1. Bryan Antonio Cortez Higueros 3ro. Bsico A Matemtica

2. Los nmeros Naturales Los nmeros naturales son los primeros que surgen en las distintascivilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las mselementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los nmeros naturales estn definidas las operaciones adicin ymultiplicacin. Adems, el resultado de sumar o de multiplicar dosnmeros naturales es tambin un nmero natural, por lo que se diceque son operaciones internas. La sustraccin, sin embargo, no es una operacin interna en N, pues ladiferencia de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural(no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso secrea el conjunto Z de los nmeros enteros, en el que se puede restar unnmero de otro, cualesquiera que sean stos. 3. Ejemplo 1 N = {0, 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12,} La adicin de nmeros naturales cumple las propiedadesasociativa, conmutativa y elemento neutro. 4. Ejemplo 2 ASOCIATIVA: Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) 5. Ejemplo 3 CONMUTATIVA: Si a, b son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:a+b=b+a En particular, para los nmeros 7 y 4, se verifica que:7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de laadicin se pueden efectuar largas sumas de nmerosnaturales sin utilizar parntesis y sin tener en cuenta elorden. 6. Ejemplo 4 Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enterosporque, cualquiera que sea el nmero natural a, secumple que:a+0=a 7. Multiplicacin de Nmeros Naturales La multiplicacin de nmeros naturales cumple laspropiedades asociativa, conmutativa, elementoneutro y distributiva del producto respecto de lasuma. 8. Ejemplo 1 ASOCIATIVA: Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:(a b) c = a (b c)Por ejemplo:(3 5) 2 = 15 2 = 303 (5 2) = 3 10 = 30Los resultados coinciden, es decir,(3 5) 2 = 3 (5 2) 9. Ejemplo 2 CONMUTATIVA: Si a, b son nmeros naturales cuales quiera se cumple que:ab=baPor ejemplo:5 8 = 8 5 = 40a1=a 10. Ejemplo 3 ELEMENTO NEUTRO El 1 es el elemento neutro de la multiplicacinporque, cualquiera que sea el nmero natural a, secumple que:a1=a 11. Ejemplo 4 DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA:Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:a (b + c) = a b + a cPor ejemplo:5 (3 + 8) = 5 11 = 555 3 + 5 8 = 15 + 40 = 55Los resultados coinciden, es decir,5 (3 + 8) = 5 3 + 5 8 12. Sustraccin de Nmeros Naturales Igual que la suma la resta es una operacin que se deriva de la operacinde contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas cuantas ovejastenemos?. Una forma de hacerlo sera volver a contar todas las ovejas,pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordarael resultado y no necesitara volver a contar las ovejas. Sabra que 6 - 2 = 4. Los trminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) ysustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). Propiedades de la resta: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a) 13. Divisin de Nmeros Naturales La divisin es la operacin que tenemos que hacer pararepartir un numero de cosas entre un nmero de personas.Los trminos de la divisin se llaman dividendo (el nmero decosas), divisor (el nmero de personas), cociente (el numero quele corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).Si el resto es cero la divisin se llama exacta y en caso contrarioinexacta.Propiedades de la divisinLa divisin no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismoa/b que b/a. 14. Los nmeros enteros Los nmeros enteros son un conjunto de nmeros que incluye alos nmeros naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativosde los nmeros naturales (..., 3, 2, 1) y al cero, 0. Los enterosnegativos, como 1 o 3 (se leen menos uno, menos tres,etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y queel cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, aveces tambin se escribe un signo ms delante de lospositivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al nmerose asume que es positivo. El conjunto de todos los nmeros enteros se representa por laletra = {..., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemnZahlen (nmeros, pronunciado [tsal n]). Los nmeros enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo: 783 y 154 son nmeros enteros 45,23 y 34/95 no son nmeros enteros 15. Conjunto Z Los nmeros enteros son el conjunto de todos losnmeros enteros con signo (positivos y negativos)junto con el 0. Se les representa por la letra Z,tambin escrita en negrita de pizarra como : 16. Suma nmeros enteros Para sumar dos nmeros enteros, se determina el signo yel valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es tambinel signo del resultado, y su valor absoluto es la suma delos valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayorvalor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre elmayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entrelos dos sumandos. 17. Ejemplo 1 Ejemplo. (+21) + (13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (41) + (+19)= 22 , (33) + (28) = 61 La suma de nmeros enteros se comporta de manera similar ala suma de nmeros naturales:La suma de nmeros enteros cumple las siguientes propiedades:Propiedad asociativa. Dados tres nmeros enteros a, b y c, lassumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.Propiedad conmutativa. Dados dos nmeros enteros a y b, lassumas a + b y b + a son iguales.Elemento neutro. Todos los nmeros enteros a quedaninalterados al sumarles 0: a + 0 = a. 18. Ejemplo 2Ejemplo. Propiedad asociativa:[ (13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)(13) + [ (+25) + (+32) ] = (13) + (+57) = (+44) Propiedad conmutativa: (+9) + (17) = 8(17) + (+9) = 8 19. Resta de nmeros enteros La resta de nmeros enteros es muy sencilla, ya queahora es un caso particular de la suma.La resta de dos nmeros enteros (minuendo menossustraendo) se realiza sumando el minuendo ms elsustraendo cambiado de signo. 