matemática 3er año - conexos
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SANTILLANA VENEZUELA, tradición educativa con talento nacional.TRANSCRIPT
Matemática
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3año
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Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infi nitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces.
El aprendizaje signifi cativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzadoa otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.
Matemática 3er año© 2012 by Editorial Santillana, S.A.Editado por Editorial Santillana, S.A.Nº de ejemplares: 6 950Reimpresión: 2014Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454www.santillana.com.ve
Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA
ISBN: 978-980-15-0624-9Depósito legal: If6332012372269
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
El libro Matemática de 3er año de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.
En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:
Coordinación de arteMireya Silveira M.
Diseño de unidad gráfi caMireya Silveira M.
Coordinación de unidad gráfi caMaría Elena Becerra M.
Diseño de portadaMireya Silveira M.
Ilustración de la portadaWalther Sorg
Diseño y diagramación generalMaría Fernanda Guédez María Elena Becerra M. Diana Angilecchia María Alejandra GonzálezJosé Pérez DuinWilliam Gutiérrez
Documentación gráfi caAmayra VelónAndrés Velazco
IlustracionesFondo Documental Santillana
InfografíasReinaldo PachecoWalther Sorg Oliver González
FotografíasFondo Documental Santillana
Retoque y montaje digitalEvelyn Torres
Edición general adjuntaInés Silva de Legórburu
Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.
Edición ejecutivaLisbeth C. Villaparedes de MazaNathalia García M.
Textos• .N zednánreH .G leinaD
Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela
• Doris Eliani Pérez Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador.
• azaM ed sederapalliV .C htebsiL Profesora, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador
• zeugnímoD aglO Licenciada en Matemática. UniversidadCentral de Venezuela
• azodneM serroT ycnaN Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela
Edición de apoyoDoris Eliani PérezEvelyn Perozo de Carpio
Corrección de estiloJuan Luis Valdez, Karina Hernández, Mariví Coello
Lectura especializadaHenry J. Martínez L.Profesor, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador.Magíster en Ciencias, mención Matemática.Universidad Central de Venezuela
SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA
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Estructura del libro
Logros esperados. Enunciados breves que describen los principales conocimientos, valores, habilidades y destrezas que se pretende consolidar con el desarrollo de los contenidos de la unidad.
Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación, para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.
Infografía. Recurso gráfico que permite despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos.
Inicio de unidad
Para reflexionar y debatir. Preguntas dirigidas a generar conclusiones a partir del análisis de la información y los datos planteados en la infografía.
Desarrollo de los temas
Pensamiento crítico. Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.
Información complementaria. Datos adicionales que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.
Actívate. Preguntas relacionadas con situaciones de la vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.
Contenido. Tema con información actualizada, presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.
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Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que presentan la información a través de imágenes y textos asociados, para aprender de manera dinámica.
Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos. Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual, y la interacción por medio del trabajo en equipo.
Idea para la acción. Desarrollo de la actividad anunciada al inicio de cada unidad, con sugerencias para su planificación, puesta en práctica y evaluación, como estrategia para la generación de conocimientos.
Conexos con… Datos informativos que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.
Cierre de unidad
Conexos con…que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.
Estrategia de resolución de problemas. Estrategias sistemáticas para resolver problemas, con base en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.
Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento.
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ÍndiceU1 Números reales ........................... 6
Tema 1 Números racionales (Q) y operaciones .................... 8
Tema 2 Expresiones decimales y fracción generatriz ........... 10
Tema 3 Números irracionales (I) .......................................... 12
Tema 4 Representación de números irracionales en la recta numérica .................................................. 14
Tema 5 Números reales (R) ................................................... 18
Tema 6 Aproximaciones en R ................................................ 20
Tema 7 Adición y sustracción en R ....................................... 22
Tema 8 Propiedades de la adición en R ................................ 24
Tema 9 Adiciones y sustracciones combinadas ..................... 26
Tema 10 Multiplicaciones en R y sus propiedades ................. 28
Tema 11 División en R ............................................................. 30
Tema 12 Multiplicaciones y divisiones combinadas con signos de agrupación .......................................... 32
Tema 13 Potenciación en R con exponente entero ................. 34
Tema 14 Propiedades de la potenciación en R con exponente entero ................................................ 36
Tema 15 Operaciones combinadas en R ................................. 38
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 42 Estrategia de resolución de problemas .................... 44 Idea para la acción: Diseño de un programa
de computación para clasificar números ................... 45
U3 Inecuaciones en R ..................... 82Tema 1 Relación de orden en R ............................................. 84
Tema 2 Distancia entre dos puntos en la recta real y punto medio ............................................................ 88
Tema 3 Propiedades de las distancias entre dos puntos ....... 92
Tema 4 Intervalos reales ........................................................ 94
Tema 5 Inecuaciones de primer grado con una incógnita ...... 96
Tema 6 Inecuaciones con valor absoluto ............................... 98
Tema 7 Sistemas de inecuaciones lineales ........................... 102
Tema 8 Resolución de problemas mediante inecuaciones .... 104
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 106 Estrategia de resolución de problemas .................... 108 Idea para la acción: Planificación y ejecución
de un proyecto de negocio ......................................... 109
U4 Funciones ................................... 110Tema 1 El plano real ............................................................... 112
Tema 2 Distancia entre dos puntos en el plano ..................... 114
Tema 3 Funciones reales ........................................................ 116
Tema 4 Función afín ................................................................ 118
Tema 5 Pendiente y ordenada en el origen ............................ 122
Tema 6 Ecuación general de la recta ..................................... 126
Tema 7 Función cuadrática ..................................................... 130
Tema 8 Análisis de una función cuadrática ........................... 134
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 136 Estrategia de resolución de problemas .................... 138 Idea para la acción: Diseño y construcción de una
maqueta de un puente colgante ................................ 139
U5 Ecuaciones en R ........................ 140Tema 1 Ecuaciones irracionales ............................................. 142
Tema 2 Ecuaciones con valor absoluto .................................. 144
Tema 3 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ..................................................... 146
Tema 4 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 148
Tema 5 Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 150
Tema 6 Métodos analíticos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 152
U2 Radicales .................................... 46Tema 1 Raíz enésima de un número ...................................... 48
Tema 2 Cálculo de una raíz cuadrada ..................................... 52
Tema 3 Potenciación en R con exponente racional .............. 56
Tema 4 Propiedades de la potenciación en R con exponente racional .............................................. 58
Tema 5 Introducción y extracción de factores en un radical.. 62
Tema 6 Amplificación y simplificación de radicales............... 64
Tema 7 Adición y sustracción de radicales ............................ 66
Tema 8 Multiplicación y división de radicales ....................... 68
Tema 9 Operaciones combinadas con radicales .................... 72
Tema 10 Racionalización de un monomio y de un binomio ..... 74
Tema 11 Racionalización con índices mayores que 2 .............. 76
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 78 Estrategia de resolución de problemas .................... 80 Idea para la acción: Cálculo de la velocidad
con que choca un aparato móvil a escala ................. 81
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U8 Informática ................................. 210Tema 1 La computadora ......................................................... 212
Tema 2 Hardware y software de la computadora .................. 214
Tema 3 Programación ............................................................. 218
Tema 4 Estructuras básicas de control ................................... 222
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 224 Estrategia de resolución de problemas .................... 226 Idea para la acción: Elaboración de un manual
para armar y desarmar una computadora ................. 227
Solucionario ........................................................................... 228
Fuentes consultadas ............................................................. 232
U6 Geometría del plano .................... 178Tema 1 Aplicaciones del teorema de Pitágoras ..................... 180
Tema 2 Teorema de Euclides y aplicaciones .......................... 182
Tema 3 Proporcionalidad entre segmentos ............................ 184
Tema 4 Teorema de Tales y aplicaciones ............................... 186
Tema 5 Semejanzas de fi guras planas ................................... 188
Tema 6 Criterios de semejanzas entre triángulos .................. 190
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 192 Estrategia de resolución de problemas .................... 194 Idea para la acción: Construcción
de una vivienda a escala ........................................... 195
U7 Estadística y probabilidad ............ 196Tema 1 Tablas de distribución de frecuencias ....................... 198
Tema 2 Medidas de tendencia central ................................... 200
Tema 3 Probabilidad de un evento ......................................... 202
Tema 4 Diagrama de árbol ..................................................... 204
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 206 Estrategia de resolución de problemas .................... 208 Idea para la acción: Estudio estadístico
de las preferencias de equipos deportivos ................ 209
Tema 7 Sistemas de ecuaciones literales .............................. 156
Tema 8 Resolución de problemas mediante ecuaciones lineales ................................................... 158
Tema 9 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita ....................................................... 160
Tema 10 Resolución de ecuaciones de segundo grado ...................................................... 162
Tema 11 Discriminante de una ecuación de segundo grado ...................................................... 166
Tema 12 Ecuaciones expresadas en forma cuadrática ................................................... 168
Tema 13 Sistemas de dos ecuaciones .................................... 170
Tema 14 Problemas con ecuaciones de segundo grado ...................................................... 172
Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 174 Estrategia de resolución de problemas .................... 176 Idea para la acción: Comparación del consumo
de energía en dos baterías distintas ......................... 177
A propósito del lenguaje de géneroSegún la Real Academia de la Lengua Española y su correspon-diente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos en los que el empleo del género no marcado sea sufi cientemente explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo.
Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana he-mos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la lucha por la conquista defi nitiva de la equidad de género.
En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocu-pación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma, fi nes en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las autoridades académicas.
A propósito de las Tecnologías de la Información y la ComunicaciónEditorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las com-petencias digitales de docentes y estudiantes, así como para comple-mentar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos.
Sin embargo, dado el carácter extremadamente fl uido, mutable y dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supre-siones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios, y quedan completamente fuera del control de la editorial.
Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.
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LOGROS eSPeRAdOS
FUNCIONES
IdeA PARA LA AccIÓNDiseño y construcción de una maqueta de un puente colgante
Al culminar esta unidad diseñarán y construirán la maqueta de un puente colgante haciendo uso de funciones cuadráticas.
En las disciplinas deportivas en las que se usan objetos para ser golpeados o lanzados, como el baloncesto, las bolas criollas o el atletismo, pueden ocurrir movimientos parabólicos de tales objetos, los cuales describen una función cuadrática.
¿En qué se relacionan los deportes con las funciones cuadráticas?
• Identificar los tipos de funciones reales.
• Representar gráficamente funciones afines y cuadrá-ticas.
• Analizar funciones afines y cuadráticas.
• Establecer relaciones entre las funciones reales y situaciones de la cotidianidad.
U4
En un juego de golf la pelota es lanzada de forma tal que describe el movimiento representado en la gráfica de la izquierda. La ecuación muestra el movimiento parabólico de la misma.
Al lanzar o golpear un objeto, este recorre cierta distancia, que se puede medir desde el punto inicial hasta el punto final a través de la fórmula d � x2 � x1, donde x1 es el punto de partida y x2 de llegada del objeto.
73 m/s Golf
Al lanzar un objeto en dirección inclinada con relación a los ejes vertical y horizontal, el movimiento ocurrido describe lo que se llama una función parabólica o cuadrática. Gracias a ello, y por medio de algunas fórmulas preestablecidas, se puede medir la velocidad, la altura máxima alcanzada y la distancia recorrida por el objeto.
Distancia entre dos puntos
31 m/s
35 m/s
20 m/s
Fútbol
Baloncesto
Lanzamiento de jabalina
Béisbol51 m/s
Distancia recorrida por un objeto lanzado
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1–1–2–3–4–5–6–7–8–9 0 2 3 4 5 6 7 8 9
Y
X
xy = +12
92
x2x1
altura máxima
distancia recorrida110 Funciones
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Para refl exionar y debatir¿Conoces algún deporte en el cual se describa un movimiento similar a la gráfi ca de una función afín? ¿Crees que la gravedad incide en el movimiento que describen los objetos al ser lanzados durante el juego? ¿Cómo crees que sea el movimiento que describe una pelota al ser lanzada en el espacio? ¿A qué función se asemeja?
En un juego de golf la pelota es lanzada de forma tal que describe el movimiento representado en la gráfica de la izquierda. La ecuación muestra el movimiento parabólico de la misma.
Al lanzar o golpear un objeto, este recorre cierta distancia, que se puede medir desde el punto inicial hasta el punto final a través de la fórmula d � x2 � x1, donde x1 es el punto de partida y x2 de llegada del objeto.
73 m/s Golf
Al lanzar un objeto en dirección inclinada con relación a los ejes vertical y horizontal, el movimiento ocurrido describe lo que se llama una función parabólica o cuadrática. Gracias a ello, y por medio de algunas fórmulas preestablecidas, se puede medir la velocidad, la altura máxima alcanzada y la distancia recorrida por el objeto.
Distancia entre dos puntos
31 m/s
35 m/s
20 m/s
Fútbol
Baloncesto
Lanzamiento de jabalina
Béisbol51 m/s
Distancia recorrida por un objeto lanzado
10
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8
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1–1–2–3–4–5–6–7–8–9 0 2 3 4 5 6 7 8 9
Y
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xy = +12
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altura máxima
distancia recorrida Funciones 111
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El plano realActívAte
Si las coordenadas de un punto no son positivas ni negativas, ¿cuáles son las coordenadas de ese punto?
Sistema de coordenadas cartesianasPara graficar cada par ordenado de números reales como un punto en un plano, se consideran dos rectas perpendiculares: una horizontal, denominada eje de las abscisas, que se designa por X; y otra vertical, denominada eje de las ordenadas, que se designa por Y.Ambos ejes se conocen como ejes cartesianos, y conforman un sistema de coordenadas cartesianas.En cada eje se representa el conjunto de los números reales. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se designan por I, II, III y IV.La primera componente x de un par ordenado (x, y) se conoce como abscisa o primera coordenada, y la segunda componente y, como ordenada o segunda coordenada.
Posición de un punto en el plano A cada par ordenado de números reales le corresponde solo un punto en el plano real. Y a cada punto del plano real le corresponde solo un par ordenado de números reales. Para determinar la posición de un punto en un plano se asocia a él un par ordenado (x, y) de números reales, que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema de ejes cartesianos. En la figura de la derecha se muestra que la posición de un punto P(x, y) dependen del signo de sus coordenadas. Además se observa que:
temA 1
• El origen de coordenadas es el punto (0, 0) y se denota con la letra O.
• El par de la forma (0, y) indica que el punto se encuentra sobre el eje de las ordenadas.
• El par de la forma (x, 0) indica que el punto se encuentra sobre el eje de las abscisas.
0
II I
III IV
Y
X
II cuadrantex , 0y . 0
I cuadrantex . 0y . 0
III cuadrantex , 0y , 0
IV cuadrantex . 0y , 0
O
Y
X
• El punto A(3, 4) se ubica en el cuadrante I.• El punto B(25, 2) se encuentra en el cuadrante II.• El punto C(21,2 4) se ubica en el cuadrante III.• El punto D(2, 23) se encuentra en el cuadrante IV.• El punto E(0, 3) se ubica sobre el eje Y.• El punto F(5, 0) se ubica sobre el eje X.
EjEmplo
A
F
B
C
D
E4
32
1
25 24 23 22 21 1 2 3 4 5021
22
23
24
Y
X
112 Funciones
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El plano realPara determinar las coordenadas de un punto P(x, y) ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas, se proyecta ortogonalmente el punto P sobre el eje X y se obtiene el punto P’, cuya coordenada conforma la abscisa x del punto P. Luego se proyecta el mismo punto P sobre el eje Y, y se obtiene el punto P’’, cuya coordenada compone la ordenada y del punto P. Finalmente, se escribe el par ordenado correspondiente.
• El punto P se encuentra en el cuadrante IV, de manera que su abscisa es positiva y su ordenada es negativa.
La proyección de P sobre el eje de las abscisas indica que el valor de la abscisa es 2, y la proyección de P sobre el eje de las ordenadas indica que el valor de la ordenada es 24.
En consecuencia, las coordenadas del punto P son (2,24).
