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Programación de aula de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Bachillerato

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

A la hora de proceder a estructurar en unidades didácticas la distribución y la concreción de objetivos, contenidos y criterios de evaluación para cada uno de los cursos, la editorial Guadiel-Edebé ha aplicado una serie de criterios, de manera que permitan una enseñanza integrada. Así, las secuencias de aprendizaje están organizadas según los siguientes criterios:

Adecuación. Todo contenido de aprendizaje está íntimamente ligado a los conocimientos previos del alumno/a.Continuidad. Los contenidos se van asumiendo a lo largo de un curso, ciclo o etapa.Progresión. El estudio en forma helicoidal de un contenido facilita la progresión. Los contenidos, una vez asimilados, son retomados constantemente a lo largo del proceso educativo, para que no sean olvidados. Unas veces se cambia su tipología (por ejemplo, si se han estudiado como procedimientos, se retoman como valores); otras veces se retoman como contenidos interdisciplinarios en otras materias.Interdisciplinariedad. Esto supone que los contenidos aprendidos en una materia sirven para avanzar en otras y que los contenidos correspondientes a un eje vertebrador de una materia sirven para aprender los contenidos de otros ejes vertebradores de la propia materia, es decir, que permiten dar unidad al aprendizaje entre diversas materias.Priorización. Se parte siempre de un contenido que actúa como eje organizador y, en torno a él, se van integrando otros contenidos.Integración y equilibrio. Los contenidos seleccionados deben cubrir todas las capacidades que se enuncian en los objetivos y los criterios de evaluación. Asimismo, se busca la armonía y el equilibrio en el tratamiento de conceptos, procedimientos y valores. También, deben trabajarse los valores transversales.Contextualización. Presentar los contenidos en contextos reales contribuye a enriquecer el propio contenido y facilita la construcción de aprendizajes significativos. Por ello, siempre que ha sido posible, se han identificado entornos cercanos relacionados con los conceptos que se introducen para poder profundizar sobre ellos de una manera más natural y fluida.Aplicación de las TIC. En consonancia con la realidad cotidiana de uso de la red, en todas las unidades se proponen enlaces a páginas web, para reforzar o ampliar los contenidos tratados, para ejercitarse con la práctica de actividades interactivas o bien para acceder a recursos on line que facilitan el cálculo y/o la resolución de ejercicios diversos. También se propone la utilización de diversas herramientas informáticas como hojas de cálculo, programas de representación gráfica…Con todos estos criterios, la materia se estructura en unidades y también se secuencian los ejes vertebradores de la materia, de manera que permitan una enseñanza integrada en orden horizontal, o bien posibiliten al profesor/a el tratamiento de un solo eje en orden vertical.


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Unidades

Álgebra lineal

1. Matrices

2. Sistemas de ecuaciones lineales I

3. Sistemas de ecuaciones lineales II

4. Programación lineal

Análisis

5. Límites

6. Continuidad

7. Derivadas

8. Aplicaciones de las derivadas

9. Integrales y aplicaciones

Probabilidad y estadística

10. Combinatoria

11. Probabilidad

12. Muestreo y estimación

13. Contraste de hipótesis


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1. Matrices

Objetivos didácticos Conocer, representar y clasificar las matrices.

Efectuar operaciones con matrices.

Utilizar el lenguaje matricial para organizar y manejar información estructurada en forma de tablas o grafos.

Interpretar el significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas asociados a las ciencias sociales.

ContenidosConceptos

Matriz.

Matriz numérica.

Igualdad de matrices.

Matriz cuadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identidad y nula.

Matriz escalonada.

Rango de una matriz escalonada.

Transformaciones elementales.

Matrices equivalentes.

Rango de una matriz.

Matriz suma, matriz diferencia, matriz producto por un número real y matriz producto.

Propiedades de las operaciones con matrices.

Matriz inversa.

Trasposición de matrices y matriz traspuesta.

Grafo y matriz asociada a un grafo.

Matriz input-output.

Procedimientos

Representación de matrices.

Clasificación de matrices según su dimensión y sus elementos.

Obtención del rango de una matriz.


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Hallar la matriz suma, la matriz diferencia, la matriz producto por un número real y la matriz producto de dos matrices.

Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

Obtención de la matriz traspuesta de una matriz.

Asociación de una matriz a un grafo.

Interpretación de una matriz asociada a un grafo y de su cuadrado.

Descripción de la economía de un país o empresa mediante una matriz input-output.

Utilización de instrumentos de cálculo diversos para efectuar operaciones con matrices: calculadoras tradicionales, calculadoras on line, hojas de cálculo…

Valores

Valoración de la utilidad de las matrices como herramienta para organizar información, representar relaciones...

Reconocer la importancia de los algoritmos de cálculo que facilitan el trabajo con matrices.

Actividades de aprendizaje La primera página de la unidad contiene una imagen acompañada de un texto que nos muestran las

aplicaciones de las matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.

Los «Objetivos» detallados en la presentación de la unidad muestran las capacidades que se pretende que el alumno/a desarrolle a lo largo de la unidad.

Un esquema muestra la organización de los contenidos de la unidad.

La «Preparación de la unidad» contiene definiciones, ejemplos y actividades con la finalidad de evocar los contenidos necesarios para abordarla.

A lo largo de la unidad, el desarrollo de un contenido suele culminar con uno o varios ejemplos resueltos.

1. Matrices numéricas

Se parte de la observación de una matriz de dimensión 2 x 3 para introducir el concepto de matriz y su nomenclatura asociada: fila, columna, dimensión. A continuación, se indica cómo representar una matriz y sus elementos, y se enuncia la característica que deben tener dos matrices para ser iguales.

Seguidamente, se clasifican las matrices según su dimensión y según sus elementos, dando la definición de cada tipo y un ejemplo.

Finalmente, se introduce el concepto de rango de una matriz. El procedimiento seguido para ello es:

– Presentar varias matrices escalonadas, definir este concepto y el de rango.


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– Ver que existe una serie de operaciones con las filas de una matriz que permiten transformarla en una matriz escalonada.

– Definir el concepto de matrices equivalentes.

– Definir el rango de una matriz como el rango de una matriz escalonada equivalente.

A continuación, se muestra, mediante dos ejemplos, cómo obtener en la práctica el rango de una matriz.

2. Operaciones con matrices

Se presentan las operaciones de adición de matrices, multiplicación de una matriz por un número real, multiplicación de matrices y trasposición de matrices.

En la multiplicación de matrices, se define el producto de una matriz fila por una matriz columna, y a continuación se amplía al caso general. Al observar que existe una matriz elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas, se le da el nombre de matriz identidad y se simboliza.

Se introduce, a partir de la matriz identidad, la matriz inversa. Seguidamente, se explican dos métodos para el cálculo de la matriz inversa: a partir de la definición, planteando un sistema de ecuaciones lineales, y por el método de Gauss-Jordan.

Se presenta la trasposición de matrices, destacando los elementos de una fila de una matriz y la situación de los mismos elementos en la traspuesta. A continuación, se enuncian las propiedades de la trasposición.

Se introducen dos tipos de matrices, la simétrica y la antisimétrica.

Se propone un enlace a una página web para reforzar, de forma interactiva, los conceptos tratados sobre matrices.

3. Aplicaciones de las matrices

Se presentan dos nuevas aplicaciones de las matrices: su utilidad como herramienta para representar una relación entre los elementos de un conjunto y para el estudio de transacciones.

En primer lugar se da un ejemplo de una relación matemática y después dos aplicaciones, en forma de ejemplo resuelto: una a la sociología, para el estudio de las relaciones entre individuos, y otra al estudio de las redes de comunicación.

En segundo lugar se presenta un tipo de matrices utilizadas para representar la economía de un país o de una empresa: las matrices input-output.

Se explica el funcionamiento general de una calculadora preparada para trabajar con matrices.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las matrices. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Resolver una ecuación matricial por dos métodos diferentes: mediante el planteamineto de un sistema y utilizando la matriz inversa.

