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Métodos Matemáticos en FísicaL4G. Método de Fourier: problemas de Sturm-Liouville ( según Cap.4, libro

APL)

Hemos introducido problema SL con 3 distintos tipos de condiciones de contorno HOMOGENEAS CC1, CC2, CC3

Obtendremos ahora una visión mas amplia de los usos potenciales del método de Fourier.

Siguiendo esta línea, presentaremos una formulación general del problema de Sturm-Liouville

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Métodos Matemáticos en FísicaL4G. Método de Fourier: problemas de Sturm-Liouville ( según Cap.4, libro

APL)

Para unos valores propios, o autovalores, las correspondientes soluciones Funciones propias o autofunciones del problema de Sturm-Liouville

+ CC1, CC2, CC3

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Métodos Matemáticos en FísicaL4G Método de Fourier: problemas de Sturm-Liouville ( según Cap.4, libro APL)

Comprobamos ortogonalidad de autofunciones para TODOS 3 especies de condiciones de contorno: Xn, Xm son 2 autofunciones distintas

Restando resultados

*Xm y integramos entre 0 L

*Xn y integramos entre 0 L

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Integrando por partes 1-er termino:

`` ` ` `

00 0

`` ` ` `

00 0

L LL

n m n m n m

L LL

m n m n m n

X X dx X X X X dx

X X dx X X X X dx

= −

= −

∫ ∫

∫ ∫1-er termino:

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NOTA: para caso de CC de 3ra especie usamos relación

Para TODOS 3 especies de contorno homogéneas es ZERO

Con h- constante

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De aquí se deduce la ortogonalidad:

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Multiplicando por X Ec. 1 y integrando (primer termino por partes) entre 0 L

1

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Signo de autovalores?

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para CC1,2

Autovalores λ son siempre positivos

>0

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EXCEPCION: Autovalor λ=0 es posible solo para solución X=const.

(esto suscede solo para AMBOS CC de segunda especie )

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Para CC3 hay que realizar estudio mas detallado

1. Supongamos que CC3 se dan solo en extremo derecho de cuerda

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Antes obtuvimos (2)

Como por definición de ecuacionesde recuperación ( muelle, cuerda)(ver discusión cap. 4 APL)β, α >0

λ no pueden ser negativos

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Presencia de autovalores λ positivos también es importantePara que ecuación para magnitudes de modos en función del tiempo

NO tenga soluciones disminuyentes exponencialmentecon tiempo

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Condiciones de contorno homogéneas de segunda especie: expresiones para las auto funciones y los autovalores

Autovalor CERO es permitido y describe Desplazamiento con velocidad constante

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Frecuencia mas bajaEsta relacionada con autovalor

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CLASE: a partir de Condiciones de contorno homogéneas de tercera especie: HALLAR autofunciones y autovalores de SL

Caso:cuerda fija sobre muelle en extremo derecho+ fija en extremo izquierdo

Como y antes, indicamos que por definición de ecuaciones de recuperación ( muelle, cuerda) β, α >0

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1.AUTOFUCIONES

Para satisfacer condición de contorno en x=0

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2. Ec. Para hallar AUTOVALORES

para satisfacer condición de contorno en x=L

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Dichas soluciones son puntos de corte de funciones

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Cuerda no homogénea ( densidad NO uniforme)

Igual como antes buscamos solución como sumatoria por todos autovalores del problema SL correspondiente

En general problema NO tiene soluciones analíticas

Condición de ortogonalidad ?

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Problema SL para autovalores y autofunciones

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Condición de Ortogonalidad ?

Antes demostramos que con CC1,2,3 el primer termino se anula

Operando como antes: llegamos a

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Condición de Ortogonalidad: Cuerda NO homogénea

De la misma manera como antes se demuestra que autovalores ( cap.4, APL)

NO son negativos

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Autofunciones y autovalores: una cuerda homogénea a trozos

Solucionamos problema SL

CONCRETO

con

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Buscamos dos soluciones correspondiente a cada trozo

con

AutoFunciones que satisfacen a CC en puntos x=0, L son:

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Además, imponemos condición de continuidad:

Además, La función debe tener derivada continua en punto de unión

Se obtiene integrando

para

PORQUE?

