento de f en el

punto )y,(x 00 , denotado por )y,Δf(x 00 , está dado por

),yf(x - y) yx,(x f )y,Δf(x 000000

Definición: Si f es una función de dos variables x e y, y el incremento de f en )y;(x 00

puede escribirse como

y x y )y;(xf Δx )y;(xf )y;Δf(x 2100y00x00

donde 1 y 2 son funciones de Δx y Δy , tales que 01 y 02 cuando (

(0;0)Δy)Δx; , entonces f es diferenciable en ( )y;x 00

Teorema del valor medio: Si una función de dos variables es continua en un conjunto C y

derivable en su interior, dados dos puntos tales que el rectángulo de lados paralelos a los

ejes que los tiene por vértices opuestos, esté incluído en C, el incremento de la función

entre ellos es igual a la suma de los productos de los incrementos de las variables por las

respectivas derivadas parciales de la función, tomadas en sendos puntos pertenecientes a

dos lados consecutivos de dicho rectángulo.

10 ;10

y; y)y;(xf Δx y)yx;(xf )y;Δf(x

21

200y010x00

Definición: Si f es una función de dos variables x e y, y si f es diferenciable en (x,y)

entonces la diferencial total de f es la función df dada por

y y)(x,f x y)(x,f Δy)Δx,y,df(x, yx

34°) Si 22 2y0,5xy4xy)f(x; evalúe

34°.a) Δf(1;4) ; incremento de f en (1;4)

34°.b) Δf(1;4) cuando -0,03yy 0,02Δx

34°.c) df(1;4; Δy)Δx; la diferencial total de f en (1;4)


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83

34°.d) df(1;4;0,02;-0,03) y compare el resultado con el obtenido en 33°.b)

Solución:

34°.a)

)26()y4(2)y4)(x1(5,0 2 2x)4(1f(1;4)- Δy)Δx;4f(1Δf(1;4)

= 26)y(2y1632yx5,0x2y5,02)x4 22 (x 84

=2)y(2yx5,0y5,15 2x)4( x 10

34°.b) Si reemplazamos 02,0x y 03,0y en lo obtenido genéricamente en el paso

anterior, se tiene:

0,6645f(1;4)-0,03)-0,02;4f(1Δf

Por lo tanto el valor funcional se incrementa en 0,6645 unidades cuando se pasa del par

(1;4) al par (1,02 ; 3,97)

34°.c) 0,5y8xy)(x;f x

4y-0,5xy)(x;f y

Por lo tanto df( y15,5-x 10y)x;1;4;

Observe, que la diferencial total es una función que depende de cuatro variables; aquí

concretamente hemos dejado dos variables fijas (la primer coordenada y la segunda

coordenada) y han quedado libres la tercera y cuarta variable. Tenga presente que el

resultado obtenido es genérico y que variará de acuerdo a Δx y a Δy .

34°.d) df(1;4;0,02;-0,03)=0,665

Comparando con el resultado obtenido en 33°.b)(que es el valor real del salto que la

función genera cuando se pasa del par (1;4) al par (1,02; 3,97)) , se puede considerar el

resultado de la diferencial total como una buena aproximación al salto real.

En este caso, si nos valemos de este último elemento para estimar el valor real del salto,

estaríamos cometiendo un error menor a 0,0005 unidades.

35°) Si g(x;y)= xyey x 2 determine:

35°.a) Δg(3;-1); el incremento de g en (3;-1)

35°.b) Δg(3;-1) cuando 0,1Δx y 0,2Δy

35°.c) dg(3;-1; Δy)Δx; la diferencial total de g en (3;-1)

35°.d) dg(3;-1;-0,1;0,2)

36°) Si g(x;y)= y)ln(x evalúe:

36°.a) Δg(-1;3) el incremento de g en (-1;3)


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84

36°.b) Δg(-1;3) cuando 0,01Δx y 0,03Δy

36°.c) dg (-1 ; 3 ; Δy); Δx la diferencial total de g en (-1; 3)

36°.d) dg(-1 ; 3 ; 0,01 ; 0,03)

37°) Dada f(x;y)= xy2y3x

37°.a) Calcule la diferencial total de f en (1 ; 2) para 0,1Δx y 0,01Δy

37°.b) Calcule el valor aproximado de la función para el par en cuestión.

