mÓdulo didÁctico de enseÑanza personalizada
DESCRIPTION
MÓDULO DIDÁCTICO UTILIZADO COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA LOS ESTUDIANTES DE 5 AÑO DE SECUNDARIATRANSCRIPT
MÓDULO DIDÁCTICO DE ENSEÑANZA PERSONALIZADA
PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DEL
COMPONENTE GEOMETRÍA Y MEDICIÓN
MÓDULO DIDÁCTICO DE ENSEÑANZA PERSONALIZADA
PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DEL COMPONENTE
GEOMETRÍA Y MEDICIÓN
PRESENTACIÓN
El módulo que a continuación presentamos, empleado como
recurso didáctico, es un intento por lograr en el estudiante
un aprendizaje significativo, que parta de los saberes previos
de cada uno y que permita acompañarlo de acuerdo a su
peculiar avance. Este módulo, lo motivará, aclarará ideas y
permitirá que el estudiante desarrolle ejercicios dándole el
suficiente acompañamiento. Para este fin, ambicioso pero
posible, emplearemos básicamente la enseñanza
personalizada que se adapta a las peculiaridades de cada
estudiante, donde su aprendizaje es el objeto de atención
primordial del profesor y donde la puerta del aula está
siempre abierta para establecer una fructífera relación
intelectual.
Asimismo, contaremos con un CD “tutorial” que nos servirá
para motivar al estudiante, vincularlo con la tecnología con
acceso a diferentes fuentes sugeridas y por ende permitirle
un aprendizaje más sustancial.
Gloria Varas y Rosa Castro
INSTRUCCIONES
Recomendaciones para su uso:
1. Estudia el texto en silencio, apartado de todo elemento distractivo que
impida tu concentración.
2. Repasa las veces que creas necesarias los pasos que no te hayan quedado
claro, relacionándolos siempre con hechos reales.
3. Usa un resaltador que te permita identificar los aspectos más importantes
de cada tema.
4. Usa siempre una hoja aparte o un cuaderno que te permita hacer un
resumen de lo estudiado en cada unidad.
5. Desarrolla con cuidado y esmero las actividades que se te solicitan por
cada tema, y no olvides recurrir a las profesoras cuando sea muy
necesario.
6. Realiza las evaluaciones que se encuentran al final de cada unidad, para lo
cual te recomendamos adoptar una actitud seria y honesta, recordando
que todo es a favor tuyo.
7. Procede luego a verificar tus repuestas con las claves que se dan para la
evaluación. A la indicación de las profesoras, puedes compartir tus
inquietudes con tus compañeros cercanos y así analizarás tus errores y
aciertos.
8. Si tu rendimiento superó el 70% de aciertos, significa que estás en buen
camino, pero si superas el 80% de aciertos significa que estás cumpliendo
los objetivos del aprendizaje.
9. Si no lograste ese porcentaje, revisa minuciosamente el tema, determina
los errores que has cometido y corrígelos.
10. No olvides que todos los pasos son importantes para conseguir el logro de
los objetivos, por lo tanto LEE CON ATENCIÓN Y BUSCA EN TI LOS
CONOCIMIENTOS QUE TE CONDUZCAN A LA VERDAD.
¡¡¡ÁNIMO CONFIAMOS EN TI!!!
TEMAS GENERALES
CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA DEL ESPACIO:
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Unidades modulares:
Unidad 1: Cilindro de revolución. Tronco de cilindro
Unidad 2: Cono de revolución. Tronco de cono de
revolución
Unidad 3: Superficie esférica y esfera
CAPÍTULO 2: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA PLANA: CÓNICAS
Unidades modulares:
Unidad 4: Circunferencia.
Unidad 5: Parábola.
Unidad 6: Elipse
GEOMETRÍA DEL ESPACIO: SUPERFICIE DE REVOLUCIÓNq1
UNIDAD 1
CILINDRO DE REVOLUCIÓN
TRONCO DE CILINDRO
UNIDAD 2
CONO DE REVOLUCIÓN.
TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN
UNIDAD 3 SUPERFICIE ESFÉRICA
ESFERA
CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 1: Geometría del espacio:
Superficies de revolución
Objetivo General:
Analizar los sólidos de revolución que permita tener una visión racional del espacio y conocer sus
propiedades y medidas, tomando decisiones que aseguren la vida de la gente en el futuro sin
destruir los ambientes naturales.
Objetivos específicos:
1. Comprender, idealizar y estudiar nuestro entorno tal como los observamos.
2. Relacionar las construcciones (edificios, puentes, museos, etc.) con sólidos geométricos como
cilindro, cono y esfera.
3. Tener una visión racional del espacio y deduciendo su medida hacer una equitativa distribución.
4. Asegurar la vida de la gente en el futuro utilizando menos espacio y mayor provecho (edificios).
5. Hacer uso óptimo de los espacios para no invadir ni destruir los ambientes naturales, fuentes de
vida.
Unidad 1: Cilindro de revolución.
Tronco de cilindro
Objetivo general: Analizar el cilindro de revolución, sus elementos y la obtención
de sus áreas y volúmenes, así como su diferencia con el tronco de cilindro y las
variaciones de sus áreas, radios, volúmenes.
Objetivos específicos:
- Identificar las partes del cilindro.
- Reconocer las fórmulas para hallar las áreas y el volumen del cilindro.
- Resolver ejercicios aplicando las fórmulas de las áreas y volumen del cilindro y
tronco de cilindro.
- Resolver con honestidad los cuestionarios y/o actividades.
Lee con atención cada pregunta y responde con claridad a cada una de las
preguntas propuestas:
1. Si la longitud del lado de un cuadrado es 10 , ¿cuál es su área?
2. Una circunferencia tiene como longitud 10 , ¿cuál es su radio?
3. Calcula el área de las siguientes regiones poligonales:
4. Calcula la longitud de las siguientes curvas:
d = 5 24
30°
2
4
2 2
5 7.5
PRUEBA DE ENTRADA N° 1
REQUISITOS
Antes de empezar esta unidad, para comprender los nuevos temas, debes recordar
algunos temas estudiados anteriormente.
Áreas de regiones poligonales
Área del cuadrado: L2
Área del rectángulo: L x A
Área del trapecio:
Área del círculo:
Sector circular
CONTENIDOS
1. CILINDRO DE REVOLUCIÓN
2. TRONCO DE CILINDRO
3. VARIACIÓN DEL VOLUMEN EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN DEL
RADIO Y LA ALTURA DE UN CILINDRO DE REVOLUCIÓN.
4. VARIACIÓN DEL PERÍMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA EN
FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN DE SU RADIO.
5. VARIACIÓN DEL ÁREA DE UN CÍRCULO EN FUNCIÓN DE LA
VARIACIÓN DE SU RADIO,
CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Actividad motivadora: Ver CD
Es el sólido que se genera mediante una rotación de 360° de una región
rectangular alrededor de uno de sus lados.
ELEMENTOS DEL CILINDRO
- Eje: es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.
- Generatriz: es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.
- Bases: son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.
- Altura: es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la
generatriz.
DEFINICIONES FORMALES DEL CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Cilindro circular recto
Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a
una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de
revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija
llamada eje de revolución.
En un cilindro de revolución, la altura y la generatriz tienen la misma longitud.
ÁREA LATERAL Y TOTAL DEL CILINDRO
Si cortamos la superficie de un cilindro por una generatriz y la extendemos
sobre un plano obtendremos un rectángulo cuya base es la longitud de la
circunferencia de la base del cilindro (2 x x ) y la altura será su generatriz.
Área lateral = 2 x x x g.
El área lateral de un cilindro es igual al producto de la longitud de la
circunferencia de la base por la generatriz o altura.
Para hallar el área total se suma al área lateral el área de las dos bases. El
área de círculo es: x
Área total = (2 x x r x g) + (2 x x ).
Recuerda que el volumen de un prisma es el producto de la superficie de la
base por la altura.
Con el cilindro sucede el mismo caso. El volumen del cilindro es el producto del
área del círculo de la base por la altura. El área del círculo es x . El
volumen del cilindro será x x altura.
VOLUMEN DEL CILINDRO
Ejemplo N°1
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de revolución de
8 cm. de altura y 2 cm. de radio en su base.
Resolución:
Datos: (estos datos se extraen del problema)
h = 8 cm. y r = 2 cm.
Fórmulas a utilizar: (se copian las fórmulas)
AL = 2 AT = AL + 2B V =
Reemplazamos los datos:
AL = 2 (2)(8)cm2 AT = 32 cm2 + 2[ (2cm)2] V = (2cm)2 (8cm)
AL = 32 cm2 AT = 32 cm2 + 8 cm2 V = 32 cm2
AT = 40 cm2
ACTIVIDADES EN CLASE
- Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de
forma cilíndrica de 10 cm. de diámetro y 20 cm. de altura.
Datos:
Número de botes = 10
d = 10 cm.
h = 20 cm.
Hallamos el área total:
AT = AL + 2B
AL = 2 r
AL = 2( ) (5cm) (20cm)
AL = 200 cm2
AB =
AB = (5cm) 2
AB = 25 cm2
Por lo tanto:
AT = 200 cm2 + 50 cm2
AT = 250 cm2
Finalmente, para 10 botes se necesita 250 cm2 (10) = 2 500 cm2 =
25 m2
- Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la
base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el volumen.
Datos:
h = AB = 125.66 cm V = h
2 = h
2 = 125.66
r = 125.66
6.2832
r = 20.009
V = h
V = (20)2 (125.66)
V = 5 026.4 cm3
1. En un cilindro de revolución de área lateral de 4 cm2 y de área total
6 cm2. Calcular el volumen.
Resolución:
Los datos son:
AL = ___________
AT = ___________
La fórmula para calcular el área lateral de un cilindro es:
AL = ___________
Reemplazando el valor del área lateral en la fórmula se obtiene:
4 cm2 = ___________
En ambos lados se puede simplificar ___________
Luego, sacamos la mitad en ambos lados, obteniéndose
h = ___________ (1)
La fórmula del área total es: ___________
EJERCICIOS
Reemplazando el valor del área total y del área lateral se obtiene:
___________
Luego, 2AB = ___________
AB = ___________ (2)
Pero el área de la base es:
Entonces =
Luego = 1cm2
Por lo tanto r = 1cm …………. (3)
Reemplazando (3) en (1), se obtiene:
= 2cm2
( ) h = 2cm2
h = ___________ (4)
Finalmente, el volumen del cilindro se calcula con la fórmula:
V = AB x h…………. (5)
Reemplazando (2) y (4) en (5)
V = * ___________
V = ___________
2. Calcula el volumen de un cilindro de revolución si el desarrollo de la
superficie lateral es una región cuadrada de área A 2
Resolución:
Desciframos los datos:
AL = l2 = ___ 2
Además la altura A es l y la longitud de la circunferencia formará al
cerrar el cuadrado de 2 , que también es l.
