métodos matemáticos iii - análisis de fourier

Meacutetodos Matemaacuteticos III -Anaacutelisis de Fourier

ESEIAAT UPC


ESEIAAT UPC

Victor MantildeosaUniversitat Politegravecnica de Catalunya

Teresa Navarro GonzaloUniversitat Politegravecnica de Catalunya

Julian PfeifleUniversitat Politegravecnica de Catalunya

October 20 2021

Apuntes en pdf

Estas son las notas preliminares de la asignatura Meacutetodos Matemaacuteticos IIIEl fichero pdf que las acompantildea se encuentra aquiacute

iv

Iacutendice

Apuntes en pdf iv

1 Series de Fourier 1

11 De la realidad al modelo 112 Recursos online La intuicioacuten detraacutes de la serie de Fourier 213 Procesos perioacutedicos 314 Analisis y Siacutentesis de Fourier 715 Convergencia de una Serie de Fourier Teorema de Dirichlet El

fenoacutemeno de Gibbs 1316 Espectro 1817 Energiacutea y relacioacuten de Parseval 21

2 Transformada de Fourier 24

21 Anaacutelisis y Siacutentesis 2422 Transformaciones de sentildeales 2723 Convolucioacuten 3624 La distribucioacuten delta de Dirac 3925 Energiacutea y relacioacuten de Parseval 4226 Filtros y sistemas LTI 51

3 Equacions diferencials 58

31 Introduccioacute 5832 EDOs en variables separables 6433 EDOs autogravenoms de grau 1 6734 EDOs lineals drsquoordre 1 6735 EDOs lineals amb coeficients constants 7036 Uns exemples 7537 Sistemes LTI i estabilitat 7838 Amortiment i ressonagravencia 84

4 La Transformada de Laplace 90

41 Quegrave eacutes 9042 Propietats de la transformada de Laplace 9243 Convolucioacute 9844 Cagravelcul de la transformada de Laplace inversa 9945 Funcioacute de transferegravencia drsquoun sistema LTI 101

v

IacuteNDICE vi

46 Resultats asimptogravetics Teoremes del valor inicial i del valor final 102

Capiacutetulo 1

Series de Fourier

Las series de Fourier sirven para analizar procesos perioacutedicos en el tiempopor lo general en esta asignatura hablaremos de procesos fiacutesicos Ejemplospueden ser

bull la evolucioacuten = (C) X rarr X de la tensioacuten eleacutectrica en un circuitocomo funcioacuten del tiempo

bull la evolucioacuten ) = )(C) Xrarr X de la temperatura de un soacutelido o un gastambieacuten como funcioacuten del tiempo

bull la intensidad de luz o color en una fotografiacutea etc

Es importante entender que los fundamentos matemaacuteticos de la seriesy transformadas de Fourier que tratamos aquiacute forman la base de muchasaplicaciones en el mundo real Sin embargo en el tiempo que tenemosdisponibles en esta asignatura no podemos hablar mucho de estas aplicacionesComo por otra parte siacute es un tema importante damos enlaces a tres paacuteginasweb Puesto que seguramente estos enlaces se quedaraacuten obsoletos en alguacutenmomento les invitamos a hacer su propia buacutesqueda Como en todas lasmaterias saber en queacute se aplicaraacute les ayudaraacute a entender mucho mejor loscontenidos

Piensen que Joseph Fourier el primero en desarrollar estas ideas vivioacuteentre 1768 y 1830 y que mucha gente muy lista se ha dedicado a refinar ymejorarlas desde entonces hasta hoy

11 De la realidad al modeloModelizar un tal proceso fiacutesico mediante una funcioacuten 5 Xlt rarr X= de una (enel caso lt = 1) o varias (si lt ge 2) variables reales que devuelve un valor (= = 1)real o varios de ellos (= ge 2) Usando diferentes valores de lt y = podemosmodelizar por ejemplo los siguientes fenoacutemenos

1

CAPIacuteTULO 1 SERIES DE FOURIER 2

Cuadro 111 Ejemplos para funciones de diversos nuacutemeros de variables

= = 1 = = 2 = = 3lt = 1 evolucioacuten

Xrarr XC ↦rarr (C) del factor de una epidemiaen el tiempo

trayectoria 5 Xrarr X2C ↦rarr ( 5G(C) 5H(C)) deuna particula en elplano

trayectoria 5 Xrarr X3C ↦rarr ( 5G(C) 5H(C) 5I(C)) deuna particula en el espacio

lt = 2 valor de gris6 X2 rarr X(G H) ↦rarr 6(G H)del piacutexel (G H) deuna fotografiacutea

campo vectorialreg5 X2 rarr X2 (G H) ↦rarr( 51(G H) 52(G H)) acada punto del planose le asigna un vector

foto de color 5 X2 rarr X3(G H) ↦rarr(A(G H) 6(G H) 1(G H)) acada piacutexel se le asignan susvalores rojo verde yamarillo

En esta asignatura uacutenicamente trataremos el casomaacutes sencillo de = = lt = 1es decir de funciones reales de una variable real Sin embargo las teacutecnicas queaprenderemos se pueden extender sin problemas a los demaacutes casos

La variable real en esta asignatura siempre seraacute o bien C para denotarprocesos que dependen del tiempo o bien G para denotar procesos quedependen del espacio Normalmente modelizaremos procesos en el tiempo ypor tanto usaremos la variable C y funciones 5 = 5 (C)

En cuanto a notacioacuten escribiremos 5 para una funcioacuten si no nos importade queacute variable depende y por ejemplo 5 (C) si depende del tiempo o 5 (G) sidepende de una coordenada espacial

12 Recursos online La intuicioacuten detraacutes de la seriede Fourier

Por suerte cada diacutea hay maacutes recursos excelentes disponibles en la red queexplican la intuicioacuten detraacutes de las series de Fourier Coleccionamos aquiacute unosejemplos

121 Series de Fourier de sentildeales lineales1 En esta presentacioacuten hay unos ejemplos sobre aplicaciones de las series

de Fourier

2 Este artiacuteculo describe coacutemo funcionan las aplicaciones cuenta-pasos enlos smartphones Spoiler Usan las series de Fourier

3 Aquiacute hay un applet de java que permite experimentar con los coeficientesde Fourier

4 En la paacutegina de la Wikipedia se puede encontrar una animacioacuten queexplica el concepto

5 En este artiacuteculo se explica la transformada de Fourier en analogiacutea a lasrecetas de unos coacutecteles

122 Series de Fourier de sentildeales ciacuteclicasHasta ahora las sentildeales que analizamos han sido representadas como funcionesdel tiempo A continuacioacuten presentamos series de Fourier de curvas en el planoconvertidas en sumas de circunferencias que giran con diferentes velocidadesVeremos a continuacioacuten que se trata de la misma idea matemaacutetica


1 Aqui hay una visualizacioacuten del anaacutelisis de Fourier hecha con la libreriacuteaD3 que da una primera impresioacuten de esta idea

2 En esta direccioacuten hay una animacioacuten maacutes detallada

3 Aquiacute hay un applet de java que permite convertir un dibujo propio enunos epiciclos de Fourier

123 Maacutes aplicaciones y recursos para de las series de Fourier1 En stackexchange hay muchas respuestas con ejemplos a la pregunta

por queacute es importante la transformada de Fourier

2 El inigualable Grant Sanderson tiene un canal en youtube donde colec-ciona sus viacutedeos fantaacutesticos Destacamos dos de ellos

YouTube httpswwwyoutubecomwatchv=spUNpyF58BY

Figura 121 Introduccioacuten a las series de Fourier de 3blue1brown

YouTube httpswwwyoutubecomwatchv=r6sGWTCMz2k


3 La asignatura EE261 - The Fourier Transform and its Applications deBrad Osgood en la Universidad de Stanford junto con el libro de textoque lo acompantildea son unos recursos excelentes para ingenieros

4 En esta url hay maacutes recursos

13 Procesos perioacutedicosEjemplos de procesos perioacutedicos que se pueden analizar mediante las series deFourier son

bull Las fuerzas que actuacutean sobre una aguja de una maacutequina de coser enoperacioacuten

bull La evolucioacuten en el tiempo de la presioacuten de gas en los cilindros de unmotor y de las fuerzas sobre el eje


bull La presioacuten de aire sobre la membrana de un microacutefono cuando estaacutegrabando un sonido

El modelo matemaacutetico para un proceso perioacutedico para nosotros seraacute unafuncioacuten perioacutedica

Definicioacuten 131bull Una funcioacuten 5 X rarr X es perioacutedica si podemos encontrar un nuacutemero) isin X tal que

5 (C + )) = 5 (C) para todo C isin X

bull Cualquier nuacutemero ) que verifique esta ecuacioacuten se llama un periodo de5

bull El nuacutemero ) gt 0 maacutes pequentildeo que verifique esta ecuacioacuten se llama elperiodo fundamental de 5 y muchas veces los escribimos )0

diams

Observacioacuten 132 Una funcioacuten perioacutedica con periacuteodo fundamental ) es tam-bieacuten perioacutedica con periacuteodo 2) 3)minus5)

Siempre que trabajemos con procesos perioacutedicos hablaremos de la frecuen-cia que mide el nuacutemero de repeticiones del proceso perioacutedico

Definicioacuten 133bull La frecuencia de una funcioacuten 5 (C) de periodo fundamental ) es = 1

) Se interpreta como el nuacutemero de veces que se repite la sentildeal por unidadde medida de la variable independiente Si C se mide en segundos en

1B4 6 = I

bull La frecuencia angular de una funcioacuten 5 (C) de periodo fundamental ) es$ = 2 = 2

) Se interpreta como el nuacutemero de veces que que se repitela sentildeal por ciclo (2 radianes) Si C se mide en segundos $ en A03B4 6

bull En el desarrollo de este tema trabajaremos fundamentalmente con fre-cuencias angulares

diams

Ejemplo 134(a) Consideremos la funcioacuten 5 (C) = sin(C)


Figura 135 5 (C) = sin(C)

Como 5 (C + 2) = sin((C + 2)) = sin(C + 2) = sin(C) = 5 (C) el nuacutemero) = 2 es un periodo de 5 al igual que los nuacutemeros ) = minus2 0 2 4 6Puesto que entre todos estos nuacutemeros el nuacutemero maacutes pequentildeo peropositivo es 2 el periodo fundamental de 5 (C) = sin(C) es )0 = 2

131 Funciones pares e imparesLas propiedades de una funcioacuten de ser par o impar no tiene en principionada que ver con la propiedad de un nuacutemero de ser par (divisible entre 2) oimpar (dejar resta 1 al dividir entre 2) Sin embargo aunque la propiedad de unafuncioacuten de ser par o impar en siacute no tiene mucha relacioacuten con los nuacutemeros lainteraccioacuten de estas propiedades es suficientemente anaacuteloga como para justificareste nombreDefinicioacuten 136

1 Una funcioacuten 5 Xrarr X es par si

5 (minusG) = 5 (G) para todo G isin X

2 Una funcioacuten 5 Xrarr X es impar si

5 (minusG) = minus 5 (G) para todo G isin X

diams


Figura 137 Varias funciones pares Figura 138 Varias funciones im-pares

Ejemplo 139 Ejemplos de funciones pares sonbull el valor absoluto G ↦rarr |G |

bull funciones de potencia con exponente par G ↦rarr G2 G ↦rarr G6 etc

bull el coseno G ↦rarr cos(G)

Ejemplos de funciones impares son

bull la funcioacuten identidad G ↦rarr G

bull funciones de potencia con exponente impar G ↦rarr G3 G ↦rarr G7 etc

bull el seno G ↦rarr sin(G)

Observacioacuten 1310 Unas propiedades de funciones pares e impares son1 Si una funcioacuten es par e impar a la vez entonces la funcioacuten vale 0 en todos

los puntos de su dominio

2 Si una funcioacuten 5 (C) es impar y 5 (0) estaacute definido entonces 5 (0) = 0

3 Si una funcioacuten es impar su valor absoluto es par

4 La suma o diferencia de dos funciones pares es par

5 La suma o diferencia de dos funciones impares es impar

6 El producto o cociente de dos funciones pares es par

7 El producto o cociente de dos funciones impares es par

8 El producto o cociente de una funcioacuten par y una funcioacuten impar es impar

9 Cualquier funcioacuten 5 X rarr X se descompone en una parte par y unaparte impar Si

5par =5 (G) + 5 (minusG)

2

5impar =5 (G) minus 5 (minusG)

2

entonces5 (G) = 5par(G) + 5impar(G)


Ejercicio 1311 Justifica algunas de estas propiedades

14 Analisis y Siacutentesis de FourierA partir de aquiacute consideraremos siempre una funcioacuten 5 X rarr X C ↦rarr 5 (C)perioacutedica con periacuteodo fundamental ) (veacutease Definicioacuten 131)

Haydosmanerasde expresar la seriedeFourierde 5 como serie trigonomeacutetricao serie compleja Comuacuten a ambas maneras son los siguientes hechos

bull La existencia de unas funciones especiacuteficas que se llaman oscilacioneselementales

bull Se expresa la funcioacuten 5 como una combinacioacuten lineal de tales oscilacioneselementales

bull Lo que caracteriza la funcioacuten 5 son los coeficientesmediante los cuales 5se expresa a partir de las oscilaciones elementales

bull Intervienen expresiones como 2=) Estas tambieacuten se pueden expresar

como $= donde$= =

2=)

= =$

siendo $ = 2) la frecuencia fundamental de la funcioacuten perioacutedica Asiacute

$= es el muacuteltiplo =-eacutesimo de la frecuencia fundamental y la letra $ esgriega y se pronuncia omega

Definicioacuten 141bull El proceso de pasar de una funcioacuten conocida a sus coeficientes de Fourier

se llama anaacutelisis de Fourier Este teacutermino es anaacutelogo al concepto deanaacutelisis en Quimica donde tambieacuten queremos saber (analizar) de queacutecosas consiste una substancia dada

bull El proceso de reconstruir una funcioacuten a partir de sus coeficientes se llamasiacutentesis de Fourier Tambieacuten aquiacute la analogiacutea viene de Quimica dondequeremos sintetizar una substancia a partir de otras substancias que yatenemos

diams

141 La serie trigonomeacutetrica de FourierHay dos tipos de funciones elementales

1 Las funciones coseno cuya frecuencia sea un muacuteltiplo de $ = 2)

cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2

2 Las funciones seno cuya frecuencia sea un muacuteltiplo de $ = 2)

sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2

Aquiacute hemos usado la abbreviatura

$= = =$ =2=)


Nota 142 Fiacutejense bien en que para las funciones coseno permitimos = = 0 locual corresponde a la funcioacuten cos( 2middotmiddot0) C) = cos(0) = 1 En la ingenieriacutea eleacutectricahay la tradicioacuten de llamar a esta funcioacuten la componente DC porque unacorriente constante se expresa como direct current Los valores de diferentesa cero se llaman la componente AC puesto que variacutean perioacutedicamente en eltiempo lo cual se corresponde con una alternating current

Nota 143 Fiacutejense tambieacuten en que el periacuteodo fundamental tanto de cos($=C)como de sin($=C) es )= Por ejemplo

cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1

Imaginemos que C va aumentando en valor desde 0 donde cos(2=C)) vale1 La foacutermula que acabamos de escribir nos dice que en C = )= sucede porprimera vez que la funcioacuten cos(2=C)) vuelva a valer 1 y por eso )= es elperiacuteodo de esta funcioacuten

Definicioacuten 144 Sea 5 (C) Xrarr X una sentildeal perioacutedica con periacuteodo ) isin XLas foacutermulas para el anaacutelisis trigonomeacutetrico de Fourier de la funcioacuten 5 (C)

son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)

La foacutermula para la siacutentesis trigonomeacutetrica de Fourier es

5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams

Nota 145 Hay varias observaciones a tener en cuenta1 La notacioacuten

sumsignifica suma Por ejemplo

3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)

2 El hecho que en la foacutermula (143) el sumando 002 sea diferente de todoslos demaacutes es una convencioacuten no una necesidad Existe otra convencioacutenseguacuten la cual la foacutermula de siacutentesis es

5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0

0= cos($=C) +infinsum==1

1= sin($=C)

pero entonces la foacutermula para 00 cambia a

00 =1)

int )

05 (C)dC (144)


y por tanto 00 es la mitad de 00 No es lo maacutes estaacutendar pero os apareceraacuteasiacute en parte del material de la asignatura Si se buscan ejemplos y videosen Internet hay que fijarse muy bien cuaacutel de estas dos convenciones uti-lizan Los resultados para anaacutelisis y siacutentesis dependen de la convencioacuteny no se pueden utilizar sin maacutes en la otra

3 La foacutermula (144) es el valor medio o promedio de la funcioacuten 5 (C) Portanto el coeficiente constante de la serie de Fourier es siempre el valormedio de la funcioacuten (en las dos convenciones)

4 El hecho que la integracioacuten vaya de 0 a ) es arbitrario De hecho sepuede integrar desde cualquier valor C0 hasta C0 + ) sin que el resultadovarie integrar de 0 a ) corresponde a escoger C0 = 0 Es un buen ejercicioentender por queacute es cierto que sale el mismo resultado para cualquiervalor de C0 (Recuerda que 5 (C) es perioacutedica con periacuteodo ))

5 Puesto que el cosinus es una funcioacuten par y el sinus es una funcioacutenimpar los coeficientes de Fourier trigonomeacutetricos nos proporcionandirectamente la descomposicioacuten de 5 (C) en su parte par e impar

5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1

1= sin ($=C)︸︷︷︸5impar(C)

(145)

En particular

bull si ya sabemos de antemano que la funcioacuten 5 (C) es par no hace faltacalcular los coeficientes 1=

bull y si sabemos que la funcioacuten 5 (C) es impar no hace falta calcular loscoeficientes 0=

porque se anularaacuten

Ejemplo 146 Usamos las foacutermulas (141) y (142) para calcular la serietrigonomeacutetrica de Fourier de la funcioacuten diente de sierra definida por

5 (C) = C

para minus lt C lt

y extendida por periodicidad Eso quiere decir que

5 (C + 2) = 5 (C) para minus lt C lt y isin `

Los coeficientes trigonomeacutetricos de Fourier de esta funcioacuten son como sigue1 Primero hay que observar que la integral de una funcioacuten perioacutedica sobre

un intervalo de longitud el periacuteodo tiene siempre el mismo valor Poresta razoacuten podemos sustituir en la definicioacuten de los coeficientes [0 )] por[minus]

0= =12

int

minusC cos(=C) 3C (146)

1= =12

int

minusC sin(=C) 3C (147)

2 Observamos tambieacuten que la funcioacuten que aparece en la expresioacuten de 0= eacutesimpar por Observacioacuten 1310 (8) de lo que se deduce que 0= = 0


3 En cuaacutento a la segunda integral (147) se puede integrar por partestomando D = C 3E = sin(=C) 3C con lo que 3D = 3C i E = minus cos(=C)=Ahora hay que evaluar DE = minusC cos(=C)= en C = plusmn Como es unafuncioacuten par seraacute el doble del valor en C = es decir minus2(minus1)== Aesto hay que restarle el valor de la integral de E 3D = minus cos(=C)= que esminus sin(=C)=2 que evaluada en C = plusmn da cero Por lo tanto

0= = 0 1= = minus2(minus1)==

142 La serie compleja de FourierComo funciones elementales usaremos ahora los exponenciales complejos

4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C

)La foacutermula para el anaacutelisis complejo de Fourier de la funcioacuten 5 (C) es

2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2

La foacutermula para la siacutentesis compleja de Fourier es

5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)

Nota 1471 Fiacutejese bien en que en la foacutermula de anaacutelisis sale 4minusi$= C pero en la de

siacutentesis sale 4 i$= C

143 Convertir la serie trigonomeacutetrica en la serie compleja yviceversa

Teorema 148 Sea 5 Xrarr X una funcioacuten perioacutedica con periacuteodo ) y sea $= = 2=)

para = ge 0Los coeficientes de la serie trigonomeacutetrica de Fourier

5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C) +infinsum==1

1= sin ($=C)

y la serie compleja de Fourier

5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C

se relacionan de la siguente manera

20 = 002 (149)2= = (0= minus i1=)2 para = gt 0 (1410)2= = (0 |= | + i1 |= |)2 para = lt 0 (1411)


Demostracioacuten Para pasar de la serie trigonomeacutetrica a la seria compleja primerohemos de expresar 0= y 1= como

0= = = cos= 1= = = sin=

Eso se corresponde a expresar el nuacutemero complejo 0= + i1= en la forma polarLa respuesta es

= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)

Ahora usamos la identidad

cos= cos$=C + sin= sin$=C = cos(= minus $=C)= cos($=C minus =)

con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1

(= cos= cos$=C + = sin= sin$=C

)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)

La identidad (1412) se llama la forma de amplitud y fase de la serie Fourierpero no la trabajaremos maacutes

Ahora aplicamos la identidad de Euler

4 i = cos + i sin (1413)

Reemplazar por minus en (1413) da

4minusi = cos(minus) + i sin(minus) = cos minus i sin (1414)

Al sumar (1413) y (1414) obtenemos

4 i + 4minusi = 2 cos

de donde deducimos que

cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)

Anaacutelogamente al restar (1414) de (1413) obtenemos

sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)

pero esta foacutermula no la usaremos de momentoAhora queremos substituir (1415) en (1412) La parte esencial de esta

substitucioacuten es la que afecta al teacutermino cos($=C minus =) Escribiremos exp(13)para 413 para que las foacutermulas salgan maacutes legibles Empezamos con (1415) y


usaremos tambieacuten la propiedad fundamental exp(0 + 1) = exp(0) exp(1) de lafuncioacuten exponencial

2 cos($=C minus =) = exp(i($=C minus =)) + exp(minusi($=C minus =))= exp(i$=C minus i=) + exp(minusi$=C + i=)= exp(i$=C) exp(minusi=) + exp(minusi$=C) exp(+i=)= exp(i$=C) exp(minusi=) + exp(i$minus=C)

(exp(minusi=)

)

En el uacuteltimo paso hemos usado que

$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=

y que exp(i=) es el valor complejo conjugado de exp(minusi=) Finalmentehemos denotado el complejo conjugado de un nuacutemero complejo 0 por 0

Al substituir en (1412) obtenemos

5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2

[exp(i$=C) exp(minusi=) + exp(i$minus=C)

(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +

minus1sum==minusinfin

2=4i$= C

=

infinsum==minusinfin

2=4i$= C

1431 Ejercicios

1 Manipulando las foacutermulas (149)-(1411) averigua coacutemo calcular loscoeficientes trigonomeacutetricos 0= 1= a partir de los coeficientes complejos2=

2 De (145) podemos deducir coacutemo afecta a los coeficientes trigonomeacutetricos0= 1= el hecho que 5 sea par o impar iquestCoacutemo afecta a los coeficientescomplejos 2= el hecho que 5 sea par o impar


144 Armoacutenicos y aproximacioacuten de una serie de FourierDefinicioacuten 149 El teacutermino

0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

)es el armoacutenico =-eacutesimo de la serie trigonomeacutetrica de Fourier de 5 (C) Loscoeficientes 0= y 1= miden el peso (la importancia) de la frecuencia $= = = 2

)en la sentildeal 5 (C) diams

Nota 1410 Por la Observacioacuten 132 y la Nota 143 el armoacutenico =-eacutesimo deuna serie trigonomeacutetrica de Fourier es una funcioacuten perioacutedica con periacuteodo ) contotal independencia del valor de = Eso siacute el periacuteodo fundamental del =-eacutesimoarmoacutenico es )=

El hecho que la sumacioacuten vaya hasta = = infin en (143) es una ficcioacutenmatemaacutetica que no se corresponde con la realidad fiacutesica No existe en larealidad ninguna funcioacuten con frecuencia fundamental arbitrariamente grandeya que debajo de la longitud de Planck nuestro conocimiento de la realidadse acaba Si en vez de hasta infinito sumamos solamente hasta cierto nuacutemeroarbitrario obtenemos una aproximacioacuten a la serie de Fourier con la cualpodemos trabajar en la praacutectica

