nÚmeros naturales...realizar operaciones combinadas con números naturales. operar con potencias de...

1 Números naturales

2Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Los números naturales están ampliamente trabajados en la etapa anterior. Todo lo referido a las operaciones con números naturales que se va a ver este curso debe tratarse como un repaso para afianzar rutinas que se hayan podido olvidar. Sin embargo, la jerarquía de las operaciones no es un concepto nuevo para ellos, aunque en este curso el nivel de dificultad es mayor. Las potencias no son nuevas pero

sí sus propiedades y el manejo de operaciones utilizando estas propiedades.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacio-nados con Los números naturales.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con los números naturales.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es la población española, los alumnos profundizarán en el uso de los números naturales.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia de sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Realizar operaciones con números naturales y comprender y utilizar las potencias y las raíces cuadradas de números naturales.

❚❚ Realizar operaciones combinadas con números naturales.

❚❚ Operar con potencias de la misma base o potencias del mismo exponente.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de los números naturales.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los números naturales.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

NÚMEROS NATURALES1

3

1Números naturales

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los números naturales.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre números naturales y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los números naturales pueden acceder a las leccio-nes 1033 y 1167 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Operaciones con números naturalesSuma, resta, multiplicación y divisiónPropiedades de las operaciones con números naturales

1. Realizar operaciones con númerosnaturales, y utilizarlas para resolverproblemas de la vida cotidiana.

2. Utilizar y manejar correctamente laspropiedades de las operaciones con númerosnaturales.

1.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar las operaciones con números naturales.1.2. Opera con números naturales utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.1.3. Emplea las operaciones con números naturales para resolver problemas cotidianos.

2.1. Reconoce y utiliza las propiedades de las operaciones con números naturales en contextos de resolución de problemas.

1-8, 11, 1263-6568-73

59-62, 66, 67CM1, CM2

13, 14, 93, 96-99Matemáticas vivasTrabajo cooperativo9, 10

CMCTCLCSCCAACSIEE

Potencias de números naturalesPotencias de 10

3. Operar con potencias de númerosnaturales.

4. Utilizar las potencias de números naturalespara resolver problemas relacionados con lavida cotidiana.

3.1. Maneja las potencias con números naturales, y las utiliza para ordenar adecuadamente la información cuantitativa. 3.2. Realiza operaciones con potencias de números naturales utilizando medios tecnológicos.4.1. Utiliza las potencias de números naturales comprendiendo su significado y contextualizándolas en problemas de la vida cotidiana.

15-2174-77

23

22

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Raíces cuadradasRaíz cuadrada exactaRaíz cuadrada entera

5. Realizar raíces cuadradas exactas y enteras.

6. Utilizar las raíces cuadradas de númerosnaturales para resolver problemasrelacionados con la vida cotidiana.

5.1. Maneja las raíces cuadradas con números naturales, y las utiliza para ordenar adecuadamente la información cuantitativa. 5.2. Realiza raíces cuadradas de números naturales utilizando medios tecnológicos.6.1. Utiliza las raíces cuadradas comprendiendo su significado y contextualizándolas en problemas de la vida cotidiana.

24-3179, 81

80

32, 3378102, 103

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Operaciones combinadasCon potencias y raícesCon paréntesis

7. Desarrollar la competencia en el usode operaciones combinadas con númerosnaturales como síntesis de la secuenciade operaciones aritméticas, aplicandocorrectamente la jerarquía de las operacioneso estrategias de cálculo mental.

8. Utilizar las operaciones combinadas denúmeros naturales para resolver problemasrelacionados con la vida cotidiana.

7.1. Calcula el valor de expresiones numéricas de números naturales mediante las operaciones elementales aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.7.2. Realiza operaciones combinadas de números naturales utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.8.1. Emplea adecuadamente las operaciones combinadas de números naturales para resolver problemas cotidianos contextualizados.

34-3982-88

40-42

4394, 95

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Operaciones con potenciasPotencias con la misma basePotencias con el mismo exponente

9. Realizar operaciones con potencias denúmeros naturales con la misma base o conel mismo exponente.

10. Utilizar las operaciones con potencias denúmeros naturales para resolver problemasrelacionados con la vida cotidiana.

9.1. Maneja las operaciones con potencias de números naturales, y las utiliza para ordenar adecuadamente la información cuantitativa. 9.2. Realiza las operaciones con potencias de números naturales utilizando medios tecnológicos.10.1. Utiliza adecuadamente las operaciones con potencias de números naturales comprendiendo su significado y contextualizándolas en problemas de la vida cotidiana.

44-5489-92

55-57

100, 101

CMCTCLCSCCAACSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Potencias de números naturales• Potencias de 10

4. Operaciones combinadas• Con potencias y raíces• Con paréntesis

¿Qué tienes que saber?• Raíces cuadradas enteras• Operaciones combinadas• Potencias con la misma base

Matemáticas vivasPoblación española

• Estudio de la población de las CCAA

AvanzaRaíz cuadrada entera

Cálculo mentalEstrategias para la suma

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Aparición de los números naturales

1. Operaciones con númerosnaturales• Suma, resta, multiplicación y división• Propiedades de las operaciones con

números naturales

Vídeo. Potencias con calculadora

Actividades interactivas

3. Raíces cuadradas• Raíz cuadrada exacta• Raíz cuadrada entera

Vídeo. Raíces con calculadora

Vídeo. Operación combinada

5. Operaciones con potencias• Potencias con la misma base• Potencias de exponente 1 y de

exponente 0• Potencias con el mismo exponente

MisMates.esLecciones 1033 y 1167 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas


Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO4

5

1Números naturales


Sugerencias didácticas

Los números naturales son los que más presentes están en la vida diaria de los alumnos. Un ejemplo lo encontramos en el portal de nuestra casa, pero tenemos hay muchos otros como el número de nuestro DNI que también es un número natural.

Se puede establecer un debate sobre dónde encuentran los alumnos los números naturales, por ejemplo en el trayecto a su casa, en su casa,...

Contenido WEB. APARICIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC en el que se explican las primeras formas utilizadas por el hombre para contar introduciendo el concepto de número na-tural.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Lee y contesta.

CM DM UM C D U

3 4 5 6 5 2

a) ¿Cómo se lee este número?

b) ¿Cuál es la cifra de las decenas? ¿Y la de las unidades de millar?

c) ¿Qué valor tiene la cifra 4 en este número?

d) ¿Qué valores tiene la cifra 5?

2. Copia y completa con el signo > o <.

a) 44 § 74 c) 7 232 § 7 432

b) 603 § 306 d) 86 724 § 86 721

3. Escribe en tu cuaderno una suma, una resta, una multiplicación y una división, e indica cuáles son sus términos.

5

1El origen de los números naturales surge de la necesidad de contar.

Hoy nos los encontramos en todos los lugares. No tenemos más que llegar a nuestra casa para encontrar un número natural: el que tenemos en el portal y que proporciona una información necesaria por ejemplo, para el cartero que nos trae la correspondencia o para alguien que nos visite por primera vez.

NÚMEROS NATURALES

Desde la Prehistoria, cuando se formaron los primeros grupos humanos, los hombres utilizaban diferentes estrategias para contar cantidades.

Matemáticas en el día a día ][

1.

El origen de los números naturales surge de la necesidad de contar.

Hoy nos los encontramos en todos los lugares. No tenemos más que llegar a nuestra casa para encontrar un número natural: el que tenemos en el portal y que proporciona una información necesaria por ejemplo, para el cartero que nos trae la correspondencia o para alguien que nos visite por primera vez.

IDEAS PREVIAS

Los números naturales:

❚ Posición de las cifras

en un número.

❚ Comparación y

ordenación.

❚ Suma, resta,

multiplicación

y división.

ma1e1

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Lee y contesta.

a) ¿Cómo se lee este número?

b) ¿Cuál es la cifra de las decenas? ¿Y la de las unidades de millar?

c) ¿Qué valor tiene la cifra 4 en este número?

d) ¿Qué valores tiene la cifra 5?

a) Trescientos cuarenta y cinco mil seiscientos cincuenta y dos.

b) Decenas: 5 Unidades de millar: 5

c) La cifra 4 ocupa la posición de las decenas de millar.

d) Hay dos cifras 5. El primer valor corresponde a las unidades de millar y el segundo a las decenas.

2. Copia y completa con el signo > o <.

a) 44 § 74 b) 603 § 306 c) 7 232 § 7 432 d) 86 724 § 86 721

a) 44 < 74 b) 603 > 306 c) 7 232 < 7 432 d) 86 724 > 86 721

3. Escribe en tu cuaderno una suma, una resta, una multiplicación y una división e indica cuáles son sus términos.

3 4 6 Primer factor 1 7 2

Sumandos 2 7 Segundo factor × 3 5

+ 1 0 5 8 6 0

Suma 4 7 8 + 5 1 6

Producto 6 0 2 0

Dividendo 1 4 5 4 2 Divisor

Cociente 1 9 3 Resto

Minuendo 5 0 7

Sustraendo − 3 3 5

Diferencia + 1 0 5

CM DM UM C D U

3 4 5 6 5 2



1. Operaciones con números naturales

7

1Actividades1 Números naturales

6

Escribe en tu cuaderno un número mayor que 999, y responde:

a) ¿Cuál es el orden de unidad mayor?

b) ¿Qué valor tiene cada cifra?

Calcula.

a) 32 + 4 506 + 294 c) 690 + 3 + 3 491 + 14

b) 562 + 3 009 + 473 d) 37 + 91 + 5 + 5 056

Resuelve.

a) 562 − 89 c) 690 − 147 − 543

b) 1 295 − 453 d) 9 001 − 17 − 3 892

Copia y completa estas sumas.

a) 256 + § = 591 c) § + 791 = 1 005

b) 48 + § = 931 d) § + 72 = 123

Aplica la prueba de la resta, y completa en tu cuaderno.

a) 432 − § = 191 c) § − 195 = 1 005

b) 927 − § = 571 d) § − 97 = 709

Realiza estas multiplicaciones.

a) 781 ⋅ 5 c) 309 ⋅ 165

b) 23 ⋅ 45 d) 4 901 ⋅ 6 023

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 506 : 28 d) 7 011 : 123

b) 2 848 : 32 e) 75 029 : 604

c) 5 007 : 17 f) 64 368 : 596

Completa con ayuda de la prueba de la división.

Dividendo divisor cociente resto

34 O 5 4

127 8 O 7

O 42 7 3

691 18 38 O

Comprueba que se cumplen estas igualdades.

a) (23 + 12) + 7 = (12 + 23) + 7

b) 32 ⋅ (2 ⋅ 12) = (2 ⋅ 32) ⋅ 12

¿Qué propiedades has aplicado?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Copia y completa.

Propiedad Ejemplo

Conmutativa12 + § = 7 + §

§ ⋅ 7 = § ⋅ 3

Asociativa4 ⋅ (2 ⋅ §) = (4 ⋅ §) ⋅ 5

(5 + §) + 9 = § + (1 + 9)

Distributiva§ ⋅ (9 − 3) = 4 ⋅ § − 4 ⋅ §

7 ⋅ (§ + 5) = § ⋅ 9 + § ⋅ 5

Elemento neutro 9 + § = 9

12 ⋅ § = 12

10

Saca factor común.a) 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 9 c) 7 ⋅ 8 − 5 ⋅ 8b) 12 ⋅ 10 − 12 ⋅ 8 d) 6 ⋅ 9 + 4 ⋅ 9

Extrae factor común.a) 12 ⋅ 5 − 12 ⋅ 3 + 12 ⋅ 8b) 6 ⋅ 9 − 3 ⋅ 6 − 6 ⋅ 2c) 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 d) 5 ⋅ 7 + 5 ⋅ 9 − 5

En una ciudad viven 17 920 personas y hay un árbol por cada 64 habitantes.a) ¿Cuántos árboles hay en la ciudad?b) ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener

uno por cada 16 personas?

11

12

13

EJERCICIO RESUELTO

Sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva para convertir una suma o una resta en un producto.

} Saca factor común en estas expresiones.

a) 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 9 b) 8 ⋅ 4 − 3 ⋅ 4

Solucióna) 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 9 = 3 ⋅ (5 + 9)b) 8 ⋅ 4 − 3 ⋅ 4 = (8 − 3) ⋅ 4

DESAFÍO¡Consigue el número exacto en cada caso! Para ello, utiliza estos números sin repetir ninguno, y las operaciones +, −, × o : .

14

1. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALESSuma, resta, multiplicación y división

Ana tiene un quiosco y compra diariamente periódicos a un distribuidor. Al terminar el día, devuelve los que no consigue vender. Este es el resumen de los periódicos que ha comprado y ha devuelto esta semana. ¿Cuántos periódicos ha vendido?

L M X J V S D

Compra 432 390 350 355 456 501 652

Devuelve 21 32 27 52 68 42 55

Calculamos los periódicos que vende cada día y sumamos los resultados.

❚ Lunes → 432 − 21 = 411 ❚ Viernes → 456 − 68 = 388

❚ Martes → 390 − 32 = 358 ❚ Sábado → 501 − 42 = 459

❚ Miércoles → 350 − 27 = 323 ❚ Domingo → 652 − 55 = 597

❚ Jueves → 355 − 52 = 303

411 + 358 + 323 + 303 + 388 + 459 + 597 = 2 839

Esta semana Ana ha vendido 2 839 periódicos.

Sumar es añadir una cantidad a otra, y restar es quitar una cantidad de otra.

Manuel ha almacenado su cosecha de naranjas en 137 cajas de 6 kg cada una. Para poder distribuirla mejor, decide colocarla en cajas de 8 kg. ¿Cuántas cajas necesitará? ¿Le quedará algún kilo sin colocar?

1 3 7 8 2 2 8

× 6 0 2 2 1 0 2

8 2 2 6

Necesitará 102 cajas de 8 kg y quedarán 6 kg de naranjas sin colocar.

❚ Multiplicar es sumar varias veces el mismo número.

❚ Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.

Propiedades de las operaciones con números naturales

Suma Multiplicación

Conmutativa 3 + 2 = 2 + 3

5 = 5

3 ⋅ 2 = 2 ⋅ 36 = 6

Asociativa5 + (4 + 2) = (5 + 4) + 2

5 + 6 = 9 + 2

11 = 11

5 ⋅ (4 ⋅ 2) = (5 ⋅ 4) ⋅ 25 ⋅ 8 = 20 ⋅ 2

40 = 40

Elemento neutro 4 + 0 = 4 4 ⋅ 1 = 4

Distributiva2 ⋅ (5 + 3) = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3

2 ⋅ 8 = 10 + 6

16 = 16

Aprenderás a… ● Realizar operaciones con números naturales.

Para indicar una multiplicación en horizontal, utilizaremos el signo ⋅ en lugar de ×.

3 × 2 → 3 ⋅ 2

Lenguaje matemático

Los números mayores que 999 se pueden escribir con puntos en los miles o con medio espacio.