• El punto Q se encuentra sobre el eje de las ordenadas, o sea, es de la forma Q(0, y). Como la coordenada y es 3, entonces el punto es Q(0, 3).
• El punto R se encuentra sobre el eje de las abscisas, o sea, es de la forma R(x, 0). Como la coordenada x es 4, entonces el punto es R(4, 0).
1 Ubica los siguientes puntos en el plano real e indica el cuadrante o el eje en el que se encuentra cada uno.
a) A(3, 5) e) E(7, 9) i) I1214, 02
b) B(24, 6) f ) F 13, 2252 j) K123, 5
2 2 c) C114, 2
32 g) G(0, 26) k) L1210, 14 2
d) D(25, 23) h) H(10, 0) l) M122, 022 Establece las características que deben tener
las coordenadas de un punto para pertenecer al cuadrante o al eje dado.
a) Eje de las abscisas b) Eje de las ordenadas c) Cuadrante I d) Cuadrante II e) Cuadrante III f ) Cuadrante IV
3 Lee los planteamientos y responde. a) Si A(2x 2 5, 8), ¿qué valor debe tener x
para que A pertenezca al eje Y? b) Si el punto P tiene la misma ordenada
del punto Q(28, 10) y la misma abscisa del punto R(2, 22), ¿cuáles son las coordenadas del punto P?
4 Determina cuáles son las coordenadas de cada uno de los puntos dados en el plano real de la derecha.
Actividades Para realizar en el cuaderno
EjEmplo
P
R
Q
4
32
1
21222324
024 23 22 21 1 2 3 4
Y
X
P
P’
P”
0
Y
X
Par ordenadoPara escribir las coordenadas de cada punto, se debe considerar que las coorde-nadas de un punto son un par ordenado; esto significa que no pueden escribirse en otro orden, por ejemplo, no es lo mismo escribir (2, 3) que (3, 2).
Zoom
Y
X
(2,3)
(3,2)
1
10 2 3
2
3
Coordenadas de un punto en el plano
Y
X
AB
C
GH
JE
D
I024232221 1 2 3 4
4321
21222324F
el plano real 113
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ActívAte
¿Qué igualdad se cumple según el teorema de Pitágoras?
a) Calcular la distancia entre los puntos A(29, 7)
y B(3, 2). AB 5 93 2 72 2-- + -^ ^h h6 @ 5 3 9 2 72 2+ + -^ ^h h 5 5122 2-+ ^ h 5 144 25+
5 169 5 13
c) Determinar las coordenadas B, sabiendo que A(25, 5), AB 5 12 y que las coordenadas que conforman las componentes de B son iguales.
Sea B 5 (x, x) AB 5 x x�� � � �5 5 122 2^ ^h h6 @ x x�� � � �5 5 122 2^ ^h h6 @ (x 1 5)2 1 (x 2 5)2 5 144 x2 1 10x 1 25 1 x2 2 10x 1 25 5 144 2x2 1 50 5 144 2x2 5 144 2 50 2x2 5 94 x2 5 47 5 x 5 47 Finalmente, las coordenadas de B son ( 47, 47 ).
Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos en el plano se calcula aplicando el teorema de Pitágoras en función de las coordenadas de esos puntos.Para deducir la fórmula, en la figura de la derecha se ha formado el triángulo ABC rectángulo en C, donde la medida de la hipotenusa AB corresponde a la distancia entre los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), que se designa como AB. AB2 5 AC2 1 BC2
AB2 5 (x2 2 x1)2 1 (y2 2 y1)
2
Por lo tanto: AB 5 x x y y2 12
2 12- + -^ ^h h
Distancia entre dos puntos en el planotemA 2
b) Calcular el perímetro del triángulo ABC cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas: A(4, 0); B(3, 4) y C(28, 3).
P(∆ABC) 5 AB 1 BC 1 AC
4 0 8 34 03 4 8 3 3 4 2 22 2 2 2= - - - + -- + + - - + - +^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h 1 4 12 311 12 2 22 2 2= - + - ++ - + - +^ ^ ^ ^h h h h 1 16 121 1 144 9= + ++ + +
17 122 153= + +
17 122 3 17= + +
4 17 122= +
EjEmplos
CA
B
x2 2 x1
y22y1
y2
x1 x2
y1
0
Y
X
A
B
29 3
2
7
0
Y
X
28 3 40
34 B
A
C
Y
X
114 Funciones
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Sea M1 el punto medio de AB; M2, el de BC; M3, el de CD y M4, el de AD. Entonces, se tiene que:
M1122 1 2 2
, 1 2 32 2 M1(0, 21) M316 1 2
2, 1 1 5
2 2 M3(4, 3)
M212 1 62
, 23 1 1 2 2 M2(4, 21) M4122 1 2
2, 1 1 5
2 2 M4(0, 3)
Punto medio de un segmento Dado un segmento AB de coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2), el punto medio M
de este segmento AB tiene por coordenadas: M1x1 1 x2
2 , y1 1 y2
2 2
Distancia entre dos puntos en el plano
a) Dados los puntos C(6, 24) y D(24, 0), hallar las coordenadas del punto medio de CD.
Las coordenadas del punto medio M de CD son:
M1 6 1 (24)2
, 24 1 0 2 2
M1 22
, 242 2
M(1, 22)
b) Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD cuyos vértices son A(22, 1); B(2, 23); C(6, 1) y D(2, 5).
EjEmplos
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Determina la distancia entre cada par de puntos y halla el punto medio M en cada caso. a) A(2, 6); B(7, 18) d) G(22, 9); H(6, 26) g) N(29, 21); Ñ(23, 2)
b) C(0, 3); D(4, 6) e) I(7, 8); J(21, 3) h) P(15, 4); Q(23, 22)
c) E 112, 52; F 115, 42 f ) K 134, 252; L 135, 1
42 i) E 10, 2122; S 112, 02
2 Determina lo que se pide, sabiendo que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(22, 2); B(3, 23) y C(6, 6). Luego responde.
a) El punto medio de cada uno de sus lados designados por D, E y F, respectivamente. b) El perímetro del ∆ABC y el perímetro del ∆DEF. c) ¿Qué relación existe entre los perímetros de los triángulos ABC y DEF?
3 Analiza los planteamientos y responde. a) Las coordenadas de tres de los vértices de un rombo ABCD son A(22, 3); B(25, 1)
y C(22, 21).¿Cuáles son las coordenadas del vértice D? b) Si la distancia entre A y B es 5, y las coordenadas de A son (3, 4), ¿cuáles son dos
de las posibles coordenadas de B? c) Si B está determinado por (4, 2) y el punto medio del segmento AB es M(21, 5),
¿cuáles son las coordenadas del extremo A?
24
22
24
0 6
D
C
22
23
0
1A C
D
B
2 6
5
Y
X
M
M4
M1 M2
M3
Y
X
Distancia entre Dos puntos en el plano 115
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temA 3
ActívAte
¿Es posible establecer una función entre un conjunto de personas venezolanas y el conjunto de los estados de Venezuela? ¿Qué condición debe cumplirse para que sea función?
Funciones reales
Funciones realesUna función de A en B (f : B) es una relación que cumple dos condiciones: •���Todos los elementos del conjunto de partida (conjunto A) están relacionados
con algún elemento del conjunto B.•��Cada elemento de A tiene relación solo con un elemento del conjunto de
llegada (conjunto B). En una función f : A B, el conjunto A se llama dominio (Dom f ) y el B, codominio (Codom f ). Cada elemento del codominio que está relacionado con un elemento del dominio se denomina imagen. El rango (Rgo f ) es un subconjunto del codominio formado por todos los elementos que son imágenes. Dada una función f : A B, si el par ordenado (x, y) pertenece a ƒ entonces f (x) 5 y. En este caso, se dice que y es imagen de x y que x es preimagen de y. Una función real es aquella función definida de R en R, es decir, f : R R; en la cual, para todo número real x existe un real y, tal que f (x) 5 y.Algunas funciones reales son: f (x) 5 x 1 3
2, g(x) 5 x2 2 5 y y 5 24x 1 1.
Los pares ordenados que pertenecen a una función real f se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas. Para ello, se dan valores reales a la variable x y se determinan los valores de f (x) o sea y; los pares ordenados (x, y) obtenidos se representan gráficamente y se unen los puntos mediante una línea.Las funciones se clasifican según su ecuación y según su gráfica, y pueden ser constantes, identidad, valor absoluto, hiperbólica, afín o cuadrática, entre otras.
a) f (x) 5 2 Para cualquier valor de x, se obtiene y 5 2. Algunos de los pares ordenados son (22, 2);(21, 2); (0, 2); (1, 2) y (2, 2).
EjEmplos
b) f (x) 5 x Para cada valor de x, se obtiene que y es igual al mismo valor de x. Algunos pares ordenados son (22, 22); (21, 21); (0, 0); (1, 1) y (2, 2).
RecueRdA
Para determinar si un punto (a, b) pertenece al gráfi-co de una función dada, se calcula f(a) 5 b. Si f(a) 5 b, entonces el punto (a, b) pertenece al gráfico de la función, pero si f(a) b, entonces el punto (a, b) no pertenece al gráfi-co de la función.
En este caso 2 es una constante real. Si C es una constante real, la función f : R R definida por f (x) 5 C se denomina función constante.
La función real f (x) 5 x se denomina función identidad.
2
X0 1
12
22
222121
Y
Dom f 5 R Rgo f 5 R
0
1
f(x) 5 22
Y
XDom f 5 R Rgo f 5 526
116 Funciones
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d) f (x) 5 1x
Para cada valor de x se tiene que y es igual al cociente entre la unidad y el valor de x. Algunos pares ordenados
son 122, 212 2; (21, 21); 121
2, 222; 112, 22; (1, 1) y 12, 1
2 2.
e) f (x) 5 3x 2 1
Para cada valor de x, se tiene que y es la diferencia entre el triple de x y 1. Algunos pares ordenados son (22, 27); (21, 24); (0, 21); (1, 2) y (2, 5).
Como el grado de x es 1, es una función afín o de 1er grado.
c) f (x) 5 x Para cada valor de x, y es igual al valor absoluto de x. Algunos pares ordenados son (22, 2); (21, 1); (0, 0); (1, 1) y (2, 2).
Dom f 5 R Rgo f 5 R1 506 o 5x [ R/x $ 06
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Completa las siguientes tablas y grafica las funciones reales dadas. a) f (x) 5 2x2 2 x 1 1 b) g(x) 5 6x 2 3
2 Determina el rango de cada función, sabiendo que el dominio de cada una de ellas es el conjunto A 5 5x [ Z/23 x 36.
a) f (x) 5 x2 c) f (x) 5 2x e) f (x) 5 3x + g) f (x) 5 10 2 4x
b) f (x) 5 x 1 2 3 d) f (x) 5 x
x 1 4 f ) f (x) 5 5
x 2 5 h) f (x) 5 26x
3 Representa gráficamente cada función e indica qué tipo de función es.
a) f (x) 5 2x c) h(x) 5 2x 1 6 e) k(x) 5 x2 1 x g) p(x) 5 x 2 5 b) g(x) 5 4
x d) j(x) 5 28 f ) t(x) 5 13x 2 2 h) r(x) 5 2x2 2 1
x 1 0 21 2f (x)
x 1 21g (x) 3 23
0 1 2
12
2122
Y
X
f ) f (x) 5 4 2 x2
Para cada valor de x, y es la diferencia entre 4 y el cuadrado de x. Algunos pares ordenados son (22, 0); (21, 3); (0, 4); (1, 3) y (2, 0).
Como el grado de x es 2, es una función de 2o grado o cuadrática.
La función cuadrática es la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c.
A este tipo de función se le denomina función valor absoluto.
Esta es una función hiperbólica. La función hiperbólica está representada por dos hipérbolas.
La función afín es la forma f (x) 5 ax 1 b.
1
1
21 0 222
234
Y
X
Dom f : RRgo f : 5x [ R/x 46
2
1 2
5
2221
24
27
0
Y
X
Dom f : RRgo f : R
12
0 1 2212122
22
Y
X
Hipérbola Dom f : R2 506
Rgo f : R2 506
Funciones reales 117
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Función afíntemA 4
ActívAte
Busca en el diccionario el signifi cado de las palabras afín y lineal. ¿Por qué crees que se haga referencia a una función real con esos términos?
Función afín La función afín o función lineal es toda función real de la forma f (x) 5 mx 1 b, cuya variable es de primer grado, y m y b son constantes reales.
EjEmplos a) La función y 5 2x 2 3 es afín, con m 5 2 y b 5 23.b) La función y 5 5 es afín, con m 5 0 y b 5 5.
c) La función y 5 1x no es afín, porque y 5
1x es equivalente a y 5 x21, y la variable
tiene exponente negativo.
d) La función 2x – 3y 5 2 es afín, pues al despejar y se tiene que y 5 23
x 2 23
,
con m 5 23
y b 5 223 .
e) La función y 5 x2 no es afín, ya que la variable no tiene exponente 1.
Aplicación de la función afín
TropósferaEstratósferaMesósfera
Desde500 km
Termósfera
Exósfera
80 km – 500 km
50 km – 80 km12 km – 50 kmHasta 12 km
La atmósfera, que es la capa de aire que rodea la Tierra y cuyo espesor se estimaen unos 500 km, ejerce una presión en todas direcciones y con igual intensidadllamada presión atmosférica.
Para estimar la presión atmosférica en cierto lugar próximo al nivel del mar, puede aplicarse la siguiente ecuación:
En ella y es la variable que representa el valor de la presión en milímetros de mercurio (mm Hg) y x es la variable que representa la altura del lugar sobre el nivel del mar, en milímetros.
Por ejemplo, si una localidad de Venezuela se encuentra a 840 m sobre el nivel del mar, lo cual equivale a 840 000 mm, su presión atmosférica está dada por:
y la utilidad de expresarla así es que para un valor determinado de x ( por ejemplo 840 000) es muy fácil obtener el valor de y, en este caso, el valor de la presión atmosférica.
La ecuación tiene la forma f (x) � mx � b, es decir,
y �10 500
�1 x � 760
m � y b � 760�1
10 500f (x) � y
y �10 500
�1 840 000 � 760
� �80 � 760 � 680 mm Hg
118 Funciones
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Función afín
EjEmplos
Representación gráfica de una función afín La representación gráfica de una función afín en el plano cartesiano es una recta que no es vertical, y para representarla basta determinar dos de sus puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos.
Representar gráficamente las siguientes funciones:a) f (x) 5 2x 2 3 Esta es una función afín con m 5 2 y b 5 23. Si se hace x 5 0, entonces se tiene que
f (x) 5 2 * 0 2 3 5 0 2 3 5 23. Esto indica que la recta pasa por el punto P(0, 23).
Por otro lado, f (1) 5 2 * 1 2 3 5 2 2 3 5 21. Luego la recta pasa por el punto Q(1, 21). Conocidos estos dos puntos P y Q, se traza el gráfico de la función afín dada.
b) f (x) = 23x 1 2 La función es afín con m 5 –3 y b 5 2.
Se tiene que f (0) 5 23 * 0 1 2 5 0 1 2 5 2, y f (1) 5 23 * 1 1 2 5 23 1 2 5 21; se escogió arbitrariamente x 5 0 primero, y luego x 5 1. Esto indica que la recta pasa por los puntos P(0, 2) y Q(1, 21). Su gráfico está en la figura.
c) f (x) = 12
x
En esta función afín m 5 12 y b 5 0.
Si se dan dos valores cualesquiera a la variable x, por ejemplo 22 y 4 se obtiene lo siguiente:
f (22) 5 12 * (22) 5 2
22 5 21
f (4) 5 12 * 4 5
42 5 2
Entonces P(22, 21) y Q(4, 2) pertenecen al gráfico de la función, el cual queda representado a la derecha.
d) f (x) = 3 Esta es una función afín, con m 5 0 y b 5 3.
Se tiene que f (0) 5 f (1) 5 3. Por lo tanto, la recta pasa por los puntos (0, 3) y (1, 3). Su gráfico es la recta horizontal representada en la figura.