20. Ejemplo 1 Ejemplo. (+10) (5) = (+10) + (+5) = +15 , (7) (+6) = (7) + (6) = 13 , (4) (8) = (4) + (+8) = +4, (+2) (+9) = (+2) + (9) = 7 21. Multiplicacin de nmeros enteros La multiplicacin de nmeros enteros, al igual que la suma, requiere determinar porseparado el signo y valor absoluto del resultado.En la multiplicacin de dos nmeros enteros se determinan el valor absoluto y el signodel resultado de la siguiente manera:El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.El signo es + si los signos de los factores son iguales, y si son distintos.Para recordar el signo del resultado, tambin se utiliza la regla de los signos: Regla de los signos(+) (+)=(+) Ms por ms igual a ms.(+) ()=() Ms por menos igual a menos.() (+)=() Menos por ms igual a menos.() ()=(+) Menos por menos igual a ms. 22. Ejemplo1 Ejemplo. (+4) (6) = 24 , (+5) (+3) = +15 , (7) (+8) = 56 , (9) (2) = +18. 23. Ejemplo 2 tiene tambinLa multiplicacin de nmeros enterospropiedades similares a la de nmeros naturales:La multiplicacin de nmeros enteros cumple las siguientespropiedades:Propiedad asociativa. Dados tres nmeros enteros a, b y c, losproductos (a b) c y a (b c) son iguales.Propiedad conmutativa. Dados dos nmeros enteros a y b, losproductos a b y b a son iguales.Elemento neutro. Todos los nmeros enteros a quedaninalterados al multiplicarlos por 1: a 1 = a. 24. Ejemplo 3 Ejemplo. Propiedad asociativa:[ (7) (+4) ] (+5) = (28) (+5) = 140(7) [ (+4) (+5) ] = (7) (+20) = 140 Propiedad conmutativa:(6) (+9) = 54(+9) (6) = 54 25. Nmeros racionales En matemtica, se llama nmero racional a todo nmero quepuede representarse como el cociente de dos nmeros enteros(ms precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir,una fraccin comn a/b con numerador a y denominador bdistinto de cero. El trmino racional alude a fraccin o parte deun todo. El conjunto de los nmeros racionales se denota por Q (obien , en) que deriva de cociente (en varios idiomas europeos).Este conjunto de nmeros incluye a los nmeros enteros (), y esun subconjunto de los nmeros reales (). La escritura decimal de un nmero racional es, o bien un nmerodecimal finito, o bien peridico. Esto es cierto no solo paranmeros escritos en base 10 (sistema decimal), tambin lo es enbase binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera.Recprocamente, todo nmero que admite una expansin finita operidica (en cualquier base entera), es un nmero racional. 26. Propiedades Propiedades El conjunto , con las propiedades de adicin ymultiplicacin definidas ms arriba, conforma un cuerpoconmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros . Los racionales son el menor cuerpo con caractersticanula. La clausura algebraica de , es el conjunto de los nmerosalgebraicos. El conjunto de los nmeros racionales es numerable, esdecir que existe una biyeccin entre y (tienen la mismacantidad de elementos). El conjunto de los nmero realesno es numerable (la parte no-denombrable de los reales, laconstituyen los nmeros irracionales). 27. Nmero racional en otras bases En un sistema de numeracin posicional de base racional,las fracciones irreducibles cuyo denominador contienefactores primos distintos de aquellos que factorizan labase, no tienen representacin finita. Ejemplos: En base 10, un racional tendr un desarrollo finito si yslo si el denominador de su fraccin irreducible es de laforma 2n5p (n y p enteros). En base duodecimal es infinita y recurrente larepresentacin de todas aquellas fracciones cuyodenominador contiene factores primos distintos de 2 y 3. 28. Exponente Racional Para cualquier nmero real no negativo a y cualquiernmero natural ndice n ( n 1),significa .n 1na a Para cualquier nmero natural m y n ( n 1), ycualquier nmero real no negativo a,m m nn a significana m o a 29. Exponente Racional Escriba sin los exponentes racionales, simplifique siposible: 1. 12x x2.1333. 27 27 3 155abcabc 30. Exponente Racional Escriba con exponentes racionales: 5 7 xy154. 7 xy135. 8 xy3 8 xy6. 3 317 7 x yx y99 31. Exponente Racional Escriba sin los exponentes racionales y simplifique siposible:7.23 32 8. 43 2 2 34 27272 32 3 27 4 233 9 2 8 32. Exponente Racional Escriba con exponentes racionales:3 4439.9910.5544 7 xy 7 xy 33. Exponente Racional Negativo Para cualquier nmero racional m/n y cualquiernmero real positivo,mn1asignificamnamn mnesto es, a y ason reciprocos. 34. Exponente Racional Negativo Escriba con exponentes positivos y simplifique.11.12 111 12. 991 2 9 313.45 15xy45 5xy 231 11 1642642 33 64 42 16 35. Exponente Racional Negativo Ejemplos 1 4y1523 151514. 4 xy 4 23 y 23 xx15.52 52 3r 7s 7s 3r 36. Leyes de ExponentesPara Cualquier nmero real a y cualquier exponente racional m y n: mnm nEn multiplicacin, podemos sumar los1. aa a exponentes si las bases son las mismas. m am n En divisin, podemos restar los2. na exponentes si las bases son las mismas. am nmn Para elevar una potencia a una potencia,3.aapodemos multiplicar los exponentes.mmm Para elevar un producto a una potencia,4.ab a bpodemos elevar cada factor a la potencia.nn a aPara elevar un cociente a una potencia,5. npodemos elevar tanto el numerador como b bel denominador a la potencia. 37. Leyes de Exponentes Use las leyes de exponentes para simplificar:16.315 35 315 35 3 45 317. 14 714 12 14 2414 112777 1418.7 73423 2 33 46 12 1219. 