Igualando obtenemos:
l = 2
=
Para calcular el volumen necesitamos el área de la base: y la altura
h = l
Reemplazando:
V =
V = 2 *
V = *
V = ……………… (1)
También el resultado podría ser en función del área, así: = A
Sacando raíz cuadrada a ambos lados:
= A
= A ……………… (2)
Reemplazando (2) en (1)
=
V = =
Es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución por un plano no
paralelo a sus bases.
- Bases: El círculo de radio r con centro en A y la región elíptica del centro 0:
- Ejes del tronco: 0’0: Porción del eje que está entre las dos bases del tronco
de cilindro.
- Generatrices: son segmentos de generatriz diametralmente opuestos, en
una longitud máxima (G) y otra de longitud mínima (g).
TRONCO DEL CILINDRO
ELEMENTOS
Ejemplo 1:
Calcular el volumen del tronco del cilindro recto de la figura adjunta.
La fórmula de volumen de tronco de cilindro es:
V = r2
Por datos tenemos:
r = 2
g = 3
G = 5
Atención:
El tronco de cilindro de revolución no es un sólido de revolución.
g = 3
G = 5
r = 2
B
A
VOLUMEN DEL TRONCO DE CILINDRO
Reemplazando en la fórmula se obtiene:
V = (2 )2
V = *4 2
V = *4 2
V = 16 3 multiplicando los valores y ordenando
Ejemplo 2:
El radio de la base de un tronco de cilindro recto de centro Q mide 4 cm
y las longitudes de sus generatrices diametralmente opuestas se
diferencian en 6 cm. Si sabemos que la longitud del eje PQ es 15 cm,
calcular la longitud del segmento AB, que une los extremos superiores
de las generatrices y el volumen del tronco de cilindro.
Resolución:
Por el enunciado: G- g = 6
De la figura, observamos que:
PQ = => G + g = 2PQ => G + g = 30
G + g = 2 (15)
Escribamos los datos:
r = 4 cm
G - g = 6 cm
PQ = 15 cm
AB = ?
V = ?
G
A
Q D
g
B
C
P
E
Con los datos G – g = 6 y G + g = 30
Resolvemos: G – g = 6
G + g = 30
2G = 36
G = 18
g = 12
De la figura tenemos que el segmento AE se halla restando el segmento
mayor menos el segmento menor, así:
AE = AD – ED ; AE = 18 – 12 => AE = 6
Como el radio mide 4 cm entonces EB es el diámetro y mide 8 cm.
Por el teorema de Pitágoras:
En AEB : => AB2 = AE2 + EB2
Hipotenusa AB2 = 62 + 82 => (AB2 = AE2 + EB2) = AB2 = 36 + 64
AB2 = 100 => AB = 10 cm
Ahora calculamos el volumen con la fórmula:
V = r2
Reemplazando los valores obtenemos:
Elevamos al cuadrado, sumamos en el paréntesis:
V = (4cm)2
Simplificamos:
V = (16cm)2
Multiplicamos:
V = (16 cm2) (15cm)
V = 240 cm3
1. Obtén el volumen del tronco de cilindro cuando:
a. r = 1cm ; g = 2cm; G = 3cm
b. r = ½cm ; g = 5cm; G = 7cm
c. r = 2cm ; g = 3/2cm; G = 5/2cm
d. r = ( 2-1)cm ; g = 2 2cm; G = 3cm
2. Un camión cisterna traslada un tanque para combustible que tiene la
forma de un cilindro de revolución de 6 cm. de largo y 2 m. de alto.
Calcular:
a. El área lateral del tanque
b. El área total del tanque
c. El volumen del tanque
2 m.
6 m.
VAMOS A VER COMO LO HACES TÚ
Síntesis
Cilindro de Revolución Tronco de Cilindro
Es el sólido que se genera mediante una
rotación de 360° de una región rectangular
alrededor de uno de sus lados
Es el sólido que se obtiene al cortar el
cilindro de revolución por un plano no paralelo
a sus bases
En esta unidad, a través de actividades, se pretende desarrollar las capacidades fundamentales como
pensamiento creativo, pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones. De la misma forma se pretende desarrollar las capacidades de Razonamiento y Demostración, Comunicación Matemática, Resolución
de problemas, a través de ejemplos, ejercicios y problemas relacionados con la vida diaria, cuya
resolución requiere de la aplicación de contenidos referidos a Geometría del espacio: Superficie de
revolución.
VARIACIÓN DEL VOLUMEN EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN DEL RADIO
Y LA ALTURA DE UN CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Un cilindro recto de radio r y la altura h tiene un volumen V1 = r2 h
1. Si el radio r aumenta en x unidades (x > 0), entonces el nuevo volumen
es:
V2 = (r + x)2 h ; x > 0
La variación de volumen es: V = V2 – V1
V = [(r + x)2 – r2]h
V = [(r + x - r) (r + x + r)]h
V = x [(2r + x)h]
Luego: V = x (2r + x)h ; x > 0, donde V es la variación del volumen
del cilindro.,
Si el radio r disminuye en x unidades (0 > x > r), entonces la variación de
volumen es:
V = - x (2r - x)h
2. Si la altura h aumenta en y unidades (y > 0), entonces el nuevo volumen
es:
V2 = r2 (h + y)
La variación de volumen:
V = V2 – V1
V = r2 [(h + y) – h]
V = r2 [y]
Luego: V = r2 y
Si altura h disminuye en y unidades (0 < y < h), entonces la variación de
volumen es: V = - r2 y
Ejemplo 1:
Calcula el volumen de un sólido cilíndrico cuya altura es 10 centímetros
y cuyo radio de la base es de 3 centímetros. Además:
a. ¿Cuál sería el volumen si el alto se duplicará y la base permaneciese
sin cambiar?
b. ¿Cuál sería el volumen si el radio de la base se duplicará y la altura
permaneciera sin cambiar?
c. ¿Cuál sería el volumen si se duplicaran a la vez la altura y el radio de
la base?
Resolución:
1. Escribimos los datos:
h = 10 cm ; r = 3 cm ; V = ?
2. Ahora la fórmula:
V = r2 h
V = (3cm)2 (10cm) Elevamos al cuadrado
V = 9cm2 (10cm) Multiplicamos
V = 90 cm3 Ordenamos
a. Escribimos los datos:
V1 = ?
h1 = 2h = 20cm
b = h permanece igual
r = 3 cm
La fórmula es:
V1 = r2 (h + y) r = radio
h = altura
y = incremento de altura
Resolvemos:
V1 = (3cm)2 (10cm + 10cm)
V1 = (9cm)2 (20cm)
V1 = 180 cm3
a. V = ?
h = 10cm Si se duplica la nueva altura será 20cm
b = permanece igual, por lo tanto el radio no varía
r = 3cm
V = r2 h
V = (3cm)2 (20cm)
V = 9cm2 (20cm)
V = 180 cm3
b. V = ?
r = 3cm Si se duplica el nuevo radio será r = 6cm; h = 10 cm
Reemplazando los datos:
V = r2 h
V = (6cm)2 (10cm)
V = 36cm2 (10cm)
V = 360 cm3
c. V = ?
h = 10cm Si se duplica, la nueva altura será h = 20cm
r = 3 cm Si se duplica, el nuevo radio será r = 6 cm
Reemplazando los datos:
V = r 2 h
V = (6cm)2 (20cm)
V = (36cm)2 (20cm)
V = 720 cm3
1. El radio de la base de un cilindro de revolución mide 8 , el área de la
superficie lateral es igual al área de su base. Halla la altura del cilindro.
Datos:
r = 8 ; V = r2 h ; AL = 2 rh ; AB = r2
2 r h = r2
2rh = r * r
h =
Calculamos el volumen: V =
¿Cuál sería el nuevo volumen si triplicamos la altura?
¿Cuál sería el nuevo volumen si la altura se reduce a la mitad y el radio se
duplica?
VAMOS A VER COMO LO HACES TÚ
VARIACIÓN DEL PERÍMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA EN
FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN DE SU RADIO
Una circunferencia de radio r tiene un perímetro
L1 = 2 r
Si el radio aumenta en x unidades (x > 0), entonces el nuevo perímetro es:
L2 = 2 (r + x); x > 0
La variación de perímetro es: L = L2 – L1
L = 2 (r + x) - 2 r => L = 2 [(r + x) – r]
Luego: L = 2 x; x>0, donde L es la variación del perímetro de la
circunferencia.
Si el radio r disminuye en x unidades (0 < x < r) entonces la variación del
perímetro es: L = -2 x; x < 0.
Ejemplo 1:
Calcular el perímetro de una circunferencia cuyo radio es de 9 unidades.
Resolución:
Datos: r = 9 ; P = ?
Fórmula: L = 2 r
L = 9(2 )
L = 18
¿Cuál sería la variación del perímetro si el radio aumenta en 3 unidades?
La fórmula es: L = 2 x
L = 2 (3 )
L = 6
¿Cuál sería la variación del perímetro si el radio disminuye en 5 unidades?
La fórmula es: L =
L =
L =
VARIACIÓN DEL ÁREA DE UN CÍRCULO EN FUNCIÓN DE LA
VARIACIÓN DE SU RADIO
Un círculo de radio r tiene un área A1 = r2
Si el radio aumenta en x unidades (x < 0), entonces la nueva área es:
A2 = (r + x)2; x > 0
La variación del área es: A = A2 – A1
A = (r + x)2 - r2
Luego: A = x (2r + x); x > 0; donde A es la variación del área del círculo. Si
el radio r disminuye en x unidades (0 < x < r) entonces la variación del área es:
A = - x (2r – x); x > 0
Ejemplo 1:
Calcula el área del círculo de r = 12
A1 = r2
A1 = (12 )2
A1 = 144 2
¿Qué pasaría con su área si el radio disminuye en 3 ? Halla el área:
A2 = r2
A2 = (12 - 3 )2
A2 = (9 )2
A2 = 81 2
¿Cuál es la variación de sus áreas?
A1 – A2 = A
A = 144 2 – 81 2
A = 632
¿Cuál sería la variación empleando la fórmula?
A = - x (2r – x) Donde x es la disminución del radio.
A = - (3 ) (2 (12 ) – 3 )
A = - (3 ) (21 )
A = -63 El signo menos indica su disminución.
Si el área de una superficie circular es de 64 2. Calcula su radio.
AL = r2
AL = 64 2
Si el radio aumenta en 7 unidades, ¿cuál sería la variación de las áreas?
Y si el radio disminuye 5 unidades, la variación de áreas sería:
Igualando:
r2 = 64 2
r2 = 64 2
r = 8
Simplificamos
Sacamos raíz cuadrada
VAMOS A VER COMO LO HACES TÚ
Síntesis
Cilindro de Revolución
Tronco de Revolución
Cono
Esfera
Tronco de cono Área
Lateral Área Total
Volumen
Volumen del tronco de
cilindro recto
Variación del volumen en función de la variación del radio y la altura de un cilindro de revolución
Variación del perímetro de una circunferencia en función de la variación de su radio
Variación del área de un círculo en función de la variación de su radio
Lee con atención cada una de las preguntas, ejercicios y/o problemas que a
continuación te presentamos, analízalos separándolas en partes si es
necesario, opera aritmética, geométrica o algebraicamente y obtén el resultado
que satisfaga el problema. Recuerda trabajar con honestidad, confiando en ti
mismo y no desmayes en el intento, sé perseverante.