2.839 o 2 839


Prueba de la resta

minuendo = = sustraendo + diferencia

Prueba de la división

Dividendo = = divisor · cociente + resto

D = d ⋅ c + r

Recuerda

Soluciones de las actividades1 Escribe en tu cuaderno un número mayor que 999, y responde:

a) ¿Cuál es el orden de unidad mayor? b) ¿Qué valor tiene cada cifra?

a) Respuesta abierta. Por ejemplo: 1 234

b) 1 → unidades de millar 2 → centenas 3 → decenas 4 → unidades2 Calcula.

a) 32 + 4 506 + 294 b) 562 + 3 009 + 473 c) 690 + 3 + 3 491 + 14 d) 37 + 91 + 5 + 5 056

a) 32 + 4 506 + 294 = 4 538 + 294 = 4 832 c) 690 + 3 + 3 491 + 14 = 693 + 3 491 + 14 = 4 184 + 14 = 4 198

b) 562 + 3 009 + 473 = 3 571 + 473 = 4 044 d) 37 + 91 + 5 + 5 056 = 128 + 5 + 5 056 = 133 + 5 056 = 5 1893 Resuelve.

a) 562 − 89 b) 1 295 − 453 c) 690 − 147 − 543 d) 9 001 − 17 − 3 892

a) 473 b) 842 c) 543 − 543 = 0 d) 8 984 − 3 892 = 5 0924 Copia y completa estas sumas.

a) 256 + § = 591 b) 48 + § = 931 c) § + 791 = 1 005 d) § + 72 = 123

a) 256 + 335 = 591 b) 48 + 883 = 931 c) 214 + 791 = 1 005 d) 51 + 72 = 123


Este es el primer epígrafe con el que se encuentran los alumnos en este curso, y se trata de un epígrafe totalmente conocido por ellos.

Se debe recordar brevemente cómo se opera con los nú-meros naturales y centrarnos en el significado de cada ope-ración.

Es conveniente hacer hincapié en sus propiedades, pese a que las conocen suelen confundirlas.

Los ejercicios de factor común resultan ser muy complica-dos para ellos. Puede ayudar hacer primero el paso inverso, esto es, realizar una aplicación directa de la propiedad distri-butiva para después sacra factor común sobre el resultado.

7

1Números naturales


5 Aplica la prueba de la resta, y completa en tu cuaderno.

a) 432 − § = 191 b) 927 − § = 571 c) § − 195 = 1 005 d) § − 97 = 709

a) 432 − 241 = 191 b) 927 − 356 = 571 c) 1 200 − 195 = 1 005 d) 806 − 97 = 7096 Realiza estas multiplicaciones.

a) 781 ⋅ 5 b) 23 ⋅ 45 c) 309 ⋅ 165 d) 4 901 ⋅ 6 023

a) 781 ⋅ 5 = 3 905 b) 23 ⋅ 45 = 1 035 c) 309 ⋅ 165 = 50 985 d) 4 901 ⋅ 6 023 = 29 518 7237 Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 506 : 28 b) 2 848 : 32 c) 5 007 : 17 d) 7 011 : 123 e) 75 029 : 604 f) 64 368 : 596

a) Cociente: 18 Resto: 2 c) Cociente: 294 Resto: 9 e) Cociente: 124 Resto: 133

b) Cociente: 89 Resto: 0 d) Cociente: 57 Resto: 0 f) Cociente: 108 Resto: 08 Completa con ayuda de la prueba de la división.

Dividendo Divisor Cociente Resto Dividendo Divisor Cociente Resto

34 6 5 4 297 42 7 3

127 8 15 7 691 18 38 7

9 Comprueba que se cumplen estas igualdades.

a) (23 + 12) + 7 = (12 + 23) + 7 b) 32 ⋅ (2 ⋅ 12) = (2 ⋅ 32) ⋅ 12

¿Qué propiedades has aplicado?

a) (23 + 12) + 7 = 35 + 7 = 42 b) 32 ⋅ (2 ⋅ 12) = 32 ⋅ 24 = 768

(12 + 23) + 7 = 35 + 7 = 42 (2 ⋅ 32) ⋅ 12 = 64 ⋅ 12 = 768

Es la propiedad conmutativa respecto de la suma. Es la propiedad asociativa respecto de la multiplicación.10 Copia y completa.

Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo

Conmutativa12 + 7 = 7 + 12

Distributiva4 ⋅ (9 − 3) = 4 ⋅ 9 − 4 ⋅ 3

3 ⋅ 7 = 7 ⋅ 3 7 ⋅ (9 + 5) = 7 ⋅ 9 + 7 ⋅ 5

Asociativa4 ⋅ (2 ⋅ 5) = (4 ⋅ 2) ⋅ 5

Elemento neutro9 + 0 = 9

(5 + 1) + 9 = 5 + (1 + 9) 12 ⋅ 1 = 12

11 Saca factor común.

a) 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 9 b) 12 ⋅ 10 − 12 ⋅ 8 c) 7 ⋅ 8 − 5 ⋅ 8 d) 6 ⋅ 9 + 4 ⋅ 9

a) 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 9 = 6 ⋅ (4 + 9) c) 7 ⋅ 8 − 5 ⋅ 8 = (7 − 5) ⋅ 8

b) 12 ⋅ 10 − 12 ⋅ 8 = 12 ⋅ (10 − 8) d) 6 ⋅ 9 + 4 ⋅ 9 = (6 + 4) ⋅ 912 Extrae factor común.

a) 12 ⋅ 5 − 12 ⋅ 3 + 12 ⋅ 8 b) 6 ⋅ 9 − 3 ⋅ 6 − 6 ⋅ 2 c) 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 d) 5 ⋅ 7 + 5 ⋅ 9 − 5

a) 12 ⋅ 5 − 12 ⋅ 3 + 12 ⋅ 8 = 12 ⋅ (5 − 3 + 8) c) 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 = 4 ⋅ (3 − 2 + 6)

b) 6 ⋅ 9 − 3 ⋅ 6 − 6 ⋅ 2 = 6 ⋅ (9 − 3 − 2) d) 5 ⋅ 7 + 5 ⋅ 9 − 5 = 5 ⋅ (7 + 9 − 1)13 En una ciudad viven 17 920 personas y hay un árbol por cada 64 habitantes.

a) ¿Cuántos árboles hay en la ciudad?

b) ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener uno por cada 16 personas?

a) 17 920 : 64 = 280. Hay 280 árboles. b) 17 920 : 16 = 1 120. Hay que plantar 1 120 − 280 = 840 árboles.

Desafío14 ¡Consigue el número exacto en cada caso! Para ello, utiliza estos núme-

ros sin repetir ninguno, y las operaciones +, −, × o :.

7 + 6 = 13 325 − 4 = 321 900 − 25 = 875

13 ⋅ 25 = 325 100 + 50 = 150 875 − 4 = 871 + 1 = 872

5 − 1 = 4 150 ⋅ 6 = 900



2. Potencias de números naturales

9


8

Escribe las potencias que representan los siguientes dibujos.

Escribe en forma de potencia. ¿Cómo se leen?a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 b) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 11 ⋅ 11

Copia y completa.

Potencia Base Exponente Valor Se lee

O O O O 5 al cuadrado

26 O O O O

Copia y completa con el signo = o ≠ según corresponda.a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 § 73 c) 14 ⋅ 14 § 2 ⋅ 14b) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 § 5 ⋅ 6 d) 27 + 27 + 27 + 27 § 274

¿Cuántos cubitos tiene esta figura? Explica cómo lo has calculado.

Escribe estos números utilizando una potencia de 10.a) 4 000 b) 12 500 000 c) 402 000 d) 100 000 000

Utiliza potencias para simplificar los siguientes productos.a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7b) 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 3 d) 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 5

En una repostería empaquetan sus galletas en docenas que, a su vez, se vuelven a empaquetar en cajas de 12. Acaban de recibir un pedido de 25 cajas. ¿Cuántas galletas necesitan? Expresa la operación utilizando potencias.

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2. POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

Lola construye este cuadrado rojo y este cubo amarillo. ¿Cuántos cuadraditos ha utilizado para construir el cuadrado rojo? ¿Cuántos cubitos para construir el cubo amarillo?

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. La base es el factor que se repite, y el exponente el número de veces que se repite este factor.

45 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1 024

5 veces

Observa como se leen y se escriben estos productos como potencias.

Producto Potencia Se lee

7 ⋅ 7 72 7 al cuadrado

7 ⋅ 7 ⋅ 7 73 7 al cubo

7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 74 7 elevado a cuatro o 7 a la cuarta

... ... ...

7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 78 7 elevado a ocho o 7 a la octava

Potencias de 10

Observa el resultado de calcular las siguientes potencias de 10.

102 = 10 ⋅ 10 = 100 2 ceros

103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1 000 3 ceros

…

106 = 10 ⋅ 10 ⋅10 ⋅ 10 ⋅10 ⋅ 10 = 1 000 000 6 ceros

El valor de una potencia de 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica su exponente.

Las potencias de 10 se utilizan para expresar números grandes que acaban en ceros.

230 000 = 23 ⋅ 104 500 000 000 = 5 ⋅ 108

Aprenderás a… ● Comprender y utilizar las potencias de números naturales.

4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 = 6464 cubitos

3 ⋅ 3 = 32 = 99 cuadraditos

Podemos calcular potencias con ayuda de la calculadora.

Con la calculadora

Exponente

Base

DESAFÍOLos ordenadores, para manejar la información, utilizan el sistema de numeración binario, que representa los números utilizando solo los dígitos 0 y 1. Para convertir un número del sistema binario al decimal, empezamos de derecha a izquierda y multiplicamos cada cifra por las sucesivas potencias de 2. El número binario 10011 tiene un valor, en el sistema decimal, que se calcula así:

1 0 0 1 1

1 × 24 0 × 23 0 × 22 1 × 21 1 × 20

16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

Escribe estos números en el sistema decimal.a) 10111 b) 100000 c) 1111 d) 1000110

23

ma1e2

Presta atención

Simplificar significa expresar algo de forma más sencilla.

Soluciones de las actividades15 Escribe las potencias que representan los siguientes dibujos.

El primer dibujo representa 42 = 16; el segundo, 22 = 4; y el tercero, 52 = 25.

16 Escribe en forma de potencia. ¿Cómo se leen?

a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 b) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 11 ⋅ 11

a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54 → Cinco elevado a cuatro o cinco a la cuarta.

b) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 37 → Tres elevado a siete o tres a la séptima.

c) 11 ⋅ 11 = 112 → Once elevado a dos u once al cuadrado.


Es importante que los alumnos acaben este epígrafe en-tendiendo la diferencia entre varias sumas del mismo nú-mero y varias multiplicaciones también del mismo número. Recordarles que solo es igual en el caso 2 + 2 = 2 ⋅ 2 = 4 y 2 ⋅ 2 = 22 = 4. En el resto los resultados son distintos.

Es conveniente resaltar que en cursos superiores y en asig-naturas científicas las potencias de 10 van a ser muy útiles a la hora de expresar números muy grandes, y también para números pequeños, aunque para este uso se va a necesitar más tiempo.

Vídeo. POTENCIAS CON CALCULADORA

En este vídeo se indica, en primer lugar, cómo utilizar la versión de calculadora científica para hallar potencias de distintos números. A continuación, se explica cómo calcular potencias sucesivas de un mismo número como base usando la tecla =. Después, vemos cómo hallar el cuadrado de un cierto número y cualquier otra potencia.

9

1Números naturales


17 Copia y completa.

Potencia Base Exponente Valor Se lee

52 5 2 25 Cinco al cuadrado

26 2 6 64 Dos a la sexta

18 Copia y completa con el signo = o ≠ según corresponda.

a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 § 73 c) 14 ⋅ 14 § 2 ⋅ 14

b) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 § 5 ⋅ 6 d) 27 + 27 + 27 + 27 § 274

a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 73 c) 14 ⋅ 14 ≠ 2 ⋅ 14 → 14 ⋅ 14 = 142

b) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 5 ⋅ 6 d) 27 + 27 + 27 + 27 ≠ 274 → 27 + 27 + 27 + 27 = 27 ⋅ 419 ¿Cuántos cubitos tiene esta figura? Explica cómo lo has calculado.

53 − 4 = 125 − 4 = 121

Calculamos el número de cubitos que tendría si estuviera completo y restamos las cuatro esquinas.

20 Escribe estos números utilizando una potencia de 10.

a) 4 000 b) 12 500 000 c) 402 000 d) 100 000 000

a) 4 000 = 4 ⋅ 103 b) 12 500 000 = 125 ⋅ 105 c) 402 000 = 402 ⋅ 103 d) 100 000 000 = 108

21 Utiliza las potencias para simplificar los siguientes productos.

a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7

b) 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 3 d) 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 5

a) 25 ⋅ 32 b) 115 ⋅ 3 c) 52 ⋅ 74 d) 63 ⋅ 55

22 En una repostería empaquetan sus galletas en docenas que, a su vez, se vuelven a empaquetar en cajas de 12. Acaban de recibir un pedido de 25 cajas. ¿Cuántas galletas necesitan? Expresa la operación utilizando potencias.

25 ⋅ 122 = 3 600 → Necesitan 3 600 galletas.

Desafío23 Los ordenadores, para manejar la información, utilizan el sistema de numeración binario, que representa los números uti-

lizando solo los dígitos 0 y 1. Para convertir un número del sistema binario al decimal, empezamos de derecha a izquierda y multiplicamos cada cifra por las sucesivas potencias de 2. El número binario 10 011 tiene un valor, en el sistema decimal que se calcula así:

1 0 0 1 1

1 × 24 0 × 23 0 × 22 1 × 21 1 × 20

16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

Escribe estos números en el sistema decimal.

a) 10111 b) 100000 c) 1111 d) 1000110

a) 10111 → 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23

b) 100000 → 25 = 32

c) 1111 → 23 + 22 + 21 + 20 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15

d) 1000110 → 26 + 22 + 21 = 64 + 4 + 2 = 70



3. Raíces cuadradas

11


10

¿Quién dice la verdad?

A partir de los números al cuadrado, realiza las siguientes raíces en tu cuaderno.

a) 322 = 1 024, entonces 1024 = § c) 192 = 361, entonces 361 = §

b) 272 = 729, entonces 729 = § d) 252 = 625, entonces 625 = §

Calcula.

a) 9 b) 64 c) 100 d) 36 e) 49 f) 81

Copia y completa los huecos que faltan.

a) § = 11 c) § = 13 e) § = 15

b) § = 12 d) § = 14 f) § = 16

Calcula estas raíces cuadradas.

a) 400 c) 1600 e) 4 900

b) 250 000 d) 810 000 f) 90 000

Copia y coloca estas figuras para demostrar cuál es la raíz cuadrada de 36.