37°.c) Calcule el error que se comete usando el diferencial

Respuesta:

37°.a) 0,110,01 0,1 ;0,01)df(1;2;0,1

37°.b) 5,11 0,11 5 )f(1,1;2,01

37°.c) 5.109 (2,01) 1,1 - (2,01) 2 (1,1) 3 )f(1,1;2,01

Por lo tanto: el error es = 5,109 – 5,11= - 0,001

En los ejercicios 38°) a 40°) determine la diferencial total:

38°) z = 3yy xx 4 23

39°) z = cos(xy)exy

Solución:

dy (xy)) senx e (x dx y sen(xy))e(y dz xyxy

40°) z = 22 yx

1 ln

Solución:

dy)y dx (xyx

1- dy

yx

y- dx

yx

xdz

222222

En los ejercicios 41°) y 42°) demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su

dominio:

41°) y x 4 -y x 2 y)f(x; 2


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85

Solución:

000

2

00000

2

0

2

000

2

00

2

0

000000

2

0

00000

y4x y2xyx 4Δx4yΔyx 4y4xΔy)ΔxyΔxΔxΔy2xΔxy2xΔyxyx 2(

4x y 2(x-y)Δx)(y(x 4 - Δy)(y Δx)(x 2

f(x-Δy)y; Δxf(x )y;Δf(x

0

2

0

y)

)y;

= y x 4 -xy 4 -y4x-y x 2 y x 2y x x 4xyx 4Δy 2x 00

2

0

2

000

2

0

Ahora bien:

00000x 4y-y4x )y;(xf

0x42

000y 2x )y;(xf

Con lo cual:

yx4-yx2 yx2yx4xy )y;(xf - Δx )y;(xf-)y;Δf(x 2

0

2

000y00x00

Busquemos las distintas formas de reescritura del 2° miembro de la igualdad anterior a los

efectos de analizar si 01 y 02 cuando (0;0) y) x; (

a) yx4 - xy)x2y x2y x (4 0 0

b) y x)4- x(2 x )y x 2y (4x 2

00

c) y x)4-x(4x x y)x2y x(2 00

d) y 2

00 x 2 x y)4- y x2y(4x

e) yx4x x y)4 - y x2yx (2 00

f) y )x2 x(4x x y)4 -y x(2 2

00

g) y x)4 -x2x (4x x )y x (2 2

00

Hemos agotado las posibilidades de reescritura y vemos que para todas se verifica que:

00

2(0,0)y)x,(

1(0,0)y)x,(

lím lím

Por lo tanto podemos afirmar que la función dada es diferenciable para todo par )y,(x 00

de su dominio.

42°) f(x;y)=y

x 2


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86

Solución: y)(y y

y x

y y)(y

y2x-y x

0

2

0

2

02

00

00

1

43°) Dada:

1y 1 x si 2

1y 1x si 2-y y)f(x;

x

Demostrar que f(1;1) D1 y f(1;1) D2 existen pero f no es diferenciable en (1,1)

Solución:

1 x

0-2- 1Δx1lím

x

f(1;1)-x;1)f(1lím (1;1) fD

0x0x1

1 y

0-2-y11 lím

y

f(1;1)-y)f(1;1lím f(1;1) D

0y0y2

Con lo cual hemos demostrado que ambas derivadas parciales existen en el par (1;1)

Para demostrar que f no es diferenciable en (1;1), veamos que f no es continua en (1;1):

a) f (1;1)=1

b) Analicemos el y)f(x; lím(1;1)y)(x;

Sea 1y : y)(x; S1

01x

1x1x(1;1)y)(x;lím2-1xlím y)f(x; lím

1Sy)(x;

Sea xy :y)(x; S2

2 2 lím y)f(x;lím1x(1;1)y)(x;

2Sy)(x;

Por lo tanto el y)f(x; lím(1;1)y)(x;

no existe

Con lo cual f no es continua en (1;1), por lo tanto f no es diferenciable en (1;1)

En los ejercicios 44°) a 46°), analizando la continuidad de las derivadas parciales, analice

si la función es diferenciable y en qué pares esto es válido.


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87

44°) 22 y3xy2x y)f(x;

Solución:

3y 4x y)(x; f x es continua para todo par de 2R

2y3x y)(x; f y es continua para todo par de 2R

Por lo tanto podemos afirmar que f(x;y) es diferenciable en 2R

45°) x sen y (x ln 6 y)f(x; )

Solución: Es diferenciable en todos los puntos de su dominio.

46°) -3y3x e x - ey y)f(x;

Solución: Es diferenciable en todos los puntos de su dominio.

TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN

Definición:

La tasa marginal de sustitución de x por y )(TM xy se refiere a la cantidad de y que un

consumidor está dispuesto a renunciar para obtener una unidad adicional de x y permanecer

en la misma curva de indiferencia, o sea que no se modifique el nivel de satisfacción o

utilidad.

dy U dx U0

y)U(x;U

yx )y;x()y;x(

Con lo cual y

x

U

U

dx

dy Por lo tanto

y

x

U

U TM xy

La relación marginal de sustitución es por tanto la pendiente de la curva de indiferencia en

ese punto; su signo es negativo como consecuencia del carácter decreciente de la curva de

indiferencia, puesto que en general para incrementar el consumo de un bien y permancer en

la misma curva de indiferencia es necesario renunciar a un determinado número de

unidades del otro bien. No obstante en muchas ocasiones es frecuente expresar la RMS en

valor absoluto, prescindiendo por tanto del signo.


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88

Si 3 TMxy y

x

U

Udeberá interpretarse que el consumidor ha de renunciar al consumo

de tres unidades del bien Y a los efectos de poder consumir una unidad más del bien X, si

es que desea mantener su nivel de utilidad o satisfacción.

Si se analiza la variación de la relación marginal de sustitución a lo largo de una curva de

indiferencia, se puede concluir que ésta va disminuyendo a medida que se incrementa el

consumo de un bien, correlación inversa entre ellos y que es una manifestación del carácter

convexo de las curvas de indiferencia. Este decrecimiento de la RMS informa de que un

individuo empieza a estar relativamente más saciado a medida que consume más de un

mismo bien.

Si en lugar de trabajar con una función de utilidad, se trabaja con una función de

producción la tasa marginal de sustitución de x por y (cantidades de producidos) se

denomina relación marginal de transformación (RMT)

47°) Se la función de utilidad dada por yxy)U(x; 3 , calcule la tasa marginal de

sustitución x por y en (3;10)

Solución:

3

2

xyx

y3xTM

Con lo cual la tasa marginal de sustitución en el par indicado es:

1027

270 TMxy

48°) Si la función de utilidad de un consumidor está dada por:

2

2

121 q2q)q;U(q

Y el consumidor compra 4 unidades de q1 y 5 de q2.

48°.a) Qué cantidad de q1 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su

compra de q2 aumentara a 8 unidades?

48°.b) Qué cantidad de q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su

compra de q1 aumentara a 6 unidades?

48°.c) Qué cantidad de q1 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su

compra de q2 decrece a 4unidades?

48°.d) Qué cantidad de q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su

compra de q1 decrece a 2 unidades?

48°.e) Hallar la tasa marginal de sustitución o relación de sustitución entre bienes.


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89

Solución:

48°.a) 10

48°.b) 2,2

48°.c) 5 2

48°.d) 20

48°.e) 2

5

U

U

2

1

q

q

49°) Una empresa va a fabricar 10000 cajas de madera cerradas, cuyas dimensiones serán

2, 4 y 6 metros. El costo de la madera que se empleará es de $15 por metro cuadrado. Si las

máquinas que se utilizan para cortar madera tienen un error posible de 0,5 cm en cada una

de las dimensiones, calcule, aproximadamente, empleando el concepto de diferencial total,

el máximo error posible en el cálculo del costo de la madera.

Solución:

La cantidad de metros cuadrados de madera para fabricar una caja está dado por

yz2 2xz2xy z)y;f(x;

(2;4;6) )z;y;(x 000

0,005mΔz 0,005m Δy 0,005m Δx

2y2xf

2z2x f

f

z

y

x

z2y2

Tomando el valor máximo para z ;y ; Δx se tiene:

,005)05;0,005;0(2;4;6;0,0 df 20 (0,005)+16(0,005)+12(0,005)=0,242m

Con lo cual, podemos afirmar que el error aproximado máximo en el cálculo de la cantidad

de madera para una caja es de 0,242m ; por lo tanto el error aproximado en la fabricación de

10000 cajas será de 24002m . Siendo el error aproximado máximo en el costo total de

$15 (2400) = $36000

50°) La demanda de un producto está dada por:

2

221

1

21 p 8 p pp

100 ) p;p D(


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90

Calcular aproximadamente la variación de la demanda del bien cuando los precios se

incrementan en un 10%, siendo los precios antes del incremento 15 u.m. y 12 u.m.

respectivamente.

