tema 2. potencias y raíces de números naturales

Tema 1: Potencias y raíces de números naturales.

Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 21

ÍNDICE

1. POTENCIAS 3

1.1. Definición .................................................................................................................................................... 3

1.2. Potencias de base 10 ............................................................................................................................... 3

1.3. Descomposición polinómica de un número natural .......................................................................... 3

1.4. Cuadrados perfectos .............................................................................................................................. 4

1.4.1. Definición ...................................................................................................................................................... 4

1.4.2. Aplicaciones ................................................................................................................................................. 4

1.5. Cubos perfectos ....................................................................................................................................... 4

1.5.1. Definición ...................................................................................................................................................... 4

1.5.2. Aplicaciones ................................................................................................................................................. 4

1.6. Signo de las potencias ............................................................................................................................ 4

1.6.1. Tabla-Resumen ............................................................................................................................................ 5

1.7. Propiedades ............................................................................................................................................... 5

1.8. Operaciones con potencias.................................................................................................................... 7

1.8.1. Suma y Resta ............................................................................................................................................... 7

1.8.2. Multiplicación .............................................................................................................................................. 7

1.8.3. División ......................................................................................................................................................... 8

1.8.4. Potencia ........................................................................................................................................................ 8

2. RAÍCES 8

2.1. Definición ................................................................................................................................................... 8

2.2. Tipos de raíces exactas ........................................................................................................................ 8

2.3. Tipos de raíces enteras ......................................................................................................................... 9

2.4. Soluciones según el índice de la raíz y el radicando ................................................................... 10

2.4.1. Tabla-Resumen .......................................................................................................................................... 11

2.5. Cálculo de la raíz cuadrada entera.................................................................................................... 11

2.5.1. Cálculo de forma aproximada ................................................................................................................. 11

2.5.2. Cálculo con el algoritmo .......................................................................................................................... 12

2.6. Operaciones con raíces cuadradas exactas .................................................................................. 16

2.6.1. Suma y Resta ............................................................................................................................................. 16

2.6.2. Multiplicación ............................................................................................................................................ 17

2.6.3. División ....................................................................................................................................................... 17

2.6.4. Potencia de una raíz ................................................................................................................................ 17



2.7. La raíz como potencia .......................................................................................................................... 17

3. POTENCIAS Y RAÍCES 18

3.1. Recordar ................................................................................................................................................... 18

4. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES 18

4.1. Introducción ............................................................................................................................................ 18

4.2. Reglas ........................................................................................................................................................ 18

4.3. Tipos de operaciones combinadas .................................................................................................... 18

5. EJERCICIOS 19



1. POTENCIAS

1.1. Definición

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores

iguales, es decir, una multiplicación de factores iguales. Esto es, es una multiplicación en la que el mismo

número se multiplica varias veces.

La expresión de una potencia es la base elevada a un exponente.

an = a · a · a · a ... = n-veces “a”

Base → an ← exponente

Donde:

a es la base de una potencia que es el número que multiplicamos por sí mismo. Por tanto, la base

es el número que se repite.

n el exponente de una potencia que indica el número de veces que multiplicamos la base. Por

tanto, el exponente indica el número de veces que se repite la base.

Así pues, una potencia está formada por una base y un exponente.

Para resolver una potencia se multiplica la base tantas veces como indica el exponente.

En la calculadora científica, se usa la tecla xy .

Ejemplo:

5 · 5 · 5 · 5 = 54

La base de esta potencia es 5 y el exponente es 4.

Se lee “5 elevado a 4” o “5 elevado a la cuarta”.

1.2. Potencias de base 10

El cálculo de las potencias de base 10 resulta sencillo, pues el número de ceros coincide con el exponente de la potencia.

Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de

tantos ceros como indica el exponente.

Ejemplo:

107 = 10.000.000

Son 7 ceros como indica el exponente de la potencia.

1.3. Descomposición polinómica de un número natural

Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.

Ejemplo 1: El número 3.658 podemos descomponerlo del siguiente modo:

3.658 = 3.000 + 600 + 50 + 8 = 3 · 103 + 6 · 102 + 5 · 101 + 8

Ejemplo 2: El número 108.047 podemos descomponerlo del siguiente modo:

108.047 = 100.000 + 8.000 + 40 + 7 = 1 · 105 + 0 · 104 + 8 · 103 + 0 · 102 + 4 · 101 + 7



1.4. Cuadrados perfectos

1.4.1. Definición

Los cuadrados perfectos son los valores de las potencias de exponente dos.