A partir de estos cuadrados perfectos, calcula las raíces enteras y su resto.

a) 222 = 484 y 232 = 529 → 501 ≈ §

b) 352 = 1 225 y 362 = 1 296 → 1250 ≈ §

c) 272 = 729 y 282 = 784 → 762 ≈ §

Calcula estas raíces enteras y su resto. Piensa primero entre qué números se encuentran.

a) 32 b) 55 c) 29 d) 95 e) 59 f) 82

Mario necesita rodear con una alambrada un terreno cuadrado de 144 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de alambrada tiene que comprar?

24

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3132

3. RAÍCES CUADRADAS

Raíz cuadrada exacta

Jorge ha formado un mosaico cuadrado con 16 baldosas cuadradas iguales. ¿Cuántas baldosas tiene el lado del mosaico?

Tenemos que encontrar un número que al multiplicarlo por sí mismo, sea igual a 16. Es decir, un número cuyo cuadrado sea 16.

4 × 4 = 42 = 16

El lado del mosaico tiene 4 piezas.

El número cuyo cuadrado es 16 se llama raíz cuadrada de 16, y se escribe:

=16 4

La raíz cuadrada exacta de un número es otro cuyo cuadrado es igual al número dado.

=16 4 porque 42 = 16

Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados perfectos.

Esta tabla muestra los cuadrados perfectos menores que 100.

Cuadrado perfecto 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Raíz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Raíz cuadrada entera

De la caja, Jorge coge 14 piezas. Con este número de piezas no puede construir un mosaico cuadrado. Tiene dos posibilidades:

❚ Construir un mosaico cuadrado de lado 3, y le sobran 5 piezas.

32 = 9 < 14

❚ Construir un mosaico cuadrado de lado 4, pero le faltan 2 cuadrados.

14 < 16 = 42

Número 0 1 4 9 14 16 25

Raíz 0 1 2 3 ? 4 5

La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número cuyo cuadrado es menor que dicho número.

14 ≈ 3 porque 32 = 9 <14

42 = 16 >14

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Se llama resto de la raíz a la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera.

Resto: 14 − 32 = 5

Aprenderás a… ● Comprender y manejar raíces cuadradas.

● Identificar raíces cuadradas enteras y su resto.

Para calcular raíces cuadradas, utilizamos la

tecla a.

Según el tipo de calculadora, introducimos una de estas dos secuencias de teclas:

a4= o 4a

Con la calculadora

Utilizamos el signo ≈ para indicar el valor aproximado de un número.


Radicando Raíz

Presta atención

El área de un cuadrado es: A = l2

Investiga

Existen documentos de la época de los egipcios, como el papiro de Ahmes, que data del año 1650 a. C., en el que se muestra cómo obtener raíces cuadradas. Sin embargo, ¿sabrías decir desde cuándo se utiliza

el símbolo para indicar las raíces? Investiga sobre el origen de este símbolo.

33

ma1e3

Soluciones de las actividades24 ¿Quién dice la verdad?

Los dos dicen la verdad porque 72 es lo mismo que 7 × 7 y es igual a 49.


Es conveniente utilizar cuadrados de cualquier material para introducir las raíces, de esta forma los alumnos pueden ma-nipular ejemplos como el propuesto en el libro.

Es aconsejable ampliar la tabla de cuadrados perfectos y que la memoricen.

Un error muy común entre los alumnos es decir que 81 es 92. Hay que insistir en que es 9 porque al elevarlo al cua-drado es igual al radicando pero la raíz no puede ser 92 ya que es el mismo radicando.

Vídeo. RAÍCES CON CALCULADORA

En el vídeo se muestra el procedimiento a seguir para hallar la raíz cuadrada de un número. Es conveniente indicar a los alumnos que en otros modelos de calculadora puede variar el orden en el que han de teclearse el número y el signo de la raíz.

11

1Números naturales


25 A partir de los números al cuadrado, realiza las siguientes raíces en tu cuaderno.

a) 322 = 1 024, entonces 1024 = § c) 192 = 361, entonces 361 = §

b) 272 = 729, entonces 729 = § d) 252 = 625, entonces 625 = §

a) 1024 = 32 b) 729 = 27 c) 361 = 19 d) 625 = 2526 Calcula.

a) 9 b) 64 c) 100 d) 36 e) 49 f) 81

a) 3 b) 8 c) 10 d) 6 e) 7 f) 927 Copia y completa los huecos que faltan.

a) § = 11 b) § = 12 c) § = 13 d) § = 14 e) § = 15 f) § = 16

a) 121 = 11 b) 144 = 12 c) 169 = 13 d) 196 = 14 e) 225 = 15 f) 256 = 16

28 Calcula estas raíces cuadradas.

a) 400 b) 250 000 c) 1600 d) 810 000 e) 4 900 f) 90 000

a) 20 b) 500 c) 40 d) 900 e) 70 f) 30029 Copia y coloca estas figuras para demostrar cuál es la raíz cuadrada de 36.

Podemos formar un cuadrado de lado 6. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 36 es 6.30 A partir de estos cuadrados perfectos, calcula las raíces enteras y su resto.

a) 222 = 484 y 232 = 529 → 501 ≈ § c) 272 = 729 y 282 = 784 → 762 ≈ §

b) 352 = 1 225 y 362 = 1 296 → 1250 ≈ §

a) 222 = 484 y 232 = 529 → 501 = 22 c) 272 = 729 y 282 = 784 → 762 = 27

Resto: 17 Resto: 33

b) 352 = 1 225 y 362 = 1 296 → 1250 = 35

Resto: 2531 Calcula estas raíces enteras y su resto. Piensa primero entre qué números se encuentran.

a) 32 b) 55 c) 29 d) 95 e) 59 f) 82

a) 32 = 5 Resto: 7 c) 29 = 5 Resto: 4 e) 59 = 7 Resto: 10

b) 55 = 7 Resto: 6 d) 95 = 9 Resto: 14 f) 82 = 9 Resto: 132 Mario necesita rodear con una alambrada un terreno cuadrado de 144 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de alambrada

tiene que comprar?

144 → 12 → El lado del terreno mide 12 m.

12 ⋅ 4 = 48 → El perímetro del terreno mide 48 m.

Necesita comprar 48 m de alambrada.

Investiga33 Existen documentos de la época de los egipcios, como el papiro de Ahmes, que data del año 1650 a. C., en el que se

muestra cómo obtener raíces cuadradas. Sin embargo, ¿sabrías decir desde cuándo se utiliza el símbolo para indicar las raíces? Investiga sobre el origen de este símbolo.

El matemático Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada en el año 1525.

Representa una r minúscula estilizada que proviene de la palabra raíz, radix en latín.



4. Operaciones combinadas

12 13

11 Números naturales Actividades

4. OPERACIONES COMBINADAS

Cuando en una expresión aparecen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, el orden en el que realizamos las operaciones es el siguiente.

3 + 8 : 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 2 + 1

1 Calculamos las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, las realizamos de izquierda a derecha.

2 Resolvemos las sumas y las restas.Si hay varias, las realizamos de izquierda a derecha.

Con potencias y raíces

Si además de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, en la expresión aparecen potencias y raíces, resolvemos las operaciones en este orden.

4 + 3 ⋅ 22 − 81 : 3

1 Calculamos las potencias y las raíces.

2 Resolvemos las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, operamos de izquierda a derecha.

3 Realizamos las sumas y las restas.Si hay varias, las calculamos de izquierda a derecha.

Con paréntesis

Cuando en una expresión hay operaciones agrupadas con paréntesis, primero realizamos estas operaciones y a continuación, seguimos el mismo orden que el de las operaciones anteriores.

24 + (27− 6) : 3− 25 ⋅3

3 + 8 : 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 2 + 1 == 3 + 4 ⋅ 3 − 8 + 1 =

= 3 + 12 − 8 + 1 == 15 − 8 + 1 == 7 + 1 = 8

Aprenderás a… ● Realizar operaciones combinadas con números naturales.

Resuelve.

a) 4 + 7 ⋅ 2 d) 18 − 15 : 3

b) 3 ⋅ 7 − 8 e) 45 : 9 + 7

c) 8 − 10 : 2 f) 5 + 30 : 6

Calcula.

a) 12 − 9 : 3 + 5 ⋅ 4 − 7

b) 32 + 12 − 12 ⋅ 2 − 18 : 9

c) 2 ⋅ 4 − 15 : 5 + 10 − 3 ⋅ 2

d) 16 − 8 ⋅ 2 + 22 : 11 + 7

Resuelve estas expresiones.

a) 13− (9−5) + 4 c) 23 + 12− (10−5 + 6)

b) 21− (10 + 6)−1 d) 39− 4− (20−18 + 1)

Halla los resultados.

a) 23−5 + 7 ⋅3− (25− 9−5)

b) 32 : 4− (8−5−1)− (12−11)−1

c) 9 ⋅5 + 15 : 3− (32− 3)− (18− 8−1)

d) 12 + 4 ⋅6− (4 + 10−7)− 2 + 8 : 4

¿Qué solución tiene cada apartado?

a) 52 − 64 + 4 ⋅ 4 − 1

b) 18 : 6 + 100 − 32

c) 12 + 24 − 36 + 5

d) 44 : 4 + 33 − 81 + 7 ⋅ 2

Piensa y calcula.

a) 92 − 52 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 − 1

b) 12 + 36 : 3 + 23 − 5

c) 48 : 6 + 66 : 121 − 9

d) 25 − 25 ⋅ 2 + 62 : 3 + 25

Resuelve.

a) 12 + 4 ⋅2− (3 + 5) : 2b) 31− 3 ⋅ (16−12) + 30 : 6

c) 81 + 12 : 3 + 5 ⋅ (10− 9 + 2) + 2

d) 15− 4 + 3 ⋅ (12− 4) : 6 + 72

34

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39

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EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve esta expresión.

25 − 42 − (12− 7) ⋅ 9 + 1( ) + 18 : 6 + 25

SoluciónPrimero resolvemos los paréntesis, respetando la jerarquía de las operaciones.

42 − (12− 7) ⋅ 9 + 1 =

Paréntesis

= 42 − 5 ⋅ 9 + 1 =

Potencias y raíces

= 16 − 5 ⋅ 3 + 1 =

Multiplicaciones y divisiones

= 16 − 15 + 1 =

Sumas y restas

= 2Una vez resuelto el paréntesis, realizamos el resto de operaciones.

( )+ + + =4 12 7 12 ( ) 9 18 6 2525 − − − ⋅ :

= 25 − 2 + 18 : 6 + 25 == 32 − 2 + 18 : 6 + 5 == 32 − 2 + 3 + 5 = 38

DESAFÍO¿Cuántas bolas hay en total? Agrupa cada frase con el cálculo correspondiente.43

5 bolsas con 7 canicas rojas

y 8 canicas verdes.

5 + 7 ⋅ 8 5 ⋅ (7 + 8) 5 ⋅ 7 + 8 (5 + 7) ⋅ 8

5 bolsas con 7 canicas rojas,

y 8 canicas verdes.

5 canicas rojas y 7 bolsas con

8 canicas verdes.

En cada bolsa 5 canicas rojas y 7 canicas verdes.

Hay 8 bolsas.

Opera.a) 2 + 3 ⋅ (5 + 4 ⋅3)−1

b) 7 + 5− (14−5 ⋅2) + 8 : 2

c) 25 + (9− 4 ⋅2 + 5)−12 : 6

41

Presta atención

Para calcular el resultado de una expresión con varias operaciones, las resolvemos en este orden:

1 Paréntesis.

2 Potencias y raíces.

3 Multiplicaciones y divisiones. Si hay varias, operamos de izquierda a derecha.

4 Sumas y restas. Si hay varias, operamos de izquierda a derecha.

4 + 3 ⋅ 22 − 81 : 3 =

= 4 + 3 ⋅ 4 − 9 : 3 =

= 4 + 12 − 3 == 16 − 3 == 13

ma1e4

Realiza estas operaciones.

a) + +19 3 49 (12 10) 4 (5 3)2 ( )− ⋅ − ⋅ −

b) 36 : 2 + 4 ⋅ 3 + 22 ⋅ (9− 6) + 1( )− 32

c) +5 25 9 15 2 92( )⋅ − − ⋅

42

Soluciones de las actividades34 Resuelve.

a) 4 + 7 ⋅ 2 b) 3 ⋅ 7 − 8 c) 8 − 10 : 2 d) 18 − 15 : 3 e) 45 : 9 + 7 f) 5 + 30 : 6

a) 4 + 14 = 18 b) 21 − 8 = 13 c) 8 − 5 = 3 d) 18 − 5 = 13 e) 5 + 7 = 12 f) 5 + 5 = 1035 Calcula.

a) 12 − 9 : 3 + 5 ⋅ 4 − 7 c) 2 ⋅ 4 − 15 : 5 + 10 − 3 ⋅ 2

b) 32 + 12 − 12 ⋅ 2 − 18 : 9 d) 16 − 8 ⋅ 2 + 22 : 11 + 7

a) 12 − 3 + 20 − 7 = 22 c) 8 − 3 + 10 − 6 = 9

b) 32 + 12 − 24 − 2 = 18 d) 16 − 16 + 2 + 7 = 936 Resuelve estas expresiones.

a) 13 − (9 − 5) + 4 b) 21 − (10 + 6) − 1 c) 23 + 12 − (10 − 5 + 6) d) 39 − 4 − (20 − 18 + 1)

a) 13 − 4 + 4 = 13 b) 21 − 16 = 5 c) 23 + 12 − 11 = 24 d) 39 − 4 − 3 = 32


Prácticamente todos los alumnos van a aprenderse la je-rarquía de las operaciones pero no todos la van aplicar correctamente. Es conveniente que cada vez que realicen una operación se pregunten si han respetado la jerarquía y cuál es la siguiente operación. Es muy importante que los alumnos interioricen que al operar hay un orden y que este va a ser el mismo según se vayan introduciendo nuevos números.

Vídeo. OPERACIÓN COMBINADA

En el vídeo se muestra la resolución paso a paso del ejemplo. Los bocadillos van apareciendo con las indicaciones correspondientes a la jerarquía de las operaciones.