1. Determina el valor de verdad de los siguientes enunciados:
a. La altura de un cilindro es un segmento paralelo a las bases.
b. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es una región
rectangular.
c. El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura del
cilindro.
d. Si se rota un rectángulo (completamente) alrededor de cada uno de sus
lados se obtienen cilindros de igual volumen.
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 1
Forma con tus compañeros(as) equipos de cuatro integrantes y resuelvan los
siguientes problemas. Recuerden que deben poner en práctica una actitud
participativa y democrática, aportar sus propios puntos de vista y respetar los
demás integrantes.
2. Un rectángulo de 4 x 7 se rota alrededor del lado largo para generar un
cilindro y se rota alrededor del lado corto, para generar otro cilindro. ¿Cuál
es la razón entre los volúmenes de estos cilindros?
¡TRABAJAMOS EN EQUIPO!
3. Determina el área total, área lateral y el volumen de los cilindros.
4. Obtén el volumen del tronco de cilindro cuando:
a. r = 1 cm ; g = 2 cm ; G = 3 cm
b. r = ½ cm ; g = 5 cm ; G = 7 cm
c. r = 2 cm ; g = 3/2 cm ; G = 5/2 cm
d. r = ( 2 – 1) cm ; g = 2 2 cm ; G = 3 cm
12
20
5
25
35
a. b.
c.
g
G
r
3
UNIDAD 2: CONO DE REVOLUCIÓN
Objetivo General: Reconocer al cono como un sólido de revolución cuyo
estudio permita el mejoramiento del medio ambiente.
Objetivos específicos:
1. Identificar las partes del cono.
2. Interpretar las fórmulas para hallar el área lateral, área total y volumen del
cono.
3. Aplicar adecuadamente las fórmulas en la resolución de problemas.
4. Diferenciar el cono de revolución del tronco de cono de revolución.
- Aplicar fórmulas del tronco de cono de revolución en la resolución de
problemas.
- Perseverar en el estudio del tema.
Lee con atención las preguntas e intenta responder de la mejor forma:
1. Calcular el área de los siguientes sectores circulares:
a. b.
c. d.
2. Calcular el área de las siguientes regiones poligonales:
a. b.
5
60°
1
15°
2
45°
4 30°
30°
12
5
h = 3
3
2
4
Prueba de entrada N°2
Requisitos:
Antes de empezar esta unidad, para comprender los nuevos temas,
debes recordar algunos contenidos estudiados anteriormente:
- Área del triángulo
- Área del círculo
- Área del sector circular
- Longitud del arco
- Longitud de la circunferencia
- Área del trapecio
- Teorema de Pitágoras
Contenidos:
- Cono de revolución
- Área lateral, área total y volumen de un cono de revolución
- Tronco de cono de revolución
- Área lateral, área total y volumen de un cono de revolución
- Variación del volumen en función de la variación del radio y la altura
de un cono de revolución.
CONO DE REVOLUCIÓN
ESTRATEGIA – ACTIVIDAD
Observa el siguiente cono (de cartulina o en video) y contesta las siguientes
preguntas:
- ¿Cómo crees que se origina este sólido?
- ¿Qué partes identificas en este sólido geométrico?
Consideremos una región triangular ABC con ángulo recto en el vértice B. Si la
hacemos girar alrededor de su cateto BC, se generará un sólido denominado
cono de revolución o cono recto.
Por lo tanto:
El cono de revolución es el sólido que se genera mediante la rotación
completa de una región triangular rectangular alrededor de uno de sus catetos.
¿Qué elementos observas en este sólido?
Los elementos de un cono recto son:
Vértice: A
Base: círculo de centro O y radio r
Eje de rotación: L que se traza por O y A
Generatriz (g): AB
Altura (h): segmento AO perpendicular a la base
A
L
g
O B
Recuerda: En un cono de revolución, la longitud de la altura es menor
que la longitud de la generatriz.
ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL Y VOLUMEN DE
UN CONO DE REVOLUCIÓN
ÁREA LATERAL (AL)
Si hacemos un corte a lo largo de una generatriz cualquiera de la superficie
lateral del cono y desarrollamos la superficie lateral se obtiene un sector
circular.
Al calcular el área de dicho sector circular obtenemos el área lateral del cono
recto. Así:
i. Tenemos que el área del sector circular AOB está determinada por:
ASC = * g2 (1)
ii. Sabemos que la longitud del arco AB está determinada por:
LAB = → 2 r =
Donde obtenemos la siguiente expresión:
= (2)
h
g
g g α
Longitud de La circunferencia de la base
iii. Reemplazar (2) en (1) y simplificamos:
ASC = * * g2 → ASC = r * * g
iv. Luego, como ASC = AL, tenemos: AL = * r * g
ÁREA TOTAL (AT)
La superficie total del cono de revolución está determinada por la superficie
lateral y la superficie de la base (círculo), por lo que el área total será igual a la
suma del área lateral más el área de su base. Así:
AT = AL + AB → AT = r g + r2 → AT = r (r + g)
VOLUMEN (V)
El volumen del cono de revolución está determinado por la tercera parte del
producto del área de su base por su altura. Así:
V = AB h → V = r2 h
Resumen de fórmulas:
AL = * r * g AT = AL + AB V = AB h
Ejemplo 1:
Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 10 cm de
generatriz y cuya base tiene un radio de 6 cm.
Resolución:
Por datos del problema, tenemos: r = 6 cm y g = 10 cm
En el triángulo rectángulo VOW formado por el radio, la generatriz y la altura
del cono. Como se trata de un triángulo notable, h = 8 cm (¿por qué?)
i. Calculamos el área lateral AL aplicando la fórmula:
AL = r g → AL = (6cm)(10)cm2 → AL = 60 cm2
ii. Calculamos el área total AT aplicando la fórmula:
AT = r (r + g) → AT = (6) (16) cm2 → AT = 96 cm2 o
AT = AL + AB → AT = 60 cm2 + 36 cm2 → AT = 96 cm2
Porque AB = r2 → AB = (6cm)2 → AB = 36 cm2
iii. Calculamos el volumen del cono al aplicar la fórmula
V = r2 * h → V = (6)2 (8) cm3 → V = (36) (8) cm3
V = 96 cm3
Ejemplo 2:
Una cuerda de la circunferencia de la base de un cono recto de 8 cm. de altura,
mide 16 cm. Si la distancia de la cuerda al centro de la circunferencia de la
base es 4 cm, ¿cuánto mide la generatriz? ¿Cuál es el volumen del cono?
Resolución:
i. De la figura obtenemos el triángulo AHB; de H hasta A y de H
hasta B.
Se forma trazando dos líneas auxiliares AH y HB. Estas líneas son radios
porque parten del centro de la circunferencia y llegan a dos puntos del borde de
la misma.
M es punto medio, por lo tanto cada segmento es la mitad de 16 cm, es decir, 8
cm.
ii. En el triángulo HMB, aplicamos el teorema de Pitágoras.
r2 = (16 + 64) cm2
r2 = (80 cm2)
r2 = (80cm2)
r = 16 x 5 cm2
r = 4 5 cm
B
M
A
H r
g
4cm
8 cm
16 cm
4 cm
8 cm 8 cm M
B A
H
Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros. Descomponemos 80 en dos
factores: 16 y 5, porque 16 tiene raíz cuadrada exacta.
iii. En el cono se cumple que: g2 = h2 + r2. Reemplazando los valores
de h y r:
g2 = 82 + (4 5)2 cm2
g2 = (64+80) cm2
g2 = 144 cm2
g2 = 144 cm2
g = 12 cm
Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros.
iv. Al reemplazar los valores de r y R, calculamos el volumen del
cono:
V = r2h donde r = 4 5cm h = 8 cm
Reemplazando:
V = (4 5 cm)2 (8 cm)
V = (16 * 5 cm2) (8 cm)
V = (80) (8) cm3
V = 640 cm3
TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN
Consideremos la región ABCD, de forma de trapecio rectángulo. Si la hacemos
girar alrededor de su lado AD, perpendicular a las bases, se generará un sólido
denominado tronco de cono de revolución.
El tronco de revolución es el sólido generado mediante la rotación completa
de una región limitada por un trapecio rectángulo alrededor del lado
perpendicular a las bases.
También se obtiene el tronco de cono de revolución al cortar un cono de
revolución mediante un plano paralelo a la base.
Los elementos del trono del cono son:
Bases: círculos de centros A y D con radios R y r, respectivamente.
Eje de rotación: L que se traza por D y A.
Generatriz (g): BC.
Altura (h): segmento AD perpendicular a las bases.
C D
B A
C D
B A
ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE
CONO DE REVOLUCIÓN
Área lateral (AL)
Consideremos el cono truncado M’MNN’ de radios r, R y generatriz g, y los
conos VNN’ de radio R y generatriz G y VMM’ de radio r y generatriz G – g.
El área lateral AL del cono truncado M’ MNN’ es igual a la diferencia de las
áreas laterales AL1, AL2 de los conos VNN’ y VMM’, respectivamente, es decir:
C D
B A
r
L
R
g h
V
Q N’ N
M’ M
R
G
g
r P
i. AL = AL1 – AL2 → AL = RG - r (G – g) → AL = RG - rG + rg
como debemos expresar el área total lateral en función de g, R y
r, tenemos: De los triángulos rectángulos semejantes VPM y VQN
ii. = → R (G – g) = Gr → RG – Rg = Gr → G =
iii. Reemplazamos ii. en i.:
AL = R = - r + r g
= R2 – Rr + r (R – r)
AL = (R2 – r2) → AL = g (R + r)
Área total (AT)
AT = AL + AB’ + AB → AT = (r + R) g + r2 + R2
→ AT = (r + R) g + r2 + R2
Volumen (V)
V = (B + B’ + B * B’) → V = ( R2 + r2 + ( R2 + r2 + ( R2) ( r2)
→ V = h * (R2 + r2 + Rr)
Resumen de fórmulas
AL = * g (R + r)
AT = AL + AB’ + AB
V = h * (R2 + r2 + Rr)
Donde:
g = generatriz
r = radio menor (del círculo pequeño)
R = radio mayor (del círculo grande)
AB’ = área de la base
AB = área de la base
Ejemplo 1:
Calcula el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono
mostrado en la gráfica.
