Matemática

Matemática

2

Mat

emát

ica

2º

año

añoº

2añoº

Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infi nitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces.

El aprendizaje signifi cativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzadoa otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.

oña º2

Matemática 2º año© 2012 by Editorial Santillana, S.A.Editado por Editorial Santillana, S.A.Nº de ejemplares: 26 550Reimpresión: 2014

Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454www.santillana.com.ve

Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA

ISBN: 978-980-15-0622-5Depósito legal: If6332012372267

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

El libro Matemática de 2º año de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.

En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Lectura especializadaHenry J. Martínez L.Profesor, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador.Magíster en Ciencias, mención Matemática.Universidad Central de Venezuela

Coordinación de arteMireya Silveira M.

Diseño de unidad gráfi caMireya Silveira M.

Coordinación de unidad gráfi caMaría Elena Becerra M.

Diseño de portadaMireya Silveira M.

Ilustración de la portadaWalther Sorg

Diseño y diagramación generalaihccelignA anaiD , .M arreceB anelE aíraM

María Fernanda Guédez, María Alejandra GonzálezJosé Pérez Duin

Documentación gráfi caAmayra VelónAndrés Velazco

IlustracionesWalther Sorg, Oliver González,Fondo Documental Santillana

InfografíasWalther Sorg Oliver González

FotografíasFondo Documental Santillana

Retoque y montaje digitalEvelyn Torres

Edición general adjuntaInés Silva de Legórburu

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Edición ejecutivaLisbeth C. Villaparedes de MazaNathalia García M.

Textos• .N zednánreH .G leinaD

Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela

• odaravlA htiduJ Profesora, mención Matemática.Universidad Pedagógica Experimental Libertador;Magister en Educación, mención Enseñanza de la Matemática.Universidad Pedagógica Experimental Libertador

• .C olevrA .Y adniL Licenciada en Matemática.Universidad Central de Venezuela

• azaM ed sederapalliV .C htebsiL Profesora, mención Matemática.Universidad Pedagógica Experimental Libertador

• zeugnímoD aglO Licenciada en Matemática.Universidad Central de Venezuela

• .C oredroC aruasoR Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática.Universidad Central de Venezuela

Edición de apoyoEvelyn Perozo de CarpioDoris E. Pérez de Acevedo

Corrección de estiloMariví CoelloKarina HernándezJuan Luis Valdez

Matemática 2añoº

SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Estructura del libro

Logros esperados. Enunciados breves que describen los principales conocimientos, valores, habilidades y destrezas que se pretende consolidar con el desarrollo de los contenidos de la unidad.

Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación, para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.

Infografía. Recurso gráfico que permite despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos.

Inicio de unidad

Para reflexionar y debatir. Preguntas dirigidas a generar conclusiones a partir del análisis de la información y los datos planteados en la infografía.

Desarrollo de los temas

Pensamiento crítico. Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.

Información complementaria. Datos adicionales que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.

Actívate. Preguntas relacionadas con situaciones de la vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.

Contenido. Tema con información actualizada, presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.

2

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que presentan la información a través de imágenes y textos asociados, para aprender de manera dinámica.

Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos. Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual, y la interacción por medio del trabajo en equipo.

Idea para la acción. Desarrollo de la actividad anunciada al inicio de cada unidad, con sugerencias para su planificación, puesta en práctica y evaluación, como estrategia para la generación de conocimientos.

Conexos con… Datos informativos que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.

Cierre de unidad

Conexos con…que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.

Estrategia de resolución de problemas. Estrategias sistemáticas para resolver problemas, con base en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento.

3

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

ÍndiceU1 Números enteros ............................... 6

Tema 1 Números enteros (Z) ........................................................... 8

Tema 2 Operaciones en Z ................................................................ 10

Tema 3 Propiedades de la adición, la multiplicación y la potenciación en Z ......................................................... 12

Tema 4 Operaciones combinadas con potencias en Z .................... 16

Tema 5 Ecuaciones en Z .................................................................. 18

Cierre Actividades de refuerzo ...................................................... 20 Estrategia de resolución de problemas .............................. 22 Idea para la acción: Trazo de la trayectoria

hacia los sitios más frecuentados ....................................... 23

Tema 6 Propiedades de la adición de polinomios ........................... 76

Tema 7 Sustracción de polinomios ................................................. 78

Tema 8 Multiplicación de monomios............................................... 80

Tema 9 Multiplicación de un monomio por un polinomio ................................................................ 82

Tema 10 Multiplicación de polinomios ............................................. 84

Tema 11 Propiedades de la multiplicación de polinomios .................................................................... 86

Tema 12 División entre un monomio ................................................. 88

Tema 13 División de polinomios con coeficientes enteros ..................................................... 90

Tema 14 División de polinomios con coeficientes racionales................................................. 92

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 94 Estrategia de resolución de problemas ............................. 96 Idea para la acción: Diseño y construcción

de un juego de polinomios .................................................. 97

U4 Polinomios ........................................ 62Tema 1 Función polinómica ............................................................ 64

Tema 2 Elementos de un polinomio ................................................ 66

Tema 3 Orden de los términos de un polinomio .............................. 68

Tema 4 Clasificación de los polinomios........................................... 70

Tema 5 Adición de polinomios......................................................... 72

U3 Funciones ......................................... 40Tema 1 Relaciones entre conjuntos ................................................ 42

Tema 2 Función ............................................................................... 44

Tema 3 Función numérica ............................................................... 46

Tema 4 Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva ....................... 48

Tema 5 Plano cartesiano ................................................................. 50

Tema 6 Representación gráfica de funciones ................................. 52

Tema 7 Función afín ........................................................................ 54

Tema 8 Casos de la función afín ..................................................... 56

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 58 Estrategia de resolución de problemas ............................. 60 Idea para la acción: Estudio de mercado

de un mini negocio .............................................................. 61

U5 Productos notables y factorización .................................. 98

Tema 1 Productos notables: cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia.............................................. 100

Tema 2 Productos notables: producto de una suma por su diferencia ................................................................. 102

Tema 3 Productos notables: producto de dos binomios con un término común......................................................... 104

Tema 4 Productos notables: cubo de una suma y cubo de una diferencia ..................................................... 106

Tema 5 Productos notables combinados ......................................... 108

Tema 6 Factor común de un polinomio ........................................... 110

Tema 7 Factorización de un polinomio ............................................ 112

Tema 8 Factorización: adición y sustracción de cubos .................... 116

Tema 9 Factorización combinada..................................................... 118

Tema 10 Raíces de un polinomio ....................................................... 120

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 122 Estrategia de resolución de problemas ............................. 124 Idea para la acción: Producción de un video demostrativo

de las fórmulas de productos notables............................... 125

U6 Fracciones algebraicas ....................... 126Tema 1 Fracciones algebraicas........................................................ 128

Tema 2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas .................................................. 130

Tema 3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas ................................................... 134

U2 Números racionales ........................... 24Tema 1 Números racionales (Q) ..................................................... 26

Tema 2 Operaciones en Q ............................................................... 28

Tema 3 Propiedades de la adición y la multiplicación en Q ..................................................... 30

Tema 4 Operaciones combinadas con potencias en Q ............................................................ 32

Tema 5 Ecuaciones en Q ................................................................. 34

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 36 Estrategia de resolución de problemas ............................. 38 Idea para la acción: Construcción de una

lámpara con fractales ......................................................... 39

4

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

U10 Informática ....................................... 210Tema 1 Algoritmos .......................................................................... 212

Tema 2 Diagramas de fl ujo ............................................................. 214

Tema 3 Resolución de problemas a través de la computadora .............................................................. 216

Tema 4 Programación ...................................................................... 218

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 222 Estrategia de resolución de problemas ............................. 224 Idea para la acción: Representación del proceso

de evacuación de una edifi cación ....................................... 225

Solucionario ...................................................................................... 226

Fuentes consultadas ........................................................................ 232

Tema 4 Operaciones combinadas con fracciones algebraicas ................................................. 136

Cierre Actividades de refuerzo ...................................................... 138 Estrategia de resolución de problemas ............................. 140 Idea para la acción: Comparación de la rentabilidad

de dinero colocado en diferentes bancos .......................... 141

U7 Vectores ........................................... 142Tema 1 Vectores y sus elementos ................................................... 144

Tema 2 Representación de vectores en el plano............................. 146

Tema 3 Vectores equipolentes ........................................................ 148

Tema 4 Adición de vectores y sus propiedades .............................. 150

Tema 5 Sustracción de vectores ...................................................... 154

Tema 6 Multiplicación de un número por un vector y sus propiedades ............................................................... 156

Tema 7 Operaciones combinadas con vectores .............................. 158

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 160 Estrategia de resolución de problemas ............................. 162 Idea para la acción: Demostración de la ley que permite

a un velero navegar contra el viento ................................. 163

U8 Geometría ......................................... 164Tema 1 Proyecciones ortogonales .................................................. 166

Tema 2 Traslaciones ........................................................................ 170

Tema 3 Rotaciones........................................................................... 174

Tema 4 Simetría axial ..................................................................... 178

Tema 5 Congruencia ........................................................................ 180

Tema 6 Congruencia de triángulos .................................................. 184

Tema 7 Rectas paralelas y secantes ............................................... 186

Tema 8 Ángulos determinados por la intersección de rectas.............................................................................. 188

Tema 9 Aplicaciones de ángulos determinados por rectas ............ 190

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 192 Estrategia de resolución de problemas ............................. 194 Idea para la acción: Elaboración

de un reloj analógico .......................................................... 195

U9 Probabilidad y estadística .................. 196Tema 1 Sucesos ............................................................................... 198

Tema 2 Probabilidad de sucesos independientes .......................... 200

Tema 3 Medidas de tendencia central para datos no agrupados ................................................... 202

Tema 4 Medidas de tendencia central para datos agrupados ........................................................ 204

Cierre Actividades de refuerzo ..................................................... 206 Estrategia de resolución de problemas ............................. 208 Idea para la acción: Construcción y análisis estadístico

de un circuito eléctrico ....................................................... 209

A propósito del lenguaje de géneroSegún la Real Academia de la Lengua Española y su correspon-diente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos en los que el empleo del género no marcado sea sufi cientemente explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo.

Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana he-mos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la lucha por la conquista defi nitiva de la equidad de género.

En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocu-pación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma, fi nes en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las autoridades académicas.

A propósito de las Tecnologías de la Información y la ComunicaciónEditorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las com-petencias digitales de docentes y estudiantes, así como para comple-mentar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos.

Sin embargo, dado el carácter extremadamente fl uido, mutable y dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supre-siones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios, y quedan completamente fuera del control de la editorial.

Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.

5

lOGROs esPeRadOs

NÚMEROS ENTEROS

6 oC0 oC–7 oC–15 oCFin de la

Era Glacial

Fin de la Edadde Piedra

Principio de laúltima Era Glacial

Extinción del mamutEl mamut fue un mamífero adaptadoa temperaturas entre –6 oC y 0 oC

Año –80006 oC

Año –370010 oC

Año 010 oC

Año 190015 oC

Año 201216 oC

Extinción delhombre de Neandertal

Homo sapienseuropeo

Neandertal

Adaptado al fríode la Era Glacial

Inicio delcalentamiento

global

Por el efecto invernaderoaumentará entre 1 oC y 6 oC

en el último siglo

europeoAdaptado al fríoAdaptado al fríode la Era Glacialde la Era Glacial

Temperaturapromedio mundial

15 oC

Sol

Año –8000Año –12000Año –28000Año –98000

Homo sapienssapiens

Mamut Ser humanomoderno

Homo sapiensamericano

¿Cómo evolucionó la temperatura a través del tiempo?

U1

idea PaRa la acciÓNTrazo de la trayectoria hacia los sitios más frecuentados

Al fi nal de esta unidad trazarán la ruta desde sus casas hasta los sitios más frecuentados usando un eje de coordenadas sobre un mapa.

• Resolver problemas enlos que se utilicen ope-raciones con números enteros.

• Comprender el uso dela matemática en expe-riencias cotidianas.

• Reconocer el rol dela matemática a travésde la historia y enel mundo actual.

Los números enteros ayudan a expresar diversas situaciones. Por ejemplo los cambios que ha registrado el clima desde antes de la era moderna hasta la actualidad. La última era glacial terminó hace 10 000 años y, desde entonces, ha aumentado la temperatura gradualmente hasta el siglo actual.

6 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

6 oC0 oC–7 oC–15 oCFin de la

Era Glacial

Fin de la Edadde Piedra

Principio de laúltima Era Glacial

Extinción del mamutEl mamut fue un mamífero adaptadoa temperaturas entre –6 oC y 0 oC

Año –80006 oC

Año –370010 oC

Año 010 oC

Año 190015 oC

Año 201216 oC

Extinción delhombre de Neandertal

Homo sapienseuropeo

Neandertal

Adaptado al fríode la Era Glacial

Inicio delcalentamiento

global

Por el efecto invernaderoaumentará entre 1 oC y 6 oC

en el último siglo

Año 0 Año 1900

Temperaturapromedio mundial

15 oC

Año 2012

Por el efecto invernaderoC y 6 o

en el último siglo

promedio mundial

Por el efecto invernaderoPor el efecto invernaderooC

Sol

Año –8000Año –12000Año –28000Año –98000

Homo sapienssapiens

Mamut Ser humanomoderno

Homo sapiensamericano

Para refl exionar y debatir¿Cuántos años han transcurrido desde el principio de la última Era Glacial? ¿Cuántos grados ha aumentado la temperatura desde entonces? ¿Por qué estos datos se expresan con números enteros? ¿En qué siglo se generó el aumento más signifi cativo de la temperatura? ¿Crees que el ser humano es responsable de estos cambios en el clima? ¿Cómo se podrían evitar?

Números eNteros 7

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Tema 1

Valor absoluto de un número entero Geométricamente, el valor absoluto de un número a es la distancia que hay desde el cero (0) hasta ese número. Se denota como uau.

Z 5 5..., 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, ...6

Z15 511, 12, 13, 14, ...6 5 51, 2, 3, 4, ...6

N15 5 0, 1, 2, 3, 4, ...6

Z25 5...,24, 23, 22, 216

Z*5 5..., 23, 22, 21, 1, 2, 3, ...6

El conjunto de los números enteros contiene a los siguientes subconjuntos:

Conjunto de los números enterosLas cantidades expresadas en diversas situaciones pueden tomar valores positivos o negativos. Por ejemplo, la altitud sobre el nivel del mar se expresa con cantidades positivas; y las medidas de la profundidad, es decir, por debajo de ese nivel, en cantidades negativas. En ambos casos se usan los números enteros. El conjunto de los números enteros, denotado por Z, es:

acTívaTe

En los estados de cuentas bancarias, ¿con qué signo se representan los depósitos? ¿Y los retiros? ¿En qué otras situaciones se usan los números negativos?

Números enteros (Z)

• Enteros positivos (Z1). Se representa con Z1. Lo componen los enteros que tienen signo positivo (1).

• Enteros negativos (Z2). Se representa con Z2. Lo componen los enteros que tienen signo negativo (2).

• Números naturales. Está constituido por los enteros positivos y el cero.

• Enteros positivos y negativos sin el cero. Está compuesto por todos los enteros excepto el cero.

EjEmplo

Si unas algas marinas comienzan a crecer a 25 m de profundidad, ¿qué distancia hay desde allí hasta el nivel del mar?

Procedimiento

Se halla el valor absoluto de 25. Para ello se miden los espacios entre 25 y 0. u25u 5 5

Por ejemplo, u8u 5 8; u22u5 2(22) 5 2 y u0u 5 0.

Respuesta: la distancia que hay entre el suelo donde crecen las algas marinas y el nivel del mar es de 5 m.En conclusión, el valor absoluto de un número entero a se define así:

02122232425

5 espacios

• u a u 5 a, si a 0 • u a u 5 2a, si a 0 • u a u 5 0, si a 5 0

8 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Pensamiento críticoSe tienen dos congeladores: A , que alcanza los 28 ºC, y B , que llega a congelar a 15 ºC bajo cero. Si se requiere refrigerar los artículos de la derecha a la temperatura indicada, ¿en cuál de los congeladores pondrías el pescado? ¿Y el helado? ¿Y el pollo?

3 Representa los números en la recta numérica y ordénalos de menor a mayor. a) 0; u22u; 25; 26; 21; 22; 3 y 4 b) 25; u224u; 23; u2u221uu y 22 c) 216; 2u215u; 220 y 2u18u

4 Determina el valor o los valores de la incógnita en cada caso. a) u2xu = 25 b) u23u 5 p c) unu 5 12 d) 2u5u 5 2m e) 210 5 2upu f ) u2mu 5 12

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Identifica cuáles números son enteros. a) 22,2 b) 4 c) 0 d) 10 e) 1

3 f ) 25 g) 22 489 h) 7

5 i) 20,8 j)22

2 Completa con los signos , o 5 según corresponda.

Ecuaciones con valor absoluto Una ecuación con valor absoluto es una igualdad en la que se desconoce un término llamado incógnita, el cual está expresado como un valor absoluto. Estas ecuaciones siempre tienen dos soluciones.

Orden en Z Para comparar dos números enteros a y b y ordenarlos, se toman en cuenta sus signos y se aplica la siguiente regla según sea el caso:• Si a y b son positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Por ejemplo, 4 2 porque u4u u2u.• Si a es positivo y b negativo, a siempre es mayor. Por ejemplo, 30 277.• Si a y b son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Por ejemplo,

27 212 porque u27u u212u.• El 0 es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo.

EjEmplo

Si uxu 5 10, ¿cuánto vale x?

Procedimiento

Se buscan los números que satisfacen la igualdad.

Como u10u 5 10 y u210u 5 10, entonces x 5 10 o x 5 210.

a) 210 220

b) u215u u225u

c) u21u 216

d) u98u u298u

e) 3 (22) 3 2f ) 253 52

g) 25 49

h) 4 2 10 9 (23)

i) u3u u270u

j) 0 u233u

k) u12u 12

l) 28 u28u

Los números ente-ros se representan gráficamente en la recta numérica eligiendo un punto para el 0 y un seg-mento unidad. Los enteros positi-vos se representan a la derecha del 0; y los enteros negati-vos, a la izquierda.

El 0 es un número entero que no es ni positivo ni negativo.

RecueRda

Más de 12 °C bajo cero

Menos de -5 °C Más de -10 °C

Números eNteros (Z) 9

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Adición, sustracción, multiplicación y división en ZPara efectuar operaciones en el conjunto de los números enteros, se aplica la regla de los signos correspondiente. La siguiente tabla muestra la regla para cada operación:

acTívaTe

Cuando se tiene una deuda y se adquiere otra, ¿cómo se calcula la deuda total? ¿Y cómo se puede distribuir la deuda entre varias personas?

Operaciones en Z Tema 2

Operación EjemplosRegla de los signos para todo a y b Z

Adición

• (22) 1 (25) 5 2(2 1 5) 5 27

• (116) 1 (112) 5 1(16 1 12) 5 28

• (125) 1 (23) 5 1(25 – 3) 5 22

• (232) 1 (14) 5 2(32 2 4) 5 228

• (2a) 1 (2b) 5 2 (a 1 b)

• (1a) 1 (1b) 5 1 (a 1 b)

• Si uau u2bu, entonces (1a) 1 (2b) 5 1 (a – b)

• Si u2au ubu, entonces (2a) 1 (1b) 5 2 (a – b)

Sustracción• (26) 2 (13) 5 (26) 1 (23) 5 29

• 12 2 (25) 5 (112) 1 (15) 5 117

• a 2 b 5 a 1 (2 b)

• a 2 (2 b) 5 a 1 (1 b)

Multiplicación

• (13) (15) 5 115

• (25) (11) 5 25

• (135) (22) 5 2 70

• (210) (24) 5 140

• (1a) (1b) 5 1 (a b)

• (2a) (1b) 5 2 (a b)

• (1a) (2b) 5 2 (a b)

• (2a) (2b) 5 1 (a b)

División

• (125) 4 (15) 5 5

• (2150) 4 (21) 5 150

• (126) 4 (213) 5 2 2

• (2100) 4 (14) 5 225

• (1a) 4 (1b) 5 1 (a 4 b)

• (2a) 4 (2b) 5 1 (a 4 b)

• (1a) 4 (2b) 5 2 (a 4 b)

• (2a) 4 (1b) 5 2 (a 4 b)

Conexión Wi-fiUn grupo de investi-gadores de la Univer-sidad de los Andes, superó la máxima distancia alcanzada en el mundo con una transmisión de datos utilizando la tecnolo-gía Wi-Fi.

Lograron transmitir datos de 233 K a 653 K entre el pico El Águila en Mérida, hasta la población El Baúl, en Cojedes a 279 kilómetros.

Para calcular las tasa de transferencia de datos las compu-tadoras hacen uso de las operaciones básicas entre nú-meros enteros. En este caso, se obtuvo una tasa de trans-ferencia de 58,9 kb por segundo con un máximo de 448 kb.

diveRsidad culTuRal

10 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

EjEmplo Un equipo de fútbol tuvo 15 encuentros. En ocho partidos ganó 3 goles a 2 y en el resto perdió 4 goles a 1. ¿Cuántos goles a favor y en contra tuvo este equipo?

Procedimiento

Operaciones combinadas en ZAlgunas veces es necesario efectuar varias operaciones para resolver un problema.

Potenciación en ZLa potenciación es una multiplicación abreviada que se resuelve multiplicando la base por sí misma tantas veces como indica el exponente. Es decir, si a Z,

se cumple que an 5 a a a a ... a; donde a es la base y n es el exponente.

Al efectuar una potencia se tienen en cuenta los signos de la base y del exponente: si la base es positiva, el resultado es positivo; si es negativa y el exponente es par, también es positivo; si es igualmente negativa y el exponente es número impar, entonces el resultado es negativo. Así se fundamenta que 32 = 3 3 = 9; (24)2 5 (24) (24) 5 16; (25)3 5 (25) (25) (25) 5 2125.

Respuesta: el equipo tuvo 31 goles a favor y 44 en contra.

2. Se calculan los goles que hizo el equipo tanto en los juegos ganados como en los perdidos.

3. Se calculan los goles en contra al equipo, en los juegos ganados y en los perdidos.

1. Se calcula la cantidad de juegos perdidos.

Goles en contra en juegos ganados y perdidos: Ganados: 2 8 = 16 Perdidos: 4 7 5 28 Total de goles en contra: 28 + 16 5 44

2 Resuelve los problemas.

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Efectúa cada operación. a) 26 2 (2227) 5 d) 15 92 5 g) 28 6 1 4 5 j) (216) (211) 5 m) 150 4 52 5 o) 16 1 120 5 b) 47 1 (2123) 5 e) 45 4 5 5 h) 3 1 83 4 4 5 k) 120 1 5 12 5 n) (215)3 5 p) 453 1 3 5 c) (2256) 4 32 5 f ) 1253 5 i) 229 2 5 5 l) 16 (225 1 4) 5 ñ) (24)6 5 q) 25 25 5

a) Juan, Luis y Rosa obtuvieron

6 000 puntos jugando videojuegos. Si todos sacaron igual puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo cada uno?

b) Claudia presentó una prueba de 40 preguntas. Cada respuesta correcta valía 1 punto y por cada incorrecta le restaban 1 punto. Si Claudia tuvo 10 respuestas correctas y el resto incorrectas, ¿qué puntaje obtuvo en el examen?

Goles a favor en juegos ganados y perdidos: Ganados: 3 8 5 24 Perdidos: 1 7 5 7 Total de goles a favor: 24 1 7 5 31

Total de juegos: 15; juegos ganados: 8;juegos perdidos: 15 2 8 5 7

n veces(23)5

5 (23) (23) (23) (23) (23) 5 2243

Exponente(5 veces)

Base

operacioNes eN Z 11

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

• Propiedad conmutativa • Propiedad asociativa

Propiedades de las operaciones en Z La adición y la multiplicación en el conjunto de los números enteros, cumplen con las mismas propiedades queen el conjunto de los números naturales.

Propiedades de la adición en Z Las propiedades de la adición en Z se presentan en diversas situaciones. Por ejemplo, en un concurso de surf, un tanto diferente, se evalúa por puntajes positivos o negativos a quienes compiten y se aplican las propiedades siguientes para calcular los puntajes fi nales.

Total: 36 1 (212 ) 5 24

Ambos participantes obtuvieron igual puntaje.

acTÍVaTe

Si tienes que calcular una suma o una multiplicación con números enteros, ¿puedes aplicar las mismas propiedades que se usan en los números naturales?

TeMa 3

Propiedades de la adición, la multiplicacióny la potenciación en Z

Puntajeparticipante 2

Juez 36Juez 212

Ambos participantes obtuvieron igual puntaje.Ambos participantes obtuvieron igual puntaje.

Si a y b Z, entonces a 1 b 5 b 1 a.

Si a Z, entoncesa 1 0 5 a y 0 1 a 5 a. 0 es el elemento neutrode la adición.

Total: 36 1 (221 ) 5 15

En este caso, se observa quese calculó la suma del puntajede cada ronda por separadoy luego se halló la suma total.Entonces, se tiene que:

PuntajeJuez 15Juez 215

0

Sea a Z, se tiene que 2a esel opuesto de a pues a 1 (2a ) 5 0y (2a ) 1 a = 0.

El competidor obtuvo 0 puntos. Por lo tanto 215 es el opuestode 15.

• Elemento opuesto• Elemento neutro

Si a, b y c Z, entoncesa 1 b 1 c 5 (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c).

Total: (212 ) 1 36 5 24

Puntajeparticipante 1

Juez 212Juez 36

A

B

A

B

B

A

2a rondaparticipante 3

Juez 213Juez 2 7

2 21

1a rondaparticipante 3

Juez 3636

A B

C

12 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Puntaje total: 3 rondas por 24 puntosen cada una (3 ? 24 5 72)

Ambas atletas obtuvieron los mismos puntos. Entonces, 24 ? 3 5 3 ? 24 5 72. En general:

En general se tiene que:

Como cada integrante del equipo rojo obtuvo 72 puntos, el puntaje del equipo se puede calcular así:

Puntaje total: 24 puntos en cadauna de las 3 rondas (24 ? 3 5 72)

• Propiedad conmutativa

• Propiedad asociativa

Propiedades de la multiplicación en Z Al fi nal de un concurso como el propuesto en el ejemplo, se usan métodos de multiplicación para contar, fácilmente,los puntos negativos o positivos. Al efectuar los cálculos pueden usar las propiedades de la multiplicación en Z:

acTÍVaTe

Si tienes que calcular una suma o una multiplicación con números enteros, ¿puedes aplicar las mismas propiedades que se usan en los números naturales?

Puntajeparticipante 4

1a ronda 242a ronda 243a ronda 24

Puntajeparticipante 5

1a ronda 242a ronda 243a ronda 24

Si a y b Z, entonces a ? b 5 b ? a.

Si a, b y c Z, entonces: (a ? b) ? c 5 a ? (b ? c).

Equipo rojo

Equipo rojo

3 ? 24 ? 2 5 (3 ? 24) ? 2 5 72 ? 2 5 144

O también así:3 ? 24 ? 2 5 3 ? (24 ? 2) 5 3 ? 48 5 144

• Elemento neutro. El elemento neutrode la multiplicación en Z es el 1 porque:

• Factor cero. El cero es el factor que anula a cualquier número entero, es decir:

Para todo entero a, se tiene que: a ? 0 5 0 ? a 5 0por ejemplo 0 ? 12 5 0.

Para todo entero a, se cumple que: a ? 1 5 a; por ejemplo 210 ? 1 5 210.

cantidad de atletas

• Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

Puntaje del participante 6 entre las dos rondas:

2 ? [ (213) 1 7 ] 5 2 ? (213) 1 2 ?7 5 226 1 14 5 212

2a Ronda PuntajeJuez 213Juez 7

1a Ronda PuntajeJuez 213Juez 7 En general se tiene que:

Si a, b y c son números enteros, entonces a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c.

C C

B B

ProPIeDADes De LA ADICIÓN, LA mULtIPLICACIÓN Y LA PoteNCIACIÓN eN Z 13

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

• Todo número ele-vado a 1 es igual al mismo número, es decir, para todo aZ, se tiene que a1 5 a.

• Todo número diferente de cero elevado a 0 es igual a 1, esto es, a0 5 1 para todo aZ.

• 0 elevado a cual-quier exponente entero positivo es igual a cero, es decir, 0n 5 0.

• 1 elevado a cualquier número entero es igual a 1, es decir, 1n 5 1, para todo nZ.

RecueRda

Propiedades de la potenciación en Z Al efectuar operaciones con potencias pueden usarse algunas propiedades que permiten facilitar los cálculos. La siguiente tabla contiene las propiedades de la potenciación.

Multiplicación de potencias de igual base

• 52 ? 57 5 5217 5 59

• (23)4 ? (23)3 5 (23)4 + 3 5 (23)7• am ? an 5 am + n

División de potencias de igual base

• 75 4 72 5 75 – 2 5 73

• (25)1 500 4 (251 499 5 (25) 1 500 2 1 499 5 (251 5 25

• Si m n se tiene queam 4 an 5 am 2 n.

Potencia de una potencia

• [(23)3]2 5 (23)3 ? 2 5 (23)6

5 2243 • [am]n 5 am ? n

Potencia de un producto

• [4 ? (23)]2 5 42

? (23)2

5 16 ? 9 5 144• (a ? b)n 5 an ? bn

Potencia de un cociente

• (290 4 15)3 5 (290)3

4 153

5 2729 000 4 3 375 5 221 • (a 4 b)n 5 an 4 bn

Propiedad Ejemplo Generalización para todo a, b Z y m, n N

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Calcula cada operación. Menciona en cada caso las propiedades utilizadas. a) 9 1 (23) 1 79 = f ) m2 ? m5 ? m4 ? m0 5 k) a6 4 a3

b) (224) 1 8 1 3 1 (218) + (216) = g) (23)3 ? (23)3 ? 33 5 l) a100 4 a98

c) (22) ? (–7) ? 3 = h) (2x)2 ? (2y)5 ? (2x)5 ? y0 5 m) 152 4 152 5

d) [(22) 1 6] ? (25) ? 6 = i) (a2)4 ? (a2)7 ? a2 ? (a2)0 5 n) 32 ? 199 ? 22 ? 22 5

e) (23)3 ? (23) ? (23)3 = j) (230)2 ? 102 ? 302 ? (210)2 5 ñ) x1y8 4 y8 5

2 Halla el valor de x en cada caso aplicando las propiedades de la potenciación. a) 7x = 7 b) 62 = (3 ? x)2 c) x2 ? x1 ? x3 5 64 d) (225)8 5 (225)10 4 (225)x

3 Efectúa aplicando la propiedad distributiva.j) 10 ? (3 2 6) =

k) 2 ? (23 1 1) =

l) (23) ? (2 1 1)

a) 9 ? [6 1 11] =

b) 6 ? [8 + (22)] =

c) [(28) 1 (24)] ? (26) =

d) 5 ? [(27) 1 (23)] =

e) (24) ? [(25) 1 3] =

f ) [(27) 1 6] ? (212) =

g) 10 ? [(28) 1 (26)] =

h) [(211) 1 3] ? (25) =

i) 5 ? (23 1 2) =

14 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Pensamiento críticoUna campaña de vacunación para animales domésticos se ejecuta de la siguiente manera: 27 de las vacunas fueron para perros y 25 para gatos. Si las vacunas estaban refrigeradas en las cavas mostradas en la imagen de la derecha, responde:a) ¿De cuáles cavas se puede extraer la cantidad

exacta de vacunas para cada tipo de animal? b) ¿Crees que la proporción usada de vacunas

es sufi ciente para toda la población de perrosy gatos en Venezuela? ¿Por qué?

c) ¿Crees que es importante vacunar a los animales domésticos? ¿Por qué?

4 Expresa cada número como potencia de 2 y reduce la expresión aplicando las propiedadesde la potenciación.

a) 48 ? 16 ? 211 5 c) 325 4 8 5 e) 4 096 4 211 5 g) 163 4 82 5

b) 2 048 ? 28 ? 1 024 5 d) 256 ? 28 ? 20 5 f ) 8 ? 25 5 h) 2 048 4 25 5

5 Expresa cada término como una potencia cuya base sea un número primo. Luego, reducela operación a su mínima expresión.

a) 2243 ? (23)4 ? (23)3 ? (227) 5 d) 16 ? 4 ? 164 ? 64 ? (–2)4 ? (–2)2 4 5122 5

b) 493 ? 72 ? 493 4 492 4 70 ? 74 5 e) 273 ? 642 ? 81 ? 912 4 96 ? (–2)4 ? 9 5

c) 729 ? (23)3 4 275 ? 92 ? (23)5 ? 37 5 f ) 1252 ? 83 ? 43 4 16 ? 642 ? 642 5

6 Completa cada operación con el número faltante para que se cumpla la igualdad.a) 25 2 5 0

b) 1 (234) 5 234

c) (24) 1 5 0

d) 25 ? 5 0

e) ? (234) 5 234

f ) (24) ? 5 0

g) 229 1 29 5

h) 50 ? (251) 5 251?

p) 8 ? 6 ? = 8 ? 6

q) 1 ? (2100) = 100 ?

r) 12 + = 0

s) 45 + = 45

t) 25 + 5 =

u) 2 ? = 0

v) 5 ? = 5

w) 25 ? 1 =

i) 508 1 (251) 5 251 1

j) 229 ? 5 29 ? (229)

k) 230 ? 5 ? 5 230 ? 0

l) 230 1 5 1 5 230 1 5

m) 79 1 5 279 1 79

n) 8 + 6 + (21) 5 (21) 1 1 6

ñ) 10 + (2100) + 100 = 10 1

o) 9 ? = 29 ? 9

7 Lee y haz lo que se te pide. 10 vendedores de semillas están en una feria agrícola. Cada uno vendía 10 tipos

de semillas y por cada tipo de semilla tenían 10 paquetes, cada uno con 10 semillas. a) Representa la cantidad de semillas totales de la feria en forma de producto. b) Representa la cantidad de semillas totales de la feria en forma de potencia. c) ¿Cuántas semillas tenían?