Resolver un problema de economía de una empresa a través de la elaboración y la aplicación de una matriz input-output.


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Representar el enunciado de un problema con matrices y obtener su resolución con ellas.

En el «Resumen» se recuerdan los conceptos fundamentales tratados en la unidad.

En el apartado «Actividades»:

Se plantean algunas cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno.

Se proponen diversos ejercicios y problemas que van acompañados de la solución, si ésta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.

Finalmente, se formulan dos actividades cuya resolución requiere la utilización de las TIC.

Actividades de evaluaciónLa «Propuesta de evaluación» plantea una serie de ejercicios y problemas, del mismo tipo que los de las pruebas de selectividad, para comprobar las capacidades desarrolladas a lo largo de la unidad:

Justificar la dimensión de la matriz resultante del producto de dos matrices.

Calcular, por el método de Gauss, el rango de una matriz.

Efectuar diversas operaciones con matrices (suma, resta, producto por un número real, producto y trasposición) y comprobar que se cumplen las propiedades de estas operaciones.

Conocer la condición necesaria para que exista la matriz inversa de una matriz cuadrada y obtener la matriz inversa de una matriz determinada.

Interpretar la matriz asociada a un grafo y escribir la correspondiente a una relación determinada.


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2. Sistemas de ecuaciones lineales I

Objetivos didácticos Resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss.

Clasificar sistemas según sus soluciones.

Analizar y resolver sistemas dependientes de un parámetro.

Resolver situaciones relativas a las ciencias sociales y la economía mediante el planteamiento y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

ContenidosConceptos

Ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Sistemas escalonados.

Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Matriz asociada a un sistema y matriz ampliada asociada a un sistema.

Procedimientos

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Expresión de un sistema de notación matricial.

Resolución de sistemas por el método de Gauss.

Aplicación del método de Gauss para la clasificación de sistemas según sus soluciones.

Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros utilizando el método de Gauss.

Resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores

Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes ámbitos.




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1. Ecuaciones lineales

Se empieza la unidad recordando la definición de ecuación lineal con n incógnitas y los conceptos asociados: coeficientes, término independiente y solución, identificándolos en una ecuación.

2. Sistemas de ecuaciones lineales: clasificación

Se define sistema de ecuaciones lineales y se introduce su notación usual.

Se explica el concepto de solución de un sistema y se presenta la clasificación de los sistemas según sus soluciones, ejemplificándolo en el caso de sistemas con dos incógnitas.

3. Método de Gauss

El método de Gauss se presenta a partir de un sistema de ecuaciones escalonado que se soluciona por sustitución regresiva. Antes de ejemplificarlo se recuerdan las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente.

Se introducen los conceptos de matriz asociada al sistema y matriz ampliada asociada al sistema, y se resuelve de nuevo el ejemplo anterior utilizando la notación matricial.

Se presentan en forma de tabla los diferentes casos que pueden presentarse al aplicar el método de Gauss, identificándolos con los diferentes tipos de sistemas.

Se propone un enlace a una página web para comprobar, mediante una aplicación interactiva, la resolución de los sistemas propuestos en la unidad.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Discutir y resolver un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro mediante el método de Gauss.

Resolver problemas del ámbito cotidiano, económico, mediante el planteamiento de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y la obtención de su solución por el método de Gauss.

Organizar los datos del enunciado de un problema en una tabla, su expresión mediante un sistema de ecuaciones lineales y la resolución de éste.




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Se plantean varias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno.




Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Aplicar el método de Gauss para la clasificación de un sistema y hallar su solución en caso de ser compatible.

Discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que dependen de un parámetro.

Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones indicando la elección de las incógnitas, el planteamiento del sistema de ecuaciones, su resolución y la comprobación de las soluciones.

Utilizar el lenguaje algebraico para representar y resolver situaciones cotidianas, y del ámbito económico y científico-técnico, valorando su utilidad.


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3. Sistemas de ecuaciones lineales II

Objetivos didácticos Identificar determinantes y calcularlos.

Utilizar los determinantes para obtener el rango de una matriz y calcular su inversa.

Conocer el teorema de Rouché-Frobenius y aplicarlo para clasificar sistemas según sus soluciones.

Aplicar diversos procedimientos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

ContenidosConceptos

Determinantes de orden uno, dos y tres.

Regla de Sarrus.

Determinantes de orden n.

Menor complementario y adjunto de un elemento.

Determinante de una matriz.

Propiedades de los determinantes.

Menor de orden k de una matriz.

Teorema de Rouché-Frobenius.

Sistemas resolubles por Cramer.

Procedimientos

Cálculo de determinantes de orden uno, dos y tres mediante su definición.

Cálculo de determinantes de orden tres mediante la regla de Sarrus.

Determinación del menor complementario y del adjunto de un elemento.

Desarrollo de un determinante por filas o por columnas.

Aplicación de las propiedades de los determinantes al cálculo de éstos.

Cálculo de determinantes por el método de Gauss.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes.

Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.

Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius para la clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Resolución de sistemas por la matriz inversa.


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Resolución de sistemas por la regla de Cramer.

Uso de la calculadora y de aplicaciones disponibles en la red para el cálculo de determinantes.

Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros mediante el teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.

Resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores

Valoración del uso de los determinantes como instrumento para el cálculo matricial.

Hábito de considerar todas las estrategias posibles antes de resolver un ejercicio o problema, y de interpretar la solución obtenida.







1. Determinantes

Se introduce la definición del determinante de una matriz como un número asociado y se indica su simbolización.

Se presenta la definición de los determinantes de orden uno, dos y tres. En el caso de este último se da también la regla de Sarrus, que permite recordar más fácilmente su expresión.

Se razona la necesidad de calcular un determinante de orden n a partir del determinante de orden n – 1 y se plantea la necesidad de conocer el menor complementario y el adjunto de un elemento de la matriz de orden n, y se definen ambos conceptos.

Se demuestra que la expresión de un determinante de orden tres coincide con la suma de los elementos de la primera columna por sus adjuntos y se establece la definición general por recurrencia.

2. Propiedades y aplicaciones de los determinantes

Se presentan las propiedades de los determinantes y su aplicación al cálculo, comprobándola para determinantes de orden tres, y se muestran su significación y su aplicación mediante un ejemplo numérico.

Se introduce la noción de combinación lineal de líneas.


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Se presenta un ejemplo en el que la aplicación de estas propiedades permite demostrar, sin necesidad de efectuar cálculos, la anulación de un determinante.

Se propone un enlace a una página web para reforzar, de forma gráfica, diversos conceptos estudiados en la unidad y averiguar cómo se utiliza una calculadora de matrices y determinantes.

Se observan las propiedades como un medio para simplificar el cálculo de determinantes.

Se introduce el método de Gauss y se enuncian los pasos para calcular un determinante por este método.

Se define el concepto de menor y se muestra, para una matriz concreta, un posible menor de orden uno, otro de orden dos y un último de orden tres, indicando en cada caso cómo se obtiene.

Se muestra el procedimiento general para obtener el rango de una matriz, enumerando sus etapas en una tabla.

Se muestra cómo calcular la matriz inversa a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta.

3. Clasificación y resolución de sistemas

Se enuncia el teorema de Rouché-Frobenius y se muestra, en forma de organigrama, cómo proceder para llegar a la clasificación de un sistema sin necesidad de resolverlo.

A continuación, se describe el proceso mediante varios ejemplos resueltos.

Para resolver un sistema por el método de la matriz inversa, se expresa el sistema en forma matricial y, suponiendo que la matriz asociada al sistema es regular, se comprueba que la solución puede hallarse a partir de la matriz inversa.

Finalmente, se presenta un nuevo método de resolución, la regla de Cramer, que permite hallar las soluciones del sistema siempre que la matriz asociada al sistema sea regular. Se presenta la expresión de cada solución y se ejemplifica con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se muestra, mediante un ejemplo resuelto, la aplicación de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones compatibles indeterminados.

Se propone un enlace a una página web para apreciar, de forma gráfica y ejemplificada, la aplicación de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Calcular el rango de una matriz 3 x 4 que depende de un parámetro.

Determinar los valores de un parámetro para los que una matriz tiene inversa y la matriz inversa para un valor dado de dicho parámetro.





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Calcular determinantes de orden uno, dos, tres y cuatro.

Obtener el rango de una matriz por menores.

Calcular la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta.

Aplicar el teorema de Rouché-Frobenius para discutir un sistema dependiente de un parámetro.

Determinar si un sistema es resoluble por Cramer y, en caso afirmativo, hallar sus soluciones.


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4. Programación lineal

Objetivos didácticos Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas, y representar

gráficamente sus soluciones.

Utilizar distintos recursos tecnológicos (calculadoras, recursos informáticos de representación gráfica...) como apoyo en los procesos que involucran el manejo de sistemas de inecuaciones lineales.

Traducir matemáticamente el enunciado de un problema de programación lineal bidimensional.

Aplicar la programación lineal a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos, e interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas.

ContenidosConceptos

Inecuación lineal con una incógnita.

Sistema lineal de inecuaciones con una incógnita.

Inecuación lineal con dos incógnitas.

Sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas.

Función objetivo.

Región factible.

Resolución de un problema de programación lineal.

Procedimientos

Resolución de inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas.

Representación gráfica de las soluciones de una inecuación lineal con una incógnita.

Cálculo de sistemas lineales de inecuaciones con una y con dos incógnitas.

Representación gráfica de las soluciones de un sistema lineal de inecuaciones con una y con dos incógnitas.

Resolución de problemas mediante sistemas de inecuaciones.

Traducción al lenguaje matemático de problemas de programación lineal.

Determinación de la función objetivo y de las restricciones de un problema de programación lineal.

Obtención de la región factible.

Resolución de un problema de programación lineal bidimensional por el método algebraico.

Resolución de un problema de programación lineal bidimensional por el método gráfico.


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Clasificación de las soluciones de un problema de programación lineal a partir del método gráfico de resolución.

Identificación y resolución de problemas de transporte.

Identificación y resolución de problemas de dieta.

Valores

Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes ámbitos, y reconocimiento de su precisión y su simplicidad.

Valoración de la utilidad de los métodos de la programación lineal para la estimación de la viabilidad de planes, proyectos, inversiones...







1. Inecuaciones lineales

Se define la inecuación lineal con una incógnita y se presenta en una tabla la representación gráfica de cada uno de los posibles conjuntos solución de la inecuación. A continuación, se describe el procedimiento de resolución de una inecuación lineal con una incógnita mediante un ejemplo.

Se define el sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y se describe el procedimiento general para su resolución a partir de una tabla con un ejemplo.

Se define la inecuación lineal con dos incógnitas y la solución de la inecuación, y se observa que los resultados son los puntos de un semiplano. A continuación, se describe el procedimiento general para resolver una inecuación lineal con dos incógnitas.

Se define el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas y se observa cuál es la representación gráfica de sus soluciones. Finalmente, se muestra, mediante un ejemplo, los pasos que deben seguirse para resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas.

Se esquematiza en una tabla la resolución de un problema mediante un sistema de inecuaciones y se desarrolla un ejemplo de manera paralela para que pueda observarse cómo se aplica el procedimiento.

2. Introducción a la programación lineal


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Se presentan dos problemas típicos: uno sobre maximizar el beneficio y otro acerca de minimizar el coste.

Se enseñan los métodos algebraico y gráfico para resolver un problema de programación lineal bidimensional.

Se muestran, a partir de la resolución gráfica, los diferentes tipos de solución que puede tener un problema de programación lineal (solución única, infinitas soluciones y sin solución).

3. Aplicaciones de la programación lineal

Se presentan dos situaciones clásicas cuya formulación conduce a un problema de programación lineal: el problema del transporte y el de la dieta. En ambos casos se formula la cuestión en general y a continuación se plantea y resuelve un ejemplo concreto.

Se propone un enlace a una página web para ampliar los conocimientos sobre los distintos métodos de optimización y observar el funcionamiento de un simulador que optimiza funciones sencillas.

Finalmente, en el subapartado «Otras aplicaciones», se cita la utilidad de la programación con más de dos variables en otros campos (militar, recursos humanos…), y se describe el método Simplex de programación lineal.

Se propone un enlace a una página web para ampliar la información sobre la aplicación del método Simplex de programación lineal.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los problemas de programación lineal. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Buscar el sistema de inecuaciones que tiene por solución una región del plano determinada.

Resolver un problema de programación lineal sin solución por no existir región factible.

Resolver un problema de programación lineal algo más complejo que los trabajados anteriormente.

Solucionar un problema de programación lineal entera, es decir, un problema de programación lineal del cual sólo interesan las soluciones enteras. En este caso, el procedimiento seguido para su resolución es el mismo de siempre, pero si la solución es un punto de coordenadas decimales, se deben analizar los puntos próximos de coordenadas enteras, puesto que la solución buscada se halla en uno de estos puntos.



Se plantean varias cuestiones para cuya resolución se precisan muy pocos cálculos o ninguno.




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Solucionar, algebraica y gráficamente, sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Traducir al lenguaje algebraico problemas en los que intervienen inecuaciones y resolverlos.

Resolver problemas de optimización de funciones de dos variables sujetos a restricciones, dadas la función objetivo y las restricciones, tanto por el método algebraico como por el gráfico.

Organizar los datos de un problema de programación lineal, escribir la función objetivo y las restricciones, y resolverlo.


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5. Límites

Objetivos didácticos Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.

Calcular límites y efectuar operaciones con ellos.

Reconocer gráficamente las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función, y calcular sus ecuaciones.

ContenidosConceptos

Límite finito de una función en un punto.

Límites laterales finitos de una función en un punto.

Límite infinito de una función en un punto.

Límite finito de una función en el infinito.

Límite infinito de una función en el infinito.

Propiedades de los límites.

Indeterminación.

Tipos de indeterminación.

Asíntotas verticales de una función.

Asíntotas horizontales de una función.

Asíntotas oblicuas de una función.

Procedimientos

Cálculo de límites de funciones mediante tablas de valores.

Cálculo de límites de funciones a partir de su gráfica.

Cálculo de límites de funciones polinómicas, racionales y definidas a trozos.

Cálculo de límites de funciones utilizando las propiedades adecuadas.

Resolución de indeterminaciones.

Obtención de las asíntotas verticales de una función.

Obtención de las asíntotas horizontales de una función.

Obtención de las asíntotas oblicuas de una función.

Valores


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Valoración de la utilidad del cálculo de límites en el estudio de funciones.

Reconocimiento del valor que tienen los límites de funciones para resolver problemas de índole real.







1. Límites de funciones

Se introduce intuitivamente el concepto de límite de una función en un punto mediante la observación de una tabla de valores y de la gráfica de una determinada función en el entorno de un punto concreto para llegar, finalmente, a la definición formal de límite.

Se explica el concepto de límites laterales de una función en un punto siguiendo el mismo proceso que en el caso del límite de una función en un punto y se establece la relación existente entre el límite y los límites laterales.

Se muestra en un cuadro el concepto intuitivo de límite infinito de una función en un punto mediante la observación de una tabla de valores y de la gráfica de una determinada función en el entorno de un punto concreto que ilustra los casos de límite más y menos infinito y se introduce el concepto de límite infinito de una función en un punto.

Se explica el concepto de límites laterales infinitos de una función en un punto y la relación entre éstos y el límite.

Se introducen, mediante sendos cuadros como el anterior, los conceptos de límite finito e infinito de una función en el infinito.

2. Características

Se presentan algunas propiedades de los límites finitos de funciones en un punto que permiten el cálculo sistemático de éstos.

Se comenta que las propiedades citadas anteriormente también son válidas si una de las funciones o ambas tiene límite infinito, o bien, si la variable x tiende a más o menos infinito.

Se observa que, al operar con límites, pueden aparecer indeterminaciones, indicando los diferentes tipos que existen.