Ejemplo: 64 es un cuadrado perfecto, porque es el valor de la potencia 82 = 8 · 8

Ejemplo: Los cuadrados perfectos menores de 100 son:

Cuadrados

perfectos:

1

4

9

16

25

36

49

64

81

Potencias: 12 22 32 42 52 62 72 82 92

1.4.2. Aplicaciones

La aplicación de los cuadrados perfectos es la resolución de raíces cuadradas exactas.

1.5. Cubos perfectos

1.5.1. Definición

Los cubos perfectos son los valores de las potencias de exponente tres.

Ejemplo: 8 es un cubo perfecto, porque es el valor de la potencia 23 = 2 · 2 · 2

Ejemplo: Los cubos perfectos menores de 200 son:

Cubos

perfectos:

1

8

27

64

125

Potencias: 13 23 33 43 53

1.5.2. Aplicaciones

La aplicación de los cubos perfectos es la resolución de raíces cúbicas exactas.

1.6. Signo de las potencias

a) Base positiva:

1) Exponente par: el valor de la potencia es siempre positivo.

Signo positivo:

Ejemplos:

42222

16222224

2) Exponente impar: el valor de la potencia es siempre positivo.

Signo positivo:

Ejemplos:

822223

322222225



1.6.1. Tabla-Resumen

Base Exponente Resultado de la potencia

+ Par

+ Impar

1.7. Propiedades

1) Potencias de base uno: siempre valen la unidad.

11 n

Ejemplos:

1150

11473

2) Potencias de base cero: siempre valen cero.

00 n con 0n

Ejemplos:

00100

00435

3) Potencias de exponente cero: siempre valen la unidad.

10 a con 0a

Ejemplos:

1340

170

4) Potencias de exponente uno: siempre valen la base.

aa 1

Ejemplos:

34341

771

5) Producto de potencias con la misma base: se deja la misma base y se suman los exponentes.

nmnm aaa

Comprobación:

33 · 35 = 38

27 · 243 = 6.561

(3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

27 · 243 = 6.561

Ejemplos:

16511511 7777

13104350435 2222222

14110031003 444444



6) Cociente de potencias con la misma base: se deja la misma base y se restan los exponentes.

nmnm

n

m

aaaa

a :

Comprobación:

35 : 33 = 32

243 : 27 = 9

(3 · 3 · 3 · 3 · 3) : (3 · 3 · 3) = 3 · 3

243 : 27 = 9

Ejemplos:

5555:55

5 12323

2

3

8614614

6

14

888:88

8

7) Producto de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y

cuya base es el producto de las bases.

nnn baba

Comprobación:

103 · 53 = 503

1.000 · 125 = 125.000

(10 · 10 · 10) · ( 5 · 5 · 5) = 50 · 50 · 50

1.000 · 125 = 125.000

Ejemplos:

3333 84242

555555 881142111421

8) Cociente de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y

cuya base es el cociente de las bases.

n

n

nnnn

b

a

b

ababa

::

Comprobación:

103 : 53 = 23

1.000 : 125 = 8

(10 · 10 · 10) : ( 5 · 5 · 5) = 2 · 2 · 2

1.000 : 125 = 8

Ejemplos:

33333

3

3

3

35:155:1535

15

5

15

55555

5

5

5

42:82:842

8

2

8



9) Potencia de una potencia: se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

nmnm aa

Ejemplos:

62323 555

50510510 444

10) Potencia de un producto: es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha

potencia.

nnnbaba

Ejemplos:

7773232

444117117

11) Potencia de un cociente: es igual al cociente de cada uno de los factores elevado a dicha

potencia.

n

nn

nnn

b

a

b

ababa

::

Ejemplos:

555

5

55

3:23:23

2

3

2

444

4

44

11:711:711

7

11

7

1.8. Operaciones con potencias

1.8.1. Suma y Resta

Para poder sumar y restar con números expresados como potencias, deben estar

multiplicados por la misma potencia.