Solución:

La variación de la demanda es de aproximadamente 265,725 unidades

Regla de la cadena:

En los ejercicios 51°) a 53°) obtenga la derivada parcial que se indica por dos métodos:

a) Empleando la regla de la cadena

b) Haciendo las sustituciones de x e y antes de diferenciar

51°) 22 y - x u siendo 2s r y s-3r x

Hallar r

u y

s

u

Solución:

a) s10 -r 16 2y-6x (-2y) 2x(3) r

y

y

u

r

x

x

u

r

u

s6 -r -10y 4 - x 2- 2 (-2y) 2x(-1) s

y

y

u

s

x

x

u

u

s

b) 2222 s3 - r s 10 - 8r 2s)(r - s)-(3r s)u(r;

s6 -r 10 - s)(r; u

s10 -r 16 s)(r; u

s

r

Que es lo mismo que habíamos obtenido anteriormente en a)

52°) 2y-x4y-2xy 3x u 22 siendo s r y 3s-2r x 22

Hallar s

u ;

u

r

Solución:

a)

3- 16s-s16r-8rs18s-6r-50s-36r- (2s) 2)-8y-(2x (-3) 1)2y(6x s

u

216rs- 16r-12sr- s4 12r36s-20r (2r) 2)-8y-(2x (2) 1)2y(6x u

3222

2322

r


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91

53°) e u y

x

siendo (t) 4r sen y cos(t)2r x Hallar t

u ;

r

u

Solución:

)t(2

2

t cotg

tr 2sen

e- u 0 u

En los ejercicios 54°) y 55°), obtenga la derivada total t

u por dos métodos:

a) Empleando la regla de la cadena

b) Sustituyendo x e y antes de diferenciar

54°) yx e x ey u siendo (t) seny (t) cos x

Solución:

cost) x(-sent e cost)(-ysente (cost) )e x (e (-sent) )e ey (

t

y

y

u

t

x

x

u

t

u yxyxyx

t)cos (-sent e cost) t(-sen e 2sent2cost

55°) 222 z y x u siendo (t) senz (t) cos y (t) tan x

Solución: sec(t)(t) tan ut

Teorema de Clairaut (conocido como Teorema de Schwarz): Sea f una función de las dos

variables x e y, definida en un disco abierto ryxB ;; 00 y que yxxyyx fyfff ,, están

definidas en B, y que yxxy fyf son continuas en B. Entonces:

0000 ; ; yxfyxf yxxy

Demostración (Leithold): Sea un cuadrado con centro en 00 ; yx y que la longitud de sus

lados sea rhh 20 y 2 , entonces todos los puntos interiores y los de los lados del


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92

cuadrado están en el disco abierto ryxB ;; 00 , por lo tanto ,; 00 hyhx

,; ,; 0000 hyxyhx están en B. Se define Δ como:

00000000 ;;;; yxfhyxfyhxfhyhxf (1)

Sea G definida por:

00 ;; yxfhyxfxG (2)

Entonces:

00 ;; yhxfhyhxfhxG

Por lo que (1) puede reescribirse a partir de G como:

00 xGhxG (3)

De (2): 00

´ ;; yxfhyxfxG xx (4); donde hxxxxG 00

´ ; y G es

continua si x pertenece al citado intervalo.

Por el teorema del valor intermedio, se tiene que:

hxxcxhx

xGhxGcG

001

00

001

´ ;;

De lo cual, sigue que:

1

´

00 chGxGhxG ; por lo tanto:

01011

´ ;; ycfhycfhchG xx (5)

Definiendo: );)( 1 ycfyg x (6)

Se puede expresar (5) como:

00 )( yghygh (8)

Y de la relación definida en (6)

ycfyg xy ;)( 1

´ (7) donde hyyyyg 00

´ ; y g es continua si y pertenece al

citado intervalo.


hyydyhy

yyhygdg

001

00

001

´ ;;

Y se llega a que:

hdg 1

´

Y reemplazando en la igualdad expresada en (8), se llega a

Bdcdcfh xy 1111

2 ;;; (9)

Sea ahora:

hxfyhxfy ;; 00 (10)


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93

De modo que:

hhxfhyhxfhy ;; 00

Por lo tanto (1) puede expresarse como:

00 yhy (11)

De (10)

hxfyhxfy yy ;; 00

´ (12) donde hyyyy 00

´ ; y

Ф es continua si y pertenece al citado intervalo.


hxfyhxfhdhyhy yy ;; 002

´

00 de (11) y (12)