10212223
Y
X
y 5 2x 2 3
Q
P
1021
Y
X
y 5 23x 1 2
P
Q
21
0 X
Y
y 5 33
1 2 3 4 24 23 22 21 021222324
4321
Y
X
y 5 12
x
Q
P
Toda función afín f (x) 5 mx 1 b está representada gráficamente por una recta que no es vertical. Esto implica que las rectas de la forma x 5 a, con a constante, no representan una función afín, pues en este caso m no tiene valor, a diferencia de una función afín de la forma y 5 a, donde el valor de m es 0.
Función aFín 119
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Puntos de corte con los ejesEn las funciones afines es útil determinar el valor de y primero haciendo x 5 0; porque, así se obtiene el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Esto ocurre también con cualquier función.Para determinar dónde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza lo siguiente: un punto está en el eje horizontal si la distancia del punto al eje es cero, es decir, si la ordenada del punto es 0. Por lo tanto, basta hacer y 5 0 en la función y así despejar x para obtener la abscisa del punto desconocido.Es decir, si f (x) 5 mx 1 b se iguala a cero, entonces mx + b 5 0 y x 5 2 bm.
Por lo tanto, el gráfico de la función corta el eje horizontal en el punto (x, 0),
es decir, en 12 bm
,02.
Determinar los puntos de corte del gráfico de la función afín con los ejes de coordenadas y representarla graficamente.a) y 5 3x 2 2 Para hallar el punto de corte de la recta con el eje vertical
se hace x 5 0 y se despeja la x, así: y 5 3 * 0 2 2 5 0 2 2 5 22 Luego el punto de corte es el punto (0, 22).
Para hallar el punto de corte de la recta con el eje horizontal,
se hace y 5 0 así:
0 5 3x 2 2 2 5 3x 23
5 x x 5 23
Luego el punto de corte es 1 23
, 02. Al representar esos puntos de corte se obtiene el gráfico
de la función de la derecha.
EjEmplos
10
21
22
Y
X
y 5 3x 2 2
b) y 5 x 1 1
3 Como y 5
x 1 5 3
es equivalente a y 5 13 x 1
5 3
, se tiene
que m 5 13 y b 5
5 3
.
Para hallar el punto de corte con el eje Y se hace x 5 0,
con lo cual se obtiene el valor de b, es decir, y 5 b 5 5 3
.
Entonces, el punto de corte con Y es 10, 5 3 2.
Para hallar el punto de corte con X se hace y 5 0 de donde
se obtiene x 5 2 bm
. Esto es x 5 25 .
Entonces, el punto de corte con el eje X es (25, 0). Finalmente, con ambos puntos se representa la gráfica.
5 313
52
1 2 3 4 24 23 22 21 021222324
4321
Y
X
y 5 x 1 1
3
5 3
25
120 Funciones
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Un negociante tiene que escoger entre ser socio de una compañía A o de una compañía B , que tienen calidad de producción similar pero su cantidad de producción por hora está dada por las funciones que se muestran en la figura. Responde:a) ¿En cuál de las dos empresas debe invertir
este negociante si su único objetivo es tener las máximas ganancias?
b) ¿Qué consecuencia crees que tenga en los trabajadores y las trabajadoras que algunas empresas tengan como único objetivo las ganancias máximas?
Pensamiento crítico
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Indica si cada función es afín o no.
a) y 5 2x d) y 5 2x 2 2 g) y 5 2x2 2 2x j) y 5 12x 2 3
b) y 5 x2 1 1 e) y 5 4x + h) y 5 25x 2 16 k) y 5 x4
c) y 5 x f ) y 5 212x 2 9 i)
yx 5 5 l) y 5
3x
3 Representa gráficamente cada función. a) y 5 3x d) y 5 24x 1 10 g) y 5 7 j) y 5 3x 2 1
b) y 5 5x 2 1 e) y 5 x 1 2 h) y 5 x 2 6 k) y 5 2x
c) y 5 2x 1 3 f ) y 5 212x 1 1
2 i)
yx 5 4 l) y 5 0
4 Representa gráficamente las funciones afines f(x) y g(x), y halla el punto de corte entre ambas rectas.
a) f (x) 5 5 y g(x) 5 2x 2 1 e) f (x) 5 3x 1 1 y g(x) 5 12x
b) f (x) 5 x y g(x) 5 3x 1 2 f ) f (x) 5 2x y g(x) 5 22x c) f (x) 5 x 1 3 y g(x) 5 22 g) f (x) 5 21 y g(x) 5 3x d) f (x) 5 1 y g(x) 5 2x 1 3
2 Completa cada tabla.
a) b)
5 Halla el punto de intersección de los gráficos de y 5 x y x 5 5.
m b Ecuación de la función afín
3 2
24 516 22
22 243
m b Ecuación de la función afín
y 5 ( 34 )x 2 1
y 5 2x 1 5y 5 7xy 5 8
B
A
Y
X
y 5 3t
y 5 12 t
Horas de trabajo
Cantidad de producción
Función aFín 121
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En conclusión si en una función lineal y 5 mx 1 b la pendiente es positiva, es decir (m . 0), la recta es creciente; si la pendiente es negativa (m , 0) entonces la recta es decreciente; y si la pendiente es nula (m 5 0) entonces la recta es horizontal y permanece constante.
Pendiente (m) de una rectaAsí como la pendiente de un camino se asocia al grado de inclinación que tiene con respecto a un plano, en matemática se puede asociar la pendiente de una recta (más o menos inclinada) con la inclinación de dicha recta respecto al eje horizontal. En una función lineal definida como y 5 mx 1 b, el número constante m se denomina pendiente de la función lineal o pendiente de la recta que representa. Según el valor de m, la función y 5 mx 1 b es creciente, decreciente o constante:
ActívAte
Cuando una persona camina en subida o en bajada, ¿qué se puede decir acerca de la inclinación de la calle?
Pendiente y ordenada en el origen temA 5
• Función creciente. Como en el caso de f (x) 5 2x 2 3 (con m 5 2). A medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada.
Como f (0) 5 2 ? 0 2 3 5 23, entonces el punto (0, 23) es el corte de la recta con el eje vertical.
Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f (1) 5 2 ? 12 3 5 2 2 y se nota que en el punto (1, 22) la ordenada es mayor que la ordenada en 0. Es decir, si se van dando valores mayores en la abscisa se van obteniendo valores mayores de la ordenada.
• Función decreciente. A medida que aumenta el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada como en el caso de f (x) 5 2x 1 2 (con m 5 21).
Como f (0) 5 20 1 2 5 2, entonces el punto (0, 2) es el corte de la recta con el eje vertical.
Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f (1) 5 21 1 2 5 1 y en el punto (1, 1) la ordenada es menor que la ordenada en 0. Es decir, si se van dando valores mayores de la abscisa, se van obteniendo valores mayores de la ordenada.
• Función constante. Esta es una recta horizontal como en el caso de f (x) 5 5 (con m 5 0) que corta al eje vertical en el punto (0, 5) y permanece constante.
0 1
1
2 y 5 2x12
m 5 21 , 0
Y
X
0 1
22
23
y 5 2x23
Y
X
m 5 2 . 0
0
5y 5 5
m 5 0
Y
X
122 Funciones
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Ordenada (b) en el origenEn una función lineal y 5 mx 1 b, el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función; pues si se hace x 5 0 se obtiene y 5 m ? 0 1 b 5 b; luego (0, b) es el punto de corte del eje Y con el gráfico de la función afín, es decir, b es la ordenada del punto de corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.
Pendiente y ordenada en el origen
EjEmplos
RecueRdA
En toda función f se tiene que
f (x) 5 y, por lo cual, una función de la forma f (x) 5 mx 1 b se puede expresar como la ecuación: y 5 mx 1 b.
a) Hallar el punto de corte de la función afín y 5 5x 2 8 con el eje vertical. Como b = 28 entonces el punto de corte con el eje vertical es (0, 28).
b) Hallar el punto de corte de la función afín y 5 22x 1 1, con el eje Y. Como b 5 1entonces el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
Posición de rectas en el plano según sus pendientesSi dos rectas son paralelas, entonces al cortar al eje horizontal se forman dos ángulos correspondientes congruentes \1 \2. Por lo tanto, las dos rectas tienen la misma inclinación con respecto al eje horizontal, y en consecuencia tienen igual pendiente.
EjEmplos a) Hallar la función cuya gráfica pasa por P(21, 2) y es paralela a y 5 2x 1 3. La función buscada es de la forma: y 5 mx 1 b; por lo cual se deben hallar
los valores de m y de b. Como ambas funciones tienen la misma pendiente, m 5 2; la función debe ser de la
forma y 5 2x 1 b. Ya que el punto P está en la recta, sus coordenadas x 5 21 y y 5 2 deben
satisfacer la ecuación así: 2 5 2 ? (21) 1 b 2 5 22 1 b b 5 4. La función buscada es: y 5 2x 1 4.
b) Hallar la función cuya gráf ica pasa por P(2, 1) y es perpendicular a y 5 23x 1 2. La función buscada es de la forma y 5 mx 1 b. Como el producto de las pendientes debe ser 21, se debe cumplir que:
(23) ? m 5 21 m 5 2123
5 13. Luego, la función es de la forma y 5 13x 1 b.
Ya que P está en esta recta, se cumple: 1 5 13 ? 2 1 b 1 5 23 1 b b 5 13.
En consecuencia, la función buscada es: y 5 13x 1 13.
L1L2
L1
L2
01 2
Y
X• Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre
y cuando tengan la misma pendiente.• Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto
de ambas pendientes es igual a 21.
23
28
1
Y
X
21
1
1
Y
X
penDiente y orDenaDa en el origen 123
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Ecuación de la pendiente Es posible cal cu lar la pen dien te de una rec ta que pa sa por dos pun tos dados P y Q. Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son dos pun tos que pertenecen a la función y 5 mx 1 b,
en ton ces se cum ple que: y1 5 mx1 1 b; y y2 5 mx2 1 b. Al despejar b en cada
ecuación se tiene que: b 5 y1 – mx1
b 5 y2 – mx2
De aquí se tiene que: y1 – mx1 5 y2 – mx2 mx2 – mx1 5 y2 – y1
m(x2 – x1) 5 y2 – y1 m 5 y2 2 y1
x2 2 x1.
a) Hallar el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(4, 6) y B(23, 1).
m 5 1 2 623 2 4 5 25
27 5 57
El valor de la pendiente de la recta que pasa por A y B es m 5 57.
b) ¿Cuál es la ecuación de la función cuya gráfica pasa por los puntos P(22, 3) y Q(3, 2)?
La pendiente de esa recta está dada por: m 5 2 2 33 2 (22) 5 2 2 3
3 1 2 5 215.
Entonces la función es de la forma y 5 215x 1 b.
Ya que la gráfica pasa por el punto P se tiene que:
3 5 12152 ? (22) 1 b 3 5 25 1 b b 5 13
5 .
La ecuación de la función es y 5 215x 1 13
5 .
d) Determinar si la recta que pasa por P(1, 2) y Q(21, 3) es perpendicular a la que pasa por los puntos U(2, 4) y V(22, 6).
Las pendientes de las rectas son: m PQ 5 3 2 221 21 52
12 y m
UV 5 6 2 4
22 2 2 5 224 52
12.
Como m PQ ? mUV 5 14, lo cual es diferente de 1, sus rectas no son perpendiculares,
pero sí son paralelas ya que m PQ 5 mUV.
c) Determinar la función cuya gráfica pasa por los puntos P(2, 24) y Q(2, 3). No puede calcularse la pendiente de la recta puesto que el denominador en
la fórmula será cero, pues 2 2 2 5 0. Así que no existe una función que cumpla estas condiciones pero sí existe una recta que pase por estos dos puntos. Esta es una recta vertical y su ecuación es de la forma x 5 k con k constante.
Luego, ya que P está en esa recta, se tiene que x 5 2.
EjEmplos
Los valores de x1 y x2 deben ser distintos puesto que no se puede dividir entre cero; en caso de que fuesen iguales, la recta que pasa por los puntos es vertical y no tiene pendiente.
En conclusión, se tiene que la pendiente de una recta que pasa por dos puntos distintos P(x1, y1) y Q(x2, y2), no situados en la misma vertical es m PQ 5 y2 2 y1
x2 2 x1 .
124 Funciones
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Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Despeja y e indica la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de cada función.
a) 3x 1 y 5 5 b) 2x 2 3y 5 6 c) 22y 5 x d) y 5 x 1 y
2 e) 4x 1 2y 2 7 5 0
2 Indica si cada recta dada crece, decrece o permanece constante. a) y 5 3x 1 2 b) y 5 22x 1 1 c) y 5 4 d) y 5 5x e) y 5 2x
3 Halla el punto en el que corta la gráfica de la función dada al eje Y. a) y 5 2x b) y 5 23x 1 2 c) y 5 3x 1 2 d) x 5 5 e) y 5 10x 1 5
9 Comprueba, calculando las pendientes respectivas, si los cuadriláteros dados por los siguientes vértices son o no paralelogramos.
a) ABCD si A(0, 0), B(22, 0), C(0, 3) y D(2, 4) b) PQRS si P(22, 1), Q(3, 0), R(6, 4) y S(1, 5)
10 Halla la ecuación de la recta perpendicular al segmento PQ, que pasa por el punto medio de dicho segmento, donde P(1, 6) y Q(28, 4).
4 Halla la ecuación principal de la recta paralela a la recta x 5 5 que pasa por el punto P(22, 3).
5 Responde. a) ¿Qué valor debe tener k en la función y 5 (2k 1 1)x 1 3 para que su gráfica sea paralela
a la recta de ecuación 3x 2 2y 1 6 5 0? b) ¿Qué valor debe tener k en la ecuación de la recta x 1 ky 2 7 5 0 para que sea
perpendicular a la recta de función y 5 212 x 1 6?
6 Determina la función cuya gráfica es perpendicular a la recta y 5 3x 2 1 y que pasa por el punto P(1, 1).
8 Determina la ecuación de la recta que contenga los puntos que se indican en cada caso. a) A(5, 2); B(3, 4) d) G(22, 1); H(4, 23) g) P(22, 22); Q(3, 3)
b) C(4, 6); D(7, 9) e) M(6, 23); N(5, 4) h) U 114, 02; V(5, 21)
c) E(3, 25); F(22, 23) f ) R(24, 2); S(6, 21) i) K(27, 1); Ñ(21, 0)
7 Calcula la pendiente de las rectas dadas por dos puntos.
a) AB si A(3, 4) y B(5, 7) d) PQ si P(3, 2) y Q(28, 2)
b) CD si C(21, 6) y D(23, 5) e) RS si R(22, 4) y S(21, 8)
c) MN si M(0, 1) y N(4, 22) f ) TU si T(2, 1) y U(2, 23)
Responde: ¿los puntos P16,283 2 y Q(6, 1) pertenecen a una misma
función afín? ¿Por qué?
Pensamiento crítico
penDiente y orDenaDa en el origen 125
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Ecuación general de la rectatemA 6
Ecuación general de la recta El inconveniente que tiene la ecuación y 5 mx 1 b es que no representa las rectas verticales en el plano cartesiano. Si se despeja el número 0, la ecuación anterior puede escribirse en la forma Ax 1 By 1 C 5 0, y de esta manera se representa una recta cualquiera en el plano cartesiano. Por esta razón, la ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 se denomina ecuación general de la recta, en la cual los coeficientes A y B no pueden ser nulos a la vez. Si A 5 0, entonces la ecuación general de la recta se convierte en By 1 C 5 0, donde
al despejar y resulta y 5 2CB, y esta representa una recta horizontal.
Si B 5 0, entonces la ecuación general de la recta se convierte en Ax 1 C 5 0.
Al despejar se obtiene la ecuación x 5 2CA, la cual representa una recta vertical.
