potencias y raíces de números naturales
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Potencias y Raíces de números naturales. Potencia. Producto de factores iguales. Antes de empezar, recuerda:. ------------------------------------------------------------------------------------------------. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Potencias y Raíces de números naturales
1EGC
Producto de factores iguales
2EGC
Antes de empezar, recuerda:
Multiplicación por 10, 100, 1000, …:
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------------------------------------------------------------------------------------------------
3EGC
Una POTENCIA es una forma abreviada de escribir una
multiplicación de factores iguales
4
Se lee “tres al cuadrado” o “tres elevado a dos”
Se lee “tres al cubo” o “tres elevado a tres”
Se lee “tres a la cuarta” o “tres elevado a cuatro”Las demás se leen “a la quinta”, “a la sexta”, …
Fíjate por qué la potencia de exponente dos (cuadrado) y la
exponente tres (cubo) se llaman así:
EGC
Significado de la potencia cuadrada
5
3
3
Cuadrado de tres unidades de base, tiene nueve unidades de superficie.
Base 3
Cuadrado
Cuadrado de 3
Es conveniente que memorices los cuadrados de los 16 primeros números naturales.
EGC
6
Significado de la potencia cúbica
1 cubito base
27 cubitos
Si tomamos tres cubitos base y lo multiplicamos por sí mismo, obtenemos un cuadrado de 9, y al multiplicar otra vez, obtenemos un cubo de 27 cubitos unidad.
33
3
EGC
¡Cuidado!
7
No confundas
con
10 veces 10
2 veces 10
EGC
Operaciones con potencias
• Potencia de un producto:
8
Ya podemos quitar los paréntesis porque son todas multiplicaciones, que tienen la misma prioridad.
Así que:
Cada factor se eleva al exponenteEGC
La prioridad de las operaciones ahora es:
9
1º Paréntesis y corchetes.
2º Potencias y raíces.
3º Multiplicaciones y divisiones.
4º Sumas y restas.
Entonces si en la operación anterior en lugar de usar primero la definición de potencia aplicamos el paréntesis, vemos que se cumple.
Calcula mentalmente en 4 segundos:EGC
Calcula mentalmente en 4 segundos:
Pista:
Calcula mentalmente en 4 segundos:
10EGC
11
Operaciones con potencias
• Potencia de un cociente:
La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del numerador y el denominador.
Calcula mentalmente en 4 segundos:
EGC
12
Operaciones con potencias
• Si multiplicamos (o dividimos) potencias de la misma base, se suman (o restan) exponentes:
Entonces:
Entonces:
EGC
13
Consecuencias
• ¿Qué pasaría si dividiéramos dos potencias iguales?:
Por ejemplo
Pero si usamos las propiedades:
Entonces:
Cualquier base (que no sea 0) elevada a 0 vale 1.EGC
14
Consecuencias
• Si elevamos una base a 1, el resultado es la misma base:
Por ejemplo:
Pero si usamos las propiedades:
Entonces:
Cualquier base elevada a 1 es ella misma.EGC
15
Operaciones combinadas
Se sigue la prioridad:
1º Paréntesis y corchetes.
2º Potencias y raíces.
3º Multiplicaciones y divisiones.
4º Sumas y restas.primero
segundotercero
EGC
16
Completa y calcula:
Soluciones: 1, 1, 5.
Evaluación
EGC
17
Completa y calcula:
………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, ………………….............................................................
Potencia de ………………., entonces, .............................................................
………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, ………………….............................................................
………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, ………………….........................................
Evaluación
EGC
18
Completa y calcula:
Distinta ……………y distinto …………………:
¿Se aplica propiedad?
Igual ………….. distinto ………………….:
¿Se aplica propiedad?
Igual ………….. distinta ………………….:
¿Se aplica propiedad?
Evaluación
EGC
19
Evaluación- Escribe de forma abreviada:
- Si (usando la definición de potencia),
¿cómo se calculará?:
- ¿Es correcto este razonamiento?:
- Calcula:
3 veces tres al cuadrado
EGC
20
- ¿Cuántos remeros participan en la regata? Exprésalo en forma de potencia.
Evaluación
- Este jardín tiene 6 macizos, cada uno de los cuales tiene 6 filas de 6 plantas cada una. Halla el número total de plantas expresándolo previamente en forma de potencia.