Pero si se define una nueva función:

2;dxfx y (13)

00 xhxh (14)

De (13):

2

´ ;dxfx yx (15)

Y nuevamente por el teorema del valor intermedio:

002002 /; xhxchhxxc

De (14) y (15):

22

2 ;dcfh yx

Con esta expresión para Δ y la expresión dada en (9), se arriba a:

11

2

22

2 ;; dcfhdcfh xyyx

Como BdcyBdcdcfdcfh yxxy 22112211 ; ;;;;0 (16)

Pero:

10;

10;

10;

10;

4402

3301

2202

1101

hyc

hyd

hxc

hxc

Si se retoma (16) y se sustituye por las igualdades anteriores, se tiene que:

40203010 ;; yxfyxf yxxy

Puesto que yxxy fyf son continuas en B, si se toma el límite de los dos miembros de esta

ecuación, cuando h tiende a cero, se obtiene:

0000 ;; yxfyxf yxxy

En los ejercicios 56°) a 60°), haga lo siguiente:

a) Obtenga y)f(x;D11


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94

b) Calcule y)f(x;D22

c) Muestre que y)f(x;Dy)f(x;D 2112

56°) 2

2

x

y -

y

x y)f(x;

Solución:

Para obtener las derivadas que nos solicitan, que son de segundo orden, primero debemos

obtener las derivadas de primer orden.

31x

y

y

2xy)(x;f

22

2

2x

1

y

x- y)(x;f

Con lo cual:

a) 411

x

y6-

y

2 y)(x; f

b) 3

2

22y

x2 y)(x; f

c) 3212x

2

y

2x- y)(x; f

3221x

2

y

2x- y)(x; f

57°) sen(y)e y)f(x; 2x

58°) xyy)f(x;

Solución:

a) ln(y) y y)(x;f x

1 1-x

2 y x y)(x;f

Con lo cual: 2ln(y) y y)(x;f x

11

b) 2-x

22 y 1)-(x x y)(x;f

c) 1-x1-x

12 y ln(y) y x y)(x;f

(y) ln y x y y)(x;f 1-x1-x

21


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95

59°) y senx x y sen y)f(x;

60°) y) (x ln y)f(x; 2

Solución:

a) x

2 y)(x;f1

y

1y)(x;f2

211x

2- y)(x;f

b) 222

y

1- y)(x;f

c) 0y)(x;f y)(x;f 2112

Derivación de funciones dadas implícitamente:

Definición: Si z se define como una función implícita de x e y por la ecuación F(x;y;z)=0 y

si 0z)y;(x;Fz , entonces

z

x

F

F xz

z

y

yF

Fz

61°) Dada la ecuación 0yzz2yx 23

Hallar yz yzx : 61°a.) Despejando z=F(x;y) y luego derivando

61°.b) Aplicando la fórmula de derivación de funciones implícitas

61°.a) y2y

x- z

2

3

Con lo cual: y

zx

2

2

2y

3x -

22y)yy2(

)1y4(z

3x


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

96

61°.b) 2

x 3xF

z4yzFy

y2yF 2

z

Por lo tanto: y2y

3x

F

Fz

2

2

z

xx

22

3

2

z

y

yy)(2y

1)(4yx

y2y

1)z(4y

F

F z

Como se puede observar se llega al mismo resultado en 60 °.a) y en 60°.b)

62°) Hallar zx y yz en (0;0;0) si sen(xyz)zyx

63°) Hallar yx z z y si 0yeeze zyx

Solución: zx

x

xyee

zez

zx

zy

yyee

eez

Plano tangente y recta normal

Definición: Si una ecuación de una superficie S es F(x;y;z)=0 y si F es diferenciable

y zyx F F,F y no son todas cero en el punto de S , entonces la ecuación del plano

tangente a S en 0P es

0)z-(z )z;y;(xF )y-(y )z;y;(xF)x-(x )z;y;(xF 0000z0000y0000x

Las ecuaciones de la recta normal a la superficie S en 0P son

)z;y;(xF

zz

)z;y;(xF)z;y;(xF

xx

000z

0

000y000x

0

0yy

si 0)P(0)P(,0)P(F 000x zy Fy F .