Para potencias de base 10, si no es así, debemos hacer que tengan la potencia de 10 el mismo

exponente. Se usan en la notación científica.

Ejemplos:

3 · 105 + 8 · 105 = (3 + 5) · 105 = 11 · 105

2 · 106 – 7 · 105 = 20 · 105 – 7 · 105 = (20 – 7) · 105 = 13 · 105

1.8.2. Multiplicación

Para poder multiplicar con números expresados como potencias, se aplican las propiedades:

a) Producto de potencias con la misma base.

b) Producto de potencias con el mismo exponente.



1.8.3. División

Para poder dividir con números expresados como potencias, se aplican las propiedades:

a) Cociente de potencias con la misma base.

b) Cociente de potencias con el mismo exponente.

1.8.4. Potencia

Para calcular potencias, se aplican las propiedades:

a) Potencia de una potencia.

b) Potencia de un producto.

c) Potencia de un cociente.

2. RAÍCES

2.1. Definición

La raíz n-ésima de un número a es la operación inversa de la potencia, es decir, es un número

b tal que abn y se representa ban .

abba nn

Donde:

n a se llama expresión de una raíz o radical.

a es el radicando.

n el índice de la raíz.

Así pues, una raíz está formada por un radicando y un índice.

Se lee “la raíz n-ésima de un número a es igual a b”.

En la calculadora científica, se usa la tecla y

x .

2.2. Tipos de raíces exactas

a) Raíz cuadrada exacta: es la operación inversa de elevar al cuadrado.

2baba Esto es, Radicando = (Raíz exacta)2

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b que elevado al cuadrado da el primero,

y tiene de resto 0.

Se lee “la raíz cuadrada exacta de un número a es igual a b”.

NOTA:

No se pone 2 en el índice de la raíz cuando la raíz es cuadrada. aa 2

Solamente los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta.

En la calculadora científica, se usa la tecla x .



Todo cuadrado perfecto tiene una raíz cuadrada, + .

Ejemplos:

255525

164416

9339

4224

1111

2

2

2

2

2

1001010100

819981

648864

497749

366636

2

2

2

2

2

Se lee “la raíz cuadrada exacta de 4 es 2”.

b) Raíz cúbica exacta: es la operación inversa de elevar al cubo.

33 baba Esto es, Radicando = (Raíz exacta)3

La raíz cúbica exacta de un número a es otro número b que elevado al cubo da el primero, y

tiene de resto 0.

Se lee “la raíz cúbica exacta de un número a es igual a b”.

NOTA:

Solamente los cubos perfectos tienen raíz cúbica exacta.

En la calculadora científica, se usa la tecla 3 x .

Todo cubo perfecto tiene una raíz cúbica, + .

Ejemplos:

12555125

644464

273327

8228

1111

33

33

33

33

33

000.11010000.1

72999729

51288512

34377343

21666216

33

33

33

33

33

Se lee “la raíz cúbica exacta de 8 es 2”.

2.3. Tipos de raíces enteras

a) Raíz cuadrada entera de un número a: es el mayor número entero b cuyo cuadrado es menor

que el primero, y no tiene de resto 0.

restobaba 2 Esto es, Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

NOTA:

Si un número no es cuadrado perfecto, su raíz es entera.

El resto de la raíz cuadrada entera debe ser menor que el doble de la raíz más 1.

Resto < 2 · Raíz + 1



Comprobación: Una raíz cuadrada está bien calculada si cumple estas dos condiciones:

1) (Raíz)2 + Resto = Radicando

2) Resto < 2 · Raíz + 1

Ejemplos:

a) 1526526 2 36626525 22

Se lee “la raíz cuadrada entera de 26 es 5”.

b) 424182161818 2 bb 25518416 22


c) 227556495555 2 bb 64855749 22


b) Raíz cúbica entera de un número a: es el mayor número entero b cuyo cubo es menor que el

primero, y no tiene de resto 0.

restobaba 3 Esto es, Radicando = (Raíz entera)3 + Resto

NOTA: Si un número no es cubo perfecto, su raíz es entera.

Comprobación: Una raíz cúbica está bien calculada si cumple la siguiente condición:

(Raíz)3 + Resto = Radicando

Ejemplos:

a) 2329329 33 64429327 33

Se lee “la raíz cúbica entera de 29 es 3”.

b) 2329329 33 64429327 33


c) 12220220 33 2732028 33


2.4. Soluciones según el índice de la raíz y el radicando

a) Radicando positivo: existe siempre el valor de la raíz.