3. Cálculo de límites


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Se explica el límite de una función polinómica en un punto y en el infinito, acompañándose de un ejemplo.

Se propone un enlace a una página web para reforzar el cálculo de límites, a partir de vídeos explicativos de distintos profesores.

Se explica el límite de una función racional en un punto, considerando los tres casos que pueden darse. A continuación, se describe el límite de una función racional en el infinito.

Se describe el límite de una función definida a trozos en un punto, ilustrando los dos casos posibles mediante sendos ejemplos.

Se resumen las aplicaciones de las propiedades de los límites en tres tablas: suma y resta, multiplicación y división, y potenciación.

Se muestra mediante varios ejemplos cómo aplicar la información contenida en estas tablas.

Seguidamente, se indica, a partir de ejemplos, cómo resolver los diferentes tipos de indeterminación en los casos más sencillos, a excepción de dos de los tipos que se indican.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conocimientos sobre la resolución de límites a partir de ejemplos resueltos de los distintos tipos de indeterminación.

4. Aplicación de los límites: asíntotas de una función

Se presentan los tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Procedimiento para resolver indeterminaciones que proceden de funciones racionales.

Resolución de indeterminaciones del tipo uno elevado a infinito cuando la variable tiende a un número real.

Obtención de la tendencia del importe de la factura de una compañía de suministro de agua cuando el consumo tiende a cierto valor.

Obtención de la tendencia del coste de fabricación de cada unidad obtenida en un proceso de elaboración al crecer el tiempo indefinidamente.




Se proponen varios ejercicios y problemas que van acompañados de la solución, si ésta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.


Actividades de evaluación


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La «Propuesta de evaluación» plantea una serie de ejercicios y problemas, del mismo tipo que los de las pruebas de selectividad, para comprobar las capacidades desarrolladas a lo largo de la unidad:

Dibujar la gráfica de una función, conocidas las ecuaciones de sus asíntotas y determinar las asíntotas de una función a partir de su expresión algebraica.

Aplicar las propiedades de los límites para operar con ellos.

Calcular sistemáticamente límites de funciones polinómicas, racionales y definidas a trozos.

Resolver diferentes tipos de indeterminación.

Reconocer, dada la gráfica de una función, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y hallar sus ecuaciones a partir de la expresión analítica de la función.


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6. Continuidad

Objetivos didácticos Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.

Reconocer y clasificar los puntos en los que una función presenta una discontinuidad.

Conocer unos teoremas elementales sobre continuidad.

ContenidosConceptos

Continuidad de una función en un punto.

Continuidad lateral de una función en un punto.

Continuidad de una función en un intervalo.

Tipos de discontinuidades.

Propiedades de las funciones continuas.

Continuidad de las funciones elementales.

Teorema de conservación del signo.

Teorema de Bolzano.

Teorema de los valores intermedios.

Teorema de Weierstrass.

Procedimientos

Comprobación de la continuidad o no de una función en un punto a partir de las tres condiciones de continuidad.

Estudio de la continuidad lateral de una función en un punto.

Estudio de la continuidad de una función en un intervalo.

Determinación y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función.

Estudio de la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.

Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero en un intervalo dado y obtención de dicho cero con un determinado error.

Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero o si una ecuación tiene una solución real en un intervalo dado, así como su determinación con una cierta precisión.

Aplicación del teorema de los valores intermedios para comprobar si una función toma determinado valor en un intervalo dado, así como la obtención del punto del intervalo para el cual toma dicho valor.


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Valores

Reconocer la importancia de la continuidad para el estudio de las funciones.

Valoración de la continuidad para el estudio del comportamiento que siguen muchos fenómenos de la naturaleza.







1. Continuidad de una función en un punto

Se inicia el estudio de las funciones continuas en un punto relacionando la idea de continuidad con una situación concreta de la vida real.

Se introduce la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto a partir de la observación de la gráfica de diversas funciones.

Se da la definición formal de continuidad en un punto aprovechándola para introducir la definición de función discontinua en un punto, y se comprueba la continuidad de una función en un punto.

Se propone un enlace a una página web para visualizar, a través de una serie de applets, el comportamiento de una función al tomar la variable independiente distintos valores.

Se introduce el concepto de continuidad lateral de una función en un punto y se observa la relación que existe con la continuidad de la función en dicho punto, a partir de la relación existente entre límites laterales y límite de una función en un punto.

Se define la continuidad en un intervalo, acompañándose de un ejemplo.

Se proporciona una tabla con la clasificación de los diferentes tipos de discontinuidades.

Se observa que, si la función presenta una discontinuidad evitable en un punto, puede definirse una nueva función que coincide con la primera en todos los puntos de su dominio salvo en el punto considerado, en caso de que pertenezca, y evita la discontinuidad en este punto. A continuación, se presentan varios ejemplos.

2. Propiedades de las funciones continuas


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Como consecuencia de las propiedades vistas para los límites, se obtienen algunas de las propiedades de las funciones continuas.

Se comprueba la continuidad en su dominio de algunas de las funciones elementales (potenciales, polinómicas, racionales e irracionales).

Se presentan en una tabla otras funciones elementales (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas), observando, a partir de su gráfica, que son continuas en todo su dominio.

3. Teoremas relativos a la continuidad

Se enuncia una serie de teoremas relativos a las funciones continuas en un punto o bien continuas en un intervalo cerrado:

– Teorema de conservación del signo: se da el enunciado y su justificación a partir de la observación de la gráfica de una función continua.

– Teorema de Bolzano: se da el enunciado y se justifica de manera intuitiva. A continuación, se muestra, de forma ejemplificada, la utilidad de este teorema para la determinación de ceros de funciones y raíces de ecuaciones.

– Teorema de los valores intermedios: se enuncia y se muestra, mediante un ejemplo, su aplicación para ver que una función toma un valor determinado en un intervalo.

– Teorema de Weierstrass: se enuncia y justifica de manera intuitiva.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conceptos tratados, mediante la manipulación de los parámetros de algunas gráficas.


Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para que sea continua en un punto o en todo su dominio.

Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para que ésta presente una discontinuidad evitable en un punto.

La aplicación del teorema de Bolzano para probar que las gráficas de dos funciones se cortan en algún punto y la determinación de éste en un intervalo de cierta amplitud.

La aplicación del teorema de Bolzano para obtener la aproximación de una raíz cúbica con un error determinado.







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Comprobar si una función es continua en un punto mediante la verificación de las tres condiciones de continuidad.

Determinar el valor de unos parámetros para que una función definida a trozos sea continua.

Estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo.

Hallar los puntos de discontinuidad de una función y determinar el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de ellos.

Determinar la existencia de ceros de funciones y de raíces de ecuaciones y obtener estos ceros y raíces con un error determinado utilizando el teorema de Bolzano.

Probar que una función toma determinado valor en un intervalo dado y calcular el punto de dicho intervalo utilizando el teorema de los valores intermedios.


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7. Derivadas

Objetivos didácticos Comprender el concepto de tasa de variación media y aplicarlo a problemas relacionados con las

ciencias sociales.

Calcular la función derivada a partir de las derivadas elementales y utilizando las reglas de la derivación.

Conocer y aplicar el concepto de diferencial de una función.

ContenidosConceptos

Tasa de variación media de una función.

Recta secante a la gráfica de una función por dos puntos dados.

Interpretación geométrica de la tasa de variación media.

Derivada de una función en un punto.

Recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

Función derivada.

Derivada de funciones elementales.

Función derivada y operaciones.

Derivadas de orden superior.

Diferencial de una función.

Procedimientos

Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

Cálculo de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos.

Determinación de la velocidad media de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Obtención de la derivada de una función en un punto.

Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Determinación de la velocidad instantánea de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Obtención de la derivada de funciones elementales.

Consecución de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la función producto y de la función cociente.


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Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta.

Cálculo de derivadas de orden superior a partir de la definición formal.

Obtención de valores aproximados de funciones utilizando el concepto de diferencial de una función.

Valores

Valoración de la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instrumento en el campo científico y social.







