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METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. JUNIO 2001

EJERCICIO 1

Calcular la integral triple ZZZΩ

pR2 − x2 − y2 − z2dxdydz

donde Ω es la región limitada por la esfera: x2 + y2 + z2 = R2.

EJERCICIO 2

Dada la porción de superficie S del paraboloide de ecuación 2z = x2 + y2 limitada por la curva C, intersecciónde dicho paraboloide con el plano de ecuación z = 2, comprobar el teorema de Stokes para el campo vectorial:

→F (x, y, z) = (3y,−xz, yz2)

calculando por separado la integral de línea y la de superficie.

EJERCICIO 3

a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier de medio rango, cosenoidal, para la función definida en el el intervalo[0, π] por f(x) = x.b) Hallar los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo de Sturm-Liouville: ½

y00 + λy = 0, 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0

c) Hallar una solución formal del problema de contorno no homogéneo (suponiendo que λ no es valor propio delproblema homogéneo asociado): ½

y00 + λy = x, 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0

Notas:- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.

METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2001

EJERCICIO 1

Calcular la integral doble ZZD

s1−

µx2

a2+

y2

b2

¶dxdy

donde D es la región limitada por la elipse x2

a2 +y2

b2 = 1.

EJERCICIO 2

Comprobar el teorema de Gauss para el campo:

→F (x, y, z) = (

1

4x4, xy3, xz3)

sobre la esfera S de centro (0,0,0) y de radio 1.Habrá que calcular la integral triple ZZZ

V

div−→F dxdydz

y la integral de superficie ZZS

−→F ·−→dS

Nota: Al hallar la integral de superficie, se facilita el cálculo de la integral doble correspondiente aplicandosimetrías.

EJERCICIO 3

Desarrollar en serie de Fourier la función:

f(x) =

½0 −π < x < 0

π − x 0 ≤ x < π

Notas:- La duración del examen es de dos horas y media.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.

METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FEBRERO 2002

EJERCICIO 1

a) Calcular la integral triple ZZZΩ

e(x2+y2+z2)3/2dxdydz

donde Ω es la esfera: x2 + y2 + z2 = 1.b) Calcular Z √π

2

0

ÃZ √π2

x

µZ 3

1

seny2 dz¶dy

!dx

cambiando previamente el orden de integración.

EJERCICIO 2

a) Determínese el trabajo realizado por el campo:

→F (x, y, z) = (4xy − 3x2z2 + 1, 2(x2 + 1),−2x3z − 3z2)

para mover una partícula de masa unidad desde el punto (1,−1, 1) al punto (−2√3, 0, 2√

3) a lo largo de la curva

de ecuación:½

x2 + y2 + 2z2 = 4z + x+ 2y = 0

.

b) Calcular el área de la superficie del tronco de paraboloide S, y = x2 + z2 − 1, con 0 ≤ y ≤ 3.

EJERCICIO 3

a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier de medio rango, senoidal, para la función definida en el el intervalo[0, π] por f(x) = πx− x2.b) Hallar los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo de Sturm-Liouville: ½

y00 + λy = 0, 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0

c) Hallar una solución formal del problema de contorno no homogéneo (suponiendo que λ no es valor propio delproblema homogéneo asociado): ½

y00 + λy = πx− x2, 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0

Notas:- Duración del Examen: TRES horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.


A

a) Sea D el paralelogramo limitado por las rectas y = 2x; y = 2x− 2; y = x; y = x+ 1.Calcular ZZ

D

xydxdy

efectuando el cambio de variables: x = u− v; y = 2u− v.b) Mediante una integral triple, calcular el volumen del elipsoide:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

B

a) Determinar el centro de gravedad del cono de ecuación z =px2 + y2, con 0 ≤ z ≤ a, de densidad superficial

µ constante.b) Dado el campo de fuerzas:

→F (x, y, z) =

y

x2 + y2→i − x

x2 + y2→j + 3z2

→k

y la curva C de ecuaciones paramétricas: x = t, y = t3 + t2 − 1, z = t+ 3, calcular el trabajo realizado por→F

cuando desplaza su punto de aplicación a lo largo de C desde el punto P (−1,−1, 2) hasta el Q(1, 1, 4).

C

Hallar una solución formal del problema de contorno:½y00 + λy = π − x, 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0

(Suponemos que λ no es valor propio del problema homogéneo asociado).Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.


A

a) Una placa está limitada por las curvas: y2 = x; y2 = 2x; xy = 1; xy = 3 y su densidad en cada punto esproporcional al producto de las coordenadas del mismo. Calcular su masa.b) Calcular ZZZ

Ω

xdxdydz

siendo Ω la región acotada por los planos: x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie: z = x2 + y2, (x ≥ 0, y ≥ 0).

B

a) Calcular el área de la parte del plano: x− z = 0 intersecada por la superficie cilíndrica x2 + y2 = 1.b) Se define le campo vectorial:

→F (x, y, z) =

µx

x2 + y2,

y

x2 + y2

¶(1) Calcular rot

→F en R2 − (0, 0).