En cualquier otro caso, queda la ecuación Ax 1 By 1 C 5 0, donde al despejar la
variable y se obtiene y 5 12AB2x 1 12C
B2, y al comparar con la función lineal, también
llamada ecuación principal de la recta, y 5 mx 1 b, se tiene que la pendiente es
m 5 2AB y la ordenada en el origen es b 5 2C
B.
Prácticamente, la ecuación general de la recta es una expresión donde se despeja el número 0 y se intenta que todos sus coeficientes sean números enteros.
ActívAte
¿Por qué la ecuación y 5 mx 1 b no permite representar rectas verticales en el plano cartesiano?
EjEmplos
La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 donde A y B no son simultáneamente nulos se denomina ecuación general de la recta.
a) Determinar la ecuación general de la recta y 5 1235 2x 1 2.
Al igualarla a 0 se tiene que y 1 35x 2 2 5 0 5y 1 3x 2 10 5 0.
3x 1 5y 2 10 5 0. Entonces la ecuación general de la recta es 3x 1 5y 2 10 = 0.
b) Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(21, 2) y Q(3, 0).
La pendiente de la recta es: m 5 0 2 23 2 (21) 5 0 2 2
3 1 1 5 224 5 21
2
Luego la ecuación es de la forma y 5 1212 2x 1 b, y al pasar por Q se obtiene:
0 5 1212 2 ? 3 1 b 0 523
2 1 b b 5 32
Por ende, como la ecuación es de la forma y 5 212x 1 3
2, entonces la ecuación general de la recta se obtiene así:
y 5 212x 1 3
2 y 1 12x 2 3
2 5 0 2y 1 x 2 3 5 0 x 1 2y 2 3 5 0.
126 Funciones
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Ecuación general de la recta Construcción de la ecuación de la rectaLa ecuación de la recta, bien sea en su forma principal o en su forma general, se puede construir en cualquiera de los siguientes casos:• Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen.• Dados dos puntos de la recta.• Dados un punto y la pendiente de la recta.• Dados un punto y una recta paralela o perpendicular.
Fórmula para hallar la ecuación de la recta dados dos puntosExiste una fórmula que permite hallar la ecuación de la recta dados
dos puntos, sin necesidad de calcular de antemano la pendiente:
considera los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2); la siguiente expresión representa
a la recta que pasa por los puntos A y B: y 2 y1 5 y2 2 y1
x2 2 x1 ? (x 2 x1).
EjEmplos
EjEmplo
a) Determinar la ecuación general de la recta si la pendiente es 22 y su ordenada en el origen es 12. Luego hallar dos puntos en esa recta y otro que no esté en ella.
Se puede escribir la función lineal y 5 22x 1 12; al despejar 0 se obtiene la ecuación general 2x 1 y 2 12 5 0.
Por otro lado, si x 5 0, entonces y 5 (22) ? 0 1 12 5 12 y un punto de la recta es (0, 12); si x 5 1, entonces (22) ? 1 1 12 5 10, y otro punto de la recta es (1, 10).
Como para y 5 10, x debe valer 1, se tiene que el punto (0, 10) no está en dicha recta pues x 5 0.
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(22, 3) y Q(3, 5).En este caso se puede hacer x1522; x2 5 3; y1 5 3 y y2 5 5. Estos valores se sustituyen en la fórmula así:
y 2 y1 5 y2 2 y1
x2 2 x1 ? (x 2 x1)
y 2 3 5 5 2 33 2 (22) ? 3x 2 (22)4
y 2 3 5 5 2 33 1 2 ? (x 1 2)
y 2 3 5 25 ? (x 1 2)
y 2 3 5 25x 1 4
5
y 2 25x 2 4
5 2 3 5 0
5y 2 2x 2 19 5 0
b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P(22, 3) y Q(1, 3). Debido a que las ordenadas de ambos puntos son iguales, se tiene
que la recta es horizontal y su ecuación es y 5 3. Su ecuación general es y 2 3 5 0.
ecuación general De la recta 127
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a) Calcular la ecuación de una recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto A(3, 4). La ecuación es de la forma y 5 4x 1 b; ya que el punto A pertenece a la recta,
se tiene que: 4 5 4 ? 3 1 b 4 5 12 1 b 4 2 12 5 b b 5 28. Luego la ecuación principal de la recta es y 5 4x 2 8, y la ecuación general
es 4x 2 y 2 8 5 0.
b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas y es paralela a la recta cuya ecuación es 3x 2 2y 1 5 5 0.
En la ecuación general de la recta 3x 2 2y 1 5 5 0, se tiene que A 5 3,
B 5 22 y C 5 5; luego la pendiente es m 5 2 AB 5 2 3
(22) 5 32.
Como esta recta es paralela a la recta buscada, la pendiente debe ser la misma, además
pasa por el punto (0, 0); de manera que la ecuación es: y 2 0 5 32? (x 2 0) y 5 3
2x.
c) Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el punto
122, 72 2, y es perpendicular a la recta 4x 5 6y 1 7.
Al despejar y en la recta 4x 5 6y 1 7, se tiene que y 5 23x 2 7
6.
Es decir, su pendiente es 23 . Como las rectas son perpendiculares,
la pendiente de su perpendicular es 232, y como el punto 122, 7
2 2, pasa por la recta perpendicular, entonces se aplica la fórmula respectiva:
y 2 72 5 23
2 ? 3x 2 (22)4
y 2 72 5 23
2 ? (x 1 2)
y 2 72 5 23
2x 2 3
y 1 32x 1 3 2 7
2 5 0
2y 1 3x 1 6 2 7 5 0
2y 1 3x 2 1 5 0
3x 1 2y 2 1 5 0
La ecuación de la recta buscada es 3x + 2y 2 1 = 0.
Gráfico de una línea rectaEn la dirección web http://www.dis-frutalasmatematicas.com/algebra/linea-recta-calcular.htmlse encuentra una herramienta online útil para comprobar la representación gráfica de las rec-tas, puesto que permite determi-nar la ecuación y el gráfico de las rectas conocien-do dos de sus puntos.
En un clic
Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella
EjEmplos
Sea A(x1, y1). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A está dada por la siguiente expresión: y 2 y1 5 m ? (x 2 x1). Al aplicar la fórmula en este ejemplo, con m 5 4 y A(3, 4). Se tiene que: y 2 4 5 4 ? (x 2 3) y 2 4 5 4x 2 12 y 2 4x 2 8 5 0.
128 Funciones
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1 Completa las siguientes tablas: a) b)
Actividades Para realizar en el cuaderno
3 Dada la ecuación general de la recta en cada caso, halla su pendiente y su ordenada en el origen. a) 3x 2 2y 1 9 5 0 c) 5x 2 6y 1 20 5 0 e) y 1 3 5 5 b) 2x 1 y 2 6 5 0 d) x 1 y 2 1 5 0 f ) 3y 1 2x 2 5 5 0
4 Escribe la ecuación principal que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones generales. a) 3x 2 4y 1 5 5 0 c) 6x 1 4y 2 10 5 0 e) 5y 2 6x 1 1 5 0 b) 7x 1 2y 2 28 5 0 d) 23x 1 y 2 7 5 0 f ) 3y 1 2x 1 5 5 0
2 Encuentra la ecuación general de las siguientes rectas escritas de la forma principal.
a) y 5 237x 1 2 c) y 5 3x 2 7 e) y 5
12x 2 6
b) y 5 2x 2 6 d) y 5 45x 1
710
f ) y 5 x + 1
3
5 Calcula la ecuación general de cada recta determinada por los pares de puntos dados. a) A(24, 5); B(2, 26) e) A(2, 5); B(2, 23) i) K(3, 21); L(23, 2)
b) N(24, 23); B(28, 23) f ) R(21, 1); T(1, 2) j) J(10, 23); P(21, 22)
c) A(2, 5); B(2, 26) g) A134, 232; B 125, 21
32 k) M(0, 21); N(21, 0)
d) P(0, 0); Q(2, 23) h) R(21, 27); S(3, 5) l) C(23, 2 ); D 112, 212
7 Dada la recta de ecuación general 2x 2 5y 2 2 5 0, determina la ecuación principal y traza: a) Una recta que sea paralela a la recta dada y que pase por el punto P(0, 6). b) Una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P(0, 6).
6 Determina la ecuación general de la recta en cada caso, conocida su pendiente y un punto de ella. Grafica cada una de las rectas determinadas.
a) m 5 4; A(3, 22) e) m 5 223; E(2, 7) i) m 5 21; I(27, 29)
b) m 5 22; B(2, 25) f ) m 5 22; F(23, 0) j) m 5 4; J(0, 21)
c) m 5 5; C(24, 26) g) m 5 0; G(0, 0) k) m 5 22; K(7, 4)
d) m 5 34; D(0, 8) h) m 5 2
23; H(3, 24) l) m 5 5; M(6, 12)
A B C Ecuación general
2 3 25
0 3 2
23 4 0
A B C Ecuación general
2x 2 y 2 6 5 0
3x 1 2y 2 6 5 0
x 1 5y 5 0
ecuación general De la recta 129
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ActívAte
¿Qué forma describe el gráfico de una función cuadrática?
Función cuadrática Una función cuadrática es aquella función real que se define como: y 5 f (x) 5 Ax2 1 Bx 1 C; donde los coeficientes A, B y C son números reales con A ? 0, y el dominio de la función es el conjunto R. Un número a es cero, raíz o solución de la función cuadrática si f (a) 5 0.
Gráfico de una función cuadrática El gráfico de una función cuadrática es una parábola vertical. El punto más bajo o más alto se denomina vértice (V) de la parábola. Las parábolas verticales son simétricas porque sus puntos son simétricos respecto de la recta vertical que pasa por el vértice llamada eje de simetría de la parábola.
Función cuadráticatemA 7
EjEmplos
a) Identificar los coeficientes de la función cuadrática g definida como y 5 g(x) 5 2x2 2 5x 1 1 y señalar si 2 es un cero de la función.
Los coe fi cien tes son A 5 2, B 5 25 y C 5 1. Pa ra sa ber si 2 es un ce ro de la fun ción, se de ter mi na g(2):
g(2) 5 2 ? 22 2 5 ? 2 1 1 5 2 ? 4 2 5 ? 2 1 1 5 8 2 10 1 1 5 21. Lue go co mo g(2) 5 21, en ton ces g(2) ? 0, lo que in di ca que 2
no es un ce ro de esta función cuadrática.
b) Determinar el va lor de p en y 5 t(x) 5 px2 2 x 1 5 2 3p, si se sabe que 2 es un ce ro de la fun ción.
Si 2 es un ce ro, en ton ces t(2) 5 0, es de cir, p ? 22 2 2 1 5 2 3p 5 0, al efectuar las operaciones se obtiene que 4p 1 3 2 3p 5 0.
Lue go p 1 3 5 0 y se tie ne que p 5 23.
f (x) 5 Ax2 1 Bx 1 C
Término lineal (contiene x)
Término cuadrático (contiene x2)
Término independiente (no contiene x)
Vértice
Parábola cóncava hacia arriba: A . 0 Parábola cóncava hacia abajo: A , 0
Eje de simetría
0 0v
v
Concavidad de la parábola verticalLa parábola vertical de una función y 5 Ax2 1 Bx 1 C se abre o es cóncava hacia arriba si A . 0 y tiene un punto más bajo que los demás; en cambio, la parábola se abre o es cóncava hacia abajo si A , 0 y tiene un punto más alto que los demás.
Zoom
Y Y
X X
130 Funciones
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Función cuadrática EjEmplos
a) Graficar la función definida por f (x) 5 x2. En esta función cuadrática se tiene que
A 5 1, B 5 0 y C 5 0. La tabla muestra algunos valores de x
y sus correspondientes imágenes. Estos valores se representan en la gráfica de abajo. De ella se observa que:
b) Graficar la función definida por f (x) 5 22x2 1 2x 1 3.
La tabla muestra algunos valores de x y sus co rres pon dien tes imágenes. Estos valores se representan en la gráfica de abajo. De ella se observa que:
x 22 21 212 0
12 1 2
f (x) 4 114 0
14 1 4
x 22 21 212 0
12 1 2
f (x) 29 2132 3
72 3 21
� • Como A 5 1, la parábola es cóncava hacia arriba, pues A . 0.� • Como el cuadrado de todo número real es no negativo,
la imagen de la función puede ser 0 o encontrarse en el semieje positivo de las Y; por lo tanto, el rango de f es 30, 1).
� • El eje de simetría coincide con el eje Y.� • El vértice de la parábola está en el eje de simetría,
y las coordenadas del vértice son: V(0, 0).
� • Los coeficientes son A 5 22, B 5 2 y C 5 3. Como A < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.
� • El valor de C indica la ordenada en el origen de modo que la parábola corta al eje Y en el punto (0, C), en este caso (0, 3).
� • Por el punto medio del segmento formado por las abscisas 0 y 1,
que tienen igual imagen, pasa el eje de simetría; y como este
punto medio está dado por u0 2 1u2 5 1
2 entonces la recta vertical
x 5 12 es el eje de simetría.
� • Como el vértice corta el eje de simetría, la abscisa del vértice es 12 y su ordenada es f 11
2 2 5 72 ; luego el vértice es el punto V11
2, 72 2 .
Vértice de una parábola La recta vertical que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola y su ecuación es de la forma x 5 k, donde k es la abscisa del vértice;
este valor de k puede calcularse usando la fórmula k 5 2 B2A, de donde
se obtiene también la fórmula para determinar la ordenada del vértice
la cual es: f (k) 5 A
AC B4
4 2- .
123
1 20212122232425262728
22
y 5 2x2 1 2x 1 3
Y
X
1
1 20
2
3
4
2122
y 5 x2
Y
X
Dada una función cuadrática de la forma f (x) 5 Ax2 1 Bx 1 C, con A ? 0,
las coordenadas del vértice V(xv, yv) de la parábola que esta representa
se obtienen determinando xv 5 22AB , y yv 5
2
AAC B
44 - . Por lo tanto
V2
2AB
4A4AC B-c m. 2
12
12
,
Función cuaDrática 131
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Rango de una función cuadráticaEl rango de una función es el conjunto de las imágenes de los elementos del dominio de la función. Si la función está definida en el conjunto de los números reales, se trata de hallar todas las imágenes en ese conjunto. Para ello se halla el vértice V(xv, yv) de la parábola y dependiendo de la concavidad de la misma, se determina el rango: • Si el vértice es un mínimo, el rango está determinado por
el intervalo 3yv, 1∞). • Si el vértice es un máximo, el rango está determinado por
el intervalo (2∞, yv4.
Determinar las coordenadas del vértice V en la función cuadrática definida por f (x) 5 22(3 2 x)(x 1 1).• Al efectuar las operaciones se obtiene que f (x) 5 2x2 2 4x 2 6, con A 5 2, B 5 24 y C 5 26. Como A . 0, la parábola es cóncava hacia arriba.
• La abscisa del vértice es:
xv 52AB2
5 2 .2 24-^ h
5 44 5 1.
Y su ordenada es:
yv 5 2
AAC B
44 - 5 4 ? 2 ? (26) 2 (24)2
4 ? 2 5 28.
De modo que el vértice es V(1, 8).• El eje de simetría es una recta x determinada por xv,
en este caso por x 5 1. • La parábola intersecta al eje Y en el punto (0, C), en este caso (0, 26).
Hallar el rango de la función cuadrática definida por y 5 x2 2 x 1 2. • Se tiene que los coeficientes son A = 1, B = 21 y C = 2.
Como A > 0, la parábola es cóncava hacia arriba.
• La abscisa del vértice es xv 5 2AB2
5 2 .2 11-^ h
5 12
y su ordenada yv 5 f21` j 5 7
4. De modo que el vértice es V1 12, 7
4 2.• Como el vértice es un punto mínimo, el rango de la función es 3 7
4, 1∞2.
EjEmplo
EjEmplo
Extremos de la función cuadráticaEl vértice de una parábola vertical que es cóncava hacia arriba es su punto más bajo, por lo tanto hay un punto mínimo en el vértice. De manera análoga, hay un punto máximo en el vértice de la parábola vertical que es cóncava hacia abajo. El punto mínimo y el máximo se llaman extremos de la función cuadrática.
Zoom
Y
X2121
v
1 2 30
22
23
24
25
26
27
28
Punto mínimo
v0
ExtremoY
X
v
0
Punto máximoExtremoY
X
2122 1
1
2
4
20
3
Y
X
132 Funciones
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El siguiente gráfico describe la función que determina la producción de camisas de un taller de costura. Responde:a) ¿Qué número de trabajadores debe tener el taller
para que produzca la mayor cantidad de camisas? b) ¿Cuántas camisas producirá el taller si contara
con 30 empleados? c) ¿Qué razones darías para justificar que a partir
de más de 15 trabajadores y trabajadoras la producción es menor?
Pensamiento crítico
1 Indica si la función dada es cuadrática. En caso de que lo sea, denota sus coeficientes. a) y 5 f (x) 5 2x2 1 6 c) y 5 t(x) 5 x3 2 3x2 1 2 e) y 5 8 1 10x 2 x2
b) y 5 g(x) 5 23x 1 5 d) y 5 h(x) 5 (x 2 1)(x 1 4) f ) y 5 (x 1 5)2
Actividades Para realizar en el cuaderno
2 Determina si los números dados en cada caso son raíces de la función. a) y 5 x2; x 5 0; 21; 2 c) y 5 x2 1 3x 2 5; x 5 0; 1; 22 e) y 5 23x2; x 5 2; 5; 21
b) y 5 2x2 1 2x; x 5 0; 2; 1 d) y 5 12
x2 2 3x; x 5 22; 3; 15
f ) y 5 2x2; x 5 0; 21; 32
4 Halla el vértice de cada función cuadrática. a) y 5 2x2 1 16 c) y 5 x2 1 x 1 12 e) y 5 3x2 1 1 g) y 5
x2
4 b) y 5 22x2 1 4x 2 12 d) y 5 (x 2 1)2 f ) y 5 2
12 x2 h) y 5 1 1 x2
5 Responde: a) ¿Qué relación existe entre p y q si 1 es cero de y 5 f (x) 5 px2 2 3x 1 q? b) ¿Dónde cor ta al eje vertical el grá fi co de la fun ción cua drá ti ca definida por
f (x) 5 x2 1 x 1 1? c) ¿En qué cuadrante está el vértice de la parábola dada por la función cuadrática
definida por f (x) 5 2x2 1 x 1 2? ¿Cortará ese gráfico al eje horizontal? d) ¿En qué cua dran te es tá el vér ti ce de la pa rá bo la y 5 22x2 1 6x 2 3? e) ¿Hay par te del grá fi co de la fun ción y 5 2x2 1 4x en el se gun do cua dran te?
6 Analiza el planteamiento y responde: Los re gis tros de tem pe ra tu ra to ma dos en tre las 0 ho ras y las 24 ho ras en una zo na ru ral,
se ajus tan a la fun ción definida como t(x) 5 2110 * (x 2 12)2 1 10, don de t es
la tem pe ra tu ra en gra dos cen tí gra dos y x es la ho ra del día. a) ¿Cuál es la tem pe ra tu ra má xi ma? ¿Y a qué ho ra se re gis tró? b) ¿Qué tem pe ra tu ra había a las nueve de la mañana? c) ¿Qué tem pe ra tu ra ha bía a las tres de la tar de?
3 Traza el gráfico de la función cuadrática f (x) 5 x2. Describe la concavidad de la figura, el eje de simetría, las coordenadas del vértice y el rango de la función.
Y
X
y 5 2x2 1 30x
0 7 15 23 30Número de trabajadores y trabajadoras
Cantidad de camisas
Función cuaDrática 133
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Analizar la fun ción cua drá ti ca definida como: y 5 x2 1 x 2 6.• En es ta fun ción A 5 1, B 5 1 y C 5 26. Co mo A . 0, la pa rá bo la
es cón ca va ha cia arri ba, por lo tan to su vér ti ce es un pun to mí ni mo.• El dis cri mi nan te es: ∆ 5 B2 2 4AC 5 12 2 4 ? 1 ? (26) 5 25.
Co mo ∆ . 0, la parábo la cor ta al eje ho rizon tal en dos pun tos dis tin tos.
• La ecua ción del eje de si me tría es: x 5 2 B2A 5 2 1
2 ? 1 5 2 12
y este número es la abscisa del vértice.
• Co mo f 1212 2 5 225
4 , el vér ti ce es V1212 , 225
4 2.• La pa rá bo la cor ta el eje ver ti cal en el pun to P(0, 26) pues C 5 26.
Su si mé tri co Q, se gún el eje de si me tría, tie ne co mo or de na da 26; y su abs ci sa es 1 pues:
x2 1 x 2 6 5 26 x2 1 x 5 0 x(x 1 1) 5 0 x 5 0 o x 5 21 De ma ne ra que el si mé tri co es Q(21, 26).
• El ran go de la fun ción cua drá ti ca es: Rgo f 5 ,425 3- + j8
Raíces y discriminante de una función cuadrática Cuando se grafica una función cuadrática cuyo dominio es R, puede ocurrir que la parábola corte al eje X en dos puntos, o en un solo punto, o bien que no tenga punto de corte. Las abscisas de los puntos de corte son las raíces reales o ceros de la función. Si no tiene ningún punto de corte con el eje X, la función no tiene raíces reales.
ActívAte
¿Cómo se determina el punto de corte de una función cuadrática con el eje Y? ¿Es posible que el gráfico no corte al eje X?
Análisis de una función cuadráticatemA 8
En las figuras de la derecha las parábolas con A > 0 son cóncavas hacia
arriba. Se sabe que el vértice de la parábola es V2
,2AB
4A4AC B-c m,
y se cumple lo siguiente:
EjEmplo
Posiciones relativas de la parábola con respecto
al eje horizontal
Q V
1 2 30212122
23242526
2223
Y
X
• Si la pa rá bo la no cor ta al eje ho ri zon tal, en ton ces la or de na da del vér ti ce es po si ti va. Co mo A . 0 se si gue que 4AC 2 B2 . 0, es de cir, B2 2 4AC , 0.
• Si la pa rá bo la cor ta al eje ho ri zon tal en un so lo pun to, en ton ces la or de na da del vér ti ce es ce ro y se tie ne que B2 2 4AC 5 0.
• Si la pa rá bo la cor ta al eje ho ri zon tal en dos pun tos dis tin tos, en ton ces la or de na da del vér ti ce es ne ga ti va y se tie ne que B2 2 4AC . 0.
La ex pre sión B2 2 4AC nos per mi te dis cri mi nar el ti po de raí ces que tie ne la fun ción cua drá ti ca, por eso se le de no mi na dis cri mi nan te, y se sim bo li za con la le tra grie ga ∆.
0
Y
X
0
Y
X
0a b
Y
X
2
134 Funciones
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1 Halla el discriminante de la función definida en cada caso e indica la relación que tiene con el eje X.
a) y 5 x2 1 x 1 2 b) y 5 2x2 2 2x 1 4 c) y 5 x2 2 2x 2 3 d) y 5 2x2 1 3x 2 1
Actividades Para realizar en el cuaderno
Construcción de una función cuadrática dado el vértice y un punto cualquiera de la parábola La fór mu la de una fun ción cua drá ti ca tam bién pue de ex pre sar se en for ma ca nó ni ca o de ecuación principal, así: f (x) 5 A(x 2 xV)2 1 yV; don de A es el coe fi cien te cua drá ti co y (xV, yV) son las coordenadas del vértice.
Análisis de una función cuadrática
EjEmplo Hallar la fórmula de la función cuadrática cuyo gráfico pasa por el punto P(25, 1) y su vértice es el punto V(22, 4).
2 Determina, si los tiene, los puntos de corte de la parábola de la función cuadrática y 5 22x2 1 3x 2 4 con el eje horizontal.
3 Analiza y grafica cada una de las siguientes funciones cuadráticas: f (x) 5 x2 2 5x 1 6;
g(x) 5 2x2 1 4x; h(x) 5 x2 2 x 1 14; t(x) 5 212x2 1 32. Describe lo siguiente.
a) Sus coeficientes, su concavidad y su vértice (si es un mínimo o un máximo). b) El discriminante y la relación de la parábola con el eje X. c) La ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vértice y del punto de corte con el eje Y. d) El rango de la función.
4 Determina la fórmula de la función cuadrática que cumpla los requisitos pedidos en cada caso. Grafica las funciones obtenidas.
a) Su gráfico pase por el punto (1, 21) y su vértice sea el punto V(22, 3). b) Su gráfico intersecte al eje Y en (0, 3) y su vértice sea el punto V(1, 2).
c) Una de sus raíces sea x 5 3 y el vértice de su gráfico sea V1212, 222.
1. Se reem pla zan las coor de na das del vér ti ce V en la for ma ca nó ni ca.
2. Se reemplazan x y y por las coordenadas de P.
3. Se rea li zan las ope ra cio nes y se des pe ja A.
4. Se sus ti tu ye el va lor de A pa ra ob te ner la fór mu la.
1 5 A(23)2 1 4 1 5 9A 1 4
9A 23 A 5 239 A 52
13
y 5 A3x 2 (22)42 1 4 5 A(x 1 2)2 1 4
1 5 A(25 1 2)2 1 4
y 5 213
* (x 1 2)2 1 4 y 5 213
* (x2 1 4x + 4)1 4
y 5213
x2 2 43
x 2 43
1 4 y 5213
x2 2 43
x 1 83
análisis De una Función cuaDrática 135
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Actividades de refuerzo Para realizar en el cuaderno
Comprensión1 Calcula el perímetro de cada uno de
los siguientes polígonos. a) ABC con A(21, 4); B(23, 1) y C(3, 1). b) ABCD con A(26, 2); B(24, 7); C(1, 1)
y D(21, 21). c) ABCDE con A(25, 22); B(1, 22);
C(4, 2); D(4, 9); E(25, 9).
2 Sea f una función de R1 en R1 definida
por f (x) 5 2 1
1x +
. Completa la siguiente tabla
de valores de f.
3 En cada ecuación de la recta, determina el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen.
a) 3y 5 x 1 1 c) 3x 1 6 5 0 b) 2x 2 5y 5 7 d) 2x 2 15 5 3y
4 Representa gráficamente cada recta. a) x 5 3 c) y 5 2x 2 3 b) y 5 22 d) 4x 1 3y 5 12
5 Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B en cada caso.
a) A(1, 1); B(2, 2) c) A(2, 3); B(2, 5) b) A(0, 22); B(5, 22) d) A(21, 22); B(1, 2)
6 Calcula el valor de k en cada caso, si los pares de rectas dadas son paralelas.
a) y 5 5x 1 1; y 2 kx 1 2 5 0 b) y 5 3x; 6x 5 2y 1 k c) (k 1 1)x 22ky 1 5 5 0; y 5 2 d) kx 1 (k 1 2)y 2 5 5 0; x 2 5y 1 8 5 0
7 Calcula el valor de k en cada caso, para que los pares de rectas dadas sean perpendiculares.
a) y 5 2x; 2y 1 kx 5 5
b) 2x 2 3y 1 2 5 0; y 5 23 x 2 k
c) 2x 1 y 2 1 5 0; y 5 2x 1 k
x 1 213 4
12
f (x) 13
15
25
8 Determina lo que se pide. a) La ordenada de un punto de abscisa 2
que está en la recta de ecuación: y 5 22x 1 1.
b) La abscisa de un punto de ordenada 21 que está en la recta: 2x 2 3y 1 1 5 0.
c) La ordenada de un punto de abscisa 21 que está en la recta que pasa por los puntos A(21, 3) y B(3, 3).
d) La ordenada de un punto de abscisa 22 que está en la recta que pasa por los puntos P(22, 3) y Q(22, 4).
9 Escribe la ecuación de la recta indicada. a) Vertical que pasa por el punto A(22, 3) b) Horizontal que pasa por B(22, 4) c) Que pasa por el punto C(2, 23)
y es perpendicular a la recta x 5 3 d) Que pasa por el punto D(1, 22)
y es paralela a la recta x 5 3 e) Que pasa por el punto E(2, 24)
y es paralela a la recta y 5 5 f ) Que pasa por el punto M(21, 0)
y es perpendicular a la recta x 5 2
Comprueba si a es un cero de la función cudrática definida por la fórmula dada en cada caso.
a) a 5 2; f (x) 5 x2 2 2
b) a 5 22; f (x) 5 2x2 2 5x 1 2
c) a 5 32; f (x) 5 x2 2
12 x 2 3
2 d) a 5 2; f (x) 5 (x 2 1)(x 2 2) e) a 5 25; f (x) 5 (x 2 1)(x 2 2) 1 (x 2 3)(x 2 4)
11 Grafica cada una de las funciones cuadráticas.
a) f (x) 5 x2 2 3 e) f (x) 5 x2 2 3x 1 1 b) f (x) 5 2x2 1 4 f ) f (x) 5 x2 1 5x 1 1 c) f (x) 5 x2 2 2x g) f (x) 5 3x2 2 5x 1 2 d) f (x) 5 2x2 1 3x h) f (x) 5 5x2 2 3x 2 3
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136 Funciones
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Conexos con... Economía
Opinión y síntesis 14 Analiza y opina. a) Dado el cuadrilátero ABCD cuyos vértices
son: A(23, 21); B(0, 4); C(6, 4); D(3, 7), demuestra que si se unen los puntos medios de sus lados, el cuadrilátero que se forma es un paralelogramo. Puedes utilizar como criterio el cálculo de la pendiente de sus lados.
• ¿De qué otra manera podrías hacer esta demostración?
b) Una pelota es lanzada hacia arriba desde la azotea de un edificio de 80 m. La altura h alcanzada por la pelota sobre el nivel del suelo en un tiempo igual a t segundos después del lanzamiento, se expresa en función del tiempo por h(t)= 216t2 + 64t + 80.
• ¿A qué altura estará la pelota al transcurrir 1 s, 2 s, 3 s, 4 s y 5 s?
• ¿Qué representación gráfica describe la situación?
• ¿Qué tiempo habrá de transcurrir para que la pelota toque el suelo?
• ¿Crees que todos los objetos que caen describen una función cuadrática? Justifica tu respuesta.
Los y las economistas se dedican a la solución de problemas económicos que plantean la producción y distribución de los servicios y bienes, tanto nacionales como internacionales. Para ello, realizan estudios e investigaciones, preparan informes y establecen programas. Además participan en la planificación de la producción nacional y de la distribución de diversos productos con la finalidad de crear la oferta y la demanda. • Investiga sobre la curva de oferta y demanda
y el posterior equilibrio del mercado.• Responde: ¿conoces algún reconocido o alguna reconocida
economista de Venezuela?
Análisis y aplicación12 Responde cada planteamiento. a) ¿El cuadrilátero de vértices A(22, 21);
B(3, 24); C(6, 2); D(1, 5); es un paralelogramo? ¿Por qué?
b) ¿La recta que pasa por los puntos P(21, 0) y Q(1, 3) es paralela a la recta que pasa
por U(2, 1) y V ,325` j?
c) ¿La recta que pasa por P(1, 2) y Q(21, 26) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos U(22, 3) y V(2, 2)?
d) ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene pendiente 22 y pasa por T(0, 5)?
13 Analiza y responde. Durante una exhibición, una avioneta realiza
una maniobra en forma de parábola, y para ello parte de cierta altura z. La altura h que alcanza la avioneta, en metros, a los t segundos de comenzar la maniobra, está dada por la función: h(t) 5 0,5t 2 2 40t 1 z. El piloto no corre riesgo si comienza la maniobra a una altura mayor de cierto valor.
a) ¿Cuál es esa altura mínima a partir de la cual debe inciar la maniobra?
b) ¿ A qué altura se encuentra la avioneta al transcurrir 1 s, 2 s, 3 s y 4 s?
c) ¿Qué tiempo habrá de transcurrir para que la avioneta pase muy cerca del suelo?
Funciones 137
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Estrategia de resolución de problemas
Problemas2 Un albañil y su ayudante son contratados
para realizar una obra. El ayudante comienza a trabajar a las 8:00 a.m. y cobra Bs. 45 por hora de trabajo. El albañil comienza a trabajar a las 10:00 a.m. y cobra Bs. 72 por hora. ¿Cuánto ha ganado cada uno cuando el ayudante lleva trabajadas 4 horas?
1 Una tercera cabina, “Milenium café”, ofrecela siguiente promoción: Bs. 15 la inscripción y Bs. 0,60 por cada hora de navegación. Si una persona navega 80 horas al mes, ¿cuál de las tres cabinas le convendrá? (Considera los datos de las cabinas Educanet y Digitalcom del problema resuelto).
1. Se elabora una tabla de valores que permita obtener la ecuación de lo que se paga en cada una de las cabinas para determinadas horas de navegación.
2. Se elaboran sus gráficas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.
3. Para saber la opción que le convendrá a Silvana, se traza por x 5 10 una línea paralela al eje Y que corte ambas gráficas. A partir de los puntos de intersección (A y B), se trazan líneas paralelas al eje X que corten al eje Y. Los valores por donde corten al eje Y serán las cantidades a pagar en cada caso. Al comparar dichas cantidades (17 , 20), se observa que a Silvana le conviene inscribirse en “Digitalcom”.
Para captar clientes, dos centros de comunicaciones por Internet ofrecen diferentes promociones: “Educanet” cobra Bs. 12 por inscripción y Bs. 0,80 por cada hora de servicio, mientras que “digitalcom” cobra Bs. 5 la inscripción y Bs. 1,20 por cada hora de servicio. ¿Cuál de las opciones le convendrá a Silvana, si ella navega en la web 10 horas al mes?
Relacionar tabla, fórmula y gráfi co La comprensión de un problema es un proceso que a veces se inicia elaborando una tabla de valores que permite obtener una fórmula para relacionar las variables que intervienen, y luego, hacer una gráfica aproximada.
Ejemplo resuelto
Ambas ecuaciones tienen laforma de una ecuación lineal
yE 5 0,80x 1 12yD 5 1,20x 1 5
Y
X
yE 5 0,80x 1 12
yD 5 1,20x 1 5
5
B
A
10
5101517202530
3540
15Cantidad de horas mensuales
Cost
o (
Bs.
)
20 250
1 2 x
Educanet (yE) 12 1 1 ? 0,80 12 1 2 ? 0,80 12 1 x ? 0,80Digitalcom (yD) 5 1 1 ? 1,20 5 1 2 ?1,20 5 1 x ? 1,20
Costo Bs.
Tiempo (h)
138 Funciones
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Idea para la acción
Propósito: diseñar y construir una maqueta de un puente colgante.
Diseño y construcción de una maqueta de un puente colgante
1 Documentación• Busquen información acerca de modelos, formas, diseños y tendencias actuales
en la construcción de puentes colgantes.• Consulten y repasen las diversas maneras de representar una función cuadrática,
especialmente las funciones cuadráticas de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c.
TensoresTorre
Tablero Pilar
5 Evaluación• Verifiquen que todos los tensores
sostengan al puente correctamente.• Al terminar el puente, pueden
plantearse preguntas como: ¿cómo se puede determinar el valor de a para que la función cuadrática permita elaborar un diseño más adecuado del puente, en relación a la estabilidad? ¿Se puede mejorar el diseño? ¿Cómo? ¿Con base en esta idea podrían construir un plano de un puente colgante para atravesar un pequeño riachuelo? ¿Qué necesitarían?
X
Y1413121110987654321
028 27 26 25 24 23 22 21 1 2 3 4 5 6 7 8
y 5 ax2, con a 5 14
y 5 14
x2
2 Planifi cación• Evalúen algunos posibles valores que puede tener
la constante a en una función cuadrática (y 5 ax2) y con esta información determinen qué valor tendrá para elaborar el diseño del puente. Para ello, pueden formularse preguntas como: ¿a puede ser un número negativo? ¿Cómo debe ser la ecuación de una función para que su gráfico
3 Preparación de materiales Recopilen los materiales y las herramientas a utilizar, según las características del puente
a construir. Tomen en cuenta el uso de materiales reutilizables y de bajo costo.
4 Puesta en acción Construyan el puente basándose en el diseño previsto.
se asemeje al diseño del puente? • Diseñen el prototipo del puente. Para ello, elaboren un boceto de la gráfica con la
función escogida y determinen en ella las distancias a las que colocarán los pilares del puente, la longitud de cada tensor y la distancia de separación entre ellos.
Funciones 139
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LOGROS eSPeRAdOS
GEOMETRÍA DEL PLANO
IdeA PARA LA AccIÓN
Construcción de una vivienda a escala
Al culminar esta unidad construirán a escala la estructura interna de una vivienda cuyo techo tenga forma triangular.
El trabajo de carpintería requiere tener mucho conocimiento de geometría para poder construir muebles, closets, cocinas y hasta casas. Para ello se usan, por ejemplo, varios teoremas importantes, así como propiedades de semejanza y congruencia entre fi guras.
Carpintería: madera, serruchos…¿y teoremas?
• Reconocer las propiedades de los triángulos.
• Identificar la proporcionalidad entre dos segmentos y la semejanza entre dos triángulos, aplicando los criterios correspondientes.
• Aplicar los teoremas de Pitágoras, Tales y Euclides en problemas cotidianos que lo ameriten.
U6
triángulos, aplicando los criterios correspondientes.
Aplicar los teoremas de Pitágoras, Tales y Euclides en problemas cotidianos que lo ameriten.
CarpinteríaEl oficio de la carpintería consiste en trabajar la madera para crear objetos útiles para el uso del ser humano. En este oficio, así como en otros, es indispensable el conocimiento de la geometría del plano.
Los planos geométricosAntes de desarrollar un proyecto de construcción,como una casa hecha de madera, es importanteconocer los tamaños, las dimensiones y los ángulos. Algunos de estos se hallan usando teoremasmatemáticos de geometría.
La geometría del planoDel diseño o dibujo de la casa, se pueden determinar ciertas medidas, usando solo geometría aplicada.
Con el teorema de Tales es posible hallar las medidas que deben tener las vigas del techo, pues estas deben mantener la proporción que establece este teorema.Por su parte, las medidas que tendrá la superficie del mismo se puede calcular a través del uso del teorema de Pitágoras.
La ejecución
Construcción a escala
30º 30º
60º 60º
30º 30º
60º 60º
2m
3m
120º
90º 90º
5,2 m3,5 m
120º
Vista en tres dimensiones
Vistaen el plano
30º
30º
120º60º
3,5 m
4,03 m
6 m5 m
5,2 m
A
D
B
E
C
F
Teorema de Tales
AB=
BC
DE EF
4,03=
6
3,5 5,2
6 m
5,2 m
3 m
Teorema de Pitágoras
32 + 5,22 = (6)2
30º
60º
90º
178 Geometría del plano
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Para refl exionar y debatir¿Cuáles otros teoremas o aplicaciones conoces que se puedan extraer del plano? Además de la carpintería, ¿cuáles otros ofi cios o profesiones conoces en los que se apliquen teoremas de geometría? ¿Es posible construir una edifi cación sin tener conocimientos de geometría?
CarpinteríaEl oficio de la carpintería consiste en trabajar la madera para crear objetos útiles para el uso del ser humano. En este oficio, así como en otros, es indispensable el conocimiento de la geometría del plano.
Los planos geométricosAntes de desarrollar un proyecto de construcción,como una casa hecha de madera, es importanteconocer los tamaños, las dimensiones y los ángulos. Algunos de estos se hallan usando teoremasmatemáticos de geometría.
La geometría del planoDel diseño o dibujo de la casa, se pueden determinar ciertas medidas, usando solo geometría aplicada.
Con el teorema de Tales es posible hallar las medidas que deben tener las vigas del techo, pues estas deben mantener la proporción que establece este teorema.Por su parte, las medidas que tendrá la superficie del mismo se puede calcular a través del uso del teorema de Pitágoras.
La ejecución
Construcción a escala
30º 30º
60º 60º
30º 30º
60º 60º
2m
3m
120º
90º 90º
5,2 m3,5 m
120º
Vista en tres dimensiones
La geometría del planoDel diseño o dibujo de la casa, se pueden determinar ciertas medidas, usando solo geometría aplicada.
Con el teorema de Tales es posible hallar las medidas que deben tener las vigas del techo, pues estas deben mantener la proporción que establece este teorema.Por su parte, las medidas que tendrá la superficie del mismo se
La ejecución
Vistaen el plano
puede calcular a través del uso del teorema de Pitágoras.
30º
30º
120º60º
3,5 m
4,03 m
6 m5 m
5,2 m3,5 m 5,2 m
A
D
B
E
C
F
Teorema de Tales
AB=
BC
DE EF
4,03=
6
3,5 5,2
6 m
5,2 m
3 m
Teorema de Pitágoras
32 + 5,22 = (6)2
30º
60º
90º
Geometría del plano 179
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Aplicaciones del teorema de PitágorasActívAte
¿Qué igualdad establece el teorema de Pitágoras?
Teorema de PitágorasEl teorema de Pitágoras indica que un triángulo es rectángulo si y solo si el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. c2 5 a2 1 b2
La aplicación de este teorema permite resolver ejercicios que involucran triángulos rectángulos y las medidas de sus lados.
temA 1
Como la longitud de un segmento no puede ser negativa, x 5 3. Por lo tanto las medidas de los catetos son: KL 5 3 cm y JK 5 4 cm.
Luego el área del triángulo es: .
.cc c c 6 m2
3 m 4 m2
12 m 22
= =
EjEmplos
a) ¿Cuál es el área del triángulo JKL rectángulo en K? En un triángulo rectángulo el área es igual al semiproducto de la medida de los catetos. Para conocer la medida de los catetos, se aplica el teorema de Pitágoras: (x 1 2)2 5 x2 1 (x 1 1)2
x2 1 4x 1 4 5 x2 1 x2 1 2x 1 1 0 5 x2 1 x2 1 2x 1 1 2 x2 2 4x 2 4 x2 2 2x 2 3 5 0 (x 2 3) (x 1 1) 5 0 x1 5 3; x2 5 21
x cm(x 1 2) cm
(x 1 1) cmJ K
L
Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo AMC se tiene que AC2 5 AM2 1 MC2. Entonces (12 cm)2 5 h2 1 (6 cm)2 h2 5 (12 cm)2 2 (6 cm)2
h2 5 108 cm2 h 5 63 cmLuego la altura del triángulo equilátero de lado 12 cm es 63 cm.
• La altura h de vértice A llega al punto medio de BC, sea M ese punto medio,
de manera que MC 5 BC2 2
12 cm= 5 6 cm. • El triángulo AMC es rectángulo en M.
b) ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de lados 16 cm y 30 cm? En el rectángulo ABCD con la diagonal AC, se forma el triángulo
rectángulo ABC con la medida de los catetos AB 5 16 cm y BC 5 30 cm. Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene que:
AC2 5 (16 cm)2 1 (30 cm)2 5 256 cm2 1 900 cm2 5 1156 cm2 AC 5 1156 cm2 5 34 cm.
Entonces, la diagonal del rectángulo mide 34 cm.
c) ¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de lado 12 cm? Sea el triángulo ABC un triángulo equilátero de lados AB 5 AC 5 BC 5 12 cm.
Como en un triángulo equilátero las alturas son iguales a las mediatrices del triángulo, y las mediatrices son las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por su punto medio, se tiene que:
30 cm
16 c
mA
B
D
C
A
B CM
h
B
C
c a
bA
180 Geometría del plano
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras d) ¿Cuál es la me di da del án gu lo que for man los dos la dos me no res de un trián gu lo de la dos 24 cm, 45 cm y 51 cm?
Al cal cu lar la suma de los cuadrados de la medida de los lados menores se tiene que: (24 cm)2 1 (45 cm)2 5 576 cm2 1 2 025 cm2 5 2 601 cm2 5 (51 cm)2, se ob ser va que los nú me ros da dos, 24, 45 y 51, for man una ter na pi ta gó ri ca. Por lo tan to, el trián gu lo des cri to es rec tán gu lo y los la dos me no res forman un án gu lo recto.
e) En un trián gu lo ABC se tie ne que AC 5 13 cm, AB 5 14 cm y BC 5 15 cm. ¿Cuán to mi de la al tu ra del trián gu lo con ba se en el la do AB?
Sea D un pun to de AB tal que CD sea la al tu ra h, y sean n y m los segmen tos en que la al tu ra o el pun to D di vi de el la do AB, apli can do el teo re ma de Pi tá go ras en los trián gu los rec tán gu los ADC y BDC, se tie ne que:
132 5 h2 1 n2 h2 5 132 2 n2 152 5 h2 1 m2 h2 5 152 2 m2
1 Señala si cada conjunto de números podrían ser longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
a) 530, 40, 606 b) 510, 24, 266 c) 51,4; 4,8; 56 d) 540, 75, 856
Actividades Para realizar en el cuaderno
2 Resuelve los problemas. a) Un cateto de un triángulo rectángulo mide
8 m y la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto es 2 m. ¿Cuál es la medida del otro cateto?
b) ¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de lado 8 m?
c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 52 cm y un cateto mide 20 cm. ¿Cuál es el área del triángulo?
d) Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 45º. Si un cateto mide 12 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
e) ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado que tiene área 36 cm2?
f ) Una persona camina 10 metros hacia el Norte y 24 metros hacia el Este. ¿A qué distancia está del punto de partida?
C
BDA
13 cm 15 cm
14 cm
h
n m
Al igua lar am bos va lo res de h2 re sul ta:132 2 n2 5 152 2 m2 169 2 n2 5 225 2 m2
m2 2 n2 5 56 (m 1 n)(m 2 n) 5 56
Por otra par te, co mo AB 5 m 1 n, en ton ces m 1 n 5 14 y se ob tie ne:14(m 2 n) 5 56 m 2 n 5 56
14 m 2 n 5 4 m 5 4 + n
Al sus ti tuir es te va lor en m 1 n 5 14, se cum ple que:4 1 n 1 n 5 14 4 1 2n 5 14 2n 5 10 n 5 5
Sus ti tu yen do el va lor de n en h2 5 132 2 n2 re sul ta:h2 5 132 2 52 5 169 2 25 5 144 h 5 144 5 12Por lo tan to, la al tu ra del trián gu lo mi de 12 cm.
aplicaciones del teorema de pitáGoras 181
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ActívAte
¿Qué significa la palabra teorema? ¿Cuáles teoremas conoces?
Teorema de Euclides En el triángulo ABC rectángulo en C se ha trazado la altura CD 5 h correspondiente a su hipotenusa, donde c 5 AB. Esa altura determina sobre la hipotenusa dos segmentos de medidas m y n que son las proyecciones ortogonales de los catetos de medidas b y a, respectivamente, sobre la hipotenusa. Sobre este triángulo se enuncian dos proposiciones del teorema de Euclides, conocidas como el teorema de la altura y el teorema del cateto.
Teorema de la altura Al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulosADC y BDC se cumple que: b2 5 h2 1 m2 y a2 5 h2 1 n2.Además como c 5 m 1 n se tiene que c2 5 (m 1 n)2 c2 5 m2 1 2mn 1 m2.Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC y sustituir las igualdades anteriores, se tiene que:c2 5 a2 1 b2 m2 1 2mn 1 m2 5 h2 1 m2 1 h2 1 n2 m2 1 2mn 1 m2 5 2h2 1 m2 1 n2 2mn 5 2h2 h2 5 m ? n
Teorema de Euclides y aplicacionestemA 2
EjEmplos
a) En un triángulo rectángulo, las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 cm y 9 cm.