Por datos del problema tenemos:
r = 2
R = 5
h = 4
g = 5
i. Calculamos el área lateral del tronco de cono aplicando la fórmula:
AL = (r + R) g
Reemplazando datos:
AL = (2 + 5) (5) 2
AL = 35 2
2
5
5 4
ii. Calculamos el área total del tronco de cono aplicando la fórmula:
AT = (r + R) g + r2 + R2
Reemplazando datos:
AT = (2 + 5) (5) + (2)2 + (5)2 2
AT = 64 2
También podemos utilizar la fórmula
AT = AL + AB’ + AB
Donde AB = (5 )2
= 25 2
AB’ = (2 )2
= 4 2
Reemplazando datos en la fórmula
AT = 35 2 + 25 2 + 4 2
AT = 64 2
iii. Calculamos ahora el volumen del tronco de cono aplicando la
fórmula:
V = h * (R2 + r2 + Rr)
Reemplazando datos en la fórmula:
V = (4) (5)2 + (2)2 + (5) (2) 3
V = 4 (25 + 4 + 10) 3
V =
V = 52 3
Ejemplo 2:
Algunos de los postes para el alumbrado público tiene como base una
estructura de concreto con la forma de un tronco de cono de revolución
de 20 cm. de altura, cuyas bases tiene diámetros de 50 cm. y 20 cm.
Calcular:
a. El área lateral del soporte
b. El volumen del soporte
Resolución:
a. Cálculo del área lateral del soporte.
i. El soporte tiene la forma de un tronco de cono recto, luego
aplicamos la siguiente fórmula para calcular el área lateral.
AL = g (R + r) (1)
Donde g es la generatriz, R la longitud del radio mayor y r la
longitud del radio menor.
ii. Por datos del problema tenemos:
D = 50 cm d = 20 cm
R = 25 cm r = 10 cm h = 20 cm
Donde:
D = diámetro mayor
d = diámetro menor
R y r = radios
h = altura
Pero para poder aplicar la fórmula (1) necesitamos el valor de g.
En el triángulo ABC de la figura observamos que se cumple:
g2 = (20)2 cm2 + (15)2 cm2
g2 = 400 cm2 + 225 cm2
g2 = 625 cm2
Sacamos raíz cuadrada a ambos miembros.
g2 = 625 cm2
g = 25 cm
Si DB = 25, EA = 10 y DC = 10, entonces CB = 15 cm
iii. Reemplazamos los valores de g, R y r en la fórmula (1)
AL = (25) (25 + 10) cm2
AL = (25) (35) cm2
AL = 875 cm2
iv. Luego, el área lateral del soporte del poste es 875 cm2
b. Cálculo del volumen del soporte
i. Para calcular el volumen del soporte utilizamos la siguiente
fórmula
V = h (R2 + r2 + Rr) (2)
ii. Reemplazamos los valores de h, R y r en la fórmula (2)
V = (20) 252 + 102 + (25) (10) cm3
V = (20) (625 + 100 + 250) cm3
V = (20) (975) cm3
Multiplicando y simplificando
V = 6500 cm3
iii. Luego, el volumen del soporte del poste es 6500 cm3
VARIACIÓN DEL VOLUMEN EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN DEL
RADIO Y LA ALTURA DE UN CONO DE REVOLUCIÓN
El volumen de un cono circular con radio r y altura h es:
V1 = r2 h
i. Si el radio aumenta en x unidades (x > 0), entonces el nuevo
volumen es:
V2 = (r + x)2 h
La variación del volumen es:
V = V2 – V1 → V = (r + x)2 – r2 h
V = (r + x - r)(r + x + r) h → V = x (x+2r) h
r
r + x
h
Luego: V = * x (x+2r) h ; x > 0
ii. Si la altura aumenta en y unidades, entonces el nuevo volumen es:
V2 = r2 (h + y); y > 0
La variación de volumen es:
V = V2 – V1
V = r2 (h + y) – h
V = r2 * y
Luego: V = r2 * y ; y > 0
h + y
h
Ejemplo:
A partir de un cono, ¿es posible hallar dos conos de diferentes
volúmenes, uno de ellos al incrementar su radio en una cierta
longitud y el otro al incrementar su altura en la misma longitud, de tal
manera que dichos conos tengan el mismo volumen? De ser la
respuesta afirmativa, identificar la condición o condiciones que
deben cumplirse.
Resolución:
i. Si los conos llegan a tener el mismo volumen, los incrementos Va ,
Vb deben ser iguales, es decir: Va = Vb
Reemplazando los datos:
x (x + 2r) h = = r2 y 0 < x < r 0 < y < h
ii. Como los incrementos x, y son de la misma longitud, tenemos: y = x
iii. Reemplazamos ii en i:
x (x + 2r) h = = r2 x
Eliminamos lo que se repite en ambos miembros.
(x + 2r) h = r2 , 0 < x < r
x + 2r =
x = - 2r , 0 < x < r
iv. Como x > 0, reemplazamos iii. en iv.:
- 2r > 0
> 2r simplificando r en ambos lados
> 2 r > 2h
v. Luego, si es posible obtener dos conos del mismo volumen, tales
que el incremento x es x = - 2r, sujeto a la condición: r > 2h.
Lee con atención cada una de las preguntas, ejercicios y/o problemas que a
continuación te presentamos, analízalos separándolas en partes si es
necesario, opera aritmética, geométrica o algebraicamente y obtén el resultado
que satisfaga el problema. Recuerda trabajar con honestidad, confiando en ti
mismo y no desmayes en el intento, sé perseverante.
1. Los catetos de un triángulo rectángulo tienen longitudes 2 y 3. Al rotar los
triángulos sobre sus lados cortos y largos, se forman conos. Calcula la
razón entre los volúmenes y la razón entre las áreas totales de ambos
sólidos.
Prueba de comprobación N° 2
6
3 A C
2
B giro b. a.
B
2
C 3
c. 3
B
A 4 C giro
2. Obtén el área total, área lateral y el volumen de los conos rectos
3. Si el volumen de un cono es 72 , encuentra la altura y el radio si son
iguales. Además, halla la longitud de la generatriz.
a.
17
15
b.
11
11
c.
12
5
a = h
B
A A
r = a
C
4. Este sólido está formado por un cono cortado o truncado por un plano
paralelo a la base del cono. Calcula el volumen, el área lateral y el área
total.
5. Calcula el volumen del cono recto cuya altura es 20 centímetros y cuyo
radio de la base es 3 centímetros.
a. ¿Cuál sería el volumen si la altura se duplica y la base permaneciera sin
cambiar?
5 2
45°
8 2
h
B
D A C
B
BD = 20cm DC = 3cm
2h
D A C
B
BD = 40cm DC = 3cm
r
b. ¿Cuál sería el volumen si el radio de la base se duplica y la altura
permaneciera sin cambiar?
c. ¿Cuál sería el volumen si se duplican a la vez la altura y el radio de la
base?
h
B
D A
2r
C
2h
D A C
B
2r
BD = 40cm DC = 6cm
Síntesis
Cilindro de Revolución
Tronco de Revolución
Área Lateral
Área Total
Volumen
Variación del volumen en función de la variación del radio y la
altura de un cono de revolución
Cono de Revolución
Tronco de cono de Revolución
Esfera
Área Lateral
Área Total
Volumen
Unidad 3: SUPERFICIE ESFÉRICA Y
ESFERA
Objetivo general: Identificar a la superficie esférica como una superficie de
rotación, para hacer cálculos y estudios en el universo.
Objetivos específicos:
- Identificar a la superficie esférica.
- Aplicar la fórmula adecuada para hallar el área de la superficie esférica.
- Identificar a la esfera como un sólido de rotación.
- Aplicar convenientemente la fórmula del volumen de la esfera así como
para las variaciones de volumen, radio y superficie esférica.
- Ser perseverante, honestos y colaboradores.
PRUEBA DE ENTRADA N° 3
Lee con atención las preguntas y responde. Anota tus procedimientos
1. Calcula el área de los siguientes sectores circulares:
a.
b.
c.
d.
2. Si el área de la región sombreada es 10 u 2, obtén el área del trapecio
ABCD, tal que AD // BC.
60°
5 u
30°
30°
12 u
15°
1 u
45°
2 u 4 u
C
D
B
A
3. Si el área del cuadrilátero ABCD es 36 u2, calcula el área de la región
sombreada.
4. Obtén el área del siguiente cuadrilátero
5. Calcula la longitud de las siguientes curvas.
A
B
C
D
2 u
3u
2 u
3 u
6 u
B
C
D
O
2 u
A
REQUISITOS: Antes de empezar esta unidad, para comprender los nuevos
temas, debes recordar algunos contenidos estudiados
anteriormente.
- Área de regiones poligonales
- Sector circular
- Longitud de arco
AB = BC = AC = 10u
B
A 5 u
5 u
B
C
A
CONTENIDOS
SUPERFICIE ESFÉRICA
ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
ESFERA
VOLUMEN DE LA ESFERA
VARIACIÓN DEL VOLUMEN Y DEL ÁREA DE LA
SUPERFICIE EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA
ESFERA
Observa un video del sistema planetario, poniendo
énfasis en los satélites y responde:
¿Qué forma tienen los satélites?
¿Podrías calcular su volumen?
¿Es importante conocer las medidas de los
satélites? ¿Por qué?
ESTRATEGIA - ACTIVIDAD MOTIVADORA
SUPERFICIE ESFÉRICA Y ESFERA
Consideremos una semicircunferencia de diámetro AB. Si la hacemos girar
alrededor de su diámetro se generará una superficie llamada superficie
esférica.
SUPERIFICIE ESFÉRICA
A
B B
A
La superficie esférica es la superficie generada por la rotación completa de una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
El área de una superficie esférica de radio R, se obtiene aplicando la fórmula
siguiente:
Donde S = superficie
R = Radio
Consideremos un semicírculo de diámetro AB, si lo hacemos girar alrededor de
su diámetro se genera un sólido llamado esfera.
B
A
B
A
Área de la superficie esférica
S = 4
Esfera
Los elementos de la esfera son: Centro de la esfera: O Radio: R
Eje de rotación: L que pasa por B y A.
Diámetro: AB Círculo máximo: círculo de centro O, que se
genera al intersecar la esfera con un plano
que pasa por su centro.
El volumen de una esfera de radio R, se obtiene aplicando la fórmula siguiente: Ejemplo 1:
La esfera es el sólido generado mediante la rotación completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. En otras palabras, la superficie esférica es la parte de fuera y la esfera es todo lo de adentro.