7.27.27.27.21513 2512 1 31 2 2 51 216 15bab aba b16 a 38. Simplificar Expresiones con Radicales1. Convierta expresiones radicales a expresiones exponenciales. 2. Use aritmtica y las leyes de los exponentes para simplificar.3. Convierta de nuevo a notacin radical cuando sea apropiado.Importante: Este procedimiento trabaja solamentecuando todas las expresiones dentro del radicalson no negativas, debido a que exponentesracionales no son definido de otra manera. Nose necesitara signos de valor absoluto. 39. Simplificar Expresiones con Radicales Use exponentes racionales para simplificar:20. 6x 3x 36 Convirtiendo a una expresin exponencial12x Simplificando el exponentex Convirtiendo de nuevo a notacin radical21.Convirtiendo a una expresin exponencial64 41 61622Nombrando a 4 como 2222 6 Usando (am)n = amn , multiplicando los exponentes21 3Simplificando el exponente3 Convirtiendo de nuevo a notacin radical2 40. Simplificar Expresiones con Radicales22. Use exponentes racionales para simplificar: 8 2 2 ab 18 82 4 2 4Convirtiendo a notacin exponencialabab21 8 41 8abUsando (ab)n = anbn14 12a b Simplificando los exponentes14 24 Escribiendo con un denominador de 4a b 14 2ab Usando anbn = (ab)n42abConvirtiendo a notacin radical 41. Simplificar Expresiones con Radicales23. Use exponentes racionales para escribir una sola35 2expresin radical para:Convirtiendo a notacin exponencial3131252 5 2 Buscando un comn denominador a los exponentes 2636 5 216Usando anbn = (ab)n 2 3 5 2 16 25 8 Multiplicando dentro de parntesis 2001 6 6 200Convirtiendo a notacin radical 42. Simplificar Expresiones con Radicales 24. Escriba una sola expresin radical para 1 2 12 56 a b c12 12 5636 3 6 5 6 Buscando un comn a bc a bcdenominador a losexponentes 16 3 3 5ab cUsando anbn = (ab)n63 3 5ab cConvirtiendo a notacin radical 43. Simplificar Expresiones con Radicales25. Use exponentes racionales para simplificar: 3 3665x5x 12 5x5x 44. Simplificar Expresiones con Radicales26. Use exponentes racionales para simplificar: 5 2020 5 t t4t 45. Simplificar Expresiones con Radicales27. Use notacin de exponentes para simplificar: 12 12 33 2 2pq cpq c4 2pq c4 8 4 pqc 46. Simplificar Expresiones con Radicales 28. Use notacin exponencial para simplificar:3 13x x 12 13x16x6x 47. Simbologa matemtica 48. Negacin LA NEGACION ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE TRANSFORMA UN ENUNCIADO EN SU OPUESTO LOGICO Y SE LE LLAMA CONECTIVA SINGULAR PORQUE SE APLICA SOBRE UN SOLO ENUNCIADO 49. conjuncin LA CONJUNCION ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE ENLAZA DOS ENUNCIADOS DANDO COMO RESULTADO UNA FORMULA QUE SER VERDADERA SOLAMENTE CUANDO SUS ENUNCIADOS COMPONENTES SON VERDADEROS 50. disyuncinLA DIYUNCION ES UNACONECTIVA LOGICA QUEENLAZA DOS ENUNCIADOSDANDO COMO RESULTADOUNA FORMULA QUE SERVERDADERA SOLAMENTECUANDO AL MENOS UNO DESUS ENUNCIADOSCOMPONENTES ESVERDADEROS, SIENDO FALSACUANDO AMBOS SON FALSOS 51. Si, entoncesLA CONDICIONAL ES UNACONECTIVA LOGICA QUE ENLAZADOS ENUNCIADOS DANDO COMORESULTADO UNA FORMULA QUESER VERDADERA CUANDO ELSEGUNDO ENUNCIADO SEAVERDADERO O TENGA EL MISMOVALOR DE VERDAD QUE ELPRIMERO. AL PRIMER ENUNCIADOINVOLUCRADO SE LE LLAMAANTECEDENTE Y AL SEGUNDO SE LELLAMA CONSECUENTE 52. Bicondicional LA DOBLE CONDICIONAL OBICONDICIONAL ES UNA CONECTIVALOGICA QUE ENLAZA DOSENUNCIADOS DANDO COMORESULTADO UNA FORMULA QUE SERVERDADERA SOLAMENTE CUANDOSUS ENUNCIADOS COMPONENTESTIENEN EL MISMO VALOR DE VERDAD 53. El lenguaje algebraico En lenguaje lgebraico nace en la civilizacin musulmnen el perodo de Alkhwarizmi, al cual se le considera elpadre del lgebra. el lenguaje lgebraico constaprincipalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablosgriegos. La principal funcin de lenguaje lgebraico esestructurar un idioma que ayude a generalizar lasdiferentes operaciones que se desarrollan dentro de laaritmtica, por ejemplo: si queremos sumar dos nmeroscualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indiqueque es un nmero cualquiera de la numeracin queconocemos, b de la misma manera que a significa unnmero cualquiera de la numeracin. 54. Ejemplo 1 Para poder manejar el lenguaje lgebraico esnecesario comprender lo siguiente: Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan porregla general como constantes, es decir, cualquiernmero o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como lasincgnitas o variables de la funcin o expresinlgebraica. 55. Ejemplo 2 Aqu se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones mscomunes que involucran los problemas de matemticas con lenguaje lgebraico;cualquier razonamiento extra o formulacin de operaciones con este lenguaje sebasa estrictamente en estas definiciones: un nmero cualquiera se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo: a = un nmero cualquiera b = un nmero cualquiera c = un nmero cualquiera... y as sucesivamente con todos los datos del alfabeto. 56. Ejemplo 3 la suma de dos nmeros cualesquiera a+b = la suma de dos nmeros cualesquiera x+y = la suma de dos nmeros cualesquierala resta de dos nmeros cualesquiera a-b = la resta de dos nmeros cualesquiera m-n = la resta de dos nmeros cualesquiera 57. Ejemplo 4 la suma de dos nmeros cualesquiera menos otronmero cualquiera a-b+c =la suma de dos nmeros cualesquiera menosotro nmero cualquiera 58. Ejemplo 5 el producto de dos nmeros cualesquiera ab = el producto de dos nmeros cualesquiera 59. Ejemplo 6 el cociente de dos nmeros cualesquiera (la divisinde dos nmeros cualesquiera) a/b= el cociente de dos nmeros cualesquiera 60. Ejemplo 7 la semisuma de dos nmeros cualesquiera (a+b)/2= la semisuma de dos nmeros cuales quiera 61. Ejemplo 8 el semiproducto de dos nmeros cualesquiera (ab)/2= el semiproducto de dos nmeroscualesquiera 62. Los trminos semejantes Los trminos semejantes son los que tienenexactamente la misma parte literal (con las mismasletras elevadas a los mismos exponentes), y varansolo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restartrminos semejantes. No se pueden sumar y restartrminos que no sean semejantes, sin embargo, sepuede multiplicar y dividir todo tipo de trminos. Sien una expresin algebraica hay varios trminossemejantes, stos se pueden simplificar sumndoloso restndolos. 