Si 0)P(F 0x las ecuaciones de la recta normal a la superficie S en 0P son

)z;y;(xF)z;y;(xF

yy

000z000y

0 0zz


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

97

0xx

De manera análoga se define la recta normal a la superficie S si 0)P(F 0y o si

0)P(F 0z

En los ejercicios 64°) a 67°) obtenga la ecuación del plano tangente y las ecuaciones

de la recta normal a la superficie, en el punto indicado

64°) F(x;y;z)= 14- zy x 222 =0 (1;2;3)P0

Solución:

2zz)y;(x;F 2y z)y;(x;F 2xz)y;(x;F zyx

Por lo tanto: 6(1;2;3)F ; 4(1;2;3)F ; 2 (1;2;3)F zyx

Con lo cual, la ecuación del plano tangente en 0P es:

03)-6(z2)-(y 4 1)2(x

O equivalentemente: 2x+4y+6z=28

Las ecuaciones de la recta normal a la superficie en 0P son:

6

3z

4

2y

2

1x

O sea:

0z4y6

02y4x

65°) )3;3;3 2(-P 2zyxz)y;F(x; 0

22

66°) (6;3;3)P 012y-xz)y;F(x; 0

2

Solución:

La ecuación del plano tangente en 0P es:

03)-12(y-6)-12(x

O bien: 12x-12y=36 o equivalentemente x-y=3

Las ecuaciones de la recta normal en 0P son:

3z

3yx

1212

6

67°) (12;12;12)P 12y -xz)y;F(x; 0

2


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

98

Polinomio de Taylor

Si todas las n-ésimas derivadas parciales de f(x;y) son continuas en una región

cerrada y si las (n+1) –ésimas derivadas parciales existen en la región abierta,

entonces:

k)yh;(xR )y;f(x )y

kx

(hn!

1.....

)y;f(x)y

k x

(h2!

1)y;)f(x

y k

x h (

1!

1)y;f(xk)yh;f(xk)yh;(xP

00n00

n

00

2

00000000n

Siendo

1

0 θk)yθh;f(x)

yk

x(h

1)!(n

1k)yh;(xR 00

1n

00n

68°) Sea 23yyxy)f(x; 2 . Desarrollar en potencias de 1)-(x e 2)(y

Solución:

21 0000 y y-yk ; x xxh

2y)(x;fy)(x;fy)(x;f

0y)(x;fy)(x;fy)(x;fy)(x;f

02)(1;f0y)(x;f

(1;-2)f2yy)(x;f

2(1;-2)f(1;-2)f2xy)(x;fy)(x;f

4(1;-2)f 3xy)(x;f

-4(1;-2)f2xy y)(x;f

yxxxxyxyx

yyyyxyxyyxxx

yyyy

xxxx

yxxyyxxy

y

2

y

xx

4

Por lo tanto:

2)(y1)-(x2)1)(y-2(x1)-2(x-2)4(y1)-4(x- 102)(y1)6(x3!

1

2)0(y2)1)(y-2(2)(x1)-4)(x(2

1 2)4(y1)-(-4)(x10- P

22

3

)y;x(


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

99

0y)(x;R3 pues todas las derivadas de orden superior son nulas

69°) Desarrollar 3

2

x

yy)f(x; en potencias de 1)(y e 1)(x hasta incluir términos

de segundo grado y escribir el resto.

Solución:

APLICACIONES ECONOMICAS DEL POLINOMIO DE TAYLOR

70°) Una función de producción para la economía en conjunto está dada por:

2

1

2

3

C T 2C)P(T;

siendo T la cantidad de trabajo y C cantidad de capital

70°.a) Desarrollar la función por medio de un polinomio de grado dos, en un

entorno del punto (100;400)

70°.b) Si el trabajo se incrementa en un 10% y el capital en un 20% Qué valor

aproximado se obtiene para el producto total?

70°.c) Calcule la función en el nuevo valor de las variables independientes

70°.d) Analice el valor aproximado de la función si el incremento es del 2% y del

1% respectivamente.

Solución:

70°.a)

2)400C( 32

1-400)100)(C(T

4

3100)(T

2

3400)-(C 50100)-(T 60040000C)(T;P 2

2

70°.b) 50550(110;480)P2

70°.c) 151,50552P(110;480)

70°.d) 5,41411(102;404)P2

6

22232

2

22

2

1))θ(x(1

1)1)(y(x1))θ(x3(11)(y1)1))(xθ(x1))(1θ(y112(1)(x1))θ(y10(-1y)(x;R

1)(y1)1)(y-6(x1)-6(x1)2(y-1)-3(x1y)(x;P

liliana ghersi unidad 3 diferenciacion de … · notas sobre varias variables reales liliana ghersi...

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