1) Índice de la raíz par: tiene siempre una solución positiva.

Ejemplos:

000.000.11010000.000.1

62555625

4224

66

44

2



2) Índice de la raíz impar: sólo tiene una solución positiva.

Ejemplos:

322232

12555125

273327

55

33

33

2.4.1. Tabla-Resumen

Radicando Índice de la raíz Resultado de la raíz

+ Par 1 solución +

Impar 1 solución +

2.5. Cálculo de la raíz cuadrada entera

Dos formas de calcular la raíz cuadrada entera:

a) Cálculo de forma aproximada.

b) Cálculo con el algoritmo.

2.5.1. Cálculo de forma aproximada

La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.

El resto de la raíz cuadrada de un número es igual a la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz.

Ejemplo 1: 43

El número 43 no es un cuadrado perfecto, por lo tanto no tiene raíz cuadrada exacta.

Si observamos 6 2 = 36 < 43 < 49 = 7 2

Luego, 6 es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 43, se dice que 6 es raíz cuadrada

entera de 43, y se escribe:

643

Como 43 - 6 2 = 43 – 36 = 7, el resto de la raíz cuadrada entera es 7.

Solución: La raíz entera de 43 es 6 y su resto 7.

7643643 2

Ejemplo 2: 26

1º Buscamos dos cuadrados perfectos cercanos a 26, que son:

52 = 25 < 26

62 = 36 > 26

2º Elegimos el cuadrado perfecto que más se aproxima por debajo de 26, que es 25.

3º Después, calculamos el resto, que es la diferencia entre el número dado a y el cuadrado de

la raíz entera b.

26 – 25 = 1



4º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que

cumplir que Radicando = (Raíz entera)2 + Resto.

26 = 252 + 1


1526526 2

2.5.2. Cálculo con el algoritmo

Ejemplo 1: 149

1º Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2º Calculamos la raíz cuadrada (entera o exacta) del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 1?

1 es un cuadrado perfecto porque (12 = 1).

La primera cifra de la raíz cuadrada es 1 y la colocamos en la casilla correspondiente.

3º El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el

radicando.

El cuadrado de la raíz 1 es 1, se lo restamos a 1 y obtenemos 0.

4º Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando y separamos del

número formado su última cifra.

Bajamos 49, siendo la cantidad operable del radicando 049.

5º Debajo de la raíz hallada escribimos su doble y dividimos lo que resta por el doble de

la raíz anterior. El cociente obtenido se pone a la derecha del doble de la raíz y el número

formado se multiplica por este cociente.

04 : 2 = 2 < 9

Tomamos como resultado 2, ya que es una única cifra que va del 0 al 9.



6º Comprobamos que el número formado es inferior a la cantidad operable del radicando.

Pues si hubiésemos obtenido un valor superior a la cantidad operable del radicando,

habríamos probado por la anterior cantidad operable y así sucesivamente hasta encontrar

un valor inferior.

22 · 2 = 44 < 49

7º El cociente obtenido se añade a la derecha de la raíz.

Subimos el 2 a la raíz.

8º Después, restamos a la cantidad operable del radicando el número hallado debajo de la

raíz.

49 – 44 = 5



149 = 122 + 5


512 14912 149 2

Ejemplo 2: 89225

1º Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2º Calculamos la raíz cuadrada (entera o exacta) del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos:

4 y 9.

Tomamos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto que se acerque más a 8, que es: 2

(22 = 4).

La primera cifra de la raíz cuadrada es 2 y la colocamos en la casilla correspondiente.

3º El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el

radicando.

El cuadrado de la raíz 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.



4º Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando y separamos del

número formado su última cifra.


5º Debajo de la raíz hallada escribimos su doble y dividimos lo que resta por el doble de

la raíz anterior. El cociente obtenido se pone a la derecha del doble de la raíz y el número

formado se multiplica por este cociente.

49 : 4 = 12,25 > 9

Tomamos como resultado 9, ya que sólo puede ser una única cifra que vaya del 0 al 9.

6º Comprobamos que el número formado es inferior a la cantidad operable del radicando.