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Imponiendo DOS condiciones anteriores

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Soluciones serán NO triviales (DET=0) para

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Dividiendo por

con

Ecuación para autovalores

Recordamos que

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Del sistema anterior:

Podemos ver que:

Tutoria Extraordinaria

• 01.03.AU.404 AULA 404 DEL MÓDULO 3

• Fecha: 17/10/2012( Miercoles )

• Hora : 16:30

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las funciones propias para este problema SL son

De SOL. GENERAL + CI Sol Final

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Cuerda suspendida

La función u describe los Desplazamientos transversales

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Con tensión debido a campo gravitatorio

3

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problema SL a solucionar:

Condiciones de contorno para x=L son algo mas complicadasLa respuesta estrictamente es que no hay ninguna CC en este caso

La única condición es que auto funciones de (3) sean finitos para x=L

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Se comprueba respectivamente ortogonalidad de funciones SL ( Cap.4, APL):

Asi como de autovalores NO negativos ( ver Cap 4-APL )

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Autovalores y auto funciones

Realizando cambio

Según veremos adelante, esta ecuación se puede reducir a la ecuación de Bessel de orden cero.

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Por ahora nos basta con saber que, para cualquier valor de λ, existen soluciones de esta ecuación que permanecen acotadas en (x = 0)

Autovalores usando PC

Autofunciones

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COMENTARIO sobre

Modo de buscar solución cuando tenemos Ec. con Condiciones de contorno no son homogéneas

siempre es posible reformular problema como un problema con

una ecuación no homogénea +

unas condiciones de contorno homogéneas

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Por ejemplo: cuerda con extremos desplazados en función del tiempo

Introducimos función que tiene valores μ1,2 en extremos 1,2

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Ecuación parav(x,t)

tendráCC homogéneas

Que sabemos como resolver!

Con cambio

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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda

RECORDATORIO (L4A):Caso de oscilaciones forzadas de una cuerda:

Resolvemos el problema usando coordinadas normalesBuscamos solución u(x,t) en forma

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Multiplicando por Xm y integrando entre 0 LLlegamos a Ec. diferencial a resolver:

Con

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Métodos Matemáticos en Física III

Partial Diff Ecuations

Ec.Fourier, Laplace, Poisson

Met. D Alembert

Ec. Onda

Met. Series Fourier SL

F Green

Ec. No-hom.

Met transformada Fourier(sistemas infinitas)

PROCESOS FisicosCond. Contorno

1. FORMULACION MATEMATICA

2. SOLUCION

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Métodos Matemáticos en FísicaL4G4. Método Fourier: Cuerda

TABLA de Soluciones de problemas SL con CC1,2,3 homogeneas

Creada por cada alumno de manera individual

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PROBLEMA CLASE: Libro Levanuyk 4.6

A la cuerda NO-HOMOGENEA considerada en esta Leccionse le da un golpe en el punto central que le transfiere un impulso I(antes del golpe la cuerda se encuentra en reposo en la configuraciónde equilibrio).

Hallar el desplazamiento de la cuerda como función del tiempo.

1. Solucion GENERAL

2. Aplicar CI

3. Hallar coeficientes

mv=I

1ρ

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( ) ( ) ( )n n n n nn n

u Q t X x A Sen t X xω= = ×∑ ∑

NOTA: aquí Cn=1

1. Solucion GENERALYa hemos usado CI-1 (cuerda en reposo a t=0)

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1 2

0 ( )2

( ,0) cos(0) ( )

0 ( )2

I( + )2

( )2 2

2

t n n nn

Lx

u x A X x

Lx

L Lxρ ρ

ε

ε

ε

ε εω⎡ ⎤

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥< −⎢ ⎥⎢ ⎥

= × = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

− < < +

⎢ ⎥⎣ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥> −⎢ ⎥

⎦

⎣ ⎦

∑

Aplicamos CI-2

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21 2

1

0

20

2

I ( + )( + )2

2

( ) ( ) ( )2

( )2

( ) ( )

L

n n n n

n

n L

n n

LA X x x dx X

LXA

X x x dx

I

ερ ερρ ρ

ω ρ

ω ρ

ε=

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

×

∫

∫

Multiplicamos ambas partes por Xn*ρ(x) y integramos de 0 L

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2

?

`` ``( )

`` 0 =>

n

n

n n n

Q XTQ x X

T TQ Q

ω

λρ

ω λλ

=

= = −

=

=

>

+ =

Frecuencias propias ?

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