(2) CalcularRC

→F→ds donde C es la elipse (x2 )

2 + y2 = 1 recorrida en sentido antihorario. Justificar el cálculoefectuado.

C

Desarrollar en serie cosenoidal y en serie senoidal la función definida por:

f(x) = x− x2, 0 ≤ x ≤ 1

Como aplicación, utilizando alguno de los desarrollos obtenidos, calcular la suma de las series:

∞Xn=1

1

n2;

∞Xn=1

(−1)nn2

Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.

METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. FEBRERO 2003

A

a) Invertir el orden de integración en la siguiente integral iterada:

Z 1

0

dy

Z √3−y2y2

3

f(x, y)dx

b) Calcular las coordenadas del c.d.g. del sólido de densidad constante, limitado por el paraboloide elíptico:x2 + 2y2 = 4z y el plano: z = 2.

B

a) Enunciar el teorema de Stokes que relaciona una integral de superficie S con una integral de línea sobre unacurva C.b) Sea

→F el campo vectorial:

→F (x, y, z) = xez

→i + (x+ xz)

→j + 3ez

→k

Consideremos la mitad superior de la superficie esférica: x2 + y2 + z2 = 1 y sea C su contorno. Verificar el

teorema de Stokes para el campo vectorial→F y la curva C.

(Nota: La adecuada elección de la superficie S es fundamental en el desarrollo del ejercicio).

C

a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función:

f(x) = πx, 0 < x < l

b) Hallar los valores propios y las funciones propias asociadas del problema de Sturm-Liouville:½y00 + λy = 0 −1 ≤ x ≤ 1

y(−1) = y(1) = 0



EJERCICIO 1

Calcular la integral triple ZZZΩ

y2zdxdydz

siendo Ω el primer octante del sólido delimitado por el elipsoide x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1.

EJERCICIO 2

Enunciar el teorema de Stokes. Verificar dicho teorema siendo→F el campo vectorial:

→F (x, y, z) = (2y, 3x,−z2)

y siendo C la cicunferencia: x2+y2 = 1; z = 2 y S una superficie cuyo contorno sea la circunferencia.(la integralde línea correspondiente hay que calcularla en sentido horario).

EJERCICIO 3

Hallar una solución formal del problema de Sturm-Liouville:

½y00 + λy = x− 1

2 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = 0; y0(1) = 0



EJERCICIO 1

a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier de la función periódica definida en un periodo por:

f(x) =

½−x −3 ≤ x ≤ 0x 0 ≤ x ≤ 3

b) Calcular el área de la parte del paraboloide x2 + y2 + z = 5 situada encima del plano z = 1.

EJERCICIO 2

a) Empleando el teorema de Stokes calcular la integral de línea:ZC

−y3dx+ x3dy − z3dz

siendo C la intersección del cilindro: x2 + y2 = 1 con el plano x + y + z = 1 recorrida en sentido horarioobservada desde arriba.b) Comprobar el resultado mediante el cálculo directo de la integral de línea.

EJERCICIO 3

Aplicar el teorema de Gauss para calcular la integral de superficie del campo vectorial

→F (x, y, z) = (x3, y3, z2)

sobre la frontera del sólido limitado por los paraboloides z = x2 + y2 , z = 1− x2 − y2, con la orientación de lanormal exterior.


METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. FEBRERO 2004

EJERCICIO 1

a) Hallar el área comprendida entre las circunferencias

x2 + y2 = 2x ; x2 + y2 = 4x

y las rectas

y = x ; y = 0

b) Mediante el cálculo de una integral triple comprobar que el volumen de una esfera, de radio 1, es 43π.

EJERCICIO 2

a) Calcular la integral de línea ZL

ydx− xdy

donde L es la curva cerrada, limitada por la elipse x2

16 +y2

9 = 1 y la recta x4 +

y3 = 1, situada en el primer

cuadrante. Comprobar el resultado mediante la aplicación del teorema de Green.b) Dada la superficie S definida por z = x2 + y ; 0 ≤ x ≤ 1 ; −1 ≤ y ≤ 1. Calcular la integral de superficieZ Z

S

xdS

EJERCICIO 3

a) Hallar el desarrollo de Fourier de la función f(x), de periodo 2π, definida por

f(x) =

½senx si x ∈ [0, π]0 si x ∈ (π, 2π]

b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de las series

∞Pn=1

1

4n2 − 1 ;∞Pn=1

(−1)n4n2 − 1


MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. JUNIO 2004

EJERCICIO 1

a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función f(x) = x, en el intervalo [0, π].b) Utilizando el apartado a) hallar una solución formal del problema de contorno:½

y00 + λy = x 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0

(Suponemos que λ no es valor propio del problema homogéneo asociado).

EJERCICIO 2

a) Calcular el área de la figura limitada por las curvas:

x2 + y2 = 2x; x2 + y2 = 4x; y = x; y = 0

b) Determinar la posición del centro de gravedad del sólido limitado por:el cono: z = h

a

px2 + y2 y el plano: z = h.