ProPIeDADes De LA ADICIÓN, LA mULtIPLICACIÓN Y LA PoteNCIACIÓN eN Z 15

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Reducción de expresiones aritméticas con potencias Las expresiones aritméticas que combinan productos, cocientes y potencias de potencias, se pueden simplificar, siempre que sea posible, a modo de reducirlas a expresiones más sencillas aplicando las propiedades de la potenciación.Una manera de obtener simplificaciones es tratar de que las potencias tengan la misma base. Para ello, se descomponen las bases que no sean números primos en el producto de sus factores primos.

ActívAte

Al dividir dos potencias de igual base en las que los exponentes son consecutivos, como 1200 y 1201, y el mayor es del dividendo, ¿cuánto será el cociente?

Operaciones combinadas con potencias en Z temA 4

EjEmplo 1Reducir [352 ? 73? 50]4 a su mínima expresión.

Procedimiento

EjEmplo 2Reducir [(43)4 ? 54 ? 42 ? (22)3]4 4 (22)5 a su mínima expresión.

Procedimiento

1. Se descomponen en factores primos los números que no lo sean y se sustituyen en la expresión.

4. Se emplea la propiedad potencia de una potencia.

2. Se aplica la propiedad de potencia de un producto.

3. Se aplica la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. En este caso, se usó la propiedad en las potencias de base 5 y de base 7.

[352 ? 73? 50]4 5 [(5 ? 7)2 ? 73 ? 50]4

5 [52 ? 75]4

5 58 ? 720

1. Se emplea la propiedad potencia de una potencia, primero en los exponentes internos y luego en los externos.

2. Se aplica la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

3. Se usa la propiedad división de potencias de igual base.

[412 ? 54 ? 42 ? (22)3]4 4 (22)5 5[448 ? 516 ? 48 ? (22)12] 4 (22)5 5

[456 ? 516 ? (22)12] 4 (22)5 5

456 ? 516 ? (22)7

5 [52 ? 72 ? 73 ? 50]4

5 [5(2 1 0) ? 7(2 1 3) ]4

16 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Pensamiento críticoUn centro de ayuda pretende repartir 103 paquetesde harina de maíz precocida entre 1002 personas. Responde:a) ¿Cómo se puede representar esta situación en una

expresión aritmética con potencias?b) ¿La cantidad de paquetes de harina a repartir es sufi ciente

para el número de personas? ¿Por qué?c) ¿Qué medidas se pudieran tomar para repartir los paquetes

de harina a todas las personas?

2. Se aplica la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

1. Se aplica la propiedad potencia de una potencia empezando con las operaciones internas.

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Reduce las expresiones aritméticas a su mínima expresión.

2 Reduce las expresiones algebraicas a su mínima expresión.

3 Convierte cada número en potencia de 2 y reduce a su mínima expresión. a) (162)4 ? (323)2 5 b) 85 4 [23 ? (22)4] 5 c) 165 ? [ 643 4 85]2 ? 20 5 d) 49 4 43 ? 25 5

Reducción de expresiones algebraicascon potencias En las expresiones con potencias que contienen letras también se pueden aplicar las propiedades de la potenciación para reducirlas a su mínima expresión.

En estas expresiones se suele prescindir del signo de multiplicación entre las letras. Por ejemplo, a ? b 5 ab, sin embargo, debe entenderse que ambas letras se multiplican.

EjEmplo Reducir [(a5 b3 c2)2 (a b)5]4 2 a su mínima expresión.

Procedimiento

[a10 b6 c4 a5 b5 ]4 2 5

a40 b24 c16 a20 b20 2 5a80 b48 c32 a40 b40 5

a120 b88 c32

a) [(28)3 ? (28)5] 4 [(28)2 ? (28)5] 5b) 52 ? (24)3 ? [(24)6]2 ? 53 4 [(52)2 ? (24)4 ? (24)8] 5c) [(25)3 ? (25)4 ] 4 [(25)2 ? (25)3 ]2 5

d) (18 ? 110 ? 115) 4 1500 5

a) [(a3 n5 b)2 b3]0 5

b) [(x4 y4 z3)3 (xyz)2]4 4 [x2 (x2 y z5)2] 5c) [(2p)2q3r]2(pqr)4 5d) (2s)5 ? (2s)3 4 (2s)5 5

e) [(m111 n111)2 (mnp)2]2 ? [(m2 p2]2 5f ) (2k)5 ? [(2k)311 4 (2k)5]2 ? (2k)0 5

g) r2 ? (2d)3 ? [(2d)6]2 ? r5 4 [(r2)2 ? (2d)4] 5h) g2 ? (2w)3 ? [(2w)6]2 ? g32 5

e) (43 ? 412 ? 45) 4 1 5200 ? 12 000 5

f ) [(23)5 ? (23)4 ]2 ? [(23)5]3 5

g) 22 ? (23)3 ? [45 ? (23)6]2 ? 23 2 5

h) 22 549 4 22 548 ? 11 000 5

100%MAIZ

HARINA DE MAIZ

100%MAIZ

HARINA DE MAIZ

100%MAIZ

HARINA DE MAIZ

oPeracioNes comBiNaDas coN PoteNcias eN Z 17

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

EjEmplo 2Resolver la ecuación 3(x 21) 1 2(x 1 2) 2 7 5 3(2x 13) 2 4x.

Procedimiento

3x 1 1 5 x 2 5

3x 23 1 2x 1 4 2 7 5 6x 1 9 2 4x

3x 1 2x 2 6x 1 4x 5 9 1 3 2 4 1 7

3x = 15

x = 5

3x 2 x = 25212x 5 26

x 5 23

2. Se agrupan en el primer miembro los términos que contienen la incógnita y en el segundo miembro las constantes; y se calcula la suma.

3. Se divide ambos miembros entre 3 para despejar la incógnita.

1. Se aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

Grado de una ecuación en ZEl grado de una ecuación es el mayor exponente con el que aparece la incógnita.

Por ejemplo, 3x 1 6 5 x 2 9 es una ecuación de primer grado;x2 2 3x 5 10 es de segundo grado; yx3 2 x2 2 4x 5 2 4 es de tercer grado.

ActívAte

Si a un número se le resta 50 y se obtiene 23, ¿cómo sabes cuál es el número?

temA 5

Ecuaciones en Z

Solución de una ecuación en Z Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de una o varias incógnitas.

Una ecuación de primer grado con una incógnita puede ser escrita en la forma general ax 1 b 5 c, donde a, b y c son números enteros (a 0) y x es la incógnita de la ecuación.

La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para la cual se cumple la igualdad. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se adiciona, se sustrae, se multiplica o se divide a ambos lados de la igualdad las cantidades que sean necesarias para que la incógnita quede despejada. En la práctica, estas operaciones pueden efectuarse de manera directa. En algunos casos se aplican las propiedades de adición y multiplicación para eliminar signos de agrupación.

EjEmplo 1Resolver la ecuación 3x 1 1 5 x 2 5.

Procedimiento

1. Se agrupan en el primer miembro de la ecuación todos los términos que contienen a la incógnita y en el segundo miembro todos los términos constantes.

2. Se dividen ambos miembros entre 2, pues al dividir 2x 4 2 el resultado es x y la incógnita queda despejada.

Zoom

18 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Pensamiento crítico

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3x 1 5 5 2x 2 8 e) 26(2x 2 4) 5 5(3x 2 6) i) 4x 1 5 2 2x 1 6 5 3x 2 4 b) x 2 6 5 3(x 1 4) f ) 5(2x 2 4) 5 24(x 2 2) j) 3x 2 1 5 11 c) 2(x 1 6) 5 5x 2 3 g) 5(x 2 2) 5 2(x 1 7) k) 20 5 x 4 5 d) 24(x 2 3) 5 x 1 7 h) 23x 1 16) 5 5x 2 40 l) 2x 2 3 5 13

2 Resuelve cada situación mediante ecuaciones.a) Tres números consecutivos suman 48.

¿Cuáles son los números?b) Dentro de 12 años, la edad de Ana será

68 años menos que el triple de su edad actual. ¿Qué edad tiene actualmente?

c) Pedro vende cada día 3 libros más que el día anterior. Si vende 40 libros en 5 días, ¿cuántos vendió el primer día?

d) El perímetro del triángulo es 69 cm, ¿cuánto miden los lados?

e) El triple de un número disminuido en 2 equivale a 10. ¿Cuál es el número?

f ) Andrea tiene 16 años, su hermano 14 años y su padre 40 años. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea la suma de las edades de sus hijos?

Ecuaciones en Z

x 1 5 5 2x

Edad actual de Carlos: xEdad de Carlos dentro de 5 años: x + 5El doble de la edad de Carlos: 2x

2 2x 1 x = 25 → 2 x 5 25

2. Se representa el problema en forma de ecuación.

3. Se resuelve la ecuación.

1. Se escriben los datos en forma de expresión algebraica. Para ello, la interrogante del problema se expresa como incógnita.

Resolución de problemas mediante ecuaciones en Z Algunos problemas de la cotidianidad se pueden resolver utilizando ecuaciones.

EjEmplo

La edad de Carlos dentro de cinco años será igual al doble de su edad actual. ¿Qué edad tiene Carlos?

Procedimiento

La dinámicaLa dinámica estudia los movimientos de los cuerpos. Por ejemplo, un cohete de fuegos artificiales describe cierta trayectoria, recorre una deter-minada distancia y llega hasta una altura máxima. Esta altura máxima se calcula a través de una ecuación de segundo grado.

conexos con... FísicA

→ (21) ? 2x 5 25 ? (21) x 5 5

3x 2 2

2x 1 1

Respuesta: la edad actual de Carlos es 5 años.

27m 1 10 5 2 3927m 5 239 2 10

m 5 249 4 7

m 5 7

Juana estaba resolviendo una ecuación y escribió lo que se encuentra a la derecha. Responde. a) ¿Qué error cometió Juana? ¿Cómo lo sabes? b) ¿Qué piensas de los errores que se cometen

en la vida cotidiana?

ecuacioNes eN Z 19

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Actividades de refuerzo Para realizar en el cuaderno

Comprensión1 Completa con el signo , o 5

según corresponda. a) 8 212 d) 9 u26u

b) u5u 2 u25u e) 212 ? 2 215 4 3 c) 16 u28u f ) 210 ? 3 u26u ? 5

2 Ordena de mayor a menor. a) 2; 21; 12; 28; 5 d) 27; 212; 0; 21; 7; 24 b) 15; 16; 23; 21; 6 e) 0; 29; 218; 24; 27 c)1; 10; 2; 210; 25 f ) 1; 21; 2; 22; 3; 23

3 Escribe cinco números que pertenezcan a cada conjunto numérico.

a) N b) Z1 c) Z2 d) Z

4 Determina el valor absoluto del resultado de las operaciones.

a) 29 2 12 5 d) (215) + (216) 5 b) 5 ? 18 5 e) 3 ? (26) 5 c) (23) ? 5 4 15 5 f ) [(26) 4 (22)] ? (29) 5

5 Efectúa las adiciones y sustracciones combinadas.

a) 29 1 5 2 3 2 2 2 8 1 16 2 55 5 b) (215) 1 (216) 2 (235) 1 160 5 c) [4 1 (23 2 7)] 2 89 5 d) 150 2 85 1 78 2 [16 1 9 2 (215)] 5 e) 16 1 16 215 2 22 1 (232) 5

6 Efectúa las multiplicaciones y divisiones combinadas.

a) 45 ? 6 4 3 5 b) (3 ? 5 ? 18) 4 (5 ? 9)5 c) [4 ? (100 1 25)] 1 4 5 d) (38 4 2) ? (190 4 10) ? (45 4 15) 5 e) 25 ? 10 1 1 500 4 3 2 100 1 (24) 5

7 Calcula las potencias. a) (225)0 5 e) (219)3 5 i) 224 5

b) 26 5 f ) 64 5 j) 105 5

c)(298)0 5 g) (29)2 5 k) 12 469 5 d) 162 5 h) 02 5 l) 153 5

8 Efectúa las operaciones combinadas. a) 2 ? 45 1 16 ? [42 2 3 ? (25 1 5)] 5 b) 16 2 4 ? [5 2 ( 2 1 10)]2 5 c) [3 ? (16 1 15 2 29)4] 1 4 1 12 5 d) (30 4 5)3 2 (190 4 10)2 1 (45 4 43) 5 e) (3 000 4 1 500)4 4 (102 2 96) 5

9 Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa en las operaciones.

a) (23) 1 (2 2) 5 f ) (24) ? 3 000 5 b) (215) ? 6 5 g) 2 ? (210) 5 c) (21) 1 80 5 h) (25) ? (23) 5 d) 25 1 12 5 i) 10 1 (22) 5 e) (225) ? (22) 5 j) 0 1 (2100) 5

10 Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en las operaciones.

a) 16 1 12 2 5 5 d) (245) 1 12 1 (23) 5 b) 13 ? (22) ? 6 5 e) (212) ? (23) ? 2 5 c) 15 1 (21) 1 10 5 f ) 15 ? (240) ? 3 5

11 Aplica la propiedad distributiva para efectuar las operaciones.

a) 22 ? (2 5 1 3) 5 d) [(216) 1 (25)] ? 12 5 b) 3 ? [15 1 (22)] 5 e) (5 1 8)[(22) 1 (25)] 5 c) (10 1 11) ? (212) 5 f ) (16 23)(15 114) 5

12 Reduce cada operación a su mínima expresión.

a) [55 ? 8 ? 53]2 4 [162 ? 53]40 5

b) [210 4 (22)6 ]3 ? [163 4 (24)5]2 5

c) 5 ? [352 ? (25)2 ? (25)3? 7]2 5 d) [203 ? 5 ? 22] 4 (5 ? 4)2 5 e) [(23)0 ? (23)8 ? (23)6 ? (23)5]4 5

f ) (710 4 7)6 ? (105 ? 24 ? 2)3 5

13 Resuelve cada ecuación. a) 25x 2 10 5 10x 1 80 b) 5x 2 4 1 50 5 2 5x 1 23 1 32

c) 2 6 1 12 2 4x 1 x 5 2 2x 1 5x d) 2x 4 3 5 4

20 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

La economía es la ciencia social que se encarga de estudiar el comportamiento de una población en lo relativo a la producción y la distribución de sus bienes y servicios. Su objetivo principal es analizar los estados del proceso que llevan los recursos y encaminarlos hacia una repartición correcta. • Lee la prensa nacional o local y busca algún estudio económico

relacionado con los bienes de producción de Venezuela. Indica para qué crees que un o una economista usa la Matemática.

Conexos con... Economía

Opinión y síntesis 17 Lee el planteamiento y responde: Andrés y Martha resolvieron, cada uno

por separado, la ecuación 2(x 1 2) 2 5(x 1 1) 1 1 = 12. A continuación se muestran los dos

procedimientos:

Análisis y aplicación14 Teniendo en cuenta que a, b y c son números

enteros tales que: • Están formados por dígitos de 0 a 9 • Ninguno de los dígitos que forma cada

número se repite • a tiene cuatro cifras, b tiene cinco y c tiene seis, • La primera cifra de cada número es distinta

de cero Calcula: a) El mayor valor para la suma a 1 b 1 c b) El menor valor para la suma a 1 b 1 c

15 Responde: a) ¿Qué signo tiene la décima potencia

de un número negativo? b) ¿Qué signo tiene la novena potencia

de un número negativo? c) ¿Qué signo tiene la potencia 1 225

de un número negativo?

16 Lee el planteamiento y responde: El producto de tres números enteros es 16.

No todos tienen el mismo signo y sus valores absolutos son distintos.

a) ¿Cómo plantearías la primera frase del problema?

b) ¿Cómo debe ser la distribución de los signos de los números?

c) ¿Cuáles pueden ser esos números? d) ¿Hay una única solución?

a) ¿Quién resolvió la ecuación correctamente?

b) ¿Hubo algún error? ¿Cuál? Explica.c) ¿Qué debe hacer una persona al darse

cuenta de que ha cometido un error?

2(x 1 2) 2 5(x 1 1) + 1 = 12 2x 1 4 – 5x - 5 1 1 = 12 2x 2 5x = 12 2 4 + 521 23x = 12 x = 12 1 3 x = 18

2(x 1 2) 2 5(x 1 1) + 1 = 12 2x 1 4 – 5x - 5 1 1 = 12 2x 2 5x = 12 2 4 + 521 23x = 12 x = 12 1 3

x = 18

2(x + 2) 2 5(x 1 1) 1 1 5 12 2x 1 4 2 5x – 5 1 1 5 12 23x 5 12 2 4 1 5 2 1 23x 5 12 x 5 24

2(x + 2) 2 5(x 1 1) 1 1 5 12 2x 1 4 2 5x – 5 1 1 5 12 23x 5 12 2 4 1 5 2 1 23x 5 12

x 5 24

Números eNteros 21

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Estrategia de resolución de problemas

3 Luis compró un bloc de dibujo y una cajade colores y pagó por ambos Bs. 120. Si el precio de la caja de colores es el triple queel del bloc, ¿cuánto costó la caja de colores?

4 Al calcular el valor de (a + a) ? a2, una estudiante olvidó los paréntesis, y obtuvo por resultado 350. ¿Cuál será el resultado verdadero a partir de este error?

1 Olga y Eduardo visitaron la hacienda de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con conejos y gallinas. Eduardo dijo haber contado 18 animales en total y Olga afi rma haber contado un total de 50 patas. ¿Cuántos conejos había en el corral?

2 Irene y Diana tienen, cada una, una cantidad de monedas igual al cuadrado y al cubo de cierto número, respectivamente. Si juntas tienen 576 monedas, ¿cuántas tiene Irene?

Problemas

Ensayo y error El método de ensayo y error consiste en experimentar con los datos del problema, eligiendo operaciones aceptables que proporcionen resultados que se vayan aproximando cada vez a la respuesta que se quiere.

Ejemplo resuelto

Se desea medir un terreno rectangular cuyo largo excede la medida del ancho en un metro. Si el área es 132 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?

1. Se representa un gráfi co que ilustre los datos del problema.

2. Se reemplaza la expresión de b en la fórmula de área del rectángulo. A

5 (a 1 1) ? a

3. Se sustituye el valor dado del área del rectángulo en la fórmula y se aplica la propiedad distributiva: 132 5 (a + 1) ? a → 132 5 a2 + a → a2 + a 5 132.

4. Se resuelve la ecuación aplicando el método del ensayo y error. Para ello, se prueba con números enteros y fáciles de operar, hasta encontrar como resultado 132.

• Para a 5 1 → 12 + 1 5 1 + 1 5 2. El resultado está lejos de 132.

• Para a 5 5 → 52 + 5 5 25 + 5 5 30. El resultado también es lejano a 132.

• Para a 5 10 → 102 + 10 5 100 + 10 5 110. Este resultado es próximo a 132.

• Para a = 11 → 112 + 11 = 121 + 11 = 132. Se encontró un valor de a que satisface la igualdad: el valor de a es 11.

5. Se sustituye el valor encontrado de a en b para hallar su valor.

b = a + 1 = 11 + 1 = 12.

Entonces, el rectángulo mide 11 m de ancho y 12 m de largo.

b = a + 1

A 5 b ? aa

22 Números eNteros

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Idea para la acciónPropósito: trazar la ruta desde la casa hasta los sitios más frecuentados

usando un eje de coordenadas sobre un mapa de Internet.

Trazo de la trayectoria hacia los sitios más frecuentados

1 Documentación• Investiguen en Internet en qué consiste un mapa interactivo, cómo se utiliza

y cómo pueden imprimir el mapa de la localidad donde viven. • Documéntense acerca de la dirección exacta de las calles, avenidas y sectores

donde se encuentren sus casas y colegio. • Tomen nota de todos los datos recabados.

2 Planifi cación• Escriban cuáles son las rutas que toman desde sus casas hasta los sitios que más frecuentan.• Formúlense preguntas como: ¿cuáles son las rutas más usadas? ¿Cuáles nunca usan?

¿Cómo trazarán esas rutas? ¿Incluirán puntos intermedios? ¿Qué deben destacar en el mapa, además del sitio y sus casas?

• Planifiquen dónde será el punto de encuentro para usar el mapa interactivo en una computadora con acceso a Internet.

3 Preparación de materiales• Hagan una lista de los materiales que necesitan, como una computadora con acceso

a Internet, impresora, papel para imprimir, regla graduada, lápiz y marcadores, entre otros.• Tengan a mano la dirección de cada integrante del equipo.

4 Puesta en acción• Impriman el mapa que hayan encontrado

en Internet con la ubicación del colegio. En la misma imagen impresa, señalen la casa de cada integrante del equipo.

• Ubiquen un punto de referencia y tracen ejes de coordenadas para generar un plano cartesiano sobre el mapa.

• Ubiquen las coordenadas de los lugares señalados tomando en cuenta un valor del eje horizontal y uno vertical. Luego tracen con rectas, la trayectoria que describe cada integrante del equipo para llegar desde su casa hasta los lugares previstos.

5 Evaluación• Comparen el sistema de coordenadas con el de otros equipos.• Háganse preguntas como: ¿se pueden incluir otras localidades en el mapa?

¿Cómo se puede hacer esta actividad a una escala mayor?

eje horizontal y uno vertical. Luego tracen

11

2

3

4

5

6

7

8

9

–1–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–2–3–4–5–6–7–8–92 3 4 5 6 7 8 9

Números eNteros 23

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Las fracciones algebraicas describen funcionesllamadas hipérbolas, que consisten en una sección cónicaque genera dos curvas opuestas cuya diferencia de distanciasa dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

SOL

Marte

Saturno

Cometa

Foco

Órbita hiperbólica

Urano

Neptuno

Júpiter

Mercurio

Sección cónica

Focos

Seccióncónica

Curvashiperbólicas

Fue un matemático muy reconocidopor sus aportes en el cálculode raíces de fracciones algebraicas.Ruffini creó un método que llevasu nombre, para calcular las raícesde los polinomios que están divididosentre binomios de la forma (x – a).

Paolo Ruffini

SI S

T E MA S O L A R

Un cuerpo celeste, por ejemplo un cometa,que provenga del exterior del sistema solary sea atraído por el Sol, describe una órbitahiperbólica, teniendo como foco al Sol, y luego sale nuevamente del sistema solar.

Venus

Tierra

Idea PaRa La accIÓNComparación de la renta-bilidad de dinero coloca-do en bancos diferentes

Al fi nal de esta unidad compararán la rentabilidad que se obtiene al colocar cierto capital de dinero en bancos diferentes.