- Un átomo de uranio al desintegrarse emite 3 neutrones, los cuales, chocando con otros tantos átomos de uranio, los desintegran, a su vez, y así sucesivamente. ¿Cuántos átomos de uranio se habrán desintegrado después de 7 choques?
EGC
21
y sus raíces…
EGC
22
Raíz cuadrada
Se dice que la suma y la resta son operaciones inversas, porque una “deshace” lo que “hace” la otra. Por ejemplo, si a un número le sumamos 5, podemos deshacer esta operación restando 5.Igualmente son operaciones inversas la multiplicación y la división.
Lo mismo pasa con la potenciación y la radicación:
Por ejemplo, si sabemos que el cuadrado de un número es 9, ¿cuál es ese número?
Es decir, si tenemos un cuadrado formado por 9, ¿cuál es la base (lado)? 3
Hemos calculado la raíz cuadrada de 9, que se escribe así:
EGC
23
¿Qué pasaría en esta situación?:
Como has memorizado los cuadrados de los 16 primeros números naturales, completa:
“La raíz de ……es ….., porque ………..”
“La raíz de ……es ….., porque ………..”
“La raíz de ……es ….., porque ………..”
“La raíz de ……es ….., porque ………..”
“La raíz de ……es ….., porque ………..”
porque ……………………..
porque ……………………..
EGC
24
Estos números se llaman “cuadrados perfectos”, porque su raíz cuadrada es exacta:
Si la raíz cuadrada es inexacta, se dice que es entera, y el número no es un cuadrado perfecto.
Es lo que pasa si calculamos
Acudamos a nuestras ayudantes:
La raíz entera de es entonces:
Calcula tú la raíz cuadrada de 60, 52, 145, 101 y 216.
EGC
25
Observa cuál es la diferencia entre un cuadrado y el siguiente:
Diferencia entre el cuadrado de 2 y el de 3:
Diferencia entre el cuadrado de 4 y el de 5:
Entonces, la diferencia entre un cuadrado y el siguiente es del doble del lado pequeño más 1.
EGC
26
Operaciones combinadas
1º Paréntesis y corchetes.
2º Potencias y raíces.
3º Multiplicaciones y divisiones.
4º Sumas y restas.
EGC
27
EvaluaciónResuelve:
Calcula el lado de un cuadrado que tiene 121 metros cuadrados de superficie.
Se quiere bordear una alfombra cuadrada de 9 metros cuadrados con un cordón que cuesta 2 euros el metro. ¿Cuál será el gasto?
EGC
28
La gran pirámide de Egipto, de base cuadrada, ocupa una extensión aproximada de 56000 metros cuadrados. ¿Cuál es el lado aproximado de la base?
Resuelve:
Evaluación
Un casillero cuadrado de cartas tiene 12 casillas de lado. Como resulta pequeño se le quiere añadir una casilla más por cada lado. ¿Cuántas casillas habrá que añadir?
Un jardinero colocó sus macetas igualmente espaciadas formando un cuadrado de 14 macetas de lado y le sobraron 12. ¿Cuánto necesitará para formar un cuadrado de 15 macetas de lado?
EGC
29
• Potencia: (Completa tú)
• Base:
• Exponente:
• Factor:
• Raíz:
• Radicando:
• Radical:
• Índice:
• Potenciación:
• Radicación:
Vocabulario
EGC
30
Criterios de evaluación (y CCBB)• Calcular el valor de potencias naturales.
Páginas 10, 17-19 (Mat., Aprender a aprender)• Simplificar cálculos a partir de las operaciones con
potencias.Páginas 10, 17-19 (Mat.)
• Calcular la raíz cuadrada, exacta o entera, de un número natural. Pág. 23,29 (Mat. Ling.)
• Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces, aplicando el orden correcto.Pág. 15, 16, 26, 27.
• Resolver situaciones con raíces y potencias.Pág. 20, 27, 28. (Mat., Autonom., Social y ciud.)
Bibliografía• Cálculo. Ed. SM. 1977.
• Números. Ed. Octaedro. 1994.
• Matemáticas 1º ESO. Ed. Oxford. Serie Trama. Proyecto Ánfora. 2007
• Enlaces de internet:
Y otros.
EGC
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada