Manual de Laboratorio Laboratorio de Fsica General I

Manual de Laboratorio Laboratorio de Fsica General I

Dionisio Gutirrez Fallas

Natalia Murillo Quirs

Deybith Venegas Rojas

Escuela de Fsica

Instituto Tecnolgico de Costa Rica

2013

i

Prlogo

En la Ciencia e Ingeniera actuales, se destina gran cantidad de recursos para la

investigacin, puesto que se ha reconocido su importancia en el desarrollo del

conocimiento cientfico y tecnolgico, especialmente en la innovacin y mejoramiento de

las aplicaciones industriales. Desde este punto de vista, las universidades se han dado a la

tarea de formar a sus profesionales con las capacidades y destrezas suficientes para

fomentar una cultura de investigacin, cuyo propsito sea el beneficio de la sociedad en

sus diversos aspectos.

Dentro de estos propsitos, a travs del primer curso de laboratorio de Fsica General se

pretende facilitar al estudiante la comprensin de los conceptos tericos, desarrollar

destrezas en el uso del equipo de laboratorio, reconocer la importancia del diseo

experimental y especialmente conocer algunas tcnicas de anlisis.

Este manual tiene como objetivo servir de gua para la realizacin de las prcticas del

curso de Laboratorio de Fsica General I, impartido en el Instituto Tecnolgico de Costa

Rica. La gua se divide en tres partes.

En la primera parte, se presentan algunos fundamentos tericos y convenciones

establecidas que se relacionan con el desarrollo de las Experiencias y Prcticas de

Laboratorio.

En la segunda parte, se encuentran las Experiencias de Laboratorio cuyo objetivo es que el

estudiante desarrolle habilidad en el tratamiento de datos experimentales, en la

observacin y el anlisis de la informacin.

Dado que este es el primer curso de Laboratorio de Fsica, las Experiencias orientan

detalladamente al estudiante con el propsito de desarrollar el conocimiento a travs de

la observacin de modelos, sin embargo, se plantean cuestionamientos para que el

estudiante sintetice, asimile los conceptos y valores sus propias decisiones.

En la tercera parte de la gua se encuentran las Prcticas de Laboratorio, cuyo nfasis

radica en la utilizacin de los conceptos desarrollados sobre las mediciones, el anlisis

ii

sistemtico de la informacin y principalmente la comunicacin de los resultados a travs

de un informe o reporte escrito, pues a travs de este, el investigador facilita la sntesis y

comprensin de los resultados como tambin las conclusiones obtenidas. Adems, las

prcticas complementan los conceptos tericos sobre el movimiento, estudiados en el

curso de Fsica General.

Tanto en las Experiencias como en las Prcticas de Laboratorio, se fomentar la utilizacin

de la tecnologa moderna, enfatizando en el tratamiento, registro de datos y

observaciones a travs de hojas electrnicas de trabajo.

Las convenciones y estndares utilizados en la gua servirn de base fundamental para que

en el tratamiento de situaciones reales, la adaptacin sea muy simple.

En este curso se insistir en la expresin correcta de las mediciones, adems de tomar

conciencia del concepto de la incertidumbre en la medicin.

Para facilitar la comprensin de los conceptos ms importantes, a lo largo del manual se

encontrarn diversos ejemplos.

Los autores.

iii

Contenido

Prlogo ................................................................................................................................................. i

Primera Parte ....................................................................................................................................... 1

Elaboracin de tablas ...................................................................................................................... 2

Principios de Estadstica.................................................................................................................. 6

Evaluacin de la Incertidumbre ..................................................................................................... 16

Confeccin de Grficos ................................................................................................................. 23

Cambio de variable ....................................................................................................................... 32

Regresin Lineal ........................................................................................................................... 37

Redaccin del Informe .................................................................................................................. 43

Segunda Parte .................................................................................................................................... 56

Introduccin a la Estadstica Bsica .............................................................................................. 57

Incertidumbre en las Mediciones Directas e Indirectas ................................................................. 61

Elaboracin de Grficos ................................................................................................................ 66

Anlisis de regresin ..................................................................................................................... 70

Redaccin de Informes .................................................................................................................. 78

Tercera Parte ..................................................................................................................................... 80

Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado (MRUA) ...................................................... 81

Movimiento Parablico ................................................................................................................. 88

Dinmica Rotacional ..................................................................................................................... 94

Apndices ........................................................................................................................................ 102

Clculos estadsticos utilizando la calculadora ........................................................................... 103

Clculo de la ecuacin de mejor ajuste por el mtodo de mnimos cuadrados mediante la

calculadora .................................................................................................................................. 105

Bibliografa ..................................................................................................................................... 107

1

Primera Parte Teora

2

Las tablas proveen una forma muy concisa y clara de presentar grandes cantidades de informacin

en poco espacio. A todas las tablas formales se les debe dar un nmero y un ttulo preciso que va

encima de la tabla. Si se citan en el texto, se deben nombrar con la palabra Tabla seguida por el

nmero de esta. Las tablas deben siempre ajustarse a una sola pgina, es decir, no se deben

dividir. Si es una gran cantidad de datos, se divide en varias tablas, en las que se repiten los

encabezados de las columnas, se asigna el mismo nmero de tabla y el ttulo seguido de la palabra

continuacin entre parntesis. Los encabezados de columna deben estar resaltados en negrita.

A las tablas simples y pequeas, que no sobrepasen las cinco filas con no ms de dos columnas, se

les cataloga como informales. A estas no es necesario ponerles ttulo o nmero. Sin embargo, en

nuestro curso de laboratorio es recomendable numerar las tablas y asignar un ttulo a todas las

tablas.

Siempre deben darse las unidades de medida, ya sea en el ttulo o en los encabezados de columna

y se encierran entre parntesis, seguidas de un espacio. En cada columna debe usarse slo una

unidad de medida. Por otro lado, para ahorrar espacio, las abreviaturas o siglas deben usarse

siempre que sea posible. Es preferible el uso de decimales en vez de fracciones a menos que estas

sean muy usadas en el rea de estudio.

A continuacin se dan algunos ejemplos que muestran algunas de las diferentes formas de tabular

informacin.

3

Ejemplo 1:

Tabla 1. Medicin del tiempo y la distancia para el MRUA.

No. de Medicin Distancia d ( 0,01 m)

Tiempo t ( 0,01 s)

1

2

3

4

5

En este caso, las cantidades fsicas se mencionan en el ttulo, pero en el encabezado de las

columnas tambin se incluye el smbolo. Lo dado entre parntesis denota la resolucin del

indicador del instrumento. Es importante registrar el nmero de orden de las mediciones, lo que

se hace en la primera columna.

Ejemplo 2:

Tabla 2. Medicin del tiempo (t) y la distancia (d) para el MRUA.

No. d/m 103 s/t

1 23,2 0,231

2 23,5 0,266

3 23,4 0,254

En este caso, se utiliza en la primera columna la abreviatura No. para referirse al nmero de

orden de las mediciones. En la segunda y tercera columnas, las cantidades son adimensionales.

En la segunda y tercera columnas, se dan dos representaciones diferentes en el encabezado de

columna, ambas aceptadas por el SI.

Adems, todos los datos son consistentes con el nmero de cifras significativas asociadas a la

medicin en cada columna. Como se puede observar, en este caso se usaron comas como

separador decimal, pero el SI tambin acepta el punto. Una vez elegido alguno de los dos, se debe

ser consistente y mantenerlo en todo el documento.

4

Ejemplo 3:

Tabla 3. Medicin del tiempo (t) y la distancia (d) para el MRUA.

No. (d 0,1) m (t 0,01) s

1

2

3

4

5

En este ejemplo, en el ttulo se dan los smbolos de las cantidades fsicas y por esto no es necesario

dar nuevamente el nombre en el encabezado de columna. En la notacin de la segunda y tercera

columnas se enfatiza que tanto la variable como la resolucin del instrumento tienen la misma

unidad.

Ejemplo 4:

Tabla 4. Medicin del periodo de un pndulo simple en funcin de la longitud.

Angulo ( 1 )

Periodo ( 0,01 s)

(s) ST (s)

T1 T2 T3 T4 T5

5

Tabla 4. Medicin del periodo de un pndulo simple en funcin de la longitud. (continuacin)

Angulo ( 1 )

Periodo ( 0,01 s)

(s) ST (s)

T1 T2 T3 T4 T5

En este ejemplo se muestra la manera en que se divide una tabla que no se pueda ajustar a una

pgina completa. Ntese que las mediciones de los periodos se pueden registrar en filas y no en

columnas. En este caso, cada fila corresponde a un ngulo diferente y en las ltimas columnas se

dan los promedios y desviaciones estndar de cada conjunto de datos.

6

1. Conceptos bsicos

La estadstica es una disciplina dedicada al desarrollo y aplicacin de la teora y las tcnicas

apropiadas para la recoleccin, clasificacin, presentacin, anlisis e interpretacin de datos

obtenidos por observacin o experimentacin, con lo que luego se puede llegar a conclusiones

basadas en estos, por lo que se ha convertido en una herramienta esencial de la investigacin en

casi todos los campos de la actividad humana.

Todo estudio o investigacin tiene como referencia un conjunto de elementos (personas,

animales, objetos, mediciones, etc.). A la coleccin completa de todos los elementos a estudiar se

le denomina poblacin. La poblacin puede ser finita (tiene un nmero limitado de elementos) o

infinita (tiene un nmero infinito de elementos).