EJERCICIO 3

a) Calcular la integral de línea: ZC

y3dx− xy2dy

(x2 + y2)2

siendo C la circunferencia de centro el punto (1, 1) y radio 3, recorrida en sentido positivo.b) Calcular, aplicando el teorema de Gauss, la integral de superficie:Z Z

S

→F .→dS

siendo→F (x, y, z) = (xz2, x2y − z3, 2xy + y2z)

y S la superficie cerrada limitada por la semiesfera z =pa2 − x2 − y2 y el plano z = 0, con la orientación de

la normal exterior.



EJERCICIO 1

I) Desarrollar en serie de Fourier senoidal la función f(x) = x en el intervalo [0, π].

II) Hallar una solución formal del problema de Sturm-Liouville:

½y00 + λy = x 0 ≤ x ≤ π

y(0) = 0; y(π) = 0

EJERCICIO 2

I) Calcular el área de la figura limitada por la elipse x2 + (4y)2 = 1.

II) Determinar la masa del sólido limitado por una esfera de radio a y una superficie cilíndrica de radio α. Eleje del cilindro contiene el centro de la esfera.

EJERCICIO 3

I) Aplicar el teorema de Stokes para calcular la integral de línea:ZC

−y3dx+ x3dy − z3dz

en donde C es la intersección dex2 + y2 1 y el plano x+ y + z = 1. Dibujar la figura e indicar en la curva C elsentido de integración elegido.

II) Calcular la integral de línea directamente.

Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.

- No se permite el uso de calculadoras programables.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- ACONTROL 1-2005

PROBLEMA 1Hallar el área del dominio D ⊂ R2, perteneciente al primer cuadrante, limitado por las circunferencias:

x2 + y2 − 2y = 0; x2 + y2 − 4y = 0

PROBLEMA 2Hallar el momento de inercia repecto al eje y del cuerpo Ω ⊂ R3 limitado por las superficies:

y = x2 + z2; y = 4

siendo su densidad constante en cada punto µ(x, y, z) = k.

Tiempo: 1 Hora

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- BCONTROL 1-2005

PROBLEMA 1Hallar el área del dominio D ⊂ R2 limitado por las curvas:

y = x2; y = 2x2; xy = 1; xy = 3

PROBLEMA 2Hallar la masa del cuerpo Ω ⊂ R3 limitado por las superficies:

z =px2 + y2; z = 2−

px2 + y2

siendo su densidad en cada punto µ(x, y, z) = z

Tiempo: 1 Hora

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- ACONTROL 2-2005

PROBLEMA 1Calcular la integral:

I =

ZC

ydx+ (1− x)dy

x2 − 2x+ 1 + y2

(a) a lo largo de la curva C1 : (x+ 1)2 + y2 = 1, en sentido positivo.(b) a lo largo de la curva C2 : (x2 )

2 + y2 = 1, en sentido negativo.


I =

Z ZS

F · dS

siendo:F = (−x,−y, 0)

y siendo S la superficie:z = 3−

px2 + y2; 1 ≤ z ≤ 2

orientada con la normal interior.

Tiempo: 1 h. 15 min.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- BCONTROL 2-2005


I =

ZC1

(sen3 x+ xy)dx+ (cos2 y +1

2x2)dy

siendo C1 la curva abierta dada por la parametrización:

σ(t) = (t, π cos t); 0 ≤ t ≤ π

2

PROBLEMA 2Calcular, aplicando el Teorema de Stokes, la integral:

I =

ZC

F · ds

siendo:F = (yz, x2, xy)

y siendo C la intersección de las superficies:

x2 + y2 + z2 = 3; x2 + y2 = 2z

La curva C se supone recorrida en el sentido antihorario al considerar su proyección sobre el plano xy.

Nota: Para hallar C se sugiere eliminar x2 + y2 entre las superficies.


MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS A y BCONTROL 3-2005

PROBLEMA 1a) Dada la función f(x) = x, definida en el intervalo [0, π],hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal.b) Hallar los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo de contorno:½

y00 + λy = 0 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0

c) Utilizando los apartados a) y b), hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = x 0 ≤ x ≤ π

y(0) = y(π) = 0

d) Obtener la suma de la serie de Fourier del apartado a) para x = 0, para x = π2 y para x = π.


MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. JUNIO 2005

EJERCICIO 1

Hallar el desarrollo en serie de Fourier de la función periódica (periodo 2):

f(x) =

½x 0 ≤ x ≤ 1

1− x 1 < x < 2

EJERCICIO 2

Sea Ω ⊂ R3 la región del 1er octante limitada por:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 0z = 0y = xx2 + y2 + z2 = 1

Calcular ZZZΩ

x dxdydz

EJERCICIO 3

Calcular el área de la superficie del paraboloide:

z = 3− (x2 + y2)

que se encuentra por encima del plano:

z = 1

- La duración del examen es de 2 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.

MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2005

EJERCICIO 1

Dada la función:

f(x) =

½2(b−a)

T x− b si x ∈ (0, T2 )0 si x = 0

desarrollar en serie de Fourier: (A) senoidal y (B) cosenoidal.(C) ¿Cuánto vale la suma de las series anteriores en x = 0?. Razonar la respuesta.

EJERCICIO 2

(A) Calcular la integral doble de la función

f(x, y) = 1 + x+ y

extendida al dominio D limitado por las curvas: ⎧⎨⎩ y = −xx =√y

y = 2

(B) Calcular el volumen que se encuentra debajo del paraboloide

z = x2 + y2

y sobre el anillo circular1 ≤ x2 + y2 ≤ 9

EJERCICIO 3

(A) Calcular el área de la superficie S de ecuaciones paramétricas:

x = cosu cos v; y = cosu sen v; z = senu

para0 ≤ u ≤ π

4; 0 ≤ v ≤ u

(B) ¿Por qué vale 0 la integral de línea

I =

ZC

F · ds

siendo C cualquier curva cerrada simple y F = (y, x, z)?.

- La duración del examen es de 2,30 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.

METODOS MATEMÁTICOSEXAMEN FINAL. FEBRERO 2006

EJERCICIO 1

Calcular la integral ZZZΩ

y2 dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 la región limitada por las superficies:

1 = x2 + y2

z = 2− (x2 + y2)

z = (x2 + y2)− 1

EJERCICIO 2

Sean:

C1 : y = x2 − 1;−2 ≤ x ≤ 2C2 : y = 3;−2 ≤ x ≤ 2C3 : x2 + (y − 1)2 = 1; sentido antihorario

y sea la integral de línea

I =

Z(1− y)dx+ xdy

x2 + (y − 1)2

a) Justificar la relación que existe entreRC1,RC2yHC3. Indicar claramente la orientación tomada en cada curva.

b) CalcularRC1

.

EJERCICIO 3

a) Dada la función f(x) = x− x2, definida en el intervalo [0, 1],hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal.b) Se sabe que el problema homogéneo de contorno:½

y00 + λy = 0 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = y0(1) = 0

admite como valores propios:λ0 = 0;λn = n2π2;n = 1, 2, 3, ...

y como correspondientes funciones propias:

y0 = k0; yn = kn cosnπx;n = 1, 2, 3, ...

Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = x− x2 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = y0(1) = 0

Notas:- La duración del examen es de 2 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 1-2006

EJERCICIO 1

Calcular la integral doble ZZD

xdxdy

donde D es la región limitada por las rectas y = x, x = 0 y por la circunferencia x2 + y2 − 2y = 0.

EJERCICIO 2

Calcular el volumen acotado inferiormente por el plano z = 0, superiormente por el paraboloide z = 2+(x2+y2)y lateralmente por los cilindros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 9.

Tiempo: 1 h. 30 min.NO se permite el uso de calculadoras programables.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 1-2006

EJERCICIO 1

Calcular el área comprendida entre las circunferencias x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 4y y las rectas y = x, x = 0.

EJERCICIO 2

Calcular la masa del cuerpo de densidad µ(x, y, z) = z, limitado por los conos z =px2 + y2, z = 2−

px2 + y2.


MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS A y BCONTROL 3-2006

PROBLEMA 1Dada la función

f(x) =

⎧⎨⎩ 1 si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2

a) (3,5 p.) Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal.

b) (1,5 p.) Dar una fórmula simplificada para los coeficientes pares:

b2n

c) (3,5 p.) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal.

d) (1,5 p.) Como aplicación del desarrollo anterior, obtener la suma de la serie numérica

∞Xn=1

1

n2

³cos

nπ

2− (−1)n

´


MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL JULIO 2006

EJERCICIO 1 (2 puntos)

Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función:

f(x) = x2 − x; 0 ≤ x ≤ 1


(a) Calcular la integral ZZD

1

x3dxdy

siendo D ⊂ R2 la región del primer cuadrante limitada por las parábolas:½y = x2; y = 2x2

y2 = x; y2 = 2x

(b) Calcular ZZZΩ

z dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 la región del primer octante limitada por los cilindros:½x2 + y2 = 2x2 + z2 = 2


Sea S la superficie definida por:

z =px2 + y2; z ≤ 2

Sea−→F el campo vectorial:

−→F = (x2 − y, y2 + x, z)

(a) Calcular la integral de superficie ZZS

³−→∇ ×−→F ´ .−→dS(b) Hallar una curva C, tal que, con las orientaciones adecuadas se pueda aplicar el teorema de Stokes paracalcular la integral anterior. Realizar el cálculo de la integral de línea:Z

C

−→F .−→ds

- La duración del examen es de 2,30 horas.- Los ejercicios deben entregarse por separado.

MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2006


Hallar un desarrollo en serie de Fourier de la función periódica de periodo 1 definida por:

f(x) = x2 ; 1 ≤ x < 2


(a) Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas:⎧⎨⎩ x = 0y = x2 + 1y = 3− x

(b) Calcular el volumen del cuerpo limitado inferiormente por el cono z =px2 + y2, superiormente por el plano

z = 3, y lateralmente por los cilindros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 9.


(a) Calcular la integral de línea ZC

−ydx+ xdy

x2 + y2

siendo C la elipse que rodea al origen x2 + 2y2 = 1 recorrida en el sentido antihorario.(b) Calcular el flujo ZZ

S

−→F ..−→dS

del campo vectorial −→F = xz

−→i + 3xy

−→j − 2z−→k

siendo S el cilindro dado por la parametrización

−→T (u, v) = (cosu, senu, v)0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 3

- La duración del examen es de 2,30 horas.- Los ejercicios deben entregarse por separado.

METODOS MATEMÁTICOSEXAMEN FINAL. FEBRERO 2007

EJERCICIO 1

Dada la función

f(x) =

⎧⎨⎩ 1 si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2a) Hallar dos desarrollos en serie de Fourier: uno senoidal y otro cosenoidal.b) Como aplicación del apartado anterior, obtener la suma de la serie numérica:

∞Xn=1

1

n2

³cos

nπ

2− (−1)n

´

EJERCICIO 2

a) Hallar el área del dominio D ⊂ R2, perteneciente al primer cuadrante, limitado por las circunferencias:

x2 + y2 − 2y = 0; x2 + y2 − 4y = 0

b) Hallar la masa del cuerpo Ω ⊂ R3 limitado por las superficies:

z =px2 + y2; z = 2−

px2 + y2

siendo su densidad en cada punto µ(x, y, z) = z.

EJERCICIO 3

a) Calcular la integral de línea: ZC

y3dx− xy2dy

(x2 + y2)2

siendo C la circunferencia de centro el punto (1, 1) y radio 3, recorrida en sentido positivo.

b) Calcular, aplicando el teorema de Gauss, la integral de superficie:Z ZS

→F .→dS

siendo →F (x, y, z) = (xz2, x2y − z3, 2xy + y2z)

y S la superficie cerrada limitada por la semiesfera z =pa2 − x2 − y2 y el plano z = 0, con la orientación de

la normal exterior.

Notas:- La duración del examen es de 2, 30 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.


PROBLEMA 1

Calcular ZZD

x

x2 + y2dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio del 1er cuadrante limitado por la circunferencia:

x2 + y2 = 2x

y las rectas ½y = xx = 2

PROBLEMA 2

Calcular ZZZΩ

x

ydxdydz

siendo Ω ⊂ R3 el dominio del 1er octante limitado por las superficies:⎧⎨⎩x2 + y2 + z2 = 2x = 0

y =√3x

Nota: arctg√3 =

π

3rad .

Tiempo: 1 Hora y 15 minutos


PROBLEMA 1

Calcular ZZD

x dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio limitado por las rectas:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ y = 2x+ y = 3y = xy = 2x

PROBLEMA 2

Calcular ZZZΩ

x2 dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por las superficies:½z =

px2 + y2

z = 6− (x2 + y2)

Tiempo: 1 Hora y 15 minutos


PROBLEMA 1

Calcular la integral de línea ZC

y¡x2

¢2+ y2

dx− x¡x2

¢2+ y2

dy

siendo C la circunferencia:x2 + y2 = 4

recorrida en sentido negativo (sentido agujas reloj).

PROBLEMA 2

Sea S la porción de la esferax2 + y2 + (z − 2)2 = 4

que queda por encima del plano z = 3, y C el borde de S.Verificar el teorema de Stokes, siendo

F = (y2, 0, ez)

y considerando en S la cara inferior.

Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.


PROBLEMA 1

(a) Comprobar que el campo

F =

µy3

(x2 + y2)2,−xy2

(x2 + y2)2

¶es conservativo.(b) Calcular la integral de línea Z

C

y3

(x2 + y2)2dx− xy2

(x2 + y2)2dy

siendo C la circunferencia:(x− 1)2 + (y − 1)2 = 9

recorrida en sentido negativo (sentido agujas reloj).

PROBLEMA 2

Sea S la porción de la superficiez = 2− (x2 + y2)

que queda por encima del plano xy.(a) Calcular su área.(b) Calcular, aplicando la definición: ZZ

S

F · dS

siendoF = (0,−x, z)

y considerando en S la normal interior.



PROBLEMA 1

a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función

f(x) = (x− 1)2; x ∈ [0, 1]

b) Calcular la suma de la serie de Fourier anterior en los puntos:

x = 22; x =45

2

c) Calcular la desviación media cuadrática para n = 1.

d) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = (x− 1)2; 0 ≤ x ≤ 1y(0) = y(1) = 0

sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:

λn = n2π2 ⇒ yn = kn sennπx (n = 1, 2, ...)

Tiempo: 1 h.


PROBLEMA 1

a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal de la función

f(x) = 1− x2; x ∈ [0, 1]

b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de las series numéricas:

∞Pn=1

(−1)nn2

;∞Pn=1

1

n2

c) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = 1− x2; 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = y0(1) = 0

sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:½

λ0 = 0 ⇒ y0 = k0λn = n2π2 ⇒ yn = kn cosnπx (n = 1, 2, ...)

Tiempo: 1 h.



Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las circunferencias:½x2 − 2x+ y2 = 0x2 + y2 − 2y = 0


Hallar una parametrización de la curva dada por la intersección de las superficies:½x2 + y2 + z2 = 4y + z = 2

considerando la orientación negativa al proyectar en el plano xy.


Sea S la superficie esféríca, de centro el origen y radio unidad, dada por la parametrización:

T (θ, φ) = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π

Sea Ω la región de R3 limitada por S, y F el campo vectorial dado por:

F (x, y, z) = (0, 0, z3)

Verificar el Teorema de Gauss.



f(x) = x; x ∈ [0, π]

b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de la serie numérica:

∞Pn=1

1

(2n− 1)2

c) Aplicando Parseval calcular la suma de la serie numérica:

∞Pn=1

1

(2n− 1)4

d) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno (λ 6= n2;n = 0, 1, 2, ...):½y00 + λy = x; 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0

sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo asociado son:½λ0 = 0 ⇒ y0 = k0λn = n2 ⇒ yn = kn cosnx (n = 1, 2, ...)

- La duración del examen es de 2.30 horas.- El ejercicio 4 debe entregarse por separado.

MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2007

Ejercicio 1 (2 puntos)

Calcular el área del primer cuadrante limitada por las curvas:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xy = 2xy = 4y = xy = 3x


Calcular la integral de línea: ZC

−ydx+ xdy

x2 + 4y2

siendo C la circunferencia: x2 + y2 = 1 recorrida en el sentido antihorario.


Calcular el volumen limitado por las superficies:½x2 + y2 + z2 = 3z = 1

2

¡x2 + y2

¢Esbozar su gráfica.


Calcular la integral de superficie:

I =

ZZS

f(x, y, z)dS

siendof(x, y, z) = 2

y siendo S la porción del planox+ y + z = 1

limitada en el primer octante por los planos coordenados. ¿Qué interpretación geométrica tiene la integralanterior?


Hallar un desarrollo en serie de Fourier de la función periódica, de periodo π, definida por:

f(x) =

½1− x

2 0 ≤ x < 20 2 ≤ x < π

- La duración del examen es de 2,30 horas.


PROBLEMA 1

Calcular ZZD

p1− (x+ y)2 · (x+ y) dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio limitado por: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ y = 1x+ y = 0x− y = 1x− y = 0

PROBLEMA 2

Calcular ZZZΩ

y2 dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por las superficies:⎧⎨⎩ z = 2−px2 + y2

z = 0x2 + y2 = 2

Tiempo: 1 Hora y 30 minutosNo se permite el uso de calculadora


PROBLEMA 1

Calcular ZZD

x2

x2 + y2dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio limitado en el 1er cuadrante por las tres curvas siguientes:⎧⎨⎩ x2 + y2 = 2x = 1y = 0

PROBLEMA 2

Calcular ZZZΩ

e(x2+y2+z2)

32 dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por las superficies:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 + y2 + z2 = 3y = xy = −xz = 0

considerando sólo la zona donde: y ≥ 0, z ≥ 0.

Tiempo: 1 Hora y 30 minutosNo se permite el uso de calculadora


PROBLEMA 1 (3 puntos)


x dx+ y dy + x dz

siendo C la curva de R3 dada por la intersección de las superficies:½z = 1− (x2 + y2)y + z = 1

recorriendo C de forma que "subamos" por el primer octante.


Verificar el teorema de Gauss, siendo F el campo vectorial:

F = (2x, 2y, z)

y siendo S = S1 ∪ S2 la superficie cerrada formada por:S1 : la porción del paraboloide z = x2 + y2 que queda por debajo del plano z = 3.S2 : la porción de dicho plano que actúa como tapa.




Sea S la superficie dada por la parametrización:

T (u, v) = (u cos v, u sen v, v)

(u, v) ∈ D = (u, v) / 0 ≤ u ≤√3, 0 ≤ v ≤ π/2

Calcular la integral ZZS

x dS


Verificar el teorema de Stokes, siendo F el campo vectorial

F = (−y3, 0, z)

y siendo S la porción de la superficiez = 1−

px2 + y2

que queda por encima del plano z = 1/2, y C el borde de dicha superficie.Considerar en S la cara interior.



PROBLEMA 1

a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 2, definida por:

f(x) = 4x− x2; x ∈ [0, 2]

b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de las series numéricas:

∞Pn=1

(−1)nn2

;∞Pn=1

1

n2

c) Plantear (sin simplificar) la fórmula de la desviación media cuadrática para n = 1.

Tiempo: 1 h. y 15 minutos.


PROBLEMA 1

a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal de la función:

f(x) = 2πx− x2; x ∈ [0, π]


∞Pn=1

(−1)nn2

c) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = f(x); 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0

sabiendo que los valores propios y las funciones propias del problema homogéneo asociado son:½λ0 = 0 ⇒ y0 = K0

λn = n2 ⇒ yn = Kn cosnx (n = 1, 2, ...)