Definicioacuten 1411 La aproximacioacuten hasta el -eacutesimo armoacutenico (o hasta grado u orden ) de la serie de Fourier

5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C

La uacutenica diferencia entre estas dos expresiones es que en la primera sumamoshasta el infinito mientras que en la segunda solamente hasta diams

15 Convergencia de una Serie de Fourier Teoremade Dirichlet El fenoacutemeno de Gibbs

Hemos de distinguir claramente entre tres objetos

1 Una funcioacuten perioacutedica 5 Xrarr X con periacuteodo )

2 Su serie de Fourier

(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)


3 Una aproximacioacuten a la serie de Fourier con teacuterminos hasta orden

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)

151 Aproximacioacuten de funciones por series de FourierTomaremos como ejemplo las dos funciones de Figura 151 La primera 5 (G)parece maacutes complicada que la segunda al tener curvas y picos mientras que lasegunda 6(G) parece maacutes sencilla al estar compuesta uacutenicamente por trozosconstantes

Figura 151 Una funcioacuten contiacutenua5 (G) definida por trozos

Figura 152 Una onda rectangular6(G) discontiacutenua

iquestCuaacutel de las dos funciones se podraacute aproximar mejor por una serie deFourier

Para contestar a esta pregunta miramos Figura 153 y Figura 154


Figura 153 Aproximacioacuten de la funcioacuten contiacutenua 5 (G) por su serie de Fourierhasta orden 3 (rojo) y orden 5 (azul)

Figura 154Aproximacioacuten de la onda rectangular discontiacutenua 6(G) por su seriede Fourier hasta orden 5 (rojo) y orden 13 (azul)

Podemos ver varias cosas en estas imaacutegenes


Observacioacuten 1551 Las aproximaciones de 5 (G) son de orden 3 y 5 las de 6(G) de orden 5 y

13 A pesar de utilizar un orden mucho mayor la aproximacioacuten a 6(G) esclaramente peor

2 A pesar de que 5 (G) tiene unos picos su aproximacioacuten por serie de Fourieres excelente incluso para un orden tan bajo como 5 El uacutenico lugar dondese aprecia una diferencia entre (5( 5 ) y 5 es cerca del pico pero se ve queal aumentar el grado de la aproximacioacuten de 3 a 5 la aproximacioacuten mejorabastante Parece razonable esperar entonces que la aproximacioacuten mejoreauacuten maacutes si pasamos a mayores oacuterdenes

3 A pesar de utilizar oacuterdenes bastante altos la aproximacioacuten de ( (6)a 6 nunca es realmente buena Es algo aceptable en el interior delos segmentos constantes pero bastante mala cerca de los puntos dediscontinuidad

4 Curiosamente todas las aproximaciones a 6 pasan por el mismo puntocuando la funcioacuten 6 hace su salto

5 En las aproximaciones de 6 justo antes y despueacutes del salto las aproxima-ciones parecen coger aire antes de lanzarse y curiosamente aunque lasaproximaciones en la imaacutegen son de oacuterdenes muy dispares (5 y 13) laaltura de estos excesos antes y despueacutes del salto parece ser la misma

Todas las observaciones que hemos hecho en estos dos ejemplos se extiendena funciones generales Investigamos primero en queacute condiciones una serie deFourier es capaz de reproducir la funcioacuten

152 El Teorema de DirichletDefinicioacuten 156 Condiciones de Dirichlet Una funcioacuten con valores reales5 Xrarr X y perioacutedica con periacuteodo ) satisface las Condiciones de Dirichlet si

bull 5 es absolutamente integrable sobre un periacuteodo Eso quiere decir queint)

| 5 (G)| dG lt infin

Recordamos queint)| 5 (G)| dG =

int G0+)G0

| 5 (G)| dG donde la eleccioacuten delvalor G0 es arbitraria ya que la integral valdraacute lo mismo para todos losvalores de G0 porque 5 es perioacutedica con periodo )

bull 5 es de variacioacuten acotada Eacutesta es una condicioacuten teacutecnica que no trataremosaquiacute y que todas las funciones que tratamos satisfacen

bull En cualquier intervalo real acotado por ejemplo un periodo la funcioacuten 5tiene como mucho un nuacutemero finito de puntos de discontinuidad y lossaltos que da en los puntos de discontinuidad no pueden ser infinitos

diams

Teorema 157 Teorema de Dirichlet Si 5 (G) satisface las condiciones de Dirichletentonces su serie (( 5 )(G) de Fourier es convergente para todo G isin X y el valor de suserie en un punto concreto G0 es

(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2

Aquiacute hemos utilizado la siguiente notacioacuten para los liacutemites laterales de 5

bull 5 (Gminus0 ) = limHG0 5 (H) es decir H se aproxima a G0 por la izquierda

bull 5 (G+0 ) = limHG0 5 (H) es decir H se aproxima a G0 por la derecha

Observacioacuten 158 Si la funcioacuten 5 (G) es contiacutenua en un punto G0 entonces losliacutemites laterales de 5 en G0 coinciden

5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)

Eso quiere decir que en los puntos de continuidad de 5 bull la aproximacioacuten de la serie de Fourier (( 5 ) a 5 es perfecta

bull y ademaacutes las aproximaciones ( ( 5 ) a (( 5 ) se hace cada vez mejores siaumentamos el grado de la aproximacioacuten

En cambio en los puntos G0 donde 5 no es contiacutenua

bull el valor (( 5 )(G0) de la serie de Fourier es el promedio de los liacutemiteslaterales de 5 alrededor de G0

bull y lo mismo vale para los valores de todas las aproximaciones ( ( 5 )(G0)

153 El fenoacutemeno de GibbsNos queda por explicar el uacuteltimo punto de Observacioacuten 155 que se conocecomo el fenoacutemeno de Gibbs Miramos las aproximaciones del pulso rectangularde orden 5 25 y 125 de Figura 159-Figura 1511

Figura 159 Aproxi-macioacuten con 5 harmoacuteni-cos


Figura 1511 Aproxi-macioacuten con 125 har-moacutenicos

Vemos que seguacuten aumenta el orden de la aproximacioacuten el error disminuyeen amplitud pero converge a una altura fija En esta paacutegina de la Wikipedia sepueden encontrar los caĺculos que llevan a la siguiente afirmacioacuten

Teorema 1512 El fenoacutemeno de Gibbs Sibull 5 (G) es una funcioacuten contiacutenua y diferenciable a trozos

bull y en un punto de discontinuidad G0 tiene un salto de altura 0

entonces

1 para valores grandes de 0 la aproximacioacuten ( ( 5 ) daraacute un salto de altura

00895 middot 0


antes y despueacutes de G0 El salto total de la aproximacioacuten ( ( 5 ) la serie de Fourierseraacute por tanto de unos 18 de la altura 0 del salto de 5

2 En el lugar de la discontinuidad la aproximacioacuten ( ( 5 ) la serie de Fourierconverge al punto medio del salto con total independencia del valor 5 (G0) (siestaacute siquiera definido)

En dos dimensiones un efecto anaacutelogo al fenoacutemeno de Dirichlet se llamaun Artefacto de anillo compara Figura 1513

Figura 1513 Imagen mostrando artefactos de anillo Tres niveles en cada ladode la transicioacuten el rebasamiento el primer anillo y el segundo anillo (maacutesdeacutebil)

16 EspectroConsideramos una sentildeal G(C) de periodo ) y frecuencia fundamental $0 =2) Para poder leer la informacioacuten contenida en los coeficientes de Fouriertrigonomeacutetricos y complejos de G(C) de manera raacutepida e intuitiva necesitamosuna representacioacuten graacutefica el espectro de G(C)

Puesto que la forma trigonomeacutetrica y la forma compleja de la transformadade Fourier de G(C)

5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C

son algo distintas hay una versioacuten del espectro para cada una

Definicioacuten 161 Espectro real Las componentes del espectro real se definena partir de los coeficientes de la serie de Fourier trigonomeacutetrica

bull Para el teacutermino DC o constante que corresponde a = = 0 se escoge elvalor 1

2 |00 |

bull Para los teacuterminos AC el =-eacutesimo de los cuales corresponde al muacuteltiplo=eacutesimo de la frecuencia fundamental con = ge 1 se escoge el valor

CAPIacuteTULO 1 SERIES DE FOURIER 19radic02= + 12

=

La representacioacuten graacutefica del espectro real consiste por tanto del conjunto depuntos en el plano(

0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams

Ejemplo 162 Consideramos la sentildeal

G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)

que tiene periacuteodo fundamental ) = 2 y frecuencia fundamental $0 = 1 En laFigura 163 podemos ver la representacioacuten de esta sentildeal y su espectro real Lascomponentes del espectro se calculan de la siguiente manera

bull De (161) deducimos que 002 = 1

2 Esta constante contribuye el punto(0 05) al espectro

bull Del teacutermino minus 13 sin C deducimos que 11 = minus 1

3 No hay ninguacuten teacutermino dela forma cos C por tanto 01 = 0 y no hay maacutes contribuciones al armoacutenico= = 1 La contribucioacuten del primer armoacutenico esradic

021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13

y obtenemos el punto (1 middot $0 13 ) = (1 033)

bull Finalmente del teacutermino 14 cos 2C deducimos el punto (2$0

14 ) = (2 25)

Figura 163 Izquierda La sentildeal G(C) = 12 minus 1

3 sin C+ 14 cos 2C (azul) descompuesta

en sus tres componentes Derecha El espectro real de G(C)El espectro complejo al igual que el espectro real resalta la importancia de

cada armoacutenico en la sintesis de la sentildeal La diferencia es que se define a partirde los coeficientes de Fourier compleja

Definicioacuten 164 Espectro complejo Las componentes del espectro complejose definen a partir de los coeficientes de la serie de Fourier compleja


bull El armoacutenico =-eacutesimo para = isin ` que corresponden a la frecuencia 0y a los muacuteltiplos positivos y negativos de la frecuencia fundamentalcontribuye los puntos del plano (=$0 |2= |)

diams



en sus tres componentes Derecha El espectro complejo de G(C)

Nota 166 Como los coeficientes reales y complejos de la serie de Fourier estaacutenrelacionados los espectros tambieacuten lo son Da las relaciones (149) (1410)(1411) entre los coeficientes reales y complejos obtenemos la relacioacuten entre losespectros

bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=

Nota 167 Cuando calculamos el espectro de una sentildeal soacutelo tenemos en cuentael valor absoluto de los coeficientes complejos no los coeficentes mismos Enconsecuencia hay sentildeales con coeficientes distintos y por lo tanto con graacuteficasdistintas que sin embargo tienen el mismo espectro

Figura 168 Tres sentildeales con coeficientes distintos pero el mismo espectro

Ejemplo 169 En la Figura 168 vemos las sentildeales

G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C

que tienen el mismo espectroEso se debe a que los coeficientes

002 = 12 02 = 1

4


son los mismos en las tres sentildeales y los coeficientes del primer armoacutenico (= = 1)contribuyen lo mismo al espectro

bull En el caso de G1(C) el primer armoacutenico es minus 13 sin C que tiene 01 = 0

11 = minus 13 y contribuye

radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13

bull En el caso de G2(C) el primer armoacutenico es minus 13 cos C que tiene 01 = minus 1

3 11 = 0 y contribuye radic

021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13

bull En el caso de G3(C) el primer armoacutenico es minus 15 cos C + 4

15 sin C que tiene01 = minus 1

5 11 =415 y contribuye

radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13

17 Energiacutea y relacioacuten de Parseval

171 Energiacutea potencia media densidad espectral de energiacuteaTeorema 171 Relacioacuten de Parseval para series de Fourier Consideramos unasentildeal G(C) de periodo ) y los coeficientes complejos 2= = isin ` de la serie de Fourierasociada a G(C) Si la integral int

)

|G(C)|2 dC

es convergente entonces se cumple queint)

|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)

dC quiere decir integrar sobre cualquier intervalo de longitud) por ejemplo cualesquiera de los intervalos [0 )] [minus) 0] [minus)2 )2]

Las expresiones que intervienen en este teorema reciben diversos nombres

Definicioacuten 172 Energiacutea potencia media densidad espectral de energiacutea1 La integral

(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC

(que es un nuacutemero) es el valor de la energiacutea de la sentildeal G(C) en unintervalo de longitud el periodo )Anotamos que para sentildeales perioacutedicas no tiene sentido hablar de laenergiacutea total de la sentildeal que seraacute siempre infinita Por tanto aquiacute noconsideramos

int infinminusinfin |G(C)|

2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)

|G(C)|2 dC = 1)middot

(G(C))

)

es la potencia media de la sentildeal

3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020

4 + ) middotinfinsum==1

02= + 12

=

2

es la energiacutea espectral total Hemos utilizado las foacutermulas (149) (1410)(1411) para convertir los coeficientes complejos a los reales

4 La sucesioacuten de nuacutemeros ) |2= |2 para = = 0plusmn1plusmn2plusmn3 es la densidadespectral de energiacutea de la sentildeal G(C) Muestra como estaacute dispersada laenergiacutea de la sentildeal en funcioacuten de la frecuencia angular $ cada = secorresponde con la frecuencia $= = =$0 siendo $0 =

2) la frecuencia

fundamental de la sentildeal

diams

Nota 173 Efecto de las diferentes convenciones Recordamos que hay dosconvenciones diferentes para el coeficiente constante de la serie de Fourier deuna funcioacuten 5 Xrarr X

( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

iquestCoacutemo afecta eso al caacutelculo de la energiacutea contenida en la sentildealSupongamos a modo de ejemplo que

( 5 ($) = 8 + 3 cos(3$0C) minus 4 cos(5$0C) + 2 sin(5$0C) + En la primera convencioacuten

00 = 8mientras que en la segunda convencioacuten

002 = 8 rArr 00 = 16

Pero para calcular la energiacutea el resultado es el mismoenergiacutea)

= cuadrado del coeficiente constante al cuadrado

+ (12) suma sobre los demaacutes coeficientes al cuadrado

= 82 + 12

copyshyshyshyshylaquo32︸︷︷︸

tercer armoacutenico

+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸

quinto armoacutenico

+ middot middot middotordfregregregregnot


= 002 + 1

2

(32 + 42 + 22 + middot middot middot

)=

(002

)2+ 1

2


)

La uacutenica diferencia consiste en si llamamos 00 oacute 002 al coeficiente constante 8de la serie

172 Aplicacioacuten Aproximacioacuten en teacuterminos de energiacuteaUna de las aplicaciones de la identidad de Parseval consiste en evaluar enteacuterminos energeacuteticos una suma parcial de la serie de Fourier (o unos cuantosteacuterminos de la serie de Fourier) como aproximacioacuten de la sentildeal G(C)

Supongamos que consideramos la suma parcial de Fourier de orden

((C) =sum

==minus2= 4

i$= C

que es una aproximacioacuten de la sentildeal original

((C) asymp G(C)

Nuestra meta es valorar esta aproximacioacuten en teacuterminos de energiacutea uti-lizando la identidad de Parseval Para ello hacemos la suma de los teacuterminos|2= |2 que intervienen en la aproximacioacuten ((C) y multiplicamos la suma por elperiodo )

(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2

Esta expresioacuten representa la energiacutea espectral de la aproximacioacuten y la com-paramos con la energiacutea espectral total

Pero por la identidad de Parseval sabemos que la energiacutea espectral totales igual a la energiacutea total en un periodo y lo que comparamos es la energiacuteaespectral de la aproximacioacuten con la energiacutea total en un periodo Obtenemospor tanto

Definicioacuten 174 Proporcioacuten de energiacutea en la aproximacioacuten Sea ((C) =sum==minus 2= 4

i$= C la suma parcial de Fourier de orden de la sentildeal G(C)Entonces la proporcioacuten de la energiacutea de G(C) que reside en la aproximacioacuten

((C) es

(G(C)

)=)

sum==minus |2= |2int

)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2

Transformada de Fourier

21 Anaacutelisis y SiacutentesisComo la transformada de Fourier es una herramienta que se ha utilizado entantos contextos distintos de las matemaacuteticas y la ingenieriacutea a lo largo de lahistoria han surgido muchas notaciones distintas para ella Nosotros usaremossobre todo dos la notacioacuten con gorritos G(C) = G($) y la notacioacuten con F caligraacuteficaℱ

(G(C)

)= ℱ (G)($)

Definicioacuten 211 Sea 5 (C) Xrarr X una sentildeal real perioacutedica o noEl anaacutelisis de Fourier o transformada de Fourier de 5 (C) es

ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =

intX5 (C)4minusi$C dC (211)

El siacutentesis de Fourier o transformada inversa de Fourier de 5 (C) es

ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams

Nota 2121 La notacioacuten

intXquiere decir integrar sobre todos los nuacutemeros realesint

X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC

2 El anaacutelisis y la siacutentesis tienen un signo diferente en el teacutermino 4plusmni$C

3 El anaacutelisis y la siacutentesis son operaciones inversas en el sentido de queℱ minus1 (ℱ (G(C))) = G(C) y ℱ

(ℱ minus1(G($))) = G($) Este hecho tambieacuten se

puede expresar mediante el diagrama

G(C) ℱminus====minusℱ minus1

G($)

4 Tanto la transformada de Fourier como la transformada inversa de Fourierson funciones con valores complejos Eso quiere decir que no se puedendibujar sin maacutes sobre un papel o una pantalla

24

CAPIacuteTULO 2 TRANSFORMADA DE FOURIER 25

5 Si G X rarr X C ↦rarr G(C) es una funcioacuten con valores reales como todaslas funciones que trataremos en esta asignatura lo cual implica queG(C) = G(C) para todo C isin X entonces su transformada de Fourier G($) esuna funcioacuten conjugada compleja

G($) =intXG(C)4minusi$C dC =

intXG(C) middot 4minusi$C dC =

intXG(C)4 i$C dC = G(minus$)

Observacioacuten 213 El valor de la transformada de Fourier para $ = 0 es laintegral sobre todo el dominio de la funcioacuten Eso se sigue de que

5 (0) =intX5 (C)4minusimiddot0middotC dC =

intX5 (C)dC

Ejemplo 214 La transformadadeFourier deunpulso constante (preliminar)Sea G(C) la sentildeal

G(C) =

1 si minus 1 le C le 10 para los demaacutes valores de C

Calculamos su transformada de Fourier seguacuten la definicioacuten

G($) =intXG(C)4minusi$C dC

=

int 1

minus14minusi$C dC [por la definicioacuten de G(C)]

=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]

=i$(cos$C minus i sin$C)

1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$

211 Ejercicios1 En el Ejemplo 214 hay un error de caacutelculo Encueacutentralo

Pista 1 El resultado no es vaacutelido para todos los valores de $Pista 2 El resultado contradice la Observacioacuten 213


Solucioacuten Para $ = 0 el caacutelculo de Ejemplo 214 no es vaacutelido Eso sedebe a que en la tercera liacutenea de la derivacioacuten sale la expresioacuten

1minusi$ 4

minusi$C

que no tiene sentido para $ = 0Para corregir este error hace falta hacer la cuenta para $ = 0 aparte

G(0) =intXG(C)4 imiddot0middotC dC

=

int 1

minus11 dC

= 2

Ejemplo 215 La transformada de Fourier de un pulso constante (correcto)La expresioacuten correcta de la transformada de Fourier de la funcioacuten

G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Nota 216 En el Ejemplo 215 hemos calculado que

ℱ(

1 si minus 1 le C le 10 en otro caso

)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0

En muchos textos de ingenieriacutea la funcioacuten sin$$ se llama sinc cf Figura 217

Figura 217 La funcioacuten sinc(G) = sin GG

Definicioacuten 218 Sea 5 (C) Xrarr X una sentildeal real perioacutedica o noEl espectro de5 (C) es el la funcioacuten valor absoluto de la transformada de Fourier de 5 5 Xrarr X

$ ↦rarr 5 ($)


A diferencia de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourierel espectro siacute es una funcioacuten con valores reales y por tanto siacute se puede dibujarsobre un plano diams

Figura 219 El espectro de una funcioacuten constante

22 Transformaciones de sentildealesSiempre que estudiamos unos objetos matemaacuteticos o fiacutesicos tenemos queentender tambieacuten coacutemo se comportan cuando les sujetamos a cambios

Estudiamos aquiacute coacutemo se comportan una sentildeal y su transformada de Fouriercuando

bull sumamos otra sentildeal

bull desplazamos la sentildeal en el tiempo

bull y desplazamos la transformada en frecuencia

Los resultados maacutes importantes que veremos son

ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($) (linealidad) (221)

ℱ(G(C minus C0)

)= G($)4minusiC0$ (traslacioacuten en el tiempo) (222)

ℱ minus1 (G($ minus $0))= G(C)4 i$0C (traslacioacuten en frecuencia) (223)

ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)(cambio de escala) (224)

221 LinealidadSi tenemos una sentildeal G(C) y su transformada G($) y le sumamos otra sentildeal H(C)con transformada H($) iquestcoacutemo seraacute la transformada de la suma

Por suerte el comportamiento de la transformada de la suma es todo lo sen-cillo que podamos esperar de hecho es tan sencillo que podemos permitirnosincluso multiplicar a ambas funciones con unos nuacutemeros reales arbitrariosy todaviacutea entenderemos coacutemo se comporta el resultado la transformada deFourier es una transformada lineal

En foacutermulas esta propiedad de la linealidad se puede expresar mediante elpar de foacutermulas

ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)

)para cualquier 0 isin X


ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)

o expresado en la notacioacuten con gorritos0G(C) = 0G($) para cualquier 0 isin XG1(C) + G2(C) = G1($) + G2($)

Tambieacuten se puede usar una notacioacuten maacutes abreviada combinando estas dosexigencias en una

Teorema 221 Sean G1(C) y G2(C) sentildeales en el tiempo y sean 0 1 isin X unos coeficientesreales arbitrarios

Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)

ℱ minus1 (0G1($) + 1G2($))= 0ℱ minus1(G1)(C) + 1ℱ minus1(G2)(C) (226)

La propiedad de la linealidad tambieacuten se extiende a un nuacutemero finito de funciones

ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)

y anaacutelogamente para ℱ minus1Demostracioacuten La transformada de Fourier es lineal porque la integral es lineal

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =

intX(0G1(C) + 1G2(C)) 4minusi$C dC

= 0

intXG1(C)4minusi$C dC + 1

intXG2(C)4minusi$C dC

= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)

La extensioacuten a la transformada o antitransformada se hace de la misma manera

Nota 222bull La afirmacioacuten (225) tambieacuten se puede expresar como0G1(C) + 1G2(C) = 0G1($) + 1G2($) para 0 1 isin X (227)

o como

0G1(C) + 1G2(C) 0G1($) + 1G2($) para 0 1 isin X

bull Observamos que se trata de la misma propiedad de linealidad que rigepara matrices por ejemplo

Visualmente la propiedad de la linealidad se expresa como en la figuraFigura 223 Matemaacuteticamente se dice que el diagrama de la figura Figura 223conmuta



Figura 223 Imagen de 3blue1brown que ilustra la linealidad de la transformadade Fourier

2211 Ejercicios

1 Verificar que el diagrama expresa la linealidad Verifica que las foacutermulas(225) y (227) expresan la conmutatividad del diagrama Figura 223 Esoquiere decir que si

bull vamos primero en direccioacuten horizontal en la fila de arriba

bull y depueacutes bajamos en direccioacuten vertical por la derecha

obtenemos el mismo resultado que si

bull bajamos primero en direccioacuten vertical por la izquierda

bull y depueacutes cruzamos en direccioacuten horizontal en la fila de abajo

Pista 1 Verifica primero que ir hacia abajo por la izquierda correspondea sumar las funciones G1(C) (de 2 Hz) y G2(C) (de 3 Hz)Pista 2 Verifica ahora que ir hacia abajo por la derecha corresponde asumar las funciones G1($) y G2($)Pista 3 Cuaacuteles son los valores de 0 y 1Pista 4 Expresa en foacutermulas la accioacuten siguiente


bull y depueacutes bajamos en direccioacuten vertical por la derecha2 PorqueacuteSanderson lo llama Almost-FourierTransform En laFigura 223

Grant Sanderson habla de la Almost-Fourier Transform Ahora quesabemos coacutemo es la transformada de Fourier de verdad iquestpor queacute haescogido este nombrePista La transformada de Sanderson tiene valores reales

222 Desplazamiento temporal - modulacioacuten frecuencial

Trabajaremos con la funcioacuten G(C) = 4minusC22 sin(C)


Figura 224 La funcioacuten original G(C) = 4minusC22 sin(C)

2221 Relacioacuten entre las funciones G(C) y G(C minus C0)

La graacutefica de G(C minus C0) (azul) es igual que la graacutefica de G(C) (negra) perodesplazada C0 unidades hacia la derecha

Figura 225 La graacutefica de G(C minus C0) se obtiene desplazando G(C) hacia la derecha


2222 Relacioacuten entre las transformadas de G(C) y G(C minus C0)

Esta propiedad que tambieacuten se llama traslacioacuten en el tiempo explica coacutemocambia la transformada de Fourier si trasladamos la sentildeal original en el tiempoEso quiere decir que en vez de la sentildeal G(C)miramos la sentildeal G(Cminus C0) y hacemosla transformada de Fourier de esta sentildeal desplazada

iquestCoacutemo cambia la transformada de Fourier despueacutes de desplazar la sentildeal enel tiempo La respuesta es la transformada adquiere una fase compleja o dicho deotro modo la frecuencia se modula

Teorema 226 Sea G(C) una sentildeal en el tiempo y sea G($) su transformada de FourierAdemaacutes para un cierto C0 isin X sea

H(C) = G(C minus C0)

la translacioacuten en el tiempo de G(C)Entonces la transformada de H(C) es

H($) = ℱ(G(C minus C0)

)= G($)4minusiC0$

Demostracioacuten Calculamos la transformada de Fourier de H(C) empleando elmeacutetodo de integracioacuten por substitucioacuten

ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin

C=minusinfinG(C minus C0)4minusi$C dC

=

[D = C minus C0dD = dC

]=

int D=infinminusC0

D=minusinfinminusC0G(D) 4minusi$(D+C0) dD

= 4minusi$C0int D=infin

D=minusinfinG(D)4minusi$D dD

= 4minusi$C0 G($)

Observacioacuten 227 El espectro G($) de una sentildeal G(C) no variacutea si desplazamosla sentildeal en el tiempoDemostracioacuten Para ver que el espectro no variacutea calculamosℱ (

G(C minus C0)) ($) = G($)4minusiC0$

= |G($)| middot4minusiC0$︸︷︷︸

1

= |G($)|

Ejercicios

1 El valor absoluto de una exponencial compleja En la demostracioacutenanterior habiacutea una paso que merece especial atencioacuten Por queacute tenemosque

4 i = 1 para cualquier nuacutemero real Pista 1 Piensa en queacute significa 4 i geomeacutetricamente


Pista 2 Para = 3 dibuja 4 i en el plano complejo Cuaacutel es lainterpretacioacuten del nuacutemero

4 iSolucioacuten

(a) Se puede argumentar geomeacutetricamente si el nuacutemero variacutea sobretodos nuacutemeros reales el radio de la circunferencia descrita en elplano complejo por 4 i es 1

(b) Tambieacuten se puede calcular4 i = cos + i sin = radic

cos2() + sin2() = 1

Ejemplo 228 Desplazamiento de un impulso constante Consideramos otravez el pulso constante

G(C) =


de Ejemplo 215 y lo trasladamos 2 unidades a la derecha iquestCoacutemo cambia sutransformada de Fourier

Para verlo aplicamos el Teorema 226 a la transformada

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=

2 sin$$ 4minus2i$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Observa que la transformada de la sentildeal ha adquirido una fase compleja 4minus2i$En el caso $ = 0 no se nota porque 4minus2imiddot0 = 1

223 Desplazamiento en frecuencia - modulacioacuten temporalSi desplazamos la transformada de Fourier (o el espectro) de una sentildeal semodula la sentildeal con una oscilacioacuten compleja

2231 Relacioacuten entre las transformadas G($) y G($ minus $0)

La relacioacuten entre estas transformadas es similar a la relacioacuten entre las funcionesG($) y G($ minus $0) La graacutefica de G($ minus $0) es igual que la graacutefica de G($) perodesplazada $0 unidades hacia la derecha

Volveremos con nuestro ejemplo G(C) = 4minusC22 sin(C) de Figura 224 cuyoespectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )

4minus2minus2$minus$2


Figura 229 La funcioacuten originalG(C) = 4minusC22 sin(C)

Figura 2210 El espectro de G(C)

minus6 minus4 minus2 0 2 4 6

0

05

1

15

Figura 2211 La graacutefica de G($ minus $0) se obtiene desplazando G($) hacia laderecha

2232 Relacioacuten entre las antitransformadas de G($) y G($ minus $0)

Teorema 2212 Sea G(C) una sentildeal en el tiempo y sea G($) su transformada de FourierAdemaacutes para un cierto $0 isin X sea

H($) = G($ minus $0)

la translacioacuten en frecuencia de G($)Entonces la sentildeal H(C) es

H(C) = ℱ minus1 (G($ minus $0))= G(C)4 i$0C

Nota 22131 Dado que la sentildeal original adquiere un factor complejo no se puede


dibujar faacutecilmente el cambio

2 Hay que observar que el signo del factor exponencial complejo es opuestoal de Teorema 226

3 Las demostraciones de esta propiedad y las demaacutes se hacen de maneramuy similar a la demostracioacuten de Teorema 226 y no las daremos aquiacute

Ejemplo 2214 Desplazamiento de un impulso constante Consideramosotra vez el pulso constante

G(C) =


de Ejemplo 215 y lomodificamosmultiplicaacutendolo con una oscilacioacuten compleja

H(C) = 42iCG(C) =(cos(2C)+i sin(2C)

)G(C) =

42iC si minus 1 le C le 10 para los demaacutes valores de C

iquestCoacutemo cambia su transformada de FourierPara verlo aplicamos el Teorema 2212

H($) = G($ minus 2) =

2 sin($minus2)$minus2 si $ ne 2

2 si $ = 2

224 Cambio de escala temporal2241 Relacioacuten entre las funciones G(C) y G(0C)

La relacioacuten entre estas funciones depende del valor de 0

1 Si 0 = 1 las funciones G(C) y G(0C) son iguales

2 Si 0 gt 1 la graacutefica de G(0C) es igual que la graacutefica de G(C) pero el eje delos C estaacute comprimida en un factor de 0

3 Si 0 lt 0 lt 1 la graacutefica de G(0C) es igual que la graacutefica de G(C) pero el ejede los C estaacute expandida en un factor de 10

4 Si 0 = 0 la graacutefica de G(0C) es la graacutefica de la funcioacuten constante C ↦rarr G(0)

5 Si 0 = minus1 la graacutefica de G(minusC) es la graacutefica de la funcioacuten G(C) pero reflectadaalrededor del eje H

6 Si minus1 lt 0 lt minus1 la graacutefica de G(0C) es la graacutefica de la funcioacuten G(C) peroreflectada alrededor del eje H y el eje de los C estaacute expandida en un factorde 1|0 |

7 Si 0 lt minus1 la graacutefica de G(0C) es la graacutefica de la funcioacuten G(C) pero reflectadaalrededor del eje H y el eje de los C estaacute comprimida en un factor de |0 |

Ojo que la relacioacuten entre el factor 0 y el comportamiento de 5 (0G) puedeque no sea la que uno se espera En las graacuteficas de Figura 2215 - Figura 2218se puede comprobar si la intuicioacuten es cierta


Figura 2215 Una funcioacuten 5 (G) (ne-gra) junta con 5 (2G) (azul) y 5 (3G)(roja)

Figura 2216 Una funcioacuten 5 (G) (ne-gra) junta con 5 (G2) (azul) y5 (G3) (roja)

Figura 2217 Una funcioacuten 5 (G) (ne-gra) junta con 5 (minus2G) (azul) y5 (minus3G) (roja)

Figura 2218 Una funcioacuten 5 (G) (ne-gra) junta con 5 (minusG2) (azul) y5 (minusG3) (roja)

2242 Relacioacuten entre las transformadas de G(C) y G(0C)

Teorema 2219 Sea G(C) una sentildeal en el tiempo y sea G($) su transformada de FourierAdemaacutes para un cierto 0 isin X 0 ne 0 sea

H(C) = G(0C)

el cambio de escala por un factor de a en el tiempo de G(C)Entonces la transformada de H(C) es

H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)

y el espectro de H(C) es H($) = ℱ (G(0C)

) = 1|0 |

G ($0

) Volveremos con nuestro ejemplo G(C) = 4minusC22 sin(C) de Figura 224 cuyo

espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )





Vemos que el efecto de reemplazar G(C) por G(2C) es el de reemplazar G($)por G($2)2

Figura 2222 La funcioacuten escaladaG(2C) = 4minus2C2 sin(2C)

Figura 2223 El espectro de G(2C)

23 ConvolucioacutenLa convolucioacuten es una operacioacuten que combina dos sentildeales G(C) H(C) y produceuna tercera sentildeal (G H)(C) a partir de una integral de G(C) e H(C)

Definicioacuten 231 Convolucioacuten de funciones Sean G H X rarr X C ↦rarr G(C)C ↦rarr H(C) dos sentildeales La convolucioacuten de G(C) e H(C) es

(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =

intXG()H(C minus )d (231)

diams

Observacioacuten 232 Forma alternativa de la convolucioacuten La convolucioacutentambieacuten se puede expresar como

(G H)(C) =intXG(C minus )H()d (232)

Para verlo basta substituir = C minus d = minusd en (231) Puesto que el ladoderecho de (232) es lo mismo que (H G)(C) evaluado seguacuten (231) deducimosla conmutatividad de la convolucioacuten

(G H)(C) = (H G)(C)

Para aprenderse las formulas (231) y (232) observamos que la variable


de integracioacuten aparece con signo distinto en G() e H() pero la C es siemprepositiva

Observacioacuten 233 Interpretacioacuten dinaacutemica La foacutermula (231) se puedeinterpretar de la siguiente manera

1 La convolucioacuten G H depende de un paraacutemetro C

2 iquestCoacutemo se calcula el valor (G H)(C) de G H para este paraacutemetro C

3 Respuesta (compara la primera columna de Figura 234)

(a) Se dibuja la graacutefica de H en un sistema de coordenadas donde unode los ejes se llama Esta es la graacutefica H()

(b) En el mismo sistema de coordenadas se dibuja la graacutefica de G()pero reflejada en el eje vertical lo cual da G(minus) y trasladada Cunidades hacia la izquierda Esta es la graacutefica G(C minus )

(c) Se fija uacutenicamente en la parte donde tanto H() como G(C minus ) no seanulan

(d) El valor (G H)(C) es el valor de integral del producto G(C minus )H()

Un interpretacioacuten anaacuteloga con el papel de G e H intercambiado se puede hacerpara (232)

Figura 234 Convolucioacuten correlacioacuten cruzada y autocorrelacioacuten de dos fun-ciones Imagen de Cmglee CC BY-SA 30 Link

Observacioacuten 235 La correlacioacuten cruzada y la autocorrelacioacuten son conceptosestrechamente relacionados con la convolucioacuten compara la segunda y la terceracolumna de Figura 234 Sin embargo no los trabajaremos en esta asignatura

Ejemplo 236 Convolucioacuten de un pulso rectangular y un pulso triangular


Para entender conmaacutes detalle la Figura 234 consideramos el pulso rectangular

G(C) =

1 si 0 le C le 10 para los demaacutes valores de C

y el pulso triangular

H(C) =

1 minus C si 0 le C le 10 para los demaacutes valores de C

La convolucioacuten de G(C) e H(C) es

(G H)(C) =intXG()H(C minus )d

=

int infin

minusinfin

(1 si isin [0 1]0 si notin [0 1]

) (1 minus C + si C minus isin [0 1]0 si C minus notin [0 1]

)d

Para simplificar esta integral trabajamos primero el segundo factor Como

C minus isin [0 1]lArrrArr minus C isin [minus1 0]lArrrArr isin C + [minus1 0] = [C minus 1 C]

tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin


) (1 minus C + si isin [C minus 1 C]0 si notin [C minus 1 C]

)d

El primer factor se anula si notin [0 1] y el segundo si notin [C minus 1 C]1 Si [0 1] cap [C minus 1 C] = empty es decir si estos dos intervalos son disjuntos para

cualquier valor de habraacute uno de los dos factores que se anula y laintegral seraacute 0 Eso pasa para

C lt 0 y C gt 2

2 En cambio para0 le C le 2

estos dos intervalos se solapan Maacutes precisamente

[0 1] cap [C minus 1 C] =[0 C] para C isin [0 1][C minus 1 1] para C isin [1 2]

Por tanto

(G H)(C) =int C

0 1 middot (1 minus C + )d si C isin [0 1]int 1Cminus1 1 middot (1 minus C + )d si C isin [1 2]

=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12

2=1=Cminus1 si C isin [1 2]

=

(1 minus C)C + 1

2 C2 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12 minus (1 minus C)(C minus 1) minus 1

2 (C minus 1)2 si C isin [1 2]


=

C minus 1


32 minus C + 1


En la primera columna de Figura 234 podemos ver una representacioacuten graacuteficade esta funcioacuten Comprobamos que efectivamente (G H)(0) = (G H)(2) = 0y (G H)(1) = 1

2

Aparte de su parentesco con la correlacioacuten cruzada y la autocorrelacioacutenla razoacuten por queacute la convolucioacuten juega un papel muy importante en la teoriacuteade la transformada de Fourier es que la transformada de Fourier transforma laconvolucioacuten en la multiplicacioacuten y vice versa

Teorema 237 Teorema de la convolucioacuten Sean G(C) H(C) X rarr X funcionescon transformadas de Fourier G($) H($) Entonces

ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)

yℱ minus1 (G($) H($)) = 2 G(C) middot H(C)

Demostracioacuten La demostracioacuten por una parte no es del todo trivial y por otraparte tampoco la utilizaremos en esta asignatura Por tanto nos remitimos a laWikipedia

24 La distribucioacuten delta de DiracPara preparar el proacuteximo capiacutetulo hablaremos aqui de una herramientamatemaacutetica uacutetil para representar entidades que no tienen extensioacuten temporal oespacial es decir que estaacuten concentradas en un uacutenico punto (del tiempo o delespacio)

Un motivacioacuten puede venir de las partiacuteculas elementales Sabemos que lamateria del universo que conocemos estaacute hecha por partiacuteculas elementalescomo electrones protones muones etc

Nota 241 Cuando hablamos de la materia conocida nos referimos al hecho queseguacuten el consenso cientiacutefico actual solamente el 5 del universo estaacute hecho demateria conocida el 20 estaacute compuesto de materia oscura y el 75 restantede energiacutea oscura En estos momentos no tenemos ninguna idea de queacute estaacutencompuestos ni la materia ni la energiacutea oscura

Quizaacutes incluso han oiacutedo que la inmensa mayoriacutea de la materia conocida(es decir este 5 sobre el cual tenemos alguna idea) estaacute hecha soacutelo de trespartiacuteculas elementales los electrones por un lado y los quarks up y down quecomponen entre otros los protones y neutrones

Seguacuten las maacutes sofisticadas medidas hechas hasta ahora los electronesno tienen ninguna extensioacuten en el espacio es decir no hemos conseguidoatribuirles hasta los liacutemites de precisioacuten que conseguimos alcanzar ningungrosor ni longitud Toda la carga eleacutectrica de un electron parece estar por tantoconcentrada en un uacutenico punto (Ojo que estamos dejando de lado muchasconsideraciones de la mecaacutenica cuaacutentica)

Para modelizar una partiacutecula punto asiacute ubicada en el lugar (G0 H0 I0) porejemplo nos gustariacutea trabajar con una abstraccioacuten matemaacutetica para su cargaeleacutectrica (G H I) que verifique las siguientes propiedades

1 Fuera del lugar de la partiacutecula no hay ninguna carga

(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)


2 La carga total en el espacio es igual a la carga 4 del electronint infin

minusinfin

int infin

minusinfin

int infin

minusinfin(G H I)dG dH dI = 4

Desgraciadamente no existe ninguna funcioacuten matemaacutetica (G H I) asiacute La razoacutenes que (G H I) soacutelo es distinto de cero en un punto el punto (G0 H0 I0)donde estaacute ubicada la partiacutecula pero la integral sobre una funcioacuten que soacutelo sedistingue de 0 en un uacutenico punto es cero

Sin embargo disponer de una abstraccioacuten matemaacutetica asiacute seriacutea tan uacutetil queel fiacutesico Paul Dirac fue y trabajoacute con ella sin importarle demasiado si estabamatemaacuteticamente bien definida Los matemaacuteticos al ver el eacutexito y la utilidadde esta notacioacuten se pusieron a crear una teoriacutea capaz de darle soporte la teoriacuteade distribuciones

Adaptado al caso de una uacutenica dimensioacuten (de espacio o de tiempo) llegamosa trabajar con la siguiente definicioacuten

Definicioacuten 242 La distribucioacuten delta de Dirac centrada en G0 isin X es unafuncioacuten generalizada o distribucioacuten G0(G) que cumple las siguientes condiciones

1 (localizacioacuten)G0(G) = 0 si G ne G0

2 (normalizacioacuten) int infin

minusinfinG0(G)dG = 1

diams

Figura 243 Representacioacuten esquemaacutetica de la distribucioacuten delta de Diracmediante una linea y una punta de flecha La altura de la flecha normalmentesignifica el valor de una constante multiplicativa que da el aacuterea debajo de lafuncioacuten Tambieacuten existe la convencioacuten de escribir el aacuterea al lado de la flecha

Nota 244 Se utiliza la notacioacuten

(G) = 0(G)

para la distribucioacuten de Dirac centrada en G0 = 0 De esta manera podemosconvertir la distribucioacuten delta deDirac centrada en G0 en la distribucioacuten centrada


en 0(G minus G0) = G0(G)

Para ver que esta conversioacuten es vaacutelida soacutelo hace falta preguntarse en queacutepuntos ambas distribuciones no son cero

bull La izquierda (G minus G0) es no nula uacutenicamente si G minus G0 = 0

bull La derecha G0(G) es no nula uacutenicamente si G = G0

Pero estas condiciones expresan lo mismoUna consecuencia de estas definiciones es la siguiente propiedad

Teorema 245 Propiedad del filtraje (sifting) Sea 5 (G) Xrarr X una funcioacuteny G0(G) la distribucioacuten delta de Dirac centrada en G = G0 Entoncesint infin

minusinfin5 (G) G0(G)dG = 5 (G0)

Demostracioacuten Aunque no llega a ser una demostracioacuten formal una justificacioacutenintuitiva de esta relacioacuten es que

bull G0(G) es cero para cualquier G ne G0 por tanto para G ne G0 no haycontribucioacuten a la integral

bull en un entorno muy proacuteximo a G = G0 la funcioacuten 5 (G) es casi constantey la podemos suponer constante con valor 5 (G0) Pero si la funcioacuten esconstante podemos sacar 5 (G0) fuera de la integral y nos queda

5 (G0)intXG0(G)dG = 5 (G0) middot 1 = 5 (G0)

En consecuencia convolver una funcioacuten 5 (G) con la distribucioacuten delta de

Dirac centrada en G0 tiene el efecto de retrasar a 5

Teorema 246 Convolucioacuten con una delta es retraso temporal Sea 5 (C) XrarrX una funcioacuten y C0 isin X un tiempo fijo Entonces

( 5 C0)(C) = 5 (C minus C0)Demostracioacuten

( 5 C0) =intX5 ()(C minus C0 minus )d

=

intX5 ()

( minus (C minus C0)

)d

= 5 (C minus C0)

donde hemos utilizado que (minusG) = (G)

Nota 247 Una distribucioacuten no se puede elevar al cuadrado La distribucioacutendelta de Dirac es el ejemplo maacutes famoso y quizaacutes el maacutes uacutetil de esta clase defunciones generalizadas llamadas distribuciones

En muchos aspectos las distribuciones se comportan de la misma maneraque las funciones normales pero hay una diferencia fundamental

bull El producto de dos distribuciones no siempre estaacute definidobull en particular el cuadrado de una distribucioacuten nunca estaacute

definido -- simplemente no tiene sentido hablar de eacutel


En esta paacutegina del nLab se explican las razones para elloPara nosotros es importante este hecho porque nos impide calcular la energia

contenido en una sentildeal que contiene una distribucioacuten delta de Dirac tal y comodetallaremos a continuacioacuten en la Nota 255

25 Energiacutea y relacioacuten de ParsevalTrataremos la relacioacuten anaacuteloga a Teorema 171

Teorema 251 Relacioacuten de Parseval para la transformada de Fourier Consid-eramos una sentildeal G Xrarr X C ↦rarr G(C) no necesariamente perioacutedica y su transformadade Fourier G Xrarr X $ ↦rarr G($) Si la integralint

X|G(C)|2 dC

es convergente entonces se cumple queintX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$ (251)

Las expresiones que intervienen en este teorema reciben diversos nombresen analogiacutea a Definicioacuten 172

Definicioacuten 252 Energiacutea densidad espectral de energiacutea1 La integral

(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC

(que es un nuacutemero) es el valor de la energiacutea total de la sentildeal G

2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)

(que es un nuacutemero) es el valor de la energiacutea espectral total de la sentildeal G

3 La sentildeal $ ↦rarr 12 |G($)|

2 es la densidad espectral de energiacutea de la sentildealG

diamsPor tanto lo que nos dice la identidad de Parseval para la transformada es

que la energiacutea total de la sentildeal es igual a la energiacutea espectral total

Ejemplo 253 Energiacutea de un pulso rectangular Para un pulso rectangularque vale 1 en el intervalo [minus1 1] calculamos

G(C) =

1 si minus 1 le G le 10 en caso contrario

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0


Figura 254 Un pulso y su energiacutea La relacioacuten de Parseval afirma que el areadebajo de la curva |G(C)|2 es la misma que al area debajo de la curva 1

2 |G($)|2

Nota 255 La energiacutea de una distribucioacuten no se puede calcular En laNota 247 vimos que no siempre se pueden multiplicar distribuciones y enparticular que una distribucioacuten nunca se puede elevar al cuadrado Este hechonos impide calcular la energiacutea de una sentildeal que contiene una distribucioacutensimplemente este concepto no tiene sentido

Tomamos como ejemplo la sentildeal

G(C) = cos(C)

Su transformada de Fourier

ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)

)consiste de dos distribuciones de Dirac centradas en plusmn1 y con pesos de

Sabemos que la energiacutea contenida en una sentildeal se puede calcular de dosmaneras diferentes o bien en el dominio temporal o el dominio de frecuenciasutilizando la relacioacuten de Parseval (251)

Si intentamos calcular la energiacutea contenida en G(C) = cos(C) mediantecualquiera de los dos lados de la relacioacuten de Parseval siempre fracasaremos

bull Si lo intentamos calcular en el dominio temporal nos vemos ante laintegral int infin

minusinfin| cos(C)|2 dC =

int infin

minusinfincos(C)2 dC

que es una integral divergente porque el teacutermino cos2(C) nunca disminuyesi aumenta la C


bull Si lo intentamos calcular en el dominio frecuencial hemos de evaluar

12

int infin

minusinfin2($ minus 1) + ($ + 1)

2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$

El teacutermino mixto 2($ minus 1)($ + 1) no presenta problemas su valor escero para cualquier valor de $ porque o bien se anula la primera o seanula la segunda distribucioacuten En particular este producto cumple lascondiciones descritas en el nLab para poder ser multiplicadasEl problema lo tenemos en los dos teacuterminos en los que se eleva al cuadradouna distribucioacuten Ellos hacen que toda la expresioacuten no tenga sentido

Por otra parte todo esto no es nada sorprendente porque obviamente unasentildeal que existe desde antes del principio del universo y continuaraacute igual hastamucho despueś del final del universo contiene una cantidad infinita de energiacutea

Recordamos que en la Definicioacuten 172 de la energiacutea de una sentildeal perioacutedicaen el capiacutetulo de series de Fourier solamente hablamos de la energiacutea en unperiacuteodo de la sentildeal nunca de su energiacutea total (puesto que como acabamos dever este concepto no tiene sentido)

251 iquestCoacutemo afecta una transformacioacuten la energia en una sentildealPuesto que ya hemos estudiado en la Seccioacuten 22 coacutemo la transformada deFourier se ve afectada por unos cambios en la funcioacuten tambieacuten podemos sacarconclusiones sobre coacutemo estos cambios afectaraacuten a la energiacutea de la sentildeal

2511 La energiacutea de una sentildeal desplazada en el tiempo

De manera intuitiva diriacuteamos que desplazar una sentildeal en el tiempo no deberiacuteaafectar la energiacutea que conlleva

Eso es asiacute porque desplazar una sentildeal en el tiempo no quiere decir otracosa que adoptar una nueva convencioacuten sobre el instante de tiempo queconsideramos como origen del tiempo Por ejemplo el origen del tiempodel calendario Gregoriano que se usa en Europa hoy en diacutea se encuentra(tautoloacutegicamente) en el antildeo 0 pero este enlace muestra una lista de muchosotros calendarios que estaacuten o han estado en uso a lo largo de la historia ymuchos de ellos tienen el origen su antildeo 0 en otra fecha que el Gregoriano

Seriacutea extremadamente raro si el cambiar el calendario al uso afectariacuteanuestra medicioacuten de la energiacutea de una sentildeal De hecho nuestra intuicioacuten nonos fallaTeorema 256 Para cualquier sentildeal G(C) y cualquier tiempo C isin X la energiacuteatransportada por G(C) coincide con la energiacutea transportada por G(C minus C0)Demostracioacuten Seguacuten el Teorema 226 la transformada de Fourier de H(C) =G(C minus C0) es

H($) = G($)4minusiC0$ y por tanto su espectro es el mismo

| H($)| = |G($)| middot |4minusiC0$ |︸︷︷︸1

= |G($)|


En conclusioacuten tambieacuten coinciden las energiacuteas espectrales

(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)

y por la relacioacuten de Parseval coinciden tambieacuten las energiacuteas temporales

2512 La energiacutea de una sentildeal desplazada en frecuencia

La situacioacuten es bastante anaacuteloga al caso anterior Si desplazamos una sentildeal enfrecuencia La distribucioacuten de la energiacutea espectral no queda igual debido a estedesplazamiento frecuencial pero la energiacutea total siacute queda igual

Teorema 257 Para cualquier sentildeal G(C) y cualquier desplazamiento frecuencial $0 isinX la energiacutea transportada por H(C) = 4 i$0CG(C) coincide con la energiacutea transportadapor G(C)Demostracioacuten Por la propiedad del desplazamiento frecuencial Teorema 2212la transformada de Fourier de H(C) es

H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)

Puesto que el espectro de H(C) es | H($)| = |G($ minus $0)| la energiacutea de H(C) es

(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin

$=minusinfin|G($ minus $0)|2 d$

=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12

int =infinminus$0=infin

=minusinfinminus$0=minusinfin

G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)

2513 La energiacutea de una sentildeal cambiada de escala

En el caso de un cambio de escala siacute cambia la energiacutea transportada por la sentildeal

Teorema 258 Para una sentildeal G(C) y un factor de escala 0 isin X sea H(C) = G(0C) lasentildeal cambiada de escala Entonces la energiacutea de la sentildeal H(C) es

(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)

Demostracioacuten La transformada de Fourier de la sentildeal H(C) es

H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)

Para calcular la energiacutea de H(C) utilizaremos el dominio temporal Primeroconsideramos 0 gt 0

(G(0C)

)=

int C=infin

C=minusinfin|G(0C)|2 dC


=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin

D=minus0infin=minusinfin|G(D)|2 dD

0

=10

int infin

minusinfin|G(D)|2 dD =

10middot

(G(C)

)

Anaacutelogamente si 0 lt 0 sale

(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)

Podemos unificar estos dos casos utilizando |0 |

Nota 259 Las propiedades de transformacioacuten para la TF valen para la SFTodas las propiedades que hemos enunciado para la transformada de Fourier(221)--(224) y Teorema 256 Teorema 257 y Teorema 258 valen tambieacutenpara la serie de Fourier

Nota 2510 No es contraintuitivo este resultado El resultado que acabamosde ver en el Teorema 258 puede resultar poco intuitivo Utilizamos comoejemplo 0 = 3 y una sentildeal perioacutedica G(C) con frecuencia angular fundamental$0 = 125

bull La frecuencia fundamental de la sentildeal G(3C) es mayor que la de G(C) enconcreto 3$0 = 375

bull Sabemos de nuestro estudio del espectro electromagneacutetico que las ondascon mayor frecuencia tienen mayor energiacutea porque su longitud de ondaes maacutes corta

Figura 2511 Propiedades del espectro electromagneacutetico Imagen encon-trada en la Wikipedia

Por queacute nos hemos de creer entonces que la energiacutea de una sentildeal comprimidadisminuye

(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)

Piensa sobre esto antes de mirar los siguientes ejemplos


Ejemplo 2512 Las energiacuteas calculadas mediante series de Fourier Comoestamos suponiendo que G(C) es perioacutedica con frecuencia fundamental $0 =125 en realidad no hace falta considerar la transformada de Fourier sino bastacon la seriede Fourier por laNota 259 y de estamanera tambieacuten nos ahorramostener que argumentar con distribuciones de Dirac

Hablamos pues de la sentildeal G(C) = cos(125 C) y su serie de Fourier que esexactamente G(C) y de la cual deducimos que el uacutenico coeficiente trigonomeacutetricono nulo es el del primer harmoacutenico 01 = 1 Por eso los uacutenicos coeficientescomplejos no nulos son

2minus1 =12 21 =

12

Figura 2513 Los coeficientes complejos de la serie de Fourier de G(C) =cos(125 C)

Los coeficientes complejos de la serie de Fourier (de) G(3C) = cos(375 C)son los mismos que antes soacutelo que ahora corresponden a la nueva frecuenciafundamental 3$0

2minus1 =12 21 =

12


Lo que siacute variacutea son los periacuteodos fundamentales para G(C) el periacuteodofundamental es

)1 =2$0

=2

125 =85

mientras que el periacuteodo fundamental de G(3C) es

)3 =23$0

=2

375 =815


Por tanto las energiacuteas de las dos sentildeales son seguacuten el Teorema 171

1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que

bull se corrobora la ecuacioacuten (253)

bull pero no hemos podido aclarar la duda de la Nota 2510

Ejemplo 2515 Las energiacuteas calculadas() mediante transformadas deFourier Las transformadas de Fourier de nuestras funciones G1(C) = cos(125 C)y G3(C) = cos(375 C) son

G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)

y estamos ante la misma situacioacuten que en la Nota 255 La energiacutea

=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$

de una distribucioacuten no se puede calcularUtilizar la transformada de Fourier no ha servido de nada pues hemos

llegado a la conclusioacuten de que no se puede hacer

Tienes todaviacutea una oportunidad maacutes para reflexionar Al fin y al cabo louacutenico que hemos hecho hasta ahora es comprobar el resultado de Teorema 258mediante series de Fourier pero no hemos contestado a la pregunta de laNota 259

Por queacute nos hemos de creer (253) una ecuacioacuten que dice que la energiacutea deuna onda con mayor frecuencia tiene menor energiacutea si nuestra intuicioacuten fiacutesicadice todo lo contrario

Pieacutensalo antes de mirar el siguiente ejemplo

Ejemplo 2516 La resolucioacuten de la duda Hay dos suposiciones intuitivas quenos llevan a una conclusioacuten erroacutenea

1 Cuando vemos la Figura 2511

pensamos que todas las frecuencias participan a partes igualesen la onda

Sin embargo esto no es asiacute Para verlo dibujamos ahora una funcioacuten queaumenta de frecuencia cuando aumenta el tiempo como por ejemplo

5 (C) = cos(C2)

Para no volver a tener resultados sin sentido restringimos el dominiode esta funcioacuten por ejemplo al intervalo [0 100] antes de calcular latransformada de Fourier


Figura 2517 La funcioacuten 5 [0 100] rarr X C ↦rarr cos(C2)

Figura 2518 Su transformada deFourier

Podemos ver que las frecuencias maacutes altas estaacuten presentes en muchomenor proporcioacuten que las frecuencias bajas a pesar de que la funcioacuten5 (C) alcance siempre los mismos maacuteximosEsta graacutefica ilustra por tanto el hecho que

(G(3C)

)=

13

(G(C)

)

2 Cuando pensamos que ondas con una frecuencia maacutes elevada tienenuna energiacutea = ℏ maacutes grande

pensamos en pulsos de energiacutea de una misma duracioacuten peroeste no es el escenario de la ecuacioacuten (253)

Comparemos las graacuteficas de

bull un pulso G1(C) de frecuencia $ = 125 sostenido durante 10 segun-dos

bull un pulso G3(C) de frecuencia 3$ = 375 sostenido tambieacuten durante10 segundos

bull la transformada G1(3C) que tiene la frecuencia 3$ pero una duracioacutende solamente 1

310 segundos


Figura 2519 Arriba Dos pulsos G1(C) G3(C) de la misma duracioacuten perodistinta frecuencia Abajo El pulso transformado G1(3C) que tiene unaduracioacuten de solamente 1

310 segundos

Ahora siacute estaacute claro por queacute el pulso transformado G(3C) tiene solamenteun tercio de la energiacutea de G(C) Solamente dura un tercio del tiempo

Ejercicios

1 Comprueba la afirmacioacuten hecha en la demostracioacuten del Teorema 258 Si0 lt 0 entonces

(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)

Pista Adapta los pasos de la demostracioacuten

Ejemplo 2520 Contraccioacuten y dilatacioacutenbull Si contraemos G(C) por un factor de 2 la energiacutea total baja a la mitad

H(C) = G(2C) =rArr (H(C)

)=

12

(G(C)

)

bull Si expandimos G(C) por un factor de 2 la energiacutea total sube al doble

H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)

bull Si reflejamos la sentildeal es decir usamos 0 = minus1 la energiacutea total no cambia

H(C) = G(minusC) =rArr (H(C)

)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)


26 Filtros y sistemas LTIEn este capiacutetulo pensaremos en un sistema como algo que actua sobre unasentildeal

Ejemplos de tales sistemas pueden ser tan sencillos como un objeto fiacutesicomovieacutendose seguacuten las leyes Newtonianas de la mecaacutenica o tan complicadascomo un coche con conduccioacuten autoacutenoma o la economiacutea de un paiacutes Claroestaacute que para tener alguna posibilidad de tratar sistemas asiacute tenemos quesimplificar al maacuteximo y quedarnos solamente con las propiedades esencialesSi optamos por una modelizacioacuten matemaacutetica y ademaacutes nos restringimos asistemas lineales e invariantes en el tiempo que son propiedades que trataremosen un momento podremos utilizar una gran variedad de herramientas para elanaacutelisis del sistema

Normalmente representaremos un sistema mediante un diagrama debloques cuyo caso maacutes sencillo es el siguiente

Figura 261 Un croquis que representa un sistemaDe manera muy abstracta podemos representar el efecto del sistema

sobre la entrada G(C) como

H(C) = [G(C)]

Unos posibles ejemplos en los que el pasado de G(C) influye en la accioacuten de son

H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)

En el segundo caso ΔC es un intervalo constante de tiempo y por tanto en H(C)influyen la entrada en el mismo momento C como los valores de la sentildeal deentrada en copias retardadas en el tiempo

Las siglas LTI significan linear time-independent o lineal e independientes deltiempo

1 Lineal quiere decir Si

bull H1(C) es la salida correspondiente a una sentildeal G1(C) ybull H2(C) es la salida correspondiente a una sentildeal G2(C) ybull 0 y 1 son constantes

entonces

bull el sistema transforma la sentildeal

G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)

en la sentildealH(C) = 0H1(C) + 1H2(C)


Figura 262 Si entra una combinacioacuten lineal sale otra combinacioacuten lineal

2 Invariante en el tiempo quiere decir Un desplazamiento temporal en laentrada implica el mismo deplazamiento temporal en la salida

Figura 263 Si una sentildeal entra desfasada la respuesta es la misma perodesfasada

Ya hemos visto muchos ejemplos de sistemas lineales por tanto ahoraveremos de manera breve ejemplos de sistemas no lineales uno siacute y otro noinvariante en el tiempo

Ejemplo 264 Sistemas invariantes y no invariantes en el tiempo Unejemplode un sistema no invariante en el tiempo en particular no LTI es

H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d

Para ver que el sistema no es invariante en el tiempo reemplazamos G(C)por G(C minus C0) en el lado izquierdo y en el lado derecho por separado y vemos sisale lo mismo

En el lado derecho sale

1[G(C minus C0)] =int C

0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d

Por otra parte en el lado izquierdo sale

H(C minus C0) =int CminusC0

0

radicG()d

y estas expresiones no son iguales Por tanto el sistema 1 no es invariante enel tiempo

Como ejemplo de un sistema que siacute es invariante en el tiempo escogemos

H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d

Despueacutes de reemplazar G(C) por G(C minus C0) el lado derecho esint C

Cminus5G( minus C0)2 d

=minusC0=

int CminusC0

Cminus5minusC0G()2 d


mientras que el lado izquierdo es


CminusC0minus5G()2 d

lo cual es la misma expresioacuten Por eso el sistema 2 siacute es invariante en el tiempo

En esta seccioacuten trabajamos con sistemas LTI que modifican las frecuenciasde la sentildeal de entrada

261 Ecuacioacuten temporal de un sistema LTIHay una sentildeal ℎ(C) que caracteriza coacutemo actua cualquier sistema LTI

bull iquestCoacutemo iexclMediante la convolucioacuten

bull iquestQuieacuten es esta sentildeal magica ℎ(C) iexclLa respuesta al impulso

Definicioacuten 265 A la salida ℎ(C) del sistema cuando lo estimulamos con unadistribucioacuten de Dirac centrada en 0

ℎ(C) = [(C)]

se le llama la respuesta al impulso del sistema diams

Teorema 266 Salida de LTI = entrada respuesta al impulso La sentildeal desalida H(C) de un sistema LTI es la convolucioacuten de la entrada G(C) y la sentildeal ℎ(C) quecaracteriza el sistema

H(C) = [G(C)] = G(C) ℎ(C) =intXG(C minus )ℎ()d

Demostracioacuten Utilizando la propiedad del filtraje Teorema 245 que dice que

G(C) =intXG()(C minus )d

sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=

intXG()[(C minus )]d

invariante en el tiempo=

intXG()ℎ(C minus )d

= G(C) ℎ(C)

Figura 267Representacioacuten de un sistema LTImediante su respuesta al impulsoℎ(C)


Nota 268 Podemos combrobar que

[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)

mediante el Teorema 246 que afirma que la convolucioacuten con una delta es unretraso temporal

(C) ℎ(C) = ℎ(C) 0(C) = ℎ(C minus 0) = ℎ(C)

262 FiltrosCombinar la teoriacutea de los sistemas LTI con la transformada de Fourier nospermite disentildear filtros de frecuencias

Necesitamos dos ingredientes

bull la transformada de Fourier de una convolucioacuten es el producto de lastransformadas

bull Si ℎ($) tiene la forma

ℎ($) =0 $ isin [$1 $2]0 para los demaacutes $

entonces el efecto de multiplicar

G($) middot ℎ($)

es el de

suprimir todas las frecuencias fuera del rango [$1 $2] multiplicar todas las contribuciones de las frecuencias en [$1 $2]por una constante 0

La transformada de Fourier de la respuesta al impulso juega un papel tanimportante en aplicaciones que recibe su propio nombre

Definicioacuten 269 La funcioacuten de transferencia de un sistema LTI con respuestaal impulso ℎ(C) es ℎ($) diams

Figura 2610 Representacioacuten de un sistema LTI mediante su funcioacuten de trans-ferencia ℎ($)

Dos ejemplos muy importantes de filtros son los filtros pasa-bajo y los filtrospasa-altos Aprovechamos estos ejemplos para ver coacutemo calcular la transformadade Fourier de una funcioacuten perioacutedica

Ejemplo 2611 Filtro pasa-bajo y filtro pasa-alto Escogemos como sentildeal unafuncioacuten perioacutedica G(C) compuesta por tres frecuencias compara la Figura 2612

G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)


Figura 2612 La sentildeal de entrada G(C)Aplicando que la transformada de Fourier del seno es

ℱ (sin(0C)) = minusi(($ minus 0) minus ($ + 0)

)

la transformada de Fourier de G(C) es

G(C) = minusi(($ minus 1) minus ($ + 1)

)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)

y por tanto su espectro es tal y como lo vemos en

Figura 2613 Espectro G($) de la sentildeal de entrada

Aplicamos un filtro que solamente deja pasar las frecuencias maacutes pequentildeasque $ = 6


Figura 2614 Filtro que solamente deja pasar frecuencias |$ | le 6

El resultado es

Figura 2615 Espectro G($) de la sentildeal de entrada despueacutes de pasar por unfiltro pasa-bajo

En cambio un filtro pasa-alto solamente deja pasar frecuencias maacutes altaspor ejemplo todas maacutes altas que $ = 3

Figura 2616 Filtro que solamente deja pasar frecuencias |$ | ge 3

El resultado es


La sentildeal original y los resultados de aplicar estos dos filtros se pueden ver enFigura 2618--Figura 2620 Podemos comprobar que el filtro pasa-bajo eliminalas frecuencias altas mientras que el filtro pasa-alto elimina las frecuenciasbajas


Figura 2618 Sentildeal orig-inal

Figura 2619 Aplicadoel filtro pasa-bajo

Figura 2620 Aplicadoel filtro pasa-alto

2621 Ejercicios

1 En el Ejemplo 2611 se han elegido los filtros de manera simeacutetrica respectodel origen Investiga queacute pasa si no respetamos este principio aplicandoun filtro que deja pasar solamente frecuencias $ con 0 lt $ lt 6 a lafuncioacuten de Ejemplo 2611

Figura 2621 iquestCuaacutel es el resultado de aplicar el filtro morado a esteespectro

263 Aplicaciones de filtrosbull Un ejemplo es este applet que demuestra coacutemo funcionan los filtros

pasa-bajo y pasa-alto en el caso de imaacutegenes 2d

bull Otro ejemplo son los imaacutegenes hiacutebridos

bull Algunas versiones de esteganografiacutea usan tambieacuten ideas similares

Capiacutetulo 3

Equacions diferencials

31 Introduccioacute

311 Quegrave eacutes una equacioacute diferencialDefinicioacuten 311Una equacioacute diferencial eacutes una equacioacute on la incogravegnita eacutes unafuncioacute i on apareixen derivades drsquoaquesta funcioacute diams

Uns exemples drsquoequacions diferencials soacuten

1 Hprimeprime + GHprime + 2H = G2 amb funcioacute incogravegnita H(G)

2 Hprime = sin(G) + H tan(G) amb funcioacute incogravegnita H(G)

3 Hprimeprime minus 5Hprime + 6H = 0 amb funcioacute incogravegnita H(C)

4 Gprime minus CG = Gprimeprimeprime amb funcioacute incogravegnita G(C)

5 4H 3H3G + G2 + 1 = 0 amb funcioacute incogravegnita H(G)

6 2DC2

= 2DG2 amb funcioacute incogravegnita D(G C)

Com podem veure en les equacions (1)-(5) la funcioacute incogravegnita depen drsquounavariable i en (6) depen de dues

Definicioacuten 312bull Si la funcioacute incogravegnita drsquouna equacioacute diferencial depen nomeacutes drsquouna

variable lrsquoequacioacute es diu ordinagraveria i srsquoabrevia EDO

bull Si la funcioacute incogravegnita depen de dues o meacutes variables lrsquoequacioacute es diu enderivades parcials i srsquoabrevia EDP

diamsNosaltres ens restringim a nomeacutes estudiar EDOs

Definicioacuten 313 Lrsquoordre drsquouna equacioacute diferencial eacutes lrsquoordre de la derivadadrsquoordre meacutes alt que interveacute en lrsquoequacioacute diams

Per exemple lrsquoordre de lrsquoequacioacute

32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58

CAPIacuteTULO 3 EQUACIONS DIFERENCIALS 59

eacutes dos perquegrave hi surt32H

3G2 perograve no33H

3G3 o34H

3G4 El elevat a tres de lrsquoexpressioacute(3H

3G

)3

no interveacute en aquesta classificacioacute

Definicioacuten 314 Un equacioacute diferencial es diu lineal si es tracta una expressioacutelineal en la funcioacute incognita H i les seves derivades Hprime Hprimeprime Hprimeprimeprime etc

Una altra manera de dir aixograve es que a lrsquoequacioacute no esmultiplica mai la funcioacuteincogravegnita amb cap de les seves derivades ni tampoc es eleva a cap potegravenciameacutes gran que 1 ni a la funcioacute incogravegnita ni a cap de les seves derivades diams

3111 Ejercicios

Determina lrsquoordre drsquoaquestes equacions i si soacuten lineals1 (1 minus H)Hprime + 2H = 4G

Pista 1 Quina eacutes la derivada meacutes altaPista 2 Es multiplican funcioacute incogravegnita i derivadesSolucioacuten La derivada meacutes alta eacutes 1 per tant lrsquoequacioacute eacutes drsquoordre 1Es multiplica la funcioacute incogravegnita amb la seva derivada en lrsquoexpressioacute(1 minus H)Hprime = Hprime minus HHprime per tant lrsquoequacioacute no eacutes lineal

232H

3G2 + sin H = 0

Pista 1 Quina eacutes la derivada meacutes altaPista 2 Es multiplican funcioacute incogravegnita i derivades Es eleva la funcioacuteincogravegnita a alguna potegravenciaPista 3 Has mirat beacuteSolucioacuten La derivada meacutes alta eacutes 2 per tant lrsquoequacioacute eacutes drsquoordre 2 Noes multiplica la funcioacute incogravegnita amb cap de les seves derivades perograve lafuncioacute sin H eacutes una segraverie de potegravencies en H

sin H = H minus 13 H

3 + 15 H

5 ∓

i per tant lrsquoequacioacute no eacutes lineal

3d4H

3G4 + H2 = 0

Pista 1 Quina eacutes la derivada meacutes altaPista 2 Es multiplican funcioacute incogravegnita i derivades Es eleva a cappotegravencia la funcioacute incogravegnitaSolucioacuten La derivada meacutes alta eacutes 4 per tant lrsquoequacioacute eacutes drsquoordre 4 Eseleva la funcioacute incogravegnita a la segona potegravencia en lrsquoexpressioacute H2 per tantlrsquoequacioacute no eacutes lineal


312 Modelitzacioacute i equacions de fenogravemens

Ejemplo 315 Corba plana amb informacioacute de pendent Com eacutes lrsquoequacioacutedrsquouna corba plana si demanem que la seva pendent sigui igual al doble delrsquoabscissa en tots els punts

Eacutes a dir busquem una funcioacute H(G) de manera que

Hprime(G) = 2G

per a tots el valors G Es tracte doncs drsquouna EDO drsquoordre 1Aquesta EDO es pot resoldre integrant directament

H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)

on es qualsevol constant (la constant drsquointegracioacute)Tenim doncs infinites solucions una per a qualsevol eleccioacute de la constant

arbitragraveria Si volem per exemple que la corba passi pel punt (1 3) hem de demanar

queH(1) = (1)2 + = 3 (312)

la qual condicioacute ens porta a fixar = 2Lrsquoequacioacute drsquoaquesta solucioacute particular eacutes doncs

H(G) = G2 + 2

Ejemplo 316 Moviment drsquoacceleracioacute constant Lrsquoequacioacute que descriu elmoviment unidimensional drsquouna partiacutecula amb acceleracioacute constant 2 eacutes descritper les equacions

Eprime(C) = 2Gprime(C) = E(C)

de les quals deduiumlm queGprimeprime(C) = 2

Ens resta doncs determinar G(C) a partir drsquoaquesta EDO Una altra vegada espot resoldre integrant directament

Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +

on son constants drsquointegracioacute


Una altra vegada hi ha infinites solucions una per a cada valors de lesconstants arbitragraveries i (graus de llibertat)

Si ens donen per exemple per a C = 0 una posicioacute inicial G0 i una velocitatinicial E0 podem ajustar les constants a aquestes condicions inicials

E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =

Drsquoaquesta manera arribem a la solucioacute particular

G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0

Ejemplo 317 Model drsquoevolucioacute drsquouna poblacioacute Sigui (C) la poblacioacute en uninstant t en una determinada comunitat

Suposem que la variacioacute de la poblacioacute depegraven nomeacutes de la taxa de natalitati de mortalitat i que ambdues taxes soacuten proporcionals a la poblacioacute en cadainstant

Ategraves que la variacioacute de poblacioacute eacutes prime(C) concluim de la frase anterior quelrsquoevolucioacute de la poblacioacute ve modelitzada per lrsquoEDO drsquoordre 1

prime)) = (C)

Ejemplo 318 Equacioacute drsquouna molla

La tercera llei de Newton ens diu que

La suma de les forccediles actuant en lrsquoobjecte eacutes igual al producte de lamassa per lrsquoacceleracioacute experimentada pel objecte

Ara

bull la forccedila de roccedilament eacutes proporcional a la velocitat

minus13Gprime(C)

bull la forccedila de lamolla eacutes proporcional al desplaccedilament respecte de lrsquoequilibri

minusG(C)

Per tant obtenim lrsquoEDO drsquoordre 2

minus13Gprime(C) minus G(C) = ltGprimeprime(C)

Ejemplo 319 Carrega elegravectrica drsquoun circuit en serie


Segons la 2a llei de Kirchoff el voltatge (C) a traveacutes drsquoun circuit tancat hade ser igual a les caigudes de voltatge que hi ha en el mateix Aquestes soacuten

bull + = 8prime(C) = primeprime(C)

bull + = prime(C)

bull + =1(C)

Expressant la segona llei de Kirchoff en fogravermules matemagravetiques arribemdoncs a lrsquoEDO drsquoordre 2

primeprime(C) + prime(C) + 1= (C)

313 Solucions drsquoEDOsUna solucioacute drsquouna ecuacioacute diferencial ha de satisfer lrsquoecuacioacute per a tot valor dela variable independent1

Per exemple per a comprobar que H(C) = 43C eacutes una solucioacute de

Hprimeprime minus 6Hprime + 9H = 0

substituiumlm H(C) i les seves derivades a lrsquoEDO

bull H(C) = 43C

bull Hprime(C) = 343C

bull Hprimeprime(C) = 943C

i per tantHprimeprime minus 6Hprime + 9H = 943C minus 6

(343C ) + 943C = 0

per a tot C Aixograve ens confirma que H(C) realment eacutes una solucioacute de la EDOAra quins propietats tenen les solucions drsquouna EDO

bull Les EDOs tenen en general infinites solucions amb diferents constantsarbitragraveries (graus de llibertat)

bull El nombre de graus de llibertat eacutes igual a lrsquoordre de lrsquoEDO Per exemple

Per a Hprime = 2G obtenim H = G2 + per a qualsevol isin R Per tant elconjunt de solucions teacute un grau de llibertat Per a Gprimeprime(C) = 2 obtenim G(C) = 2

2 C2 + C + on isin X soacuten

nuacutemeros reals qualsevols Per tant el conjunt de solucions teacute dosgraus de llibertat

1en realitat nomeacutes pels valors a dins drsquoun interval Nosaltres normalment ho prenem com a(minusinfininfin) = X perograve a vegades eacutes meacutes petit


bull El terme solucioacute general es refereix a la forma genegraverica que tenen totesles solucions Per exemple acabem de veure les solucions generals

H = G2 + per a qualsevol isin R G(C) = 2

2 C2 + C + on isin X soacuten nuacutemeros reals qualsevols

bull El terme solucioacute particular es refereix a una solucioacute conreta dins drsquounasolucioacute general que obtenim substituint algun valor concret per totes lesconstants arbitragraveries En els exemples anteriors unes solucions particularssoacuten

H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3

314 Problemes de valor inicialDefinicioacuten 3110 Un Problema de Valor inicial (PVI) eacutes una EDO amb condi-cions inicials

Condicions incials soacuten condicions imposades a la solucioacute general quedeterminen els valors de les constants arbitragraveries diams

bull El nuacutemero de condicions inicials = nuacutemero de graus de llibertat = ordrede lrsquoEDO

bull Imposen el valor inicial de la solucioacute i de les seves derivades successives

bull Si la funcioacute incogravegnita eacutes H(C) i lrsquoEDO eacutes drsquoordre = les condicions inicialssoacuten

H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1

Hprimeprime(C0) = H2

middot middot middot middot middot middotH(=minus1)(C0) = H=minus1

on H0 H1 H2 H=minus1 isin X soacuten nuacutemeros arbitraris

Ejemplo 3111 Una EDO drsquoordre 1 Reprenem el problema de valor inicial

Hprime(G) = 2GH(1) = 3

Vam veure la solucioacute general a lrsquoequacioacute (311) i la solucioacute particular a (312)Per tant la solucioacute drsquoaquest PVI eacutes

H(G) = 2G2 + 2

Ejemplo 3112 Moviment drsquoacceleracioacute constant Examinem lrsquoEDO drsquoordre2 amb dues condicions inicials

Gprimeprime(C) = 2G(0) = 0Gprime(0) = 20


Abans hem trobat la solucioacute general

G(C) = 2

2 C2 + C +

on isin R soacuten arbitrarisCalculem la primera derivada en general

Gprime(C) = 2C +

i substituim les condicions inicials Aixograve ens proporciona els valors

= 0 = 20

per les constants amb la qual cosa la solucioacute particular eacutes

G(C) = 2

2 C2 + 20C

32 EDOs en variables separables

Definicioacuten 321 Una EDO en variables separables eacutes una EDO que es potexpressar de la forma

(H) 3H = (G) 3GDit altrament es poden separar les variables a cada banda diams

Un exemple drsquouna EDO en variables separables podria ser

4H3H = (G2 + 1)3GObservacioacuten 322 Les EDOs en variables separables soacuten drsquoordre 1

(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)

lArrrArr (H)Hprime = (G)

Observem tambeacute que en general les EDOS separables no soacuten lineals a no serque (H) sigui un terme constant

321 Pas 1 Separar les variablesEl primer pas per a resoldre una EDO separable eacutes precisament separar lesvariablesEjemplo 323 Un model de poblacioacute Com abans prenem

prime(C) = (C)

comamodel de lrsquoevolucioacute drsquouna poblacioacute on eacutes la constant de proporcionalitatdel model

Com podem trobar (C)

prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C

Ara vam aconseguir separar les variables que eacutes el primer pas un costat nomeacutesconteacute la variable i lrsquolaltre nomeacutes la variable C Recorda que eacutes una constantqualsevol no una variable del model

Ejemplo 324 LrsquoEDO GHprime = minusH Fem com abans

GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH

lArrrArr G3H = minusH3G

lArrrArr 1H3H = minus 1

G3G

i vam aconseguir separar les variables

322 Pas 2 IntegrarAra despregraves de separar les variables srsquointegra a banda i banda

(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G

Observacioacuten 325 Nomeacutes cal una constant drsquointegracioacute Ategraves que hi ha duesintegrals a lrsquoequacioacute podriem pensar que hem de treballar amb dues constantsdrsquointegracioacute int

(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +

Perograve podem combinar aquestes dues constants en una sola

amp(H) + = (G) + lArrrArr amp(H) = (G) + minus lArrrArr amp(H) = (G) +

Recordem que a la solucioacute general de les EDOs drsquoordre 1 hi ha nomeacutes 1 constantarbitragraveria (1 grau de llibertat)

323 Pas 3 Es pot aiumlllar la variable HSi es pot aiumlllar la variable H tindrem la solucioacute expliacutecita i si no la tenimimpliacutecita

Ejemplo 326 Una EDO ja separada Prenem com a exemple a lrsquoEDO

4H3H = (G2 + 1)3G


Ja estagrave separada per tant podem integrarint4H3H =

int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +

Ara aiumlllem la H i obtenim la solucioacute general

H = ln(G3

3 + G + )

Ejemplo 327 El model de poblacioacute a lrsquoEjemplo 323 vam arribar fins a larelacioacute

3

= 3C

Ara podem integrar a banda i bandaint3

=

int3C +

lArrrArr ln() = C + lArrrArr = 4 C+ = 4 C 4

Si posem un nou nom a la constant 4 per exemple 4 = podem concloureque la solucioacute general eacutes

(C) = 4minusC Si ara meacutes a meacutes tenim la condicioacute inicial

(0) = 0

on 0 isin X eacutes el nuacutemero de membres de la poblacioacute a lrsquoinstant C = 0 podemconcloure de

0 = (0) = 40 =

que la solucioacute particular eacutes(C) = 0 4

minusC

Si gt 0 la funcioacute creixeragrave exponencialment i si lt 0 decreixeragrave exponencial-ment

Ejemplo 328 1H 3H = minus 1

G 3G Fem el mateix procedimentint1H3H =

intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +

lArrrArr ln(H) = minus ln(G) + Per a aiumlllar la H podem calcular

H = 4minus ln(G)+ = 4minus ln(G)4

=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G

on a lrsquouacuteltim pas vam posar 4 =


Una altra possiblitat per a aiumlllar la H eacutes fer-ho aixiacute

H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G

o fins i tot aixiacute

ln(H) = minus ln(G) + lArrrArr ln(H) + ln(G) =

ln(0)+ln(1)=ln(01)lArrrArr ln(HG) =

lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G

33 EDOs autogravenoms de grau 1Write me

34 EDOs lineals drsquoordre 1

Definicioacuten 3411 Una equacioacute diferencial ordinagraveria (EDO drsquoara endavant) eacutes lineal si la

incogravegnita i les seves derivades apareixen

bull de forma linealbull amb coeficients constants o depenents de la variable independent

2 Lrsquoexpressioacute general drsquouna EDO lineal drsquoordre = on la incogravegnita eacutes H(C) eacutes

0=(C)H=(C) + 0=minus1(C)H=minus1(C) + middot middot middot + 02(C)Hprimeprime(C) + 01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C)(341)

3 Si la funcioacute 5 (C) = 0 lrsquoEDO lineal eacutes homogegravenia

0=(C)H=(C) + 0=minus1(C)H=minus1(C) + middot middot middot + 02(C)Hprimeprime(C) + 01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 0

4 Si els coeficients soacuten constants tenim una EDO lineal amb coeficientsconstants

0=H=(C) + 0=minus1H

=minus1(C) + middot middot middot + 02Hprimeprime(C) + 01H

prime(C) + 00H(C) = 5 (C) on 08 isin R

diams

Ejemplo 342bull Hprimeprime minus 5Hprime + 6 = 2 cos(C)

bull Hprime(C) + 2CH(C) = C3


bull CHprime minus 4H = C5eC

bull H 8E(C) + 2Hprimeprime(C) + 1 = 0

bull primeprime(C) + prime(C) + 1(C) = (C)

341 Expressioacute general drsquouna EDO lineal drsquoordre 1Definicioacuten 343 Lrsquoexpressioacute general drsquouna EDO lineal drsquoordre 1 on la incogravegnitaeacutes H(C) eacutes

01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams

Observacioacuten 344 Aquesta expressioacute es pot escriure de manera equivalent

Hprime(C) + (C)H(C) = (C)

Demostracioacuten Vegem-ho dividim lrsquoequacioacute (342) per 01(C) i tenim

Hprime(C) + 00(C)01(C)

H(C) =5 (C)01(C)

Anomenem (C) = 00(C)01(C)

i (C) =5 (C)01(C)

i ja tenim lrsquoexpressioacute Hprime(C)+(C)H(C) = (C)

Per trobar la solucioacute general de les EDOs lineals drsquoordre 1 farem servir elmegravetode de variacioacute de les constants

342 Megravetode de variacioacute de les constantsExplicarem en quegrave consisteix el megravetode i despreacutes ho aplicarem a un exemple

Donada lrsquoequacioacute diferencial lineal drsquoordre 1

Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)

Lrsquoequacioacute homogegravenia associada a (343) eacutes Hprime(C) + (C)H(C) = 0Resoldrem lrsquoequacioacute (343) de la manera seguumlent

1 Trobem la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia

bull Lrsquoequacioacute homogegravenia eacutes en variables separablesbull La solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia es pot expressar

H(C) = 6(C) constant

La forma que teacute la solucioacute de lrsquoequacioacute homogegravenia ens doacutena la pistade com eacutes la solucioacute de lrsquoequacioacute de partida

2 La solucioacute general de lrsquoequacioacute (343) eacutes de la forma

H(C) = (C)6(C) on (C) eacutes una funcioacute a determinar

Substituiumlm H(C) i la seva derivada en (343) i trobem (C)


Prenem com a exemple lrsquoequacioacute

Hprime minus 4CH = C4eC (344)

1 Trobem la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia que sabem que eacutes envariables separables

Hprime minus 4CH = 0

Primer separem les variables

Hprime minus 4CH = 0 lArrrArr

3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C

i despreacutes resolem lrsquoequacioacute i aiumlllem Hint1H3H =

int4C3C + =rArr ln(H) = 4 ln(C) + =rArr H = e4 ln(C)+

Simplifiquem lrsquoexpressioacute de H

H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4

on hem aplicat propietat de les exponencials e0+1 = e0e1 la propietat delslogaritmes 0 ln(1) = ln (10) i hem redefinit la constant arbitragraveria e =

Aixiacute la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia eacutes

H(C) = C4 on eacutes una constant

2 Ara ja sabem que la solucioacute general de lrsquoequacioacute (344) eacutes de la forma

H(C) = (C)C4 on (C) eacutes una funcioacute a determinar

Calculem Hprime(C)Hprime(C) = prime(C)C4 + (C)4C3

Substituiumlm H(C) i Hprime(C) en (344) i simplifiquem

Hprime minus 4CH = C44 C =rArr

Hprime(C)︷︸︸︷prime(C)C4 + (C)4C3 minus4

C

H(C)︷︸︸︷(C)C4 = C4eC =rArr

=rArr prime(C)C4 + (C)4C3 minus (C)4C3 = C4eC =rArr=rArr prime(C)C4 = C4eC =rArr prime(C) = eC

Es pot apreciar que no apareix (C) Aixograve passa sempre se simplifica(C) i nomeacutes queda prime(C) a la equacioacute diferencialResolem prime(C) = eC per a trobar (C) integrant directament

(C) =int

eC3C = eC + constant drsquointegracioacute

Per tant la solucioacute general de lrsquoequacioacute (344) eacutes

H(C) = (C)C4 = (eC + )C4 minusrarr H(C) = (eC + )C4 constant


35 EDOs lineals amb coeficients constantsLes equacions lineals que estudiarem soacuten les que hem definit abans en (341)perograve on els coeficients 0(C) no soacuten funcions qualsvols de la variable C sino sonnomeacutes constants

0 isin per a = 1 2 =

Drsquoaquesta manera lrsquoequacioacute (341) es simplifica a

0=H=(C)+ 0=minus1H

=minus1(C)+ middot middot middot+ 02Hprimeprime(C)+ 01H

prime(C)+ 00H(C) = 5 (C) on 08 isin R (351)

351 Estructura de la solucioacute drsquouna EDO linealLa solucioacute general drsquouna equacioacute lineal sempre pot expressar-se

H(C) = Hℎ(C) + H(C)on Hℎ(C) eacutes la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia de lrsquoEDO lineal i H(C)

eacutes una solucioacute particular qualsevol de lrsquoEDO lineal (equacioacute no homogegravenia)Vegem com identificar aquesta estructura en el exemple anterior que

tractava lrsquoequacioacute (344)

Hprime minus 4CH = C4eC

La solucioacute general es pot expressar drsquoaquesta manera

H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)

En aquesta expressioacute

bull Hℎ(C) = C4 eacutes la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia (calculadaabans)

bull H(C) = eC C4 eacutes una solucioacute particular de lrsquoEDO (srsquoobteacute de la solucioacutegeneral prenent = 0)

Aquesta estructura de les solucions eacutes comuna a qualsevol EDO lineal Pertant lrsquoestructura de la solucioacute de lrsquoequacioacute (351) eacutes

H(C) = Hℎ(C) + H(C)on Hℎ(C) eacutes la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia de lrsquoEDO lineal

0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0

i H(C) eacutes una solucioacute particular qualsevol de lrsquoequacioacute no homogegravenia (351)Estudiarem primer com trobar la solucioacute general de les equacions ho-

mogegravenies i despreacutes com calcular una solucioacute particular de les no homogegraveniesper a certes funcions 5 (C)


352 EDOs lineals amb coeficients constants homogegraveniesConsiderem lrsquoexpressioacute general drsquouna EDO lineal amb coeficients constantshomogegravenia drsquoordre =

0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0 on 08 isin R (352)

Les solucions de lrsquoequacioacute (352) formen un espai vectorial de dimensioacuten =Per tant cal buscar = solucions de (352) que siguin linealment independentsUna combinacioacute lineal drsquoaquestes solucions eacutes la solucioacute general de lrsquoequacioacutehomogegravenia (352)

Si tenim H1(C) H2(C) middot middot middot H=(C) solucions de (352) que soacuten linealmentindependents llavors

H1(C) H2(C) middot middot middot H=(C)eacutes una base de solucions de (352) i la solucioacute general de lrsquoEDO (352) eacutes

H(C) = 1 H1(C) + 2 H2(C) + middot middot middot + = H=(C)

on 1 2 middot middot middot = soacuten les = constants arbitragraveries de la solucioacute (= graus dellibertat)

353 Lrsquoequacioacute caracteriacutesticaA continuacioacute estudiarem com trobar aquestes = funcions

bull primer amb les equacions drsquoordre 2

bull i despreacutes generalitzarem a equacions drsquoordre meacutes gran que 2

3531 Equacions drsquoordre 2

Considerem lrsquoEDO lineal amb coeficients constants homogegravenia drsquoordre 2

02Hprimeprime(C) + 01H

prime(C) + 00H(C) = 0 (353)

Definicioacuten 351 La equacioacute caracteriacutestica (EC) associada a (353) srsquoobteacute sub-stituint

bull Hprimeprime per 2

bull Hprime per

bull i H per 1

diamsAixiacute lrsquoequacioacute caracteriacutestica associada a lrsquoequacioacute homogegravenia eacutes

022 + 01 + 00 = 0

que eacutes una equacioacute de grau 2Resolem lrsquoEC i obtenim les seves dues arrels 1 i 2 que poden ser reals

i diferents real i doble o beacute complexes (i conjugades) Aquesta casuiacutesticadetermina com determinar la solucioacute general de lrsquoequacioacute


1 Arrels de lrsquoEC reals i diferents 1 ne 2 amb 1 2 isin XLes funcions

H1(C) = e1C i H2(C) = e2C

soacuten solucions de (353) linealment independents Per tant

e1C e2Ceacutes base de solucions de (353) i la solucioacute general de lrsquoEDO (353) eacutes

H(C) = 1 e1C + 2 e2C per a constants 1 2 isin R

2 Arrels de lrsquoEC real i doble 1 = 2 =

Les funcionsH1(C) = eC i H2(C) = CeC

soacuten solucions de (353) linealment independents

eC CeCeacutes base de solucions de (353) i la solucioacute general de lrsquoEDO (353) eacutes

H(C) = 1 eC + 2 CeC per a constants 1 2 isin R

3 Arrels de lrsquoEC complexes (no reals) i conjugades 1 2 = 13 plusmn 9Les funcions

H1(C) = e13C cos(C) i H2(C) = e13C sin(C)soacuten solucions de (353) linealment independents

e13C cos(C) e13C sin(C)eacutes base de solucions de (353) i la solucioacute general de lrsquoEDO (353) eacutes

H(C) = 1 e13C cos(C) + 2 e13C sin(C) per a constants 1 2 isin R

Ejemplo 352 Hprimeprime minus 5Hprime + 6H = 0 Lrsquoequacioacute caracteriacutestica eacutes 2 minus 5 + 6 = 0 iles seves arrels soacuten = 2 3

Soacuten reals i diferents per tant la base de solucions de lrsquoEDO eacutes e2C e3Ci la solucioacute general H(C) = 1 e2C + 2 e3C 1 2 isin R

Ejemplo 353 Hprimeprime minus 6Hprime + 9H = 0 Lrsquoequacioacute caracteriacutestica eacutes 2 minus 6 + 9 = 0 Laresolem i surt = 3 per tant tenim lrsquoarrel real = 3 doble

La base de solucions de lrsquoEDO eacutes e3C Ce3Ci la solucioacute general H(C) = 1 e3C + 2 Ce3C 1 2 isin R

Ejemplo 354 Hprimeprime minus 2Hprime + 10H = 0 Lrsquoequacioacute caracteriacutestica eacutes 2 minus 2 + 10 = 0 iles seves arrels soacuten

=2 plusmnradicminus36

2 = 1 plusmn 3radicminus1 = 1 plusmn 39

Soacuten complexes i conjugades per tant la base de solucions de lrsquoEDO eacutes

eC cos(3C) eC sin(3C)

i la solucioacute general H(C) = 1 eC cos(3C) + 2 eC sin(3C) 1 2 isin R

3532 Equacions drsquoordre superior

Alguns exemples soacuten


Ejemplo 355 Hprimeprimeprime minus 2Hprimeprime + Hprime = 0 Eacutes drsquoordre 3 per tant la base de solucions delrsquoequacioacute estaragrave formada per 3 funcions que sortiran de lrsquoanagravelisi de les arrels delrsquoequacioacute caracteriacutestica seragrave ara de grau 3

EC 3 minus 22 + = 0Les 3 arrels de lrsquoEC soacuten

3minus22+ = 0 =rArr (2 minus 2 + 1

)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

Lrsquoarrel real simple = 0 contribueix amb la funcioacute e0C = e0 = 1Lrsquoarrel real doble = 1 contribueix amb 2 funcions e1C = eC i Ce1C = CeCAixiacute la base de solucions de lrsquoEDO eacutes 1 eC CeCi la solucioacute general H(C) = 1 + 2 eC + 3 CeC 1 2 3 isin R

Ejemplo 356 H 8E + 2Hprimeprime + H = 0 Eacutes drsquoordre 4 per tant la base de solucions delrsquoequacioacute estaragrave formada per 4 funcions que sortiran de lrsquoanagravelisi de les arrels delrsquoequacioacute caracteriacutestica seragrave ara de grau 4

EC 4 + 22 + 1 = 0Resolem lrsquoequacioacute caracteriacutestca fent el canvi A = 2 per a convertir-la en una

equacioacute de segon grau fagravecil de resoldre

A2 + 2A + 1 =rArr A = minus1 doble

Desfent el canvi obtenim les 4 arrels de lrsquoEC

2 = minus1 =rArr = plusmnradicminus1 = plusmn9 = 0 plusmn 9 doble

Tenim 2 arrels complexes dobles Les 4 funcions de la solucioacute corresponen alfet que soacuten complexes

e0C cos(1C) = e0 cos(C) = cos(C) e0C sin(1C) = e0 sin(C) = sin(C)

i dobles C cos(C) C sin(C)Aixiacute la base de solucions de lrsquoEDO eacutes cos(C) sin(C) C cos(C) C sin(C)i la solucioacute general

H(C) = 1 cos(C) + 2 sin(C) + 3 C cos(C) + 4 C sin(C) 1 2 3 4 isin R

354 EDOs lineals amb coeficients constants el cas generalSi lrsquoequacioacute diferencial eacutes drsquoordre superior a 2 el procediment per trobar lasolucioacute general eacutes el mateix que en el cas drsquoordre 2 amb lrsquouacutenica diferegravencia que

bull lrsquoequacioacute caracteriacutestica eacutes de grau gt 2

bull i la casuiacutestica de les seves arrels eacutes meacutes agravemplia

3541 El cas homogegraveni

En el cas general si tenim una EDO lineal amb coeficients constants homogegraveniadrsquoordre =