63. Ejemplo 1 6 a2b3 es trmino semejante con 2 a2b3 porque ambostienen el mismo factor literal (a2b3) 1/3 x5yz es trmino semejante con x5yz porque ambostienen el mismo factor literal (x5yz) 0,3 a2c no es trmino semejante con 4 ac2 porque losexponentes no son iguales, estn al revs. Reducir trminos semejantes significa sumar o restar loscoeficientes numricos en una expresin algebraica, quetengan el mismo factor literal. 64. Ejemplo 2 Trminos semejantes: Son aquellos que puedensumarse de manera homognea. 5xy, 21xy, 8xy, 12xy, 13xy 65. Ejemplo3 Trminos no semejantes. Son aquellos que nopueden sumarse entre si 20x, 25y, 35z, 12a, 6b 66. Los polinomios En matemticas, un polinomio (del griego, poli-muchos y divisin, y el latn binomius es unaexpresin constituida por un conjunto finito devariables (no determinadas o desconocidas) yconstantes (nmeros fijos llamados coeficientes),utilizando nicamente las operaciones aritmticas desuma, resta y multiplicacin, as como exponentesenteros positivos. En otras palabras, es unacombinacin lineal de productos de potencias enterasde una o de varias indeterminadas. 67. Ejemplo 1 Sumar polinomiosDos pasos:Pon juntos los trminos similaresSuma los trminos similaresEjemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1Junta los trminos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5-1Suma los trminos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)= 5x2 + 4x + 4 68. Ejemplo 2 Por ejemplo, consideremos los polinomios P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4 El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2 Fjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenan la misma parte literal:2x3 + 8x3 = 10x3-5x2 + 3x2 = -2x36-4=2 69. Cuando el Divisor es unMonomio Cuando dividimos un monomio por un monomio, podemos usar las reglas de los exponentes y restamos exponentes cuando las bases son las mismas. Por ejemplo:25 x10 45 10 46 48a 2b5 48 2 1 5 2 x 15 x,a b 16ab3 3x 43 3ab 2 3 70. Cuando el Divisor es unMonomio Cuando dividimos un polinomio por un monomio,rompemos la divisin en una suma de cocientes demonomios. Para hacerlo, usamos la regla de suma usandonotacin fraccional en orden inverso. Esto es, debido aque ABA B A BA B , sabemos que CC C C C C 71. Cuando el Divisor es un Monomio Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada termino por el monomio.1. Divida 12x3 + 8x2 + x + 4 por 4x . 12 x3 8 x 2 x 4 Escrbelo como expresin fraccional.4x 12 x3 8 x 2 x4 Divida cada termino del numeradorpor el monomio: Esto es el orden4x 4x 4x4xinverso de suma.2 1 1 3x 2 x Haciendo las cuatro divisiones indicadas.4 x 72. Cuando el Divisor es unMonomio2. Divida: (8x4y5 3x3y4 + 5x2y3) x2y3 4 5 3 4 23 4 53 4 2 38x y 3x y5x y 8x y3x y 5x yx2 y3x2 y3 x2 y3x2y38 x 2 y 2 3xy 5 73. Cuando el Divisor No es un Monomio Cuando el divisor no es un monomio, usamos unprocedimiento como la divisin larga en aritmtica. Veamos el siguiente ejemplo:3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 . 74. Cuando el Divisor No es un Monomio3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 . x Divida el primer trmino por el primer trmino: x2/x = x . x 3 x2 5x 8 x 2 3xMultiplique la x de arriba por el divisor, x + 3. 2x Reste: (x2 + 5x) (x2 +3x) = x2 + 5x x2 3x = 2x . Ahora bajamos el otro trmino del dividendo, en este caso el 8. Veamos la siguiente diapositiva: 75. Cuando el Divisor No es un Monomio3. x 2 x 3 x2 5x 8 Divida el primer trmino por el primer trmino: x2/x = x . x 2 3x 2x 8Se bajo el 8. 2x 6 Multiplique el 2 de arriba por el divisor x + 3 .2 Restamos: (2x + 8) (2x + 6) = 2x + 8 2x 6 = 2 .2La contestacin es x + 2, R 2 , ox 2 x 3Esta expresin es el residual sobre el divisor. 76. Cuando el Divisor No es un Monomio Note que la contestacin anterior (ejemplo 3) no es unpolinomio a menos que el residual sea 0. Para verificar, multiplicamos el cociente por el divisor ysumamos el residual para ver si obtenemos el dividendo: (x + 3) (x + 2) + 2 = (x2 + 5x + 6) + 2 = x2 + 5x + 8 Divisor Cociente Residual 77. Cuando el Divisor No es un Monomio4. Divide: (5x4 + x3 3x2 6x 8) (x 1) .5 x 3 6 x 2 3x 3 x 1 5x 4x 3 3x 2 6 x 84 35x 5x6 x 3 3x 2 Reste: (5x4 + x3) (5x4 5x3) = 6x3326x 6x3x 2 6 x Reste: (6x3 3x2) (6x3 6x2) = 3x2 23x 3x 3x 8Reste: (3x2 6x) (3x2 3x) = -3x 3x 3 11Reste: (-3x 8) (-3x + 3) = -11 78. Cuando el Divisor No es un Monomio4. La contestacin es 5x3 + 6x2 + 3x 3, R -11; o3211 5x 6x3x 3 x 1 Siempre acurdese cuando divida polinomios arregle elpolinomio en orden descendente. 79. Cuando el Divisor No es un Monomio En una divisin polinomial, si hay trminos ausentes enel dividendo, escriba los trminos ausentes con uncoeficiente de 0, o deje espacio para ellos. Por ejemplo, en 125y3 8, decimos que los trminos y2 y yestn faltando. Podemos escribirlos como sigue: 125y3 +0y2 + 0y - 8. 80. Cuando el Divisor No es un Monomio 5. Divida: (125y3 8)(5y 2) . 2 25 y 10 y 432 Cuando faltan trminos,5 y 2 125 y 0y 0y 8podemos insertarlos. 125 y 3 50 y 2 250 y0yReste: (125y + 0y ) (125y 50y ) =50y23 23 2 250 y 20 yReste: (50y + 0y) (50y 20y) =2 2 20 y 8 20y 20 y 80 Reste: (20y - 8) (20y 8) = 0La respuesta es 25y2 + 10y + 4 . 