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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 104, Nº. 1, pp 1-26, 2010XI Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

LOS MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ASTRONOMÍA Y DE LACOSMOLOGÍADARÍO MARAVALL CASESNOVES *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid.

La Astronomía utiliza la Observación y el Cálculopara su progreso y desarrollo. Han sido etapas sobre-salientes en el campo de la Observación: el empleo deltelescopio en el siglo XVII, de la fotografía y el espec-troscopio en el siglo XIX, de la radioastronomía y dela Astronáutica en el siglo XX. En esta última etapa elprogreso ha sido enorme tanto en la adquisición denuevos conocimientos como en la confirmación unasveces y otras en el abandono de antiguas teorías, queesta moderna tecnología ha hecho posible que así hayasucedido.

En cuanto al Cálculo es sumamente curioso queuna teoría tan absurda y totalmente falsa como ha sidola geocéntrica de Ptolomeo (¿96-160 a. C.? hayadurado tantos siglos, desde el siglo II hasta el XVI; ymás extraño todavía que haya sido capaz de explicaren gran parte los movimientos de los planetas, de pre-decir eclipses etc. Todo ello ha sido debido a un grandespliegue de talento, ingenio e inventiva de la curvasllamadas epicicloides y excéntricas.

No son estos hechos exclusivos de la Astronomía,sino que también se han presentado en la historia de laelectricidad y del calor. En la primera cuando aún sedefine la electricidad como un fluido de naturalezadesconocida, y en la segunda se creía que el calor eraun fluido (el calórico) se hicieron descubrimientos einventos, y se obtuvieron resultados científicos ver-daderos y de gran importancia, que hoy en día se uti-lizan. Lo mismo sucedió durante mucho tiempo con laextraña y absurda creencia en la existencia del éter,antes de la aparición de la Teoría de la Relatividad.

Desde Copérnico (1473-1543) y su teoría heliocén-trica, gracias a la obra de Galileo (1564-1642) y

Newton (1643-1727) después, comienza a conocersela realidad y la verdad física, mediante el empleo de laMecánica para conocer los movimientos de los cuer-pos celestes. Esta obra fue muy completada por Euler(1707-1783), Lagrange (1736-1813) y Laplace (1749-1827) y otros muchos. Es Laplace el autor de laprimera gran obra en cinco tomos de MecánicaCeleste.

A lo largo del siglo XIX el desarrollo de laMecánica es extraordinario repercutiendo en el granavance de la Astronomía matemática. Coriolis yFoucault desarrollan la teoría del movimiento relativoy con ello Foucault establece la teoría del péndulo quelleva su nombre, que muestra por primera vez la influ-encia de la esfericidad y del movimiento de rotación dela Tierra en el movimiento de un péndulo cuya lon-gitud sea suficientemente grande. También se demues-tra la desviación que afecta a la caída de los graves enla superficie de la Tierra debido a su rotación.

A finales del siglo XIX son extraordinarias lasaportaciones de Poincaré con sus libros “Los nuevosmétodos de la Mecánica Celeste” y “Lecciones deMecánica Celeste” de tres tomo cada libro, que revolu-cionan la manera de enfocar la Astronomía Matemá-tica. Con su memoria “Figuras de equilibrio de lasmasas fluidas” realiza una obra esencial en la modernaCosmogonía.

A principios del siglo XX nace la Teoría de laRelatividad, dos partes de la misma la restringida y lageneral, sobre todo esta última, dan origen a una nuevaCosmología relativista que sustituye en gran parte a laclásica, con empleo de nuevos métodos matemáticoscomo son el Cálculo Tensorial, el Cálculo Diferencial

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Absoluto y la Geometría Diferencial no euclídea.Predice y comprueba la existencia de nuevos fenó-menos físicos, como son la constancia de la velocidadde la luz en el vacío, la transformación de masa enenergía y viceversa; en el campo del sistema solarpermite el cálculo exacto del corrimiento del periheliode Mercurio, la desviación de los rayos luminosos encampo gravitatorio del Sol, el corrimiento hacia el rojode la luz procedente del Sol. En cuanto al Universosustituye los modelos clásicos por otros relativistas,utiliza además de Universos estáticos, otros dinámi-cos, es decir, en expansión que explican la fuga de lasgalaxias, es decir un alejamiento de nosotros convelocidades proporcionales a sus distancias, com-probado todo ello por el corrimiento hacia el rojo de laluz procedente de las galaxias.

La Física de las partículas tiene gran aplicación enla Astronomía y en la Cosmología, entre otras cosasexplica la enorme cantidad de energía emitida por elSol y las estrellas, inexplicable por la Física clásica.También se ha demostrado la existencia de estrellas deneutrones, y la Física de partículas juega un impor-tante papel en la moderna Cosmología basada en elBig Bang, al detectar una radiación uniforme eisótropa, correspondiente al espectro del cuerpo negroa la temperatura de tres grados Kelvin, en los añossesenta del siglo XX, que es considerado como lahuella que ha quedado de la gran explosión del BigBang que tuvo lugar hará unos 15.000 millones deaños.

Hoy se conoce la existencia en el universo de lamateria obscura, que en mi opinión pudiera ser posibleque se trate de fractales, uno de los últimos objetosmatemáticos, de finales del siglo XX. Este polvofractal está espaciado por un volumen finito, pero ocu-pando un espacio nulo, con una masa finita y por tantouna densidad infinita. Los fractales tendrían ademásde masa, centro de gravedad, momentos de inercia(elipsoides de inercia), y asimismo para mantenersecohesionadas requerirían una quinta interacción (ofuerza) entre ellos, que habrá que agregar a las cuatrointeracciones conocidas: gravitatoria, electromag-nética, débil y fuerte.

Las nuevas teorías fisicomatemáticas que vansurgiendo con el tiempo, los fenómenos y los nuevoscuerpos celestes que se van descubriendo por los

potentes métodos de observación que muchas vecesresultan inauditos, han hecho que nuestros conoci-mientos actuales en Astronomía sean muy grandes yseguros, pero también a lo largo del tiempo se han pro-ducido cambios cualitativos y cuantitativos muyimportantes en nuestros conocimientos.

Las grandes dificultades de los problemas plantea-dos, la imposibilidad de reproducir en los laboratoriosterrestres lo que sucede en los astros, hacen quequeden todavía muchas cosas por explicar y porconocer. Por ejemplo no existe hasta el momento unateoría totalmente satisfactoria sobre el origen y for-mación del sistema solar.

Las distancias en el universo son tan grandes queha sido necesario introducir nuevas unidades de dis-tancia como son la unidad astronómica, el año luz, y elparsec. También las edades de la Tierra, del Sol y delas Estrellas son tan grandes que ha sido necesariointroducir una nueva unidad de tiempo.

Antes de Copérnico la Astronomía estaba muyavanzada, a pesar de que hasta él se creía en la teoríageocéntrica. Los griegos aplicaron la Trigonometría ala Astronomía, que nació como una ciencia auxiliar dela misma. Los árabes independizaron la Trigonometríade la Astronomía y la establecieron como una cienciaindependiente, como una prolongación de la Geome-tría. Fue Euler en el siglo XVIII quien dio una baseanalítica a la Trigonometría a partir de una famosafórmula que liga la exponencial imaginaria con el senoy el coseno; dio los desarrollos en serie de estas fun-ciones y las relacionó con las ecuaciones diferencialeslineales de coeficientes constantes.

Aristarco de Samos (¿310-230? a. C.) es práctica-mente el creador de la teoría heliocéntrica, pero notuvo éxito, aunque tuvo algunos seguidores en la EdadMedia que se pueden considerar precursores deCopérnico.

A pesar de que la teoría geocéntrica no es ver-dadera, curiosamente hubo un gran progreso en laAstronomía. Los astrónomos observaron que losplanetas se acercaban y se alejaban de la Tierra, semovían en uno y otro sentido, con velocidades dife-rentes. Como esto es incompatible con el movimientocircular, que es el único que admitían, para explicareste hecho idearon un complicado sistema de epiciclos

y excéntricas, que explicaban el movimiento de losastros, tales como eran vistos desde la Tierra. Un epi-ciclo consiste en el movimiento de un punto P querecorre con velocidad constante una circunferencia,cuyo centro M recorre también con velocidad cons-tante otra circunferencia de centro O. Los epiciclos sepueden multiplicar indefinidamente. Una excéntricaconsiste en un punto P que recorre una circunferenciaC, de modo que el radio vector que va desde un puntofijo M interior a C, al móvil P gira con velocidadangular constante. Combinando epiciclos y excéntricasse pueden explicar las trayectorias de los planetas talcomo se ven desde la Tierra. Es muy grande el talentoy el ingenio demostrado por los astrónomos antiguospara hacer progresar de este modo la Astronomía,máxime teniendo en cuenta que entonces la Geometríay la Cinemática de los epiciclos no habían alcanzado laprofundidad en su conocimiento que alcanzó en elsiglo XIX. Los árabes ya sabían en el siglo XII sobreesta materia cosas que los europeos no supieron hastael siglo XVII con De La Hire y en el siglo XIX en queya superaron en mucho a los árabes.

Copérnico tuvo precursores entre ellos Nicolás deOresme (1320-1382) tuvo la idea de que la Tierra semueve en un ciclo inmóvil, mostrando que la tesis deque la rotación del cielo alrededor de la Tierra, nopuede demostrarse ni por la experiencia, ni por larazón. El cardenal Nicolás de Cusa (1401-1464)supuso que la Tierra giraba alrededor de su eje, y semovía alrededor del Sol.

Kepler (1571-1630), utilizando las numerosasobservaciones astronómicas de Tycho Brake (1546-1641) abandona por primera vez las trayectorias circu-lares de los planetas, cosa que no había hechoCopérnico, y las sustituye por trayectorias elípticas delas que el Sol ocupa un foco (su segunda ley) que juntoa las dos otras leyes, de las áreas y la que liga lossemiejes mayores del las órbitas y los tiempos de revo-lución de los planetas alrededor del Sol, establecedefinitivamente la dinámica del sistema solar enprimera aproximación, cuando se considera aislada-mente el movimiento de cada planeta, despreciando lasperturbaciones de sus satélites, es lo que hoy se llamaen Mecánica el problema de los dos cuerpos.

Galileo (1561-1642) mediante el empleo del teles-copio confirma de manera definitiva el sistema

heliocéntrico y realiza numerosos descubrimientos enAstronomía, al mismo tiempo mediante el uso delplano inclinado y de sus experiencias sobre la caída delos graves, se le puede considerar como el iniciador delo que se ha llamado la Ciencia Nueva. Hasta Galileohay un largo camino, que comienza en la Edad Mediadurante el cual se habla constantemente de matema-tizar la Física, pero en el que fallan estos buenosdeseos, principalmente porque las Matemáticas no hanalcanzado el desarrollo suficiente. Por ejemploGrosseteste (1175-1253) escribió: ”todas las causas delos efectos naturales deben ser expresadas por mediode líneas, ángulos y figuras”. El cardenal Nicolás deCusa escribe en su libro “Docta Ignorancia” que parapartir de presupuestos ciertos es necesario apoyarse enlas Matemáticas; hace la observación de que a medidaque crece el radio de una circunferencia más seaproxima a una recta. Hoy diríamos que el límite deuna circunferencia cuando su curvatura tiende a cero(su radio tiende a infinito) es una recta.