13

1Números naturales


37 Halla los resultados.

a) 23 − 5 + 7 ⋅ 3 − (25 − 9 − 5) c) 9 ⋅ 5 + 15 : 3 − (32 − 3) − (18 − 8 − 1)

b) 32 : 4 − (8 − 5 − 1) − (12 − 11) − 1 d) 12 + 4 ⋅ 6 − (4 + 10 − 7) − 2 + 8 : 4

a) 23 − 5 + 21 − 11 = 28 c) 45 + 5 − 29 − 9 = 12

b) 8 − 2 − 1 − 1 = 4 d) 12 + 24 − 7 − 2 + 2 = 2938 ¿Qué solución tiene cada apartado?

a) 52 − 64 + 4 ⋅ 4 − 1 c) 12 + 24 − 36 + 5

b) 18 : 6 + 100 − 32 d) 44 : 4 + 33 − 81 + 7 ⋅ 2

a) 25 − 8 + 4 ⋅ 4 − 1 = 25 − 8 + 16 − 1 = 32 c) 12 + 16 − 6 + 5 = 27

b) 18 : 6 + 10 − 9 = 3 + 10 − 9 = 4 d) 44 : 4 + 27 − 9 + 7 ⋅ 2 = 11 + 27 − 9 + 14 = 4339 Piensa y calcula.

a) 92 − 52 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 − 1 c) 48 : 6 + 66 : 121 − 9

b) 12 + 36 : 3 + 23 − 5 d) 25 − 25 ⋅ 2 + 62 : 3 + 25

a) 81 − 25 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 − 1 = 81 − 50 + 12 − 1 = 42 c) 48 : 6 + 66 : 11 − 9 = 8 + 6 − 9 = 5

b) 12 + 6 : 3 + 8 − 5 = 12 + 2 + 8 − 5 = 17 d) 25 − 5 ⋅ 2 + 36 : 3 + 32 = 25 − 10 + 12 + 32 = 5940 Resuelve.

a) 12 + 4 ⋅ 2 − (3 + 5) : 2 c) 81 + 12 : 3 + 5 ⋅ (10 − 9 + 2) + 2

b) 31 − 3 ⋅ (16 − 12) + 30 : 6 d) 15 − 4 + 3 ⋅ (12 − 4) : 6 + 72

a) 12 + 8 − 8 : 2 = 12 + 8 − 4 = 16

b) 31 − 3 ⋅ 4 + 30 : 6 = 31 − 12 + 5 = 24

c) 81 + 12 : 3 + 5 ⋅ 3 + 2 = 9 + 12 : 3 + 5 ⋅ 3 + 2 = 9 + 4 + 15 + 2 = 30

d) 15 − 4 + 3 ⋅ 8 : 6 + 72 = 15 − 4 + 3 ⋅ 8 : 6 + 49 = 15 − 4 + 4 + 49 = 6441 Opera.

a) 2 + 3 ⋅ (5 + 4 ⋅ 3) − 1 b) 7 + 5 − (14 − 5 ⋅ 2) + 8 : 2 c) 25 + (9 − 4 ⋅ 2 + 5) − 12 : 6

a) 2 + 3 ⋅ (5 + 12) − 1 = 2 + 3 ⋅ 17 − 1 = 2 + 51 − 1 = 52

b) 7 + 5 − (14 − 10) + 4 = 7 + 5 − 4 + 4 = 12

c) 25 + (9 − 8 + 5) − 12 : 6 = 25 + 6 − 12 : 6 = 25 + 6 − 2 = 2942 Realiza estas operaciones.

a) 19− 32 + 49 ⋅ (12−10) + 4 ⋅ (5− 3)( ) c) 5 + 25 ⋅ 9 − 15− 22 ⋅ 9( )

b) 36 : 2 + 4 ⋅ (3 + 22 ⋅ (9 − 6) + 1) − 32

a) 19− 32 + 49 ⋅2 + 4 ⋅2( ) = 19 − 32 + (7 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2) = 19 − 32 + (14 + 4) = 19 − 32 + 18 = 19 − 9 + 18 = 28

b) 36 : 2 + 4 ⋅ (3 + 22 ⋅ 3 + 1) − 32 = 36 : 2 + 4 ⋅ (3 + 4 ⋅ 3 + 1) − 32 = 36 : 2 + 4 ⋅ (3 + 12 + 1) − 32 =

= 36 : 2 + 4 ⋅ 16 − 9 = 6 : 2 + 4 ⋅ 16 − 9 = 3 + 64 − 9 = 58

c) 5 + 25 ⋅ 9 − (15 − 4 ⋅ 3) = 5 + 25 ⋅ 9 − (15 − 12) = 5 + 25 ⋅ 9 − 3 = 5 + 5 ⋅ 3 − 3 = 5 + 15 − 3 = 17

Desafío43 ¿Cuántas bolas hay en total? Agrupa cada frase con el cálculo correspondiente.

5 bolsas con 7 canicas rojas

y 8 canicas verdes.

5 + 7 ⋅ 8 5 ⋅ (7 + 8) 5 ⋅ 7 + 8 (5 + 7) ⋅ 8

5 bolsas con 7 canicas rojas,

y 8 canicas verdes.

5 canicas rojas y 7 bolsas con

8 canicas verdes.

En cada bolsa 5 canicas rojas y 7 canicas verdes.

Hay 8 bolsas.



5. Operaciones con potencias

14


5. OPERACIONES CON POTENCIAS

Potencias con la misma base

❚ Producto de potencias con la misma base

53 ⋅ 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 + 4 = 57

❚ Cociente de potencias con la misma base

56 : 54 = 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = 56 − 4 = 52

❚ Potencia de una potencia

( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 5 5 5 5 5 5 54 4 22 2 2 2 2 2 2 2 8= = = =+ + +2

❚ Para multiplicar o dividir potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman o restan los exponentes.

❚ Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Potencias de exponente 1 y de exponente 0

24 − 3 = 21 24 − 4 = 20

24 : 23 = → 21 = 2 24 : 24 = → 20 = 1

16 : 8 = 2 16 : 16 = 1

❚ Una potencia de exponente 1 es igual a la base.

❚ Una potencia de exponente 0 es igual a 1.

Potencias con el mismo exponente

❚ Producto de potencias

34 ⋅ 54 = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) = (3 ⋅ 5)4 =

= 154 Se multiplican las bases.

Para multiplicar potencias con el mismo exponente, se deja el mismo exponente y se multiplican las bases.

❚ Cociente de potencias

83 : 43 = (8 ⋅ 8 ⋅ 8) : (4 ⋅ 4 ⋅ 4) = (8 : 4) ⋅ (8 : 4) ⋅ (8 : 4) = (8 : 4)3 =

= 23 Se dividen las bases.

Para dividir potencias con el mismo exponente, se deja el mismo exponente y se dividen las bases.

La base aparece multiplicada 7 veces en total.



Aprenderás a… ● Operar con potencias con la misma base.

● Calcular las potencias de exponente 1 y 0.

● Operar con potencias con el mismo exponente.

15

DESAFÍOOrdena las siguientes fichas para conseguir dos operaciones correctas con potencias. 58

1Actividades

Escribe estos productos en forma de potencia.a) 37 ⋅ 33 d) 912 ⋅ 95 ⋅ 93

b) 22 ⋅ 25 e) 53 ⋅ 59 ⋅ 56

c) 8 ⋅ 85 f) 4 ⋅ 48 ⋅ 4

Copia y completa con el exponente que falta.a) 53 ⋅ 5§ = 57 c) 77 ⋅ 7 ⋅ 7§ = 710

b) 2§ ⋅ 26 = 210 d) 8§ ⋅ 83 ⋅ 8 = 811

Reduce a una potencia.a) 37 : 33 c) 912 : 95 : 93

b) 48 : 42 d) 519 : 59 : 56

Copia y completa con el exponente que falta.a) 58 : 5§ = 56 c) 77 : 7 : 7§ = 74

b) 2§ : 23 = 24 d) 8§ : 83 : 8 = 8

Escribe el resultado como una sola potencia.a) 52 ⋅ 53 : 54 c) 715 : 73 ⋅ 7b) 26 : 24 ⋅ 23 d) 910 : 94 ⋅ 9 ⋅ 95

Expresa como potencia única.

a) 37 2( ) c) 29 5( )

b) 55 3( ) d) 48 2( )

Copia y completa con el exponente que falta.

a) 3§( )3 = 312 c) 2§( )5 = 230

b) 54( )§ = 524 d) 46( )§ = 418

Reduce a una sola potencia.

a) 56 ⋅ 53( )3 : 5 c) 25 : 23 ⋅ 25( )3

b) 96( )2 : 9 ⋅92 d) 3 ⋅ 37( )2 : 34

Expresa estos productos en forma de potencia.a) 52 ⋅ 32 c) 33 ⋅ 43 ⋅ 73

b) 46 ⋅ 76 d) 27 ⋅ 57 ⋅ 97

Reduce a una sola potencia.a) 109 : 59 : 29 c) 325 : 85 : 25

b) 368 : 28 : 38 d) 912 : 72 : 132

Expresa como potencia única.a) 152 ⋅ 32 : 52 c) 244 : 64 ⋅ 34

b) 185 : 35 ⋅ 65 d) 67 ⋅ 37 : 27

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Expresa el resultado como una sola potencia.a) 63 : 23 ⋅ 53 c) 128 : 68 : 26

b) 45 ⋅ 35 ⋅ 126 d) 84 ⋅ 82 ⋅ 56

Escribe el resultado como una potencia única.

a) 162 ⋅ 23( )4 : 43 b) 813 ⋅ 37 : 92

56

57

Escribe como potencia única.a) 76 ⋅ (73 : 72)3 c) (47 : 43)3 ⋅ (42)5

b) (96 : 9)3 ⋅ 92 d) (52)3 ⋅ (57 : 56)8

55

EJERCICIO RESUELTO

} Escribe como una sola potencia.

44 ⋅ 42 : 4( )5 : 46

Solución

44 ⋅ 42 : 4( )5 : 46 = Paréntesis 43 − 1 = 42

= 44 ⋅ 42( )5 : 46 = 42 ⋅ 5 = 410

= 44 ⋅ 410 : 46 = De izquierda a derecha 44 + 10 = 414

= 414 : 46 =

414 − 6 = 48

= 48

EJERCICIO RESUELTO

} Reduce a una potencia: 37 · 27 : 62

Solución 37 ⋅ 27 : 62 =

(3 ⋅ 2)7 = 67

= 67 : 62 = 67 − 2

= 65

Soluciones de las actividades44 Escribe estos productos en forma de potencia.

a) 37 ⋅ 33 c) 8 ⋅ 85 e) 53 ⋅ 59 ⋅ 56

b) 22 ⋅ 25 d) 912 ⋅ 95 ⋅ 93 f) 4 ⋅ 48 ⋅ 4

a) 37 ⋅ 33 = 310 c) 8 ⋅ 85 = 86 e) 53 ⋅ 59 ⋅ 56 = 518

b) 22 ⋅ 25 = 27 d) 912 ⋅ 95 ⋅ 93 = 920 f) 4 ⋅ 48 ⋅ 4 = 410

45 Copia y completa con el exponente que falta.

a) 53 ⋅ 5§ = 57 b) 2§ ⋅ 26 = 210 c) 77 ⋅ 7 ⋅ 7§ = 710 d) 8§ ⋅ 83 ⋅ 8 = 811

a) 53 ⋅ 54 = 57 b) 24 ⋅ 26 = 210 c) 77 ⋅ 7 ⋅ 72 = 710 d) 87 ⋅ 83 ⋅ 8 = 811

46 Reduce a una potencia.

a) 37 : 33 b) 48 : 42 c) 912 : 95 : 93 d) 519 : 59 : 56

a) 34 b) 46 c) 97 : 93 = 94 d) 510 : 56 = 54


Es importante relacionar las propiedades de las potencias con las propiedades de la multiplicación y la división de nú-meros naturales, ya sea con potencias con la misma base en la que solo tenemos un número que se multiplica varias veces, como las potencias con el mismo exponente en la que efectuamos el producto y/o el cociente para obtener la potencia.

Al conocer las propiedades es muy útil que los alumnos rea-licen una tabla con todas ellas y un ejemplo de cada una. Por un lado pueden escribir las potencias con el mismo ex-ponente y por otro, con la misma base.

Conviene hacer hincapié cuando no se puede aplicar nin-guna propiedad: si tenemos una suma o resta con el mismo exponente o el mismo sumando, 22 + 32 o 22 + 32, solo se pueden calcular las potencias y sumar los resultados.

15

1Números naturales



a) 58 : 5§ = 56 b) 2§ : 23 = 24 c) 77 : 7 : 7§ = 74 d) 8§ : 83 : 8 = 8

a) 58 : 52 = 56 b) 27 : 23 = 24 c) 77 : 7 : 72 = 74 d) 85 : 83 : 8 = 848 Escribe el resultado como una sola potencia.

a) 52 ⋅ 53 : 54 b) 26 : 24 ⋅ 23 c) 715 : 73 ⋅ 7 d) 910 : 94 ⋅ 9 ⋅ 95

a) 55 : 54 = 51 = 5 b) 22 ⋅ 23 = 25 c) 712 ⋅ 7 = 713 d) 96 ⋅ 9 ⋅ 95 = 97 ⋅ 95 = 912

49 Expresa como potencia única.

a) (37)2 b) (55)3 c) (29)5 d) (48)2

a) (37)2 = 314 b) (55)3 = 515 c) (29)5 = 245 d) (48)2 = 416


a) (3§)3 = 312 b) (54)§ = 524 c) (2§)5 = 230 d) (46)§ = 418

a) (34)3 = 312 b) (54)6 = 524 c) (26)5 = 230 d) (46)3 = 418

51 Reduce a una sola potencia.

a) 56 ⋅ (53)3 : 5 b) (96)2 : 9 ⋅ 92 c) 25 : 23 ⋅ (25)3 d) 3 ⋅ (37)2 : 34

a) 56 ⋅ (53)3 : 5 = 514 c) 25 : 23 ⋅ (25)3 = 217

b) (96)2 : 9 ⋅ 92 = 913 d) 3 ⋅ (37)2 : 34 = 311

52 Expresa estos productos en forma de potencia.

a) 52 ⋅ 32 b) 46 ⋅ 76 c) 33 ⋅ 43 ⋅ 73 d) 27 ⋅ 57 ⋅ 97

a) 152 b) 286 c) 123 ⋅ 73 = 843 d) 107 ⋅ 97 = 907


a) 109 : 59 : 29 b) 368 : 28 : 38 c) 325 : 85 : 25 d) 912 : 72 : 132

a) 29 : 29 = 19 = 1 b) 188 : 38 = 68 c) 45 : 25 = 25 d) 132 : 132 = 12 = 154 Expresa como potencia única.

a) 152 ⋅ 32 : 52 b) 185 : 35 ⋅ 65 c) 244 : 64 ⋅ 34 d) 67 ⋅ 37 : 27

a) 152 ⋅ 32 : 52 = (15 ⋅ 3 : 5)2 = 92 c) 244 : 64 ⋅ 34 = (24 : 6 ⋅ 3)4 = 124

b) 185 : 35 ⋅ 65 = (18 : 3 ⋅ 6)5 = 365 d) 67 ⋅ 37 : 27 = (6 ⋅ 3 : 2)7 = 97

55 Escribe como potencia única.

a) 76 ⋅ (73 : 72)3 b) (96 : 9)3 ⋅ 92 c) (47 : 43)3 ⋅ (42)5 d) (52)3 ⋅ (57 : 56)8

a) 76 ⋅ (73 : 72)3 = 76 ⋅ 73 = 79 c) (47 : 43)3 ⋅ (42)5 = (44)3 ⋅ 410 = 412 ⋅ 410 = 422

b) (96 : 9)3 ⋅ 92 = (95)3 ⋅ 92 = 915 ⋅ 92 = 917 d) (52)3 ⋅ (57 : 56)8 = 56 ⋅ 58 = 514

56 Expresa el resultado como una sola potencia.

a) 63 : 23 ⋅ 53 b) 45 ⋅ 35 ⋅ 126 c) 128 : 68 : 26 d) 84 ⋅ 82 ⋅ 56

a) 33 ⋅ 53 = 153 b) 125 ⋅ 126 = 1211 c) 28 : 26 = 22 d) 86 ⋅ 56 = 406

57 Escribe el resultado como una potencia única.

a) 162 ⋅ (23)4 : 43 b) 813 ⋅ 37 : 92

a) (24)2 ⋅ 212 : (22)3 = 28 ⋅ 212 : 26 = 214 b) (34)3 ⋅ 37 : (32)2 = 312 ⋅ 37 : 34 = 315

Desafío58 Ordena las siguientes fichas para conseguir dos operaciones correctas con potencias.