¿Cuánto mide la altura del triángulo con respecto a la hipotenusa? Si h es la altura buscada, se aplica el teorema de Euclides y se
tiene que: h2 5 4 cm ? 9 cm h 5 236 cm h 5 6 cm. La altura mide 6 cm.
b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. Si la altura correspondiente a esa hipotenusa es 12 cm, ¿cuánto miden los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa?
Sean m y n las medidas de los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa, se cumple que 25 5 m 1 n.
Además, por el teorema de Euclides se tiene que 122 5 m * n, es decir, 144 5 m * n. Los únicos números que cumplen las igualdades anteriores son 16 y 9. Luego m 5 16 cm y n 5 9 cm.
C
b ah
m nc
A BD
En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa.
25 cm
m n
h
4 cm 9 cm
h
182 Geometría del plano
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Teorema del cateto En el triángulo ADC se cumple que b2 5 h2 1 m2 y como h2 5 m ? n, se tiene que: b2 5 m ? n 1 m2 b2 5 m(m 1 n)Al sustituir c 5 m 1 n, se obtiene b2 5 m ? cAnálogamente, en el triángulo BDC se cumple que a2 5 h2 1 n2 y como h2 5 mn, se tiene que: a2 5 mn 1 n2 a2 5 n(m 1 n) Al sustituir c 5 m 1 n, se obtiene a2 5 n ? c
Teorema de Euclides y aplicaciones
EjEmplos
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 En la figura dada se tiene un triángulo ABC rectángulo en C. Calcula la medida de los lados de los triángulos ABC, ADC y BDC en cada caso.
a) Si m 5 3 cm y n 5 27 cm d) Si n 5 12 cm y h 5 6 cm b) Si n 5 6 cm y m 5 24 cm e) Si a 5 16 cm y n 5 8 cm c) Si b 5 15 cm y m 5 9 cm f ) Si b 5 6 3 cm y n 5 12 cm
2 Halla la medida de la hipotenusa si la altura de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 6 m y la diferencia de los segmentos determinados en la hipotenusa por dicha altura es 5 m.
3 Halla la altura de la hipotenusa y los segmentos que en ella determinan dicha altura si los catetos de un triángulo rectángulo miden 30 mm y 40 mm.
4 Calcula el área del triángulo rectángulo en cada caso. a) La altura de la hipotenusa la divide en los segmentos de longitudes 7 m y 21 m. b) La suma de un cateto de un triángulo rectángulo y su proyección ortogonal
sobre la hipotenusa es 24 cm, y la diferencia de esas medidas es 6 cm.
a) Dado el triángulo ABC, ¿cuáles son las medidas de los catetos y de la hipotenusa del triángulo ABC si m 5 4 cm y n 5 9 cm?
b) Considerando el triángulo ABC anterior, ¿cuánto miden los lados del triángulo ABC y la hipotenusa del triángulo ADC si m 5 3 cm y h 5 6 cm?
En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida de un cateto es el producto de la medida de la hipotenusa y de la medida de la proyección ortogonal del cateto sobre la hipotenusa.
C
A BDc
m n
hb a
C
A BDc
m n
hb a
Si h2 5 m ? n 5 4 ? 9 5 36 h 5 36 5 6 c 5 m 1 n 5 4 1 9 5 13
a2 5 n ? c 5 9 ? 13 5 117 a 5 117 5 3 13 b2 5 m ? c 5 4 ? 13 5 52 b 5 52 5 2 13
h2 5 m ? n 62 5 3n 36 5 3n n 5 336 5 12
c 5 m 1 n 5 12 1 3 5 15 a2 5 n ? c 5 12 ? 15 5 180 a 5 180 5 6 5 b2 5 m ? c 5 3 ? 15 5 45 b 5 45 5 3 5
cm n
C
A BD
b ah
teorema de euclides y aplicaciones 183
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temA 3
Razón La razón es una relación numérica determinada por el cociente
entre dos valores m y n de una misma magnitud, se denota como
m:n, o mn ; y se lee “m es a n”.
Proporción Una proporción es la igualdad de dos razones. Si la proporción se escribe
de la forma ab 5 cd, y se lee a es b como c es a d; los números a, b, c y d
se denominan términos de la proporción; los números a y d, extremos
de la proporción; y los números b y c, medios de la proporción.Una proporción es verdadera siempre y cuando el producto de sus medios
sea igual al producto de sus extremos. Es decir, ab 5 cd si a ? d 5 b ? c. A esta igualdad
se le conoce como producto en cruz.
ActívAte
¿Por qué es importante que al realizar el plano de un lugar las medidas sean proporcionales?
Proporcionalidad entre segmentos
EjEmplos
EjEmplos
a) Si se duplican las dos dimensiones de un rectángulo, ¿cuál es la razón entre el área del primer rectángulo y el área del nuevo rectángulo?
Si a y b son, respectivamente, el largo y el ancho del antiguo rectángulo, entonces su área es a ? b. Por otra parte, las dimensiones del rectángulo al duplicarse son 2a y 2b; luego, la nueva área es (2a) ? (2b) 5 4ab. Por lo tanto, la razón buscada es ab:4ab 5 1
4.
a) Determinar si 23 5 4
5 es una proporción.
El producto de los extremos es 2 ? 5 5 10 y el producto de los medios es 3 ? 4 5 12. Como esas cantidades son distintas, la igualdad dada no es una proporción.
b) Hallar el valor de x si 1417 5 42
x es una proporción.
El producto en cruz es 14x 5 17 ? 42. Luego x 5 .
1417 42 5 51.
b) El ancho y el largo de un rectángulo miden 16 cm y 30 cm. ¿Cuál es la razón entre la medida de la diagonal y el largo del rectángulo?
Al aplicar el teorema de Pitágoras, la diagonal mide, en cm:
116 30 256 900 156 342 2+ = + = =
Luego la razón entre la medida de la diagonal y el largo es 34:30 5 17:15.
16 c
m
30 cm
184 Geometría del plano
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Constante de proporcionalidadSe dice que varias cantidades son proporcionales a otras si las razones entre ellas son iguales. Es decir, a, b, c son proporcionales a x, y, z, si existe un número k denominado constante de proporcionalidad, tal que: ax 5
by 5
cz 5 k; esto implica que: a 5 kx, b 5 ky, c 5 kz.
En este caso, también se cumple que: a 1 b 1 c 5 k(x 1 y 1 z) ax 5
by 5
cz 5 b
x y za c+ ++ +
Proporcionalidad entre segmentos
EjEmplos
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Da das la medida de los seg men tos AB 5 9 cm, CD 5 7 cm, EF 5 4 cm y GH 5 3 cm, de ter mi na la ra zón en tre las medidas de los seg men tos: AB y CD; EF y GH; AB y GH; CD y EF .
2 Halla la razón entre el área y el perímetro de un terreno rectangular cuyas medidas son 20 m y 30 m.
6 Resuelve los problemas. a) Si Luis recorre 40 km semanales en su bicicleta, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 21 días
si mantiene el mismo ritmo? b) Para marcar el sector donde se va a pavimentar 120 m de una calle, se utilizaron 7,5 kg
de yeso. Si se pretende pavimentar 160 metros en otra calle, ¿cuánto yeso se necesitará?
5 Halla tres números proporcionales a los números 10; 12 y 15 y que su suma sea 370.
3 Verifica si las siguientes igualdades son proporciones.
a) 13 5 6
14 b)
129
5 86 c) 3x
2x 5 96 d) 2x
3 5 5x
2 e) p2p
5 612
4 Calcula el valor de x en cada proporción.
a) 1427
5 56 x b)
x 1 2x 5
65 c) 12
x 5 1845
d) 58 5
xx 1 9
e) 2810
5 x3
a) Determinar si 3; 12 y 17 son proporcionales a 12; 48 y 68. Para ello se calcula la razón entre cada par de números:
312 5 1
4; 12
48 5 14; 17
68 5 14. Sí son proporcionales y la constante
de proporcionalidad es 14.
b) Una foto rectangular tiene 12 cm de largo y 8 cm de ancho. Se amplía la foto manteniendo las mismas proporciones. Si la foto ampliada tiene un largo de 21 cm, ¿cuál es su ancho?
En este caso se puede usar la siguiente proporción:
largo de la foto inicial
largo de la foto ampliada 5 ancho de la foto inicial
ancho de la foto ampliada
Si x es la medida del ancho de la foto ampliada de manera que:
1221 5 8
x 12x 5 21 ? 8 12x 5 168 x 5 16812 x 5 14
Por lo tanto, el ancho de la foto ampliada es de 14 cm.
Proporciones entre medidas de segmentosUn par de segmentos de medidas a y b son proporcionales a otro par c y d cuando los cocientes de sus medidas o razón son iguales,
es decir ab 5
cd.
Una proporción, cuyo producto en cruz es igual a ad 5 bc, se puede escribir en sus formas
equivalentes: ab 5
cd
,
ac 5
bd
, ba 5
dc,
bd 5
ca .
Zoom
proporcionalidad entre seGmentos 185
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Teorema de TalesEl teorema de Tales establece los siguientes enunciados:
• Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas secantes cualesquiera son proporcionales.
• Si en varias rectas cortadas por dos transversales los segmentos son proporcionales, entonces dichas rectas son paralelas.
En la figura de la derecha se tienen las rectas paralelas m, n, p y q cortadas por las rectas transversales t y s en los puntos A, B, C, D, E, F, G y H; en las cuales según el teorema de Tales se cumplen las siguientes relaciones:ABEF
5 BCFG
5 CDGH
y además: ACEG
5 BDFH
5 ADEG
.
Aplicación del teorema de Tales en los triángulosEn un triángulo cualquiera, si se traza una paralela a uno de los lados del triángulo de manera que dicha paralela corte a los otros dos lados, se puede aplicar entonces el teorema de Tales.Si DE es una paralela al lado AB en el triángulo ABC y m una paralela a la base AB que pasa por C, se puede concluir que: CDCE
5 DAEB
5 CACB
.
ActívAte
¿Cuáles son todas las formas equivalentes en que se puede escribir una proporción cuyo producto en cruz sea ad = bc?
Teorema de Tales y aplicacionestemA 4
A Emn
pq
t s
B F
C G
D H
EjEmplos
a) En el triángulo ABC las rectas EF y BC son paralelas. Si AE 5 15 cm, EB 5 10 cm y AC 5 50 cm, ¿cuánto miden AF y FC?
Como AFAE
5 FCEB
por el teorema de Tales, entonces
AF15
5 FC10
5 k. De donde AF 5 15k y FC 5 10k.
Considerando que AC 5 50 cm, se tiene que: AC 5 AF 1 FC 50 5 15k 1 10k 50 5 25k
k 5 5025
k 5 2
Finalmente, AF 5 15 ? 2 5 30 y FC 5 10 ? 2 5 20, por lo tanto AF 5 30 cm y FC 5 20 cm.
mC
D E
A B
A
E
B C
F
186 Geometría del plano
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a) b)
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Determina si tres rectas son paralelas sabiendo que los segmentos determinados por las tres rectas sobre una secante miden 1 m, 2 m y 3 m y los segmentos determinados en otra secante miden 7 m, 14 m y 21 m.
Teorema de Tales y aplicaciones
El señor Luis tiene una escalera portátil de cinco escalones como la que se muestra en la figura. Los peldaños tienen una separación entre sí de 25 cm.Responde:a) ¿Cuál es la altura de la escalera? b) ¿Qué usos conoces que puede dársele a las escaleras
portátiles?c) ¿Por qué crees que a las escaleras de este tipo se les
llama autoestables?
Pensamiento crítico
b) En la figura las rectas azules son paralelas entre sí. Si a 5 4 cm, c 5 3 cm, x 5 3 cm y y 5 2 cm, ¿cuán to mi den b y z?
ax
by
= b43 2= 3b 5 4 ? 2 b 5
38
ax
cz= z
43
3=
.z
43 3 = z 5
49
Por con si guien te, b 5 38` j cm y z 5
49` j cm.
Si en una figura similar a la anterior x 5 a 2 2 cm, y 1 z 5 7 cm y b 1 c 5 10,5 cm, ¿cuán to mi de a?
,a
a 210 5
7=-^ h
(10,5) ? (a 2 2) 5 7a (10,5)a 2 215 7a (10,5)a 2 7a 5 21 (3,5)a 5 21 a 5 6 cm
3 Halla el valor de x en cada figura si los segmentos azules son paralelos entre sí. a) b) c)
4 En cada figura, determina por qué las rectas EF y BC son paralelas entre sí.
2 Halla el valor de x si una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados y determina, en uno de ellos, segmentos que miden x cm y x 1 1 cm, y en el otro, segmentos que miden 2x 2 1 cm y x 1 3 cm.
x
4 cm
4 cm
5 cm
x3 cm
4 cm 6 cm
x
x
4 cm
16 cm
x
x
y
y
A
F
B C
E
x 2x
2x 2 4 cmx 2 2 cmF
B C
E
A
x a
y b
z c
hd
d 5 25 cm
teorema de tales y aplicaciones 187
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ActívAte
Al dibujar un mapa, se hace una representación semejante al espacio que ocupa un lugar. ¿Por qué es importante mantener una proporción en las medidas?
Semejanzas de figuras planastemA 5
EjEmplos
a) Se tienen los rombos CITO y BESA de modo que los ángulos C y B son congruentes. ¿Son esos rombos semejantes?
Como los rombos son paralelogramos, sus ángulos opuestos tienen igual medida; y dos ángulos que tienen un lado en común son suplementarios, o sea, suman 180°.
Ya que \C \B, se tie ne que \C \T y \B \S, lue go \T \S. Por otro la do, se cum ple que med(\I) 5 180º 2 med(\C) y \I \ O; ade más, med(\E) 5 180º 2 med(\B) y \E \A. Lue go \O \A \I \E.
Tam bién, co mo los la dos de un rom bo son igua les, se tie ne que:
BECI
ESIT
SATO
ABOC= = =
En con se cuen cia, se cum ple que los án gu los \C, \I, \T, y \O del pri mer rom bo son con gruen tes a los res pec ti vos án gu los \B, \E, \S, y \A del se gun do rom bo; y los la dos del pri mer rom bo son pro por cio na les a los la dos del se gun do rom bo.
Por lo tan to, la co rres pon den cia biu ní vo ca CI TO BE SA es una se me jan za en la cual los vér ti ces co rres pon dien tes son: C, B; I, E; T, S; y O, A; los ángulos co rres pon dien tes son: \C, \B; \I, \E; \T, \S; y \O, \A; y los la dos corres pon dien tes son: CI, BE; IT, ES; TO, SA; y OC, AB.
C
T
O I
A D
B C
X
Y Z
U
Si se hace una fotografíade una persona, sus características quedan reflejadas en ella. Se dice que la persona y su fotografía tienen la misma forma aunque no tengan las mismas medidas, y se tienen así figuras semejantes.
Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. Esta semejanza se denota por el símbolo ~.
Los cuadriláteros ABCD y XYZU son semejantes, entonces la semejanza de ellos se denota mediante ABCD ~ XYZU y se tiene que:
La razón de la proporcionalidad entre los lados de un polígono se denomina razón de la semejanza.
A X, B Y,C Z, D U
ABXY
BCYZ
ADXU
CDZU
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque no tengan el mismo tamaño.
A E
B
S
Semejanzas de fi guras planas Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. Esta semejanza se denota por el símbolo ~.
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188 Geometría del plano
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Responde y justifica tu respuesta. a) ¿Dos triángulos equiláteros son semejantes? b) ¿Dos cuadrados cualesquiera son semejantes? ¿Y dos rectángulos cualesquiera? c) ¿Pueden ser semejantes un cuadrado y un rectángulo? d) ¿Dos rombos que tienen un ángulo en común son semejantes?
Semejanzas de figuras planas b) La imagen muestra dos triángulos: ∆ABC y ∆DEF, cuyas medidas de ángulos y longitudes de los lados están dadas. ¿Son semejantes estos triángulos?
Los pares de ángulos congruentes corresponden a los pares de vértices A, F; B, E y C, D. Esto quiere decir que si existe una semejanza entre los triángulos, debe ser de la forma ∆ABC ∆FED. Según esta
correspondencia, los lados proporcionales serían FEAB
EDBC
FDAC= = .
Como FEAB
EDBC
FDAC= = 5 2
3 ; y ;A BF E y C DB B B B B B, , , ;
entonces ∆ABC ∆FED.
c) Sean ∆ABC y ∆DEF dos triángulos equiláteros de lados a y b, respectivamente. ¿Son semejantes estos triángulos?
Ya que todos los ángulos son iguales a 60º y la relación entre los lados es ab,
entonces ambos triángulos son semejantes.
2 Indica qué pares de las figuras dadas son semejantes entre sí. a) b) c) d)
3 Calcula y responde.
4 Demuestra que si ∆ABC ∆DEF y ∆DEF ∆GHI, entonces ∆ABC ∆GHI.
a) Si ∆ABC y ∆DEF son semejantes, ¿cuánto mide el lado EF? ¿Y el lado FD?
b) Si DE 5 20 km, ¿cuánto miden los demás lados de ∆DEF?
c) Si ∆GHI y ∆JKL son semejantes, ¿cuánto mide el lado GI? ¿Y el lado KL?
d) Si LJ 5 40 cm, y JK 5 30 cm, ¿cuánto mide el lado GI? ¿Y el lado KL?
C
8 m
5 m
4 m
BA
2 mD E
F 10 m
6 m
I
G H 10 m
7,5 m
K
L J
Si la co rres ponden cia en tre los vér ti ces de dos trián gu los ABC y DEF es A→D, B→E, C→F, en ton ces se pue de es cribir ABC→DEF. Los pa res de án gu los co rrespon dien tes son (\A,\D), (\B,\E) y (\C,\F), y los pa res de la dos co rres pon dien tes son (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF).
RecueRdA
y
x z
A
2 m
34 2 m
32 5 m
B C3 m
22 m 5 m
F
E D
y
x z
© e
dit
ori
al
san
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semejanzas de fiGuras planas 189
ActívAte
¿Dos triángulos isósceles siempre son semejantes? ¿Por qué?
Criterios de semejanzas entre triángulostemA 6
Primer criterio de semejanza o criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) Si un ángulo de un triángulo es congruente a un ángulo b de otro triángulo y las medidas de los lados que forman el ángulo son proporcionales a las medidas de los lados que forman el ángulo b, entonces dichos triángulos son semejantes.
Segundo criterio de semejanza o criterio AA (Ángulo-Ángulo) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, entonces ambos triángulos son semejantes.
EjEmplo
En los triángulos ABC y WVU se tiene que med(\A) 5 med(\W) 5 40º, AB 5 12 m, AC 5 5 m, WU 5 15 m y WV 5 36 m. ¿Qué relación hay entre los lados BC y UV?
Como med(\A) 5 med(\W), y los lados AB y AC son proporcionales
a la medida de los lados WV y WU, pues 1236
5 515
5 13, entonces,
por el criterio LAL de semejanza, se tiene que ambos triángulos
son semejantes. Para denotar la semejanza se escribe ∆ABC ∆WVU; ya que los pares de vértices correspondientes son A,W; B,V y C,U.
Por lo tanto, BCVU 5 1
3, es decir, BC es la tercera parte de UV.
A
CB
12 m 5 m40o
W
V U
36 m 15 m40o
EjEmplo
¿Cuál es el valor de x y de y en la figura de la derecha?Las medidas de los ángulos son iguales y los ángulos en el punto X, en los triángulos que se forman, son iguales por ser ángulos opuestos por el vértice.Por el criterio AA de semejanza se tiene que ambos triángulos son semejantes, y se escribe ∆ABX ∆QPX.
Por lo cual 36y
5 4530
5 63x
De la primera proporción se tiene que: 36y
5 4530
y 5 .
3045 36 5 54
Y de la segunda proporción: 4530
5 63x x 5
.
4563 30 5 42
Por lo tanto, x 5 42 cm y y 5 54 cm.
y
x63 m
45 m
30 m 36 mX
B
A
Q
Paa
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190 Geometría del plano
Criterios de semejanzas entre triángulos Tercer criterio de semejanza o criterio LLL (Lado-Lado-Lado) Si las medidas de los lados de un triángulo son proporcionales a las medidas de los lados de otro triángulo, entonces ambos triángulos son semejantes.
EjEmplos
b) Si D, E y F son, respectivamente, los puntos medios de los lados BC, AC y AB de un triángulo ABC, ¿los triángulos ABC y DEF son semejantes?
Como AB 5 AF 1 FB, y además AF 5 FB, entonces AB 5 2AF,
por ende AFAB 5 AF
2AF 5 12; análogamente se tiene que AE
AC 5 12.
Luego, como med(\A) 5 med(\A), y AFAB 5 AE
AC 5 12, entonces,
por el criterio LAL, se tiene que: ∆AFE ∆ABC, de manera que FEBC 5 1
2.
Como se cumple que EF 5 12 BC, DE 5 1
2 AB y DF 5 1
2 AC, por el criterio
semejanza LLL. Por lo tanto, ∆ABC ∆DEF por tener sus lados proporcionales.
a) Dado los triángulos OPQ y RST con las medidas de sus lados respectivamente: OP 5 3,5 cm, PQ 5 12,5 cm y OQ 5 14,5 cm; y RS 5 7 cm, ST 5 25 cm y RT 5 29 cm. ¿Son semejantes los triángulos?
Se calcula la razón entre las medidas de cada par de lados:
; ;, , ,
RSOP
73 5
21
STPQ
2512 5
21
RTOQ
2914 5
21= = = = = = , la constante
de proporcionalidad de las medidas de los lados es 21 .
Las medidas de los lados del triángulo OPQ son proporcionales a las medidas de los lados del triángulo RST, por el criterio de semejanza LLL, ∆OPQ ∆RST.
Actividades Para realizar en el cuaderno
1 Determina si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados de un triángulo miden 15 cm, 20 cm y 25 cm, y los de otro triángulo miden 27 cm, 40 cm y 45 cm.
2 Identifica cuáles triángulos son semejantes, si E y F son pun tos de los la dos AC y AB del trián gu lo ABC, ta les que AB 5 7 m, AC 5 10 m, BC 5 14 m, AF 5 5 cm y AE 5 7
2 cm.
4 En cada caso, halla los valores de x y y en las figuras, sabiendo que los segmentos azules son paralelos entre sí.
3 Determina si los triángulos ABC y DEF son semejantes si el ángulo \A del triángulo ABC rectángulo en C mide 30º y el ángulo \D en el triángulo DEF rectángulo en E mide 60º.
a)
b)
x
x
y
y
4 m
6 m 8 m
3 m
4 m 4 m
8 m
A
F E
B CD
O
P Q
R
ST
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criterios de semejanzas entre triánGulos 191
Actividades de refuerzo Para realizar en el cuaderno
6 Dada la figura, determina las medidas de los lados de los triángulos ADC y BDC en cada caso.
Comprensión1 Calcula el perímetro de cada triángulo,
si a y b son las medidas de los catetos en cm y c es la medida de su hipotenusa.
a) a 5 16, b 5 30
b) a 5 24, c 5 51
c) a 5 x, b 5 x2
, c 5 10
d) a 5 x, b 5 11, c 5 14
e) a 5 x, b 5 30, c 5 34
f ) a 5 b 5 10, c 5 x
g) a 5 2, b 5 6, c 5 x h) a 5 x, b 5 x 1 1, c 5 x 1 2
i) a 5 x, b 5 16, c 5 34
j) a 5 x 2 10, b 5 x 1 11, c 5 x 1 13
2 Halla las medidas de los catetos de cada triángulo rectángulo.
a) La hipotenusa mide 10 m y la medida de uno de los ángulos es 45°.
b) La suma de los catetos es 51 cm y la diferencia entre la hipotenusa y un cateto es 3 cm.
c) La medida de un cateto es 54 del otro
y el área del triángulo es 320 mm2.
3 Halla la medida de la hipotenusa de cada triángulo rectángulo.
a) Un cateto mide 5 m y la hipotenusa excede a la medida del otro cateto en 1 m.
b) La medida de un cateto es el doble del otro y el área del triángulo es 72 cm2.
4 Determina el área de cada gura: a) Un cuadrado cuya diagonal mide 2a. b) Un triángulo rectángulo cuya medida
de la hipotenusa es el doble de la medida de un cateto y el otro cateto mide 12 mm.
5 Calcula el valor de la incógnita en cada proporción.
a) n5168 4= c) x
x58 9= +
b) s55 11
5= d) xx
xx
12
2 53 6=
-+
++
7 Halla los valores de x y y si los triángulos ACB y ACD de la figura son semejantes.
x
y C
A
B D
3 cm6 cm
4 cm
8 Responde. a) Suponiendo que KLGH y LJHI,
¿los triángulos GHI y KLJ son semejantes? ¿Por qué?
b) ¿Son semejantes dos triángulos si dos ángulos de un triángulo miden 40° y 60°, y dos ángulos del otro miden 40° y 80°? ¿Por qué?
c) ¿Son semejantes dos triángulos rectángulos si un ángulo agudo de uno mide 45° y un ángulo agudo de otro mide 30°? ¿Por qué?
d) ¿Por qué no pueden ser semejantes un triángulo rectángulo y un triángulo acutángulo?
e) ¿Son semejantes dos triángulos que tienen sus lados correspondientes paralelos? ¿Por qué?
J
L K
a) Si a 5 5 cm y b 5 12 cm b) Si m 5 3 cm y n 5 12 cm c) Si m 5 5 cm y h 5 15 cm d) Si a 5
415 cm y m 5 12 cm
37 cm 30 cm
I
G H
10 cm 12 cm
15 cm
45 cm
m nc
C
A BD
b a
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192 Geometría del plano
20 m
9 m
7 m
La ingeniería civil estudia, proyecta, organiza y coordina todos los trabajos relacionados con la construcción de estructuras y edificaciones, obras hidráulicas, vías de comunicación y sistemas de saneamiento ambiental. Los y las profesionales de esta área, entre otras cosas, controlan el funcionamiento y conservación de sistemas de abducción y evacuación de aguas para servicios de regadíos y saneamiento. • Investiga en Internet la relación de esta profesión
y el contenido trabajado en la unidad.
Conexos con... Ingeniería civil
9 Resuelve los problemas. a) Un hombre que pesa 100 kg en la Tierra pesa
16 kg en la Luna. ¿Cuánto pesará en la Luna su perro de 25 kg?
b) La razón del largo al ancho de la pantalla de un televisor de alta definición, es usualmente 16 a 9 (en pulgadas). El tamaño de un televisor se especifica por la diagonal de la pantalla. ¿Cuánto mide el ancho y el largo de un televisor de 42 pulgadas?
c) Para hacer una docena de galletas se necesitan3 tazas y media de harina. ¿Cuántas tazas se necesitarán para hacer 224 galletas?
d) Un edificio de 30 metros de altura proyecta sobre el suelo una sombra de 16 metros. ¿Qué altura tendrá otro edificio si a la misma hora proyecta una sombra de 12 metros?
e) En un espacio rectangular cuyo largo y ancho miden 8 m y 6 m respectivamente, se quiere circunscribir una fuente de forma circular. ¿Cuál debe ser la medida del radio de la circunferencia que describe la fuente?
f ) Un poste de 6 m proyecta una sombra de 4 m. Si una persona proyecta a la misma hora una sombra de 1,2 m, ¿cuánto mide la persona?
Opinión y síntesis 10 Analiza y opina. a) Dos lanchas parten de un puerto a
la misma hora. Una va al este con velocidad de 20 km/h y la otra al surcon velocidad de 15 km/h.
• ¿Cuál es la distancia entre las lanchas
Análisis y aplicación
b) Un grupo de exploradores y exploradoras deben atravesar un río torrentoso. Para ello una persona debe cruzar el río nadando con una cuerda de 30 m y amarrarla al otro lado. En la figura se observa el croquis que hizo el grupo de exploración.
• ¿La cuerda es suficientemente larga?
• ¿Es posible que el grupo de exploración cruce el río con ayuda de una cuerda?
a los 45 minutos de haber partido? • ¿Cuál es la distancia entre las lanchas
a una hora y media de haber partido? • ¿Cuáles zonas pesqueras del país
conoces?
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Geometría del plano 193
Estrategia de resolución de problemas
3 Demuestra que en todo hexágono circunscrito a una circunferencia, el lado del hexágono es igual a la tercera parte del doble del radio multiplicado por la raíz cuadrada de 3.
4 Demuestra que la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa.
Problemas1 Demuestra que en todo cuadrilátero
convexo circunscrito a una circunferencia, la suma de las medidas de sus lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados opuestos.
2 Demuestra que en todo triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia, el lado del triángulo es igual a dos veces el radio de la circunferencia multiplicado por la raíz cuadrada de 3.
2. Se trazan los radios perpendiculares a los catetos y se forma un cuadrado de lado igual al radio r:
3. Se procede a demostrar:
1. Para demostrarlo se considera a ABC un triángulo rectángulo recto en B y la circunferencia de radio r inscrita en ABC.
Demuestra que en todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y del diámetro de la circunferencia inscrita.
Demostrar un teorema Los teoremas son enunciados que pueden ser demostrados a partir de definiciones, propiedades y axiomas que no tienen, ni requieren, demostración.
Ejemplo resuelto
m
m
n
n
C
B
Rr r
r
r
Q
A B
CD
O
A1 1 A2 5 A3
A1 A2
A3
l rO
ap
B
C
A
P
A
Proposiciones Razones
AQ 5 AP 5 mCP 5 CR 5 n
Segmentos tangentesdesde A y C
AB 5 m 1 rCB 5 n 1 r
Suma de longitudes de segmentos
AB + CB 5 m 1 r 1 n 1 r5 m 1 n 1 2r
Sustituyendo valores de AB y BC
AB 1 BC 5 AC 1 2r Sustituyendo el valor de BC y AC
lr
Oap
l 2r 3=
l 32r 3=
r
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194 Geometría del plano
Idea para la acción
Propósito: construir a escala la estructura interna de una vivienda cuyo techo tenga forma triangular.
Construcción de una vivienda a escala
1 Documentación• Investiguen sobre los tipos de vivienda con techo en forma triangular
y los modelos que puedan construir. • Realicen una lista de los posibles modelos escogidos para luego seleccionar
el de construcción más viable.• Busquen información acerca de los materiales más comunes para realizar este
tipo de proyectos de maqueta. • Investiguen sobre las distintas formas como se puede armar una casa a escala,
solo con la estructura.
2 Planifi cación Diseñen un plano de la casa. Recuerden incluir en el los planos laterales, frontales y superiores de la casa. Para ello, pueden plantearte preguntas como: si se tiene la medida la de la base del techo, ¿cuánto deberá medir cada lado del mismo para que el techo sea estable? ¿Cuáles teoremas se pueden aplicar para hacer los cálculos que se necesitan para dibujar un plano de una casa? ¿Cómo se puede levantar una estructura como la diseñada?
3 Preparación de materialesRecopilen las herramientas y materiales necesarios para la construcción del diseño previsto. Tengan en cuenta el peso de los materiales así como su resistencia.
4 Puesta en acciónArmen la estructura según el diseño propuesto en el plano y verifiquen que la estructura quede derecha y que las longitudes y ángulos coincidan con los del plano.
5 Evaluación• Determinen si la estructura es sólida y está bien
armada para ser trasladada. Pueden tomarle varias fotos, para conservar un registro.
• Pueden hacerse preguntas como: ¿fueron empleados los teoremas y aplicaciones geométricas en la elaboración de la estructura? ¿Cómo es mejorable el diseño planteado? ¿Es resistente la estructura interna de la casa a escala? ¿Crees que se puede mejorar? ¿Qué aspectos se pueden tomar en cuenta para que la construcción de la maqueta sea mejor?
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Geometría del plano 195
Matemática
Matemática
Mat
emát
ica
3e
r año
3año
3año
Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infi nitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces.
El aprendizaje signifi cativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzadoa otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.