0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0


lrsquoequacioacute caracteriacutestica corresponent eacutes

0== + 0=minus1

=minus1 + middot middot middot + 022 + 01 + 00 = 0

Lrsquoequacioacute caracteriacutestica teacute = arrels comptant multiplicitats Cadascunadrsquoaquestes arrels contribueix amb un terme a la solucioacute general de lrsquoequacioacutehomogegravenia

bull Una arrel real simple contribueix amb la funcioacute eC

bull Una arrel real amb multiplicitat lt contribueix amb les lt funcions

eC C eC C2eC middot middot middot Cltminus1eC

bull Dues arrels complexes conjugades simples 13 plusmn 9 contribueixen ambles 2 funcions

e13C cos(C) e13C sin(C)

bull Dues arrels complexes conjugades 13 plusmn 9 amb multiplicitat lt con-tribueixen amb les 2lt funcions

e13C cos(C) C e13C cos(C) C2e13C cos(C) middot middot middot Cltminus1e13C cos(C)

e13C sin(C) C e13C sin(C) C2e13C sin(C) middot middot middot Cltminus1e13C sin(C)

3542 El cas no homogegraveni

Considerem ara el cas general drsquoEDOs lineals amb coeficients constants

0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)

Hem vist abans que la solucioacute general drsquoaquesta EDO eacutes de la forma

H(C) = Hℎ(C) + H(C)

on Hℎ(C) eacutes la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia estudiada a lrsquoapartat 21i que sabem que depen de les arrels de lrsquoEC associada a lrsquoEDO homogegravenea iH(C) eacutes una solucioacute particular qualsevol de lrsquoequacioacute no homogegravenia (354)

El problema a resoldre ara eacutes com trobar una solucioacute particular Pertrobar-la farem servir el seguumlent megravetode que es coneix com a

bull megravetode drsquoassaig

bull de la conjectura sensata

bull o dels coeficients indeterminats

que serveix per trobar H(C) per a certes funcions 5 (C)En general ens fixaremquina forma teacute el terme independent 5 (C)de lrsquoequacioacute

no homogegravenia Si aquest terme teacute la forma

5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)

]on = i = representen polinomis de grau com a molt = aleshores el megravetodeens diu


bull Si 13 plusmn 9 no soacuten arrels de lrsquoEC aleshores buscarem una solucioacute particularde la forma

H(C) = e13C[=(C) cos(C) +amp=(C) sin(C)

]on = amp= soacuten polinomis de grau = a determinar

bull (Cas ressonant) Si 13plusmn 9 soacutenarrelsde lrsquoEC ambmultiplicitatlt aleshoresbuscarem una solucioacute particular de la forma

H(C) = Clt e13C[=(C) cos(C) +amp=(C) sin(C)


El cas ressonant teacute un significat fiacutesic que estudiarem meacutes endavant

36 Uns exemplesVolem resoldre la seguumlent equacioacute diferencial lineal drsquoordre 2 per a diferentsfuncions 5 (C)

Hprimeprime + Hprime minus 6H = 5 (C) (361)

La solucioacute general drsquoaquesta EDO eacutes de la forma

H(C) = Hℎ(C) + H(C)

essent Hℎ(C) la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia i H(C) una solucioacuteparticular qualsevol de lrsquoequacioacute no homogegravenia (361)

LrsquoEC de lrsquoequacioacute diferencial (361) eacutes

2 + minus 6 = 0

i les seves arrels (solucions) soacuten 1 = 2 i 2 = minus3 Per tant la solucioacute general delrsquoequacioacute homogegravenia

Hprimeprime + Hprime minus 6H = 0

eacutesHℎ(C) = 1 e2C + 2 eminus3C per a constants 1 2 isin R

A la taula seguumlent es mostra la forma que tenen les solucions particularsper a diferents funcions 5 (C) aplicant el megravetode drsquoassaig que acabem drsquoexplicar

Cuadro 361

5 (C) Forma de H(C)3

4minusC 4minusC

(C2 + 1)4minusC (C2 + C + )4minusC442C C42C

(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C

3 cos(2C) cos(2C) + sin(2C)4minus3C cos(2C) 4minus3C cos(2C) + 4minus3C sin(2C)

Expliquem amb detall com surten aquestes solucions particulars Per fer-hocomparem cadascuna de les funcions proposades amb el cas generic

5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)

]on = i = representen polinomis de grau com a molt = i apliquem el megravetode


Ejemplo 362 5 (C) = 3 Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per 13 = 0 (e0 = 1) = 0 (cos(0) = 1 i sin(0) = 0) i 0(C) = 3

Com que 13 plusmn 9 = 0 NO eacutes arrel de lrsquoEC busquem una solucioacute particularde la forma

H(C) = constant a determinar

Fixem-nos en que si 5 (C) teacute una constant llavors H(C) tambeacute (a determinar)

Ejemplo 363 5 (C) = eminusC Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per 13 = minus1 = 0 (cos(0) = 1 i sin(0) = 0) i 0(C) = 1

Com que 13 plusmn 9 = minus1 NO eacutes arrel de lrsquoEC busquem una solucioacute particularde la forma

H(C) = eminusC constant a determinar


Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1

)eminusC Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per

13 = minus1 = 0 (cos(0) = 1 i sin(0) = 0) i 2(C) = C2 + 1Com que 13 plusmn 9 = minus1 NO eacutes arrel de lrsquoEC busquem una solucioacute particular

de la forma

H(C) =(C2 + C +

)eminusC constants a determinar

Fixem-nos en que si 5 (C) teacute un polinomi de grau 2 llavors H(C) tambeacute (ambcoeficients a determinar)

Ejemplo 365 5 (C) = 4 e2C Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per 13 = 2 = 0 (cos(0) = 1 i sin(0) = 0) i 0(C) = 4

Com que 13plusmn 9 = 2 SIacute eacutes arrel de lrsquoEC ambmultiplicitat 1 (es simple) estemen el cas en quegrave hi ha ressonagravencia i busquem una solucioacute particular de la forma

H(C) = C e2C constant a determinar

Fixem-nos en dues coses el terme C de H correspon a lrsquoefecte de la ressonagravenciai si 5 (C) teacute una constant llavors H(C) tambeacute (a determinar)

Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1

)e2C Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per

13 = 2 = 0 (cos(0) = 1 i sin(0) = 0) i 2(C) = C2 + 1Com que 13plusmn 9 = 2 SIacute eacutes arrel de lrsquoEC ambmultiplicitat 1 (es simple) estem

en el cas en quegrave hi ha ressonagravencia i busquem una solucioacute particular de la forma

H(C) = C(C2 + C +

)e2C constants a determinar

Fixem-nos en dues coses el terme C de H correspon a lrsquoefecte de la ressonagravenciai si 5 (C) teacute un polinomi de grau 2 llavors H(C) tambeacute (amb coeficients adeterminar)

Ejemplo 367 5 (C) = 3 cos(2C) Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per 13 = 0(e0 = 1) = 2 0(C) = 3 i 0(C) = 0

Comque 13plusmn 9 = plusmn29NO soacuten arrels de lrsquoEC busquemuna solucioacute particularde la forma

H(C) = cos(2C) + sin(2C) constants a determinar

Fixem-nos en que tingui 5 (C) nomeacutes el terme cosinus nomeacutes el terme sinuso beacute la suma dels dos la forma de H(C) teacute la suma dels dos en aquest casmultiplicats per constants a determinar perquegrave el que multiplica al cosinus de5 (C) eacutes una constant


Ejemplo 368 5 (C) = eminus3C cos(2C) Aquesta funcioacute srsquoobteacute del cas genegraveric per13 = minus3 = 2 0(C) = 1 i 0(C) = 0

Com que 13 plusmn 9 = minus3 plusmn 29 NO soacuten arrels de lrsquoEC busquem una solucioacuteparticular de la forma

H(C) = eminus3C cos(2C) + eminus3C sin(2C) constants a determinar

Fixem-nos en que tingui 5 (C) nomeacutes el terme cosinus nomeacutes el terme sinuso beacute la suma dels dos la forma de H(C) teacute la suma dels dos en aquest casmultiplicats per lrsquoexponencial que tenim en 5 (C) i per constants a determinarperquegrave el que multiplica al cosinus i a lrsquoexponencial de 5 (C) eacutes una constant

A partir drsquoaquiacute de la forma de H(C) per a cada funcioacute 5 (C) es substitueixH(C) en lrsquoEDO que correspon a cada 5 (C) (es solucioacute de lrsquoEDO) i srsquoobteacute el valorde lales constants Farem els cagravelculs per a tres de les funcions i per a la restadonarem el resultatEjemplo 369 Hprimeprime + Hprime minus 6H = 3 Substituiumlm H(C) = en lrsquoequacioacute diferencialcalculem les derivades Hprime(C) = 0 i Hprimeprime (C) = 0 i tenim

Hprimeprime + Hprime minus 6H = minus6 = 3 =rArr =minus12

Per tant H(C) = minus12 i la solucioacute general de lrsquoequacioacute diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C minus 12 1 2 isin R

Ejemplo 3610 Hprimeprime + Hprime minus 6H = 4minusC Substituiumlm H(C) = eminusC en lrsquoequacioacutediferencial calculem les derivades Hprime(C) = minus eminusC i Hprimeprime (C) = eminusC i tenim

Hprimeprime + Hprime minus 6H = eminusC minus eminusC minus 6 eminusC = eminusC =rArr

=rArr minus6 eminusC = eminusC =rArr minus6 = 1 =rArr =minus16

Per tant H(C) = minus 16 eminusC i la solucioacute general de lrsquoequacioacute diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C minus 16 4minusC 1 2 isin R

Ejemplo 3611 Hprimeprime+ Hprimeminus6H = 3 cos(2C) Substituiumlm H(C) = cos(2C)+ sin(2C)en lrsquoequacioacute diferencial calculem les derivades

Hprime(C) = minus2 sin(2C) + 2 cos(2C) i Hprimeprime (C) = minus4 cos(2C) minus 4 sin(2C)

i tenim

Hprimeprime + Hprime minus 6H == minus4 cos(2C) minus 4 sin(2C) minus 2 sin(2C) + 2 cos(2C) minus 6 ( cos(2C) + sin(2C)) = 3 cos(2C)=rArr (minus10 + 2) cos(2C) + (minus2 minus 10) sin(2C) = 3 cos(2C) =rArr

=rArrminus10 + 2 = 3minus2 minus 10 = 0

=rArr =minus1552 i =

352

Per tant H(C) = minus 1552 cos(2C) + 3

52 sin(2C) i la solucioacute general de lrsquoequacioacute


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C minus 1552 cos(2C) + 3

52 sin(2C) 1 2 isin R

Ejemplo3612 Hprimeprime+Hprimeminus6H =(C2 + 1

)eminusC gtSubstituint H(C) =

(C2 + C +

)eminusC

en lrsquoequacioacute diferencial srsquoobteacute =minus16 = 1

18 i =minus25108 Per tant H(C) =( 1

18 C minus 16 C

2 minus 25108

)eminusC i la solucioacute general de lrsquoequacioacute diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R

Ejemplo 3613 Hprimeprime + Hprime minus 6H = 4 e2C Substituint H(C) = Ce2C en lrsquoequacioacute

diferencial srsquoobteacute = 45 Per tant H(C) =

45 Ce

2C i la solucioacute general de lrsquoequacioacutediferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R


)e2C Substituint H(C) = C

(C2 + C +

)e2C =(

C3 + C2 + C)e2C en lrsquoequacioacute diferencial srsquoobteacute =

115 =

minus125 i =

27125 Per tant H(C) =

( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C i la solucioacute general de lrsquoequacioacute

diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R

Ejemplo 3615 Hprimeprime + Hprime minus 6H = eminus3C cos(2C) Substituint H(C) = eminus3C cos(2C) + eminus3C sin(2C) en lrsquoequacioacute diferencial srsquoobteacute = minus1

29 i = minus558 Per tant H(C) =

minus 129 eminus3C cos(2C) minus 5

58 eminus3C sin(2C) i la solucioacute general de lrsquoequacioacute diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C minus 129 eminus3C cos(2C) minus 5

58 eminus3C sin(2C) 1 2 isin R

37 Sistemes LTI i estabilitatUna equacioacute diferencial lineal amb coeficients constants es pot interpretar comun sistema LTI

Recordem que a la Seccioacuten 26 vam definir quegrave eacutes un sistema LTI (lineali invariant en el temps) i vam treballar amb sistemes LTI en el context defrequumlegravencies (passant del domini temps al domini frequumlegravencia mitjanccedilant latransformada de Fourier) i per tant identificant-los com a filtres de frequumlegravencies

Un sistema LTI actua sobre una funcioacute (senyal) i doacutena com a resultat unaltra funcioacute amb les carateriacutestiques de ser lineal i invariant en el temps


Una EDO lineal amb coeficients constants eacutes un sistema LTI on el termeindependent de lrsquoEDO eacutes la entrada del sistema i la funcioacute incogravegnita eacutes lasortida corresponent

Aixiacute lrsquoequacioacute diferencial

0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)

determina el sistema LTI seguumlent

El que caracteritza al sistema eacutes la informacioacute de lrsquoequacioacute homogegravenia i lasolucioacute de lrsquoEDO H(C) eacutes la resposta del sistema per a una excitacioacute externa 5 (C)

Si no li apliquem excitacioacute externa al sistema ( 5 (C) = 0) el que tenim eacutes unaEDO homogegravenia La solucioacute drsquoaquesta equacioacute Hℎ(C) eacutes la resposta lliure delsistema

371 Estabilitat de les EDOs lineals amb coeficients constantsEns plantejem analitzar el comportament a llarg termini de les solucions icaracteritzar lrsquoestabilitat de les EDOs lineals amb coeficients constants

Per aixograve primer analitzem el comportament drsquouna solucioacute de la EDO peraiumlllat i despregraves combinem el comportament de totes les solucions de la EDO ianalitzem les consequumlegravencies per a la estabilitat de tota la EDO

3711 Estabilitat drsquouna solucioacute

A la figura seguumlent podem veure com es comporten les solucions drsquouna EDOhomogegravenia que recordem tenen la forma H(C) = 4$C = 4(13+i)C per a diferentsvalors drsquo13 i


Figura 371 El comportament drsquouna solucioacute H(C) = 4$C = 4(13+i)C drsquouna EDOhomogegravenia per a diferents valors drsquo13 i on $ = 13 + i eacutes lrsquoarrel corresponentde lrsquoequacioacute caracteriacutestica

Podem veure que quan C rarrinfin

bull si 13 = Re($) lt 0 la solucioacute srsquoaproxima a zero

bull si 13 = Re($) le 0 la solucioacute eacutes estable

bull si 13 = Re($) gt 0 la solucioacute explota

Ara no hem drsquooblidar que a vegades les solucions de lrsquoequacioacute caracteriacutesticatenen multiplicitat Aixograve pot afectar lrsquoestabilitat de les solucions Sense entraren detalls nomeacutes mostrem aquiacute el comportament de les solucions del tipusH(C) = C4$C = C4(13+i)C que sorgeixen quan la multiplicitat de lrsquoarrel $ = 13 + ies dos o encara meacutes gran


Figura 372 El comportament drsquouna solucioacute H(C) = C4$C = C4(13+i)C drsquouna EDOhomogegravenia per a diferents valors drsquo13 i on $ = 13 + i eacutes lrsquoarrel corresponentde lrsquoequacioacute caracteriacutestica que teacute multiplicitat ge 2

Com podem comprobar en aquest cas necessitem que 13 lt 0 estrictamentper a tenir estabilitat de la solucioacute

3712 Estabilitat drsquouna EDO sencera

Ara que entenem lrsquoestabilitat drsquoun solucioacute per aiumlllada podem donar una nocioacutedrsquoestabilitat de totes les solucions de una drsquoEDO senceraDefinicioacuten 373 Considerem que hi ha estabilitat a la EDO si dues solucionsqualsevol H1(C) i H2(C) que comencen prou prograveximes en C = 0 es mantenenprograveximes per a C gt 0H1(C) minus H2(C)

lt amp siH1(0) minus H2(0)

lt i amp petits

Si a meacutes es compleix que

limCrarr+infin

H1(C) minus H2(C) = 0

la lrsquoestabilitat eacutes asimptogravetica En aquest cas les dues solucions tendeixen a serla mateixa per a valors de C prou grans diams

Lrsquoestabilitat de les EDOs lineals amb coeficients constants (dels sistemesLTI determinats per les EDOs) depen de lrsquoequacioacute homogegravenia eacutes a dir de lesarrels de lrsquoequacioacute caracteriacutestica (EC) i es determina de la forma seguumlent

bull Si la part real de totes les arrels de lrsquoEC eacutes lt 0 el sistema eacutes asimptogravetica-ment estable

bull Si la part real drsquoalguna de les arrels de lrsquoEC eacutes gt 0 o beacute eacutes 0 ambmultiplicitat ge 2 el sistema eacutes inestable


bull Si la part real drsquoalgunes de les arrels simples eacutes 0 i la part real de laresta de les arrels eacutes lt 0 el sistema eacutes estable perograve no asimptograveticamentestable

3713 Estabilitat asimptogravetica drsquouna EDO

Definicioacuten 374Considerem que hi ha estabilitat asimptogravetica a la EDO si totesles arrels de lrsquoEC tenen part real lt 0

Aixograve es equivalent a dir que totes les funcions de la base de solucions delrsquoEDO homogegravenia tendeixen a 0 quan C tendeix a infinit tal com veurem acontinuacioacute diams

Les funcions de la base de solucions soacuten de la forma

eC ClteC e13C cos(C) e13C sin(C) Clte13C cos(C) Clte13C sin(C)

Si el sistema eacutes asimptograveticament estable (arrel real de lrsquoEC) eacutes negativa i13plusmn 9 (arrels complexes de lrsquoEC) tenen part real negativa eacutes a dir lt 0 i 13 lt 0Si el coeficient de les exponencials eacutes negatiu totes les exponencials tendeixena 0 i aixograve es manteacute quan multipliquem per una potegravencia io un sinus o cosinus

limCrarr+infin

eC = 0 limCrarr+infin

e13C cos(C) = 0 middot funcioacute acotada = 0

limCrarr+infin

ClteC = infin middot 0 = eC rarr 0 meacutes ragravepidament que Clt rarrinfin = 0

limCrarr+infin

Clte13C cos(C) = 0 middot funcioacute acotada = 0

Per tant una combinacioacute lineal drsquoaquestes funcions que eacutes la solucioacute generalde lrsquoEDO homogegravenia Hℎ(C) tambeacute tendeix a 0 Aixiacute tenim

3714 El cas drsquoordre 2

En el cas particular drsquouna EDO lineal homogegravenia drsquoordre 2 amb coeficientsconstants

02 Hprimeprime(C) + 01 H

prime(C) + 00 H(C) = 0

podem suposar que 02 ne 0 (ategraves que altrament no seriacutea drsquoordre 2) i dividir totalrsquoequacioacute entre 02 Posant uns noms nous = 0102 = 0002 als paragravemetresarribem a la formulacioacute

Hprimeprime(C) + Hprime(C) + H(C) = 0

i podem preguntar com eacutes lrsquoestabilitat drsquoaquesta ecuacioacute en funcioacute dels paragraveme-tres

La resposta la podem veure en el diagrama seguumlent en el qual la paragravebolaeacutes la corba amb equacioacute

Δ =2

4 minus = 0


Figura 375 El comportament dels modos lliures de lrsquoequacioacute Hprimeprime(C) + Hprime(C) + H(C) = 0

3715 Regravegim transitori regravegim permanent

Per a sistemes asimptograveticament estables ens plantjem com es comporta laresposta del sistema per a una excitacioacute 5 (C) Aquesta resposta eacutes la solucioacutegeneral drsquouna EDO no homogegravenia

H(C) = Hℎ(C) + H(C)

on Hℎ(C) eacutes la solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia i H(C) una solucioacuteparticular de lrsquoequacioacute no homogegravenia

A mesura que C es fa gran els valors de Hℎ(C) soacuten cada vegada meacutes petits itenen menys importagravencia en la solucioacute H(C) Aixiacute podem considerar que Hℎ(C)representa el regravegim transitori de la solucioacute i el regravegim permanent per a valorsde C prou grans ve caracteritzat per H(C)

Per tant totes les solucions que srsquoobtenen de la solucioacute general H(C) ambvalors particulars de les constants arbitragraveties de Hℎ(C) arribaragrave un moment pera C prou gran que seran totes quasi iguals al terme H(C) que eacutes comuacute a totesles solucions

Exemples en aquest arxiu Maple teniu lrsquoestudi de lrsquoestabilitat de lesequacions diferencials seguumlents

bull Hprimeprimeprime + 7Hprimeprime + 16Hprime + 10H = 6 sin(3C)

bull Hprimeprimeprime + 2Hprimeprime minus 3Hprime minus 10H = 6 sin(3C)

bull Hprimeprime + 4H = cos(C)


38 Amortiment i ressonagravenciaConsiderem una EDO lineal amb coeficients constants drsquoordre 2 on els coefi-cients soacuten sempre positius

0 Hprimeprime(C) + 1 Hprime(C) + 2 H(C) = 5 (C) 0 1 2 gt 0

Aquest model matemagravetic pot correspondre a diversos fenogravemens fiacutesics Enel cas drsquoun sistema mecagravenic la constant 0 eacutes la massa 1 eacutes lrsquoamortiment 2 eacutes laconstant de la molla i 5 (C) la forccedila externa

En el cas drsquoun circuit RCL tenim

bull 0 = la inductagravencia

bull 1 = la resistegravencia

bull 2 = 1 on eacutes la capacitagravencia

bull 5 (C) = (C) el voltatge

bull H(C) = (C) la cagraverrega elegravectrica

i lrsquoEDO corresponent eacutes

primeprime(C) + prime(C) + 1(C) = (C)

Aquestes EDOs amb coeficients positius soacuten asimptograveticament estables Hoveurem alhora que estudiem com soacuten les solucions de lrsquoequacioacute homogegravenia

381 Tipus de solucions de lrsquoEDO homogegraveniaResolem lrsquoEDO homogegravenia

0 Hprimeprime(C) + 1 Hprime(C) + 2 H(C) = 0 0 1 2 gt 0

trobant les arrels de lrsquoequacioacute caracteriacutestica (EC)

02 + 1 + 2 = 0 =rArr =minus1 plusmn

radic12 minus 40220

Els tipus de solucions tenen a veure amb com soacuten les arrels de lrsquoEC

bull 12 minus 402 lt 0 Les arrels soacuten complexes amb part real negativa

=minus1 plusmn

radic12 minus 40220 =

minus1 plusmnradicminus(402 minus 12)20 =

minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20

La solucioacute eacutes

Hℎ(C) = 1 e13C cos(C) + 2 e13C sin(C) 1 2 isin R


i lrsquoanomenem sub-esmorteiumlda (el coeficient drsquoamortiment 1 eacutes petit encomparacioacute amb els valors de 0 i 2) La gragravefica de les solucions teacute aquestaforma

Figura 381 Una oscilmiddotlacioacute sub-esmorteiumlda

bull 12 minus 402 gt 0 Les arrels soacuten reals i negatives

1 =minus1 +

radic12 minus 40220 lt 0 2 =

minus1 minusradic12 minus 40220 lt 0

Veiem que 1 lt 0 el denominador eacutes positiu i en el numeradortenim

12 minus 401 lt 12 =rArrradic12 minus 402 lt 1

i pert tant el numerador eacutes negatiu Per a 2 es ve clarament que 2 lt 0


Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R

i lrsquoanomenem sobre-esmorteiumlda (el coeficient drsquoamortiment 1 eacutes gran encomparacioacute amb els valors de 0 i 2) La gragravefica de les solucions pot teniralguna drsquoaquestes formes


Figura 382 Tres oscilmiddotlacions sobre-esmorteiumldes

bull 12 minus 402 = 0 Tenim una arrel real doble negativa = minus120 lt 0

La solucioacute eacutesHℎ(C) = 1 eC + 2 CeC 1 2 isin R

i lrsquoanomenem criacuteticament esmorteiumlda (estagrave entre els dos casos anteriors)La gragravefica de les solucions pot tenir alguna drsquoaquestes formes