Nota: Se supone que para el problema no homogéneo de contorno (λ 6= n2;n = 0, 1, 2, ...).

Tiempo: 1 h y 15 minutos.



Calcular ZZD

(x− y)

[2− (x+ y)]2dxdy

siendo D el dominio limitado por:

x− y = 0

x+ y = 0

x = 1


La porción de la esfera:x2 + y2 + z2 = 1

cortada por el cilindro:x2 + y2 − y = 0

(con z ≥ 0) se llama bóveda de Viviani. Denotemos por S dicha superficie y por C su contorno.(a) Calcular la integral de línea: Z

C

xdx+ ydy + z.xdz

indicando claramente en la figura el sentido de recorrido.(b) Calcular la integral de superficie: ZZ

S

z.ydS

Nota: En el apartado (b) se recomienda parametrizar la superficie a cartesianas.



f(x) = πx− x2; x ∈ [0, π]


∞Pn=1

(−1)n−1(2n− 1)3

c) Aplicando Parseval calcular la suma de la serie numérica:

∞Pn=1

1

(2n− 1)6

- La duración del examen es de 2.30 horas.


EJERCICIO 1

Hallar la serie de Fourier de la función de periodo 6, definida por:

f(x) =

½−x, −3 < x < 0,x, 0 < x < 3.

EJERCICIO 2

Hallar la integral de superficie : ZZS

−→F .−→dS

Siendo−→F = x

−→i + y

−→j y S la superficie dada por la ecuación z =

px2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1 con la orientación de la

normal exterior.

EJERCICIO 3


y dx− x dy

donde C es la curva cerrada, limitada por la elipse x2

16 +y2

9 = 1 y la recta x4 +

y3 = 1 situada en el primer

cuadrante, recorrida en el sentido contrario al del giro de las agujas del reloj. Comprobar el resultado mediantela aplicación del Teorema de Green.

EJERCICIO 4

Calcular, aplicando el Teorema de Gauss, la integral de superficie:ZZS

−→F ·−→dS

siendo−→F (x, y, z) = (x z2, x2 y − z3, 2x y + y2 z) y S la superficie cerrada limitada por la semiesfera z =p

a2 − x2 − y2 y el plano z = 0, con la orientación de la normal interior.

- La duración del examen es de dos horas y media.- Todos los ejercicios puntúan igual.- No se permite el uso de calculadoras.

MÉTODOS MATEMÁTICOSEXAMEN FEBRERO 2009

EJERCICIO 1

a) Desarrollar en serie de Fourier la función 2π - periódica definida por:

f(x) = 2π − x; 0 ≤ x ≤ 2π

Razonar su convergencia.b) Eligiendo un valor adecuado para x en la serie resultante, calcular la suma de la serie numérica:

∞Pn=1

(−1)n−12n− 1

EJERCICIO 2

Calcular la integral: ZZZΩ

x dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por el paraboloide: 2z = x2 + y2 y el plano: z = 2.

EJERCICIO 3


2ydx+ 3xdy − z2dz

siendo C la curva:x = 3 cos ty = 3 sen tz = 0

⎫⎬⎭ 0 ≤ t ≤ 2π

Comprobrar el resultado aplicando el teorema de Stokes.

EJERCICIO 4

Sea S la superficie esférica, de centro el origen y radio unidad, dada por la parametrización:

T (θ, φ) = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π

Sea Ω la región de R3 limitada por S, y F el campo vectorial dado por:

F (x, y, z) = (0, 0, z3)

Verificar con ellos el teorema de Gauss.

- La duración del examen es de 3 horas.


PROBLEMA 1

Sea la integral: ZZD

x dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio del 1er cuadrante limitado por las curvas:½x2 + y2 = 1x2 + y2 = 4

(a) Plantearla en CARTESIANAS integrando primero la y.(b) Plantearla en CARTESIANAS integrando primero la x.(c) Calcular sólo una de ellas.(d) Comprobar el resultado mediante el cambio a coordenadas polares

PROBLEMA 2


x2z dxdydz


x2 + y2 + z2 = 3

2z = x2 + y2

Tiempo: 1 Hora


PROBLEMA 1

Invertir el orden de integración en la integral iterada:Z 1

0

ÃZ ex

x2f(x, y)dy

!dx

PROBLEMA 2


y2x dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 la región limitada en el 1er octante por las superficies:

z =5

4− 2px2 + y2

z = (x2 + y2)

Nota: No hace falta simplificar las cuentas.

Tiempo: 1 Hora

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS CCONTROL 1-2009

PROBLEMA 1

Calcular la integral: ZZD

ypx2 + y2 dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio limitado por las curvas:(y = x

x2 − x+ y2 = 0

Nota: De los dos posibles dominios debe tomarse el más pequeño.

PROBLEMA 2


r³x3

´2+³y4

´2dxdydz

siendo Ω ⊂ R3 la región limitada por las superficies:⎧⎨⎩³x3

´2+³y4

´2+³z2

´2= 1

z = 0

con z ≥ 0.