Pues si hubiésemos obtenido un valor superior a la cantidad operable del radicando,

habríamos probado por la anterior cantidad operable (8, 7, …) y así sucesivamente hasta

encontrar un valor inferior.

49 · 9 = 411 < 491

7º El cociente obtenido se añade a la derecha de la raíz.

Subimos el 9 a la raíz.

8º Después, restamos a la cantidad operable del radicando el número hallado debajo de la

raíz.

492 – 441 = 51

9º Bajamos el siguiente par de cifras.




10º Repetimos los pasos anteriores.

512 : 58 = 8,8 > 8, probamos por 9.

Como 589 · 9 = 5.301 > 5.125, probamos por 8.

Como 588 · 8 = 4.704 < 5.125, subimos el 8 a la raíz.

Restamos a la cantidad operable del radicando 5.125 el número hallado debajo de la raíz

4.704.



89.225 = 2982 + 421

Solución: La raíz entera de 89.225 es 298 y su resto 421.

421298 89.225298 89.225 2

Ejemplo 3: 643

Para el cálculo de la raíz cuadrada de 643, seguimos estos pasos:

1º Dividir el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. El número de

grupos es igual al número de cifras de la raíz cuadrada.

6

2º Calcular la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda.

Luego 2 es el número de decenas de la raíz



3º Restar del primer grupo el cuadrado de su raíz entera. Añadir a la diferencia las dos

cifras siguientes del radicando.

6 2 ?

-4

2 43

4º Multiplicar por dos la primera cifra de la raíz (2 · 2 = 4). Calcular el menor entero d tal

que 4 d · d se puede restar del radicando; d será la segunda cifra de la raíz.

42 · 2 = 84 ; 43 · 3 = 129 , 44 · 4 = 176, 45 · 5 = 225

46 · 6 = 276 > 243

6 2 ?

-4 45 · 5 = 225

2 43

5º Restar de la diferencia anterior 45 · 5. El resto de la raíz es la nueva diferencia.

6 2 5

-4 45 · 5 = 225

2 43

-2 25

18

Solución: 25643 y resto = 18

Comprobación:

a) (25) 2 + 18 = 625 + 18 = 643

b) 18 < 2 · 25 + 1 =51

2.6. Operaciones con raíces cuadradas exactas

2.6.1. Suma y Resta

Para sumar y restar raíces, deben tener el mismo índice de la raíz y contener el mismo radical.

Si es así, se suman los números que están fuera de ellos (coeficientes) y el radical se deja igual.

Ejemplos:

a) 27215322523

b) 33333 73712477274



2.6.2. Multiplicación

El producto de dos o más raíces cuadradas exactas:

a) Es una raíz cuadrada exacta.

b) Su radicando es igual al producto de los radicando de los factores.

Ejemplos:

a) 5496968136813654968136 22

b) 4975754925492535754925 22

2.6.3. División

El cociente de dos o más raíces cuadradas exactas:


b) Su radicando es igual al cociente de los radicando de los factores.

Ejemplos:

a) 23:63:69:369:3623:69:36 22

b) 24:84:816:6416:6424:816:64 22

2.6.4. Potencia de una raíz

La potencia de base una raíz cuadrada exacta:


b) Su radicando es igual al radicando de partida elevado al exponente de la potencia.

Ejemplos:

a) 4

44

4

2525252525252525

b) 6

66

6

81818181818181818181

2.7. La raíz como potencia

La raíz de una potencia es igual al radicando elevado al resultado de dividir su exponente por el

índice de la raíz.

n

m

n m xx

Ejemplos:

2

8

2 88 555

3

10

3 10 22



3. POTENCIAS Y RAÍCES

3.1. Recordar

a) Descomponer los números en factores primos.

b) Simplificar los números aplicando las propiedades correspondientes.

c) Una vez obtenidos los números simplificados, usad la calculadora para calcular el número

resultante.

4. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES

4.1. Introducción

Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del

lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución

únicos.

4.2. Reglas

Las reglas para realizar las operaciones de números naturales o prioridad de las operaciones

son las siguientes:

1) Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2) Calculamos las potencias y raíces.

3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones).

4) Realizamos las sumas y restas.

4.3. Tipos de operaciones combinadas

1) Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas.