Un ejemplo de poblacin finita son los estudiantes del TEC del presente ao. Otro ejemplo seran

los estudiantes de secundaria de Costa Rica en el presente ao. En este caso, aunque es una

poblacin mucho ms grande, sigue siendo finita. Por otro lado, un ejemplo de poblacin infinita

sera los estudiantes del TEC. En este caso, como no se da mayor especificacin, la poblacin

comprende los estudiantes del TEC en el pasado, presente y futuro, por lo que sera una poblacin

con una cantidad de elementos infinita.

Cabe resaltar que si se va a analizar un proceso o experimento, los elementos a estudiar son las

mediciones u observaciones. Dado que, tericamente, las mediciones se pueden repetir

indefinidamente bajo las mismas condiciones, la poblacin de mediciones u observaciones es

infinita.

Toda investigacin, estudio o experimento se realiza, habitualmente, con el objetivo de obtener

conclusiones o resultados y poder generalizarlos a la poblacin total. Una forma de hacer esto es

realizar el experimento a toda la poblacin, es decir, hacer un censo. No obstante, en la mayora

de los casos, esto no es posible para poblaciones infinitas o para poblaciones finitas muy grandes

no es prctico (por el factor econmico o de tiempo). Es por eso que lo ms fcil, barato y rpido

de hacer es tomar una muestra de la poblacin, analizarla y luego generalizar los resultados a la

poblacin.

Durante el muestreo siempre habr un error asociado debido a la inferencia que se hace de la

muestra a la poblacin. Pero, tambin se debe ser cuidadoso, ya que la muestra podra no ser

representativa de la poblacin y la generalizacin sera errnea.

Entonces, qu podemos hacer para que la muestra s sea representativa de la poblacin? Para

ello influyen dos elementos importantes: el tamao de la muestra y el proceso de adquisicin de la

misma. En general, entre mayor sea la muestra, ms representativa es. Respecto a la adquisicin

7

de la muestra, se debe de hacer de manera completamente aleatoria, esto para evitar sesgos

(fallas de seleccin).

Por otro lado, un concepto importante para caracterizar y representar un conjunto de datos

obtenidos de las muestras o poblaciones es la media aritmtica, que es una medida de posicin,

tambin llamada promedio. Este da una idea de lo tpico o caracterstico del fenmeno en

consideracin. Para su clculo se realiza de la siguiente manera:

suma de los valores

nmero total depromedio

valores

Si la caracterstica aritmtica es x, el promedio sera:

1 2 1

i n

i

n i

xx x x

xn n

Por ejemplo, se toma una muestra de estudiantes y sus edades (e) son: 19, 20, 18, 19, 22, 24, 23,

20. As, la edad promedio es:

19 20 18 19 22 24 23 20 165

20,625 218 8

e aos

Otro aspecto sumamente importante en estadstica es la variabilidad. Si los acontecimientos no se

repitieran o lo hicieran sin variabilidad, la estadstica no sera necesaria. Pero es claro que si los

hechos se repiten, en la mayora de los casos se observan variaciones entre sus repeticiones. En

efecto, en ciencia e ingeniera la variabilidad es un fenmeno natural. Por esto es tan importante

conocer un promedio como la variabilidad de los datos a su alrededor, ya que, entre menor

variabilidad haya alrededor de este, tendremos mayor confianza en que este represente el

conjunto de datos.

Una de las formas de medir la variabilidad (o dispersin) de los datos es mediante la desviacin

estndar (o tpica), que se define mediante la siguiente ecuacin:

12

2

desviaciones=

nmero de datos

n

i

ix x

n

La desviacin estndar brinda informacin sobre cunto se alejan las observaciones (o mediciones)

del promedio del conjunto. Esta es la medida de dispersin ms utilizada, no obstante, su

cuadrado tambin tiene mucha importancia y recibe el nombre de varianza:

8

2

2

2 1desviaciones

nmero de datos

i

n

i

x x

n

Para determinar claramente si los clculos realizados son para toda la poblacin o para una

muestra, se usan smbolos diferentes. Esto se muestra en el siguiente cuadro:

Tabla 1. Ecuaciones utilizadas para el clculo de los parmetros de la

poblacin y los estadsticos de las muestras.

Grupo de referencia Promedio Desviacin estndar Varianza

Muestra (n) 1

n

i

i

x

xn

2

1

1

i

i

n

x x

sn

2

2 1

1

n

i

i

x x

sn

Poblacin (N) 1

N

i

i

N

x

2

1

N

i

ix

N

12

2N

i

ix

N

Es muy comn que se tengan que comparar dos o ms conjuntos de datos con respecto a su

variabilidad. Si los datos no estn dados en las mismas unidades o si los promedios de los

conjuntos no son similares, la desviacin estndar no sirve para este propsito.

Para comparar cantidades que tengan diferentes unidades o que sus magnitudes fueran muy

diferentes, se utilizan medidas de dispersin relativa; la ms importante es el coeficiente de

variacin (tambin llamado coeficiente de dispersin):

Desviacin estndar

Coeficiente de variacin 100promedio

Al dividir la desviacin estndar entre el promedio, se est relativizando y por ello se da en

porcentaje. Segn la simbologa dada anteriormente, se tiene el coeficiente de variacin para

poblaciones:

. . 100C V

Y el coeficiente de variacin para muestras:

. . 100s

C Vx

9

2. Distribuciones de frecuencias

Mediante las distribuciones de frecuencias se clasifican de los datos en categoras o clases, que

muestran, para cada una de estas, el nmero de elementos o frecuencia que contiene. Estas

frecuencias pueden ser absolutas o relativas. Es por esto que la distribucin de frecuencias

permite mostrar cmo se clasifican los sujetos pertenecientes a una muestra o poblacin de

acuerdo a categoras, modalidades o valores de una sola variable.

En la siguiente tabla se muestra un ejemplo sencillo de una distribucin de frecuencias de

variables discretas. En esta se resume diferentes opiniones de un grupo de estudiantes con

respecto al comedor universitario.

Tabla 2. Distribucin de frecuencias de opiniones de calidad del comedor universitario

Calidad (clases)

Frecuencia absoluta

Frecuencia Relativa (%)

Mala 4 11

Regular 6 17

Buena 17 47

Excelente 9 25

Total 36 100

Si hacemos una grfica de barras de esta tabla, poniendo en la escala horizontal la calidad y en la

escala vertical las frecuencias (que debe empezar en cero), obtenemos lo que se denomina un

histograma. Este se puede hacer con la frecuencia absoluta o con la frecuencia relativa. Como se

puede observar en los siguientes histogramas, hay una mayor tendencia de los estudiantes a decir

que la calidad del comedor es buena:

Figura 1. Histograma de frecuencias absolutas.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Mala Regular Buena Excelente

Fre

cue

nci

a ab

solu

ta

Calidad

10

Figura 2. Histograma de frecuencias relativas.

Por otro lado, estn las distribuciones de frecuencias de variables continuas. Cuando se trata con

este tipo de variables, se deben tomar en consideracin otros detalles como dividir los datos en

clases o categoras, decidir el nmero de las clases con las que se trabajar, su amplitud, sus

lmites, etc.

Una manera de diferenciar fcilmente entre variables continuas y discretas es la siguiente: si es

posible dividir la escala de medicin a cualquier grado deseado, entonces la variable es continua, si

esto no es posible, la variable es discreta. En este caso tomaremos como ejemplo una variable

continua muy comn: el peso. Para comprobar que esta variable es continua, vemos que se puede

dividir en kilogramos, gramos, centigramos, miligramos, etc. A continuacin, se dan datos que se

refieren a pesos en kilogramos de 30 estudiantes de un curso del TEC, tomados al azar.

65 69 75

70 65 64

55 54 68

56 60 70

53 69 59

68 70 60

63 58 69

71 61 65

74 63 68

66 67 66

Como es claro, as como estn presentados los datos, es muy difcil concluir algo. Por lo tanto, para

entenderlos mejor, lo ideal es hacer una distribucin de frecuencias. Para esto, se pueden seguir

los siguientes pasos:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Mala Regular Buena Excelente

Fre

cue

nci

a re

lati

va (

%)

Calidad

11

1. Decidir el nmero de clases en las que se clasificaran los datos. Se recomienda que el

nmero de clases sea entre 5 y 20 y deben usarse nmeros enteros. Para el ejemplo,

comencemos seleccionando 5 clases.

2. Luego, hay que estimar la amplitud de clase (el ancho de la clase) con la siguiente

expresin:

(dato mayor)-(dato menor)

Amplitud de clase(nmero de clases)

As, para nuestro caso sera:

74 53

4,25

Una amplitud de clase de 4,2 no es muy conveniente, por lo que vamos a redondearla a 5. Por

comodidad, es recomendable que la amplitud de clase sea 5, 10 o un mltiplo de estos nmeros.

3. Hay que elegir un punto de partida, es decir, el lmite inferior de clase (estas son las cifras

ms pequeas que pueden pertenecer a las diferentes clases) para la primera clase. Para

ello debemos elegir un nmero ms pequeo que el dato menor o si conviene, se podra

elegir el propio dato menor. En nuestro caso, como el dato menor es 53, no es

conveniente como punto de partida ya que vamos a ir de 5 en 5. En este caso, un punto de

partida adecuado sera 50.

4. Con el lmite ms bajo de la primera clase (punto de partida) y con la amplitud de clase, se

obtienen los dems lmites inferiores de las otras clases: se suma la amplitud de clase al

punto de partida y as se obtiene el segundo lmite de clase inferior. Luego, se suma de

nuevo la amplitud de clase al segundo lmite inferior y se obtiene el tercero, y as

sucesivamente.

Para nuestro caso, como el punto de partida es 50, al sumar la amplitud de clase, el segundo lmite

de clase inferior sera 55, el tercero 60, y as sucesivamente.

5. Se anotan los lmites inferiores de clase en una columna y luego se procede a anotar los

lmites superiores de clase (cifras ms grandes que pueden pertenecer a las diferentes

clases), que se pueden identificar con facilidad. En nuestro caso, la columna inicialmente

sera:

50 55 60 65 70

12

Y con los lmites superiores de clase:

50 54 55 59 60 64 65 69 70 75

6. Para obtener las frecuencias, es til poner una marca de clase apropiada para cada dato

(son los puntos medios de las clases). Las marcas de clase se calculan sumando el lmite de

clase inferior con el lmite de clase superior y dividiendo este resultado entre dos. En

nuestro caso, las marcas de clase seran: 52, 57, 62, 67 y 72.

Luego se cuentan los datos que tengan las mismas marcas de clase para obtener las frecuencias de

las clases, que se puede poner en otra columna a la derecha:

Tabla 3. Distribucin de frecuencias de pesos de estudiantes

Peso Frecuencia

50-54 2

55-59 5

60-64 6

65-69 12

70-75 7

Despus de obtener la distribucin de frecuencias, podemos obtener un histograma para verlo

grficamente:

Figura 3. Histograma de frecuencias del peso de estudiantes.

0

2

4

6

8

10

12

14

50-54 55-59 60-64 65-69 70-75

Fre

cue

nci

a

Peso (kg)

13

Por otra parte, hay diversas distribuciones de frecuencias, entre las que est la ms importante, la

distribucin normal. Esta se da cuando una variable tiene una distribucin con una grfica

simtrica y en forma de campana, como la de la figura 4.

Figura 4. Histograma de una distribucin normal.

Figura 5: Curva de una distribucin normal continua tpica.

1 2 3 4 5 6 7

Fre

cue

nci

a

Fre

cue

nci

a

14

Estas distribuciones son sumamente importantes ya que ocurren con mucha frecuencia en las

aplicaciones reales y porque juegan un papel primordial en la estadstica inferencial. Por otro lado,

si la distribucin poblacional no tiene un comportamiento normal, mediante el Teorema del Lmite

Central (TLC), se puede establecer que para muestran grandes, digamos mayor a 30 datos, la

distribucin de los valores promedio de las muestras ser aproximadamente normal y la

desviacin estndar de esta distribucin tiende al siguiente valor:

Donde es la desviacin estndar de una de las muestras.

Cuando la muestra es pequea , y la distribucin de la poblacin no es normal, no se

puede garantizar que la distribucin de los valores promedio sea normal. En este caso, la

distribucin normal no es un modelo apropiado y se puede recurrir a otra distribucin llamada t

de Student. Esta, al igual que la normal, es simtrica respecto a su media, pero ms extendida en

los extremos. Su forma exacta depende de un parmetro llamado grados de libertad que es igual a

. Entre ms grande sea la muestra, ms se acerca a la distribucin normal estndar.

3. Algunas definiciones importantes

Amplitud de clase: Es la diferencia entre dos lmites de clase inferiores consecutivos.

Censo: Coleccin de datos de todos de los miembros de la poblacin.

Datos: Observaciones recolectadas (mediciones, gneros, respuestas de encuestas, etc.)

Distribucin de frecuencias: Lista de valores de datos (ordenados de manera individual o en clases

o categoras), junto con sus frecuencias (o conteos) correspondientes.

Estadstica descriptiva: El objetivo de esta es resumir o describir las caractersticas importantes de

un conjunto de datos.

Estadstica inferencial: Utiliza datos muestrales para hacer inferencias (o generalizaciones) acerca

de una poblacin.

Estadstica: Coleccin de mtodos para planear experimentos, obtener datos y luego organizar,

resumir, presentar, analizar, interpretar y obtener conclusiones basadas en los datos.

Estudio observacional: Se observan y miden caractersticas especficas de los sujetos de estudio

sin manipularlos.

Experimento: En el experimento se aplica un tratamiento y luego se observa su efecto sobre los

sujetos de estudio.

Grados de libertad: Nmero de valores que pueden variar despus de haberse impuesto ciertas

restricciones a todos los valores.

Lmite de clase inferior: Son los valores ms pequeos que pueden pertenecer a las diferentes

clases.

Lmite de clase superior: Son los valores ms grandes que pueden pertenecer a las diferentes

clases.

Marcas de clase: son los puntos medios de las clases.

15

Muestra aleatoria: En esta se seleccionan los miembros de una poblacin de manera que cada

miembro individual tenga la misma posibilidad de ser elegido.

Muestra: Subconjunto de miembros seleccionados de una poblacin.

Poblacin: Coleccin completa de todos los elementos a estudiar (mediciones, personas, etc.).

Variable aleatoria contina: Una variable es continua si sus valores posibles consisten en un

intervalo completo en la recta numrica.

Variable aleatoria discreta: Una variable es discreta si su conjunto de valores es finito.

16

Las reglas generales para la evaluacin y expresin de la incertidumbre de medida, aceptadas

internacionalmente, se describen en la Gua para la Expresin de la Incertidumbre de Medida,

conocida como la GUM (Evaluation of measurement data Guide to the expression of

uncertainty in measurement), desarrollada por el Comit Conjunto de Guas en Metrologoga

(JCGM, Joint Committee for Guides in Metrology ).

Diversos organismos internacionales, como la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM,

Bureau Internacional de Poids et Mesures), observaron la necesidad de estandarizar los mtodos

para la evaluacin y expresin de la incertidumbre, de manera que las mediciones realizadas en

los diferentes pases y en las diversas reas de la ciencia, la ingeniera, el comercio, la industria y la

reglamentacin, pudiesen ser comparadas fcilmente.

Este gua se basa en un conjunto de normas destinadas a caracterizar la calidad del resultado de

una medicin, para la cual utiliza el concepto de incertidumbre y su cuantificacin.

Conceptos bsicos sobre mediciones

El objetivo de una medicin es determinar el valor de mensurando, es decir, el valor de la

magnitud sujeta a medicin.

La medicin requiere de la adecuada definicin de mensurando, el principio de medida (base

cientfica de la medicin), el mtodo de medida (operaciones descritas en forma genrica) y del

procedimiento (conjunto de operaciones descritas en forma especfica con forme al mtodo dado).

El resultado de la medicin ser una aproximacin o estimacin del valor del mensurando y

requiere una declaracin acerca de la incertidumbre de dicha estimacin. La incertidumbre es un

parmetro, asociado al resultado de una medicin, que caracteriza la dispersin de los valores que

podran razonablemente ser atribuidos al mensurando.

Existen diversas fuentes de incertidumbre en una medicin, algunas de ellas pueden ser

sistemticas (presentes en todas las mediciones) y otras pueden tener un carcter aleatorio, por

ejemplo:

a) Definicin incorrecta del mensurando.

b) Toma de muestras no representativas.

c) Conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones ambientales o su medicin

incorrecta.

d) Resolucin finita del instrumento de medida.

17

e) Aproximaciones o hiptesis establecidas en el mtodo y en procedimiento de medida.

f) Variaciones aleatorias en condiciones aparentemente idnticas.

A los factores que contribuyen a la incertidumbre se les denomina componentes de la

incertidumbre. Algunas de estas componentes pueden ser evaluadas mediante una distribucin

estadstica de los resultados de una serie de mediciones y otras deben ser evaluadas bajo otros

principios, como por ejemplo, de la medicin de una magnitud de influencia (la temperatura), el

conocimiento de otra fuente (fue suministrada por otro observador) o como tambin puede ser

estimada por apreciacin del experimentador.

Incertidumbre estndar

Por la naturaleza del comportamiento de las mediciones, se ha establecido que la incertidumbre

expresada bajo el concepto de una desviacin estndar o tpica es muy recomendable. La

incertidumbre estndar no es la desviacin estndar de un conjunto de datos asociados a una

muestra, pero puede obtenerse a partir de ellos cuando el resultado de una medicin se

determina a partir de una serie de observaciones obtenidas bajo condiciones de repetibilidad,

como se muestra en la siguiente ecuacin:

donde es la desviacin estndar de una muestra de datos, pero

es una estimacin de la

desviacin estndar de la distribucin de los valores promedio de un conjunto de muestras

tomadas bajo las mismas condiciones, el cual tiene mayor significado para la teora de mediciones.

An que la medicin no provenga de la repeticin de la medida, es posible asignar una

incertidumbre estndar a una sola medicin. Esto puede realizase bajo la suposicin de que esta

medicin satisface una distribucin rectangular, en la que el valor del mensurando, con igual

probabilidad, podra estar dentro de un intervalo. Es posible asignar un significado de

incertidumbre estndar mediante la siguiente expresin:

donde es el ancho del intervalo, por tanto,

es la mitad del ancho del intervalo.

Cuando se considera que las magnitudes de influencia son independientes, como se considerar

en este curso de laboratorio, puede demostrarse que la incertidumbre estndar asociada a la

medicin es:

18

donde , , , representan las contribuciones a la incertidumbre de cada una de los factores

que influyen en la medicin y que pueden ser cuantificados.

El valor del mensurando no se conocer, sin embargo se puede dar un valor de estimacin el cual

generalmente se considera como el valor promedio de las mediciones, .

El intervalo de confianza de la medicin de la variable se puede representar por

[ ]

o en forma abreviada y muy representativa en la teora de mediciones

Este medicin nos brinda aproximadamente un 68 % de probabilidad de que el valor del

mensurando se encuentre dentro de este intervalo.

Ejemplo:

Para determinar el voltaje sobre una resistencia, se realizan 5 mediciones utilizando un multmetro

digital (instrumento de medida). La resolucin del indicador (la lectura ms pequeas que

podramos observar en la pantalla del instrumento) es 0,001 V. Segn la siguiente tabla de datos,

exprese la medicin del voltaje sobre la resistencia.

Tabla 1: Voltaje determinado, bajo condiciones de repetibilidad, sobre

una resistencia.

No. Voltaje

1 5,007

2 4,994

3 5,005

4 4,990

5 4,999

Solucin:

Aunque el nmero de datos es pequeo, para efectos ilustrativos el clculo de

la incertidumbre se realizar bajo la suposicin de una distribucin Normal de

los datos.

19

El valor promedio del conjunto de datos es

La desviacin del conjunto de datos es , por lo que la incertidumbre estndar

asociada a las fluctuaciones aleatorias es

.

La incertidumbre estndar asociada a la resolucin del indicador del instrumento ser

De aqu, la incertidumbre estndar de la medicin, en la que hemos considerado la informacin de

los factores de influencia disponibles ser:

Observe que en este caso no es muy importante el efecto de la resolucin del indicador del

instrumento.

La medicin puede reportarse como

Incertidumbre combinada

Podemos calcular el valor representativo del intervalo de la medicin , o sea, el valor de la

estimacin del mensurando, a partir de la evaluacin de la variable en los valores , ,

, es decir, .

Dependiendo de las condiciones particulares del caso en estudio, existen diversos mtodos para

calcular la incertidumbre estndar. Dentro de los mtodos ms utilizados se encuentran los

siguientes:

1) Ley de la propagacin de la incertidumbre

Cuando las magnitudes a, b, , son independientes, la incertidumbre estndar de se

obtiene de la combinacin de las incertidumbres estndar de las estimaciones , , ,

mediante la ecuacin conocida como la ley de la propagacin de la incertidumbre. Esta

incertidumbre estndar combinada se denota formalmente como .

20

(

)

(

)

( )

En forma abreviada

(

) (

) (2)

Numricamente, la derivadas parciales se estiman mediante

|

,

|

, (3)

2) Incertidumbre estndar relativa

Si , donde los exponentes son nmeros conocidos positivos o

negativos, la incertidumbre estndar relativa se puede calcular de la siguiente relacin:

|

| (

) (

) (4)

Por lo que la incertidumbre estndar se obtiene de

3) Evaluacin numrica de la incertidumbre

La ecuacin 2 puede escribirse en la forma

(

)

(

)

[ ] [ ]

donde

,

, , se denominan los coeficientes de sensibilidad y describen

cmo vara la estimacin de en funcin de las variaciones en los valores de las

estimaciones , , .

Es simple demostrar que la incertidumbre tpica combinada puede calcularse

numricamente calculando los valores de

{ [ ] [ ]}

21

{ [ ] [ ]}

Si las incertidumbres de las variables a, b, , son pequeas, con este mtodo se obtienen

los mismos resultados con respecto a los mtodos anteriores.

Ejemplo:

La posicin de un objeto se puede determinar de la relacin . Se conocen los valores de

las variables a y b.

donde las incertidumbres de a y b se refieren a la incertidumbre estndar y a la incertidumbre

estndar relativa, respectivamente. Determine el resultado de la medicin de la posicin del

objeto y represente la medicin en la forma .

Solucin:

Determinamos el valor

( )

(Nota: Hemos preservado un nmero mayor de cifras significativas para aplicar los criterios de

redondeo hasta el final).

a) Ley de propagacin de la incertidumbre:

(

)

(

)

|

|

( [

])

22

Por tanto

Observe que se recomienda expresar la incertidumbre con un mximo de 2 cifras

significativas.

b) Incertidumbre estndar relativa

|

| (

)

(

)

(

)

(

)

Por lo que la incertidumbre estndar sera:

Observe la correspondencia entre los resultados obtenidos.

c) Evaluacin numrica de la incertidumbre

{ [ ] [ ]}

{

}

{ }

{ [ ] [ ]}

{ ( )

( )

}

{ }

Por tanto

Valor que corresponde con los calculados anteriormente.

Se pueden establecer ms detalles sobre la representacin del resultado de la medicin, como es

el concepto de la incertidumbre expandida, la cual establece un intervalo de aproximadamente el

95 % de probabilidad de encontrar el valor del mensurando, sin embargo, para los propsitos

introductorios de este curso, consideraremos suficientes los conceptos desarrollados hasta ahora.

23

Las grficos1 deben su nombre al hecho de que son una forma grfica de organizar series de datos

para observar de forma visual la relacin matemtica que se manifiesta entra las variables

representadas.

Los grficos presentan la informacin de manera concisa, por lo que es posible determinar y

analizar de forma sencilla el comportamiento de procesos y fenmenos que de otra manera sera

complicado establecer. Adems por los mtodos de extrapolacin e interpolacin es posible

encontrar valores que no se determinaron por medios experimentales. Ms formalmente, es

posible determinar la correlacin estadstica para las series de datos graficadas, esto requiere de

un anlisis matemtico que desarrollaremos ms adelante.

Dependiendo de la informacin disponible y de lo que se quiera mostrar, hay varios tipos de

grficos, entre los que se encuentran:

Grfico de barras:

Cada barra representa una cantidad de una misma variable. Se usa para comparar dos o

ms valores de una misma situacin.

Se muestran a continuacin algunos ejemplos de grficos, tomados de otras fuentes:

Figura 1. Costa Rica: Poblacin total por sexo de 1864 a 2011

En la grfica anterior se muestra la variacin de la poblacin de Costa Rica a travs del

tiempo. Cada barra representa el nmero total de pobladores para los diferentes aos

mostrados y adems se asocia un color al gnero de los habitantes y con la ayuda de la

escala se pueden observar las variaciones poblacionales a travs de los aos.

1 En la literatura tambin se utiliza el trmino grfica para referirse al mismo concepto.

24

Los grficos de barras pueden tambin ser horizontales:

Figura 2. Costa Rica: Distribucin porcentual de la poblacin por provincia en 2000

y 2011

La eleccin de barras horizontales o verticales se reduce a un tema de facilidad de lectura

de la grfica; cuando la diferencia en el tamao de las barras es grande se suelen preferir

las barras horizontales pues da una mejor proporcin a las barras asociadas a los datos

ms bajos.

No se debe perder de vista que los grficos tienen como objetivo principal organizar visualmente la informacin y es prioridad que sea fcil de leer e interpretar.

Grficos circulares (o grfico de pastel): Se usan para mostrar informacin que se presenta

en porcentajes y es til cuando se quiere comparar datos. Se suele ordenar de mayor a

menor, de arriba hacia abajo.

Por ejemplo, la informacin de la grfica anterior podra presentarse en grficas circulares

como las que se ven a continuacin:

25

Figura 3. Costa Rica: Distribucin porcentual de la poblacin por provincia

en 2000

Figura 4. Costa Rica: Distribucin porcentual de la poblacin por provincia

en 2011

Cuando se tiene informacin de dos o ms series es inevitable presentarla en grficos

separados, por lo que si el objetivo fuera comparar las poblaciones en los aos 2000 y

2011 conviene usar el grfico de barras.

Grficos de dispersin:

En el desarrollo de los cursos de Laboratorio de Fsica General se utilizarn

primordialmente los grficos de dispersin, por lo que los estudiaremos con especial

nfasis.

Los grficos de dispersin presentan la informacin en un sistema de coordenadas

cartesianas donde, a cada uno de los ejes x y y se le adjudica una escala asociada con el

San Jos 32,6%

Alajuela 19,7%

Cartago 11,4%

Heredia 10,1%

Puntarenas 9,6%

Limn 9,0%

Guanacaste 7,6%

San Jos 35,3%

Alajuela 18,8%

Cartago 11,3%

Heredia 9,3%

Puntarenas 9,4%

Limn 8,9%

Guanacaste 6,9%

26

fenmeno medido. Los valores de los pares de datos se representan como puntos en un

plano cartesiano.

En este tipo de grficos es posible observar una correlacin entre dos variables, de las que

una ser la variable independiente y la otra jugar el papel de la variable dependiente.

Como regla general, la variable independiente del fenmeno se representa en el eje de las

abscisas (x) y la variable dependiente en el eje de las ordenadas (y).

El grfico que se presenta finalmente es una coleccin de puntos, cada uno determina el

valor que se lee segn las escalas de los ejes horizontal y vertical. La tendencia que tengan

esta serie de puntos nos indica, intuitivamente, la correlacin que hay entre las dos

variables x y y.

En la literatura es posible encontrar una gran variedad de estilos para los grficos de

dispersin, en nuestro curso de laboratorio adoptaremos algunas de las normas ms

utilizadas, de tal forma que el adaptarse a otros estilos sea una tarea sencilla.

Por ejemplo, supongamos que se desea estudiar la variacin de la densidad del agua con

los cambios de temperatura. Se determina la densidad para una muestra de agua a

diferentes temperaturas. El resultado se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1: Variacin de la densidad del agua con la temperatura

Temperatura (C )

Densidad (kg/m3)

Temperatura (C )

Densidad (kg/m3)

0 999,82 13 999,46

1 999,89 14 999,33

2 999,94 15 999,19

3 999,98 16 999,03

4 1000,00 17 998,86

5 1000,00 18 998,68

6 999,99 19 998,49

7 999,96 20 998,29

8 999,91 21 998,08

9 999,85 22 997,86

10 999,77 23 997,62

11 999,68 24 997,38

12 999,58 25 997,13

Antes de graficar es necesario tener claro cul de las dos variables es la independiente y cul ser

la dependiente. En este caso, al cambiar la temperatura cambia la densidad del agua, por lo que la

variable independiente ser la temperatura. As, al graficar las variables (x,y)=(T,d) se obtiene la

siguiente grfica:

27

Figura 5. Variacin de la densidad del agua en funcin de la temperatura

Observe los siguientes detalles:

El grfico debe tener un ttulo, que sin entrar en detalles de una idea del fenmeno que

est siendo analizado. En l se deben incluir explcitamente las variables que se estn

graficando. El ttulo se coloca en la parte inferior de la grfica y debe numerarse.

Los ejes deben estar rotulados de manera tal que quede claro cul variable se asocia a

cada uno, adems se deben indicar las unidades de la variable que se est graficando. No

se debe olvidar que al graficar las variables matemticas, x y y se transforman en variables

fsicas y como tales deben ser expresadas las magnitudes y su respectiva unidad, es decir,

de forma completa.

Las escalas en ambos ejes deben permitir una lectura sencilla y rpida.

Los valores correspondientes a cada par de datos no suelen sealarse sobre los ejes, si no

nicamente los mltiplos y submltiplos de la escala principal, de modo tal que la

informacin quede uniformemente separada.

Para mejorar la interpretacin visual de la grfica es necesario que los pares de datos (los

puntos) abarquen la mayor cantidad de rea posible. Para el ejemplo presentado de la

Tabla 1 se puede ver que los datos de temperatura estn dentro del intervalo entre 0 C y

25 C. Para la densidad el valor ms alto es 999,82 kg/m3 y el ms bajo es 997,13 kg/m3.

Esto se refleja en la grfica, pues al ver el eje de la variable independiente observamos que

su escala inicia en 0 C y finaliza en 26 pero, al analizar la escala del eje de la variable

996,5

997,0

997,5

998,0

998,5

999,0

999,5

1000,0

1000,5

0 10 20

Den

sid

ad (

kg/m

3)

Temperatura (C)

28

dependiente vemos que no inicia en 0 kg/m3. Al no tener ningn valor menor a

997,13 kg/m3, no es necesario incluir un rango de valores ms bajo pues, no nos da

ninguna informacin y presentara un grfico ms reducido lo que est indicado.

Si el grfico se hace a mano, todas las consideraciones anteriores deben ser igualmente

tomadas en cuenta y adems debe ser dibujado en papel milimtrico.

Grficas en papel logartmico y semi-logartmico.

En la Tabla 1 se puede ver que los datos de ambos variables se encuentran dentro del mismo

orden de magnitud por lo que resulta natural graficar en papel milimtrico y en escala lineal.

Si alguna de las variables tiene un rango que abarca varios rdenes de magnitud, se complica su

representacin lineal pues probablemente la escala dificulte la lectura del grfico.

Es en estos casos que resulta conveniente el uso de papel logartmico, en l la escala aumenta

logartmicamente en vez de hacerlo de forma lineal.

Figura 6. Papel logartmico o log-log de 5x4 ciclos

El papel logartmico se caracteriza por el nmero de ciclos que tiene, donde un ciclo cubre una

potencia de 10. Lo ideal es usar un papel que tenga tantos ciclos como rdenes de magnitud cubra

29

la serie de datos. Si se usa algn graficador para computadora se debe seleccionar la escala

logartmica, el programa mismo se encargar de usar los ciclos que sean necesarios.

En el caso de que tanto la variable independiente como la dependiente cambien en dos o ms

rdenes de magnitud, se emplea el papel doblemente logartmico (log-log), como el que se ve en

la Figura 6. Esto ser de especial ayuda cuando se conoce o se sospecha que la relacin entre las

variables es del tipo potencial, es decir:

donde A y B son constantes que pueden llegar a determinarse por medio de la grfica o

estadsticamente.

Graficar en papel logartmico es equivalente a tomar el logaritmo de cada uno de los datos para

presentarlo en una grfica lineal como las que estudiamos en la seccin anterior.

donde se grafica log y en funcin de log x. La ventaja de hacerlo directamente en la escala

logartmica es que nos ahorramos el paso de hacer el clculo de los logaritmos para los datos pues,

se grafican las variables x y y originales. El comportamiento de la serie de datos en la escala

logartmica es lineal, el valor de la pendiente ser el de la potencia B y la interseccin tambin

puede calcularse de la informacin que brinda el grfico.

Si solo una de las dos variables tiene un rango de varios rdenes de magnitud se utiliza papel

semilogartmico, en este una de las escalas es lineal y la otra logartmica. La relacin terica de

este tipo de fenmenos es:

que sera como graficar ln y en funcin de x. El comportamiento de los pares de datos en la grfica

semilogaritmica es lineal y podemos encontrar el valor del exponente B de la pendiente y tambin

puede obtenerse el valor de constante A de la informacin adicional que se obtiene del grfico.

Linealizacin

Cuando la relacin terica entre las variables que se miden es conocida es posible hacer los

cambios necesarios para que la grfica sea lineal. A este mtodo de graficacin se le llama cambio

de variable o linealizacin, porque se hace una seleccin de las magnitudes representadas en cada

30

uno de los ejes coordenados con el fin de que los pares de datos tengan un comportamiento

lineal.

Trabajar con grficas de comportamiento lineal, ante cualquier otro tipo de tendencia entre las

variables, tiene algunas ventajas, entre ellas que permite la comprobacin visual de la ley que est

siendo estudiada y es ms sencillo determinar matemticamente la correlacin entre las variables.

Encontrar la relacin matemtica entre las variables es un tema que trataremos en la siguiente

seccin.

Ejemplo:

El periodo T de un sistema masaresorte (tiempo que tarda un objeto, atado a un resorte, en

realizar un ciclo completo movindose de lado a lado) est relacionado con la masa del objeto de

la siguiente manera

2m

Tk

donde k es la constante del resorte y m es la masa del objeto.

Reorganizando la expresin para agrupar las constantes, se puede escribir como:

1

22

T mk

Si se grafica T en funcin de m, tendr la forma de una curva (relacin potencial), pero si se grafica

las variables T en funcin de m1/2, obtendremos una lnea recta que pasa por el origen y cuya

pendiente tiene el valor constante 2

k

(ver Figura 7).

31

Figura 7. A la izquierda el grfico de T vs m, una curva debido a la relacin potencial entre las variables. A la derecha el grfico del cambio de variable adecuado para linealizar la relacin, T vs m1/2.

El uso de papel logartmico y semi-logartmico que estudiamos en la seccin anterior es un tipo de

cambio de variable, pues logra linealizar funciones que originalmente no tienen tendencia lineal. El

proceso en estos casos se hace a travs del cambio de la escala, de lineal a logartmica, en el eje

que sea necesario hacerlo.

No es posible generalizar un cambio de variable especfico para todos los casos pues, siempre

depender de la relacin que tengan las variables asociadas al fenmeno que se estudia, cuanto

ms complicada la relacin matemtica ms lo ser su respectivo cambio de variable.

Para proponer un cambio de variable certero es necesario conocer la relacin terica entre la

variable dependiente y la independiente o al menos "sospecharla". Es posible hacer una

suposicin inteligente a travs de la tendencia de la serie de datos en su grfica convencional, que

nos puede sugerir comportamientos exponenciales, potenciales, sinusoidales, etc. En cuanto a

reconocer estas tendencias, la prctica hace al maestro.

En la siguiente seccin se desarrolla con ms detalle la tcnica de cambio de variable.

Per

iod

o, T

masa, m

T

m1/2

32

Supongamos que se realiza un experimento en el que se adquieren datos de dos variables. Para

analizar el experimento realizamos una grfica de una variable (variable 1) en funcin de la otra

variable (variable 2). Entonces, notamos en la grfica que la tendencia entre estas dos variables no

es lineal. De hecho, normalmente el modelo que representa un fenmeno natural no es una

funcin lineal, es decir, su grfica no es una lnea recta.

Uno de los objetivos del anlisis experimental es encontrar la curva de mejor ajuste que describe

el comportamiento cuantitativo de los datos, su ecuacin se denomina ecuacin experimental o

ecuacin emprica. Como los modelos lineales son ms fciles de analizar, se pueden tratar de

transformar las funciones no lineales a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A

este procedimiento se le denomina linealizacin. Uno de los mtodos que permite linealizar

algunos modelos es el llamado cambio de variable.

Para utilizar este mtodo de manera efectiva es necesario conocer la relacin terica que existe

entre las variables, sino, se tendra que recurrir a la prueba y error hasta que la grfica se linealice.

Cuando se cuenta con una ecuacin terica, se puede proponer un cambio de variable

reacomodando la ecuacin y definiendo nuevas variables, tal que la nueva ecuacin quede de la

forma:

Si se grafica la variable1 en funcin de la variable2, obtendremos una relacin lineal, puesto que

hemos reacomodado todo para que quedara en forma de la ecuacin de la recta:

Es importante recordar que el cambio de variable es un herramienta matemtica para obtener una

lnea recta a la que se le pueda calcular fcilmente la ecuacin emprica, pero su grfica (y por lo

tanto la ecuacin de esta) no describen el fenmeno fsico real. Luego de adquirir la ecuacin

emprica de la lnea recta, se debe invertir el cambio de variable que hicimos y obtener la ecuacin

emprica en trminos de las variables originales.

33

Ejemplo:

En el experimento del pndulo simple, se ata una masa a una cuerda y se hace oscilar. Se miden

los diferentes perodos (T) del pndulo segn diferentes longitudes (L) de la cuerda, con lo que se

obtienen los siguientes datos:

Tabla 1. Longitud (L) y periodo (T) de un pndulo simple.

L (m) T (s)

0,1 0,6

0,3 1,1

1,0 2,1

3,0 3,4

6,0 5,0

9,0 6,0

Al graficar el perodo en funcin de la longitud se obtiene la siguiente grfica:

Figura 1. Grfica del periodo en funcin de la longitud para un pndulo simple.

En este caso la tendencia no es lineal, pero se puede transformar a una tendencia lineal,

aplicando un cambio de variable. La ecuacin terica para el pndulo simple es:

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Pe

rio

do

de

l p

nd

ulo

T (

s)

Longitud del pndulo L (m)

34

2L

Tg

Reacomodando:

1/22T L

g

(1)

Como se puede observar, la ecuacin es de tipo potencial, con la variable . Esta ecuacin se

puede reacomodar a la forma de la ecuacin de la lnea recta si se aplica logaritmo a ambos lados:

1/22log( ) logT L

g

1/22log( ) log log( )T L

g

2 1

log( ) log log( )2

T Lg

As, el cambio de variable sera log( )Y T y log( )X L . Al graficar con estas nuevas variables

se obtendr una tendencia lineal, con pendiente 1

2m e intercepto

2logb

g

. Con esto se

obtienen los valores de las nuevas variables que se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 2. Variables X y Y.

L (m) T (s) X = log(L) Y = log(T)

0,1 0,6 -1,0 -0,2

0,3 1,1 -0,5 0,0

1,0 2,1 0,0 0,3

3,0 3,4 0,5 0,5

6,0 5,0 0,8 0,7

9,0 6,0 1,0 0,8

35

Figura 2. Grfico de las nuevas variables Y en funcin de X. Se muestra la

ecuacin de la curva de mejor ajuste.

En este grfico se muestra la ecuacin de mejor ajuste, que para este caso es una lnea recta. Esta

ecuacin se puede obtener fcilmente con los mtodos que se estudiaron en la seccin de

regresin lineal (mnimos cuadrados). De esta manera, podemos obtener la ecuacin emprica ya

que la pendiente (m) y el intercepto (b) nos brindan informacin valiosa. En efecto, con estos

valores se puede obtener experimentalmente el valor de g:

2

logbg

2

10b

g

20,300

2 2

2

2 29,9

10 10bg m s

Y el valor experimental del exponente:

1

0,50852

m

Como se observa, del cambio de variable podemos obtener los valores de las constantes de la

ecuacin terica original. As, se puede obtener la ecuacin emprica completa si estos se

sustituyen en la ecuacin original (1). Es decir, ahora podemos volver a las variables originales y a

la grfica original. Esta ecuacin emprica tambin puede representarse en el Figura 1, ya que sera

la ecuacin exacta que indica la tendencia de los datos experimentales (ver Figura 3):

Y = 0,5085X + 0,3002

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-2,0 0,0 2,0

Y

X

36

Figura 3. Grfico original con la ecuacin emprica obtenida experimentalmente.

Para tener una mejor idea de cmo realizar los cambios de variables se puede observar la

siguiente tabla. En esta se muestran algunos cambios de variables comunes:

Tabla 3. Algunas sugerencias para transformaciones de variables

Funcin Transformacin Forma lineal

Exponencial:

Potencial:

Recproca:

Potencial modificada:

T = 1,9962L0,5085

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Pe

rio

do

de

l p

nd

ulo

T (

s)

Longitud del pndulo L (m)

37

Determinacin de la recta de mejor ajuste

Cuando se estudia un fenmeno es deseable determinar cmo se encuentran

relacionadas las variables bajo observacin. Con este fin, la informacin se organiza en

tablas en las que se resumen los datos recolectados o grficos, que de forma rpida y

sencilla, facilitan visualizar alguna tendencia en su comportamiento. Estos mtodos

permiten observar la tendencia de comportamiento de las variables de forma cualitativa

pero a veces es necesario cuantificar la relacin; para eso se debe encontrar una ecuacin

que se ajuste al comportamiento de las variables analizadas.

Partamos de un ejemplo, del anlisis de la variacin de la velocidad en funcin del tiempo

para un movimiento con aceleracin constante. Al hacer las mediciones en el laboratorio

se obtienen los siguientes resultados:

Tabla 1. Velocidad (v) en funcin del tiempo (t) para un movimiento con aceleracin constante

t (s) v (m/s)

1,0 8,0

1,5 9,7

2,0 10,8

2,5 12,4

3,0 13,9

3,5 15,8

4,0 17,0

4,5 18,8

5,0 19,7

De la Tabla 1, es posible ver que al aumentar el tiempo la velocidad aumenta, es decir, en

este caso las dos variables son crecientes.

En la Figura 1 se presenta grficamente la variacin de la velocidad con el tiempo.

38

Figura 1. Velocidad en funcin del tiempo para un movimiento con aceleracin uniforme

De la grfica es posible observar que, adems de que ambas variables son crecientes, la

serie de datos tiene una tendencia lineal.

Si pudiramos trazar una recta que se ajuste a esta tendencia podramos determinar su

ecuacin y por lo tanto tener una relacin cuantitativa entre las variables. Sera posible

entonces determinar el valor de la velocidad en cualquier tiempo intermedio (interpolar),

como tambin para tiempos mayores y menores a los medidos en el experimento

(extrapolar).

Pero Cul lnea sera la vlida? Podramos pensar que es posible trazar esta lnea a mano

alzada pero esto hara que el proceso tenga una componente subjetiva y es deseable que

eso no suceda. La que buscamos es la recta de mejor ajuste, que por definicin es la recta

que pasa lo ms cerca posible de todos los puntos (pares de datos). Para encontrarla se

utilizan algunos procedimientos estadsticos que aseguran determinar el valor de la

pendiente y el intercepto de esta recta, utilizando como insumo el valor de los pares de

datos medidos en el experimento.

Uno de los mtodos ms utilizados se llama Mnimos Cuadrados y se basa en minimizar,

matemticamente, el cuadrado de las diferencias verticales (ei) entre el dato experimental

y la recta de mejor ajuste, como se muestra en la Figura 2. Con el fin de simplificar el

clculo se asume que nicamente la variable y tiene incertidumbre. En la prctica, se

7,0

9,0

11,0

13,0

15,0

17,0

19,0

21,0

0,0 2,0 4,0 6,0

v [m

/s]

t [s]

39

requiere que la incertidumbre relativa en la variable independiente (x) sea menor que la

de la variable dependiente (y).

Figura 2. Ajuste de una lnea recta.

Se desea minimizar la expresin 2

1

n

i

i

e

La ecuacin de la recta de mejor ajuste es y mx b

ei se define como la diferencia entre valor del dato yi y el valor obtenido al evaluar la recta

de mejor ajuste en ese punto, es decir

22 2

1 1 1

n n n

i i i i i

i i i

e y y y mx b

Aplicando la condicin para que un parmetro sea un mnimo

2

1

2

1

0

y

0

n

i i

i

n

i i

i

y mx b

m

y mx b

b

y

x

yi

iy

i i ie y y

40

De estas dos condiciones se obtiene un sistema de ecuaciones, conocido como el sistema

de ecuaciones normales. De la solucin del sistema de ecuaciones se obtiene el valor de

los parmetros de la recta, pendiente e interseccin.

1 1 1

2 2

1 1

2

1 1 1 1

2 2

1 1

( )

( )

( )

( )

n n n

i i i i

i i i

n n

i i

i i

n n n n

i i i i i

i i i i

n n

i i

i i

n x y x y

m

n x x

x y x x y

b

n x x

(1)

Existen otras formas de obtener el valor de los parmetros de recta de mejor ajuste sin

necesidad de utilizar el clculo diferencial e integral (ver mtodo de multiplicadores en la

Experiencia 4)

El mtodo de Mnimos Cuadrados ofrece ventajas para determinar la recta de mejor

ajuste, es el mtodo ms utilizado, por lo que est disponible tanto en calculadoras

cientficas como en programas para el tratamiento de datos.

En nuestro ejemplo, al realizar los clculos (utilizando Excel) se obtiene: y

.

Figura 3. Recta de mejor ajuste para la velocidad en funcin del tiempo. Movimiento

uniformemente acelerado.

v = 3,00 t + 5,02

7,0

9,0

11,0

13,0

15,0

17,0

19,0

21,0

0,0 2,0 4,0 6,0

v [m

/s]

t [s]

41

En este caso, los parmetros de la recta de mejor ajuste pueden relacionarse con los

parmetros del movimiento

Obsrvese que adems de determinar la ecuacin que representa el movimiento para

cualquier tiempo entre 0 s y 5 s, si para tiempos mayores se pudiese asegurar que el

movimiento mantiene constante la aceleracin, es posible predecir informacin

importante del movimiento. Por comparacin directa, se puede obtener la aceleracin

a= 3,00 m/s2 y la velocidad inicial del movimiento vo= 5,02 m/s.

A la determinacin de la ecuacin de la recta de mejor ajuste, cual sea el mtodo por el

que se la encuentre, se le llama regresin lineal.

Coeficiente de correlacin

Para el uso de las ecuaciones de la pendiente y la interseccin (ecuacin 1) se requiere

que la relacin entre las variables sea lineal, si no lo es, de igual manera se obtendr una

ecuacin de la recta pero esta no tendr ningn significado fsico real. Para determinar si

la serie de datos que est siendo tratada se adeca al modelo lineal de mejor ajuste se

calcula un parmetro que se llama el coeficiente de correlacin (r) o coeficiente de

correlacin de Pearson.

1 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x y

r

n x x n y y

Otra forma de calcular r es mediante la relacin

El signo del coeficiente de correlacin se asocia a la pendiente de la recta. Si , la

recta es decreciente, si la recta es creciente. Si | | tiene un valor cercano a la unidad

se puede considerar que el modelo lineal es adecuado para el intervalo analizado.

42

A la cantidad r2 se le denomina el coeficiente de determinacin. En este caso .

Cuanto ms cercano sea este valor a 1, ms cercana estar la serie de datos de ajustarse a

una lnea recta.

Si la tendencia entre las variables no es lineal, se puede realizar un cambio de variable

para linealizar la relacin y aplicar el procedimiento anterior a las nuevas variables. Para

este fin puede estudiar la seccin de Cambio de Variable y las Experiencias 3 y 4.

Otra forma de calcular la ecuacin de mejor ajuste para datos que no tengan una

tendencia lineal es utilizar el concepto del mtodo de mnimos cuadrados (clculo

diferencial) y encontrar el sistema de ecuaciones que nos permita calcular los parmetros

del modelo propuesto.

Cuando la relacin no es lineal, el coeficiente de determinacin puede calcularse de la

siguiente expresin:

2

2

2

( )1

( )

y yr

y y

Donde es el valor de la variable dependiente obtenido a partir de la ecuacin de mejor

ajuste y y es el valor experimental.

Se debe tener cuidado en el modelo propuesto y el intervalo en el que se encuentran los

datos experimentales, pues para intervalos pequeos es posible que los datos se ajusten a

una relacin lineal pero que en general la relacin no sea lineal. Es importante realizar un

estudio previo del fenmeno, ya sea mediante la informacin encontrada en la literatura o

mediante un estudio de las variables en un anlisis dimensional.

Para realizar el anlisis de mnimos cuadrados mediante la calculadora vase el

Apndice B.

43

El cuaderno de laboratorio, los apuntes y los clculos en la hoja electrnica contienen

muchos de los detalles del experimento que son casi solo comprensibles por el

experimentador, por lo que difcilmente es un material que de cuenta de los resultados

experimentales. Como generalmente se requiere comunicar los aspectos importantes del

experimento, es necesaria la preparacin de un reporte o informe escrito.

Un reporte formal debe ser completo pero conciso, no caer en mucho detalle si no es

necesario. El informe debe tener una estructura lgica y ser fcil de leer. El cumplir con

estos requisitos es una tarea que requiere experiencia, que solo puede obtenerse al

escribir muchos informes y que se puede complementar mediante la observacin

detallada de informes escritos por otras personas.

En el informe escrito se deben considerar varios detalles: el problema estudiado y su

significado, las conclusiones que se han derivado del estudio y si estas estn bien

respaldadas por los datos experimentales, la informacin que se halle en la literatura, el

procedimiento y el equipo utilizado.

Para asegurar la claridad y la estructura lgica del informe, suele dividirse en las siguientes

secciones: Ttulo, Resumen, Introduccin, Materiales y Mtodos, Resultados, Discusin,

Conclusiones, Agradecimientos, Apndices o Anexos, Referencias y Bibliografa. Sin

embargo, en muchas ocasiones se combinan dos o ms secciones con el propsito de

presentar un informe ms breve. Por ejemplo, algunos reportes presentan una seccin de

Resultados y Discusin o Resultados y Anlisis, en otros no es necesario presentar la

seccin de Agradecimientos o la seccin de Apndices.

Aunque en nuestro curso nos preocupemos de escribir reportes tcnicos, debemos

procurar el uso correcto del lenguaje. Hay algunos aspectos que se aceptan por

convencin, como lo es escribir en tercera persona, en tiempo pasado cuando se dan

detalles de lo que fue hecho durante el experimento, en tiempo presente cuando se dan

detalles del estado del arte o cuando se infieren relaciones generales de los datos.

Tambin, se recomienda que las oraciones sean cortas, especialmente cuando el

contenido es muy tcnico o el vocabulario sea muy especializado.

44

Ejemplo:

Se midi la longitud de la barra de cobre como una funcin de la temperatura. El grfico

mostrado en la Figura 1 indica que el aumento en la longitud de la barra es directamente

proporcional al incremento en la temperatura.

Es comn que en los informes se utilicen abreviaturas para referirse a tcnicas

experimentales, a un instrumento utilizado o a cualquier otro concepto. En estos casos, es

importante explicar la abreviatura la primera vez que sea utilizada.

Ejemplo:

En el movimiento rectilneo uniforme (MRU), la velocidad es constante. Por otra parte, en

el MRU la aceleracin es cero.

Secciones del informe

Consideraremos algunos detalles que deben tomarse en cuenta en un tpico informe, sin

embargo, la escritura del informe muestra un estilo propio y particular, que hace diferente

un informe de otro. En este curso se incentiva utilizar la creatividad pero a partir de

algunas normas muy generales.

1. Ttulo

Debe ser breve, informativo, apropiado y atractivo. Deber especificar con claridad el

tema del informe. Se recomienda evitar el uso de artculos El o La como la primera

palabra.

En muchos informes, bajo el ttulo, se da el nombre del autor, la institucin a la que est

adscrito y la fecha del informe. En nuestro curso preferiremos incluir la informacin

suficiente para identificar los autores y el grupo de trabajo en una portada.

Como ayuda para seleccionar un ttulo adecuado, se puede responder a varias preguntas:

1. Es un trabajo experimental o terico?

2. Es una medicin o un clculo?

3. Cul es el tema del trabajo?

4. Qu mtodo general usamos?

45

Ejemplos:

a) Una comparacin de las propiedades trmicas aislantes del poliestireno y de la

fibra de vidrio.

b) Medicin del calor especfico del agua por medio de calorimetra convencional.

2. Resumen

Se recomienda que sea breve entre 50 a 150 palabras. Se debe evitar el detalle que luego

se podr hallar en las secciones siguientes. Aqu se presenta de forma directa lo que fue

hecho, el por qu es importante y las principales conclusiones.

3. Introduccin

Debe describir los fundamentos y los objetivos particulares del experimento. En esta

seccin se refiere al problema a ser investigado y se presenta el estado del arte, con el

cuidado de no dar demasiado detalle, para no perder la atencin del lector, pero tampoco

debe carecer de informacin pues es posible que el lector se confunda.

La extensin de la introduccin depende del tipo de reporte; se recomienda que no

exceda el 20 % del total de todo el informe.

Algunos aspectos que deben ser tomados en cuenta al escribir la introduccin son los

siguientes:

1. Indicacin del tema.

2. Revisin de la informacin existente.

3. Aplicacin de la informacin al experimento especfico.

4. Enunciado del propsito del experimento.

4. Materiales y mtodos

Esta seccin es una descripcin de cmo fue realizado el experimento, adems de que se

presentan los materiales, las muestras y los componentes usados. Se describen en pocas

palabras, las tcnicas experimentales, el procedimiento y el equipo utilizado. Si es

necesario se incluyen diagramas de la configuracin experimental.

Aspectos que pueden tomar en cuenta para facilitar la confeccin de esta seccin:

46

1. Bosquejo del procedimiento.

2. Detalles especficos de la medicin.

3. Diagramas de los aparatos o de la configuracin experimental.

4. Precauciones.

5. Resultados y discusin

No es necesario incluir todos los datos obtenidos en el experimento, nicamente los datos

necesarios para que el anlisis, la discusin y las conclusiones estn bien respaldados. Se

recomienda utilizar grficos, pues adems de presentar grandes cantidades de

informacin, suelen verse en la primera mirada que se d al informe y generalmente el

lector lo observar con ms detalle que una tabla de datos.

En la discusin se interpretar los resultados que se han presentado, enfocndose en los

puntos importantes. Si se considera que alguno de los clculos realizados debe ser

presentado en detalle, como por ejemplo el clculo de incertidumbres, este deber

incluirse en la seccin de apndices o anexos.

Algunos aspectos que deben ser considerados para la confeccin de esta importante

seccin:

1. Valores medidos.

2. Descripcin de las incertidumbres.

3. Grficos.

4. Clculos.

5. Comparacin entre el modelo y el sistema.

6. Discrepancias entre el modelo y el sistema.

6. Conclusiones

Esta es una de las secciones ms importantes y en muchas ocasiones es difcil de

confeccionar. Debemos regresar al propsito del experimento: cul fue su objetivo y cmo

el experimento realizado alcanza ese objetivo. Si otros investigadores han realizado una

investigacin similar, puede incluirse una comparacin de los resultados obtenidos, dando

una referencia al otro trabajo. Si se ha determinado el valor de alguna variable

importante, debe darse explcitamente en las conclusiones.

47

7. Apndices

Hay ocasiones en el que debe incluirse algn material que de presentarse dentro del

propio informe afectara la lectura del reporte, como lo es el desarrollo de algn clculo

matemtico o una demostracin. Tambin pueden incluirse tablas de datos

experimentales o grficos que se considere importantes para complementar la

informacin. En muchas ocasiones, en esta seccin se incluye el listado de un programa de

cmputo o una rutina que fue utilizada en el anlisis de datos.

8. Referencias

Las referencias son una parte importante de los informes pues se da acceso a la

informacin concerniente a la investigacin, a los detalles de las tcnicas experimentales

utilizadas y a los resultados obtenidos por otros investigadores.

Hay varias formas de citar las referencias dentro de un informe. En este curso de

laboratorio hemos acordado el uso de las normas APA, puesto que son normas muy

utilizadas en muchas reas y a travs de ellas ser sencillo adaptarse a otras convenciones.

Ejemplo

A continuacin se presenta un ejemplo de informe, en donde se observan algunas de las

secciones ms importantes que se han mencionado hasta ahora. No se pretende con este

modelo limitar al estudiante al uso exclusivo de estas secciones, al contrario, se incentiva

utilizar o proponer otras formas en donde se muestre y analice adecuadamente la

informacin.