1. Tasa de variación media

Se introduce el concepto de tasa de variación media de una función en un intervalo de extremos a y b a partir de un ejemplo, y se observa su coincidencia con la pendiente de la recta secante a la curva por los puntos de abscisa x = a y x = b.

Se expone la interpretación física del concepto de tasa de variación media y se ejemplifica con un caso de cinemática.

En el ejemplo dado, se aplica a una función algebraica conocida el concepto de TVM (tasa de variación media), y su interpretación geométrica.

2. Derivada de una función en un punto

Se considera el ejemplo de una función polinómica de segundo grado y se calcula el límite de la TVM cuando el intervalo considerado tiende a cero.

Se obtiene la ecuación punto-pendiente de la recta tangente a la función en un punto.

Se muestra la interpretación física del concepto de derivada.

3. Función derivada

Se define la función derivada de una función f.

Se obtiene la derivada de una función concreta a partir de la definición formal.


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Se demuestra que el cálculo de la función derivada simplifica el proceso de cálculo del valor de la derivada en diferentes puntos y se recogen en una tabla las derivadas de las principales funciones: constante, potencial, exponencial, logarítmica y trigonométricas.

Se muestra la relación entre continuidad y derivabilidad. Es conveniente abordar estos conceptos de una forma intuitiva, observando primero gráficamente los casos más frecuentes de continuidad y no derivabilidad, para proponer en segundo lugar la condición analítica.

Se exponen en una tabla las reglas para derivar la función suma, producto, cociente y compuesta, y se aplican las fórmulas obtenidas para derivar funciones concretas.

Se propone un enlace a una página web que permite el cálculo inmediato de la derivada de una función, mostrando también la correspondiente representación gráfica.

Se define la función derivada segunda de una función de forma análoga a como se define función derivada y reiterando el proceso, se muestra cómo pueden definirse todas las derivadas de orden superior.

Se propone un enlace a una página web para practicar derivadas mediante ejercicios interactivos.

4. Diferencial de una función

Se introduce la notación de incrementos para la derivada de una función en un punto y, con ayuda de una interpretación gráfica de la situación, se obtiene una aproximación de la variación de la función a partir de la derivada de la función en un punto y el incremento de la variable considerado desde dicho punto.

Se muestra cómo esta aproximación puede utilizarse para calcular valores aproximados de la función.


Obtener la tasa de variación media del producto nacional bruto en diferentes períodos y deducir en cuál de ellos se obtuvo un mayor crecimiento medio.

Hallar la recta tangente a la gráfica de una función y que cumple unas determinadas condiciones.

Calcular el valor aproximado del coste, del ingreso y del beneficio marginal de producir cierta unidad en un proceso de producción.






Actividades de evaluación


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La «Propuesta de evaluación» plantea una serie de ejercicios y problemas, del mismo tipo que los de las pruebas de selectividad, para comprobar las capacidades desarrolladas a lo largo de la unidad:

Aplicar la tasa de variación media de una función para resolver un problema contextualizado.

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Determinar la expresión analítica de una función, dadas ciertas condiciones geométricas, y aplicar el cálculo de derivadas para comprobar que se cumplen unas condiciones geométricas determinadas.

Obtener la derivada de diversas funciones en un punto.

Obtener las derivadas primera y segunda de diversas funciones compuestas.

Estudiar los puntos en los que se anula una función.


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8. Aplicaciones de las derivadas

Objetivos didácticos Aplicar las derivadas al estudio de las propiedades locales de las funciones (crecimiento, extremos,

curvatura...).

Efectuar representaciones gráficas de funciones a partir de sus propiedades locales.

Conocer los principales teoremas sobre funciones derivadas.

Resolver problemas de optimización de funciones.

ContenidosConceptos

Relación entre crecimiento (decrecimiento) de una función en un punto y el signo de la derivada.

Extremos relativos.

Relación entre la curvatura (convexidad) de una función en un punto y el signo de la derivada segunda.

Puntos de inflexión.

Teorema de Rolle y del valor medio de Lagrange.

Procedimientos

Utilización de la derivada primera de una función para estudiar la monotonía de una función en un punto o en un intervalo.

Determinación de los extremos relativos de una función.

Uso de la derivada segunda de una función para estudiar la curvatura de una función en un punto o en un intervalo.

Determinación de los puntos de inflexión de una función.

Organización mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una función.

Representación gráfica de una función a partir de los aspectos esenciales de su análisis.

Utilización de la calculadora gráfica y de otras aplicaciones disponibles en la red para la representación gráfica de funciones.

Aplicación del teorema de Rolle para comprobar si la derivada de una función tiene cero en un intervalo dado y la obtención de dicho cero.

Aplicación del teorema de Lagrange para hallar el punto o puntos en que la recta tangente a la función tiene una pendiente determinada.

Planteamiento y resolución de problemas de optimización.


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Valores

Sistematización y orden en la presentación de datos para la representación gráfica de una función.

Interés por contrastar las soluciones obtenidas con los datos iniciales.

Reconocimiento del valor que tiene el estudio de funciones y su optimización para resolver problemas de índole real.







1. Derivada y monotonía de una función

Se inicia la unidad recordando la definición de derivada de una función en un punto y obteniendo a partir de ésta las condiciones que ha de cumplir la función para que sea estrictamente creciente o decreciente en un punto.

Se justifica la condición necesaria de existencia de extremo relativo. En este punto se observa que esta condición es necesaria, pero no suficiente.

Se introducen los conceptos de máximo y mínimo.

Se establece el criterio para encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Se explica cómo utilizar la calculadora gráfica para obtener la gráfica de una función.

2. Derivada y curvatura de una función

Se inicia el análisis de la curvatura de una función definiendo los conceptos de convexidad y concavidad en un punto a partir de las posiciones relativas entre la gráfica de la función y la recta tangente a ésta en dicho punto.

Se presenta el concepto de punto de inflexión de una función y se justifica la condición necesaria de existencia de éste. Luego, se da una condición suficiente de punto de inflexión.

Se generaliza la determinación de puntos extremos relativos o de inflexión cuando se anulan derivadas sucesivas.

Se razonan intuitivamente las condiciones que ha de cumplir la derivada segunda de la función en un punto para que éste sea de convexidad o concavidad.


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Se propone un enlace a una página web para reforzar los conceptos sobre cálculo diferencial a partir de una gran variedad de ejemplos.

3. Representación gráfica de funciones

Se analizan los siguientes aspectos: dominio, puntos de corte con los ejes, signo, simetría y periodicidad, asíntotas y ramas infinitas, intervalos de monotonía y extremos relativos, intervalos de curvatura y puntos de inflexión.

Se explica el procedimiento para diseñar el gráfico de una función.

4. Teoremas sobre funciones derivables

En este apartado se enuncian e interpretan geométricamente una serie de teoremas fundamentales del cálculo infinitesimal:

– Teorema de Rolle.

– Teorema del valor medio de Lagrange.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conceptos tratados en la unidad, mediante ejemplos gráficos e interactivos.

5. Optimización de funciones

Se comenta la utilidad del cálculo de extremos relativos no sólo en problemas de tipo matemático sino también en ámbitos más generales cuyas situaciones se representan mediante funciones.

Se enumeran los pasos que deben seguirse para la resolución de un problema de optimización.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Determinar una función polinómica de la que se conoce algún extremo relativo y punto de inflexión.

Comprobar que una ecuación polinómica presenta una única raíz en un intervalo dado.

Determinar la gráfica aproximada de una función a partir del gráfico de su función derivada.

Representar gráficamente una función irracional.

Representar gráficamente una función exponencial.







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Estudiar el crecimiento o decrecimiento y la concavidad o convexidad de una función en un punto.

Obtener los extremos relativos y puntos de inflexión de una función.

Determinar los valores de algunos parámetros para que una función cumpla unas determinadas condiciones.

Efectuar el estudio global y la representación gráfica de una función polinómica o racional.

Resolver problemas de optimización sobre situaciones referidas al ámbito de las ciencias sociales.