O R
A
B L
Volumen de la esfera
V = R3
Calcula el área de la superficie esférica y el volumen de una esfera de radio 3u. Resolución: Por datos del problema tenemos R = 3u
i. Al aplicar la fórmula, calculamos el área de la superficie esférica:
S = 4 R2 Reemplazando datos:
S = 4 (3)2 u2
S = 4 (9) u2
S = 36 u2
ii. Calculamos el volumen de la esfera aplicado la fórmula:
V = R3 V = (3)3 u3 V = (27) u3 V = 36 u3
Ejemplo 2:
Halla el área de la superficie esférica y el volumen de cada una de las esferas
cuyos radios se indican a continuación
a. r = 3 cm
b. r = 9 cm
c. r = 2 cm
Resolución
3 cm 2 cm
9 cm
a. V = 3 cm por dato
S = superficie física = 4 R2
Entonces S = 4 (3 cm)2
S = 4 (9 cm2)
S = 36 cm2
El volumen V = R3
Reemplazando: V = (3cm)3
V = (27 cm3)
V = 36 cm3
b. r = 9 cm
S = 4 R2
S =
S =
S =
V = R3
V = ( )3
V = ( )
V =
c. r = 2 cm
S = 4 R2
V = R3
Ejemplo 3:
Obtén:
a. El volumen de una esfera de radio 9 cm
b. El área de la esfera de radio 9 cm
c. El radio de la esfera, si el volumen es 8 u3
d. El radio de la esfera, si el área de la esfera es 36 u2
Resolución:
a. R = 9 cm
V = R3
V = (9 cm)3
V = 729 cm3
V = (243 cm3)
V = 972 cm3
b. R = 9 cm
S = 4 R2
c. V= 8 u3
R = ¿?
De la fórmula de volumen despejamos R:
V =
Reemplazando:
3
R =
d.
VARIACIÓN DEL VOLUMEN Y DEL ÁREA DE LA
SUPERFICIE EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA ESFERA
AHORA INTÉNTALO TÚ
El volumen de una esfera con radio R es:
I. Si el radio aumenta en x unidades (x> 0), entonces el volumen de la
nueva esfera es
La variación del volumen de la esfera es:
–
Luego
V1 =
V2 = ; x > 0
; x > 0
II. El área de la superficie de una
esfera con radio R, es S1= 4 R2 si
el radio aumenta en x unidades,
entonces el área de la nueva esfera
es:
S2= 4 (R + x)2; x > 0
La variación del área de la esfera es:
Luego:
Ejemplo:
a. Si el radio de una esfera se duplica, ¿Cuál es el efecto sobre el
volumen?
Resolución
R1 = x
R2 = 2x
V1 =
V1 =
V2 =
V2 =
V2 =
V2 = a V1
= a simplificando a = 8; es decir aumenta 8 veces
R + x R
; x > 0
r
2 r
3 r
V1 S1
V2 V2 = aV1 a= ?
V3 = bV1 b =? S3 = cS1 C = ?
b. Si el radio de una esfera se triplica,¿Cuál es el efecto sobre el volumen?
¿Y sobre el área superficial?
Datos:
R1= x
R3 = 3x
Reemplazando en la fórmula de volumen
V1 = V3 = = = 36 x3
Luego :
V3 = b V1
Reemplazando el valor de los volúmenes:
b= multiplicando extremos y medios
b= simplificando b = 27
Finalmente:
S3= CS1
Reemplazando:
INTRODUCCIÓN
Lee con atención cada una de las preguntas, ejercicios y/o problemas que a
continuación te presentamos, analízalos separándolas en partes si es
necesario, opera aritmética, geométrica o algebraicamente y obtén el resultado
que satisfaga el problema. Recuerda trabajar con honestidad, confiando en ti
mismo y no desmayes en el intento, sé perseverante.
1. Dos esferas tienen sus radios en la razón
a. Calcula la razón entre sus volúmenes.
b. Calcula la razón entre sus áreas superficiales
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 3
r1 r2
2. Si el número de centímetros cuadrados del área de una esfera es igual al
número de centímetros cúbicos del volumen. ¿Cuál es el radio de la esfera?
3. Si el diámetro de la Tierra es aproximadamente 12 742 km y consideramos
que tiene una forma esférica, calcula:
a. El área superficial de la Tierra.
b. El volumen de la Tierra.
c. El área superficial de océanos y mares si se considera que ocupan el
71 % del área superficial de la Tierra.
d. El volumen de la parte más densa de su atmósfera si sabemos que se
extiende hasta una altura de 30 km desde su supeficie.
r
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA PLANA: CÓNICAS
UNIDAD 4
CIRCUNFERENCIA
UNIDAD 5:
PARÁBOLA
ELIPSE
UNIDAD 6:
CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 2: Introducción a la Geometría Analítica Plana: Cónicas
PRUEBA DE ENTRADA
Objetivo General:
Analizar y describir algebraicamente elementos geométricos como
trayectorias y relaciones métricas.
Objetivos Específicos:
1. Determinar la trayectoria de móviles como lanzamiento de
proyectiles, piedras, etc. (curva parabólica).
2. Inferir la trayectoria de planetas en órbitas alargadas o
elípticas (forma de elipse).
3. Calcular la trayectoria de móviles, como ruedas, las cuales equidistan
de un punto fijo.
Recuerda y resuelve:
1. Si a = 1, b = 2, c = 3 y d = 0 Halla el valor numérico de:
a. b. c.
2. Despeja la variable X en función de Y
a. 3x + 2y = 0 b.
3. Encuentra el lado que falta si se sabe que ABC es un triángulo recto en B (a
y c son catetos y b la hipotenusa)
a. a = 3m; b =? ; c = 4m b. a = 0,6 m; b = 1m; c =?
PRUEBA DE ENTRADA N° 1
4. Encuentra el tercer término para que cada binomio se pueda expresar como
trinomio o cuadrado perfecto
a. x2 - 30x + _________= (x – 15) 2
b. x2 - 3x + _________= (x – ) 2
c. x 2 +
5. Factoriza las siguientes expresiones
a. 3x2y - xy2 b. -8xy + x2 + 16 y2
6. Elimina el radical y resuelve las ecuaciones
a. + x = 1 b. +
7. Factoriza los siguientes términos sumando y restando una cantidad para
que sean trinomios cuadrados perfectos
a. y4 + 45 y2 + 100 b. x4 - 22 x2 y2 + 49 y4
8. resuelve las siguientes ecuaciones
a. + b. +
UNIDAD 4: CIRCUNFERENCIA
Objetivo General: Calcular la trayectoria que describe un móvil con movimiento circular.
Objetivos Específicos: 1. Inferir los elementos de la circunferencia
2. Graficar el movimiento circular
3. Comparar las ecuaciones de la circunferencia
4. Resolver ejercicios y/o problemas sobre circunferencia
Recuerda y resuelve
1. Determina si es verdadero o falso cada uno de los siguientes enunciados
a. El plano cartesiano tiene 3 ejes coordenados. ( )
b. El plano cartesiano es un conjunto infinito de puntos. ( )
c. Dos pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si a = c y b = d.( )
d. Los pares ordenados (a; b) y (a; c) son distintos si b y c son iguales. ( )
e. (2; 3) = (3; 2) ( )
f. (1; 2) (2; 1) ( )
g. Si a 0 b 0, entonces el punto P(a; b) no es el origen ( )
2. Observa el gráfico y determina si es verdadero o falso cada uno de los
siguientes enunciados
a. L 1 y C tienen un punto en común.
b. L4 interseca a C en dos puntos.
c. L3 no interseca a C en tres puntos.
d. L2 y C no tienen puntos en común
P
C
L4
L3
L1
L2 C
PRUEBA DE ENTRADA N° 2
e. L 1 y L2 son rectas paralelas
f. L3 L4 =
g. L2 L4
REQUISITOS
Distancia entre dos puntos
Sistema de coordenadas rectangulares
Teorema de Pitágoras
Ecuaciones cuadráticas con 2 variables. Método
complementación de cuadrados
Desarrollo de un Binomio
CONTENIDOS
1. CIRCUNFERENCIA
2. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
3. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA
Actividad motivadora:
Se lleva un cono circular recto y se secciona su superficie con un plano,
observando las diferentes curvas, haciendo énfasis en la circunferencia.
Consideramos en un plano los puntos P0 y P1 que se encuentran separados a una
distancia “r” de P0; como por ejemplo: P2, P3, P4, P5…
El conjunto de todos los puntos cumplen con esta condición es un lugar geométrico
llamado circunferencia.
La circunferencia como
cónica
La circunferencia es la curva
que se obtiene al intersecar un
plano con el cono. Este plano
no pasa por el vértice y es
perpendicular al eje del cono
La circunferencia es el conjunto de todos los
puntos del plano que equidistan de un punto
fijo del mismo plano.
La circunferencia es un lugar geométrico
Al punto fijo se llama centro de la circunferencia y a la distancia constante se le llama radio. Así, la circunferencia C de centro P0 € R2 y radio r > 0, se denota:
C = {P € R2 /d (P0, P) = r}
Recuerda que: El lugar geométrico es el conjunto
de puntos del plano que cumplen una cierta
condición o propiedad.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
En la figura observamos que el punto C (h; k) es el
centro de la circunferencia y que el punto P (x; y)
pertenece a dicha circunferencia.
Como sabemos, la distancia del centro de la
circunferencia a cualquier punto de esta es el radio.
Así: d (C; P) = r.
Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano tenemos:
Elevamos al cuadrado ambos miembros y obtenemos:
r
P (x; y)
C (h; k)
= r
=
La ecuación = es conocida como la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro C (h; k) y radio r, r > 0.
Observamos que la ecuación de la circunferencia queda completamente
determinada cuando se conoce su centro y su radio.
Ejemplo 1: Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia de radio 3, cuyo
centro es el punto (- 1; -2).
Resolución:
Como hemos visto, la ecuación ordinaria de
la circunferencia está dada por
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Por condición del problema: h= -1; k= -2;
r= 3
Reemplazando ii. en i. obtenemos:
(x – (-1))2 + (y – (-2))2 = (3)2
Luego, la ecuación ordinaria de la
circunferencia es: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9
Recuerda que: Dados los puntos del
plano P (x1; y1), la distancia entre ellos
se denota d (P; Q) y se obtiene mediante
la expresión:
d (P; Q) =
-4 -3 -1 1 2 x
Y
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-5
-4 -1 1 2 x
-1
-2
-4
-3
-2
-5
1
2
-4 -1 1 2 x
-1
-2
-4
-3
-2
-5
(-1; -2)
Ejemplo 2: Dada la ecuación (x – 3 )2 + (y + 1)2 = 25, determina el centro y el radio
de la circunferencia.
Resolución:
La ecuación dada la transformamos a la forma ordinaria, así:
(x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 ; (x – 3)2 + (y – (-1))2 = 52 donde h = 3, k = -1; r = 5
Luego, el centro de la circunferencia es el punto (3; -1) y el radio es 5.
1. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia de radio 3 y centro
(-3; -5)
2. Dada la ecuación (x + 4)2 + (y – 2)2 = 9 determina el centro y el radio de la
circunferencia.
AHORA INTÉNTALO TÚ
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Dada la circunferencia de centro (h; k) y radio r, su ecuación ordinaria es: Tomamos como centro de la circunferencia el origen de coordenadas, es decir: Entonces; la ecuación se transforma en:
(x – h)2 + (y – k)
2 = r
2
(h; k) = (0; 0)
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r
X2 + y2 = r2
La ecuación X2 + y2 = r2 es conocida como la ecuación
canónica de la circunferencia C, de centro C (0, 0) y
radio r, r > 0.