48

Medicin de la aceleracin debida a la gravedad: Comparacin de dos mtodos

Natalia Guevara, Laura Murillo y Milena Rojas

Grupo 40 Laboratorio de Fsica General I

Escuela de Fsica, Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Agosto de 2013

49

Resumen

Un objeto cayendo libremente bajo la accin de la gravedad, cerca de la superficie de la

Tierra, se mueve con aceleracin constante. En este informe se evalan dos mtodos para

la determinacin de la aceleracin debida a la gravedad, g. En uno de los mtodos se

utiliza la relacin entre g y el tiempo que tarda un objeto en caer una distancia fija. El otro

mtodo se basa en la medida del periodo de un pndulo simple. Ambos mtodos resultan

en valores de g que son consistentes con valores reportados anteriormente, pero se

observa que el mtodo en el que se utiliza el pndulo simple proporciona valores ms

exactos y precisos.

1. Introduccin

Todos los cuerpos sobre la superficie de la Tierra experimentan una fuerza de atraccin

debida a la gravedad. El efecto de la fuerza es ms evidente cuando el cuerpo se deja caer

libremente bajo la influencia del campo gravitacional. La ley de Newton de la gravitacin

predice que la aceleracin debida a la gravedad depende de la masa de la Tierra y de la

distancia medida desde el centro de la Tierra, a la que se encuentra el cuerpo que cae.

Como la distancia de cada de un objeto cerca de la superficie de la Tierra es pequea

comparada con el radio de la Tierra, g puede ser considerado constante en todo el

recorrido. El objetivo de este experimento es comparar dos mtodos para establecer el

valor del campo gravitacional, g, cerca de la superficie de la Tierra.

2. Materiales y Mtodos

Cada libre de objeto (Mtodo A)

Se determin el tiempo que una bola de metal tard en caer varias distancias, h. La

Figura 1 muestra el arreglo experimental utilizado.

50

Figura 1. Disposicin experimental para el mtodo A.

La distancia h fue medida con una cinta mtrica, la cual tiene una menor divisin de 1 mm.

La medida del tiempo de cada fue realizada utilizando un cronmetro de mano con una

resolucin de 0,01 s. Para obtener una mejor estimacin del tiempo, se realizaron 5

medidas para cada distancia (bajo condiciones de repetibilidad)

Periodo de un pndulo simple (Mtodo B)

Mediante una cuerda se at una pequea esfera de metal a un punto fijo. Se permiti

oscilar el pndulo a travs de un pequeo ngulo (< 5), como se muestra en la Figura 2.

h

L

5

51

Figura 2. Disposicin experimental para el mtodo B.

Mediante un cronmetro de mano, se midi el periodo de movimiento, T, como una

funcin de la longitud, L, del pndulo. Para reducir la influencia del tiempo de reaccin, se

midi el tiempo para 5 oscilaciones sucesivas.

3. Resultados y Discusin

Mtodo A

En la Tabla 1 se muestran los datos obtenidos para la cada libre de la bola como una

funcin de la distancia. La segunda columna de la tabla contiene el valor promedio de las

cinco mediciones realizadas para cada distancia. La desviacin estndar del tiempo

corresponde a la desviacin estndar de la distribucin de las medias (JCGM, 2008).

Tabla 1. Tiempo promedio de cada de la bola para varias distancias.

Distancia (h 0,01) m

Tiempo t (s)

Desv. Estndar St (s)

0,86 0,38 0,06

2,02 0,65 0,06

3,01 0,79 0,10

4,26 0,99 0,10

La relacin entre la distancia, h, a travs de la cual el cuerpo se mueve (a partir del

reposo) con aceleracin constante, a, en el tiempo, t, est dada por (Resnick, Halliday, &

Krane, 2004):

(1)

A partir de esta ecuacin se obtiene

(

)

(2)

Esta ecuacin es de la forma , con intercepto y pendiente , dada por:

52

(

)

(3)

(4)

En este experimento la aceleracin en la ecuacin (4) es igual a g. La Figura 3 muestra un

grfico de t versus

para los datos de la Tabla 1.

Figura 3. Grfica de tiempo de cada de la bola versus (distancia de cada)1/2

Mediante el mtodo de mnimos cuadrados, para un modelo lineal, obtenemos la

siguiente relacin entre las variables:

Mediante la relacin (5), es posible calcular la desviacin estndar de la pendiente (Baird,

1991).

(5)

y = 0,5293x - 0,1109 R = 0,9977

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

t (s

)

h1/2 (m1/2)

Datos Exp.

Lnea mejor ajuste

53

donde es la desviacin estndar de los valores experimentales de la variable

dependiente y n es el nmero de datos. Por tanto, utilizando la ley de la propagacin de la

incertidumbre y la ecuacin (4) se encuentra que la aceleracin de la gravedad es2

Mtodo B

La Tabla 2 muestra los datos obtenidos del periodo del pndulo como una funcin de la

longitud. La incertidumbre en el tiempo corresponde al promedio de la desviacin

estndar aproximada para cada longitud.

Tabla 2. Valores medidos del periodo del pndulo como funcin de la longitud.

Longitud (L 0,005) m

Periodo (T 0,02) s

0,410 1,32

0,575 1,55

0,700 1,71

0,825 1,84

0,900 1,93

La relacin entre el periodo del movimiento del pndulo simple (T) y su longitud (L) es

(Sears, Zemansky, & Young, 1988):

(

)

(6)

Esta ecuacin es de la forma con pendiente, m, dada por:

(7)

(8)

Utilizando los datos de la Tabla 2, la Figura 4 muestra la grfica de T versus .

2 Ver Apndice 1 para ms detalles sobre la incertidumbre de g.

54

Del mtodo de mnimos cuadrados se obtiene la relacin lineal y

con la ecuaciones (5) y (8) se determina, mediante este mtodo, que la aceleracin debida

a la gravedad es:

Figura 4. Periodo del pndulo en funcin de la longitud1/2

Observe que los valores para la aceleracin de la gravedad, determinados usando ambos

mtodos, son consistentes con los valores que se encuentran en la literatura (Crossley,

Hinderer, & Riccardi, 2013). Sin embargo, el mtodo a partir del periodo del pndulo

simple es ms conveniente, pues las mediciones se realizan ms rpidamente y el valor de

g obtenido es ms cercano al publicado por otros investigadores, es decir, es un valor ms

exacto que el obtenido con mtodo A. En ambos mtodos, la fuente principal de

incertidumbre est en la determinacin del tiempo de los eventos. Sin embargo, en el

caso del pndulo, el tiempo de reaccin es una pequea fraccin del tiempo total de la

medicin, mientras que en el mtodo A el tiempo de reaccin es significativo en cada

medida. Quizs, un medio electromecnico u ptico para sincronizar el inicio y el final del

movimiento de la bola con el instrumento de medicin podra brindar un mejor resultado.

y = 1,967x + 0,0601 R = 0,9997

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

0,4 0,6 0,8 1,0

T (s

)

L1/2 (m1/2)

Datos Exp.

Lnea mejor ajuste

55

4. Conclusiones

Se ha determinado el valor de para la aceleracin debida a la gravedad estudiando el movimiento de un pndulo simple. Este valor es comparado con el valor obtenido a partir de la medicin del tiempo de cada libre de un objeto bajo la accin de la gravedad. La incertidumbre relativa de 8,8 % para el mtodo del pndulo, comparada con la incertidumbre relativa de 40,8 % para el mtodo de cada libre, muestra que el resultado obtenido mediante el pndulo simple presenta mayor precisin, adems de ser ms exacto pues el valor es ms cercano al valor de referencia.

56

Segunda Parte Experiencias

57

Un primer estudio que se hace con una serie de datos implica recolectar, ordenar, analizar y representar el conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las caractersticas de este.

Generalmente, cuando se hace una toma de datos, el realizar una sola medida no es suficiente para tomar una decisin pues, como fue desarrollado en la seccin terica de estadstica, una sola medida no es representativa del valor del mensurando. Es recomendable hacer varias mediciones, bajo condiciones de repetibilidad, con el propsito de determinar un valor ms confiable.

El promedio y la desviacin estndar son dos de los parmetros que ms se utilizan para describir el comportamiento de los datos, as como el coeficiente de variacin. Para hacer una interpretacin certera de un conjunto de datos es necesario conocer estos valores.

Una manera de estudiar grficamente el conjunto de datos es por medio de un histograma pues, mediante este, es posible observar el tipo de distribucin a la que se pueden ajustar los datos. En la teora de mediciones es comn observar un comportamiento que obedece a una distribucin Normal o Gausseana y ser ms marcado cuanto ms grande sea el tamao de la muestra tomada. Esta distribucin es pilar fundamental en el tratamiento estadstico de datos, especialmente en la representacin de las mediciones.

Para utilizar estos conceptos estadsticos fundamentales se determinar, indirectamente, el

tiempo que tarda una persona desde que recibe un estmulo hasta que reacciona para

ejecutar una accin, es decir, su tiempo de reaccin. Para realizar esta medida se determinar

la distancia de cada de un bloque de madera, que parte del reposo, hasta que una persona

logre detenerlo.

1. OBJETIVOS

General:

Introducir al estudiante al tratamiento estadstico de datos en el rea experimental.

Especficos:

58

1. Introducir al estudiante a la toma de datos experimentales

2. Disear tablas para el registro de datos.

3. Realizar clculos estadsticos con los datos experimentales recopilados.

4. Comprobar que la repeticin de una misma medida afecta su valor medio y su desviacin estndar.

EQUIPO

Tabla 1. Materiales y equipo recomendado.

Cantidad Descripcin

1 Regla de un metro de longitud graduada en milmetros

1 Bloque de madera

1 Pliego de pa