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9. Integrales y aplicaciones

Objetivos didácticos Conocer el concepto de integral definida de una función en un intervalo y sus propiedades.

Calcular integrales definidas a partir de la regla de Barrow y de los métodos numéricos de integración.

Conocer los conceptos de primitiva e integral indefinida de una función.

Calcular la integral indefinida de múltiples funciones, a partir de las integrales inmediatas y utilizando métodos de integración.

Calcular áreas de recintos planos por curvas y aplicar las integrales definidas a la resolución de problemas relacionados con las ciencias sociales.

ContenidosConceptos

Integral definida entre a y b de una función continua en [a, b].

Propiedades de las integrales definidas.

Regla de Barrow.

Primitiva de una función.

Integral indefinida de una función.

Propiedades de las integrales indefinidas.

Integrales indefinidas inmediatas.

Procedimientos

Aproximación del cálculo del área de la figura.

Cálculo de integrales definidas a partir de la regla de Barrow.

Obtención de integrales indefinidas inmediatas y inmediatas generalizadas.

Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

Cálculo del área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

Cálculo del área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x = a y x = b.

Aproximación de integrales definidas a partir del método de los trapecios.

Valores

Hábito de analizar los diferentes métodos de integración antes de abordar la resolución de una integral con el fin de seleccionar el más adecuado.


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Valorar la aplicación de los conocimientos adquiridos en integración a problemas de ámbito económico y social.

Valoración de la utilidad de las integrales definidas en la resolución de diferentes problemas de aplicación a la geometría, la física, las ciencias sociales...







1. Área bajo una curva

Se plantea el cálculo del área de la región plana limitada por la gráfica de una función, el eje OX y dos rectas verticales.

Para obtener una aproximación de esta área se explican dos procedimientos:

– El primero, que consiste en obtener una sucesión de sumas inferiores, que aproxima el área buscada por defecto.

– El segundo, que aproxima el área buscada por exceso, a partir de una sucesión de sumas superiores.

– Se observa que el límite de las dos sucesiones es el área buscada.

2. Integral definida

Se obtiene la definición de integral definida entre a y b de una función continua en [a, b].

Se comenta la definición de función integrable sobre un intervalo y de integral definida en dicho intervalo.

Se enumeran las principales propiedades de la integral definida en un intervalo, justificando gráficamente y de forma intuitiva algunas de ellas.

Se explica el concepto de función integral de una función dada y se presenta el teorema fundamental del cálculo, a partir del cual se obtiene la regla de Barrow.

Se introducen dos métodos numéricos de integración:

– Método de los trapecios.

– Método de Simpson.


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Se propone un enlace a una página web que contiene diversos ejemplos sobre la resolución de integrales en forma de vídeos explicativos.

3. Primitivas e integrales indefinidas

Se da la definición de primitiva de una función dada como proceso inverso a la derivación.

Se observa que pueden existir diferentes primitivas de una misma función, concluyéndose además que todas las funciones que difieran sólo en una constante de una primitiva cualquiera serán también primitivas de la función inicial.

Caracterizado así el conjunto formado por todas las primitivas de una función dada, se define el concepto de integral indefinida y se explican algunas cuestiones de notación.

Se enuncian las propiedades más importantes de las integrales indefinidas.

Se muestra una tabla de integrales inmediatas.

Se explica cómo calcular integrales cuyo integrando es de la forma f(g(x)) · g'(x), siendo f(x) el integrando de una integral indefinida inmediata.

Se adjunta una tabla de integrales inmediatas generalizadas.

Se explica la integración por cambio de variable acompañándose de diversos ejemplos resueltos.

Se describe el método de integración por partes y se presentan varios ejemplos resueltos.

4. Aplicaciones de la integral definida

Se presentan algunas de las aplicaciones más importantes de la integral definida a la geometría y a fenómenos sociales:

– Área de figuras planas:

- Área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b..

- Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x = a y x = b.

– Análisis de fenómenos sociales: se ejemplifica la aplicación de la integral definida para resolver problemas de ámbito social.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conceptos tratados en la unidad a partir de la visualización de un applet sobre la integral definida.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice en los contenidos de la unidad. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Determinar la primitiva de una función que cumple una condición dada.

Conocida la gráfica de una función, estudiar la monotonía y los extremos relativos de una cualquiera de sus primitivas.

Calcular el área de la región plana determinada por un sistema de inecuaciones con dos variables.

Hallar el valor de un parámetro para que el área que encierran dos funciones dadas tenga un valor prefijado.


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Calcular el área de cierto recinto plano aplicando la regla de Barrow, el método de los trapecios y el método de Simpson.

Calcular integrales indefinidas aplicando el método de integración por partes reiteradamente en el caso en el que, después de cierto número de pasos, se vuelve a obtener la integral indefinida inicial.

Aproximar el coste total de un producto determinado a partir del coste marginal.







Aplicar la regla de Barrow para hallar integrales definidas.

Calcular una serie de integrales indefinidas inmediatas.

Aplicar el método de los trapecios a la resolución de problemas.

Calcular integrales indefinidas por cambio de variable, con indicación del cambio de variable que se ha de utilizar si éste presenta especial dificultad.

Hallar integrales indefinidas mediante el método de integración por partes, aun en el caso de que deba aplicarse este método reiteradamente, o en el caso que, tras aplicarlo, vuelva a obtenerse otra vez la integral indefinida inicial.

Calcular el área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

Hallar el área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x = a y x = b.

Resolver problemas de determinación de parámetros en cálculos de áreas.

Aplicar la integral definida para resolver problemas de los ámbitos social y económico.


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10. Combinatoria

Objetivos didácticos Conocer los conceptos de número factorial y número combinatorio, y sus aplicaciones.

Conocer las principales técnicas de recuento.

Resolver problemas de contar.

ContenidosConceptos

Números factoriales.

Números combinatorios.

Propiedades de los números combinatorios.

Triángulo de Tartaglia.

Binomio de Newton.

Variaciones ordinarias.

Variaciones con repetición.

Permutaciones ordinarias.

Permutaciones con repetición.

Combinaciones ordinarias.

Combinaciones con repetición.

Procedimientos

Utilización de las propiedades de los números factoriales y combinatorios.

Construcción del triángulo de Tartaglia.

Utilización del triángulo de Tartaglia para la obtención de números combinatorios.

Desarrollo de la potencia enésima de la suma o resta de un binomio mediante el binomio de Newton.

Cálculo del número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k.

Cálculo del número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

Cálculo del número de permutaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k.

Cálculo del número de permutaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

Cálculo del número de combinaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k.

Cálculo del número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.


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Identificación del tipo de configuración correspondiente a un determinado problema.

Resolución de problemas de combinatoria simples y compuestos.

Valores

Valoración y respeto por los diferentes métodos empleados para efectuar un recuento.

Revisión de los resultados de un recuento.







1. Números factoriales

Se presenta una serie de productos que se identifican como números factoriales.

Se da la definición general y la de uno factorial y cero factorial.

2. Números combinatorios

Se presenta una serie de cocientes de números factoriales que permiten la introducción del concepto de número combinatorio y su procedimiento de cálculo.

Se enuncian, demuestran y ejemplifican las propiedades de los números combinatorios.

Se presenta el triángulo de Tartaglia como procedimiento para obtener el valor de los números combinatorios y, finalmente, la relación entre esos números y los coeficientes del desarrollo de un binomio (binomio de Newton).

Se propone un enlace a una página web que contiene una aplicación, desarrollada a partir de la fórmula del binomio de Newton, que permite calcular cualquier potencia de un binomio.

3. Técnicas de recuento

Se presentan las diferentes técnicas de recuento: variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias, permutaciones con repetición, combinaciones ordinarias y combinaciones con repetición. El esquema utilizado en todas ellas es el mismo:

– Se plantea una situación sencilla para cuya resolución sea preciso efectuar un recuento.


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– Se construye un diagrama en árbol con las diferentes configuraciones que son solución del problema y se establecen los criterios que se han tenido en cuenta para formarlas.