Figura 383 Dues oscilmiddotlacions criacuteticament esmorteiumldes


382 Solucioacute de lrsquoEDO homogegravenia sense amortimentSi considerem que el sistema no teacute amortiment llavors el coeficient 1 delrsquoequacioacute diferencial val 0 (en el cas del circuit la resistegravencia = 0) i lrsquoEDO aresoldre eacutes

0 Hprimeprime(C) + 2 H(C) = 0

Lrsquoequacioacute caracteriacutestica eacutes 02 + 2 = 0 i les sevas arrels

02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20

=rArr = plusmnradic2

09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0

soacuten complexes amb part real 0 (sistema estable perograve no asimptograveticament estable)i la solucioacute eacutes

Hℎ(C) = 1 cos($0C) + 2 sin($0C) 1 2 isin R

i representa un oscilmiddotlador harmogravenic La gragravefica de les solucions teacute aquestaforma

Figura 384 Lrsquooscilmiddotlacioacute drsquoun oscilmiddotlador harmogravenic

383 RessonagravenciaApliquem una excitacioacute externa 5 (C) (en el cas del circuit un voltatge (C)) queprodueixi ressonagravencia en el sistema

Si el sistema no teacute amortiment estem en el cas

0 Hprimeprime(C) + 2 H(C) = 5 (C)

amb arrels de lrsquoEC plusmn$0 9 i solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia

Hℎ(C) = 1 cos ($0C) + 2 sin ($0C) 1 2 isin R


on tenim una suma de sinus i cosinus de frequumlegravencia angular $0Tindrem ressonagravencia si lrsquoexcitacioacute externa eacutes un sinus o un cosinus de la

mateixa frequumlegravencia que els de Hℎ Aixiacute per 5 (C) = cos ($0C) la resposta delsistema eacutes

H(C) = Hℎ(C) + H(C)on la forma de la solucioacute particular eacutes

H(C) = C ( cos ($0C) + sin ($0C)) a determinar

i conteacute lrsquoefecte de la ressonagravencia amb un terme C que que fa que lrsquoamplitud deles oscilacions dels sinus i cosinus de H(C) creixi indefinidament efecte que esmantegrave en la resposta H(C) quan sumem Hℎ(C) Aixograve significa que la ressonagravenciasense amortiment eacutes pura (catastrogravefica)

bull Ressonagravencia puraSi el sistema teacute amortiment (1 gt 0) es pot compensar lrsquoefecte de laressonagravencia Vegem-ho en el cas de les solucions sub-esmorteiumldes ontenim

0 Hprimeprime(C) + 1 Hprime(C) + 2 H(C) = 5 (C)amb arrels de lrsquoEC 13plusmn 9 13 lt 0 i solucioacute general de lrsquoequacioacute homogegravenia


Tindremressonagravencia si lrsquoexcitacioacute externa conteacute el productede lrsquoexponencialde Hℎ per un sinus o cosinus de la mateixa frequumlegravencia que els de Hℎ Aixiacute per 5 (C) = e13C cos(C) la resposta del sistema eacutes

H(C) = Hℎ(C) + H(C)

on la forma de la solucioacute particular eacutes

H(C) = C( e13C cos(C) + e13C sin(C)

) a determinar


Tenim lrsquoefecte de la ressonagravencia amb el terme C perograve queda compensatpel producte per lrsquoexponencial decreixent e13C 13 lt 0 per a valors petitsde C lrsquoamplitud de les oscilacions dels sinus i cosinus poden creacuteixer perogravea partir drsquoun cert moment decreixeran

bull Ressonagravencia amb amortimentExemples mireu lrsquoarxiu Maple resonancia_pura o con amortiguamiento

Capiacutetulo 4

La Transformada de Laplace

41 Quegrave eacutesLa transformada de Laplace (TL) eacutes un tipus drsquooperador integral similar (ambmoltes propietats en comuacute) a la transformada de Fourier que ja coneixeu de laprimera part del curs quan estudiagravevem lrsquoanagravelisi de Fourier de senyals

En aquest tema estudiarem la transformada de Laplace i lrsquoaplicaremfonamentalment per resoldre equacions diferencials lineals amb coeficientsconstants de la manera seguumlent

Definicioacuten 411 La transformada de Laplace drsquoun senyal G(C) eacutes un senyal-(B) definit per

-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C B isin C

diams

Observacioacuten 4121 Considerem els senyals G(C) nomeacutes per C ge 0 o dit drsquouna altra manera

que els senyals G(C) valen 0 per C lt 0

90

CAPIacuteTULO 4 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 91

2 La variable B de la transformada de Laplace pot ser complexa o real

3 La transformada de Laplace existeix normalment per a uns determinatsvalors de la variable B Aquest conjunt de valors per als quals existeix laTL drsquoun senyal srsquoanomena regioacute de convergegravencia (ROC en les seves siglesen anglegraves)

4 La transformada de Laplace eacutes un operador integral reversible eacutes a direxisteix lrsquooperador TL inversa de manera que a partir la TL drsquoun senyales pot obtenir el senyal inicial Utilitzarem la notacioacute

(B) = L (G(C)) i G(C) = Lminus1 (-(B))Abans de fer un exemple hem drsquointroduir una notacioacute que ens seragrave molt

uacutetilDefinicioacuten 413 La funcioacute de salt unitari de Heaviside eacutes

D(C) =

1 si C ge 00 si C lt 0

diamsAra ja podem treballar el nostre primer exemple la transformada de Laplace

drsquoun senyal constantMeacutes precisament calculem la transformada de Laplace del senyal

G(C) = 1 C ge 0 larrrarr G(C) = D(C)

de la manera seguumlent

-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B

Calculant el liacutemit

lim0rarr+infin

eminusB0 si B eacutes real=

0 si B gt 0+infin si B lt 0

tenim que la transformada existeix per B gt 0 i no existeix per B lt 0Si B = 0 tampoc no existeix la transformada perquegrave la integral divergeix

-(0) =int +infin

0eminus0middotC3C = lim

0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim

0rarr+infin0 = +infin

Per tant la transformada de Laplace eacutes

-(B) = 1B B gt 0


on B gt 0 eacutes la regioacute de convergegravencia (ROC) que representa la semirecta real(0+infin)

Si la variable de la transformada eacutes complexa B = + $ 9 el liacutemit delrsquoexponencial eacutes

lim0rarr+infin

eminus(+$ 9)0 = lim0rarr+infin

eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin

eminus0 middot (funcioacute acotada)

=

0 si gt 0 lArrrArr si Re(B) gt 0no existeix si lt 0 lArrrArr si Re(B) lt 0

Amb tot aixograve podem concloure que la transformada de Laplace eacutes

-(B) = 1B Re(B) gt 0

on ara la ROC Re(B) gt 0 representa el semipla complex a la dreta de lrsquoeiximaginari

A la taula de transformades de Laplace que teniu a la documentacioacute deltema les ROC estan expressades considerant B complex Si B eacutes real elimineuRe de les ROC corresponents

Per a resoldre els problemes no calcularem transformades aplicant ladefinicioacute utilitzarem la taula de transformades i aplicarem les propietats de latransformada de Laplace

42 Propietats de la transformada de LaplaceA continuacioacute enunciarem les propietats de la transformada de Laplace Lesque meacutes utilitzarem soacuten

bull la linealitat (Subseccioacuten 421)

bull el desplaccedilament temporal (Subseccioacuten 422) i

bull la transformada de les derivades successives (Subseccioacuten 425)

Aquesta uacuteltima es necessita per a resoldre equacions diferencials (mireu elsproblemes de la llista 6 7 8 i 13) A meacutes la propietat de la transformada deuna integral serveix per resoldre equacions on apareix la integral de la funcioacuteincogravegnita (mireu el problema 12 de la llista)

En els exemples suposarem conegudes les transformades dels senyals D(C)calculada abans i eCD(C)

L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=

1B minus 1 Re(B) gt 1

421 Linealitat o superposicioacute finita


Teorema 421 Propietat de la linealitat Si G1(C) G2(C) middot middot middot G=(C) soacuten senyals i01 02 middot middot middot 0= constants doncs

L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))

Observacioacuten 422 Compara amb la mateixa propietat per a la transformadade Fourier (Teorema 221)

Per exemple siG(C) = 3D(C) + 2eCD(C)

obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1

B minus 1 Re(B) gt 1

422 Desplaccedilament temporalEl desplaccedilament temporal seragrave sempre retard perquegrave els senyals valen 0 perC lt 0Teorema 423 Propietat del desplaccedilament temporal Si tenim

bull Un senyal G(C)

bull amb transformada de Laplace -(B) = L (G(C))

bull per a tot Re(B) gt 13

i consideremH(C) = G(C minus 0) on 0 gt 0

obtenim(B) = L (G(C minus 0)) = eminus0B-(B) Re(B) gt 13


Per exemple donatG(C) = eCD(C)

calculem la TL de G(C minus 2)

L (G(C minus 2)) = eminus2B-(B) = eminus2B 1B minus 1 Re(B) gt 1

423 Desplaccedilament en la variable de la transformadaTeorema 425 Propietat del desplaccedilament en la variable de la transformadaSi tenim

bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)

)= -(B minus 0) per a tot Re(B) gt 13 + 0



calculem la TL de e4CG(C) = e4CeCD(C) = e5CD(C)

L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1

B minus 4 minus 1 =1

B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5

424 Canvi drsquoescalaTeorema 427 Propietat del canvi drsquoescala Si tenim

bull Un senyal G(C)



i consideremG(0C) on 0 gt 0

doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0

) per a tot Re(B) gt 013



calculem la TL de G(3C) = e3CD(3C) = e3CD(C)

L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=


425 Transformada de les derivades successives drsquoun senyalTeorema 429 Propietat de les derivades successives Considerem

bull G(C) Gprime(C) middot middot middot G(=minus1)(C) senyals continus per a C ge 0

bull amb transformada de Laplace en la regioacute Re(B) gt 13

bull i G(=)(C) seccionalment continu en tot interval [0 1]

Llavors

bull existeix la transformada de Laplace de la derivada drsquoordre = del senyal G(C) perRe(B) gt 13

bull i ve donada per

L(G(=)(C)

)= B=-(B) minus B=minus1G(0) minus B=minus2Gprime(0) minus middot middot middot middot middot middot minus B G(=minus2)(0) minus G(=minus1)(0)


Observacioacuten 4210 Veiem que la transformada de Laplace de G(=)(C) srsquoobteacuteamb la transformada de Laplace de G(C) -(B) i les condicions inicials de G(C) iles seves derivades fins lrsquoordre = minus 1 en C = 0

bull En el cas = = 1L (Gprime(C)) = B-(B) minus G(0)

bull En el cas = = 2

L (Gprimeprime(C)) = B2-(B) minus B G(0) minus Gprime(0)Ejemplo 4211 Un circuit RL En un circuit RL la intensitat del corrent vedonada per lrsquoEDO lineal amb coeficients constants

8prime(C) + 8(C) = (C)

on (C) eacutes el potencial aplicat a lrsquocircuit eacutes la inductagravencia i eacutes la resistegravenciaAmb les dades = 1H = 5Ω (C) = 1V i sabent que 8(0) = 1A hem de

calcular lrsquoexpressioacute de 8(C) El que tenim eacutes el problema de valor inicial (PVI)seguumlent

8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1

que eacutes molt senzill de resoldre amb les eines del tema drsquoEDOs perograve queutilitzarem per veure com es resolen PVI aplicant la transformada de LaplaceLrsquoesquema que seguirem eacutes

1 Fem la transformada de Laplace a lrsquoEDO

L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)

apliquem la propietat de la linealitat i substituiumlm L (1) = 1B

L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B

Apliquem ara la propietat de obtencioacute de la TL de la derivada drsquoun senyal(Teorema 429) on utilitzarem la condicioacute inicial del PVI

L (8prime(C)) = B (B) minus 8(0) = B (B) minus 1


i tenimB (B) minus 1 + 5 (B) = 1

B

que eacutes una equacioacute algebraica drsquoincogravegnita (B)

2 Resolem aquesta equacioacute

B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B

3 A partir drsquoaquiacute hem de trobar la transformada inversa de (B) que eacutes lanostra incogravegnita de partida 8(C) Meacutes endavant veurem el procedimentgeneral perograve podem resoldre fagravecilment aquest cas(B) eacutes un quocient de polinomis on es pot fer la descomposicioacute enfraccions simples seguumlent

(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar

Sumant les fraccions simples obtenim

B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B

amb la qual cosa hem de tenir la igualtat

B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B

Comparant numeradors surt que srsquoha de cumplir

B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5

Comparant els coeficients drsquoB i el terme constant concluim que

+ = 15 = 1

lo qual ens porta a = 45 =

15 i per tant a la solucioacute

(B) = 45

1B + 5 +

15

1B

A partir drsquoaquesta expressioacute de la transformada (B) podem obtenir 8(C)aplicant la propietat de la linealitat

8(C) = Lminus1 ((B))

= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)


Ara utilitzem les taules de TL drsquoon obtenim

Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)

i aixiacute tenim la resposta final

8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)

426 Derivacioacute en una transformadaTeorema 4212 Propietat de la derivacioacute en la transformada Si tenim

bull un senyal G(C)

bull am transformada de Laplace -(B) = L (G(C)) per a tot Re(B) gt 13

bull i existeix la =-egravesima derivada -(=)(B)

doncsL (C=G(C)) = (minus1)=-(=)(B) Re(B) gt 13

Per exemple donat G(C) = eCD(C) calculem la TL de

C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)

)= (minus1)2-primeprime(B) = -primeprime(B)

i sabem que

-(B) = 1B minus 1 Re(B) gt 1

Calculem -primeprime(B)

-(B) = 1B minus 1 =rArr -prime(B) = minus1

(B minus 1)2 =rArr -primeprime(B) = 2(B minus 1)3

Per tantL

(C2G(C)

)= -primeprime(B) = 2

(B minus 1)3 Re(B) gt 1

427 Transformada drsquouna integralTeorema 4213 La propietat de la transformada drsquouna integral Si tenim

bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13


Per exemple donat G(C) = eCD(C) calculem la TL de H(C) =int C

0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1

(B minus 1)B Re(B) gt 1

43 ConvolucioacuteLa definicioacute de convolucioacute de dos senyals ja la vam veure al tema de transfor-mada de Fourier (Definicioacuten 231 Observacioacuten 232) aixiacute com el teorema deconvolucioacute (Teorema 237) que eacutes el mateix per a transformades de Laplace

Adaptem aquest llenguatje al fet que els senyals que tractem amb la trans-formada de Laplace nomeacutes soacuten no nuls per a C ge 0

Per dues senyals G1(C) i G2(C) tals queG1(C) = G2(C) = 0 per a tot C lt 0

la convolucioacute de G1(C) i G2(C) eacutes el senyal H(C) que ve donat per

H(C) = G1(C) lowast G2(C) =int C

0G1()G2(C minus ) 3

Com que els dos senyals srsquoanulmiddotlen per C lt 0 els liacutemits de la integral surten 0 iC (en lloc de minusinfin i +infin) Recordeu que la convolucioacute eacutes conmutativa eacutes a dir

G1(C) lowast G2(C) = G2(C) lowast G1(C)Teorema 431 Teorema deConvolucioacute per a senyals en temps positiu Donatssenyals G1(C) i G2(C) amb transformades de Laplace

-1(B) per a Re(B) gt 13

-2(B) per a Re(B) gt

es verifica que

L (G1(C) lowast G2(C)) = -1(B)-2(B) per a Re(B) gt max13 Com a exemple calculem la transformada de Laplace del senyal

H(C) =int C

0sin(C minus ) 43

Observem que la integral eacutes la convolucioacute dels senyals sin(C) i C4 per C ge 0

H(C) =int C

0sin(C minus ) 43 = sin(C) lowast C4

Aplicant el teorema de convolucioacute

(B) = L(sin(C) lowast C4

)= L (sin(C))L

(C4

)srsquoobteacute el producte de les transformades de dos senyals que tenim a la taula deTL

L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1

B2 + 1Aixiacute doncs

(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)


44 Cagravelcul de la transformada de Laplace inversaLes transformades de Laplace acostumen a ser quocients de polinomis Expli-carem com resoldre sistemagraveticament aquests casos aplicant la descomposicioacuteen fraccions simples

441 Descomposicioacute en fraccions simples

bull Partim de -(B) =(B)(B) on (B) i (B) soacuten polinomis tals que el grau de

(B) siguiacute com a molt el grau de (B)

bull Busquem les arrels (els zeros) del polinomi del denominador (B)

bull Suposem que el coeficient de la potegravencia de grau meacutes gran de (B) val 1

(B) = B= + 0=minus1B=minus1 + middot middot middot + 02B

2 + 01B + 00

Per exemple si (B) = B2 minus 2B + 1 podem factoritzar i obtenir (B) =(B + 1)(B2 + 1)

Segons com siguin les arrels de (B) (reals o complexes simples o muacuteltiples)farem la descomposicioacute de la nostra fraccioacute en una suma de fraccioacuten simples

bull Si B = 0 eacutes una arrel real simple de (B) la fraccioacute simple corresponenteacutes

B minus 0 coeficient a determinar

bull Si B = 0 eacutes una arrel real de (B) amb multiplicitat ge 2 tenim la sumade fraccions simples

1B minus 0+

2(B minus 0)2+middot middot middot+

(B minus 0) 1 2 middot middot middot coeficients a determinar

bull Si B = 13 plusmn 9 soacuten dues arrels complexes simples la fraccioacute simplecorresponent eacutes

B + (B minus 13)2 + 2 coeficients a determinar

El denominador (B minus 13)2 + 2 eacutes el resultat multiplicar els factors quecorresponen a les arrels

(B minus (13 + 9))(B minus (13 minus 9)) = ((B minus 13) minus 9)((B minus 13) + 9)= (B minus 13)2 minus 2 92

= (B minus 13)2 + 2

bull El cas drsquoarrels complexes muacuteltiples no ho expliquem perquegrave no apareixen els problemes

A partir de la descomposicioacute en fraccions simples podem calcular latransformada inversa de -(B) aplicant la propietat de la linealitat i la taula deTL


Ejemplo 441 TL inversa drsquouna funcioacute racional Calculem la transformada

inversa de -(B) = B + 1B3 minus B2

Les arrels del polinomi del denominador soacuten

B3 minus B2 = 0 =rArr B2(B minus 1) = 0 =rArrB2 = 0 =rArr B = 0 dobleB minus 1 = 0 =rArr B = 1

El denominador de -(B) factoritza a

-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)

Fem ara la descomposicioacute en fraccions simples

-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1

=B(B minus 1) + (B minus 1) + B2

B2(B minus 1)

Igualem els numeradors de la segona i uacuteltima fraccioacute que tenen el mateixdenominador

B + 1 = B(B minus 1) + (B minus 1) + B2

= ( + )B2 + ( minus )B minus

Per tant

+ = 0 minus = 1minus = 1

i concluim que = minus2 = minus1 = 2 Aixiacute doncs ens queda com a respostafinal

-(B) = minus2Bminus 1B2 +

2B minus 1

Ara calculem la transformada inversa de -(B) aplicant primer la propietatde la linealitat

G(C) = Lminus1(minus2Bminus 1B2 +

2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1

)i despreacutes la taula de TL

Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)

Per tantG(C) = minus2 D(C) minus C D(C) + 2 eCD(C)

Ejemplo 442 TL inversa drsquouna funcioacute amb una exponencial Calculem latransformada inversa de

(B) = B + 1B3 minus B2 eminus3B


Quan tenim un quocient de polinomis per una exponencial del tipus eminusC0B elque hem de fer eacutes calcular la transformada inversa del quocient de polinomis idespreacutes aplicar la propietat del desplaccedilament temporal

La transformada inversa del quocient de polinomis de (B) lrsquohem calculat alrsquoexemple anterior

-(B) = B + 1B3 minus B2 =rArr G(C) = minus2 D(C) minus C D(C) + 2 eCD(C)

Aixiacute tenim(B) = B + 1

B3 minus B2 eminus3B = -(B) eminus3B

i aplicant la propietat del desplaccedilament temporal

H(C) = Lminus1 ((B)) = Lminus1 (-(B) eminus3B ) = G(C minus 3)

tenim que H(C) eacutes el resultat drsquoaplicar un retard a G(C) de 3 unitats Lrsquoexpressioacutedel senyal H(C) eacutes

H(C) = minus2 D(C minus 3) minus (C minus 3) D(C minus 3) + 2 eCminus3D(C minus 3)

Com podem veure en lrsquoexpressioacute del senyal H(C) aquest retard fa que H(C)valgui 0 para valores de C lt 3

45 Funcioacute de transferegravencia drsquoun sistema LTI

Definicioacuten 451 En un sistema LTI on tenim una funcioacute drsquoentrada al sistema ila funcioacute de sortida corresponent a aquesta entrada la funcioacute de transferegravenciadel sistema eacutes el quocient entre la transformada de la sortida i la transformadade lrsquoentrada

Funcioacute de transferegravencia del sistema =Transformada (sortida)Transformada (entrada)

Recordeu que ja vam veure aquest concepte en el context de la transformadade Fourier (Definicioacuten 269) diams

Observacioacuten 452 Si treballem amb la transformada de Laplace la entrada delsistema eacutes 5 (C) i la sortida eacutes H(C) llavors la funcioacute de transferegravencia del sistema(B) eacutes

(B) = (B)(B)

Estudiarem quin significat teacute per a sistemes LTI definits per EDOs linealsamb coeficients constants

Per a facilitar els cagravelculs ho farem amb sistemes drsquoordre 2 Consideremlrsquoequacioacute diferencial

0 Hprimeprime(C) + 1 Hprime(C) + 2 H(C) = 5 (C)

amb condicions inicials nulmiddotles

H(0) = 0 Hprime(0) = 0


Volem calcular la funcioacute de transferegravencia del sistema que determina aquestaEDO Apliquem la TL a lrsquoEDO

L(0 Hprimeprime(C) + 1 Hprime(C) + 2 H(C)

)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)

Aplicant la propietat de la transformada de les derivades tenim

L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)

)= B2(B) minus B H(0) minus Hprime(0) = B2(B)

Substituiumlm aquestes transformades i aiumlllem (B)

0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)

Drsquoaquiacute deduiumlm que la funcioacute de transferegravencia quan el sistema es troba enrepograves eacutes

(B) = 10 B2 + 1 B + 2

perquegrave drsquoaquesta manera tenim

(B) = (B) (B) lArrrArr (B) = (B)(B)

Observacioacuten 453 Elszeros (arrels) del polinomi del denominador de la funcioacute de trans-feregravencia (B)

soacuten

les arrels de lrsquoequacioacute caracteriacutestica de lrsquoEDO

Aixograve vol dir que lrsquoestudi dels zeros del polinomi del denominador de (B)determina lrsquoestabilitat del sistema Els ceros del denominador de (B) tambeacutesrsquoanomenen pols de (B)

46 Resultats asimptogravetics Teoremes del valor iniciali del valor final

Aquests dos resultats permeten obtenir el valor inicial (quan C rarr 0+) i el final(quan C rarr +infin) del senyal temporal amb la informacioacute de la seva transformadade Laplace sense tenir que calcular la transformada inversa

Teorema 461 Teorema del valor inicial (TVI) Si tenimbull el senyal G(C)

bull la seva transformada de Laplace -(B)

bull i hi existeix (eacutes un nuacutemero) limBrarrinfin

B -(B)


llavorslimCrarr0+

G(C) = limBrarrinfin

B -(B)

Per exemple coneguda la transformada de Laplace

-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5

obtenim el valor inicial del senyal temporal

G(0+) = limCrarr0+


B -(B) = limBrarrinfin

2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2

Teorema 462 Teorema del valor final (TVF) Si tenimbull el senyal G(C)


bull i es cumpleix que els zeros del denominador de B -(B) (els pols de B -(B)) tenenpart real negativa (estan en el semipla complex Re(B) lt 0)

llavorslimCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5

volem obtenir el valor final del senyal temporal Comprovem primer quepodem aplicar el TVF Per aixograve hem de mirar els pols del denominador de