Ejemplo 1: La ecuación canónica de una circunferencia de radio 3 es:
X2 + y2 = 32
X2 + y2 = 9
Ejemplo 2: Determina la ecuación canónica de la circunferencia y bosqueja su
gráfica, Si:
Centro (0; 0) radio: 8
Ecuación canónica:
X2 + y2 = r2
X2 + y2 = (8)2
X2 + y2 = 64
Ejemplo 3: determina la ecuación canónica de la circunferencia y gráfica. Si: centro
C (0; 0); radio r = 2,5
r= 3
(0; 0)
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Dada la circunferencia de centro C (h; k) y radio r, r > 0, su ecuación ordinaria es: Desarrollamos los binomios y obtenemos: Al transformar -2h= D, -2k = E, h2 + k2 - r2 = F y al reemplazar en , obtenemos la ecuación de segundo grado de la forma:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
X2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0
I
I
X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
La ecuación de cualquier circunferencia puede expresarse en la
forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Conocida como la forma general de la ecuación de la circunferencia,
donde:
D = - 2h; E= -2k; F=h2 + k2 – r2
Ejemplo 1: La ecuación x2 + y2 – 4x – 8y + 11 = 0 corresponde a una
circunferencia. Hallar su centro y su radio.
Resolución:
i. Al completar cuadrados transformamos la ecuación
x2 + y2 – 4x – 8y + 11 = 0 a su forma ordinaria: x2 – 4x + y2 – 8y + 11 = 0
X2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 + 11 – 4 – 16 = 0
(x – 2)2 + (y – 4)2 - 9 = 0
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 32
Donde: h= 2; k= 4; r = 3
ii. Luego, el centro de la circunferencia es C (2; 4) y su radio es r = 3.
Ejemplo 2: Identifica el centro y radio de cada circunferencia y grafícala.
a. X2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0
Solución:
X2 - 2x + 1 + y2 + 6x + 6 – 1 – 9 = 0
(x – 1)2 + (y + 3)2 – 4= 0 completando cuadrados
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 4
(x – 1)2 + (y + 3)
2 = 2
2
h = 1; k = -3; y = 2
b. X2 – 2x + y2 + 6y + 10 = 0
Solución:
X2 – 2x + y2 + 6y + 10 = 0
X2 – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 + 10 – 1 – 9 = 0 completando cuadrados
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 0
h= 1; k=-3; r= 0
c. 2x2 + 2y2 – 2x – 2y – 3 = 0
Solución:
Multiplicamos por para que los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a 1, como lo
establece la ecuación general de la circunferencia.
X2 + y2 – x – y = la constante pasa al otro miembro
Agrupamos los términos según las variables (x2 – x) + (y2 - y) = sumamos en
ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad de los coeficientes de “x” e
“y”.
Así sumamos
)2 = ; )2 =
(x2 – x + ) + (y2 – y + ) = +
(x - )2 + (y - )2 =
C ( ; r=
1. Halla en cada caso la ecuación de la circunferencia de centro C.
a.
INTÉNTALO AHORA TÚ
16 x2 + 16 y2 - 16x + 40y – 7 = 0
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 1
b.
c.
d.
2. Determina los coeficientes D, E y F de la ecuación general de la
circunferencia de centro (-3; -5) y radio 7.
3. Consideremos la circunferencia de ecuación
4x2 + 4y2 + 20x – 8y + 9 = 0. Calcula las coordenadas de su centro y su
radio.
UNIDAD 5: PARÁBOLA
PRUEBA DE ENTRADA
Objetivo General: Calcular la trayectoria que describe un móvil con movimiento parabólico.
Objetivos Específicos: 5. Inferir los elementos de la parábola
6. Graficar el movimiento parabólico
7. Comparar las ecuaciones de la parábola
8. Resolver ejercicios y/o problemas sobre parábola
Para poder realizar el tema sobre parábola, recordemos algunos conocimientos previos Recuerda y resuelve: I. Si a = 1, b = 2, c = 3 y d = 0 Halla el valor numérico de:
a.
b.
c.
II. Despeja la variable X en función de Y
b. 3x + 2y = 0 b.
III. Encuentra el lado que falta si se sabe que ABC es un triángulo recto en B (a y c
son catetos y b la hipotenusa)
b. a = 3m; b =? ; c = 4m b. a = 0,6 m; b = 1m; c =?
PRUEBA DE ENTRADA N° 3
IV. Encuentra el tercer término para que cada binomio se pueda expresar como
trinomio o cuadrado perfecto
a. x2 - 30x + _________= (x – 15) 2
b. x2 - 3x + _________= (x – )
2
c. x 2 +
V. Factoriza las siguientes expresiones
a. 3x2y - xy2 b. -8xy + x2 + 16 y2
REQUISITOS
Distancia entre dos puntos
Sistema de coordenadas rectangulares
Teorema de Pitágoras
Ecuaciones cuadráticas con 2 variables. Método
complementación de cuadrados
Desarrollo de un Binomio
CONTENIDOS
1. PARÁBOLA
2. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA
3. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
ACTIVIDAD
1. Para realizar una parábola debes tomar una hoja de acetato en ella se dibuja un
punto.
Para construir la parábola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto del
borde inferior coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo
este procedimiento varias veces con un punto distinto del borde inferior cada vez,
tendremos que las marcas de los dobleces han formado una parábola.
El punto dibujado es el foco y el borde inferior de la hoja, la directriz.
2. Otra forma de encontrar una parábola es la siguiente. Debes hacer un corte a un
cono de tecnopor con un plano, la dirección del corte debe ser desde la base del
cono a cualquier punto del cono.
El perímetro de este corte será una parábola.
(VER VIDEO- N° 1)
PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (d), ambos contenidos
en el mismo plano.
Si P(x; y) es un punto de la parábola, se cumple que:
d (P; foco) ═ d (P; directriz) ═ constante
Los elementos más importantes de la parábola son:
Foco : Es el punto fijo F
Directriz : Es la recta fija L
Parámetro : Es la distancia del foco a la directriz y se designa por 2p
Vértice (V) : Es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría
Eje focal : Es la recta que contiene al foco y al vértice de la parábola.
Lado recto : Es la cuerda focal LR perpendicular al eje focal o eje de simetría de la
parábola, cuya medida es |4p|
2p
L
AB
L
D A
B
X
Y
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON
VÉRTICE EN EL ORIGEN
A continuación vamos a hallar la ecuación de la parábola en forma analítica.
Para ello supongamos que el eje focal de la parábola coincide con el eje x y que el
vértice se encuentra en el origen del sistema.
De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del foco son F (p;O) y que la directriz
tiene como ecuación x═ - p.
Si P(x; y) es un punto de la parábola se cumple
que:
d (P;F) ═ d(P;D)
– ═ x + p
(x – p)2 + y2 ═ (x + p)2
X2 - 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2
Ten en cuenta esta observación:
Si p > o, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje x, por lo tanto, su
concavidad se orienta hacia la derecha.
Si p < o, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje x, por lo tanto, su
concavidad se orienta hacia la izquierda.
Y
L
D
X
X = - p
O
De igual forma:
Si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje y, la parábola tiene por eje
focal al mismo eje y.
En este caso:
Las coordenadas del foco son F(0; p) y la ecuación de la directriz es y = - p
Su “ecuación canónica” es ahora: x2 = 4py
Aquí tienes otra observación:
Si p > O, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje y, por lo tanto su
concavidad se orienta hacia arriba.
Si p < O, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje y, por lo tanto su
concavidad se orienta hacia abajo.
Todo lo que arriba hemos explicado, lo podemos resumir de la siguiente manera:
Ecuación de la parábola con eje focal igual al eje x, y vértice en el origen.
P > O P < O
Ecuación de la parábola con eje focal igual al eje y, y vértice en el origen.
P > O P < O
y2 = 4 px
x2 = 4 py
LONGITUD DEL LADO RECTO DE LA PARÁBOLA
Hemos visto que se denomina lado recto de la parábola (L.R.) a la cuerda que pasa
por el foco y es perpendicular al eje de la parábola.
Si la ecuación de la parábola es: y2 = 4px
Como A (p; y) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la
ecuación, es decir:
Y2= 4p * p = 4p2
De donde: y = 2p
Entonces la medida del lado recto es:
L. R. = = = |2y| = |4p|
Luego: L. R. = |4p|
Veamos ahora algunos ejemplos, son muy interesantes:
1.- Para cada una de las siguientes parábolas cuyas ecuaciones se dan, encontrar
las coordenadas del foco, una ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y
dibujar la curva.
A. y 2 = 8x
Resolución:
Esta ecuación es de la forma: y2 = 4px
De donde 4p = 8, entonces, despejando p = 2
Se reemplaza en la fórmula del foco y de la directriz
F (p; O), entonces F (2; O)
L: x = -p, entonces L: x = -2
Longitud del lado recto. L. R. = |4P| = |4 * 2| = 8
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
En geometría analítica, la ecuación general de la parábola es también una ecuación
cuadrática, la cual es:
Para una parábola que se abre hacia la derecha o hacia la izquierda tenemos:
La ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje X puede expresarse en la
forma:
y2 + Dx + Ey + F = 0
Conocida como la forma general de la ecuación de la parábola, donde:
D= -4p ; E= -2k ; F= 0
Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0
La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h,k) y cuya
distancia al foco es p es:
Para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo tenemos:
La ecuación general de una parábola con eje focal paralelo al eje Y, puede
expresarse en la forma:
x2 + Dy + Ex + F = 0
Conocida como la forma general de la ecuación de
la parábola, donde:
D= -4p ; E= -2h ; F= h2 + 4pk
La ecuación para una parábola con eje focal
paralelo al eje y, vértice en (h,k) y cuya distancia al
foco es p es:
EJERCICIOS
1. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las
condiciones dadas:
a. F(3, 0), V(2, 0)
b. F(0, 0), V(-1, 0)
c. F(2, 3), directriz: x = 6
2. Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las
ecuaciones de las directrices de las parábolas:
1. 2. 3.
3. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los
puntos: A (6, 1), B (-2, 3), C (16, 6).
4. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la
recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
5. Escribe la ecuación de la parábola: (x - 3)2 = 7 (y -1) en su forma
general.
6. Calcula la ecuación de la parábola en su forma general que tiene
su vértice en el punto V (-2, -1) y que pasa por el punto P (2, -5).
7. Calcula la ecuación en forma general y los sus elementos de la parábola vertical
que tiene sufoco en el punto F (2, 1) y su directriz es la recta:
y + 1 = 0. Finalmente, grafica la parábola y verifica si pasa por el punto P (-2, 4).
8. Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el punto V (2, 3) y su
foco está en F (1, 3).
9. Convierte la ecuación de la parábola: y2 - 12 x 10 y + 13 = 0 a la forma
ordinaria.
10. Calcula todos los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es:
y2 - 8 x - 2 y - 39 = 0
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 2
I. Lee con atención y responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo se puede obtener la ecuación general de la parábola a partir
de la ecuación en su forma ordinaria?