– Se definen las configuraciones correspondientes (variaciones ordinarias, variaciones con repetición...).

– Se observa cómo calcular, a partir del ejemplo, el número de configuraciones y se generaliza el resultado obtenido para dar la expresión general del número de dichas configuraciones.

– Se presentan ejemplos de problemas en cuya resolución debe aplicarse la técnica de recuento correspondiente, haciendo hincapié en las características que definen dicha configuración.

– Se plantean ejercicios en cuya resolución deberá utilizarse la misma técnica de recuento.

Se presenta un esquema para reconocer el tipo de configuración que hay que considerar en cada caso y, a continuación, se presentan ejemplos en los que se aplica dicho esquema.

Se presenta un ejemplo de resolución de un problema en que las configuraciones constan, a su vez, de subconfiguraciones.

Se propone un enlace a una página web que contiene una descripción sobre las diferentes técnicas de recuento, donde cada una de ellas consta de unos scripts para realizar cálculos de manera rápida y sencilla.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice en el cálculo con números factoriales y combinatorios y en la resolución de problemas de combinatoria. Para ello se presentan distintos modelos de ejercicios y problemas:

Simplificar dos expresiones con números factoriales.

Determinar el valor de una suma de números combinatorios a partir del desarrollo del binomio de Newton.

Calcular permutaciones circulares.

Hallar el número de caminos posibles para ir de un lugar a otro en un plano.

Calcular permutaciones ordinarias.

Calcular la suma de los números que pueden obtenerse en unas determinadas condiciones.







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Efectuar operaciones con números factoriales y combinatorios, y aplicar sus propiedades para simplificar expresiones que los contengan.

Desarrollar potencias enésimas de la suma o la resta de un binomio utilizando la fórmula del binomio de Newton y obtener el valor del término k-ésimo del desarrollo de un binomio.

Construir el diagrama en árbol correspondiente a un recuento determinado e identificar el tipo de configuración correspondiente según sus características.

Obtener el número de los diferentes tipos de configuraciones (variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición) mediante la aplicación de la fórmula correspondiente.

Resolver problemas de combinatoria, tanto simples como compuestos, identificando previamente el tipo de configuraciones que intervienen.


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11. Probabilidad

Objetivos didácticos Conocer los conceptos de probabilidad y probabilidad condicionada.

Utilizar técnicas personales de recuento, diagramas en árbol y tablas de contingencia para estimar y calcular probabilidades asociadas a diferentes tipos de sucesos.

Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, relacionadas con fenómenos sociales o naturales, e interpretarlas.

ContenidosConceptos

Experimentos aleatorios y deterministas.

Espacio muestral.

Sucesos.

Tipos de sucesos: suceso seguro y suceso imposible.

Operaciones con sucesos: propiedades.

Sucesos compatibles e incompatibles.

Sistema completo de sucesos.

Definición experimental y definición axiomática de probabilidad.

Principales propiedades de la probabilidad.

Regla de Laplace.

Diagrama en árbol.

Tablas de contingencia.

Probabilidad condicionada.

Propiedades de la probabilidad condicionada.

Sucesos dependientes e independientes.

Teorema de la probabilidad total.

Teorema de Bayes.

Procedimientos

Identificación de experimentos aleatorios y deterministas.

Construcción del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Descripción de diferentes tipos de sucesos.


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Realización de operaciones con sucesos.

Aplicación de las propiedades de la probabilidad al cálculo de probabilidades.

Asignación de probabilidades mediante la regla de Laplace.

Desarrollo de un diagrama en árbol para determinar la probabilidad de sucesos en un experimento compuesto.

Utilización de la expresión de la probabilidad condicionada para el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos.

Resolución de problemas mediante los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Valores

Disposición favorable a utilizar la probabilidad para analizar situaciones problemáticas relacionadas con el azar y tomar decisiones.


aplicaciones de las Matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.





1. Sucesos

Se presentan los conceptos básicos de experimento determinista y aleatorio, espacio muestral y suceso.

Se describen en forma de tabla dos tipos especiales de suceso (seguro e imposible) y se presentan las operaciones básicas con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento.

Se presentan en forma de tabla sus propiedades.

Se introducen los conceptos de sucesos compatibles, sucesos incompatibles y sistema completo de sucesos.

2. Definición y propiedades de la probabilidad

Se muestra dos definiciones de probabilidad (una intuitiva, como es la experimental, y otra rigurosa, como es la axiomática) y la relación que existe entre ellas.

Se presentan las principales propiedades de la probabilidad que se derivan directamente de la definición axiomática.


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3. Cálculo de probabilidades

Se justifica la regla de Laplace en condiciones de equiprobabilidad, se enuncia dicha regla y se ejemplifica su uso.

Se demuestra la regla de Laplace.

Se desarrollan los diagramas en árbol y las tablas de contingencia para experimentos compuestos.

4. Probabilidad condicionada

Se introduce el concepto de probabilidad condicionada y se define el principio de la probabilidad condicionada o regla del producto.

Se enuncian las propiedades de la probabilidad condicionada.

Se presenta el concepto de dependencia e independencia de sucesos.

Se propone un enlace a una página web en la que puede visualizarse un ejemplo de probabilidad condicionada y calcular, de forma interactiva, la probabilidad de un suceso condicionado a otro.

Se generaliza, a partir de una situación concreta, el resultado llegando al enunciado del teorema de la probabilidad total.

Se presenta el teorema de Bayes siguiendo el mismo esquema.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los contenidos desarrollados en la unidad.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice en la probabilidad. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Utilizar herramientas combinatorias sencillas en el cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace.

Calcular probabilidades usando las propiedades de las operaciones con sucesos y la regla de Laplace.

Profundizar en la aplicación del concepto de probabilidad condicionada.

Reconocer situaciones problemáticas típicas a las que se aplican el teorema de Bayes y el teorema de la probabilidad total.








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Reconocer un experimento aleatorio, construir su espacio muestral, definir diversos sucesos y determinar su verificación a partir del resultado de dicho experimento.

Atribuir probabilidades a sucesos a partir de la definición experimental de probabilidad o la regla de Laplace (de acuerdo con consideraciones de equiprobabilidad).

Asignar probabilidades a sucesos en experimentos compuestos mediante diagramas en árbol, tablas de contingencia, las propiedades de los experimentos compuestos y la regla de Laplace.

Diferenciar en situaciones reales sucesos dependientes y sucesos independientes.

Utilizar las expresiones de la probabilidad condicionada, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes en el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos.


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12. Muestreo y estimación

Objetivos didácticos Conocer las características de los diferentes tipos de muestreo.

Calcular el error máximo de una estimación y el tamaño adecuado de las muestras.

Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar parámetros con una fiabilidad y una exactitud prefijadas.

Determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca del comportamiento de una población estudiada.

ContenidosConceptos

Muestra, estadístico y parámetro.

Principales tipos de muestreo: aleatorio simple, aleatorio sistemático y aleatorio estratificado proporcional.

Distribución muestral de un estadístico: distribución binomial y distribución normal. Distribución muestral de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias.

Estimación de un parámetro: puntual y por intervalos de confianza.

Sesgo, eficiencia y consistencia de un estimador en una estimación puntual.

Nivel de confianza y de significación en una estimación por intervalos de confianza.

Error de estimación en una estimación por intervalos de confianza.

Procedimientos

Obtención de muestras representativas por muestreo aleatorio: simple, sistemático y estratificado proporcional.

Resolución de problemas mediante el uso de la distribución muestral de las medias, de las proporciones o de la diferencia de medias.

Determinación del intervalo de confianza en casos sencillos: para la media, para la proporción y para la diferencia de medias.

Elección del tamaño de la muestra en un estudio estadístico, fijado el error de estimación.

Interpretación de los datos que aparecen en la ficha técnica de un estudio estadístico.

Valores

Valoración de la utilidad de las técnicas de la inferencia estadística para el estudio de datos procedentes del ámbito de las ciencias sociales y humanas.