81. Cuando el Divisor No es un Monomio 6. Divida: (x4 9x2 5)(x 2) . Note que los trminos x3 y x faltan en el dividendo. En este ejemplo dejamos los espacios. x3 2 x25 x 10Dejamos espacios para trminos x 2 x4 9x25faltantes. x4 2 x32 x39 x2 Restamos x4 (x4 2x3) = 2x32 x34 x25x 2Restamos (2x3 9x2) (2x3 -4x2) = -5x25 x 2 10 x10 x 5Restamos -5x2 (-5x2 + 10x) = -10x1 0 x 2025 Restamos (-10x 5) (-10x + 20) = -25 32 25La contestacin es x3 + 2x2 - 5x - 10, R -25; ox 2x 5 x 10 x 2 82. Cuando el Divisor No es un Monomiotener un residual de 0 o Cuando dividimos, podemosno. Cuando el residual no es 0 podemos seguir trabajandohasta que el grado del residual es menos que el gradodel divisor, como en el siguiente ejemplo. 83. Cuando el Divisor No es un Monomio 7. Divida: (6x3 + 9x2 - 5) (x2 -2x)6 x 21 x22 x 6x3 9 x20x 5 Insertamos el termino ausente. 3 26 x 12 x Reste 21x 20x 21x 2 42 xResteEl grado del residual es menos 42 x 5 que el grado del divisor, por lotanto terminamos. 42 x 5La contestacin es 6x + 21, R 42x 5 o 6 x 21 x2 2x 84. Divisin Sinttica Para dividir un polinomio por un binomio del tipo x a, podemos simplificar el procedimiento generalpor un procedimiento llamado divisin sinttica. Es importante recordar que para que funcione estesistema, el divisor tiene que ser de la forma x a, estoes, una variable menos una constante. El coeficientede la variable tiene que ser 1. 85. Divisin Sinttica Compare los siguientes ejemplos. En A hacemosla divisin. En B tambin dividimos pero noescribimos las variables.A. 4 x 2 5 x 11B. 4 5 11 x 2 4 x 3 3x 2x 71 2 4 3 1 7 4 x3 8x2 4 8 5x 2x5 1 5 x 2 10 x 5 10 11x 711 7 11x 22 11 2229 29 En B todava hay alguna duplicidad. Tambin, podemos restar sumando el opuesto, podemos usar 2 en vez de -2 y luego sumar en vez de restar. 86. Divisin SintticaC. Divisin Sintticaa) Escriba el 2, el opuesto de -2 en el divisor x 2, y los 2 4 3 1 7 coeficientes del dividendo. 4 Baje el primer coeficiente.b)2 4 3 1 78 Multiplique 4 por 2 para obtener 8. Sume 8 y -3.4 5 c) 2 4 31 7 8 10 Multiplique 5 por 2 para obtener 10. Sume 10 y 1. 4 5 11 d) 2 4 3178 10 22 Multiplique 11 por 2 para obtener 22. Sume 22 y 7.4 5 11 29CocienteResidual 87. Divisin SintticaC. El ultimo nmero, es el residual. Los otros nmeros son los coeficientes del cociente, con el termino del grado mayor primero, como sigue: 4 5 11 29 ResidualCoeficiente grado 0 Coeficiente primer grado Coeficiente segundo grado 2 29La contestacin es 4x2 + 5x + 11, R 29, o 4 x 5 x 11x 2 88. Divisin Sinttica8. Usando divisin sinttica divida: (x3 + 6x2 x - 30) (x 2) 2 1 6 1302 16301 8 150La contestacin es x2 + 8x + 15, R 0, o x2 + 8x +15 89. Divisin Sinttica9. (2x3 + 7x2 5) (x + 3)Aqu no hay el trmino x, por lo cual escribimos un 0 para su coeficiente. Noteque x + 3 = x (-3), por lo tanto escribimos -3 en la esquina izquierda.3 2 70 563 92 134 2 4La contestacin es2x2 + x - 3, R 4, o 2x x 3 x 3 90. Divisin Sinttica10. (x3 + 4x2 x 4) (x + 4)4 1 41 4 4 0 4 1 0 1 0 La contestacin es x2 - 1 91. Divisin Sinttica 11. (x4 1) (x 1) 11 0 0 01 1 1 1 11 1 1 10 La contestacin esx3 + x2 + x +1 92. Divisin Sinttica 12. (8x5 - 6x3 + x 8) (x + 2)2 8 0 6 0 18 16 32 52 104 210 8 16 26 52 105 218La contestacin es 8x4 16x3 + 26x2 52x + 105, R -218, o 432 2188x 16 x 26 x 52 x 105x 2 93. Divisin de nmeros racionales La divisin de dos nmeros racionales es otronmero racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios. 94. Ejemplo 1 5/7/ 1/6 = 30/7 {Extremos 5*6 = 30 , medios 7*1 = 7 :. Por lo tantonos a como resultado 30/7} 95. Diferencia simtrica La semntica lgica es declarativa: el significado de lassentencias es que definen modelos. Pero estamossuponiendo que los programas en se ejecutan sobre unamquina convencional, siguiendo el modelo procesal yadescrito. Su semntica es, por consiguiente,procedimental. El ideal sera que ambas coincidiesen, esdecir, que aplicando el modelo procesal de se obtuvieseun modelo del programa, pero no es siempre as. Porejemplo, las cuatro versiones de jefes y superioresestudiadas en el apartado A.3.3 tienen el mismosignificado declarativo: las cuatro comparten el modelo(mnimo): 96. Ejemplo 1 I(jefe) = {(Ana,Eva), (Eva,Pepe), (Pepe,Paco)} I(superior) = {(Ana,Eva), (Eva,Pepe), (Pepe,Paco),(Ana,Pepe), (Ana,Paco), (Eva,Paco)} 97. La radicacin es la operacin inversa de laPotenciacin. La raz de una expresin algebraica es toda expresinalgebraica que elevada a una potencia reproduce laexpresin dada. Consiste en hallar una cantidad llamada RazEnsima, cuya potencia ensima es el nmero dado. 98. El smbolo utilizado en la radicacin es . ste signoes una variante de la letra latina r, inicial de lapalabra latina radix, que significa raz. cantidad dada se Una determinada raz de una nexpresa de la siguiente forma: a, que se llamaradical, donde n es el ndice de la raz, que indicaque raz se va a obtener, y a se llama radicando ocantidad subradical, a la cual se le va extraer la raz. El grado de un radical es el ndice de la raz. As, x,es un radical de segundo grado, a es un radical de3tercer grado. 99. As tambin para indicar la raz sexta de 16escribimos 16, o para indicar la raz quinta de x 6escribimos x.5 Comnmente la raz cuadrada de un nmero a seexpresa sin el ndice, es decir, se escribe a, en vez dea.2 100. Recordemos que toda potencia con exponente par espositiva independientemente del signo de la base,por tanto, toda raz de ndice par de una cantidadpositiva tiene un valor positivo y otro negativo. Porejemplo: 25= +5 64= +26 81= +34 101. Vimos en la unidad anterior que las potencias conexponente impar de cantidades negativas sonnegativas, y las potencias con exponente par o imparde cantidades positivas son siempre positivas. Porejemplo: 33 (-4) 5= -64 (4) 5 = 64 (-2) = -32(2) = 32 De lo anterior podemos concluir que las races dendice impar de cantidades negativas son negativas,y las de cantidades positivas son positivas; es decir,el signo de las races de ndice impar tienen elmismo signo del subradical. 