Hay varias posibilidades:

35 ⋅ 34 = 39 35 ⋅ 34 = 39 39 : 35 = 34 39 : 34 = 35

310 : 37 = 33 310 : 33 = 37 33 ⋅ 37 = 310 33 ⋅ 37 = 310



Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades59 Después de una rueda de prensa de la NASA, se ha publicado esta noticia.

Prolongan otros cuatro años la vida de la Estación Espacial InternacionalLa Estación Espacial Internacional (ISS) estará operativa al menos hasta 2024, es decir, se prolonga su vida cuatro años más de lo previsto. Así lo ha confirmado este miércoles la NASA durante una rueda de prensa.La plataforma orbital, situada a 400 kilómetros de la Tierra, ha estado permanentemente habitada desde que entró en funcionamiento hace 15 años. Habitualmente hay seis astronautas de diferentes nacionalidades que van relevándose cada tres meses. Además de EEUU, participan en la ISS la Agencia Espacial Europea (ESA), Rusia, Japón y Canadá. [...]El primer módulo de la ISS fue instalado en 1998. En principio estaba previsto que la plataforma orbital, que es el hogar de los astronautas en el espacio, estuviera operativa hasta 2016, pero debido a su estado de conservación y a la buena marcha de las investigaciones, se acordó que se mantendría en funcionamiento hasta 2020. Ahora, se ha vuelto a prolongar su uso.

Fuente: elmundo.es

a) ¿En qué año estaba previsto que dejara de estar operativa la ISS?

b) La ISS se mantendrá en funcionamiento hasta 2024. ¿Cuántos años habrá estado activa?

a) En principio estaba previsto que estuviera operativa hasta 2016. b) 2 024 − 1 998 = 26 años


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se les plantea alguna situación que pueden encontrarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia. Para llegar a la solución del problema pro-puesto deben seguir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para resolver la pregunta.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo afrontar problemas en los que intervienen los núme-ros naturales para conseguir que sean capaces de mane-jarlos a la hora de resolver problemas cotidianos. Una vez analizado este ejemplo se plantean situaciones similares.

Actividades

17

Después de una rueda de prensa de la NASA, se ha publicado esta noticia.

4759 Estos son algunos datos que se publicaron en la prensa sobre un estudio de consumo.

4761

a) ¿En qué año estaba previsto que dejara de estar operativa la ISS?

b) La ISS se mantendrá en funcionamiento hasta 2024. ¿Cuántos años habrá estado activa?

a) Ordena las comunidades autónomas según el gasto en las rebajas en el año 2014.

b) Elabora una tabla con la diferencia de dinero a destinar en las rebajas en los años 2013 y 2014 en cada comunidad autónoma.

c) ¿Cuánto se espera que se gaste una familia madrileña de 4 miembros?

Prolongan otros cuatro años la vida de la Estación Espacial Internacional

La Estación Espacial Internacional (ISS) estará operativa al menos hasta 2024, es decir, se prolonga su vida cuatro años más de lo previsto. Así lo ha confirmado este miércoles la NASA durante una rueda de prensa.

La plataforma orbital, situada a 400 kilómetros de la Tierra, ha estado permanentemente habitada desde que entró en funcionamiento hace 15 años. Habitualmente hay seis astronautas de diferentes nacionalidades que van relevándose cada tres meses. Además de EEUU, participan en la ISS la Agencia Espacial Europea (ESA), Rusia, Japón y Canadá.

[...]

El primer módulo de la ISS fue instalado en 1998. En principio estaba previsto que la plataforma orbital, que es el hogar de los astronautas en el espacio, estuviera operativa hasta 2016, pero debido a su estado de conservación y a la buena marcha de las investigaciones, se acordó que se mantendría en funcionamiento hasta 2020. Ahora, se ha vuelto a prolongar su uso.

Fuente: elmundo.es

Los españoles aumentan el gasto en las segundas rebajas liberalizadas de invierno

A pesar del aumento del importe destinado a las rebajas, los consumidores han ido reduciendo progresivamente dicha cuantía desde hace 7 años. En concreto, en el año 2007 se gastaban de media 122 euros en enero a diferencia de los 84 euros de este año.Por regiones, los madrileños serán los consumidores que más gasten en las rebajas, con 100 euros de media, seguidos de los valencianos con 92 euros. En el lado opuesto de la tabla se sitúan los canarios donde se prevé un desembolso de 72 euros.

CC.AA 2014 2013

Andalucía 85 80

Aragón 80 75

Asturias 86 84

Illes Balears 78 75

Canarias 72 72

Cantabria 84 80

Castilla y León 80 77

Castilla-La Mancha 79 74

Cataluña 90 85

Extremadura 81 77

Galicia 80 75

Comunidad de Madrid 100 95

Región de Murcia 82 77

Navarra 85 80

País Vasco 88 85

La Rioja 86 82

Comunitat Valenciana 92 87

Fuente: libremercado.com

Lee la noticia y contesta a la pregunta.4760

Aproximadamente, ¿cuántas consolas PS4 se vendieron cada hora?

Sony vende más de un millón de consolas PS4 en su primer día

Mientras que su predecesora, la Play Station 3 (PS3), tardó seis meses en llegar al millón de unidades vendidas en EE UU y Canadá, la PS4 ha conseguido alcanzar esa cifra en tan solo 24 horas.

Fuente: cincodias

1Actividades1

16

El Gobierno amplía en 1 102 hectáreas el Parque Nacional de las Tablas de Daimiel

10 de enero de 2014

El Gobierno ha aprobado hoy en Consejo de Ministros la ampliación del Parque Nacional de las Tablas de Daimiel en 1 102 hectáreas, con lo que este espacio protegido de la provincia de Ciudad Real ocupará a partir de ahora algo más de 3 000 hectáreas.

[...]

El parque, que está considerado un humedal único en Europa por ser el último representante del ecosistema denominado tablas fluviales, sufrió hace años la amenaza de ser desclasificado como Reserva de la Biosfera por parte de la Unesco, debido a la […] sobreexplotación del acuífero tras un largo período de fuertes sequías.

Pero actualmente se encuentra en un buen momento debido a que la bondad pluviométrica de los últimos años ha impulsado la recuperación del acuífero de La Mancha Occidental hasta hacer resurgir los manantiales del río desaparecidos hace 30 años.

Fuente: elmundo.es

Números naturales en la naturaleza

Nadia ha leído esta noticia en un periódico digital y se hace dos preguntas.

a) ¿Cuántas hectáreas tenía aproximadamente el Parque Nacional antes de la ampliación?

b) ¿En qué año desaparecieron los manantiales?

Analiza la pregunta

a) ¿Cuántas hectáreas tenía aproximadamente el Parque Nacional antes de la ampliación?

Para contestar a esta pregunta, necesitamos saber cuántas hectáreas tiene ahora y las que se han aumentado.

b) ¿En qué año desaparecieron los manantiales?

Para calcularlo, tenemos que conocer la fecha de publicación del artículo y el número de años que los manantiales llevan desaparecidos.

Busca los datos

Localizamos los datos en el texto.

a) El Gobierno ha aprobado […] la ampliación […] en 1 102 hectáreas, con lo que este espacio protegido […] ocupará a partir de ahora algo más de 3 000 hectáreas.

❚ El Parque Nacional ahora tiene 3 000 hectáreas aproximadamente.

❚ Se amplió con 1 102 hectáreas, que son unas 1 100.

b) Fecha de publicación: 10 de enero de 2014.

Hasta hacer resurgir los manantiales del río desaparecidos hace 30 años.

❚ El artículo se publicó en 2014.

❚ Los manantiales llevan desaparecidos 30 años.

Utiliza las matemáticas

a) Hallamos las hectáreas que tenía el Parque Nacional aproximadamente antes de la ampliación.

3 000 − 1 100 = 1 900

Tenía 1 900 hectáreas aproximadamente.

b) Calculamos el año en el que desaparecieron los manantiales.

2 014 − 30 = 1 984

Los manantiales desaparecieron en 1984.

entró en funcionamiento hace 15 años. Habitualmente hay seis astronautas de diferentes nacionalidades que van relevándose cada tres meses. Además de EEUU, participan en la ISS la Agencia Espacial Europea (ESA), Rusia, Japón y Canadá.

[...]

El primer módulo de la ISS fue instalado en 1998. En principio estaba previsto que la plataforma orbital, que

LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

Encuentra y explica los errores de las siguientes informaciones.

❚ La población de Villarriba es de 45 670 personas. En la última década ha crecido hasta los 42 791.

❚ Virginia salió de casa con 25 € y con ese dinero pagó 4 entradas de cine de 9 € cada una.

62

17

1Números naturales


60 Lee la noticia y contesta a la pregunta.

Sony vende más de un millón de consolas PS4 en su primer díaMientras que su predecesora, la Play Station 3 (PS3), tardó seis meses en llegar al millón de unidades vendidas en EE UU y Canadá, la PS4 ha conseguido alcanzar esa cifra en tan solo 24 horas. Fuente: cincodias

Aproximadamente, ¿cuántas consolas PS4 se vendieron cada hora?1 000 000 : 24 = 41 666,666 Aproximadamente se vendieron 41 667 consolas cada hora.

61 Estos son algunos datos que se publicaron en la prensa sobre un estudio de consumo.

Los españoles aumentan el gasto en las segundas rebajas liberalizadas de inviernoA pesar del aumento del importe destinado a las rebajas, los consumidores han ido reduciendo progresivamente dicha cuantía desde hace 7 años. En concreto, en el año 2007 se gastaban de media 122 euros en enero a diferencia de los 84 euros de este año.Por regiones, los madrileños serán los consumidores que más gasten en las rebajas, con 100 euros de media, seguidos de los valencianos con 92 euros. En el lado opuesto de la tabla se sitúan los canarios donde se prevé un desembolso de 72 euros.

CC.AA 2014 2013 CC.AA 2014 2013

Andalucía 85 80 Extremadura 81 77

Aragón 80 75 Galicia 80 75

Asturias 86 84 Comunidad de Madrid 100 95

Illes Balears 78 75 Región de Murcia 82 77

Canarias 72 72 Navarra 85 80

Cantabria 84 80 País Vasco 88 85

Castilla y León 80 77 La Rioja 86 82

Castilla-La Mancha 79 74 Comunitat Valenciana 92 87

Cataluña 90 85 Fuente: libremercado.com

a) Ordena las comunidades autónomas según el gasto en las rebajas en el año 2014.b) Elabora una tabla con la diferencia de dinero a destinar en las rebajas en los años 2013 y 2014 en cada comunidad

autónoma.c) ¿Cuánto se espera que se gaste una familia madrileña de 4 miembros?a) Comunidad de Madrid (100) > Comunitat Valenciana (92) > Cataluña (90) > País Vasco (88) > Asturias (86) > > La Rioja (86) > Andalucía (85) > Navarra (85) > Cantabria (84) > Región de Murcia (82) > Extremadura (81) > > Aragón (80) > Castilla y León (80) > Galicia (80) > Castilla-La Mancha (79) > Illes Balears (78) > Canarias (72) b) CC.AA 2014 2013 Diferencia CC.AA 2014 2013 Diferencia

Andalucía 85 80 5 Extremadura 81 77 4

Aragón 80 75 5 Galicia 80 75 5

Asturias 86 84 2 Comunidad de Madrid 100 95 5

Illes Balears 78 75 3 Región de Murcia 82 77 5

Canarias 72 72 0 Navarra 85 80 5

Cantabria 84 80 4 País Vasco 88 85 3

Castilla y León 80 77 3 La Rioja 86 82 4

Castilla-La Mancha 79 74 5 Comunitat Valenciana 92 87 5

Cataluña 90 85 5

c) Cada persona gastará, de media, 100 €. Luego, esta familia se espera, que de media, gasten: 4 ⋅ 100 = 400 €

Analiza62 Encuentra y explica los errores de las siguientes informaciones.

❚❚ La población de Villarriba es de 45 670 personas. En la última década ha crecido hasta los 42 791.❚❚ Virginia salió de casa con 25 € y con ese dinero pagó 4 entradas de cine de 9 € cada una.❚❚ No ha crecido la población sino que ha decrecido.❚❚ Pagó 4 ⋅ 9 = 36 €. No tenía suficiente dinero para poder pagar las entradas.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Calcular raíces cuadradas enteras.

❚❚ Realizar operaciones combinadas.

❚❚ Operar con potencias con la misma base.

Actividades finalesSoluciones de las actividades63 Realiza las siguientes operaciones.

a) 409 + 36 + 1 098 c) 50 982 + 189 + 7 392 + 28

b) 1 891 + 19 + 746 + 183 d) 328 + 12 397 + 932 + 189

a) 409 + 36 + 1 098 = 1 543 c) 50 982 + 189 + 7 392 + 28 = 58 591

b) 1 891 + 19 + 746 + 183 = 2 839 d) 328 + 12 397 + 932 + 189 = 13 84664 Resuelve estas restas.

a) 439 − 294 b) 756 − 99 c) 8 950 − 4 378 d) 50 607 − 9 693

a) 145 b) 657 c) 4 572 d) 40 91465 Calcula.

a) 54 891 − 346 + 1 209 c) 12 560 − 3 591 − 942

b) 3 461 + 859 − 1 056 d) 349 − 251 + 1 269 − 79

a) 54 891 − 346 + 1 209 = 55 754 c) 12 560 − 3 591 − 942 = 8 027

b) 3 461 + 859 − 1 056 = 3 264 d) 349 − 251 + 1 269 − 79 = 1 288

¿Qué tienes que saber?