Para resolverlas, primero efectuaremos las potencias y las raíces cuadradas, con lo cual nos

quedaremos con operaciones combinadas de números enteros y seguimos el orden de las mismas.

NOTA: En las raíces cuadradas, hay una solución + .

Ejemplos:

a) 35 : 33 + 144 · 52 = 9 + 12 · 25 = 9 + 300 = 309

35 : 33 = 32 = 9 144 = 12 52 = 25

b) 625 · ( 33 – 5) + 40 + 121 = 25 · 22 + 1 + 11 = 550 + 1 + 11 = 562

625 = 25 33 – 5= 27 – 5 = 22 40 = 1 121 = 11

2) Operaciones combinadas con potencias y raíces cúbicas exactas.

Para resolverlas, primero efectuaremos las potencias y las raíces cúbicas, con lo cual nos

quedaremos con operaciones combinadas de números enteros y seguimos el orden de las mismas.

NOTA: En la raíces cúbicas, hay una solución + .



Ejemplos:

a) 3 343 · ( 103 – 82 ) + 3 8 : 40 = 7 · 36 + 8 : 1 = 252 + 2 = 254

3 343 = 25 103 – 82 = 100 – 64 = 36 40 = 1 3 8 = 2

b) 103 + 72 – 3 27 : 60 = 1.000 + 49 + 3 : 1 = 1.049 – 3 = 1.046

3 27 = 3 60 = 1

3) Operaciones combinadas con potencias y raíces exactas.

Ejemplos:

a) 000.10 – 3 729 · 23 : 3 – 3 125 : 5 = 100 – 9 · 8 : 3 – 5 : 5 = 100 – 72 : 3 – 1 =

= 100 – 24 – 1 = 75

000.10 = 100 3 729 = 9 3 125 = 5

b) 83 – 64 : 22 + 3 64 · 41 = 512 – 8 : 4 + 4 · 4 = 512 – 2 + 16 = 526

64 = 8 3 64 = 4

5. EJERCICIOS

1) Completa la tabla:

Producto Potencia Base Exponente Se lee Valor o

Resultado

2 · 2 · 2

92

4 2

3 0

2 32

4 elevado al cubo es igual a 64

9 · 9 · 9

7 4

2

56

1 elevado a la quinta

2) Expresa en forma de potencias.

a) 50.000 Solución: 5 · 104

b) 3.200 Solución: 32 · 102

c) 3.000.000 Solución: 3 · 106


Gema Isabel Marín Caballero Página 20 de

21

3) Escribe en forma de una sola potencia.

a) 33 · 34 · 3 Solución: 38

b) 57 : 53 Solución: 54

c) (53)4 Solución: 512

d) (5 · 2 · 3)4 Solución: 304

e) (34)4 Solución: 316

f) [(53)4]2 Solución: (512)2 = 524

g) (82)3 Solución: [( 23)2]3 = (26)3 = 218

h) (93)2 Solución: [(32)3]2 = (36)2 = 312

i) 25 · 24 · 2 Solución: 210

j) 27 : 26 Solución: 2

k) (22)4 Solución: 28

l) (4 · 2 · 3)4 Solución: 244

m) (25)4 Solución: 220

n) [(23)4]0 Solución: (212)0 = 20 = 1

o) (272)5 Solución: [(33)2]5 = (36)5 = 330

p) (43)2 Solución: [(22)3]2 = (26)2 = 212

4) Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:

a) 3.257 Solución: 3.257 = 3 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 7

b) 10.256 Solución: 10.256 = 1 · 104 + 0 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 6

c) 125.368 Solución: 125.368 = 1 · 105 + 2 · 104 + 5 · 103 + 3 · 102 + 6 · 10 + 8

5) Calcular las raíces:

a) 264

Solución:



b) 256.6

Solución:

c) 675.72

Solución:

6) Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad:

a) 2 + 5 · (2 · 3)³ Solución: 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1.080 = 1.082

b) 7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · 4 ] + 9 : 3

Solución: 21 + [6 + 2 · (23 : 22 + 6) – 14] + 3 =

= 21 + [6 + 2 · (2 + 6) – 14] + 3 = 21 + (6 + 2 · 8 – 14) + 3 =

= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 = 21 + 8 + 3 = 32

tema 2. potencias y raíces de números naturales

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