102. Los radicales semejantes son radicales del mismogrado y que tienen la misma cantidad subradical. As, 2 3, 5 3, y 1/1 3 son radicales semejantes;pero 2 3 y 5 2 no son semejantes porque no tienenla misma cantidad subradical aunque tengan elmismo grado. 103. Al estudiar las potencias de cantidades utilizamosnicamente exponentes enteros. Qu sucede cuandolos exponentes son fraccionarios? Cuando los exponentes son fraccionarios, vamos aver que los exponentes generan las races de lascantidades. 104. Factorizando 4: (4) =1/2 )(2 2 1/2 Utilizando la ley de la potencia de una potencia= (2)= (2) = (2) = 2 2.1/2 2/2 1 Es decir: 4 = 21/2 Tambin ya se dijo: 4= 2 Entonces se tiene que: 4 = 4= 2 1/2 105. Del ejemplo anterior se concluye que:a 1/n= a ndonde n es un nmero entero diferente de cero. Engeneral se cumple que:a = a mdonde m y n son enteros, y n es distinto de cero. m/n n 106. Por ejemplo: 8 2/3 8 2= 3 8 2/3 (2 ) 2/3= 3= (2 ) 2 3.2/3 = (2 )= 4 8 = 64 = 433 2 107. Escribiendo la igualdad anterior en la formaan m a m/n =, podemos notar que para extraer la raz deuna potencia basta dividir el exponente de lapotencia entre el ndice de la raz, conservando labase. Por ejemplo:b =b =b (a+b) = (a+b) = (a+b)3 6 6/32 a = a = a = a 6 6/3 2 n n n/n 1 108. Hemos visto que un radical se puede expresar comouna potencia con exponente fraccionario, ymostramos que las propiedades de los signos de unradical provienen de las propiedades de los signos delas potencias. As que, las propiedades de los radicales se suelendeducir a partir de las propiedades de losexponentes. 109. Veamos algunas de las propiedades de los radicalesque son tiles para efectuar operaciones con ellos: La raz de un producto de varios factores es igual alproducto de las races de cada factor. Por ejemplo: abc= a. b. c 9(x+y) = 3 . (x+y) = 3(x+y) ab= a . b 110. La raz de un cociente es igual al cociente de la razdel dividendo entre la raz del divisor. Por ejemplo: 3 = 3 5 5 3 6 6 = 4 4 X x y 4 y n n a a b n b 111. La potencia de una raz es igual a la raz de lapotencia del subradical. Por ejemplo: (2 )= (2) = 84 3434 (x )= x = x =x=x5 5 5 5 5/5 1 (a )= an m n m 112. Simplificacin de radicales Para efectuar operaciones con radicales esconveniente que estn simplificados; esto significaque el subradical sea entero, que tenga factores conexponente menor que el del ndice y que ste sea elmenor posible. 113. 3 ab 4 no esta simplificado, ya que contiene un factor 4(b ) cuyo exponente es mayor que el ndice. Entonces se simplifica la expresin, factorizando bcomo b . b , as: ab = abb = 3 3 4 33 4 Utilizando propiedades de los radicales= ab . b = ab . b=3 3 3 b ab 3 3 114. En forma anloga a la suma y resta de expresionesalgebraicas racionales, al sumar cantidades conradicales slo se pueden reducir aquellos trminosque sean radicales semejantes, los cuales son aquellosque tienen radicales con el mismo ndice y la mismacantidad subradical, y que pueden variar nicamenteen el coeficiente. 115. 72x son semejantes. Los radicales 32x, -a2x, De la misma manera que sumamos 3x + 5x= 8x,podemos sumar 3x + 5x= 8x Para hallar la suma o resta de dos o ms radicalessemejantes, se suman algebraicamente loscoeficientes y se multiplica dicha suma por el radicalsemejante. 116. El producto de radicales con el mismo ndice es iguala otro radical del mismo ndice, cuyo subradical es elproducto de los subradicales. Por ejemplo: 6a por 2a 6a . 2a= 6a . 2a= 12a 2 117. Es conveniente que el resultado se exprese lo mssimple posible, de manera que el producto anteriorse simplifica: 12a = 2 . 3 . a = 2 22 2a3 118. Al dividir radicales con el mismo ndice se obtieneotro radical del mismo ndice cuyo subradical es elcociente de los subradicales. Por ejemplo: 6=6 = 2 3 33 3 3 3 119. La Racionalizacin consiste en transformar lafraccin original en otra equivalente cuyodenominador sea racional, es decir, que no contengaradicales. Es conveniente para facilitar operaciones conexpresiones que contengan denominador conradicales. 120. 3 2 Cmo eliminamos el denominador del subradical? Para hacerlo se debe utilizar la propiedad del elementoneutro multiplicativo, es decir, toda cantidadmultiplicada por la unidad no altera su valor. = (1) 3 3 2 2 121. Adems se sabe que toda cantidad dividida entre simisma es igual a la unidad. Cmo el denominador de la fraccin original es 2, conviene expresar la unidad como el cociente , 2para que al efectuar la multiplicacin se obtenga un 2cuadrado perfecto, as: (1)= ( ) 33 2 22 2= 6 2= 2 =6 6 222 122. Se puede ver que en la ltima expresin existe undenominador, pero el subradical es entero, es decir,se ha simplificado el radical:= =3 3 62 22 123. Multiplicion deRadicalesLa multiplicacin de radicales se define como = 124. EjemploSimplifica Primero, aplicamos la propiedad distributiva, 2 8 50 = 16 2 100Ahora simplificamos cada radical y obtenemos 16 2 = 4 100 = 10 Por lo tanto,16 2 100 = 125. Divisin de Radicales La divisin de radicales se define como = 126. Ejemplos1. Simplifica 12125=11 538 4 2. Simplifica 27 10Primero, simplificamos dentro del radical,38 4 3 8 3=271027 9Ahora, aplicamos la definicin,3 3 8 38 32 27 9 = 3= 3 327 9 127. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Comn Como Factor Para factorizar rpido los polinomios, consideramosla regla de producto-especial, pero primerofactorizamos el factor comn mayor. Para multiplicar un monomio y un polinomio con masde un termino, multiplicamos cada termino por elmonomio usando la ley distributiva. Para factorizar, hacemos lo inverso. Expresamos un polinomio como un producto usandola ley distributiva a lo inverso. 128. Factorizar Polinomios Utilizando el Monomio Comn Como Factor Compare:FactoriceMultiplique 3 25x15 x 5x5 x x 2 3x 1 5 x x 2 5 x 3x 5 x 1 25x x 5 x 3x 5 x 15 x x 2 3x 15 x3 15 x 2 5 x 129. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Comn Como Factor En algunos casos, hay mas de un factor comn. Cuando esto sucede se escoge el factor comn con elcoeficiente mas grande y el exponente mas grande. 130. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Comn Como Factor Ejemplos de factorizar monomios comunes de las expresiones:1. Factorice:4 y2 8 224y 8 4 y 4 24 es el factor mas grande24 y2 Sacamos el factor comn 4 131. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Comn Como Factor5 x 4 20 x32. Factorice: 4 5x20x35x3 x 412 x 2 y 20 x3 y3. Factorice: 12x2 y 20x3 y 4 x 2 y 3 5x4. Factorice:10 p 6 q 2 4 p5q3 2 p 4 q 410 p6 q2 4 p5q3 2 p 4 q 42 p 4 q 2 5 p 2 2 pq q 2 132. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Comn Como FactorEjemplos de sacar factor comn con coeficientes negativos: 4 x 245. Factorice: 4x 244 x 66. Factorice:2 x2 6 x 102 x2 6 x 10 2 x 2 3x 5 133. Factorizar por Agrupacin En expresiones de cuatro o mas trminos, puedehaber un factor binmico comn. Procedemos con los siguientes ejemplos defactorizar por agrupacin:7. Factorice:a b x 5a b x y2a b x 5a b x y2 a b x 5 x y2 a b 2x 5 y2 134. Factorizar por Agrupacin 32 y 3y 4 y 128. Factorice:Agrupandoy 3 3 y 2 4 y 12 y3 3 y 2 4 y 12 Factorizando cada binomio y2 y 3 4 y 3Sacando el factor comn y + 3 y2 4 y 3 135. Factorizar por Agrupacin 9. Factorice: 3x 3 6 x 2 x 23x3 6 x 2 x 23x 3 6 x 2 x 2 Verificamos: -1(x 2) = -x + 2 3x 2 x 2 1 x 2Sacamos el factor comn x + 5 3x 2 1 x 2 136. Factorizar por Agrupacin 4x 3x15 20 23x 10. Factorice:4 x3 15 20 x 2 3 x 4 x3 20 x 2 3 x 15 Reorganizando el orden 4x2 x 5 3 x 5 Verificar: -3(x + 5) = -3x-152Sacando el factor comn4x3 x 5x+5 137. Factorizar por Agrupacin No todos los polinomios con cuatro trminos pueden serfactorizados por agrupacin. Un ejemplo es3 2x x 3x 32Note que x2 x 1 3 x 1 ni x x 3 x2 3 ni cualquierotra agrupacin nos permite sacar un binomio comn. 138. Factorizando Trinomios de laForma x2 + bx + c Al factorizar trinomios usamos un proceso que estabasado el mtodo FOIL.Trmino Constante Positivo Recordando el mtodo FOIL de multiplicar dosbinomios:FOI Lx 3 x 5 x 2 5 x 3 x 15x2 8x 15 139. Factorizando Trinomios de laForma x2 + bx + c El producto del ejemplo anterior es trinomial. En el ejemplo, el termino lder tiene un coeficiente de 1. El termino constante es positivo. Para factorizar, pensamos en el mtodo FOIL a la inversa.x 2 8 x 15 Multiplicamos x por x para obtener el primer termino del trinomio. 140. Factorizando Trinomios de laForma x2 + bx + c El producto del ejemplo Por lo tanto el primer termino de cada factor binmicoes x. Queremos encontrar los nmeros p y q tal que 2 x 8x 15 x p x q 141. Factorizando Trinomios de laForma x2 + bx + c El producto del ejemplo Para obtener el termino del medio y el ultimo terminodel trinomio, buscamos por dos nmeros que suproducto sea 15 y que su suma sea 8. Los nmeros son 3 y 5. Por lo tanto la factorizacin esx 3 x 5 ,o x 5 x 3 142. Factorizando Trinomios de laForma x2 + bx + c Cuando el trmino constante de un trinomio espositivo, buscamos factores con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). El signo es aquel del termino del medio. 143. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c Algunos trinomios no son factorables.15. Factorice: x2 x - 7 No hay factores de -7 cuya suma sea -1. Este trinomio no es factorable a binomios. 144. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c Para factorizar x + bx + c:2 1.Primero arregle el trinomio en orden descendente. 2.Use un procedimiento que busque por factores de c que sumen b. Si c es positivo, entonces los signos de los factores son igual al signo de b. Si c es negativo, entonces un factor es positivo y el otro es negativo. (Si la suma de los dos factores es opuesto al de b, cambiando los signos de cada factor les dar el factor deseado cuya suma es b.) 3. Verifique su resultado multiplicando. 145. Factorizando Trinomios de laForma x2 + bx + c El procedimiento considerado aqu tambin puede ser aplicadoa trinomios con mas de una variable.16. Factorice: x2 2xy 48y2Buscamos por nmeros p y q tal quex2 -2xy 48y2 = (x + py)(x+ qy)Buscamos por factores de -48 cuya suma sea -2. Los factores son 6 y -8. 22 x 2xy 48 yx 6 y x 8y 146. Factorizando Trinomios de la Formax2 + bx + c Algunas veces trinomios como x4 + 2x2 15 puedeser factorizado usando el mtodo siguiente. Podemos pensar primero del trinomio como (x2)2 +2x2 15, o podemos hacer una sustitucin, dejandou = x2. Entonces el trinomio se convierte en u2 + 2u 15 Factorizamos este trinomio y si se encuentra unafactorizacin, reemplazamos cada ocurrencia de ucon x2. 147. FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. CONCEPTO Una fraccin algebraica es el cociente entre dos expresiones algebraicas donde el divisor es distinto de cero. Se representa por: A/B, A se llama el numerador de la fraccin y B el denominador2. EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1) 6x 2) 3x 5 3) 4y 84y y + 9x2x - 5 148. Fracciones Algebraicas 3. SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICASUna fraccin est simplificada cuando el numerador y el denominador sonnmeros que no tienen factores comunes excepto el 1.Ejemplo: Simplifica la fraccin siguiente:1) x2 + 3x = x (x + 3) = x + 3 x2x2xPara simplificar esta fraccin primero factorizamos el numerador en los factores: x(x+3) y luego simplificamos los factores x y x2. 