Hasta Galileo se puede decir que existen dosFísicas, una válida para lo que sucede en la superficieterrestre, es la Física sublunar aplicable a un mundocorruptible y cambiante, y la Física celeste aplicable aun mundo incorruptible e inmutable. Sus importantesdescubrimientos astronómicos, su enunciado de la leyde inercia según la cual cualquier masa (puntomaterial) sobre la que no actúa ninguna fuerza, está enreposo (permanece inmóvil) o se mueve con movi-miento uniforme y rectilíneo; ley generalizada despuéspor Descartes que utiliza sus experiencias con el planoinclinado para modificar la aceleración con la que caeun grave, etc, etc, prepara el camino para la unifi-cación de la Física en una sola ciencia, válida para elSol, la Tierra y las estrellas. Esta tarea queda ultimadacon el descubrimiento de la gravitación universal porNewton, en virtud de la cual, son las mismas fuerzaslas que hacen caer un grave sobre la superficie de laTierra (la famosa manzana de Newton), que las quehacen girar a los planetas alrededor del Sol, cum-pliendo las tres leyes de Kepler, y también hacen giraralrededor de los planetas a los satélites. Pero Newtonhace algo más, aplica el Cálculo Infinitesimal, descu-bierto por él y por Leibniz (1646-1716) a la Mecánica,establece las ecuaciones que dan las aceleraciones enfunción de las fuerzas, que permiten resolver elproblema directo de hallar el movimiento de un puntomaterial conocidas las fuerzas, y el problema inverso

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de determinar cuál es la fuerza o cuáles pueden ser lasfuerzas que actuando sobre un punto material leobligan a seguir un movimiento conocido deantemano.

Newton demostró por el cálculo las leyes de Keplerdel movimiento de los planetas alrededor del Sol, poresta razón se le puede considerar el creador de laMecánica celeste. Demostró como puede ser calculadala masa del Sol y de cualquier planeta que tenga almenos un satélite. Inició la teoría de las perturba-ciones, en virtud de la cual la órbita de la Lunaalrededor de la Tierra es perturbada por la atracciónque sobre ella ejerce el Sol; es el problema de los trescuerpos. También explicó la precesión de losequinocios que hace que la Tierra oscile como unapeonza, a causa de la atracción de la Luna y el Sol.Aclaró el misterio de las mareas. Con todo ello sedemostró que la ley de la gravitación universal deNewton es realmente universal. Se puede decir que en1687 con los Principios de Newton nace la MecánicaRacional.

En 1736, Euler publicó un libro de Mecánica quesupuso un cambio de orientación y un gran avancerespecto a los Principios de Newton. La concepciónque tenía Newton de la Mecánica era geométrica,mientras que la de Euler era analítica. Es algo parecidoa lo que sucede con la Geometría de Descartes de 1636respecto a los “Elementos de Euclides”, que eratambién un cambio de visión y de orientación respectoa la Geometría, es sustituir el método sintético queinició Tales de Mileto en el siglo VII a. C., por elmétodo analítico que amplía enormemente el hori-zonte de la Geometría, introduce en ella las figurasimaginarias, los puntos y rectas en el infinito(impropias), las rectas isótropas, etc.

Newton como ya hemos dicho se ocupó de laTeoría de las Perturbaciones planetarias en el caso dela Tierra, del Sol y de la Luna que perturba elmovimiento de la Tierra alrededor del Sol. Por lasmismas causas los satélites perturban el movimientode su planeta respecto al Sol. Los demás planetas seperturban unos a otros. Esta teoría es la que permitió eldescubrimiento de Neptuno en siglo XIX y de Plutónen el siglo XX. Euler continuó la labor de Newton y lamejoró notablemente, no pudo resolver exactamente elproblema de los tres cuerpos, pero dio una teoría

aproximada en el caso del Sol, de la Tierra y de laLuna, lo que permitió que la Marina inglesa pudierausar unas tablas que fueron de gran utilidad para fijarla posición de los barcos en el mar, lo que contribuyó aque Inglaterra alcanzase el dominio de los mares en elsiglo XVIII. Euler fue recompensado económicamentepor la Marina inglesa.

La Teoría de las Perturbaciones, tan importante enla Astronomía y en la Mecánica celeste es una escalerade dificultades crecientes hasta el infinito podemosdecir, porque el problema de los n cuerpos del sistemasolar es prácticamente irresoluble. En el problema delos tres cuerpos, el primero y el segundo peldañofueron subidos por Newton y por Euler, y los tressiguientes por Lagrange, Laplace y Poincaré.

En 1746 Lagrange resolvió el problema de lalibración de la Luna que consiste en que ésta presentasiempre la misma cara a la Tierra (la otra permanecesiempre invisible). En 1766 dio una solución aproxi-mada (la exacta aún no es conocida) de un problema deseis cuerpos que son el Sol, Júpiter y cuatro de sussatélites (los entonces conocidos) que da una expli-cación de las observaciones astronómicas realizadas.En 1772, 1774 y 1778 consiguió nuevos aciertos sobreel movimiento de la Luna y de los planetas.

Laplace escribió su Mecánica celeste en cincotomos que se publicaron de 1779 a 1825. Con anterio-ridad había demostrado la estabilidad del sistema solar,al demostrar que las distancias medias de los planetasal Sol son prácticamente invariantes, lo que demuestraque ningún cuerpo celeste del sistema solar puedeescapar de él. La Mecánica Celeste es elevada porLaplace a un nivel altísimo, se puede decir que laMecánica celeste es pura Astronomía Matemática.

Newton resolvió correctamente el problema de losdos cuerpos, aunque no con carácter general, sino en elcaso particular del Sol y de un planeta, en el que prác-ticamente el problema de los dos cuerpos es elproblema del cuerpo único, porque en el primer caso(dos cuerpos) lo que permanece fijo es el centro degravedad del sistema de los dos cuerpos, los cuales semueven alrededor de su centro de gravedad, pero en elcaso del Sol y de un planeta, la masa del Sol al sermuchísimo mayor que la del planeta hace que el centrode gravedad esté muy próximo del Sol, lo que hace que


se pueda considerar que el Sol esté fijo y que el planetagira alrededor de acuerdo con la ley de la gravitaciónuniversal.

Aunque Euler, Lagrange y Laplace hicieron aporta-ciones muy importantes al problema de los trescuerpos, este problema permanecería sin resolver,porque es un sistema de nueve ecuaciones diferen-ciales lineales muy difícil, a pesar de que se puederebajar el orden del sistema debido a que existen inte-grales primeras del mismo.

Resolver el problema de los n cuerpos como el Soly todos sus planetas, que se pueden considerar comopuntos materiales, consiste en que conocidas las posi-ciones y velocidades en un instante dado, hallar susposiciones y velocidades en un instante posteriorcualquiera, lo que equivale a resolver un sistema de 3necuaciones diferenciales lineales de segundo orden,del que se conocen integrales primeras que puedenrebajar el orden del sistema. Este problema es práctica-mente irresoluble en el caso general, aunque si seconoce en el caso de n 3 la solución de algunos casosparticulares, como veremos más adelante.

La aportación de Poincaré a este problema ha sidoimportantísima y además ha abierto un nuevo campoen la Mecánica (invariantes integrales, órbitas perió-dicas, soluciones doblemente asintóticas, etc). Su obraestá recogida en sus libros “Nuevos métodos de laMecánica celeste” en tres tomos publicados en 1892,1893, y 1899. Para los invariantes véase el tomo II demi libro Problemas de Mecánica citado en la biblio-grafía.

Poincaré realizó un estudio muy profundo sobre lasmareas al que dedicó íntegramente el tomo III de sulibro “Lecciones de Mecánica celeste” cuyos trestomos se publicaron desde 1905 a 1910.

La importancia del libro de Poincaré antes citado“Nuestros métodos...” es tal que en los Estados Unidosen 1957, cuando los rusos lanzaron su primer Sputnik,fue reimpreso en francés por la editorial Dover. Unanueva teoría creada por Poincaré es la de las órbitasperiódicas, que son aquéllas en que transcurrido unperiodo de tiempo todos los n cuerpos vuelven aocupar las mismas posiciones y tener las mismasvelocidades que en el instante inicial del periodo.

En el problema de los tres cuerpos pueden existirconfiguraciones estables. En 1772 Lagrange demostrómatemáticamente que tres cuerpos atrayéndose segúnla ley de la gravitación universal de Newton puedenformar una configuración estable, si ocupan los vér-tices de un triángulo equilátero, siendo dos cuerpos demasa muy pequeña y el tercero de masa muy grande,entonces los de masa pequeña giran alrededor del demasa muy grande que permanece inmóvil por casicoincidir con el centro de gravedad de los tres cuerpos.Los tres forman una configuración estable, y los demasa pequeña describen la misma órbita alrededor delde masa grande (son coorbitales), uno de los dos vadelante del otro, parece como si el segundo persiguieraal primero. Los radio vectores que van del de masagrande a los dos de masa pequeña forman un ángulode 60º.

Un ejemplo de la anterior configuración estable deLagrange es la que forman Júpiter y los asteroidesAquiles y Patroclo descubiertos en 1906. Por losnombres de estos asteroides se dice que están ensituación troyana, a causa de la Iliada. Otro ejemplo seha encontrado en Saturno, que tiene dos satélitesDione y Dione B coorbitales es situación troyana comolos anteriores de Júpiter. Véase la nota 1ª en la que doyotra nueva configuración estable de n cuerpos, queaunque no se conozca, sí pudiera existir.

Herschel llamó el gran misterio a la gran pérdida deenergía del Sol por radiación. En el marco de laCiencia clásica no se puede hallar explicación a estehecho, ni por la energía liberada en las reaccionesquímicas (combustión), ni por la energía mecánicaliberada por el Sol a causa de la gravitación (teoría deHelmholtz) ni por la energía liberada por la radioac-tividad. Hubo que esperar a que Einstein establecierala posibilidad de transformar la masa (materia) enenergía y a que se conociera la gran cantidad deenergía liberada en las reacciones nucleares que danorigen a las transmutaciones atómicas (la “alquimia”moderna) para poder explicar el gran misterio deHerschel. Así lo apuntaron Harkin y Wilson en 1915,Perrin y Eddington en 1920, Atkinson y Hontesman en1929, quienes sugirieron las reacciones nucleares.

Se sabía por el análisis espectral que la temperaturaexterior del Sol era de 6000 K (Kelvin) y por los cál-culos matemáticos de Eddington que la temperaturainterior era de 15000 K, más tarde se elevó ésta a


21000 K. A esta temperatura pueden tener lugar lasreacciones termonucleares y formarse helio a partir delhidrógeno, por fusión de cuatro átomos del segundo enun átomo del primero, con una liberación muy grandede energía equivalente a 0.0293 unidades de masaatómica, que podría explicar el origen de la energíaperdida por el Sol y también por las estrellas.

En 1938 los físicos alemanes Bethe (judío) enNorteamérica y Von Weiszäker (ario) en Alemania,independientemente y casi al mismo tiempo idearon elmecanismo de la reacción termonuclear que explicacomo tiene lugar en el Sol la transformación de cuatronúcleos atómicos de hidrógeno (protones) en uno dehelio (partícula ) mediante el siguiente mecanismo:

que significa que un núcleo de carbono común C12

captura un protón H1 y se transforma en un núcleo N13

(isótopo del nitrógeno) con liberación de energía enforma de rayos gamma ( ). El núcleo de N13 que esinestable da origen a C13 (isótopo del carbono), a unpositrón e+, y a un neutrino ( ). El C13 captura unprotón y da origen a un núcleo de Nitrógeno comúnN14 y radiación gamma. El núcleo N14 captura unprotón y da origen a un núcleo de O15 (isótopo deloxígeno) el cual es inestable y se desintegra en unnúcleo de N15 (que es estable), un positrón y un neu-trino. El N15 captura un protón y da origen a un núcleode C12 y a un núcleo de helio común He4; el C12

comienza de nuevo el ciclo que es cerrado (auto gener-ativo). Este mecanismo se compone de seis reacciones.

Observamos que el C12 y el nitrógeno N14 queexisten en el Sol no se consumen, que se emiteradiación gamma ( ). Los positrones (e+) y los neu-trinos ( ), al mismo tiempo que cuatro H1 se trans-forman en un He4 formado por dos protones y dos neu-trones. Un protón por emisión de un positrón y de unneutrino se transforma en un neutrón. El carbono y elnitrógeno actúan como “catalizadores”, el hidrógenocomo “combustible” y el helio es la “ceniza” de esta“combustión” en este “horno solar”. La transfor-mación del hidrógeno en helio a la temperatura de21000 K es la primera fuente de producción de energíaque da cuenta de la energía radiada por el Sol.

El origen del sistema solar es el problema cos-mogónico restringido; el problema general es el delorigen del Universo.

Buffon (1707-1778) fue seguramente el primeroque formuló una teoría para explicar la formación delsistema solar. A una teoría como la suya se ladenomina catastrofista.

Kant en 1775 dio una teoría del origen del sistemasolar, fue el primero que tuvo la idea de la existenciade universos-islas (las galaxias de ahora) y creyó quela galaxia Andrómeda era uno de estos universos islas.A una teoría cosmogónica como la suya se ladenomina nebular.

Laplace en 1796 expuso una teoría nebular delorigen del sistema solar, que durante mucho tiempogozó de mucha adhesión y popularidad. En tiempos deLaplace se tenía un conocimiento incompleto e imper-fecto del sistema solar, según el cual todos los planetasgiraban alrededor del Sol en sentido directo, lo que noes cierto pues Urano gira en sentido retrógrado;también creían que las órbitas de los planetas estabanen planos muy poco inclinados unos respecto de otros,lo que tampoco es cierto porque la órbita de Urano estáen un plano casi perpendicular a los planos de los otrosplanetas. Según Laplace lo mismo les sucedía a lossatélites respecto a sus planetas, lo que tampoco escierto, porque Urano tiene dos satélites que giran ensentido retrógrado.

Faye a mitad del siglo XIX modificó la teoría deLaplace para salvar estas deficiencias, pero su teoría,también nebular, tuvo otros fallos, según la misma, laTierra y algunos otros planetas eran más viejos que elSol.

Ha habido otras muchas teorías cosmogónicas, peroninguna es aceptable, unas son catastrofistas entre lascuales fue muy popular la de Jeans (1877-1944) modi-ficada después por Jeffreys para evitar el fallo quetenía de no poder explicar la rápida rotación de Júpiter.En 1935 Russell demostró que en las teorías catas-trofistas no se cumplen las leyes de conservación delmovimiento. Otra crítica importante a la teoría deJeans, es que debido a la alta temperatura en el núcleodel Sol y a la presión de la radiación como opuesta a lacontracción gravitatoria en el mantenimiento del equi-


librio estelar (teoría de Eddington) las masas arran-cadas del Sol, una vez liberadas se difundirían en elespacio exterior en vez de condensarse en los planetas.

Son muy importantes para la Cosmogonia lasinvestigaciones de Poincaré recogidas en su memoria“Figura del equilibrio de una masa fluida”. Considerael caso de una masa fluida en rotación, que se contraelentamente permaneciendo homogénea; al principio esuna esfera, que se va convirtiendo en un elipsoide derevolución que se aplasta cada vez más hasta conver-tirse en un elipsoide con los tres ejes desiguales. Mástarde el elipsoide toma la forma de una pera, hasta quese divide en dos partes desiguales. Aplicó esta teoría alos anillos de Saturno. Liaponnoff en 1905 se planteóel problema del cuerpo en forma de pera y llegó a laconclusión de que el movimiento era inestable. Lasinvestigaciones de Poincaré sobre la Astronomíamatemática fueron más bien cualitativas que cuantita-tivas y le condujeron al estudio del Análisis Situs, quedesarrolló en varias memorias que revolucionaron estaparte de la Ciencia.

A pesar de ser un gigante de las Matemáticas y de laFísica, Poincaré cometió algún error, como el creerque había demostrado en la Cosmogonia la estabilidadde los cuerpos piriformes (en forma de pera). Esteimportante problema fue planteado por Liapounoff en1905, y a él dedicaron sus esfuerzos Darwin (hijo delCreador de la Teoría de la evolución de los especies) ytambién Jeans y Lichtenstein; el resultado fue lainestabilidad de los cuerpos en forma de pera.

El camino iniciado por Poincaré de las órbitasperiódicas, está ligado al problema llamado de lospequeños divisores, que es un problema de Teoría deNúmeros; la perturbación en el movimiento de dosplanetas se expresa mediante series de Fourier, quepueden ser divergentes, y entonces la órbita no esestable. En 1954 Kolmogoroff y en 1962 Arnold yMoser (los tres rusos) demostraron que para la mayoríade las pequeñas perturbaciones, la mayoría de lasórbitas son estables, aunque no periódicas, perodifieren poco de las órbitas periódicas, por eso lasllaman casi periódicas. Hoy esta teoría se la denominade los sistemas dinámicos, y en ella es fundamental elteorema Kam, cuyo nombre son las tres letras inicialesde los tres matemáticos antes citados. Según éste sepresenta el llamado problema de los pequeños divi-

sores, que son números racionales en los que eldenominador es un número entero pequeño. Unejemplo se presenta con Júpiter y Saturno, para los queel coeficiente de sus años planetarios vale , por loque cada diez años, ambos planetas se encuentran enlas mismas posiciones.

En 1943 Von Weiszsäker volvió de nuevo a lasteorías nebulares, cambió la nebulosa primitiva deLaplace con el mundo de los torbellinos de Descartes,apoyándose en la teoría moderna de la turbulencia.Supuso que en la nebulosa inicial se formaron tor-bellinos, cada uno de los cuales se condensaría en unsistema distinto, de modo que en la condensación decada torbellino se formarían torbellinos menores, queal condensarse darían origen al sistema solar.

Han surgido otras teorías, como las de Schmidt,Gamow, Kniper, Alfven, etc, este último introdujo elcampo magnético además del gravitatorio. Hoylesupone, como antes hizo Russell, que el Sol es unaestrella doble, pero que su compañera en vez de chocarcon otra estrella, explosionó por causas interiores,como la explosión de una nova dando origen al sistemasolar.

Actualmente hay otras dos tendencias en la Cosmo-gonia, una la más difundida, es una teoría nebular,entonces el proceso de formación del sistema solar esdebido a la condensación de la materia enrarecida de lanebulosa primitiva, y otra debida a Ambartsumiánsegún la cual el nacimiento del Sol y de las estrellas sedebe a la explosión de cuerpos superdensos muymasivos (el cuarto estado de la materia) a los quedenomina protoestrellas. La abundancia de teorías cos-mogónicas es prueba fehaciente de la falta de consensoentre los científicos en este tema. En todos ellos el usode las Matemáticas y de la Física es indispensable.

Si el problema de la formación del sistema solar esmuy difícil y no hay acuerdo sobre el mismo, igualsucede con el problema de su muerte.

Basándose en las reacciones termonucleares delciclo carbono-nitrógeno, de Bethe y Von Weiszsäkerantes descrito, Gamow (1901-1968) formuló unateoría de la muerte del Sol, en ella a medida que el con-tenido de hidrógeno disminuye y aumenta el de helio,como en las condiciones que reinan en el interior del


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Sol, el helio es más opaco que el hidrógeno para laradiación gamma, a ésta le resulta más difícil escapardel Sol y aumenta por tanto la temperatura interior, conella aumenta también la velocidad de transformacióndel hidrógeno. El Sol se va haciendo cada vez máscaliente y luminoso hasta convertirse en una estrellaazul caliente con una luminosidad actual, proceso quees muy lento. En el momento en que se agota elhidrógeno, el Sol comienza a contraerse por la acciónde la gravedad, que es ahora la única fuente de energía(retorno a la teoría de Helmholtz) y se transforma muyrápidamente en una enana blanca primero, roja einfrarroja después, hasta convertirse en una enananegra de escaso tamaño, muy fría y superdensa. El findel sistema solar es un Sol rodeado por unos planetasfríos e inertes. A diferencia de la teoría clásica de lamuerte de la Tierra por enfriamiento del Sol a partir delmomento actual, la muerte del Sol es por enfriamiento,pero después de haber alcanzado un gran calenta-miento en un estado de estrella azul, que acabaría conla vida en la Tierra, por la excesiva temperatura cau-sada por la radiación solar.

El “horno solar” tiene la particularidad de que-marse “el combustible nuclear” (el hidrógeno) yquedar menos de éste, el que queda “arde“ más rápi-damente y se hace mayor la temperatura y el despren-dimiento de calor del “horno solar”.

En el estado final el núcleo del Sol no es sólido, nilíquido, ni gaseoso, es el correspondiente a un cuartoestado de la materia, que se llama gas degenerado, o deFermi, o también materia supercondensada. En losgases las distancias entre átomos son grandes, y susmoléculas se mueven en grandes velocidades,chocando entre sí en una agitación caótica. Por el con-trario en los sólidos, los átomos están mucho másjuntos, de ahí su rigidez, el límite máximo de acer-camiento entre átomos, es su diámetro. Si un sólido essometido a grandes presiones (caso de una estrellaenana blanca) los átomos se rompen, liberándose loselectrones de la corteza, y la distancia entre los átomosrotos podría reducirse al diámetro de sus núcleos, perosin llegar a tanto, pueden estar los suficientemente ale-jados, para comportarse como un gas, pero conpropiedades completamente distintas de los gases ordi-narios (gas degenerado) alcanzando una densidadenorme (materia supercondensada) de modo quecuanto mayor sea su masa, menor es su volumen. El

Sol muerto se reducirá a un tamaño parecido al de laTierra, y a una densidad igual a 3000000 veces la delagua.

En lo tocante a los gases degenerados la fantasía delos científicos ha ido muy lejos, suponiendo que lapresión siga aumentando, se llegarían a romper losnúcleos atómicos y los protones liberados se unirían alos electrones para formar neutrones, que al no tenercarga eléctrica podrían aproximarse entre sí, seobtendría un gas de neutrones, que alcanzaría densi-dades todavía más elevadas, de centenares de millonesde la del agua, serían las llamadas estrellas de neu-trones. Estas estrellas de neutrones fueron modelizadasy estudiadas matemáticamente en los años treinta porel físico matemático ruso Landau condenado a muerteen 1937 e indultado, que después sería Premio Nobel yPremio Lenin. Lo sorprendente es que se descubrieranen el cielo en los años sesenta, con los pulsares.

Existen otros modelos de reacciones termonu-cleares distintas de las ciclo carbono-nitrógeno, quetienen lugar a distintas temperaturas T1, T2,.... infe-riores a la temperatura Tn del modelo de Bethe antesdescrito, es decir a los 21000 K, que no son auto rege-nerativas o de ciclo cerrado, en las que existen comocombustibles el hidrógeno y otros elementos ligeros,que pueden ser deuterio, isótopos del litio, el berilio, oisótopos del bario los cuales colisionando con pro-tones, transforman el hidrógeno en helio. En estasúltimas reacciones termonucleares como el com-bustible distinto del hidrógeno se consume, dura hastaque se agota este combustible.

Combinando estos modelos de reacciones termonu-cleares con alternancias de contracción gravitatoria,Gamow ha elaborado una teoría de la evolución delSol, de estrella roja gigante y fría a un estado actual deenana amarilla. El proceso comienza con la reaccióntermonuclear a una temperatura T1, hasta consumir losmuchos átomos que sirven de combustible en que seusa esta reacción termonuclear y comienza una fase decontracción gravitatoria en que el Sol se contrae ycalienta hasta alcanzar la temperatura T2 de la siguien-te reacción termonuclear en que cesa la contraccióngravitatoria y comienza la nueva reacción termonu-clear hasta que se agotan los núcleos atómicos quesirven de combustible, momento en que comienza unanueva fase de contracción gravitatoria y así sucesiva-


mente hasta alcanzar la temperatura Tn del ciclocarbono-nitrógeno, que es el momento actual. De estaforma explica Gamow la juventud, vejez y muerte delSol, la última fase como la describimos anteriormente.

En la Física clásica existían muchas enigmas yparadojas, es decir fenómenos físicos reales que nopodían ser explicados dentro del marco conceptualclásico, pero que podíamos decir que no tenían sufi-ciente importancia, o no se les concedía, para tratar decambiar por esta falta de explicabilidad de la Físicaclásica por una nueva Física. Entre estas paradojas unamuy importante es la de Olbers (1758-1840) planteadapor él en 1820, según la cual la densidad de radiaciónrecibida en un punto cualquiera es muy grande, lo queviene a significar no solo la imposibilidad de laobscuridad de la noche, sino también la existencia deuna luz cegadora. Se debe ello a que en un espacioeuclídeo infinito con distribución uniforme de lasfuentes de intensidad luminosa, la cantidad de éstasobre un estrato esférico de radio r y espesor dr es pro-porcional a 4 r2 y teniendo en cuenta la ley de decreci-miento proporcional al cuadrado de la distancia, elflujo luminoso que incidiría sobre el centro de laesfera, debido a todo el universo es proporcional a laintegral

En mi opinión, la interpretación fotónica de la luz(corpuscular) convierte en estocásticos los fenómenosde incidencia de la radiación y de la luminosidad loque invalida la paradoja de Olbers, véase la nota 2ª miteoría.

Una de las aplicaciones más importantes de laTeoría de la Relatividad de Einstein fue a la Astro-nomía, concretamente al sistema solar y explica tresfenómenos, no explicables por la Mecánica Newto-niana que son:

a) El corrimiento del perihelio de Mercurio.b) El corrimiento hacia el rojo de la luz proceden-

te del Solc) La desviación de los rayos luminosos al pasar

cerca del Sol

Fue Schwarzschild (1873-1916) quien resolvió elproblema del cuerpo único en la Teoría de la Rela-

tividad general, aplicable al movimiento de un planetaalrededor del Sol, obteniendo el elemento lineal delespacio tiempo que es

El cuerpo único significa que existe una partículade masa M fija, que suponemos situada en el origen,rodeada de un espacio vacío, G es la constante de lagravitación universal de Newton, c la velocidad de laluz en el vació. La coordenadas r, y de (1) son lascoordenadas esféricas en el espacio euclídeo de tresdimensiones.

De acuerdo con la Relatividad general se admiteahora que los planetas siguen las líneas geodésicas delpseudo espacio riemanniano (2) y los rayos luminosossiguen las líneas geodésicas cuando su longitud es nula(ds 0). Por tanto hay que hacer mínima la integral

donde ds es el de (2). Para resolver este problema hayque aplicar las ecuaciones de Lagrange de la Mecánicaanalítica, que son las ecuaciones de Euler-Lagrangedel Cálculo de Variaciones en este caso particular. La tiene las dimensiones de un tiempo.

Existe una integral primera que es

la primera en el caso del movimiento de los planetas yla segunda (cero) en el caso de los rayos luminosos.

Como los coeficientes de la (2) sólo dependen de r,la (2) tiene simetría esférica, por tanto las trayectoriasde los planetas son curvas planas como en la teoríanewtoniana, por lo que (2) se puede simplificarhaciendo , con lo que se transforma en la


(1)

(2)

(3)

(4)

2

(5)

en donde r y son las coordenadas polares planas. Sicambiamos los ejes OX, OY por otros dos ejes OX1 yOY1 perpendiculares a OZ y perpendiculares entre sí,no cambia la forma del ds (2), porque r sigue siendo elmismo, y y se cambian por 1 y 1. Por tanto siescogemos el plano que contiene la posición y lavelocidad iniciales del punto material en movimiento(el planeta) como plano OX2Y1, entonces ,

, toda la velocidad inicial es (r r2) y de aquíque se pueda transformar la (2) en la (5).

Tanto como t son coordenadas cíclicas, porfigurar en (5) solo por sus derivadas , . Por tantoexisten otras dos integrales primeras:

que sustituidas en la (4) con la expresión ds de (5) envez de la (2) da origen a

permite conocidos h, C y D, calcular r mediante unacuadratura (integración). Ahora bien con

y h es el resultado de particularizar (7) para los valoresiniciales de , en (7).

La primera constante A se determina mediante unamedida de la posición r0 y de la velocidad angular en un instante dado. También hay que determinar enla segunda B, pero esta medida no se puede hacerdirectamente, sino que hay que hacerla midiendo lasvelocidades radiales y en dos instantes distintos.Llevando estos resultados a la (7) se obtienen dosigualdades que tienen iguales el segundo miembro h de(7) y que por tanto restándolas se obtiene una expre-sión igual a cero que nos da el valor de B y por tanto elde a partir de (8).

Una vez conocido B, ya se puede calcular h, con loque se puede resolver la ecuación diferencial (7)mediante una integración por ser una ecuación dife-rencial de variables separadas. Conocido r en funciónde , se puede pueden calcular y t en función de de a partir de las (7).

Lo anterior es la solución exacta del problema delmovimiento de un planeta alrededor del Sol, es decirproblema del cuerpo único en el caso de la RelatividadGeneral.

Obsérvese que en (5) el primer sumando (negativo)entre paréntesis desempeña el papel de una fuerza vivay el último sumando de (5) desempeña el papel de unpotencial.

Naturalmente hay que multiplicar por la masa delplaneta m las ecuaciones anteriores, pero debido a laforma de la fuerza gravitatoria esta masa desaparece enlas ecuaciones.

Se puede obtener una solución aproximada de esteproblema, si en el último sumando de (7) se desarrollael denominador en progresión geométrica

Vamos a desarrollar los cálculos que permiten cal-cular y a partir de los valores de , , , y o

, ya que estas dos últimas cumplen que

Se tiene el sistema de dos ecuaciones que permitencalcular y

La última (11) es consecuencia de (4) y (5).

Para calcular las trayectorias de los rayos lumi-nosos procedemos de la misma manera, haciendo h 0en las anteriores (4) y (7), y los cálculos demuestranque los rayos luminosos de una estrella al pasar cercadel Sol experimentan una desviación (un rechazo) porser ahora la trayectoria hiperbólica en vez de elíptica.

2 20 0 1 1A r r

22 41 1 ...21 r r

r


1 21 0 1r

t

(6)

(7)

(8)

0r0r

0

0t

0r 1r

0t

(9)

0t 1t 0r 0r 1r 1r 0

1

(10)

0t 1t

(11)

Esta desviación fue comprobada por primera vez en eleclipse de 29 del Mayo de 1919, lo que fue conside-rado un gran éxito de la Teoría de la Relatividadgeneral.

En estos problemas existen dos tiempos, el tiempo tque es el medido por un observador ligado (inmóvil)respecto al centro gravitatorio (el Sol en este caso) y eltiempo propio que es el medido por un observadorligado al móvil (en este caso la Tierra). Se obtiene porla (2) que

en donde el valor primero de (12) es exacto y elsegundo muy aproximado, La (12) expresa que losátomos en el Sol vibran más lentamente el Sol que enla Tierra, o lo que es lo mismo, hay un corrimientohacia el rojo en la luz procedente del Sol.

Ahora vamos a averiguar si existe una superficiecuyo ds sea el primer sumando de (5). De la forma de(5) se sigue que si el problema tiene solución, talsuperficie ha de ser de revolución. Tomamos como ejeOZ el eje de revolución y las otras dos coordenadasson la polares planas r, ; tales que

La ecuación de la superficie de revolución es

y su ds es

que identificado con el primer paréntesis de (5) da:

que integrada de la ecuación de la superficie se tieneque

que en coordenadas cartesianas se escribe

que es la ecuación de la superficie de revoluciónengendrada por la rotación de una parábola (19) quegire alrededor de un eje perpendicular a OX

a la que proponemos llamar toro parabólico o parasimplificar paratoroide.

Las coordenadas del vértice de la parábola (19) sonz 0, x 2 ; la (19) se escribe también

y de ésta se sigue que como la distancia entre el vérticede la parábola y la intersección del eje de la parábolacon su directriz es igual a la cuarta parte del coefi-ciente 8 de x, que es igual a 2 , y que por tanto ladirectriz de la parábola es OZ. En consecuencia elparatoroide es generado por una parábola que giraalrededor de su directriz.

La circunferencia de garganta de la misma tiene porecuación la que resulta de hacer z 0 en (18) es la deecuación

cuyo radio es 2 . Entonces se tiene que el movimientode un punto material de masa m sobre el paratoroide(18) bajo la acción de una fuerza que derive delpotencial (21) proyectado sobre el plano horizontal(z 0) reproduce el movimiento de un planeta de masam alrededor del Sol en la Teoría de la RelatividadGeneral, lo que permite construir un mecanismo quereproduzca este movimiento

La esfera de radio 2 y centro en O es el agujeronegro del Sol, el planeta no puede penetrar en él,porque en el movimiento del punto material sobre elparatoroide anterior, su proyección sobre el planoXOY no puede penetrar en la circunferencia (20).

Más adelante fórmulas (27) y (28) vuelvo sobreeste tema y defino un modelo cuatridimensional repre-

2 2 20; 4z x y

2 22 16z x

22 8

zx

cos ;x r y rsen


(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(19 bis)

(20)

(21)

sentativo del sistema solar, apto para describir losmovimientos de todos los planetas alrededor del Sol.

Si pasamos del sistema solar al Cosmos, la Relati-vidad general ha elaborado varios modelos de espaciospara resolver los problemas cosmológicos, del que elmás sencillo es el universo esférico de Einstein, cuyoelemento lineal es

en el que r, , son las coordenadas esféricas de unpunto en el espacio euclídeo de tres dimensiones.Cuando R tiende a infinito, (22) tiende al elementolineal de la Relatividad restringida.

Vamos a ver si en el espacio euclídeo de cuatrodimensiones existe una hipersuperficie cuyo ds seaigual al primer sumando de (22). Dada la forma de (22)se sigue que si existe solución, esta ha de ser una hiper-superficie de revolución. Si x1, x2, x3, x4 son las coor-denadas cartesianas de un punto y r, , , x4 las coor-denadas hipercilíndricas, la ecuación de la hipersuper-ficie buscada es:

cuyo ds es

que ha de ser igual a la suma encerrada entre paréntesisen la (22) y por tanto

que es una hiperesfera de radio R en el espacioeuclídeo de cuatro dimensiones.

Las geodésicas son por tanto circunferencias. Poraquella época apareció el Universo de De Sitter que

resulta del de Einstein efectuando en el cuartosumando el cambio:

A estos últimos se les da el nombre de universosestáticos porque su elemento lineal no cambia con eltiempo.

Los cosmólogos comenzando con Lemaitre (unsacerdote católico belga) y Friedmann (un ingenierocomunista ruso) han elaborado modelos de espaciosmucho más complicados (los universos dinámicos) enlos que el elemento lineal varía en el tiempo, son uni-versos en expansión. Debido a su expansión lasgalaxias se alejan de nosotros a velocidades propor-cionales a sus distancias, y ésta es la explicación delcorrimiento hacia el rojo de los rayos espectrales de laluz procedente de las mismas que nosotros percibimos.Este fenómeno se conoce con el nombre de la fuga delas galaxias. La ley de Hubble que expresa la veloci-dad de alejamiento de las galaxias en función de sudistancia es hoy unos de los métodos más potentespara medir las grandes distancias astronómicas.

La Teoría de la Relatividad ha afectado profunda-mente a las hipótesis cosmogónicas. La teoría del bigbang (gran explosión) es una de las posibilidades ofre-cidas por los cosmólogos relativistas para explicar elorigen del Universo, según la cual la explosióncomenzó estando toda la materia concentrada en unvolumen muy pequeño y a una temperatura muy alta.En los tres primeros minutos hay una enorme expan-sión y un gran enfriamiento, aun cuando la tempera-tura sigue siendo aún muy alta; en ella se aniquilanquarks y antiquarks; electrones y positrones, y seforman los protones y neutrones. De los tres primerosminutos a los 300000 años se forma el helio y despuéscomienzan a formarse las Galaxias, las estrellas y elsistema solar. Ahora estaríamos a 15000 millones deaños del big bang y la temperatura actual del Universose admite que es de unos tres K.

La idea primera fue de Lemaitre (del átomo primi-tivo) desarrollada por Gamow en los años cuarenta,según sus cálculos existiría un ecofósil del big bang,una radiación uniforme e isótropa a la temperatura detres K. Esta radiación fue detectada por Penzias yWilson en los años sesenta y Dicke y sus colabo-


(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

radores relanzaron entonces la teoría del big bang,como consecuencia de este descubrimiento. Ahora elsatélite Coba de la Nasa ha logrado detectar las fluc-tuaciones de esta radiación de microondas de fondo, loque también está a favor del big bang.

Una teoría alternativa del big bang muy de moda enlos años cincuenta es el modelo estacionario de Bondi,Gold y Hoyle según la cual, los espacios vacíoscreados por la fuga de las galaxias debido al efectoHubble se llenan con nuevas galaxias, que se van for-mando por creación continua de materia.

Existen otros modelos cosmológicos que han sus-citado controversia, sobre las posibles variaciones, a lolargo de la evolución del Universo, de las constantesfísicas. Entre éstas, figuran las de Milne (Cosmologíacinemática), Dirac, Jordan y algo más modernamenteDicke.

En una serie de trabajos publicados en la revistaEuclides de 1950 a 1953, combinando los resultadosde la Mecánica cuántica (relaciones de incertidumbrede Heisenberg) y de la teoría de la Relatividad (exis-tencia de un límite superior para las velocidades, de unUniverso finito, de un tiempo de expansión para elmismo finito) desarrollé una teoría de cuantificaciónpara las variables físicas (existencia de cuantos detiempo, en mecánica ondulatoria, la no observabilidadde la posición del fotón en Mecánica ondulatoria, etc)y una serie de cálculos como los del número cósmicoN (número total de protones y electrones del Universo)que resultaba dinámico en vez de estático, de la masatotal del Universo, del límite superior de la relaciónmasa-radio de los cuerpos materiales, de la densidaddel universo en función del radio.

A partir de estas teorías en que se funden en parteRelatividad y Mecánica cuántica, desarrollé una teoríade la estructura cosmológica del Universo enexpansión, aplicaciones a la explicación de la fuga delas galaxias, y de la variación de la energía de ioni-zación de los rayos cósmicos en función del tiempo.Completaba estas investigaciones en esta revistaEuclides, con una solución dinámica del problema delcuerpo único, en la teoría de la Relatividad, cuando lamasa es variable con el tiempo, la cual permiteenunciar una hipótesis sobre el origen de los rayos cós-micos, y en otra dirección más clásica unas investiga-ciones sobre la forma y rotación de las galaxias.

Se puede obtener así un modelo cuántico-relativistade Universo, que es realmente una teoría de un Uni-verso autógeno en expansión, en el que hay perma-nente creación de materia.

Este modelo cosmológico que propongo, queaunque no es estacionario, es autógeno, porque haycreación continua de materia, la masa crece con elcuadrado del radio del Universo R, y la densidad esinversamente proporcional a R, se sigue entonces que apartir de un cierto valor de R la presión p de laradiación de hace negativa, por tanto existe también unfin para el Universo, una muerte obscura.

De lo dicho desde el párrafo de la fórmula (13)hasta el que contiene a la (21) se sigue que la super-ficie S3 de (18) es un modelo del movimiento de unplaneta alrededor del Sol, según lo ya dicho en los pá-rrafos que contienen a (20) y (21).

Hacemos coincidir el Sol con el origen O de unsistema cartesiano de coordenadas de un espacioeuclídeo de tres dimensiones E3, y que A1 es el planoque contiene al Sol y al movimiento de un planeta P1alrededor del Sol, que también contiene a éste, A1 es elplano XOY y OZ es la perpendicular a este plano por O,entonces la superficie S3 (18) asociada a O (el Sol)contiene al conjunto de parábolas (19) situadas enplanos perpendiculares al plano XOY, que contienen aleje OZ, que es el eje alrededor del cual giran cada unade dichas parábolas para engendrar S3. Estos planoscortan a la circunferencia (20) de centro O y radio 2en puntos diametralmente opuestos.

Estamos ahora en condiciones de obtener en unespacio euclídeo E4 de cuatro dimensiones, que con-tiene a E3 que es un hiperplano del mismo E4, unmodelo del sistema solar que explique los movi-mientos de todos los planetas alrededor del Sol, comoantes hicimos con P1.

Llamemos x1, x2, x3, x4 a las coordenadas de unpunto de E4, de las cuales x1, x2, x3 son iguales a lasanteriores x, y, z de E3. Llamamos S4 a la hipersuper-ficie de revolución de E4 de ecuación:


(27)

Los ejes de coordenadas en S4 los llamamos OX1,OX2, OX3, OX4, siendo los tres primeros situados enE3, los que antes llamamos OX, OY, OZ; el OX4 es per-pendicular a E3 hiperplano de E4, es perpendicular aOX OX1, OY OX2, OZ OX3

S4 es una hipersuperficie de revolución de E4 queresulta de hacer girar alrededor de OX4 la superficie S3situada en E3 que es el hiperplano de ecuación X4 0,perpendicular al eje OX4.

La circunferencia de garganta de S3, de ecuación(20) está contenida en la esfera de garganta de S4 (27)cuya ecuación es

son sus circunferencias máximas.

Así como la ecuación (18) tiene la misma forma, esinvariante cualesquiera que sean los ejes OX y OY contal de que sean perpendiculares entre sí y también losean a OZ; también la ecuación (27) es invariante siOX1, OX2, OX3 se cambian por cualquier otra terna deejes perpendiculares entre sí dos a dos y perpendicu-lares también a OX4.

Obsérvese que el conocimiento de determina lasuperficie S3, la hipersuperficie S4 y la circunferencia(20) y la esfera (28).

Los planos de las trayectorias de los distintosplanetas P1, P2,.... del sistema solar están cada uno deellos asociados a una superficie S13... (18), cada una delas cuales tiene una circunferencia de garganta (18), lascuales están contenidas en la esfera (28), y todas lasS13, S23,... están contenidas en la hipersuperficie S4, aligual que E3 está contenido en E4.

Por tanto O (el Sol) está contenido en E3 y E4; OX1,OX2, OX3 (que son OX, OY, OZ) están contenidas en E3y son perpendiculares dos a dos, siendo OX3 perpendi-cular al plano de la trayectoria de cada uno de losplanetas P1, P2,... alrededor del Sol, mientras que losOX1, OX2,... de cada planeta son dos rectas cua-lesquiera del plano de su trayectoria perpendicularesentre sí. La recta OX4 pertenece a E4, y es la recta per-pendicular en O a E3, que es un hiperplano de E4.

Cada plano diametral de la esfera (27) de E3 corta aesta esfera según una circunferencia máxima de centro

O y radio 2 que es la (20), entre estos planos están losde las trayectorias de los planetas P1, P2,...; y estas cir-cunferencias son las de garganta de las superficies S13,S23,... asociadas a los planetas. Todas estas superficiespertenecen a la hipersuperficie de revolución S4 (27).Todas las S3 se expresan por una ecuación (18) igual, sise escogen convenientemente los ejes OX, OY, OZ(OX1, OX2, OX3), porque esta ecuación es invariante;siempre que sean ternas de rectas perpendicularesentre sí dos a dos; siendo siempre OZ perpendicular alplano de la trayectoria del planeta. El eje OX4 estásiempre contenido en E4 y es perpendicular a E3, portanto no pertenece a E3.

Si en la (27) hacemos una de las X1, X2, X3 igual acero obtenemos la (18) y si hacemos dos de ellasiguales a cero obtenemos la (19).

Así como a partir de la (18) obtuvimos una repre-sentación en el espacio euclídeo de tres dimensionesdel movimiento plano de un planeta alrededor del Sol,a partir de la (27) obtenemos una representación de losmovimientos de todos los planetas alrededor del Sol,los cuales por ser distintos los planos de sus movi-mientos tienen lugar en un espacio euclídeo de tresdimensiones.

Lo que hacemos es lo siguiente; tomamos el Solcomo el origen O de un sistema de coordenadas rectan-gulares OX, OY, OZ; y una esfera de centro O yradio 2 la (28), sea el plano diametral paralelo alplano de la trayectoria de un planeta P alrededor delSol, el cual corta a según una circunferencia a laque está asociada un paratoroide S3 de ecuación (18),pues bien el movimiento de P alrededor del Sol es laproyección sobre del movimiento de un puntomaterial de masa la de P que se mueve sobre S bajo laacción de una fuerza que deriva de un potencialparamétrico (21). Todos los S3 (18) de todos losplanetas están sobre el S4 (27).

A este mismo resultado se puede llegar de la si-guiente manera: vamos a averiguar si existe posi-bilidad de encontrar en un espacio euclídeo de cuatrodimensiones E4 una hipersuperficie del mismo, tal quesu ds sea el sumando entre paréntesis de (2). De laforma de dicho ds (2) se sigue que si el problema tienesolución, la tal hipersuperficie ha de ser de revolución.Tomemos como eje OX4 el eje de revolución, y unsistema de coordenadas hipercilíndricas en E4 que sea

2 2 2 21 2 3 4x x x


(28)

donde r, , son las coordenadas esféricas de unespacio euclídeo de tres dimensiones E3 perpendiculara OX4 (E3 contenido en E4). Por ser la hipersuperficiede revolución alrededor de OX4, su ecuación ha de serde la forma

y su ds es por tanto

que identificado con el paréntesis de (2) da:

que integrada da

que coincide con la (27), porque

Aunque ya no tiene interés para las aplicacionesastronómicas, sí la tiene para la geometría. Cualquieraque sea el número de dimensiones del espacio euclídeoexiste una hipersuperficie como la anterior (33), lacual contiene a todas las hipersuperficies de la mismaforma correspondiente a un espacio euclídeo de menornúmero de dimensiones. Esta propiedad la tienetambién la hiperesfera. Incluido el plano en el que sondos parábolas simétricas respecto a una recta que nolas corta. Haciendo girar una de de estas parábolasrespecto al eje de simetría se obtiene la ecuación de laparábola (19), la superficie S3 y las hipersuperficiesS4,..., Sn, Sn+1, se pueden escribir sus ecuaciones en laforma

Haciendo en (35)

y haciendo en (35)

se obtiene para S3 su circunferencia de garganta (20),para S4 una esfera de garganta (28) y así sucesivamentepara Sn+1 la ecuación de su hipersuperficie de garganta

El radio vector r que va de O a los puntos de lasanteriores (20), (28), (38) es el r anterior.

Haciendo girar alrededor de OXn+1 (recta delespacio euclídeo En+1, perpendicular al En) la hipersu-perficie Sn, se obtiene la Sn+1.

Si en la ecuación de Sn+1 hacemos igual a cero una,dos tres, o n 1 coordenadas de las n coordenadas x1,x2,..., xn se obtienen Sn,..., S4, S3, S2 antes definidas. LaS2 es la formada por dos parábolas (20) simétricas, queson las intersecciones de S3 con cualquier plano quecontenga a OX3.

Los diámetros, planos o hiperplanos diametrales delas (38), cortan a estas en el caso de n 1 en circunfe-rencias, esferas o hiperesferas que son las que deter-minan S3, S4,..., Sn; todas están contenidas en Sn+1.

Cuando hablamos de esferas o hiperesfera, nosreferimos a sus superficies o hipersuperficies, es decira sus fronteras o envolturas, no a sus volúmenes inte-riores; ya que solamente para dos dimensiones existendos palabras para distinguir interior y frontera que soncírculo y circunferencia.

La última coordenada xn+1 es muy distinta de las nprimeras en cuanto al papel que juegan en la ecuación(36) de Sn, por lo que la hemos designado también porotra letra z para evitar confusiones. Los ejes OX1,...,OXn se pueden sustituir por otros n ejes ,..., con tal de que estos sean perpendiculares entre sí dos ados y perpendiculares a OXn+1 OZ. Los n primerosestán en un espacio euclídeo En de n dimensiones y elotro es la perpendicular en En+1 (espacio euclídeo den 1 dimensiones que contiene a En) a todas las rectasde En.

Incluso en el espacio de Hilbert existe una hipersu-perficie de esta forma.

2 2 2 21 2 1... 4 ; 0n nx x x x

2 ; 0 ;r z

2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2 1

; ; ;

; ; ... ;n n

r x z x r x x z x

r x x x z x r x x x z x

22 8

zr

2 2 2 21 2 3x x x r

24

11 21x

r

1 2

3 4 4

cos ; ;cos ;

x rsen x rsen senx r x x


(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

1OX nOX

S

La S2 parece apartarse de la forma general de lasrestantes S de subíndice superior a 2, pero no es asícomo vamos a ver. S2 está formado por un par deparábolas simétricas respecto a una directriz común,de ecuaciones que resultan de considerar en (19) que lax tenga signo más o menos:

Para incluir S2 en la teoría general de las Sn (n 2)hay que recurrir a una teoría que he desarrollado paraconstruir una teoría unificada de los sistemas de cir-cunferencias, esferas e hiperesferas ortogonales dos ados sobre un espacio euclídeo de n dimensiones osobre una hiperesfera de n dimensiones. He demos-trado que un par de puntos pueden ser consideradoscomo una “circunferencia” o una “esfera” de unadimensión, lo que permite construir la teoría unificadaante citada.

Volviendo a S2, si se conoce su centro O y la dis-tancia 2 de O a A y B, tales que O, A y B están sobreuna misma recta OX. El radio de esta “circunferencia”de una dimensión, es 2 y el centro O. Entonces S3 seobtiene haciendo girar una cualquiera de las dosparábolas (39) alrededor de OZ perpendicular a OX.Todo plano que contiene a OZ corta a S3 según una S2(todas iguales), que al girar alrededor de OZ,reproduce S3.

Siguiendo por este camino, a partir de S3 se obtieneS4, que es la hipersuperficie que en un espacio euclídeode cuatro dimensiones E4, se obtiene haciendo girar S3alrededor de OZ, recta de E4 perpendicular a E3 hiper-plano de E4, E3 es un espacio euclídeo de tres dimen-siones que contiene a S3. En esta revolución la circun-ferencia de garganta (28) de E3 se transforma en laesfera de garganta (34) de S4. Todo plano diametral de(34), el cual pasa por O que es su centro, corta a estesegún una circunferencia de la misma forma que (28),lo que demuestra que las infinitas S3 determinadas porestas infinitas circunferencias de garganta, son todasiguales y están contenidas en S4, la cual está deter-minada por la rotación de cualquiera de estas S3alrededor de OZ.

Lo anterior implica un principio de inducción com-pleto en Geometría, que permite ir generandocualquier Sn a partir de

Cualquier diámetro de la esfera (34) corta a esta endos puntos A y B, como los que hemos visto anterior-mente, que al girar alrededor de OZ generan una cir-cunferencia máxima de (34) y un S3, debido al giro deS2 que determinan las parábolas (39) como hemosvisto anteriormente.

Solamente tienen interés astronómico S3 y S4, quepor lo visto anteriormente ofrecen un movimiento deun planeta alrededor del Sol mediante el S3 al quepertenece y determina, también de los movimientos detodos los planetas del sistema solar en S4 al quepertenecen y determinan, de modo que a cada planetacorresponde un S3 distinto y todos ellos están sobre unS4 que corresponde al sistema solar.

En resumen el movimiento de un planeta alrededordel Sol se puede representar por la proyección sobre elplano en el que se mueve el planeta, del movimiento deun punto sobre el S3, asociado al planeta, originado porel potencial paramétrico descrito anteriormente. Lomismo sucede con cada estrella que tenga planetas.

Así como la Tierra no es un geoide de superficielisa, sino lleno de “arrugas” en forma de altibajos,asimismo el Universo esférico en expansión descritopor la Relatividad no es liso sino que cada estrellaconstituye una “arruga” sobre una hipersuperficieoriginada por el S4 asociada a la misma.

La aplicación de la Relatividad general a laAstronomía, ecuación (2) a (5) fueron obtenidas en losaños veinte del siglo XX, pero aquí he seguido otrocamino, que es original mío, basado en las superficiese hipersuperficies que he denominado S, ecuaciones(14) a (21) y (27) hasta el final, y en el empleo de unateoría de los potenciales paramétricos, como los hellamado, que surgen cuando existen coordenadascíclicas, como en este caso son el ángulo y el tiempot. El tiempo propio es la variable independiente.

Tsiolkovsky, un ruso, en el año 1912 escribió“observar a Marte desde una distancia de variasdecenas de verstars, aterrizar satélites, e incluso en lasuperficie de Marte ¡qué podría ser más fantástico! Sinembargo sólo con el advenimiento de vehículos areacción sería posible iniciar una nueva era en laAstronomía”. Lo que realmente era una profecía, en1917 Oberth, un alemán construyó el primer cohete a

2 28 16x


(39)

1nS

reacción. Hoy a estos dos sabios se les considera losprecursores de la astronáutica, que han conseguidoexplorar el espacio y en consecuencia conseguir uncaudal de conocimiento fabuloso sobre el universo.

En los años treinta, antes de Hitler y con él, bajo lasupervisión del ejército alemán, Von Braun, dirigiendoun grupo de investigación y en los años cincuenta, enPeenemunde consiguieron la producción de las armasV-1 y sobre todo V-2 que se utilizaron en los bom-bardeos de Londres casi al final de la guerra, eran losprimeros misiles a reacción. De manera independientey por el mismo tiempo Heinkel y Messerschmidt fabri-caron los primeros aviones a reacción (reactores)algunos ya supersónicos.

Después de la guerra Von Braun fue a los EstadoUnidos donde trabajo primeramente en nuevos misilesque mejoraron las armas V-2. Pero el sueño de VonBraun era lograr la exploración espacial enviando loscohetes a reacción a otros planetas.

Simultáneamente en Rusia, Korolev, ejerció elmismo papel que Von Braun en los Estados Unidos yconsiguió adelantarse a los americanos, lanzando elSpútnik el primer satélite artificial de la Tierra en1957., y poco después el primer misil intercontinental.Pero después los americanos lanzaron su primersatélite artificial de la Tierra, el Explorer 1 que des-cubrió el cinturón de radiación que rodea la Tierra, quese llama de Van Allen.

Posteriormente y hasta nuestros días, tanto losEstados Unidos como Rusia han continuado intensa-mente en enviar muchas sondas espaciales y satélites ala Luna y a varios planetas Marte, Venus, Júpiter,Saturno, etc. El caudal de conocimientos astronómicosnuevos es enorme. Se ha cumplido la profecía que ensu día hizo Tsiolkovsky.

En nuestros días, España en colaboración conFinlandia y Rusia está realizando un importante pro-yecto de investigación de Marte, en el que se hanalcanzado nuevos e importantes descubrimientos y secontinua muy activamente en esta dirección. Eldirector científico del equipo español de este proyectosobre Marte es el Profesor Luis Vázquez, que perte-nece a nuestra Real Academia de Ciencias.

Obsérvese que si bien las Matemáticas son de granayuda para el desarrollo de la Astronomía, esta últimaproporciona a la primera nuevos temas y nuevosobjetos matemáticos para ser investigados por laprimera como por ejemplo lo son desde tres a n dimen-siones la superficie e hipersuperficies que he denomi-nado S, es decir los paratoroides.

Por otra parte, hay que tener siempre presente queuna cosa son loas ecuaciones matemáticas y su correc-to y exacto manejo, y otra la interpretación física yfenomenológica. A una teoría física le pueden corres-ponder varias teorías matemáticas equivalentes, y auna teoría matemática se le pueden buscar distintasinterpretaciones físicas, que es lo que hemos pre-tendido poner de manifiesto en esta conferencia, apartedel otro tema central de la misma, que ha sido dar unaexposición actual del sistema solar y de la Cosmo-logía, y de nuestras propias investigaciones fisico-matemáticas e ideas filosóficas sobre Cosmología, y laFísica y Matemáticas de la misma.

Mi consejo al lector es que evite que los árboles nole dejen ver el bosque, pero que evite también que pormirar solo el bosque no se vean los árboles. A conti-nuación incluyo unos notas entresacadas de mispropias investigaciones.

Nota 1ª. El proceso estocástico de la distribución deelectrones en el seno de la materia.

Esta teoría la he desarrollado en mi memoria“Algunos nuevos procesos estocásticos y sus aplica-ciones” en la Revista de la Real Academia de Cienciasen 1959.

Se trata de un proceso estocástico bidimensional, lacreación de un electrón positivo (positrón) es conse-cuencia de la materialización de un fotón en unelectrón positivo y un electrón negativo, y laaniquilación de un electrón positivo es consecuenciade la unión de un electrón positivo y otro negativo paraformar un fotón. Entonces como existe un númeromuy grande de negativos y un número muy pequeñode positivos, en un intervalo infinitesimal de tiempo dt,la probabilidad de que se cree un electrón positivo es

dt (el número de fotones es también muy grande) y laprobabilidad de aniquilación de uno positivo en el


intervalo dt es siendo n y m los númerospositivos creados y aniquilados en el tiempo t.

He obtenido para la función generatriz g(z,w,t) enla que z corresponde a n y w a m, si inicialmenteexisten a positivos, a lo que corresponde

el valor

la cual para w da la función generatriz de elec-trones positivos n-m existentes en el tiempo t que es

El número de electrones positivos n-m es igual a lasuma de una nueva variable aleatoria binomial, cuyafunción generatriz es el factor encerrado entre parén-tesis en (3) y de una variable de Poisson cuya funcióngeneratriz es la exponencial de (3).

Al tender el tiempo a infinito, n-m tiende a unavariable de Poisson, cuya función generatriz es:

independiente del valor original inicial a, es unavariable aleatoria de Poisson. La (4) es estable y es laque rige por tanto...

La Teoría determinista de este problema da el valormedio de la Teoría estocástica, porque si llamamos x elnúmero de electrones positivos (positrones) en eltiempo t, se cumple que

cuya solución para t 0, x a, es

y se cumple que

La representación gráfica de (6) es la Figura 1según que a sea igual a OB, , o OA.

La solución x es de equilibrio estable, porquesi a , la curva tiende, al tender t a infinito, a laparalela por a OT; y si a , la curva tiende a laanterior recta, para t tendiendo a infinito; debido alsigno de por (5).

Los resultados anteriores coinciden con los quecorresponden al movimiento de caída de un puntomaterial (m grande) en un medio que ofrece unaresistencia a la caída proporcional a la velocidad. Esun ejemplo de cómo dos fenómenos físicos tan dis-tintos, obedecen a la misma ecuación matemática.

Nota 2º. El proceso estocástico de la propagación de laradiación en el espacio. La explicación de la paradojade Olbers.

Esta teoría la hemos desarrollado en mi conferenciade 1993 sobre Galileo publicada por “Amigos de laCultura Científica” y digitalizada en el Museohistórico-científico de Florencia.

La interpretación fotónica (corpuscular) de la luzconvierte en estocásticos los fenómenos de incidenciade la radiación y de iluminación. Si la probabilidad deabsorción de un fotón en su recorrido por el universoen un intervalo infinitesimal dr de su recorrido, es pro-porcional a éste, vale: kdr, entonces, por las reglas delas probabilidades totales y compuestas, la proba-

t x

dx xdt


(1)

(2)

1 z

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

dx dt

Figura 1

bilidad F(r) de que haya sido absorbido el fotón a unadistancia menor o igual que r de su fuente de emisiónvale:

y por tanto la probabilidad de que no haya sidoabsorbida es

Si n es el número de fotones emitidos en la unidadde tiempo por una fuente puntual, al número defotones a la distancia r de la fuente es una variablealeatoria (v .a) de Bernoulli de función característica(f. c.):

de valor medio m y varianza 2:

La ley de decrecimiento del flujo luminoso (valormedio de F) por unidad de ángulo sólido (w) perpendi-cular a la dirección del mismo vale por la primera (4):

donde h es la constante de Planck y es la frecuenciadel fotón, (5)se distingue de la ley clásica (sinabsorción de fotones) por la exponencial ,I es la inten-sidad luminosa de la fuente puntual. Como el flujo esestocástico, la varianza del flujo incidente 2 es por lasegunda (4):

porque la energía aportada por cada fotón vale h , k esuna constante muy pequeña, solamente con influenciapara distancias muy grandes. La varianza (6) es muypequeña por serlo h .

Con esta ley no se cumple la paradoja de Olbers,porque la radiación incidente sobre un punto del uni-verso, si e(W) es la densidad constante de radiacióndel universo, es una v. a. de valor medio que por (5)vale

porque

es la radiación presente en el estrato esférico deespesor dr, de dentro en el punto sobre el que incide laradiación.

La varianza vale 2:

en virtud de (6) y por ser v. a. independientes losfotones recibidos procedentes de todas las fuentes deradiación del universo, y por tanto la varianza total esla suma (integral) de todas las varianzas (6).

Por tratarse de la integral de una v. a. infinitesimal,se sigue que la radiación recibida en un punto del uni-verso, procedente del resto del mismo, es una v. a.normal (gaussiana) de valor medio (7) y varianza (9).

La teoría estocástica que hemos desarrollado esmás rica en resultados que la determinista que es la queya era conocida; en esta última la ley de decrecimientode la radiación era inversamente proporcional alcuadrado de la distancia, de aquí la existencia de laparadoja de Olbers. En la teoría estocástica la ley dedecrecimiento es inversamente proporcional al cua-drado de la distancia y también exponencialmente, quees lo que hace que no sea posible la paradoja deOlbers. Además el exponente del decrecimiento de lapropagación de la radiación que hemos llamado k,hace que para distancias muy pequeñas el decreci-miento en las dos teorías determinista y estocástica seaprácticamente el mismo; es solamente para distanciasmuy grandes cuando divergen las dos teorías.

Nota 3ª. La Mecánica Estadística Relativista y las tem-peraturas del big bang, de las explosiones estelares yde la bomba de hidrógeno.

La Mecánica estadística que resulta de aplicar laMecánica clásica es única, es la de Maxwell-Boltzmann. Cuando se aplica la Mecánica cuántica

2;4krnh dF II edw r


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

hay dos Mecánicas estadísticas que son la de Bose-Einstein que se aplica a los bosones y la de Fermi-Dirac que se aplica al los fermiones.

Cuando se emplea la Teoría de la Relatividad, en miopinión hay que hacer en las anteriores una correcciónpara temperaturas muy altas que he hecho en ante-riores trabajos; resulta así una nueva Mecánicaestadística que he propuesto llamar Mecánicaestadística relativista.

Mientras que en las Mecánicas no relativistas, lamasa de las partículas es constante y el momento (can-tidad de movimiento) es proporcional a la velocidad,se usan dos distribuciones de probabilidad, una para laenergía y otra para la velocidad, por el contrario en laMecánica estadística relativista hay que usar cuatrodistribuciones para la velocidad, el momento, laenergía cinética y para la masa. He obtenido estas fun-ciones siguiendo dos métodos, uno basado en que losespacios relativistas de las variables y de losmomentos no son euclídeos (he determinado sumétrica) mientras que sí lo son los no relativistas. Elotro método está basado en las ecuaciones de ladinámica relativista, que da la derivada con relación almomento del valor medio de la masas de un númeroconstante de partículas.

Si no se hiciera la corrección relativista, laestadística clásica para temperaturas de 1013 K, que esa la que tiene lugar la formación de los nucleones en elbig bang, daría para los electrones una velocidadsuperior a la de la luz (c). Incluso a la temperatura delSol la corrección relativista es significativa.

Para pasar al enfoque relativista, en la función dedistribución de la variable:

en la que E es la energía cinética, T la temperaturaabsoluta, y k la constante de Boltzmann, tanto en laestadística clásica como en la cuántica hay que hacer elcambio

siendo

en que m0 es la masa en reposo de la partícula, y c es lavelocidad de la luz en el vacío. Para el electrón, y parael protón o el neutrón, vale respectivamente:

La función de la distribución de Maxwell hay quecorregirla y sustituirla por

en la que A es el coeficiente de normalización de laintegral de (5) que depende del cociente .

La energía media de la partícula es

en la que es una función de . Por tanto laenergía media de una partícula que en la estadísticaclásica es independiente de la masa, en la relativistadepende de ella. Para valores pequeños de T, la (5) esmuy aproximadamente igual a la de Maxwell, que seobtiene haciendo 0.

Las dos integrales de (6) se pueden calcularmediante desarrollo en serie, descomponiéndolas ensuma de dos integrales

y sustituyendo la raíz cuadrada de (5) para la primeraintegral por el desarrollo en serie

y para la segunda integral

que sustituidas en (6) permiten obtener un valor comocociente de dos series de funciones gamma ( ) enterasy semienteras, con tanta mayor aproximación cuanto

10 1310 erg K ; 10 erg K

Ex kT


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

0T m

(6)

(7)

(8)

(9)

mayor sea el número igual de término, que se tomen enel numerador y el denominador de la fracción (6).

Si T es muy pequeña, la segunda integral delsegundo miembro de (7) se puede despreciar y ellímite superior de la primera integral tomando igual son

que es el valor que da la estadística clásica. Si T esmuy grande, la primera integral de (7) se puede des-preciar y hacer igual a cero el límite inferior de lasegunda integral, con lo que (6) toma el valor

en ambos casos el valor medio de E es independientede m0, no así en los casos intermedios.

Para valores de 107 K la corrección relativista essignificativa para el electrón y para 1010 K lo es paranúcleos atómicos ligeros.

La primera temperatura es del orden del interior delSol y de muchas estrellas, e inferior a la que hay en elinterior de una estrella de neutrones o en el centro delinterior de una bomba de hidrógeno. La segunda tem-peratura es del orden de las que hay en las explosionesestelares (supernovas) o en el primer segundo despuésdel big bang. Si T es del orden de 1010 K , o de1013 K, la raíz cuadrada de (5) es del orden de

Para temperaturas del orden de 1020 K o más, sepuede sustituir la raíz cuadrada de (5) por x y tomarpara el valor de E el (11).

A igualdad del número de partículas en dosvolúmenes de gas relativista, aumenta la masa con latemperatura, como consecuencia del aumento de lavelocidad, lo que modifica la ecuación de los gasesperfectos. Tanto en la física clásica como en la rela-tivista la presión P de un gas sobre las paredes delrecipiente que lo contiene es

donde N es el número de Avogadro, V el volumenmolar, p el momento y v la velocidad de una molécula.La diferencia entre una y otra es que en la relativista pvale

y hay que aplicar la (5) para calcular el valor medio, en vez de la ley de Maxwell que es (5) con 0.

Como la energía cinética relativista E vale:

de (14) y (15) se sigue que

y teniendo en cuenta (5) se obtiene una expresión de laforma

de modo que la ecuación relativista de los gases per-fectos es

que para valores pequeños de T y para valores grandesde la primera y segunda (19)

la primera coincide con la de la Física clásica.

Lo últimamente escrito a partir del párrafo que con-tiene la (13) es la modificación relativista de la Teoríacinética de los gases, la cual la he desarrollado envarios trabajos mío (ver Bibliografía).

Nota 4ª. Dos modelos de configuración estable en elproblema de n cuerpos.

En anteriores trabajos he obtenido este posibleresultado de la Mecánica celeste.

20 , ; , 3T PV RT T PV RT

20

20

2E m cp EE m c

20

2

21

m cEvc

02

21

mpvc

3NPV p


(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

pv

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Si n cuerpos de masas muy pequeñas están dis-puestos en los n vértices de un polígono inscrito en unacircunferencia de radio R y centro C, en el que haysituada una masa muy grande M (frente a la que sondespreciables las ante citadas masas del polígono), sise impone a las n masas de los vértices del polígono unmovimiento circular alrededor de C con velocidadangular w, si la fuerza centrífuga de las n masas com-pensa a la fuerza de atracción que la masas M delcentro, la configuración es estable. Se ha de cumplirque

donde f es la constante de la gravitación universal. Elloes debido a la Mecánica clásica de las fuerzas centralesy es un modelo posible, aunque no exista en la natu-raleza del movimiento de un satélite alrededor de unplaneta.

Existe otro modelo de configuración estable en elque no existe una masa central y los n cuerpos tienen lamisma masas y están repartidos sobre los vértices deun polígono regular inscrito en una circunferencia deradio R que describimos a continuación. Una cual-quiera de las n masas (la A por ejemplo) es atraída porlas n 1 masas restantes, de acuerdo con una fuerzagravitatoria igual de modo que la proyección de laresultante de las mismas sobre una perpendicular aldiámetro AC (C centro de la circunferencia) es nulapor razón de simetría, y la perpendicular sobre AC esequivalente a la fuerza gravitatoria que ejercería sobre

la masas en A una masas ficticia M situada en C, que esla misma para todas las masas, con lo que estaríamosen el caso anterior descrito en este párrafo, de modoque si todas estas fuerzas iguales ejercidas por estamasa ficticia M son iguales a la fuerza centrífuga(ecuación (1)), entonces el conjunto de masas giraríaalrededor de la circunferencia de centro C y radio Rcon la velocidad angular (ecuación (1)) w constanteeternamente.

El resultado anterior es el mismo, tanto si elnumero de masas es par (2p) o impar (2p 1). En elcaso de ser par, cada dos masas están situadas en losextremos de un mismo diámetro y son los vértices deun polígono regular. En el caso de ser impar, eldiámetro que pasa por una cualquiera de estas masasdeja en las dos semicircunferencias que determinadeja el número p de masas, simétricas dos a dosrespecto el mismo, siendo también los vértices de unpolígono regular.

Con objeto de aclarar la demostración, incluimoslas dos Figuras 2 y 3. En la 2 si A1 es una cualquiera delas 2p masas iguales, la diametralmente opuesta es laAp+1, en la semicircunferencia superior al diámetro A1Ap+1, hay p-1 más desde A2 hasta Ap, equidistantestodas ellas sobre la circunferencia. En la semicircun-ferencia inferior hay otras p-1 masas que van desdeAp+2 hasta A2p.

Por razón de simetría la resultante de las fuerzas deatracción que sobre A1 ejercen las 2p-1 restantes masas

2 22 3

fmM fMmw R wR R


(1)

Figura 2 Figura 3

está dirigida de A1 hacia C (centro de la circunferen-cia).

En la Figura 3 hay 2p 1 masas equidistantes sobrela circunferencia de las que hay p (desde A2 hasta Ap+1)en la semicircunferencia superior y otras p (desde Ap+2hasta A2p+1) en la inferior. Como en el caso anterior porrazón de simetría la fuerza de atracción sobre la masaen A1 por las 2p masas restantes está dirigida de A1hacia C (centro de la circunferencia)

Nota 5ª. Sobre el cambio de las unidades fundamen-tales.

La Conferencia General de Pesos y Medidas adoptóúltimamente una nueva definición de la unidad de lon-gitud. En 1979 en una conferencia en la real Academiade Ciencias titulada “El Espacio y el tiempo en lateoría de la relatividad y los principios de mínimo”,publicada por dicha Corporación en el curso conme-morativo del centenario de Einstein (páginas 111 a1333) expuse, entre otras cosas, una revisión de losfundamentos de la relatividad restringida relacionadacon la sustitución de las antiguas unidades de longitudy tiempo vigentes en 1905 con las nuevas y proponíaintroducir como unidad fundamental la velocidad,basada en la velocidad de la luz en el vacío, y con-servar como fundamental la unidad de tiempo, basadaen la definición actual o en la constante de semidesin-tegración de alguna sustancia radiactiva, y que launidad de longitud pasase a ser derivada en vez de fun-damental (véase concretamente las páginas 121 y 122de mi anterior publicación). En mi libro Introducción ala Investigación en Física y Matemáticas, editada porEmpeño 14 en 1981, insistía sobre lo mismo (páginas31 y 32 en especial).

La adopción de la última unidad de longitud está enla línea de lo que había propuesto con anterioridad,porque al basar la unidad de longitud por el recorridode un rayo de luz en el vacío, lo que realmente se hahecho es tomar como unidades fundamentales lavelocidad y el tiempo, y la unidad de longitud comoderivada, aunque no se haya hecho de una maneraexplícita.

En 1944 en una conferencia sobre el Sistema Solar,incluida en un ciclo de conferencias publicadas por

Amigos de la Cultura Científica, propuse tomar comounidad fundamental de tiempo la constante de semi-desintegración de una sustancia radiactiva, porque elintervalo de tiempo entre dos desintegraciones conse-cutivas de dos átomos, es un fenómeno absoluto inde-pendiente del movimiento o no del cuerpo radiactivo ytambién del campo gravitatorio, mientras que la fre-cuencia de la luz (en la que se basa la actual definiciónde tiempo) es un fenómeno físico relativo. Es decir,que el tiempo de semidesintegración de una mismafracción de masas del mismo cuerpo radiactivo es elmismo, cualquiera que sea esta masa, y es indepen-diente de si estado de movimiento o de reposo respectoal observador que lo mide, y de si esta masa está locali-zada en uno u otro sitio. Lo que sucede es que estostiempos iguales se expresan por distintitos números(con la actual definición de segundo) porque es elactual segundo el que es relativo en los dos casos(movimiento o reposo, estar en el Sol o en la Tierra),de modo que si un segundo A es mayor que otrosegundo B, el número de segundos A transcurridos enla semidesintegración radiactiva de cualquier masa esmenor que el número de segundos B.

Si bien el tiempo que transcurre entre dos desinte-graciones consecutivas de dos átomos radiactivos esuna variable aleatoria, su valor medio cuando elnúmero de átomos tiende a infinito, converge en pro-babilidad a un valor cierto, y por tanto el tiempoinvertido en la semidesintegración radiactiva es unavariable casi cierta.

Nota 6ª. Los fractales en Astronomía. La fractalizacióndel círculo, la esfera el cilindro, el cono y el toro.¿Existen estrellas fractales y materia fractal en elUniverso?

Creo que pueden existir los fractales en el Uni-verso. Un fractal mecánico lo he definido como unfractal geométrico dotado de masa, es un conjuntoinfinito con la potencia del continuo de partículas demasa mula que ocupan volumen (volumen cero) cuyamasa total es finita, contenido dentro de un volumenfinito del que no pueden escapar. Actúa como unamasa gravitatoria que es atraída y puede atraer a otrasmasas gravitatorias ordinarias.

Es posible que existan también estrellas fractalescomo existen estrellas de neutrones.


En un proceso de fractalización puede haber o noun desplazamiento del centro de gravedad, si lo hayentonces, en virtud de la ley de conservación de la can-tidad de movimiento, el fractal como un todo sedesplaza en sentido contrario al desplazamiento delcentro de gravedad. Esto no sucede en el caso de frac-tales simétricos.

Si un sólido de momento de inercia I gira alrededorde un eje con velocidad angular , tiene un momentocinético S y una energía W que valen:

lo que implica que si en el proceso de fractalización deun sólido aumenta el momento de inercia I1 del fractaléste se frena (disminuye la velocidad ), en virtud dela ley de conservación del momento cinético, porque

y W1 valen:

como consecuencia de (1).Si en el proceso de fractal-ización I1 disminuye, sucede lo contrario.

Recientemente hoy se admite que en el universoexisten dos magnitudes físicas muy extrañas, que sonla energía obscura y la materia obscura, sobre cuyanaturaleza no hay consenso. La energía obscura sesupone que es una fuerza antigravitatoria que acelerala expansión del Universo. La materia obscura es unafuerza que no emite luz o que apenas la emite. Dadaslas propiedades de los fractales de tener masa y noocupar volumen, de atraer y de ser atraídos por otrasmasas ordinarias, asimismo como la de poder emitirenergía por (2), quizás pudiera ser que la materiaobscura fuera polvo fractal espaciado por el Universo,que podía ser atravesado por la materia ordinaria. Entodo caso existan o no fractales en la naturaleza, siexisten en la mente humana, y es posible desarrollarteóricamente una nueva Mecánica fractal, al igual quesucede con la Aritmética fractal y con la Geometríafractal.

He dado en otras conferencias y publicacionesejemplos de fractales en un segmento, un cuadrado, uncubo, un hipercubo e igualmente he dado tambiénejemplos de resolución del problema de la fractalidadpara el cálculo de la esfera, y la hiperesfera. En todosestos casos el problema no es único sino múltiple. Una

vez fractalizado el círculo es posible fractalizar elcilindro y el cono de revolución y también el toro.Algunas transformaciones y operaciones geométricaspueden transmitir la fractalidad de unas figurasgeométricas. Entre ellas están la inversión, laproyección y la sección.

En la mayoría de los casos el proceso de fractali-zación origina un aumento del momento de inercia yen el caso de fractales en rotación, se frena lavelocidad y se emite energía.

El hecho de que los fractales tengan estas dosextrañas propiedades: 1ª infinitas partículas de masacero tienen masa finita; 2ª en un volumen nulo hay unamasa finita no nula; tiene su explicación en que en laFísica como en las Matemáticas hay expresiones inde-terminadas ( .0) que pueden tener un valor finito nonulo. En el primer caso es el número de partículasinfinito y la masa de una partícula cero. En el segundocaso volumen ocupado por la materia cero y densidadinfinito. En ambos casos infinito por cero tiene unvalor finito no nulo.

Nota 7ª. Las ecuaciones de la Mecánica de laspartículas de masa variable. El incumplimiento de laley de inercia.

En mi libro “Mecánica y Cálculo Tensorial” (2ªedición 1965. Edit. Dossat) he desarrollado estas ecua-ciones.

Las ecuaciones de Newton, que expresan que elproducto de la masa por la aceleración es igual a lafuerza, en el caso de ser la masa variable con el tiempono son aplicables y han de ser sustituidas por otras queexpresan que la derivada respecto al tiempo de la masapor la velocidad (momento o cantidad de movimiento)es igual a la fuerza.

Para un punto material de masa m(t) variable con eltiempo, las ecuaciones de Newton no sirven y han deser sustituidas por las

y las análogas en y, z, que son las coordenadas carte-sianas del punto; X, Y, Z son las componentes carte-sianas de la fuerza.

1 1 1 1 1 1;S S I I I I W W

221; 2 2SS I W I W I


1

1

(1)

(2)

(1)

En el caso en que no existe ninguna fuerza, es decirX 0, Y 0, Z 0 la integración es inmediata, es:

y las análogas par y y z.

Si las velocidades iniciales son nulas, la partículapermanece en reposo, pero si no lo son, es decir, A, B,C no son nulas, no s cumple la ley de inercia según lacual el movimiento es rectilíneo y de velocidad cons-tante, porque la integración de (2) da:

luego la velocidad varía con el tiempo. Sin embargo elmovimiento si es rectilíneo, porque de (3) se sigue que

En la Mecánica de las partículas de masa variablehay que cambiar todo el aparato matemático de laMecánica clásica newtoniana

Nota 8ª. La expansión del Universo, el teorema delpunto fijo y la imposibilidad de un Universo plano enexpansión.

En mi libro “Introducción a la Investigación enFísica y Matemáticas” (Edit. Empeño 14 1981) hetratado este tema.

En los años veinte del siglo pasado se observóexperimentalmente que la luz emitida por las galaxiasera más roja que lo que debía de ser, lo cual es debidoal efecto Doppler, que es consecuencia de que lasgalaxias se alejan de nosotros con velocidades propor-cionales a su distancia (ley de Hubble). Al mismotiempo Lemaitre y Friedmann dieron modelosdinámicos del Universo según los cuales éste está enexpansión.

Cuando se habla de expansión del Universo hayque precisar como es la expansión. En el caso delpárrafo anterior el Universo es una hiperesuperficieesférica de tres dimensiones que se expande en unUniverso euclídeo de cuatro dimensiones, de modo

que el radio del Universo crece con el tiempo.

Pero puede haber otra clase de expansión en la queel Universo es plano (euclídeo), es un Universoeuclídeo de tres dimensiones. Mientras que en el casoanterior es un Universo curvo no euclídeo.

Existe en Análisis Matemático un teorema llamadodel punto fijo según el cual en toda contracción delespacio, existe un punto fijo, todos los demás cambiande posición, y también lo habría en el caso de unaexpansión que es una aplicación inversa de la con-tracción.

Es imposible que el Universo sea plano y esté enexpansión porque entonces en cada instante habría unpunto fijo, privilegiado lo que está en contradiccióncon lo admitido en la Cosmología, que es que noexisten en el Universo puntos privilegiados, lo que sesuele llamar el principio “democrático” de los puntosdel Universo.

Por el contrario un espacio curvo (no euclídeo) detres dimensiones inmerso en un espacio euclídeo decuatro dimensiones sí puede estar en expansión en elinterior de este último, porque en este caso el puntofijo estaría fuera del universo curvo, aunque hubieraexpansión.

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