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1. Muestreo

Se define cuándo aparece la necesidad de tomar una muestra de la población para la realización del estudio estadístico.

Se comenta cómo inferir, a partir de la muestra considerada, información relativa a la población.

Se observa la necesidad de que la muestra sea representativa para que los datos obtenidos a partir de ella sean fiables.

Se describe lo que es la estadística descriptiva y la inferencial.

Se propone un enlace a una página web que contiene un test interactivo sobre técnicas de muestreo.

Se presentan en una tabla los tipos de muestreo aleatorio más usuales: simple, sistemático y estratificado proporcional. Se describe el procedimiento general acompañándose, en cada caso, de un ejemplo.

Se presenta el concepto de distribución muestral.

Se describen la distribución binomial y la distribución normal, y se deduce la relación entre ellas.

Se propone un enlace a una página web que contiene una aplicación interactiva sobre la gráfica de la función de densidad de una distribución normal.

Se describe el análisis la media poblacional: se indica que se estudia a partir del estadístico media muestral, se define la variable aleatoria media muestral y se considera su distribución, a la que se le llama distribución muestral de las medias. A continuación, se relacionan los parámetros poblacionales media y desviación típica con los parámetros media y desviación típica de la distribución muestral de las medias.

Se enuncian el teorema central del límite y la ley de los grandes números.

Se introduce el análisis de la proporción poblacional: se indica que se estudia a partir del estadístico proporción muestral y se considera la distribución muestral de las proporciones. A continuación, se relaciona el parámetro poblacional proporción con los parámetros media y desviación típica de la variable asociada a la distribución muestral de las proporciones.


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Se presenta, siguiendo el mismo procedimiento, la distribución muestral de la diferencia de medias.

2. Estimación

Se presenta la definición de estimación como la aproximación de parámetros a partir de estadísticos.

Se presentan las dos formas de estimación más usuales: puntual y por intervalos de confianza. Respecto a la primera, o aproximación directa del valor de un parámetro por el de un estadístico obtenido de una muestra, se plantea la necesidad de controlar de alguna forma la fiabilidad de tal aproximación.

Se define el concepto de estimador y se describen las propiedades que se han de estudiar en él, sesgo, eficiencia y consistencia, para saber si dará buenas estimaciones.

Se empieza por definir el concepto de nivel de confianza y el de nivel de significación respecto a la estimación por intervalos de confianza, u obtención de un intervalo a partir de una muestra que contenga el parámetro buscado con probabilidad elevada.

Se presenta el método general para obtener el intervalo de confianza de un parámetro cualquiera, con nivel de confianza o nivel de significación dados, bajo ciertas hipótesis de normalidad.

Se obtiene la expresión general del intervalo de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias.

Se deduce la expresión del error máximo (error de estimación) que puede cometerse al aproximar un parámetro a partir de un intervalo de confianza con un nivel de significación dado, y en el margen se dan las expresiones correspondientes a los tres casos particulares tratados en la unidad: media, proporción y diferencia de medias.

Tras observar que dicho error depende del tamaño de la muestra con la que se trabaja, se plantea el problema consistente en hallar el tamaño adecuado para que el error sea el que nosotros deseemos.

3. Interpretación de una ficha técnica

Se muestra una aplicación práctica de los conocimientos adquiridos en la unidad.


Seleccionar una muestra por muestreo aleatorio sistemático y otra por muestreo aleatorio estratificado proporcional, estimar un parámetro utilizando ambas muestras y extraer conclusiones.

Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores superiores o inferiores a uno dado y, recíprocamente, determinar el valor k tal que P (X ≤ k) o P (X > k) tome un valor prefijado.

Calcular el error cometido al estimar una proporción por intervalos de confianza y determinar el tamaño de la muestra para que dicho error de estimación tome un valor predeterminado.






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Calcular probabilidades utilizando la distribución normal.

Resolver problemas de aplicación de las distribuciones muestrales de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias, y valorar la utilidad de la inferencia estadística en las ciencias sociales y humanas.

Calcular el intervalo de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias, con un nivel de confianza o con un nivel de significación dados.

Hallar el error máximo cometido al efectuar una estimación por intervalos de confianza de la media, proporción o diferencia de medias.

Determinar el tamaño que debe tener una muestra para que el error de estimación cometido sea uno prefijado.


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13. Contraste de hipótesis

Objetivos didácticos Conocer los conceptos relacionados con los contrastes de hipótesis.

Plantear y realizar test de hipótesis basados en distintos estadísticos.

Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos del mundo real.

ContenidosConceptos

Decisión estadística.

Hipótesis nula e hipótesis alternativa.

Test de hipótesis.

Error de tipo I y error de tipo II.

Nivel de significación y potencia de un test de hipótesis.

Estadístico de contraste.

Región crítica.

Test unilateral y test bilateral.

Procedimientos

Pasos para la realización de un test de hipótesis.

Determinación de la región crítica asociada a un test bilateral, unilateral por la derecha y unilateral por la izquierda.

Resolución de tests de hipótesis bilateral, unilateral por la derecha y unilateral por la izquierda, relativos a la media, a la proporción y a la diferencia de medias.

Construcción e interpretación de tablas de control de calidad.

Valores

Valoración de la utilidad de los tests de hipótesis para el estudio de datos procedentes del ámbito de las ciencias sociales y humanas.





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1. Decisiones estadísticas

Se introduce el término decisión estadística y se advierte del riesgo de error que supone tomarla.

Se definen hipótesis nula e hipótesis alternativa, y se plantea el problema de saber cuándo aceptar o rechazar una u otra, lo que conduce al concepto de test de hipótesis.

Se definen conceptos asociados a todo test de hipótesis: error de tipo I, error de tipo II, nivel de significación, potencia...

Se describen los principales aspectos que deben tenerse en cuenta a la hora de elaborar un buen test de hipótesis.

Se explica el criterio que debe seguirse para elegir la hipótesis nula.

2. Tests de hipótesis

Se explica el procedimiento que debe seguirse para realizar un test de hipótesis, en caso de querer decidir si un parámetro poblacional es igual, menor o mayor que cierto valor, y, dado que sólo se han considerado hipótesis alternativas complementarias a la hipótesis nula, esto da lugar a tres tipos de test, llamados, respectivamente, tests tipo 1, tipo 2 y tipo 3. Dicho procedimiento consta de cuatro etapas.

Para la realización del segundo paso el estadístico de contraste ha de ser insesgado y ha de tener distribución normal.

Se deduce la forma de la región de rechazo para los tres tests considerados, clasificándolos según la forma que adopta dicha región.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conocimientos sobre el contraste de hipótesis y practicar con diferentes aplicaciones interactivas.

3. Control de calidad

Se concluye la unidad con una aplicación práctica de los tests de hipótesis: el control de calidad en los procesos industriales.

Tras presentar la situación de manera general, se explica más detalladamente el caso del control de calidad para la media.

Finalmente, se comenta cómo se hace uso, en un control de calidad, de uno de los tipos de test vistos para la proporción.

Se propone un enlace a una página web para ampliar los conocimientos sobre el proceso del control de calidad.



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Realizar un test de hipótesis a partir de los datos obtenidos de una muestra.

Estudiar los valores del estadístico correspondiente a una muestra dada que harían aceptar o rechazar cierta hipótesis nula.

Obtener la región de aceptación de determinados tipos de test a partir de los intervalos de confianza.







Dar la región crítica tipificada asociada a los tres tipos de test estudiados en la unidad.

Determinar los valores del estadístico correspondiente a una muestra dada que harían aceptar o rechazar cierta hipótesis nula.

Realizar tests de hipótesis relativos a la media, a la proporción y a la diferencia de medias, y valorar la estadística como instrumento importante a la hora de contrastar una afirmación sobre cierta característica de una población, así como su aplicación a diversos ámbitos de las ciencias sociales y humanas.

Resolver ejercicios de control de calidad y valorar la utilidad de los tests de hipótesis en el ámbito de las ciencias económicas y sociales.


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