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..….
2. ¿De qué tipo son las ecuaciones de una parábola?
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………..…….
3. ¿Qué es una Directriz y el eje focal de una Parábola? (Explícalo)
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………..…….
4. ¿Se puede relacionar un cono recto con una parábola? (Explica)
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..….
5. Menciona algunos ejemplos en donde se aplican la parábola
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..………….
II. Problemas:
1. Encontrar los elementos de la parábola, dada la ecuación general:
2. En los siguientes enunciados escribe V si crees que es verdadero y F si
crees que es falso:
a. No es necesario conocer el vértice para hallar el foco de la parábola. ( )
b. Los elementos básicos de la parábola son vértice, foco y directriz. ( )
c. La ecuación general de la parábola es una ecuación cuadrática. ( )
d. En el eje de la parábola solo se encuentra el vértice. ( )
e. “P” representa la distancia entre el foco y el vértice. ( )
f. La directriz es una línea recta. ( )
g. Una ecuación sencilla de una parábola es asumiendo que el eje “y” es
El eje de la parábola. ( )
Y2 - 8x + 6y + 1 = 0
3. Dada la ecuación general de la parábola, encontrar:
- Las coordenadas del vértice
- Las coordenadas del foco
- La ecuación de la directriz
- Trazar la gráfica
i) Y2 – 8x + 6y + 25 = 0 ii) X2 – 4x – 2y + 10 = 0
4. La distancia de un punto M al foco de una parábola de
ecuación x2 – 16 y – 64 = 0 es de 5 u. Halla la distancia de M al
vértice, sabiendo que M pertenece a dicha parábola.
Síntesis
Ecuación General de la Parábola
La Parábola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Elementos:
Foco Directriz Parámetro Eje Vértice Radio vector
1- La ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje X puede expresarse en la forma:
y2 + Dx + Ey + F = 0
2- La ecuación general de una parábola con eje focal paralelo al eje Y, puede expresarse en la forma:
x2 + Dy + Ex + F = 0
Estas Ecuaciones son también conocidas como “Ecuaciones cuadráticas”
La ecuación general es:
Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0
UNIDAD 6: ELIPSE
Objetivo General: Calcular la trayectoria que describe un móvil con movimiento elíptico.
Objetivos Específicos: 1. Inferir los elementos de la elipse.
2. Graficar el movimiento elíptico.
3. Comparar las ecuaciones de la elipse.
4. Resolver ejercicios y/o problemas sobre elipse.
1. Elimina el radical y resuelve las ecuaciones:
a. + x = 1 b. +
2. Factoriza los siguientes términos sumando y restando una cantidad para
que sean trinomios cuadrados perfectos:
a. y4 + 45 y2 + 100 b. x4 - 22 x2 y2 + 49 y4
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. + b. +
PRUEBA DE ENTRADA N° 4
4. Es frecuente que la solución de un problema algebraico dependa de un
enunciado matemático o modelo en el que se utilice más de una variable
para expresar una mínima relación.
Dada la siguiente relación A= bh, ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no
es equivalente a estas?
a. h=2( )
b. h= 2A (
c. h=
d. h=
REQUISITOS Distancia entre dos puntos
Sistema de coordenadas rectangulares
Teorema de Pitágoras
Ecuaciones cuadráticas con 2 variables. Método
complementación de cuadrados
Desarrollo de un Binomio
CONTENIDOS
1. ELIPSE
2. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
3. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
4. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
ACTIVIDAD
3. Para construir una elipse necesitas:
Un hilo grueso,
un lápiz y
una hoja de papel
PROCEDIMIENTO:
1. Traza una recta sobre el papel y sobre ella marca dos puntos que llamarás F
y F´
2. Sujeta los extremos del hilo a los puntos F y F´
3. Tiempla el hilo con un lápiz y manteniéndolo tirante desliza el lápiz sobre el
papel.
El trazo que se hace de este modo sobre el papel es la elipse.
En cualquier punto P del elipse se cumple que: PF + PF´ = longitud del hilo
ELIPSE
Definición
Una elipse es el conjunto de puntos (x; y) cuya suma de distancias a dos puntos
distintos prefijados (llamados focos) es constante.
A los puntos fijos del plano se les denomina focos del elipse, a la longitud del
segmento que une a los focos se le denomina distancia focal.
Así, la elipse con focos F1 y F2 se denota:
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
Para obtener la expresión analítica de una elipse, la ubicamos sobre los ejes
coordenados. El eje mayor lo hacemos coincidir con el eje X y el eje menor coincidir
con el eje Y.
La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje X y centro (0,0) es:
2a = cantidad constante; Eje focal es el eje X y focos en los puntos F1 (-C; 0) y F2
(C; 0), siendo a2 = b2 + c2, 0 < c < a
La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje Y y centro (0; 0) es:
(0; b)
P(x; y)
(0; - b)
V2(a; b)
X V1 (- a; 0) F(- c; 0) F2(c; 0) C(0; 0)
Y
Y
V1 (0; a)
F2 (0; c)
B2 (b; 0)
C (0; 0)
F1 (0; - c)
(- b; 0)
X B1
V2 (0; -a)
En el caso de que el eje focal sea el eje Y, tenemos:
La ecuación es conocida como la ecuación canónica de la elipse, con
centro en C(0;0), con 2a como cantidad constante, cuyo eje focal es el eje Y y focos
en los puntos F1 (0; -c) y F2 (0; c), siendo a2 = b2 +c2 , 0 < c < a.
Ver video n° 2.
Ejemplo N°1
Identificar los elementos de la elipse:
Resolución:
Identificamos la ecuación dada como una ecuación canónica de la elipse de la
forma: , pues a > b
Donde: a2 = 25 a = 5, pues a > 0; b2 = 9 b = 3, pues b > 0
i. El centro de la elipse es (0; 0)
En conclusión:
1. La distancia entre los vértices es igual a la suma de las distancias de cualquier
punto de la elipse a los focos.
2. Al observar la gráfica y aplicar el teorema de Pitágoras en el B1 C F2
tenemos que en toda elipse se cumple:
a2 = b2 +c2
Donde:
a. Es la distancia de cualquier vértice al centro de la elipse.
b. Es la distancia del centro de la elipse a cualquiera de los puntos de
intersección de la elipse con el eje normal.
c. Es la distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos.
ii. Los vértices son (-5; 0) y (5; 0)
iii. Para determinar los focos, calculamos c:
c2 = a2 - b2 c2 = 16 c = 4, pues c > 0.
Luego, los focos son F1 (-4; 0), F2 (4; 0)
iv. Los extremos del eje menor son B1(0, -3), B2(0;3)
Ejemplo N° 2
Si las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (3,0), V2 (-3; 0), V3 (0; 5)
grafica y determina:
a. Centro
b. Longitud del semieje mayor
c. Longitud del semieje menor
d. Coordenadas de los focos
Resolución:
Ubicamos los vértices y trazamos la elipse
a. El centro es el punto medio entre los vértices mayores, V3 y V4 o menores V1
y V2. El centro es C (0; 0)
B2 (0; 3)
B1 (0; -3)
V2 (5; 0) X V1 (- 5; 0) F1 (- 4; 0) F2 (4; 0) C (0; 0)
Y
b. Determinamos la longitud del segmento que une el centro con cualquier
vértice mayor (V3 o V4) el semieje mayor mide 5 a = 5.
c. El semieje menor mide 3 b = 3.
d. Los focos se ubican sobre el eje mayor: como a = 5 d(F1V1) = 5
Sabemos que b = 3 y c = d (C; F)
Por Pitágoras calculamos C: c2 = a
2 - b
2 c
2 = 25 – 9 =16 c = 4
Y
V3
F
V1 X V2
V4
C
C
Las coordenadas de los focos son F1 (0; 4) y F2 (0; -4).
Ejemplo N° 3
Halla los focos y la ecuación canónica de una elipse con vértices: V1 (3; 0),
V2 (-3; 0), V3 (0; 7) y V4 (0; -7)
Resolución:
El semieje menor está situado en X, en consecuencia la ecuación es
, donde a= 7 y b = 3
Los focos están sobre y entonces: a2 – c
2 = b
2 49 – c
2 = 9
c =
La ecuación es y los focos son F1 (o; ) y F2 (o; )
Y
V1
V3 X V4
V2 -X
-Y
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
Cuando el centro de la elipse se ubica en cualquier punto (h; k) del plano, que no
sea el origen de coordenadas, se forma un nuevo sistema X’ Y’ con ejes paralelos a
los ejes X e Y, Y que determina las siguientes ecuaciones:
Donde C (h; k); 2a = cantidad constante; eje focal X’; F1 (h –c; k) y F2 (h + c; k),
siendo a2 = b2 +c2; 0 < c < a
En el caso que el eje focal sea Y’ (paralelo al eje Y) la ecuación será:
2a = cantidad constante; F1 (h; k – c); F2 (h; k + c) siendo a2 = b2 + c2; 0 < c < a
Y’
X’
(x’+ h)
(y’+ k) P(x; y)
V2(h + a; k)
X’
f2(h + c; k)
C (h; k) F1 (h - c; k) V1(h - a; k)
Y’
B2 (h; b + k)
B1 (h; k - b)
Ejemplo N° 1
Identificar los elementos de la elipse:
Resolución:
La ecuación ordinaria es:
De donde:
a2 = 25 a= 5 (x – h) = x + 5 h = -5
b2 = 16 b= 4 (y – k) = y – 2 k = 2
Y’
V1 (h; k + a)
(h +b; k) X’
V1 (h; k – a)
F1 (h; k – c)
C (h; k)
F2 (h; k + c)
(h -b; k)
El centro de la elipse es el punto C (h; k), por lo tanto el centro es el punto C (-5; 2).
Los vértices son los puntos
V1 (h; k – a) = (-5; 2 – 5) V1 (-5; -3)
V2 (h; k + a) = (-5; 2 + 5) V2 (-5; 7)
Para determinar los focos, se tiene que hallar c: c2 = a2 + b2
Reemplazando:
c2 = (5)2 – (4)2
c2 = 25 – 16
c2 = 9
c = 3
Los focos serán:
F1 (h; k – c) = (-5; 2 – 3) F1 (-5; -1)
F2 (h; k + c) = (-5; 2 + 3) F2 (-5; 5)
Los extremos del eje menor son:
B1 (h - b; k) = (-5 - 4; 2) B1 (-9; -2)
V2 (h + b; k) = (-5 + 4; 2) B2 (-1; 2)
V2 (-5; 7)
C (-5; 2) B2 (-1; 2)
V1 (-5; -3)
B1 (-9; 2)
X
F2 (-5; 5)
F1 (-5; -1)
Ejemplo N° 2
Determina el centro de la elipse
a.
Resolución:
h = - 9; k = - 1; entonces C (-9; -1)
b. :
Resolución:
h = 1; k = 5; entonces C (1; 5)
Ejemplo N° 3
Halla los focos de las elipses:
a.