B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5

Aquest denominador eacutes B2 + 2B + 5 i srsquoanula per a

B = minus1 plusmn 29

La part real drsquoaquests pols es negativa

Re(minus1 plusmn 29) = minus1 lt 0

i per tant siacute podem aplicar el teoremaEl valor final del senyal temporal eacutes per tant

limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier

De la realidad al modelo

Recursos online La intuicioacuten detraacutes de la serie de Fourier

Procesos perioacutedicos

Analisis y Siacutentesis de Fourier

Convergencia de una Serie de Fourier Teorema de Dirichlet El fenoacutemeno de Gibbs

Espectro

Energiacutea y relacioacuten de Parseval


Anaacutelisis y Siacutentesis

Transformaciones de sentildeales

Convolucioacuten

La distribucioacuten delta de Dirac


Filtros y sistemas LTI


Introduccioacute

EDOs en variables separables

EDOs autogravenoms de grau 1

EDOs lineals drsquoordre 1

EDOs lineals amb coeficients constants

Uns exemples

Sistemes LTI i estabilitat

Amortiment i ressonagravencia


Quegrave eacutes

Propietats de la transformada de Laplace

Convolucioacute

Cagravelcul de la transformada de Laplace inversa

Funcioacute de transferegravencia drsquoun sistema LTI

Resultats asimptogravetics Teoremes del valor inicial i del valor final


ESEIAAT UPC

Victor MantildeosaUniversitat Politegravecnica de Catalunya

Teresa Navarro GonzaloUniversitat Politegravecnica de Catalunya

Julian PfeifleUniversitat Politegravecnica de Catalunya

October 20 2021

Apuntes en pdf


iv

Iacutendice

Apuntes en pdf iv










v

IacuteNDICE vi


Capiacutetulo 1

Series de Fourier








1
















de Fourier





























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute




Apuntes en pdf


iv

Iacutendice

Apuntes en pdf iv










v

IacuteNDICE vi


Capiacutetulo 1

Series de Fourier








1
















de Fourier





























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute




Iacutendice

Apuntes en pdf iv










v

IacuteNDICE vi


Capiacutetulo 1

Series de Fourier








1
















de Fourier





























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute




IacuteNDICE vi


Capiacutetulo 1

Series de Fourier








1
















de Fourier





























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute




Capiacutetulo 1

Series de Fourier








1
















de Fourier





























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute



















de Fourier





























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute



























diams





1B4 6 = I




diams










diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute












diams





















2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute
























2


2










como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute












como $= donde$= =

2=)

= =$






diams



cos(2=)

C

)= cos($=C) para = = 0 1 2


sin(2=)

C

)= sin($=C) para = = 1 2


$= = =$ =2=)




cos($= middot

)

=

)= cos

(2=)

)

=

)= cos(2) = 1



son

0= =2)

int )

05 (C) cos

(2=)

C

)dC para = = 0 1 2 (141)

1= =2)

int )

05 (C) sin

(2=)

C

)dC para = = 1 2 3 (142)


5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

) (143)

diams



3sum==1

0= cos(2=)

C

)= 01 cos

(2C)

)+ 02 cos

(4C)

)+ 03 cos

(6C)

)


5 (C) = 00 +infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=

infinsum==0


1= sin($=C)


00 =1)

int )

05 (C)dC (144)






5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos ($=C)︸︷︷︸5par(C)

+infinsum==1


(145)

En particular





5 (C) = C

para minus lt C lt





0= =12

int


1= =12

int





0= = 0 1= = minus2(minus1)==


4 i2=) C = cos

(2=)

C

)+ i sin

(2=)

C


2= =1)

int )

05 (C)4minusi 2=

) C dC para = = 0 1 2


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i 2=) C (148)






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)


5 (C) =infinsum

==minusinfin2=4

i$= C





0= = = cos= 1= = = sin=


= =

radic02= + 12

=

= = arctan2(1= 0=)



con = cos= = 0= = sin= = 1= y = $=C

5 (C) = 002 +

infinsum==1

(0= cos

(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C

))=002 +

infinsum==1


)=002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =) (1412)



4 i = cos + i sin (1413)






cos =12

(4 i + 4minusi

) (1415)


sin =12i

(4 i minus 4minusi

)= minus i2

(4 i minus 4minusi

)






(exp(minusi=)

)


$minus= =2(minus=))

= minus2=)

= minus$=



5 (C) = 002 +

infinsum==1

= cos($=C minus =)

=002 +

infinsum==1

=

2


(exp(minusi=)

)]

=002︸︷︷︸

= 20

+infinsum==1

(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2=

4 i$= C +(=

2 4minusi=)

︸︷︷︸= 2minus=

4 i$minus= C

= 20 +

infinsum==1

2=4i$= C +

infinsum==1

2minus=4i$minus= C

= 20 +infinsum==1

2=4i$= C +


2=4i$= C

=


2=4i$= C

1431 Ejercicios





0= cos(2=)

C

)+ 1= sin

(2=)

C






5 (C) = 002 +

infinsum==1


1= sin ($=C)

=


2=4i$= C

es

( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos($=C) +sum==1

1= sin($=C)

=

sum==minus

2=4i$= C






(( 5 )(C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)



( ( 5 )(C) =002 +

sum==1

0= cos(2=)

C

)+

sum==1

1= sin(2=)

C

)






















int G0+)G0




diams


(( 5 )(G0) =002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

G0

)+infinsum==1

1= sin(2=)

G0

)


=5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2





5 (Gminus0 ) = 5 (G+0 ) = 5 (G0)

y por tanto

(( 5 )(G0) =5 (Gminus0 ) + 5 (G+0 )

2 = 5 (G0)













entonces


00895 middot 0








5 (C) = 002 +

infinsum==1

0= cos(2=)

C

)+infinsum==1

1= sin(2=)

C

)=


2=4i 2=) C




2 |00 |



=


0 12 |00 |

) ⋃ (=$0

radic02= + 12

=

) = ge 1

diams


G(C) = 12 minus

13 sin C + 1

4 cos 2C (161)






021 + 12

1 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



14 ) = (2 25)








diams





bull |20 | = 12 |00 |

bull |2minus= | = |2= | = 12 |0= + i1= | = 1

2

radic02= + 12

=




G1(C) = 12 minus 1

3 sin C + 14 cos 2C

G2(C) = 12 minus 1

3 cos C + 14 cos 2C

G3(C) = 12 minus 1

5 cos C + 415 sin C + 1

4 cos 2C


002 = 12 02 = 1

4





radic02

1 + 121 =

radic02 +

(minus1

3

)2

=13



021 + 12

1 =

radic(minus1

3

)2

+ 02 =13




radic02

1 + 121 =

radic(minus1

5

)2

+(

415

)2

=

radic125 +

16225 =

radic9 + 16225 =

515 =

13



)

|G(C)|2 dC


|G(C)|2 dC = )


|2= |2

En este teoremaint)




(G(C))

)=

int)

|G(C)|2 dC



2 dC


2 La integral

(G(C))

)=

1)

int)


(G(C))

)


3 El nuacutemero

spec(G(C))

)= )


|2= |2

= )

((002

)2+infinsum==1

2 middot 02= + 12

=

4

)= ) middot

020


02= + 12

=

2



2) la frecuencia


diams


( 5 ($) = 00 +sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)

=002 +

sum=ge1

0= cos(=$0C) + 1= sin(=$0C)




002 = 8 rArr 00 = 16




= 82 + 12



+(radic

42 + 22)2︸︷︷︸




= 002 + 1

2


)=

(002

)2+ 1

2


)




((C) =sum

==minus2= 4

i$= C


((C) asymp G(C)


(C) = spec(((C))

)= )

sum==minus|2= |2





((C) es

(G(C)

)=)


)|G(C)|2 dC

=(C)

(G(C))

)diams

Capiacutetulo 2



(G(C)

)= ℱ (G)($)


ℱ(5 (C)

)($) = 5 ($) =



ℱ minus1 ( 5 ($))(C) = 5 (C) = 12

intX5 ($)4 i$C d$ (212)

diams



X5 (C)dC =

int infin

minusinfin5 (C)dC






G($)


24








intX5 (C)dC


G(C) =




=

int 1


=1minusi$ 4

minusi$C1minus1

=i$4minusi$C

1minus1

[porque 1i= minusi]


1minus1

=i$

cos$C + 1$

sin$C

1minus1

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos(minus$) + 1$

sin(minus$))

=

(i$

cos$ + 1$

sin$

)minus

(i$

cos($) minus 1$

sin($))

=2 sin$$





1minusi$ 4

minusi$C



=

int 1

minus11 dC

= 2


G(C) =


es

G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0


ℱ(


)=

2 sin$

$ si $ ne 02 si $ = 0




$ ↦rarr 5 ($)










ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1


ℱ(G(C minus C0)



ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0





ℱ(0G(C)

)= 0ℱ

(G(C)



ℱ(G1(C) + G2(C)

)= ℱ

(G1(C)

)+ ℱ

(G2(C)

)




Entonces

ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)= 0ℱ (G1)($) + 1ℱ (G2)($) (225)



ℱ(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 G($)


ℱ(0G1(C) + 1G2(C)

)($) =


= 0



= 0 ℱ(G1(C)

)+ 1 ℱ

(G2(C)

)



o como







2211 Ejercicios


























)= G($)4minusiC0$


ℱ(G(C minus C0)

)($) =

int C=infin


=


]=

int D=infinminusC0




= 4minusi$C0 G($)




1

= |G($)|

Ejercicios





4 iSolucioacuten



cos2() + sin2() = 1


G(C) =




G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

Obtenemos

ℱ(G(C minus 2)

)=


2 si $ = 0






|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )






0

05

1

15




H($) = G($ minus $0)









G(C) =




)G(C) =



H($) = G($ minus 2) =


2 si $ = 2


















H(C) = G(0C)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


) = 1|0 |

G ($0


espectro es

|G($)| = 12

( + 44$ minus 242$ )










(G H)(C) =(G(C) H(C)

)(C) =


diams




(G H)(C) = (H G)(C)


















G(C) =



H(C) =




=

int infin

minusinfin



)d



tenemos

(G H)(C) =int infin

minusinfin



)d



C lt 0 y C gt 2




Por tanto

(G H)(C) =int C


=

(1 minus C) + 1

22=C=0 si C isin [0 1]

(1 minus C) + 12


=

(1 minus C)C + 1





=

C minus 1


32 minus C + 1



2



ℱ(G(C) H(C)

)($) = G($) middot H($)










(G H I) = 0 si (G H I) ne (G0 H0 I0)



minusinfin

int infin

minusinfin

int infin









diams



(G) = 0(G)



















=

intX5 ()


)d

= 5 (C minus C0)











X|G(C)|2 dC


2

intX|G($)|2 d$ (251)



(G(C)

)=

intX|G(C)|2 dC


2 La integral

(G($)

)=

12

intX|G($)|2 d$ (252)







G(C) =


G($) =

2 sin$$ si $ ne 0

2 si $ = 0

|G(C)|2 =


|G($)|2 =

4 sin2 $$2 si $ ne 0

4 si $ = 0



2 |G($)|2



G(C) = cos(C)


ℱ(cos(C)

)($) =

(($ minus 1) + ($ + 1)






int infin





12

int infin


2 d$ =

2

int infin

minusinfin

(($ minus 1)2 + 2($ minus 1)($ + 1) + ($ + 1)2

)d$











= |G($)|



(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$ =1

2

intX|G($)|2 d$ =

(G($)

)





H($) = ℱ(G(C)4 i$C

)= G($ minus $0)


(H($)

)=

12

intX

H($)2 d$

=1

2

int $=infin


=

[ = $ minus $0d = d$

]=

12



G()2 d

=1

2

intX

G()2 d = (G($)

)




(G(0C)

)=

1|0 |

(G(C)

)


H($) = ℱ(G(0C)

)=

1|0 | G

($0

)


(G(0C)

)=

int C=infin



=

[D = 0C

dD = 0 dC

]=

int D=0infin=infin


0

=10

int infin


10middot

(G(C)

)


(G(0C)

)=

1minus0 middot

(G(C)

)








(G(3C)

)=

13 middot

(G(C)

) (253)





2minus1 =12 21 =

12



2minus1 =12 21 =

12



)1 =2$0

=2

125 =85


)3 =23$0

=2

375 =815



1 =85

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

45

3 =815

( ( 12)2 +

( 12)2

)=

415 =

13 1

y vemos que




G1($) = (($ minus 125) + ($ + 125)

)

G3($) = (($ minus 375) + ($ + 375)

)


=

intX|G(C)|2 dC = 1

2

intX|G($)|2 d$










5 (C) = cos(C2)






(G(3C)

)=

13

(G(C)

)







310 segundos



310 segundos


Ejercicios


(G(0C)

)= 1minus0 middot

(G(C)

)




)=

12

(G(C)

)


H(C) = G

(C

2

)=rArr

(H(C)

)= 2

(G(C)

)



)=

1| minus 1|

(G(C)

)=

(G(C)

)







H(C) = [G(C)]


H(C) =int C+1

Cminus2G()2 d

H(C) = G(C) +sum8=1

G(C minus =ΔC)





entonces


G(C) = 0G1(C) + 1G2(C)








H(C) = 1[G(C)] =int C

0

radicG()d




0

radicG( minus C0)d

=

int CminusC0

minusC0

radicG()d



0

radicG()d



H(C) = 2[G(C)] =int C

Cminus5G()2 d



=minusC0=

int CminusC0












ℎ(C) = [(C)]






sale

H(C) = [int

XG()(C minus )d

]linealidad=




= G(C) ℎ(C)




[(C)] = (C) ℎ(C) = ℎ(C)









G($) middot ℎ($)

es el de







G(C) = sin(C) + sin(4C) + 12 sin(16C)




)



)minus i

(($ minus 4) minus ($ + 4)

)minus 1

2 i(($ minus 16) minus ($ + 16)

)






El resultado es




El resultado es







2621 Ejercicios







Capiacutetulo 3


31 Introduccioacute








6 2DC2









32H

3G2 + 5(3H

3G

)3

minus 4H = 0

58



3G2 perograve no33H

3G3 o34H


3G

)3




3111 Ejercicios



232H

3G2 + sin H = 0



3 + 15 H

5 ∓


3d4H

3G4 + H2 = 0






Hprime(G) = 2G


H(G) =int

2G 3G = G2 + (311)



queH(1) = (1)2 + = 3 (312)


H(G) = G2 + 2





Gprime(C) =int

2 3C = 2C +

G(C) =int(2C + )3C = 2 C

2

2 + C +





E0 = E(0) = Gprime(0) = G0 = G(0) =


G(C) = 2

2 C2 + E0C + G0




prime)) = (C)




Ara


minus13Gprime(C)


minusG(C)







bull + = prime(C)

bull + =1(C)







bull H(C) = 43C




(343C ) + 943C = 0













H = G2 + 5

G(C) = 2

2 C2 + 2C + 3






H(C0) = H0

Hprime(C0) = H1







H(G) = 2G2 + 2





G(C) = 2

2 C2 + C +


Gprime(C) = 2C +


= 0 = 20


G(C) = 2

2 C2 + 20C






(H) 3H = (G) 3G

lArrrArr (H)3H

3G= (G)




prime(C) = (C)



prime =

lArrrArr 3

3C=


lArrrArr 3 = 3C

lArrrArr 3

= 3C



GHprime = minusH

lArrrArr G3H

3G= minusH



G3G



(H) 3H = (G) 3Gint(H) 3H =

int(G) 3G


(H) 3H = amp(H) + int(G) 3G = (G) +






4H3H = (G2 + 1)3G



int(G2 + 1)3G +

lArrrArr 4H =G3

3 + G +


H = ln(G3

3 + G + )


3

= 3C


=

int3C +




(0) = 0


0 = (0) = 40 =


minusC




intminus 1G3G +

lArrrArrint

1H3H = minus

int1G3G +



=1

4 ln(G) 4 =

1G4 =

G




H = 4minus ln(G)+

= 4minus ln(G)4

0 ln(1)=ln(10 )= 4 ln(Gminus1)4

= Gminus144= =

G




lArrrArr HG = 4 =

lArrrArr H =

G











0=H=(C) + 0=minus1H



diams








01(C)Hprime(C) + 00(C)H(C) = 5 (C) (342)

diams





H(C) =5 (C)01(C)


i (C) =5 (C)01(C)





Hprime(C) + (C)H(C) = (C) (343)
















3H

3C=

4CH lArrrArr 3H =

4CH3C lArrrArr 1

H3H =

4C3C




H = e4 ln(C)4 = eln(C4)e = C4










C




(C) =int








0=H=(C)+ 0=minus1H









H(C) = (eC + )C4 = C4︸︷︷︸Hℎ (C)

+ eC C4︸︷︷︸H (C)






0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0





0=H=(C) + 0=minus1H














prime(C) + 00H(C) = 0 (353)



bull Hprime per

bull i H per 1


022 + 01 + 00 = 0





H1(C) = e1C i H2(C) = e2C





























)= 0 =rArr

= 02 minus 2 + 1 = 0 =rArr = 1 doble

















0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 0



0== + 0=minus1













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C) (354)


H(C) = Hℎ(C) + H(C)








5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)













H(C) = Hℎ(C) + H(C)



2 + minus 6 = 0





Cuadro 361


4minusC 4minusC


(C2 + 1)42C C(C2 + C + )42C



5 (C) = e13C[=(C) cos(C) + =(C) sin(C)











Ejemplo 364 5 (C) =(C2 + 1



de la forma

H(C) =(C2 + C +







Ejemplo 366 5 (C) =(C2 + 1




H(C) = C(C2 + C +























i tenim




352




diferencial eacutes





(C2 + C +

)eminusC



18 C minus 16 C

2 minus 25108


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

118 C minus

16 C

2 minus 25108

)eminusC 1 2 isin R



45 Ce


H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C + 45 Ce

2C 1 2 isin R



(C2 + C +

)e2C =(


115 =

minus125 i =


( 115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C


diferencial eacutes

H(C) = 1 e2C + 2 eminus3C +(

115 C

3 minus 125 C

2 + 27125 C

)e2C 1 2 isin R













0=H=(C) + 0=minus1H


prime(C) + 00H(C) = 5 (C)





















lt i amp petits


limCrarr+infin














limCrarr+infin



limCrarr+infin


limCrarr+infin






prime(C) + 00 H(C) = 0





Δ =2

4 minus = 0





H(C) = Hℎ(C) + H(C)

























radic12 minus 40220



=minus1 plusmn



minus120 plusmn

radic402 minus 12

radicminus1

20 =

=minus120 plusmn

radic402 minus 12

20 9 = 13 plusmn 9

on

13 =minus120 lt 0 =

radic402 minus 12

20







1 =minus1 +







Hℎ(C) = 1 e1C + 2 e2C 1 2 isin R












02 + 2 = 0 =rArr 2 =minus20


09 = plusmn$0 9 on $0 =

radic2

0




















H(C) = Hℎ(C) + H(C)



) a determinar




Capiacutetulo 4





-(B) =int +infin


diams



90







D(C) =






-(B) =int +infin

0G(C) eminusBC3C

=

int +infin

0eminusBC3C

= lim0rarr+infin

int 0

0eminusBC3C

Bne0= lim

0rarr+infineminusBC

minusB

00

= lim0rarr+infin

minus1B

eminusB0 + 1B

=minus1B

lim0rarr+infin

(eminusB0) + 1B


lim0rarr+infin




-(0) =int +infin


0rarr+infin

int 0

03C = lim

0rarr+infinC

00= lim



-(B) = 1B B gt 0




lim0rarr+infin


eminus0minus9$0

= lim0rarr+infin

eminus0eminus9$0

=

lim0rarr+infin


=



-(B) = 1B Re(B) gt 0










L (D(C)) = 1B Re(B) gt 0

L(eCD(C)

)=





L

(=sum=1

0 G(C))=

=sum=1

0 L (G(C))



obtenim que

-(B) = L(3D(C) + 2eCD(C)

)= 3 L (D(C)) + 2 L

(eCD(C)

)= 3 1

B+ 2 1



bull Un senyal G(C)










bull Un senyal G(C)




doncsL

(e0CG(C)





L(e4CG(C)

)= -(B minus 4) = 1


B minus 5 Re(B) gt 1 + 4 = 5


bull Un senyal G(C)




doncsL (G(0C)) = 1

0-

(B

0





L (G(3C)) = 13 -

(B

3

)=

13

1B3 minus 1 =

13

1Bminus33=






Llavors



L(G(=)(C)







8prime(C) + 8(C) = (C)



8prime(C) + 5 8(C) = 18(0) = 1



L (8prime(C) + 5 8(C)) = L (1)


L (8prime(C)) + 5 (B) = 1B





B



B (B) minus 1 + 5 (B) = 1B

=rArr (B + 5)(B) = 1B+ 1 = B + 1

B

=rArr (B) = B + 1(B + 5)B


(B) = B + 1(B + 5)B =

B + 5 +

B amb a determinar


B + 5 +

B=B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1(B + 5)B =

B + (B + 5)(B + 5)B


B + 1 = B + (B + 5) = ( + )B + 5


+ = 15 = 1



(B) = 45

1B + 5 +

15

1B



= Lminus1(45

1B + 5 +

15

1B

)=

45 Lminus1

(1

B + 5

)+ 1

5 Lminus1(1B

)



Lminus1(

1B + 5

)= eminus5CD(C)

Lminus1(1B

)= D(C)


8(C) = 45 eminus5CD(C) + 1

5 D(C)


bull un senyal G(C)





C2G(C) = C2eCD(C)

Per comenccedilarL

(C2G(C)


i sabem que





Per tantL

(C2G(C)




bull un senyal G(C)



llavors

L(int C

0G() 3

)=-(B)B

Re(B) gt 13



0G() 3 =int C

0e 3

(B) = L(int C

0G() 3

)=-(B)B

=1







0G1()G2(C minus ) 3





es verifica que


H(C) =int C

0sin(C minus ) 43


H(C) =int C




)= L (sin(C))L

(C4


L(C4

)=

4B5 =

24B5 L (sin(C)) = 1


(B) = 24B5

1B2 + 1

=24

B5(B2 + 1)









2 + 01B + 00






1B minus 0+







= (B minus 13)2 + 2









-(B) = B + 1B3 minus B2 =

B + 1B2(B minus 1)


-(B) = B + 1B2(B minus 1) =

B+

B2 +

B minus 1


B2(B minus 1)




Per tant




2B minus 1



2B minus 1

)= minus2 Lminus1

(1B

)minus Lminus1

(1B2

)+ 2 Lminus1

(1

B minus 1


Lminus1(1B

)= D(C) Lminus1

(1B2

)= C D(C) Lminus1

(1

B minus 1

)= eCD(C)




















(B) = (B)(B)





H(0) = 0 Hprime(0) = 0




)= L

(5 (C)

)Per linealitat

0 L(Hprimeprime(C)

)+ 1 L

(Hprime(C)

)+ 2 (B) = (B)


L(Hprime(C)

)= B (B) minus H(0) = B (B)

L(Hprimeprime(C)



0 B2(B) + 1 B (B) + 2 (B) = (B)(0 B2 + 1 B + 2)(B) = (B)

(B) = 10 B2 + 1 B + 2 (B)


(B) = 10 B2 + 1 B + 2




soacuten








B -(B)


llavorslimCrarr0+


B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


G(0+) = limCrarr0+



2B2 + BB2 + 2B + 5

=

= limBrarrinfin

2B2+BB2

B2+2B+5B2

= limBrarrinfin

2 + 1B

1 + 2B + 5

B2

= 2





G(C) = limBrarr0

B -(B)


-(B) = 2B + 1B2 + 2B + 5


B -(B) = 2B2 + BB2 + 2B + 5






limCrarr+infin

G(C) = limBrarr0

B -(B) = limBrarr0

2B2 + B2B2 + 2B + 5

= 0

Apuntes en pdf

Series de Fourier






Espectro





Convolucioacuten





Introduccioacute





Uns exemples




Quegrave eacutes


Convolucioacute




métodos matemáticos iii - análisis de fourier

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