18 19

¿QUÉ1 tienes que saber?Operaciones con números naturales

Realiza las siguientes operaciones.

a) 409 + 36 + 1 098

b) 1 891 + 19 + 746 + 183

c) 50 982 + 189 + 7 392 + 28

d) 328 + 12 397 + 932 + 189

Resuelve estas restas.

a) 439 − 294 c) 8 950 − 4 378

b) 756 − 99 d) 50 607 − 9 693

Calcula.

a) 54 891 − 346 + 1 209

b) 3 461 + 859 − 1 056

c) 12 560 − 3 591 − 942

d) 349 − 251 + 1 269 − 79

Halla el valor de las letras de estas operaciones.

a) 9 6 6 c) 4 D 5 1A A B 5 7 2 1

+ 8 B 1 + D 0 E2 B 9 2 1 0 D 7 4

b) 2 C C 0 d) 8 F 0 F− 1 3 C C − 4 3 F 2

1 1 9 C 4 4 2 6

Copia y completa los huecos con + o − para que las siguientes operaciones sean correctas.

a) 4 035 § 235 § 721 = 3 549

b) 7 264 § 1 435 § 896 = 4 933

c) 157 § 95 § 324 § 109 = 277

d) 4 509 § 105 § 1 325 § 409 = 2 670

Realiza estas multiplicaciones.

a) 403 ⋅ 52 c) 1 003 ⋅ 407

b) 2 590 ⋅ 86 d) 4 032 ⋅ 239

Multiplica.

a) 27 ⋅ 100

b) 382 ⋅ 10 000

c) 6 709 ⋅ 10

d) 5 421 ⋅ 1 000

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 4 508 : 27 c) 47 009 : 379

b) 6 342 : 21 d) 153 306 : 501

Divide.

a) 7 300 : 10 c) 84 000 : 1 000

b) 21 000 : 100 d) 51 000 ⋅ 10

63

64

65

66

67

68

69

70

71

Sin realizar las divisiones, indica si estas son exactas. En caso contrario, calcula el resto.

a) D = 459, d = 18, c = 25

b) D = 1 327, d = 26, c = 51

c) D = 1 426, d = 31, c = 46

d) D = 8 096, d = 59, c = 137

Copia y completa estas operaciones para que sean correctas.

a) 432 − § = 197

b) 459 + 13 + § = 890

c) 18 ⋅ § = 1 728

d) 675 : § = 27

Potencias de números naturales

Expresa en forma de potencia la cantidad de cuadrados y cubos que hay en cada dibujo, respectivamente.

Expresa en forma de potencia y calcula su valor.

a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5c) 12 ⋅ 12

d) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Une en tu cuaderno cada potencia con el producto correspondiente y con su valor.

Potencia Producto Valor

132 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 729

55 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 3 125

36 7 ⋅ 7 ⋅ 7 343

28 13 ⋅ 13 169

73 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 256

Completa en tu cuaderno con el exponente que falta en cada caso.

a) 320 000 000 = 32 ⋅ 10§

b) 456 000 = 456 ⋅ 10§

c) 700 000 000 000 = 7 ⋅ 10§

d) 28 000 000 = 28 ⋅ 10§

72

73

74

75

76

77

Calcula la siguiente raíz cuadrada entera.

135

Calculamos el cuadrado de números naturales cuyo resultado esté cerca del radicando.

102 = 100 112 = 121 122 = 144

100 < 135 121 < 135 144 > 135

135 11≈

Calculamos el resto:

112 = 121 → 135 − 121 = 14

La raíz entera de 135 es 11, y su resto, 14.

Raíces cuadradas enterasTen en cuenta

❚ La raíz cuadrada exacta de un número es otro cuyo cuadrado es igual al número dado.

❚ La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que el número dado.

Opera y expresa el resultado como una sola potencia.

53 ⋅ 55 : 5( )3 : 54

53 ⋅ 55 : 5( )3 : 54 =

55 − 1 = 54

= 53 ⋅ 54( )3 : 54 =

54 ⋅ 3 = 512

= 53 ⋅ 512 : 54 =

53 + 12 = 515

= 515 : 54 =

515 − 4

= 511

Potencias con la misma baseTen en cuenta

❚ Para multiplicar potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

❚ Para dividir potencias con la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.

❚ Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Realiza la siguiente operación combinada.

12 + (15 − 9) ⋅ 22 − 56 : 64

12 + (15 − 9) ⋅ 22 − 56 : 64 =

Paréntesis

= 12 + 6 ⋅ 22 − 56 : 64 =

Potencias y raíces

= 12 + 6 ⋅ 4 − 56 : 8 =

Multiplicaciones y divisiones

= 12 + 24 − 7 =

Sumas y restas

= 29

Operaciones combinadasTen en cuenta

El orden en que se resuelven operaciones combinadas es el siguiente:1 Paréntesis: si hay varios, se

resuelven de dentro hacia fuera.

2 Potencias y raíces.3 Multiplicaciones y divisiones:

si hay varias, se efectúan de izquierda a derecha.

4 Sumas y restas: si hay varias, se realizan de izquierda a derecha.

Actividades Finales 1

19

1Números naturales


66 Halla el valor de las letras de estas operaciones.

a) 9 6 6 c) 4 D 5 1A A B 5 7 2 1

+ 8 B 1 + D 0 E2 B 9 2 1 0 D 7 4

b) 2 C C 0 d) 8 F 0 F− 1 3 C C − 4 3 F 2

1 1 9 C 4 4 2 6

a) 9 6 6 c) 4 3 5 17 7 5 5 7 2 1

+ 8 5 1 + 3 0 22 5 9 2 1 0 3 7 4

b) 2 5 5 0 d) 8 8 0 8− 1 3 5 5 − 4 3 8 2

1 1 9 5 4 4 2 667 Copia y completa los huecos con + o − para que las siguientes operaciones sean correctas.

a) 4 035 § 235 § 721 = 3 549

b) 7 264 § 1 435 § 896 = 4 933

c) 157 § 95 § 324 § 109 = 277

d) 4 509 § 105 § 1 325 § 409 = 2 670

a) 4 035 + 235 − 721 = 3 549

b) 7 264 − 1 435 − 896 = 4 933

c) 157 − 95 + 324 − 109 = 277

d) 4 509 − 105 − 1 325 − 409 = 2 67068 Realiza estas multiplicaciones.

a) 403 ⋅ 52 c) 1 003 ⋅ 407

b) 2 590 ⋅ 86 d) 4 032 ⋅ 239

a) 403 ⋅ 52 = 20 956 c) 1 003 ⋅ 407 = 408 221

b) 2 590 ⋅ 86 = 222 740 d) 4 032 ⋅ 239 = 963 64869 Multiplica.

a) 27 ⋅ 100 b) 382 ⋅ 10 000 c) 6 709 ⋅ 10 d) 5 421 ⋅ 1 000

a) 27 ⋅ 100 = 2 700 c) 6 709 ⋅ 10 = 67 090

b) 382 ⋅ 10 000 = 3 820 000 d) 5 421 ⋅ 1 000 = 5 421 00070 Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 4 508 : 27 c) 47 009 : 379

b) 6 342 : 21 d) 153 306 : 501

a) 4 508 : 27 = 166 Resto: 26 c) 47 009 : 379 = 124 Resto: 13

b) 6 342 : 21 = 302 Resto: 0 d) 153 306 : 501 = 306 Resto: 071 Divide.

a) 7 300 : 10 b) 21 000 : 100 c) 84 000 : 1 000 d) 51 000 ⋅ 10

a) 730 b) 210 c) 84 d) 5 100



72 Sin realizar las divisiones, indica si estas son exactas. En caso contrario, calcula el resto.

a) D = 459, d = 18, c = 25

b) D = 1 327, d = 26, c = 51

c) D = 1 426, d = 31, c = 46

d) D = 8 096, d = 59, c = 137

a) D = 459, d = 18, c = 25 → 25 ⋅ 18 = 450 → r = 9

b) D = 1 327, d = 26, c = 51 → 51 ⋅ 26 = 1 326 → r = 1

c) D = 1 426, d = 31, c = 46 → 46 ⋅ 31 = 1 426 → Es exacta.

d) D = 8 096, d = 59, c = 137 → 137 ⋅ 59 = 8 083 → r = 1373 Copia y completa estas operaciones para que sean correctas.

a) 432 − § = 197 c) 18 ⋅ § = 1 728

b) 459 + 13 + § = 890 d) 675 : § = 27

a) 432 − 235 = 197 c) 18 ⋅ 96 = 1 728

b) 459 + 13 + 418 = 890 d) 675 : 25 = 2774 Expresa en forma de potencia la cantidad de cuadrados y cubos que hay en cada dibujo, respectivamente.

En la primera figura hay 82 = 64 cuadrados y en la segunda, 73 cubos.75 Expresa en forma de potencia y calcula su valor.

a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 c) 12 ⋅ 12

b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 d) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

a) 27 = 128 b) 54 = 625 c) 122 = 144 d) 35 = 24376 Une en tu cuaderno cada potencia con el producto correspondiente y con su valor.

Potencia Producto Valor

132 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 729

55 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 3 125

36 7 ⋅ 7 ⋅ 7 343

28 13 ⋅ 13 169

73 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 256

77 Completa en tu cuaderno con el exponente que falta en cada caso.

a) 320 000 000 = 32 ⋅ 10§ c) 700 000 000 000 = 7 ⋅ 10§

b) 456 000 = 456 ⋅ 10§ d) 28 000 000 = 28 ⋅ 10§

a) 320 000 000 = 32 ⋅ 107 c) 700 000 000 000 = 7 ⋅ 1011

b) 456 000 = 456 ⋅ 103 d) 28 000 000 = 28 ⋅ 106

21

1Números naturales


78 Observa esta imagen y responde.

a) ¿Cuántos cuadrados ves en esta imagen?

b) ¿Cuántos puntos hay en cada cuadrado?

c) ¿Qué relación encuentras entre la cantidad de puntos que hay en un lado del cuadrado y en su interior?

d) Calcula cuántos puntos hay de diferencia entre un cuadrado y el siguiente. ¿Qué observas?

a) Hay cinco cuadrados.

b) En el primer cuadrado hay un punto, en el segundo hay cuatro, en el tercero hay nueve, en el cuarto hay dieciséis, y en el quinto hay veinticinco.

c) El número de puntos en el interior de cada cuadrado es igual al cuadrado del número de puntos que hay en el lado del cuadrado.

d) C2 − C1 = 3 C3 − C2 = 5 C4 − C3 = 7 C5 − C4 = 9

La diferencia va aumentando de dos en dos conforme el cuadrado se hace más grande.79 Completa en tu cuaderno.

a) 172 = 289, entonces 289 = § c) §2 = 2 809, entonces 2 809 = 53

b) 212 = §, entonces 441 = 21 d) 712 = 5 041, entonces § = 71

a) 172 = 289, entonces 289 = 17 c) 532 = 2 809, entonces 2 809 = 53

b) 212 = 441, entonces 441 = 21 d) 712 = 5 041, entonces 5 041 = 71

20


21

Problemas con números naturales

Un camión transporta un depósito con 1 400 L de gasoil para calefacción. Su conductor tiene previsto repostar cinco calderas de 252 L, 192 L, 325 L, 300 L y 89 L, respectivamente. ¿Con cuántos litros termina su ruta?

Un centro de Secundaria tiene la siguiente distribución de grupos y alumnos.

A B C D E

1.º 32 33 31 30 32

2.º 29 28 31 31 —

3.º 26 29 27 27 —

4.º 31 30 33 — —

a) ¿Cuántos alumnos hay en el centro en total?

b) ¿Cuántos alumnos hay en primero más que en segundo?

c) ¿Cuántos alumnos hay en cuarto menos que en tercero?

d) ¿Cuál es el grupo con más alumnos?

e) ¿Y el grupo con menos alumnos?

En un súper tienen estas ofertas.

Unos amigos van a celebrar una fiesta y han comprado los siguientes lotes:

❚ 4 de la oferta A

❚ 7 de la oferta B

❚ 6 de la oferta C

a) ¿Cuántos botes de cada refresco han comprado?

b) ¿Cuántos botes han comprado en total?

c) ¿Cuánto les ha costado todo?

En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 min. ¿Cuántos aviones tomarán tierra en el aeropuerto a lo largo de todo el día?

Calcula cuántos años son 7 665 días. Considera que un año tiene 365 días.

93

94

95

96

97

Una granja tiene 432 gallinas. Esta semana han puesto 3 024 huevos en total.a) Si cada gallina pone al día el mismo número de

huevos, ¿cuántos huevos ha puesto cada una en un día?

b) La granja empaqueta los huevos por docenas. ¿Cuántas docenas ha empaquetado esta semana?

c) ¿Queda algún huevo sin empaquetar?

Una empresa importa 1 420 marcos para fotos. Cada cuadro les cuesta 4 €. Si por el transporte tienen que pagar 220 € y quieren ganar 1 200 € con la venta, ¿a cuánto deben vender cada marco?

En un cine hay 11 salas. Cada sala tiene 11 filas y en cada fila hay 11 butacas. ¿Cuál es el aforo del cine?

En una empresa se embalan canicas en paquetes de 25 unidades. Estos se vuelven a embalar en cajas más grandes que contienen 25 paquetes. Hay que preparar un pedido de 5 cajas grandes de canicas verdes y 7 de canicas amarillas. ¿Cuántas canicas tiene el pedido?

La cocina de Álvaro es cuadrada. Si ha cubierto el suelo con 169 baldosas cuadradas de 30 cm de lado, ¿cuál es el perímetro de la cocina? ¿Y su área?

Ester quiere hacer un collage con pósits cuadrados.

a) Si tiene 120 pósits, ¿cuántos tendrá el mayor cuadrado que puede formar?

b) ¿Sobrará algún pósit? ¿Cuántos?

98

99

100

101

102

103

Raíces cuadradas

Observa esta imagen y responde.

a) ¿Cuántos cuadrados ves en esta imagen?

b) ¿Cuántos puntos hay en cada cuadrado?

c) ¿Qué relación encuentras entre la cantidad de puntos que hay en un lado del cuadrado y en su interior?

d) Calcula cuántos puntos hay de diferencia entre un cuadrado y el siguiente. ¿Qué observas?

Completa en tu cuaderno.

a) 172 = 289, entonces 289 = §

b) 212 = §, entonces 441 = 21

c) §2 = 2 809, entonces 2809 = 53

d) 712 = 5 041, entonces § = 71

Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas.

a) 16 c) 64

b) 144 d) 225

Halla la raíz entera y el resto de estos números.

a) 426 d) 647

b) 850 e) 569

c) 789 f) 927

Operaciones combinadas

Copia y relaciona cada operación con su resultado.