Las fracciones algebraicas son expresiones fraccionariasen las que el numerador y el denominador son polinomios. Una de las expresiones más básicas de una fracción algebraicaes 1

x con x � 0. Particularmente esta fracción representa

una función hiperbólica, como las trayectorias que describenlos cometas en el espacio.

¿Cómo se desplazan los cometas en el espacio?

FRACCIONES ALGEBRAICAS

LOGROS eSPeRadOS

• Identificar fracciones algebraicas.

• Calcular sumas, diferen-cias, productos y cocien-tes de fracciones algebraicas.

• Reconocer el uso de las fracciones algebraicas en los fenómenos físicos y en las experiencias cotidianas.

U6

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

126 Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas describen funcionesllamadas hipérbolas, que consisten en una sección cónicaque genera dos curvas opuestas cuya diferencia de distanciasa dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

SOL

Marte

Saturno

Cometa

Foco

Órbita hiperbólica

Urano

Neptuno

Júpiter

Mercurio

Sección cónica

Focos

Seccióncónica

Curvashiperbólicas

Fue un matemático muy reconocidopor sus aportes en el cálculode raíces de fracciones algebraicas.Ruffini creó un método que llevasu nombre, para calcular las raícesde los polinomios que están divididosentre binomios de la forma (x – a).

Paolo Ruffini CometaCometa

Órbita hiperbólicaÓrbita hiperbólicaÓrbita hiperbólica

NeptunoNeptuno

SI S

T E MA S O L A R

Un cuerpo celeste, por ejemplo un cometa,que provenga del exterior del sistema solary sea atraído por el Sol, describe una órbitahiperbólica, teniendo como foco al Sol, y luego sale nuevamente del sistema solar.

Venus

Tierra

Para refl exionar y debatir¿Sabes qué es un cometa? ¿Qué conoces acerca de los cometas? ¿Conoces algún movimiento astral que esté relacionado con ecuaciones matemáticas? ¿Qué relación crees que guardala dinámica de los movimientos de los objetos o cuerpos conla matemática?

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Fracciones algebraicas 127

Tema 1

Fracciones algebraicasLas fracciones algebraicas son aquellas en las que tanto en el numerador

como en el denominador hay un polinomio. Las fracciones ��

14 1xx , con

x 1; �

� ��

� � �1

443 61 ;

xx x

xx x x

2

2

2

3 2

con x 2 y x 22 son algebraicas.

acTívaTe

¿Qué condición debe cumplir el denominador de una fracción? ¿Por qué?

Fracciones algebraicas

Dos fracciones

ba

y dc son

equivalentes

si a ? d 5 b ? c. Por ejemplo,

1620

es equivalente a 45 .

RecueRda

En todos los casos, el polinomio del denominador no puede ser cero, por eso se hace la aclaratoria de los valores que no puede tomar x.Al igual que en las fracciones numéricas, dos fracciones algebraicas son equivalentes si el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda fracción.

EjEmplo 1Verif icar si las fracciones

� �� �

��y

2 14 3

13

x xx x

xx

2

2

son equivalentes.

Procedimiento

EjEmplo 2Comprobar que

��

� �� �

�y

17

16 6

xx

x x xx x

2 2

2

3 son equivalentes.

Procedimiento

1. Se multiplican las fracciones en cruz.

Se multiplican las fracciones en cruz y se comparan los resultados.

2. Se comparan ambos resultados.

� �� �4

2 13

x xx x

2

2

��

13

xx

Ambos resultados son iguales.

Son iguales

(x2 1 4x 1 3) ? (x 1 1) 5 x3 1 x2 1 4x2 1 4x 1 3x 1 3 5 x3 1 5x2 1 7x 1 3

(x 1 6) ? (x3 1 x2 2 x 2 1) 5 x4 1 x3 2 x2 2 x 1 6x3 1 6x2 2 6x 2 6

(x2 2 1) ? (x2 1 7x 1 6) 5 x4 1 7x3 1 6 x2 2 x2 2 7x 2 6

5 x4 1 7x3 1 5x2 2 7x 2 6

5 x4 1 7x3 1 5x2 2 7x 2 6

(x2 1 2x 1 1) ? (x 1 3) 5 x3 1 3x2 1 2x2 1 6x 1 x 1 3 5 x3 1 5x2 1 7x 1 3

Respuesta: las dos fracciones son equivalentes, es decir � �� �4

2 13

x xx x

2

2

5 ��

13

xx .

Respuesta: la fracciones son equivalentes, es decir ��

16

xx

2 y � � �

� �1

67x x x

x x23

2

son equivalentes.

128 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Amplificación y simplificación de fracciones algebraicasHay dos maneras de obtener una fracción equivalente a otra: • Por amplif icación: multiplicando tanto el numerador como el denominador

de la fracción por un mismo polinomio no nulo.• Por simplif icación: dividiendo tanto el numerador como el denominador

de la fracción entre un mismo polinomio no nulo.

EjEmplo 1Obtener por amplif icación una fracción equivalente a la fracción racional

��

35

xx .

Procedimiento

EjEmplo 2Obtener por simplif icación una fracción algebraica equivalente a

�� �

44 4

xx x

2

2

.

Procedimiento

La simplif icación de fracciones algebraicas se aplica frecuentemente, ya que su objetivo es obtener otra fracción equivalente, pero más sencilla. Para simplif icar una fracción se factorizan el numerador y el denominador.

1. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por un polinomio no nulo. En este caso se usó x 2 5.

2. Se aplican productos notables.

�� �

�

��

�

�

35

35

55

xx

xx

xx

^

^

^

^

h

h

h

h

� �� 258 15x x

x2

2

1. Se factorizan los polinomios del numerador y denominador de la fracción.

2. Se simplif ica la fracción.

�� � �

� �

�

44 4

2 22

xx x

x xx

2

2 2

^ ^

^

h h

h

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Determina cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes.

2 Simplif ica cada fracción.

d) ��

��y

11

11

x xxx 22

e) �

� ���

15 y6

12

xx x

xx2

f ) ��

��y

13 3

xx

x xx x

2

2

g) �

� �

�

� � �

32

y2

3 22 2x

xx

x x2^ ^h h

h) � �1 y 1x

xx

x2

i) � �1

yx

xx x

x2

2

a) ��

� ��y

555

625

xx

x xx

2

2

b) ��

��2 y

11 2

xx

x xx x

2

2

c) �

�

�

�1y

5 51

y yyy

a) ��

6 123 9xx 5 c)

��

11

xx

2

8

5 e) �

� � 41

4 8x

x x2

2

5 g) �

� �3

5 6x

x x2

5 i) ��

12 2xx x

2

3

5

b) ��

2 14 1

xx2

5 d) ��

39

xx2

5 f ) � �� �

9 207 10

x xx x

2

2

5 h) �

� �4 31x

x x2

2

5 j) �

�2525

xx x

2

3

5

���

22

xx

�� �

�

2 22

x xx 2

^ ^

^

h h

h

Fracciones algebraicas 129

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Tema 2

Adición de fracciones algebraicas Para hallar la suma de fracciones algebraicas se aplican los mismos principios que en la adición de números racionales: si las fracciones tienen igual denominador se mantiene el mismo denominador y se calcula la suma de los numeradores; si tienen diferentes denominadores, se usa el método del mínimo común múltiplo. Para calcular el mínimo común múltiplo se factorizan los polinomios que haga falta y se escogen los términos comunes con su mayor exponente.

acTívaTe

¿Cuáles reglas se deben seguir para hallar la suma o la diferencia de fracciones?

Adición y sustracción de fracciones algebraicas

EjEmplo 1Efectuar

��

�1 13

xx

xx .

Procedimiento

EjEmplo 2Calcular

��

�31

21

x x.

Procedimiento

EjEmplo 3Efectuar

��

� �43

2 8xx

x xx

2 2 .

Procedimiento

Se coloca el mismo denominador y se efectúa la suma de los términos de los numeradores.

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2. Se sigue el mismo procedimiento que en la adición de números racionales.

1. Se factorizan los polinomios y se obtiene el mínimo común múltiplo.

2. Se efectúa la adición usando el m.c.m.

��

��

�� �

�3 4

1 1 13

1xx

xx

xx x

xx

� �

� � ��

� ��

3 22 3

22 13x x

x xx x

x^ ^

^ ^

^ ^h h

h h

h h

� � �

� � � � ��

� � �� � �

2 2 43 4 2

2 2 43 12 2

x x xx x x x

x x xx x x x2 2

^ ^ ^

^ ^

^ ^ ^h h h

h h

h h h

�� � �

�2 2 44 16

x x xx x2

^ ^ ^h h h

m.c.m. 5 (x 2 3)(x 1 2)

m.c.m. 5 (x 2 2)(x 1 2)(x 2 4)

x2 2 4 5 (x 2 2)(x 1 2)x2 2 2x 2 8 5 (x 1 2)(x 2 4)

130 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Pistas de simulación de choques Las pistas de simulación de choques ayudan a estimar los daños que pueden ocurrir en un accidente automovilístico. Por medio de ecuaciones específi cas, que denotan las velocidades en los vehículos, estas ecuaciones pudieran tomar forma de fracciones algebraicas.

� �

� � ��

1 55 2 1

x x

x x x x^ ^

^ ^

h h

h h

� �

� � ��

1 55 2 2

x xx x x x2 2

^ ^h h

� �

��

1 53 7

x xx x2

^ ^h h

� 52

xx

Suponiendo quela velocidad de este vehículo al chocar contrael muro es de

� 52

xx .

Al producirse un choque entre dos vehículos que se aproximan al mismo punto en línea recta, la velocidad de impacto de ambos vehículos equivalea la suma de las velocidades con la que se desplazaba cada uno.

Es decir, el impacto que recibe cada vehículo equivale al que recibiría si chocara contra un muro a la sumade las velocidades de ambos.

Entonces, al chocar, ambos vehículos experimentan una

velocidad de choque de � �

�

1 5

3 7

x x

x x2

^ ^h h.

��

��

1 52

xx

xx

� 1xx

Suponiendo que la velocidad de este vehículo al chocar contra el muroes de � 1x

x .

� 1xx

� 52

xx

��

��

1 52

xx

xx

adición y sustracción de Fracciones algebraicas 131

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Sustracción de fracciones algebraicasLa sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador se efectúa hallando la diferencia de los numeradores de las fracciones, y manteniendo el mismo denominador. Para efectuar la sustracción entre dos fracciones con diferentes denominadores se obtiene el mínimo común múltiplo entre los denominadores y se obtiene la diferencia del mismo modo que como se hace en la sustracción de números racionales.

EjEmplo 1Efectuar

��

��

52

53

x x.

Procedimiento

EjEmplo 2Calcular

��

��

33 2 1x

xx

.

Procedimiento

EjEmplo 3Efectuar

� ��

��

5 6 362

x xx

xx

22.

Procedimiento

Se usa el mismo polinomio como denominador y se sustraen los polinomios de los numeradores.

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

1. Se factorizan los denominadores de las fracciones y se obtiene el mínimo común múltiplo.

2. Se sigue el mismo procedimiento que en la sustracción de números racionales.

2. Se efectúa la sustracción usando el m.c.m.

��

��

�� �

�� � �

�2 3

51

5 5 52 3

51

x x x x x

��

��

�� �

�� � �

�2 3

51

5 5 52 3

51

x x x x x

� � �

� � � � ��

� � �� � �

1 6 66 2 1

1 6 66 2 2

x x xx x x x

x x xx x x x2 2

^ ^ ^

^ ^

^ ^ ^h h h

h h

h h h

�� �

� �3 2 1

2 4 9x x

x x2

^ ^h h

�� � �

� �6 64

1x x xx x2

^ ^ ^h h h

m.c.m. 5 (x 2 3)(2x 2 1)

m.c.m. 5 (x 1 1)(x 2 6)(x 1 6)

x2 2 5x 2 6 5 (x 1 1)(x 2 6)x2 2 36 5 (x 1 6)(x 2 6)

132 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

2 Efectúa cada sustracción de fracciones algebraicas.

3 Resuelve las operaciones combinadas de fracciones algebraicas.

4 Halla la solución a cada planteamiento.

Actividades Para realizar en el cuaderno

Pensamiento críticoUna fábrica de carros prueba sus vehículos en pistas de choques antes de venderlos al público. Para ello somete dos a una colisión de frente a dos velocidades distintas. Responde:a) ¿Cuál es la velocidad resultante cuando chocan

ambos carros? b) ¿Es la misma velocidad para ambos? ¿Por qué? c) ¿Es importante hacer pruebas de este estilo con

los vehículos antes de venderlos? ¿Por qué?

1 Calcula cada adición de fracciones algebraicas.

a) �

��

�1 1

1x

xx

b) �

��1

2 11x

xx

5

c) �

��

�1 1

1 2x x

d) �

��

�3 1x

xx

x

a) ��

�12

2 1x x2

b) � �

�� �

�2 2

1x x

xx x22

c) �

��

��

�2

13

13 1x

xx x

d) �

�� �

�2 4 4

1x

xx x2

a) ��

� �1

1 11x x x2 b)

� �� � �

1 12x x

xx x2 2 c)

��

��

��

p aap

p ap

p aap

2 2

2

3 3

2a

e) ��

��

�31

2 11

xx

x

f ) �

��

��

22 11

2x

xxx

g) �

��

�9 3

1x

xx2

h) � �

��

�6 9 2 6

1x x

xx2

e) �

���

�2 3

222 3

1x xx

f ) �

��

��

�13 5x

xx

xx

x2 3

g) ��

��

1 12 5x

xxx

2

h) �

��

�36

16q q

q2

i) � �

��

� ��

�2 1

12 1

1x x

xx x

x22

j) �

��

�3

118

11x x

k) �

��

�2

32

25 5x x

l) �

��

�3

1 13

x x

i) a�

� �ap p

p a2 2

j) �

��

�5 4

86x x

k) ��

���

�22

22

xx

xx

l) �

��

�3

59

8pp 2

a) El peso de un tren de pasajeros está dado por la ecuación � 1

xx

2. Si al tren se le añade

un vagón que representa la octava parte de su peso, ¿cómo representas la suma de pesos? ¿Y cuál sería el resultado?

b) Un tanque se llena a razón de 1x2 de agua

por minuto, pero este tanque tiene un hueco que libera agua a razón de

�1

1x por

minuto. ¿Cuál es la ecuación que representa el estado del tanque? ¿Según tu criterio entra o sale más agua del tanque? ¿Por qué?

1x2

� 1x

x2

adición y sustracción de Fracciones algebraicas 133

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Procedimiento

EjEmplo 3Calcular x2 1 8x 1 7

x2 2 3x 2 10 ?

x2 1 3xx 1 1

?

x 2 5 x2 1 10x 1 21

.

1. Se multiplican las fracciones algebraicas.

2. Se factorizan el numerador y el denominador, y se simplif ican los factores comunes entre ellos.

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Multiplicación de fracciones algebraicas Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Si los productos obtenidos son productos notables se aplican las fórmulas correspondientes.

acTívaTe

¿Cómo se multiplican las fracciones? ¿Y cómo se dividen? ¿Crees que de la misma forma se multiplican y se dividen las fracciones algebaricas?

Procedimiento

Procedimiento

EjEmplo 1Efectuar 3x 1 1

x 1 1 ?

2xx 2 1

.

EjEmplo 2Calcular a2 2 ab

ab2 1 b3 ? a3 1 a2bab 2 b2

.

Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, aplicando productos notables y propiedad distributiva.

1. Se multiplican los numeradores y los denominadores.

2. Se factoriza el numerador y el denominador de modo que se pueda simplif icar la fracción y el resultado sea más sencillo.

2x ? s3x 1 1d

sx 1 1dsx 2 1d 5

6x2 1 2xx2 2 1

sa2 2 abdsa3 1 a2bdsab2 1 b3dsab 2 b2d

5 a5 1 a4b 2 a4b 2 a3b2

a2b3 2 ab4 1 ab4 2 b5 5

a5 2 a3b2

a2b3 2 b5 5

a3 ? sa2 2 b2db3 ? sa2 2 b2d

5 a3

b3

x x12

sx 11dsx 1 7d ? x ? sx 1 3dsx 2 5dsx 1 2dsx 2 5dsx 1 1dsx 1 3dsx 1 7d 5

Tema 3

sx2 1 8x 1 7dsx2 1 3xdsx 2 5dsx2 2 3x 2 10dsx 1 1dsx2 1 10x 1 21d 5

134 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

División de fracciones algebraicasEl cociente de dos fracciones algebraicas se calcula multiplicando la primera fracción por el inverso de la segunda.

EjEmplo 1Resolver x 1 1

x 2 24

2 ? sx 1 1d x 1 3

.

Procedimiento

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Calcula cada producto de fracciones algebraicas.

a) xy

?3x2y3

x 2 1 5

d)

a2 1 abab 2 b2 ?

b2

a3 2 b3 ?

a2 2 2ab 1 b2

b 5

b) 2x 1 2

4x2 1 2x?

xx 1 3

5

e)

x2 2 5x 1 63x 2 15

?

6xx2 2 x 2 30

?

x2 2 252x 2 4

5

c)

x2 1 2x 2 80x2 2 100

? x2 2 9x 2 10 x2 2 4x 2 32

5

f )

4 2 x x 1 1

?x2 2 5x 2 6

16 2 x2 5

2 Efectúa cada división entre fracciones algebraicas.

a) 3x 1 32x 1 1

4x 1 14x 1 2

5 c) x2 2 2x 1 1

x 1 14

x 2 1x2 2 1

5 e) m2 1 2m 2 15m

4 sm 2 3d 5

b) a2 2 1

2a4

a 1 1a

5

d) x 2 y2

4

x3 2 y3

2x5

f )

x2 1 x 2 2

x3 2 x 4x2 1 4x 1 4

x2 1 x 5

1. Se escribe la división como una multiplicación de la primera fracción por el inverso de la segunda y se halla el producto.

2. Se simplif ica la fracción.

EjEmplo 2Efectuar x22100

2x2 1 14x4

x2 2 3x 270x .

x 1 1x 2 2 4

2 ? sx 1 1d

x 1 3 5

x 1 1x 2 2

?

x 1 3

2 ? sx 1 1d

5

sx 1 1dsx 1 3d2 ? sx 2 2dsx 1 1d

5 x 1 3

2 ? sx22d

Procedimiento

1. Se transforma la división en una multiplicación y se multiplican.

2. Se factorizan los polinomios y se simplif ican los factores comunes.

x2 2 100 2x2 1 14x ?

xx2 2 3x 270

5

sx 1 10dsx 2 10d ? x2x ? sx 1 7dsx 2 10dsx 1 7d

5x 1 10

2 ? sx 1 7dsx 2 7d

sx2 2 100d ? xs2x2 1 14xdsx2 2 3x 270d 5

Multiplicación y división de Fracciones algebraicas 135

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Operaciones combinadas con fracciones algebraicasacTívaTe

En la expresión “dos veces mi edad más la de mi hermano” están presentes dos operaciones. ¿Cuáles son y cuál debe efectuarse primero?

Operaciones combinadas con fracciones algebraicasEn ocasiones se presentan situaciones en las que se debe resolver operaciones combinadas entre fracciones algebraicas.La forma de resolver estas operaciones depende de si estas presentan o no, signos de agrupación:• Si las operaciones combinadas no contienen signos de agrupación, se resuelven

primero las multiplicaciones y las divisiones y luego las adiciones y sutracciones.

• Si contienen signos de agrupación, se efectúan primero las operaciones que estén agrupadas, comenzando siempre con las más “internas”.

EjEmplo 1

Efectuar 2a2b2b3

2 ab

? 2xy6xy2

1 12ay4b

xy.

Procedimiento

1. Como no hay signos de agrupación, se efectúa primero la multiplicación.

2. Se resuelven simultáneamente la adición y la sustracción usando el m.c.m.

3. Se factoriza y simplif ica la fracción algebraica resultante en caso de ser posible.

5 2a2b2b3 2

2axy6bxy2 1

12ay4bxy

5 212a2bxy2 2 2ab2xy 1 72ay5b4

6xy2b3

5 2a ? s2axy 2 bx 1 6y4b3d

xyb2

5 12aby ? s2axy 2 bx 1 6y4b3d

6xy2b3

EjEmplo 2

Calcular 6x2 1 4x 1 4

4

x 1 5x2 2 25

1

10x 1 2

.

Procedimiento

1. Se factoriza cada polinomio y se efectúa la división.

2. Se simplif ica la primera fracción algebraica y se efectúa la adición.

6

sx 1 2d2 4x 1 5

sx 2 5d sx 1 5d 110

x 1 2 5

6x 2 30 1 10x 1 20 sx 1 2d2 5

16x 2 10sx 1 2d2

6 ? sx 2 5dsx 1 2d2 1

10x 1 2

5 6 ? sx 2 5d 1 10 ? sx 1 2d

sx 1 2d2 5

3. Se efectúan las operaciones.

Tema 4

6 ? sx 2 5dsx 2 5dsx 1 2d2 sx 1 5d 1

10x 1 2 5

136 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas EjEmplo 3

Efectuar x2 2 4x2 2 x 2 6

4 s x

x2 2 9 1

1

x 2 3 d.Procedimiento

1. Como hay un signo de agrupación, se efectúa la operación en el paréntesis. Para ello se factoriza cada polinomio.

2. Se efectúa la división.

3. Se efectúa el producto notable.

sx 1 2dsx 2 2dsx 2 3dsx 1 2d 4 s x 1 x 1 3

sx 1 3dsx 2 3d d 5

sx 1 2dsx 2 2dsx 2 3dsx 1 2d 4 s x

sx 1 3dsx 2 3d 1 1

x 2 3 d 5

sx 2 2dsx 1 3d2x 1 3 5

x2 1 x 2 62x 1 3

sx 1 2dsx 2 2dsx 2 3dsx 1 2d 4

2x 1 3sx 1 3dsx 2 3d 5

1 Efectúa cada operación combinada sin signo de agrupación.

a)

xy

1 mxn

? 4xxy

5

f ) x 2 y

x ? xy

? x 1 yxy2

1 x 2 y

xy 5

b)

a2

b2 4

3ax2

9bx 1

4

6abx 5

g)

2a2b

a 1 b ?

ab2

a2 2 b2 2

2a 2 2ba 2 b

5

c)

8mn4

m3 ? mnn5

4

mnm4n6

5

h) x 2 y 1

xy

?

5 ? sx 1 yd2x2y2

2

y3

xy 5

d)

4xy3

a5 2

2x4

y4 4

2a2

10x3y2 1

20ax5

5

i)

sa 1 bd2

a 4

a 2 b

b 1

4ab

a 1 b ? 12 ? sa 1 bd

ab 5

e)

sx 1 yd2

x 1 y 2

5ysx 1 yd2

5

j)

16xy2

3x 2

5y2

xy5

2 Efectúa cada operación combinada con signo de agrupación.

a)

s 4mn3x

? 6mnq d 4

5m3

2n2 5

f )

s x 2 yx2 1 xy

1 x 1 y

xy 2 x

xy 2 y2 d ? 49x 2 y

5

b)

3

x2 2 1 1

s 4x2 2 93x 1 1

?

5x 2 3 d 5

g) s a 1 b

a 2 b 1

a 2 ba 1 b d 4 s1

2 m2 2 5m 2 25

m2 2 25 d 5

c)

a2

a 2 1 4

s a3

a 1 1 1

a 2 1

a2 2 2a 1 1 d 5 h)

x2 2 16

x2 2 8x 1 16 ? s 1

x2 2 4 1

xy

x 2 4 1

1d 5

d)

s x 1 1x 2 1

? 5x 2 53x 2 3 d 4

x2 1 xx2 2 x 2 2

5

i) s x2 2 4

x4 2 x2 2 6 1

x2 1 2

x4 2 2x2 2 24 d 4 s x 1 yx2 d 5

e) s 3xy

51

16x3y d ? 2 5 j)

s 16x2 2 4

2 1

3

4x 2 2 d ? 10 ? s4x 1 2d4x 2 2

5

Actividades Para realizar en el cuaderno

sx 1 2dsx 2 2dsx 1 3dsx 2 3d

sx 2 3dsx 1 2ds2x 1 3d 5

operaciones coMbinadas con Fracciones algebraicas 137

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Comprensión1 Designa tantas variables como sea necesario y

escribe los siguientes enunciados en expresiones algebraicas.

a) La edad de Pedro hace 5 años entre la edad de Pedro dentro de 8 años.

b) La suma de las edades de Pedro y Juan entre el triple de la resta de sus edades.

c) La diferencia de los cuadrados de p y q entre la suma de p y q.

d) El cociente entre el área de un cuadrado de lado a y el área de un rectángulo de lados a y b.

e) El cociente entre la suma de las edades de los padres de los hermanos Laura y Ramón, y la diferencia entre las edades de Laura y Ramón.

2 Identif ica las fracciones algebraicas equivalentes a la fracción x 1 y

x.

a)

ax 1 ay

ax d)

x

x 1 y

b)

sx 1 yd2

x2 1 xy e)

x3 1 xy

x3

c)

x2 1 xy

x2 f )

x2 2 y2

x2 2 xy

3 Relaciona cada fracción algebraica de la izquierda con el o los valores que anulan el denominador.

x 2 3x 2 4

2 2 xx2 2 4

x 2 32

x 1 8x2 2 7x 1 10

x2

sx 2 ydsx 1 1d

x 5 2

x 5 4

x 5 22

x 5 25

x 5 y

Análisis y aplicación4 Calcula y responde.

Dadas F1 5 x 1 yx 2 y y F2 5 x2 2 y2

x2 2 2xy 1 y2 :

a) La mínima expresión para F1 1 F2. b) La mínima expresión para F1 2 F2. c) La mínima expresión para F1 ? F2. d) La mínima expresión para F1 4 F2. e) ¿Son F1 y F2 equivalentes?

5 Expresa algebraicamente y de forma simplif icada la longitud indicada con el signo de interrogación.

A 5 x 1 y

x

2y

A 5 6 ? sx 1 yd

?

6 Este terreno agrícola será urbanizado y dividido en n lotes iguales. Escribe la fracción algebraica que represente el área de cada lote.

7 Responde: si 5 1x y 5

3

2xy .

a) ¿Cuál es el valor de ?

b) A partir de la f igura anterior,

¿cuál es el valor de ?

Actividades de refuerzo Para realizar en el cuaderno

450 m

200 m

138 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Cuando se posee cierto capital, es posible hacer inversiones que permitan obtener ganancias o intereses. Un tipo de interés es el interés simple (I), que depende del tiempo (t) de la inversión, del capital inicial (C) y de la tasa de interés (i) dada en porcentaje. La fórmula para calcularlo es la expresión algebraica I = C ? i ? t y a partir de esta, se puede despejar cualquiera de las variables. • Responde: ¿qué expresión algebraica permite calcular cuánto

tiempo debe durar una inversión para generar un monto específ ico de intereses?

8 Halla el m.c.m. entre los denominadores

de las fracciones 38mn4

, 2835m5n

y 1010m2n3

.

9 Completa según corresponda.

10 Completa la tabla según se indica.

Conexos con... Economía

Análisis y aplicación4 Calcula y responde.

Dadas F1 5 x 1 yx 2 y y F2 5 x2 2 y2

x2 2 2xy 1 y2 :

a) La mínima expresión para F1 1 F2. b) La mínima expresión para F1 2 F2. c) La mínima expresión para F1 ? F2. d) La mínima expresión para F1 4 F2. e) ¿Son F1 y F2 equivalentes?

5 Expresa algebraicamente y de forma simplif icada la longitud indicada con el signo de interrogación.

A 5 x 1 y

x

2y

A 5 6 ? sx 1 yd

?

6 Este terreno agrícola será urbanizado y dividido en n lotes iguales. Escribe la fracción algebraica que represente el área de cada lote.

7 Responde: si 5 1x y 5

3

2xy .

a) ¿Cuál es el valor de ?

b) A partir de la f igura anterior,

¿cuál es el valor de ?

Opinión y síntesis 11 Lee la información y luego responde. En física, usualmente se trabaja

con diversos tipos de sistemas de medición. Por ejemplo, la velocidad de una partícula o móvil se suele medir en km/h (kilómetros por hora) o en m/s (metros por segundo). Para transformar de una unidad a otra se efectúan operaciones entre expresiones algebraicas.

Por ejemplo, 10 km/h a m/s, se efectúa así: Como 1 km = 1 000 m y 1 h = 3 600 seg,

se tiene: 31

� � �10 hkm 10 600 s

000 m

301

� �600 s000 m

s100 m 2 7 s

m36 , .

PsxdQsxd

54x 2 2

6x 1 34x 2 2

x 2 1x 1 3

121

PsxdQsxd

111

PsxdQsxd

Fracción algebraica Doble Cuadrado Inverso Expresión

1x

2x

1x2 x

1 ?

yx

? -1 ?

1a 2 1

? 1

2x

1

1x2

? x

5

3x

a) ¿Qué puedes decir sobre las fracciones 10 km/h y 2,7 m/s? ¿Por qué?

b) ¿Qué operaciones entre fracciones se observan en el procedimiento?

c) A partir del procedimiento observado deduce una forma análoga para transformar de m/s a km/h.

d) ¿Qué benef icios te trae realizar este tipo de actividades?

Fracciones algebraicas 139

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Problemas1 Una torre tiene 15 pisos y 5 sótanos. Si el

último sótano se encuentra a una profundidad bajo tierra de 215 m, ¿cuánto mide la torre completa contando los sótanos?

2 El producto de dos números enteros es 214 y uno de ellos excede al otro en 9. ¿Cuánto vale la suma de los cuadrados de dichos números?

3 Un número aumentado en su doble esigual a sí mismo disminuido en 5. ¿Cuáles el número?

4 Gabriela presentó un examen de 20 preguntas. Por respuesta correcta obtenía 10 puntos y por respuesta incorrecta, 24 puntos. Si Gabriela resolvió todas las preguntas, de las cuales 13 están correctas, ¿qué puntaje obtuvo?

5 La edad de José Manuel es el triple de la edad de Martha. Si la suma de sus edades es de60 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

6 Pedro tiene 12 años más que Laura. Si Laura cumplirá 40 dentro de 13 años, ¿cuántos años tiene Pedro?

Elegir la incógnita En ocasiones, un planteamiento matemático involucra algún o algunos valores desconocidos que se desean hallar. Para encontrar los valores desconocidos de estos planteamientos se asigna una incógnita a dichos valores y se plantea una ecuación.

Estrategia de resolución de problemas

Carlos y Martha trabajan juntos en una empresa, pero Martha gana Bs. 10 más que Carlos por cada hora trabajada. Si ambos tienen una jornada diaria de 8 horas y Martha gana Bs. 250 en un día, ¿cuánto gana Carlos por hora? ¿Cuánto gana Carlos semanalmente? 1. Se extrae la información dada en el planteamiento.

• Martha gana Bs. 10 por hora más que Carlos. • Ambos trabajan 8 horas diarias.• Martha gana Bs. 250 en un día.

Ejemplo resuelto

2. Se identif ica en el planteamiento el dato que no se conoce y que se desea conocer (la incógnita), y se le asigna una variable.

• Lo que gana Carlos por hora x

3. Se plantea una igualdad que permita relacionar toda la información descrita, conocida y desconocida. A partir de esta igualdad se despeja la incógnita y se hallan los valores solicitados.

Martha gana x 1 10 por hora Martha gana 8 ? (x 1 10) en un día 8 ? (x 1 10) 5 250 8x 1 80 5 250 8x 5 170 x 5 21,25 Carlos gana Bs. 21,25 por hora.

4. Luego se calcula que en una semana hay 5 días laborables, por lo tanto 8 ? 5 5 40 horas de trabajo.Entonces, Carlos gana 21,25 ? 40 5 650 bolívares semanales.

140 Fracciones algebraicas

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Idea para la acción

Propósito: comparar la rentabilidad que se obtiene al colocar dinero en bancos diferentes.

Comparación de la rentabilidad dedinero colocado en bancos diferentes

5 EvaluaciónHáganse preguntas como: ¿están correctos los resultados? ¿Podrían obtenerse los mismos resultados escribiendo la tabla de otra forma, por ejemplo, intercambiando las f ilas porlas columnas? ¿Cómo se puede mejorar esta herramienta de cálculo?

1 Documentación• Busquen información referente al interés simple y su uso en la vida cotidiana.

Para ello, pueden formularse preguntas como: ¿qué son los intereses? ¿Qué benef icios aportan? ¿Cómo se calculan? ¿Qué datos se deben tener para calcular el interés simpleen una situación?

• Consulten, en las páginas web de diversas instituciones bancarias, cuál es la tasade interés que brindan según los tipos de cuentas que ofrecen.

• Documéntense acerca de los procedimientos que se usan para insertar fórmulasy hacer cálculos en programas de hojas de cálculo. Para ello, pueden descargarun tutorial de Internet, ver videos o leer la sección de “ayuda” del programa.

2 Planifi cación• Supongan que invertirán un capital. Decidan cuánto dinero invertirán.• Decidan, con base en qué tipo de préstamo compararán, la rentabilidad

del capital que deseen invertir y cuánto tiempo invertirán el capital.• Escojan las tasas de interés de 3 bancos distintos sobre las que formularán

la misma situación.

3 Preparación de materiales• Dispongan de una computadora que tenga instalado

el programa de cálculo con el cual trabajarán.• Tengan a la mano la fórmula del cálculo

de intereses, así como las tasas de interesesde cada banco escogido.

4 Puesta en acción• Diseñen la hoja de cálculo para el vaciado

de la información. Hagan una tabla por cada banco.

• Introduzcan los datos de capital, tiempo y tasa de interés de los bancos, así como la fórmula adecuada para el cálculo del interés.

• Comparen los resultados obtenidosy formulen conclusiones sobre la rentabilidaddel dinero.

Fracciones algebraicas 141

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

© e

dit

ori

al

san

till

an

a, s

.a.

Matemática

Matemática

2

Mat

emát

ica

2º

año

añoº

2añoº

Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infi nitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces.

El aprendizaje signifi cativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzadoa otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.