Tiempo: 1 Hora

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS DCONTROL 1-2009

PROBLEMA 1

Calcular la integral: ZZD

x3y dxdy

siendo D ⊂ R2 el dominio del 1er cuadrante limitado por las curvas:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y = x2

y = x2 + 1y = 2− x2

y = 3− x2

PROBLEMA 2


y2 dxdydz


1 = x2 + y2

z = 2− (x2 + y2)

z = (x2 + y2)− 1

Tiempo: 1 Hora



Calcular el área de la superficie esférica:x2 + y2 + z2 = 16

limitada por el cilindro:x2 + y2 = 9

en el primer octante.


Verificar el teorema de Stokes, siendoF = (0, x, 0)

y siendo C la curva intersección de: ½x2 + (y − 1)2 = 1y + z = 2

La curva C se supone recorrida en el sentido horario al considerar su proyección sobre el plano xy.




Calcular la integral de línea:

I =

Z(1− y)dx+ xdy

x2 + (y − 1)2

siendo C la curva:C : x2 + y2 = 4

recorrida en el sentido de las agujas del reloj.


Verificar el teorema de Gauss, siendo F el campo vectorial:

F = (x, 0, z)

y siendo S = S1 ∪ S2 la superficie cerrada formada por:

S1 : z = x2 + y2

S2 : z = 4− (x2 + y2)


MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS CCONTROL 2-2009


Sea S la superficie dada por la parametrización

T (u, v) = (u, v, 1− u− v)

(u, v) ∈ D = (u, v)/0 ≤ u2 + v2 ≤ 2

Calcular:(a) Su área

(b)ZZ

S

−→F ·−→dS

siendo−→F = (0, 0, x2 + y2) y considerando en S la normal inferior.


Verificar el Teorema de Stokes, siendo:F = (yz, x2, xy)

y siendo C la intersección de las superficies: ½x2 + y2 + z2 = 2

z =px2 + y2

La curva C se supone recorrida en el sentido antihorario al considerar su proyección sobre el plano xy.


MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS A

CONTROL 3 - 2009

PROBLEMA 1


f(x) = π2 − x2; x ∈ [0, π]

Nota: No es necesario discutir términos pares e impares.

b) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = π2 − x2; 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0

sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:

λn = n2 ⇒ yn = kn sennx (n = 1, 2, ...)

Tiempo: 1 h.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS B

CONTROL 3 - 2009

PROBLEMA 1


f(x) =

½0 [−3, 0]x− 3 [0, 3]

b) Calcular la suma de la serie de Fourier en x = 36.c) ¿Qué serie numérica se obtiene para x = 3?. ¿Cúal es su suma?

Tiempo: 1 h.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS C

CONTROL 3 - 2009

PROBLEMA 1


f(x) =

½0 [0, 2]2x− 4 [2, 4]

b) Calcular la suma de la serie de Fourier en x = 40.c) Calcular la suma de la serie numérica

∞Xn=1

1

(2n− 1)2

Tiempo: 1 h.

MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS D

CONTROL 3 - 2009

PROBLEMA 1


f(x) = (x− π)2; x ∈ [0, π]

b) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = (x− π)2; 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0

sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:½

λ0 = 0 ⇒ y0 = k0λn = n2 ⇒ yn = kn cosnx (n = 1, 2, ...)

Tiempo: 1 h.



Calcular la integral doble: ZZD

x+ y

x2 + y2dxdy

siendo D el segmento circular limitado en el primer cuadrante por:½x2 + y2 = 4x+ y = 2


Calcular, mediante una integral triple, el volumen del cuerpo limitado por los planos:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x+ z = 1x− z = −1y = −1y = 1z = 0



−→F .−→ds

siendo −→F = (0, x, 0)

y siendo C la curva intersección de: ½x2 + y2 + (z − 1)2 = 1y + z = 2

recorrida de forma que se suba por el primer octante.


Calcular la integral de superficie: ZZS

−→F .−→dS

siendo −→F = (x, y, z)

y siendo S la porción del paraboloide:z = 2− (x2 + y2)

que queda por encima del plano z = 0, y tomando la cara interior.


Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 2, definida por:

f(x) = 4x− x2; x ∈ [0, 2]




La porción de la esfera:x2 + y2 + z2 = a2

cortada por el cilindro:x2 + y2 − ay = 0

(con z ≥ 0) se llama bóveda de Viviani. Denotemos por S dicha superficie y por C su contorno.Calcular directamente la integral de línea: Z

C

xdx+ ydy + z.xdz

teniendo en cuenta que el sentido de recorrido debe ser: subiendo por el primer octante.


Verificar el resultado del apartado anterior aplicando el teorema de Stokes.Nota: En este apartado se recomienda parametrizar la superficie S a cartesianas.

EJERCICIO 3 (1 punto)

¿Cómo calcularías el volumen de la porción del cilindro anterior, limitado por z ≥ 0 y la bóveda de Viviani?Nota: Solo planteamiento.


Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 1, definida por:

f(x) = x; x ∈ [1, 2]


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