Resolución de la ecuación:
a2 = 40 = a = a = 2
b2 = 2 = b =
(x – h) = (x + 6) h = - 6
(y – k) = (y + 5) k = - 5
El centro de la elipse es el punto C (h; k), por lo tanto el centro es el punto
C (-6; -5)
Los vértices son los puntos V1 (h; k – a) = (- 6; - 5 - 2 )
V2 (h; k + a) = (- 6; - 5 + 2 )
Calculamos C para determinar los focos, así:
c2 = a2 – b2 c2 = (2 )2 – ( )2
c2 = (4 10) – (2)
c2 = 40 – 2
c2 = 38
c =
Los focos son F1 (h; k – c) F1 (- 6; - 5 - )
F2 (h; k + c) F2 (- 6; - 5 + )
Los extremos del eje menor son:
B1 (h – b; k) B1 (- 6 - ; - 5)
B2 (h + b; k) B2 (- 6+ ; - 5)
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Si desarrollamos la ecuación canónica de la elipse con centro en el punto (h; k) y
con eje mayor paralelo al eje X obtenemos:
b2 (x – h)2 + a2 (y – k)2 = a2 b2, es decir,
b2x2 – 2b2 x h + b2h2 + a2 y2 – 2a2y k + a2k2 – a2b2 = 0
Sustituimos: b2 = A, a2 = B, - 2b2h = C, - 2a2k = D y a2k2 – a2b2 + b2 h2 = E
constantes reales y obtenemos la ecuación de la elipse.
La ecuación general de la elipse es:
Ax2 + By
2 + Cx + Dy + E = 0 para A, B, C, D, E en R
En el caso de la elipse, la ecuación general tiene la misma forma para elipses con
ejes mayores paralelos a los ejes X o Y, puesto que los coeficientes A y B de x2 e
y2, respectivamente, siempre son diferentes. De lo contrario estaríamos hablando de
una circunferencia.
Ejemplo N°1
Halla las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación general
es: 9x2 + 4y2 – 54x – 40y + 145 = 0
Resolución:
Organizamos la ecuación para completar cuadrados y factorizar:
9 (x2 – 6x + ____) + 4 (y2 – 10 y + _____) = - 145
9 (x2 – 6x + 9) + 4 (y2 – 10 y + 25) = - 145 + 181
9 (x – 3)2 + 4 (y – 5)2 = 36
El centro es (3; 5)
Como c2 = a2 – b2 c2 = 32 - 22
c2 = 5 c =
Las coordenadas de los focos son: F1 (3; 5 + ) y F2 (3; 5 - ) Ejemplo N° 2 Dada la ecuación de la elipse: 25 x2 + 16 y2 – 200 x – 160 y + 400 = 0 Deducir su ecuación ordinaria. Resolución: Al completar cuadrados con respecto a las variables “X” e “Y”, tenemos: 25x2 – 200x + 400 + 16 y2 – 160 y + 400 + 400 – 400 – 400 = 25 (x2 – 8x + 16) +
16 (y2 – 10y + 25) + 400 – 400 – 400 = 0
25 (x – 4)2 + 16(y – 5)2 = 400
1. Los vértices de una elipse son V1 (6; 0) y V2 (- 6; 0), y sus focos F1 (4; 0) y
F2 (-4; 0). Hallar la ecuación de la elipse.
2. Encontrar la ecuación de la parábola con foco F y vértice V, si V (0;0) y F ( -1; 0)
3. Identifica el centro y el radio de las circunferencias:
a. x2 + y2 – 4x + 10 y + 25 = 0 b. x2 + y2 – 18 x – 9 = 0
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 3
4. En la siguiente figura, dada la parábola P , identificar las coordenadas de los
puntos P y Q
5. Obtén la ecuación de la circunferencia
a. De centro C (1; 1) y radio r = 3 b. De centro C (0; 0) y radio r = 1
Y
P
V (0; 0)
F (1; 0)
Q
P
L: 3Y = 4X - 4
X
ELIPSE
ECUACIÓN CANÓNICA
ECUACIÓN ORDINARIA
Cuando el centro de la elipse se ubica en
cualquier punto (h; k) del plano, que no sea
el origen de coordenadas, se forma un
nuevo sistema X’ Y’ con ejes paralelos a
los ejes X e Y, Y que determina las
siguientes ecuaciones:
Donde C (h; k); 2a = cantidad constante;
eje focal X’; F1 (h –c; k) y F2 (h + c; k),
siendo a2 = b
2 +c
2; 0 < c < a
En el caso que el eje focal sea Y’
(paralelo al eje Y) la ecuación será:
ECUACIÓN GENERAL
Ax2 + By
2 + Cx + Dy + E = 0
para A, B, C, D, E en R
SOLUCIONARIO DEL MÓDULO N° 1
PRUEBA DE ENTRADA N° 1 (pág 8)
1. A = 100 2
2. r = 5
3. A = 144 A = 4
A = 12, 5
4. L c =10
L c = 7, 5
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N°1(pág. 36)
1. a. falso b. verdadero c. verdadero d. falso
TRABAJAMOS EN EQUIPO (pág. 37)
2.
3.
a. AL = 1 507, 96 AT = 2 412, 75 V = 9 047, 79
b. AL = 785, 4 AT = 942, 5 V = 1 963, 5
c. AL = 659, 7 AT = 716, 25 V = 989, 60
4. a. V = 7, 854 cm3
b. V = 4, 7 cm3
c. V = 25, 13 cm3
d. V = ( cm3
PRUEBA DE ENTRADA N°2 (pág 40)
1.
a. A =
b. A =
c. A1 +A2 =
d. A =
2.
a. A = 7, 5 2 PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 2 (pág. 59)
1.
a.
2.
a. AL = 427, 26 AT = 628, 32 V = 1 005, 3
b. AL = 537, 6 AT = 917, 7 V = 1 393, 8
c. AL = 188, 5 AT = 267, 04 V = 285, 6
3. r = 6 h = 6 g = 6
4. AL = 488, 7 AT = 947, 39 V = 1 436, 53
5. El volumen del cono recto es 188, 5 cm3
a. V = 376, 99 cm3
b. V = 753, 98 cm3 c. V = 1 507, 96 cm3
PRUEBA DE ENTRADA N° 3 (pág. 65)
1.
a. A =
b. A = 12 + 3 = 15
c. A =
d. A =
2. El área del trapecio ABCD es : 20 2
3. En la figura, el área sombreada es la mitad del área del cuadrilátero ABCD,
es decir, 18 2
4. A = 12 2
5.
a. L c = 4
b. La longitud del arco es = R cuando está en radianes:
= R
= 6 =
c. L c = 10
d. = R
= 10
=
2 - 360°
x – 60°
x =
PRUEBA DE COMPROBACIÓN N° 3 (pág. 80)
1. a. b.
2. r = 3 cm
SOLUCIONARIO DEL MÓDULO N° 2
PRUEBA DE ENTRADA N° 1(pág. 84)
1.
a.
b.
c.
2.
a. X=
b. X=
3.
a. b = 5
b. c =
4.
a. 152
b.
c.
5. a. 3xy ( x - y) b. (x – 4 y)2
6. a. x (x - 4) = 2 b. x (x – 7) = 1
8.a. x = 7, 06 b. x = 8, 79
PRUEBA DE ENTRADA Nº 2
1. a. F b. V c. V
d. F e. F f. V
g. V
2.
a. V b. F c. V
d. V e. F f. F
g. F
PRUEBA DE COMPROBACIÓN Nº 1 1.
a. (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4
b. (x - 2 + (y – 2)2 =
c. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
d. (x + 1)2 + (y - 2 =
2. D = 6 E = 10
F = - 13
3. C: ( ; 1) r=
ÍNDICE
PRESENTACIÓN 2
INSTRUCCIONES 3
TEMAS GENERALES 4
ESQUEMA DEL MÓDULO N° 1 5
CAPÍTULO N° 1: GEOMETRÍA DEL ESPACIO
OBJETIVO GENERAL 6
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 6
UNIDAD N° 1: Cilindro de Revolución – Tronco de cilindro 7
Prueba de entrada N° 1 8
Requisitos 9
Contenidos 10
Cilindro de Revolución: Definición 11
Elementos del cilindro 11
Definiciones formales del cilindro de revolución 12
Área lateral y total del cilindro 12
Volumen del cilindro 13
Actividades en clase 14
Ejercicios 16
Tronco del cilindro 19
Elementos del cilindro 19
Volumen del tronco del cilindro 20
Síntesis 24
Variación del volumen en función de la variación del radio y la altura de un cilindro
de revolución 25
Variación del perímetro de una circunferencia en función de la variación de
su radio 30
Síntesis 35
Prueba de comprobación 36
Trabajamos en equipo 37
UNIDAD N° 2: Cono de revolución
Objetivos 39
Prueba de entrada 40
Requisitos 41
Contenidos 41
Cono de Revolución 42
Elementos 42
Área lateral del cono 43
Área total del cono 44
Volumen del cono 44
Tronco de cono de revolución 48
Elementos 48
Área Lateral 49
Área total 50
Volumen 50
Variación del volumen en función de la variación del radio y la altura de un cono de
revolución 55
Prueba de comprobación 59
Síntesis 63
UNIDAD N° 3: Superficie esférica y esfera
Objetivos 64
Prueba de entrada 65
Requisitos 67
Contenidos 68
Actividad 69
Superficie esférica 70
Área de la superficie esférica 71
Esfera 71
Elementos de la esfera 72
Volumen de la esfera 72
Variación del volumen y del área de la superficie esférica en función del radio de la
esfera 77
Prueba de comprobación 80
ESQUEMA DEL MÓDULO N° 2 82
CAPÍTULO N° 2: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA:
CÓNICAS
Objetivo general 83
Objetivos específicos 83
Prueba de entrada N° 1 84
UNIDAD N° 4: Circunferencia
Objetivos 87
Prueba de entrada 88
Requisitos 89
Contenidos 90
Actividad 91
Circunferencia 91
Ecuación ordinaria de la circunferencia 93
Ecuación canónica 96
Ecuación General de la circunferencia 98
Prueba de comprobación 101
UNIDAD N° 5: Parábola
Objetivos 104
Prueba de entrada 105
Requisitos 106
Contenidos 107
Actividad 108
Parábola 109
Ecuación de la parábola con vértice en el origen 110
Ecuación general de la parábola 113
Ejercicios 115
Prueba de comprobación 118
Síntesis 121
UNIDAD N° 6: Elipse
Objetivos 122
Prueba de entrada 123
Requisitos 124
Contenidos 125
Actividad 126
Elipse 127
Ecuación canónica del elipse 127
Ecuación ordinaria del elipse 133
Ecuación general del elipse 138
Prueba de comprobación 140
Síntesis 142
Solucionario del módulo N° 1 143
Solucionario del módulo N° 2 146
Bibliografía 149