Operaciones Resultados

18 + 6 ⋅ 2 1

18 : 6 − 2 15

18 − 6 ⋅ 2 21

18 − 6 : 2 30

18 + 6 : 2 5

18 : 6 + 2 6

Resuelve estas expresiones sin paréntesis.

a) 3 + 15 − 2 ⋅ 2 + 18 : 2 − 1

b) 21 − 18 : 2 + 4 + 2 ⋅ 3 + 1

c) 19 − 3 ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 − 2 + 5

d) 6 + 24 : 3 − 4 ⋅ 2 − 1

78

79

80

81

82

83

Halla el valor de estas operaciones con paréntesis.a) 3 + 15− 2( ) ⋅2 + 18 : 2−1( )

b) 21−18 : 2 + 4( ) + 2 ⋅ 3 + 1( )

c) 19− 3( ) ⋅2 + 7 ⋅ 3− 2( ) + 5

d) 6 + 24( ) : 3− 4 ⋅ 2−1( )

Calcula.

a) 121 + 24 : 6 + 33 − 5 ⋅ 2

b) 62 : 2 + 64 : 2 + 7

c) 8 + 30 : 25 − 4 ⋅ 2 + 7

d) 12 − 40 : 64 + 2 + 3 ⋅ 5

Efectúa los siguientes cálculos.

a) 31− 21− 3( ) : 9 + 5

b) 8 + 12−7( )2 ⋅ 4−125 : 5

c) +4 3 10 64 82 ( )⋅ − −

d) 23− 22 − 3( ) ⋅13 + 3

Averigua el resultado de estas operaciones.

a) 12− 18− 6 ⋅2( ) + 5− 3( )4

b) 35−12 + 42 −5 ⋅2( ) + 36

c) 169 + 15− 3 ⋅5 + 6( ) ⋅2−1

Calcula.

a) 3 + 4 ⋅ 7−5( )− 3( ) + 23 : 6− 4( )

b) 25 + 14 : 18− 20− 4( )( ) + 5

c) 32− 4 ⋅5 + 3 ⋅2 + 10− 8( ) ⋅2( ) + 7

Operaciones con potencias

Expresa el resultado en forma de potencia.a) 72 ⋅ 75 d) 185 : 65

b) 59 : 53 e) 27 ⋅ 37

c) 62( )6 f) 83( )5

Escribe el resultado como única potencia.

a) 75 ⋅ 76 : 73 d) 212 : 22( )5 ⋅22

b) 54( )3 ⋅5 : 53 e) 47 : 46 ⋅ 4

c) 34( )6 : 32( )5 f) 95 ⋅ 92( )4 : 93

Reduce a una sola potencia.

a) 25 ⋅ 26 : 24( )5 c) 82 ⋅ 83( )5 : 85( )2

b) 32( )3 ⋅ 36 : 33( )2 d) 67 : 66 : 65( )2

Expresa el resultado como una sola potencia.

a) 123 : 63( )2 ⋅ 207 :107( )3

b) 185 : 95 ⋅35( )2 ⋅ 62( )4

84

85

86

87

88

89

90

91

92

Actividades Finales 1



80 Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas.

a) 16 b) 144 c) 64 d) 225

a) 16 = 4 b) 144 = 12 c) 64 = 8 d) 225 = 1581 Halla la raíz entera y el resto de estos números.

a) 426 c) 789 e) 569b) 850 d) 647 f) 927a) Raíz: 20 Resto: 26b) Raíz: 29 Resto: 9c) Raíz: 28 Resto: 5d) Raíz: 25 Resto: 22e) Raíz: 23 Resto: 40f) Raíz: 30 Resto: 27

82 Copia y relaciona cada operación con su resultado.

Operaciones Resultados

18 + 6 ⋅ 2 1

18 : 6 − 2 15

18 − 6 ⋅ 2 21

18 − 6 : 2 30

18 + 6 : 2 5

18 : 6 + 2 6

83 Resuelve estas expresiones sin paréntesis.

a) 3 + 15 − 2 ⋅ 2 + 18 : 2 − 1 c) 19 − 3 ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 − 2 + 5b) 21 − 18 : 2 + 4 + 2 ⋅ 3 + 1 d) 6 + 24 : 3 − 4 ⋅ 2 − 1a) 3 + 15 − 4 + 9 − 1 = 22 c) 19 − 6 + 21 − 2 + 5 = 37b) 21 − 9 + 4 + 6 + 1 = 23 d) 6 + 8 − 8 − 1 = 5

84 Halla el valor de estas operaciones con paréntesis.

a) 3 + (15 − 2) ⋅ 2 + 18 : (2 − 1) c) (19 − 3) ⋅ 2 + 7 ⋅ (3 − 2) + 5b) 21 − 18 : (2 + 4) + 2 ⋅ (3 + 1) d) (6 + 24) : 3 − 4 ⋅ (2 − 1)a) 3 + 13 ⋅ 2 + 18 : 1 = 3 + 26 + 18 = 47 c) 16 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 + 5 = 32 + 7 + 5 = 44b) 21 − 18 : 6 + 2 ⋅ 4 = 21 − 3 + 8 = 26 d) 30 : 3 − 4 ⋅ 1 = 10 − 4 = 6

85 Calcula.

a) 121 + 24 : 6 + 33 − 5 ⋅ 2 c) 8 + 30 : 25 − 4 ⋅ 2 + 7

b) 62 : 2 + 64 : 2 + 7 d) 12 − 40 : 64 + 2 + 3 ⋅ 5

a) 11 + 4 + 27 − 10 = 32 c) 8 + 30 : 5 − 8 + 7 = 8 + 6 − 8 + 7 = 13b) 36 : 2 + 8 : 2 + 7 = 18 + 4 + 7 = 29 d) 12 − 40 : 8 + 2 + 15 = 12 − 5 + 2 + 15 = 24

86 Efectúa los siguientes cálculos.

a) 31 − (21 − 3) : 9 + 5

b) 8 + (12 − 7)2 ⋅ 4 − 125 : 5

c) 4 + 32 ⋅ 10− 64( )− 8

d) 23 − (22 − 3) ⋅ 13 + 3a) 31 − 18 : 3 + 5 = 31 − 6 + 5 = 30b) 8 + 52 ⋅ 4 − 25 = 8 + 25 ⋅ 4 − 25 = 8 + 100 − 25 = 83c) 4 + 9 ⋅ (10 − 8) − 8 = 4 + 9 ⋅ 2 − 8 = 4 + 18 − 8 = 14d) 23 − (4 − 3) ⋅ 13 + 3 = 23 − 1 ⋅ 13 + 3 = 23 − 13 + 3 = 13

23

1Números naturales


87 Averigua el resultado de estas operaciones.

a) 12 − (18 − 6 ⋅ 2) + (5 − 3)4

b) 35 − 12 + (42 − 5 ⋅ 2) + 36

c) 169 + (15 − 3 ⋅ 5 + 6) ⋅ 2 − 1

a) 12 − (18 − 12) + 24 = 12 − 6 + 16 = 22

b) 35 − 12 + (16 − 10) + 6 = 35 − 12 + 6 + 6 = 35

c) 13 + (15 − 15 + 6) ⋅ 2 − 1 = 13 + 6 ⋅ 2 − 1 = 13 + 12 − 1 = 2488 Calcula.

a) 3 + (4 ⋅ (7 − 5) − 3) + 23 : (6 − 4)

b) 25 + 14 : (18 − (20 − 4)) + 5

c) 32 − 4 ⋅ 5 + (3 ⋅ 2 + (10 − 8) ⋅ 2) + 7

a) 3 + (4 ⋅ 2 − 3) + 8 : 2 = 3 + (8 − 3) + 4 = 3 + 5 + 4 = 12

b) 5 + 14 : (18 − 16) + 5 = 5 + 14 : 2 + 5 = 5 + 7 + 5 = 17

c) 32 − 20 + (6 + 2 ⋅ 2) + 7 = 32 − 20 + (6 + 4) + 7 = 32 − 20 + 10 + 7 = 2989 Expresa el resultado en forma de potencia.

a) 72 ⋅ 75 c) (62)6 e) 27 ⋅ 37

b) 59 : 53 d) 185 : 65 f) (83)5

a) 72 ⋅ 75 = 77 c) (62)6 = 612 e) 27 ⋅ 37 = 67

b) 59 : 53 = 56 d) 185 : 65 = 35 f) (83)5 = 815

90 Escribe el resultado como única potencia.

a) 75 ⋅ 76 : 73 c) (34)6 : (32)5 e) 47 : 46 ⋅ 4

b) (54)3 ⋅ 5 : 53 d) 212 : (22)5 ⋅ 22 f) 95 ⋅ (92)4 : 93

a) 711 : 73 = 78

b) 512 ⋅ 5 : 53 = 513 : 53 = 510

c) 324 : 310 = 314

d) 212 : 210 ⋅ 22 = 22 ⋅ 22 = 24

e) 41 ⋅ 4 = 42

f) 95 ⋅ 98 : 93 = 913 : 93 = 910


a) 25 ⋅ (26 : 24)5 c) 82 ⋅ ((83)5 : 85)2

b) (32)3 ⋅ (36 : 33)2 d) 67 : (66 : 65)2

a) 25 ⋅ (22)5 = 25 ⋅ 210 = 215 c) 82 ⋅ (815 : 85)2 = 82 ⋅ (810)2 = 82 ⋅ 820 = 822

b) 36 ⋅ (33)2 = 36 ⋅ 36 = 312 d) 67 : 62 = 65

92 Expresa el resultado como una sola potencia.

a) (123 : 63)2 ⋅ (207 : 107)3

b) (185 : 95 ⋅ 35)2 ⋅ (62)4

a) (123 : 63)2 ⋅ (207 : 107)3 = (23)2 ⋅ (27)3 = 26 ⋅ 221 = 227

b) (185 : 95 ⋅ 35)2 ⋅ (62)4 = (65)2 ⋅ 68 = 610 ⋅ 68 = 618

93 Un camión transporta un depósito con 1 400 L de gasoil para calefacción. Su conductor tiene previsto repostar cinco calderas de 252 L, 192 L, 325 L, 300 L y 89 L, respectivamente. ¿Con cuántos litros termina su ruta?

1 400 − 252 − 192 − 325 − 300 − 89 = 242

Acaba con 242 L.



94 Un centro de Secundaria tiene la siguiente distribución de grupos y alumnos.

A B C D E

1.º 32 33 31 30 32

2.º 29 28 31 31

3.º 26 29 27 27

4.º 31 30 33

a) ¿Cuántos alumnos hay en el centro en total?

b) ¿Cuántos alumnos hay en primero más que en segundo?

c) ¿Cuántos alumnos hay en cuarto menos que en tercero?

d) ¿Cuál es el grupo con más alumnos?

e) ¿Y el grupo con menos alumnos?

a) (32 + 33 + 31 + 30 + 32) + (29 + 28 + 31 + 31) + (26 + 29 + 27 + 27) + (31 + 30 + 33) = 158 + 119 + 109 + 94 = 480

b) (32 + 33 + 31 + 30 + 32) − (29 + 28 + 31 + 31) = 158 − 119 = 39

c) (26 + 29 + 27 + 27) − (31 + 30 + 33) = 15

d) Los grupos con más alumnos son 1.º B y 4.º C.

e) El grupo con menos alumnos es 3.º A.95 En un súper tienen estas ofertas.

Unos amigos van a celebrar una fiesta y han comprado los siguientes lotes.

❚❚ 4 de la oferta A

❚❚ 7 de la oferta B

❚❚ 6 de la oferta C

a) ¿Cuántos botes de cada refresco han comprado?

b) ¿Cuántos botes han comprado en total?

c) ¿Cuánto les ha costado todo?

a) Cola: 4 ⋅ 4 + 7 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 = 16 + 14 + 18 = 48

Naranja: 4 ⋅ 1 + 7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 = 4 + 35 + 12 = 51

Limón: 4 ⋅ 1 + 7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 3 = 4 + 35 + 18 = 57

b) 48 + 51 + 57 = 156

Han comprado 156 botes.

c) 4 ⋅ 2 + 7 ⋅ 4 + 6 ⋅ 3 = 8 + 28 + 18 = 54

Les ha costado 54 €.96 En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 min. ¿Cuántos aviones tomarán tierra en el aeropuerto a lo largo de todo el

día?

60 : 10 = 6 Aterrizarán 6 aviones cada hora.

24 ⋅ 6 = 144 Aterrizarán 144 aviones a lo largo de todo el día.97 Calcula cuántos años son 7 665 días. Considera que un año tiene 365 días.

7 665 : 365 = 21 años

25

1Números naturales


98 Una granja tiene 432 gallinas. Esta semana han puesto 3 024 huevos en total.

a) Si cada gallina pone al día el mismo número de huevos, ¿cuántos huevos ha puesto cada una en un día?

b) La granja empaqueta los huevos por docenas. ¿Cuántas docenas ha empaquetado esta semana?

c) ¿Queda algún huevo sin empaquetar?

a) 3 024 : 432 = 7

Como cada gallina ha puesto 7 huevos en una semana, cada gallina ha puesto un huevo cada día.

b) 3 024 : 12 = 252

Ha empaquetado 252 docenas.

c) No queda ningún huevo por empaquetar ya que el resto de la división anterior es cero.99 Una empresa importa 1 420 marcos para fotos. Cada cuadro les cuesta 4 €. Si por el transporte tienen que pagar 220 €

y quieren ganar 1 200 € con la venta, ¿a cuánto deben vender cada marco?

1 420 ⋅ 4 = 5 680

Gastarán en marcos 5 680 €.

5 680 + 220 = 5 900

Gastarán en marcos y transporte 5 900 €.

5 900 + 1 200 = 7 100

Quieren obtener con la venta 7 100 €.

7 100 : 1 420 = 5

Deben vender cada marco a 5 €.100 En un cine hay 11 salas. Cada sala tiene 11 filas y en cada fila hay 11 butacas. ¿Cuál es el aforo del cine?

113 = 1 331

El aforo del cine es de 1 331 personas.101 En una empresa se embalan canicas en paquetes de 25 unidades. Estos se vuelven a embalar en cajas más grandes que

contienen 25 paquetes. Hay que preparar un pedido de 5 cajas grandes de canicas verdes y 7 de canicas amarillas. ¿Cuán-tas canicas tiene el pedido?

5 ⋅ 252 + 7 ⋅ 252 = 3125 + 4375 = 7 500

El pedido tiene 7 500 canicas.102 La cocina de Álvaro es cuadrada. Si ha cubierto el suelo con 169 baldosas cuadradas de 30 cm de lado, ¿cuál es el perí-

metro de la cocina? ¿Y su área?

169 = 13 → Hay 13 baldosas en cada lado.

13 ⋅ 30 = 390 → El lado de la cocina mide 390 cm.

390 ⋅ 4 = 1 560 → El perímetro de la cocina es de 1 560 cm

3902 = 152 100 → El área mide 152 100 cm2.103 Ester quiere hacer un collage con pósits cuadrados.

a) Si tiene 120 pósits, ¿cuántos tendrá el mayor cuadrado que puede formar?

b) ¿Sobrará algún pósit? ¿Cuántos?

a) 120 = 10 Resto: 20

102 = 100

El mayor cuadrado tendrá 100 pósits.

b) Sobrarán 20 pósits.



Matemáticas vivas

Población españolaSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, la población española, en la que intervienen los números naturales.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Piensa y razona, Comunica, Resuelve, Utiliza el lenguaje matemático o Argumenta.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos buscarán en Internet qué población tienen los países de la Unión Europea y realizarán un mapa con esos datos. Además, ordenarán los datos obtenidos en una tabla.

Soluciones de las actividades

El siguiente mapa muestra el número de habitantes de las distintas comunidades autónomas españolas en el año 2012.

1 MATEMÁTICAS VIVAS 1Población española

22 23

La densidad de población de un lugar es el cociente entre el número de habitantes y el número de kilómetros cuadrados de su superficie. Por ejemplo, la población de Aragón es de 1 349 467 habitantes y tiene una superficie de 47 719 km2. Luego su densidad de población es:

1 349 467 47 719

395 087 28

13 335

Esto significa que hay, aproximadamente, 28 habitantes por cada km2.

Esta es la superficie en kilómetros cuadrados de varias comunidades autónomas.

C. de Madrid Andalucía Extremadura Cantabria Cataluña Canarias Navarra

8 028 87 599 41 634 5 321 32 113 7 447 10 391

Ordénalas según su densidad de población en el 2012.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

En la siguiente lista se recoge el número de habitantes de las 10 ciudades más pobladas de España y en el mapa se muestra la densidad de población de todas las provincias españolas.

Ciudad N.º habitantes

Madrid 3 265 038

Barcelona 1 615 448

Valencia 798 033

Sevilla 703 021

Zaragoza 674 725

Málaga 568 030

Murcia 442 203

Palma de Mallorca

405 318

Las Palmas de Gran Canaria

383 343

Bilbao 352 700

Localiza estas ciudades en el mapa y explica si existe alguna relación entre su número de habitantes y la densidad de la provincia a la que pertenece.

4

5

REFLEXIONA

ARGUMENTA

El siguiente mapa muestra el número de habitantes de las distintas comunidades autónomas españolas en el año 2012.

RELACIONA

Localiza tu comunidad autónoma en el mapa.

a. ¿Cuál es su población?

b. ¿Cuántos habitantes tiene la comunidad con mayor número de habitantes? ¿Cuántos habitantes menos tiene tu comunidad?

c. ¿Cuántos habitantes tiene la comunidad con menor número de habitantes? ¿Cuántos habitantes más tiene tu comunidad?

COMUNICA

Fíjate en un mapa de la península ibérica.

a. ¿Cuántos habitantes viven en comunidades autónomas que no tienen costa?

b. ¿Cuántos habitantes hay en comunidades autónomas bañadas por el mar Mediterráneo? ¿Y por el Cantábrico?

c. ¿Cuántos habitantes había en España en el año 2012?

RESUELVE

2

3

COMPRENDE

Observa el mapa anterior.

a. ¿Cuál es el número de habitantes de Castilla- La Mancha?

b. ¿Cuál es la comunidad autónoma más poblada?

c. ¿Qué comunidades tienen más de 3 millones de habitantes?

ARGUMENTA

d. ¿Y cuáles menos de un millón de habitantes?

e. ¿Consideras que la superficie de cada comunidad tiene relación con su número de habitantes? Razona tu respuesta.

PIENSA Y RAZONA

1


TRABAJO

COOPERATIVO

27

1Números naturales


Comprende1 Observa el mapa anterior.

a) ¿Cuál es el número de habitantes de Castilla-La Mancha?

b) ¿Cuál es la comunidad autónoma más poblada?

c) ¿Qué comunidades tienen más de 3 millones de habitantes?

d) ¿Y cuáles menos de un millón de habitantes?

e) ¿Consideras que la superficie de cada comunidad tiene relación con su número de habitantes? Razona tu respuesta.

a) El número de habitantes de Castilla-La Mancha es de 2 121 888.

b) Andalucía es la comunidad autónoma más poblada.

c) Galicia, Cataluña, Madrid, C. Valenciana y Andalucía.

d) Cantabria, Navarra, La Rioja, y las ciudades autónomas Ceuta y Melilla.

e) No existe relación.

Relaciona2 Localiza tu comunidad autónoma en el mapa.

a) ¿Cuál es su población?

b) ¿Cuántos habitantes tiene la comunidad con mayor número de habitantes? ¿Cuántos habitantes menos tiene tu co-munidad?

c) ¿Cuántos habitantes tiene la comunidad con menor número de habitantes? ¿Cuántos habitantes más tiene tu comu-nidad?

a) Respuesta abierta.

b) La comunidad con mayor número de habitantes es Andalucía y tiene 8 449 985 habitantes.

Para saber cuántos habitantes menos tiene nuestra comunidad, hay que restar 8 449 985 menos el número de habi-tantes de tu comunidad.

c) La comunidad con menor número de habitantes es Melilla (Ciudad autónoma), y tiene 80 802.

Para saber cuántos habitantes más tiene nuestra comunidad, hay que restar el número de habitantes de nuestra co-munidad menos 80 802.

3 Fíjate en un mapa de la península ibérica.

a) ¿Cuántos habitantes viven en comunidades autónomas que no tienen costa?

b) ¿Cuántos habitantes hay en comunidades autónomas bañadas por el mar Mediterráneo? ¿Y por el Cantábrico?

c) ¿Cuántos habitantes había en España en el año 2012?

a) 2 546 078 + 323 609 + 644 566 + 1 349 467 + 6 498 560 + 2 121 888 + 1 108 130 = 14 592 298

b) Bañadas por el mar Mediterráneo:

84 018 + 80 802 + 8 449 985 + 1 474 449 + 5 129 266 + 1 119 439 + 7 570 908 = 23 908 867

Bañadas por el mar Cantábrico:

2 781 498 + 1 077 360 + 593 861 + 2 193 093 = 6 645 812

c) 14 592 298 + 23 908 867 + 6 645 812 + 2 118 344 = 47 265 321

Reflexiona4 La densidad de población de un lugar es el cociente entre el número de habitantes y el número de kilómetros cuadrados

de su superficie. Por ejemplo, la población de Aragón es de 1 349 467 habitantes y tiene una superficie de 47 719 km2. Luego su densidad de población es:

Esto significa que hay, aproximadamente, 28 habitantes por cada km2.


C. de Madrid Andalucía Extremadura Cantabria Cataluña Canarias Navarra

8 028 87 599 41 634 5 321 32 113 7 447 10 391

1 349 467 47 719

1 395 087 28

1 313 335



Ordénalas según su densidad de población en el 2012.

❚❚ C. de Madrid: 6 498 560 : 8 028 Cociente: 809 Resto: 3 908

❚❚ Andalucía: 8 449 985 : 84 599 Cociente: 99 Resto: 74 684

❚❚ Extremadura: 1 108 130 : 41 634 Cociente: 26 Resto: 25 646

❚❚ Cantabria: 593 861 : 5 321 Cociente: 111 Resto: 3 230

❚❚ Cataluña: 7 570 908 : 32 113 Cociente: 235 Resto: 24 353

❚❚ Canarias: 2 118 344 : 7 447 Cociente: 284 Resto: 3 396

❚❚ Navarra: 644 566 : 10 391 Cociente: 62 Resto: 324

C. de Madrid > Canarias > Cataluña > Cantabria > Andalucía > Navarra > Extremadura5 En la siguiente lista se recoge el número de habitantes de las 10 ciudades más pobladas de España y en el mapa se mues-

tra la densidad de población de todas las provincias españolas.

Ciudad N.º habitantes

Madrid 3 265 038

Barcelona 1 615 448

Valencia 798 033

Sevilla 703 021

Zaragoza 674 725

Málaga 568 030

Murcia 442 203

Palma de Mallorca 405 318

Las Palmas de Gran Canaria 383 343

Bilbao 352 700

Localiza estas ciudades en el mapa y explica si existe alguna relación entre su número de habitantes y la densidad de la provincia a la que pertenece.

Salvo Zaragoza, todos se encuentran en provincias con una alta densidad.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

29

1Números naturales


24


AVANZA

CÁLCULO MENTAL Estrategias para la SUMA

❚ Descomposición

• Una estrategia es descomponer los números fijándonos en la decena más cercana. Sumamos primero las decenas y después las unidades.

32 + 17

30 + 2 + 10 + 7

40 + 9

49

CM1. Utiliza esta técnica para escribir el resultado de las siguientes sumas.a) 53 + 68 e) 57 + 69b) 39 + 71 f) 43 + 71c) 32 + 13 g) 48 + 31d) 74 + 89 h) 91 + 16

• Otra forma de transformar la suma es completar una decena con unidades del otro número.

18 + 16

18 + 2 + 14

20 + 14

34

CM2. Utiliza esta técnica para escribir el resultado de las siguientes sumas.a) 47 + 35 e) 85 + 69b) 29 + 45 f) 58 + 61c) 32 + 56 g) 74 + 31d) 71 + 89 h) 27 + 19

Raíz cuadrada entera

Observa cómo se calcula la raíz cuadrada de 763.

A1. Calcula las raíces cuadradas enteras de los siguientes números.a) 367 b) 478 c) 500 d) 979 e) 1 579 f) 2 461 g) 5 683 h) 9 503

Se baja el doble de la raíz.

Se busca un número de forma que 4 § ⋅ § sea lo más cercano a 363.... ; 47 ⋅ 7 = 329; 48 ⋅ 8 = 384; ...

La raíz cuadrada entera de 763 es 27 y el resto es 34.

763 = 27, resto = 34 → 272 + 34 = 763

Se resta.

Se sube el 7.

Se calcula la raíz entera del primer grupo.

Se resta y se baja el siguiente grupo.

7 6 3 2743 6 3 27 × 7 = 329

− 3 2 90 3 4

7 6 3 2− 4

3 6 3

7 6 3 7 6 3 2

7 6 3 2 743 6 3 4 7 × 7 = 329

− 3 2 90 3 4

7 6 3 2− 4

3 6 3 4 7 × 7 = 329

7 6 3 2− 4

3 6 3 4

Se agrupan las cifras de dos en dos empezando

por la derecha.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el cálculo de las raíces cuadradas enteras de números naturales para completar lo aprendido en la unidad.

Este concepto será ampliado en cursos superiores.


A1. Calcula las raíces cuadradas enteras de los siguientes números.

a) 367 c) 500 e) 1 579 g) 5 683

b) 478 d) 979 f) 2 461 h) 9 503

a) Raíz: 19 Resto: 6 c) Raíz: 22 Resto: 16 e) Raíz: 39 Resto: 58 g) Raíz: 75 Resto: 58

b) Raíz: 21 Resto: 37 d) Raíz: 31 Resto: 18 f) Raíz: 49 Resto: 60 h) Raíz: 97 Resto: 94

Cálculo mental. Estrategias para la sumaSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabajan dos estrategias de cálculo mental para realizar sumas con números naturales, basadas en los razonamientos ¿Cómo puedo descomponer estos números en decenas y unidades? y ¿Cuánto le falta a este nú-mero para obtener una decena completa?


CM1. Utiliza esta técnica para escribir el resultado de las siguientes sumas.

a) 53 + 68 c) 32 + 13 e) 57 + 69 g) 48 + 31

b) 39 + 71 d) 74 + 89 f) 43 + 71 h) 91 + 16

a) 53 + 68 = 121 c) 32 + 13 = 45 e) 57 + 69 = 126 g) 48 + 31 = 79

b) 39 + 71 = 110 d) 74 + 89 = 163 f) 43 + 71 = 114 h) 91 + 16 = 107

CM2. Utiliza esta técnica para escribir el resultado de las siguientes sumas.

a) 47 + 35 c) 32 + 56 e) 85 + 69 g) 74 + 31

b) 29 + 45 d) 71 + 89 f) 58 + 61 h) 27 + 19

a) 47 + 35 = 82 c) 32 + 56 = 88 e) 85 + 69 = 154 g) 74 + 31 = 105

b) 29 + 45 = 74 d) 71 + 89 = 160 f) 58 + 61 = 119 h) 27 + 19 = 46

Avanza. Raíz cuadrada entera



1. Realiza las siguientes operaciones con números naturales.

a) 456 + 74 901 + 1 097 c) 91 904 − 7 837

b) 40 936 ⋅ 571 d) 15 073 : 12

2. Expresa en forma de potencia y calcula su valor.

a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 = 125 b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 = 16

3. Expresa el resultado en forma de potencia.

a) 74 ⋅ 75 : 72 b) 54 : 5( )2 ⋅53

a) 79 : 72 = 77 b) 54( )2 ⋅53 = 58 ⋅53 = 511

4. Realiza las siguientes operaciones respetando la jerarquía de las operaciones.

a) 12 − 5 ⋅ 2 + 3 b) 4 + (5 − 3) ⋅ 7 − 2 ⋅ 5

a) 12 − 10 + 3 = b) 4 + 2 ⋅ 7 − 2 ⋅ 5 =

= 2 + 3 = = 4 + 14 − 10 =

= 5 = 18 − 10 = 8

5. En una granja hay 42 gallinas y 37 conejos. ¿Cuántas patas de animales hay en total?

Patas de gallinas:

42 ⋅ 2 = 84

Patas de conejos:

37 ⋅ 4 = 148

En total hay:

148 + 84 = 232 patas

a) 456

74 901

+ 1 097

76 454

c) 91 904

− 7 837

84 067

b) 40 936

× 571

40936

2865526

+ 20468066

23374456

d) 15 073 12

30 1 256

367

3073

3001

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

31

1Números naturales


1. Completa los datos que faltan en las siguientes operaciones.

a) 4 209 + ________ = 7 770 c) ________ − 3 471 = 5 585

b) 325 ⋅ ________ = 6 825 d) 837 : ________ = 31

a) 4 209 + 3 561 = 7 770 c) 9 056 − 3 471 = 5 585

b) 325 ⋅ 21 = 6 825 d) 837 : 27 = 31

2. Expresa el resultado en forma de potencia.

a) 75 : 7( )2 ⋅7 b) 24 ⋅34( ) : 6 ⋅ 63( )2

a) 75( )2 ⋅7 = 710 ⋅7 = 711 b) 64 : 6 ⋅ 66 = 63 ⋅ 66 = 69

3. La raíz entera de un número es 13 y su resto es 9. ¿Cuál es el número?

132 = 169

169 + 9 = 178

El número es 178.

4. Realiza las siguientes operaciones respetando la jerarquía de las operaciones.

a) 18 − (5 − 3) ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 b) 14 + (15 − 3 ⋅ 4) ⋅ 2 − 4 ⋅ 2

a) 18 − 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = b) 14 + (15 − 12) ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 =

= 18 − 8 + 15 = = 14 + 3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 =

= 10 + 15 = = 14 + 6 − 8 =

= 25 = 20 − 8 = 12

5. La suma de dos números pares consecutivos es 250. ¿Cuáles son estos números?

Un número suma la mitad del total más 1, y el otro número suma la mitad del total menos 1.

250 : 2 = 125 125 + 1 = 126 125 − 1 = 124

Los números son 124 y 126.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

nÚmeros naturales...realizar operaciones combinadas con números naturales. operar con potencias de...

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