149. Fracciones Algebraicas4. MNIMO COMN MLTIPLOEl mnimo comn mltiplo de dos o ms expresiones algebraicas, es unaexpresin algebraica que se obtiene al multiplicar todos los divisoresirreductibles comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes.Se denota por m.c.m.Para encontrar el m.c.m. De los denominadores de las fracciones seguimos elprocedimiento siguiente:Factorizar completamente cada denominador utilizando coeficientesenteros.El m.c.m. debe contener cada uno de los diferentes factores que aparecen encualquiera de los denominadores elevado a la mayor potencia que aparezcaen cualquiera de ellos. 150. Ejemplos de m.c.m.1) Encontrar el m.c.m. de las expresiones: 4xy ; 8x2y ; 24x2y3Solucin: El m.c.m. de los coeficientes: 4, 8 y 24 es 24.Se busca el mayor grado de cada variable, es decir, el mayor exponente al queaparecen elevados x2 y y3. El producto de estas variables ser la parte literaldel m.c.m.As, el m.c.m. de 4xy ; 8x2y ; 24x2y3 es: 24x2y3 151. Todos los nmeros racionales se pueden representar porfracciones equivalentes: 3== -6= =2.2= = Se define la equivalencia:=ad=bc 152. PARA QU CONOCER LAEQUIVALENCIA DE FRACCIONES: Para comparar tamaos de fracciones o decimales: -Cul es mayor, 2/5 o 7/15? Para realizar operaciones con fracciones (sumas, restas) 153. Para convertir las fracciones en decimales y porcentajesX25 75/100 = 0.75 =75% X25X3331/3333/999 = 0.333 = 33.3%X333 154. CMO CONOCER LA EQUIVALENCIA Se introduce a partir de aspectos como el rea y losconjuntos. Por ejemplo: 155. La idea de equivalencia es importante tambin en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones.Los nios no siempre se percatan fcilmente de que las fracciones son nmeros, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los nmeros enteros en la recta numrica. 156. La idea de equivalencia es importante tambin en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones. Los nios no siempre se percatan fcilmente de que las fracciones son nmeros, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los nmeros enteros en la recta numrica. 157. Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, obien son equivalentes y representan, por lo tanto, el mismo nmero, o uno de ellos representa un nmeromayor que la otra. En casos sencillos, el mecanismo de esta comparacinconsiste normalmente en hallar formas equivalentesapropiadas para una o ambas fracciones. 158. La dificultad de la comparacin de dos fracciones puedevariar grandemente dependiendo de los nmeros quefiguren en los numeradores y denominadores. de los chicos de 15 aos se Hart (1980) observ que el 66%daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientrasque en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicosde 13 aos supieron determinar cul de los nmeros ,5/32, 5/16, 3/8 se encontraba ms prximo a 3/16. 159. Expresiones Racionales Una expresin que consiste del cociente de dospolinomios, donde el polinomio del denominador noes cero, se llama expresin racional. Cada nmero racional es una expresin racional. Expresiones racionales indican divisin. Por lo tantono podemos hacer un reemplazo de la variable quepermite al denominador ser 0. 160. Expresiones Racionales1. Encuentre todos los valores de x por el cual la 2x 12. expresin x 3 es indefinida.Cuando x es remplazada por 3, el denominador es 0 y la expresin es indefinida: 2x 12 3 1 7Indefinida x 33 30 161. Expresiones Racionales expresin racional 2. Encuentre todos los nmeros reales de x por el cual la 2 x 5x 7es indefinida. 3x 4Para encontrar el reemplazo que haga el denominador 0, colocamos el denominador igual a 0 y resolvemos por x: 3x 4 0Por lo tanto la expresin 3x 4 es indefinida por el4 reemplazo 4x33 162. Expresiones Racionales2. Encuentre todos los nmeros reales de t por el cual la expresin racional t 4 5t es indefinida. t 2 3t 28 La expresin estar indefinida por un reemplazo que haga el denominador 0. Para determinar esos reemplazos a excluir, colocamos el denominador igual a 0 y resolvemos: t 2 3t 28 0 Denominador igual a 0. t 4 t 70 Factorizamos Por lo tanto la expresin es t 4 0 o t 7 0 Usando el principio indefinida por los de cero como t4 o t 7reemplazos 7 y -4 163. Expresiones Racionales2. Encuentre todos los nmeros reales de x por el cual laexpresin racional es indefinida.x 2 3 x 11x2 1La expresin x2 es siempre no negativo, por lo tanto x2 + 1 es siempre positivo, nunca 0. Por lo tanto, todos los nmeros reales son aceptables y no hay nmero real por el cual la expresin es indefinida. 164. Expresiones RacionalesEquivalentes Para multiplicar dos expresiones racionales, multiplique los numeradores y multiplique los denominadores. Ejemplos: Multiplicando los numeradores3 2 3 2 6y multiplicando los ;5 7 5 7 35 denominadores. En el segundo ejemplo es33x 3 xx 3 x mejor dejar las expresiones en forma factorizada como estny 4 y 5 y 4 y 5 en este ejemplo. 165. Expresiones Racionales Equivalentes Para simplificar, primero consideramos multiplicarpor 1. Cualquier expresin racional con el mismonumerador y denominador es un smbolo para 1: 2 73xy 4x 51x 51,1, 2 1, 1, 1 73xy 4x 51x 5 166. Expresiones RacionalesEquivalentes Podemos multiplicar por 1 para obtener expresionesequivalentes. Por ejemplo 7 47 4 28 ; 9 49 4 36 x yxyx y x yx Multiplicando por y , x y que es 1.5 xy 5 x yEsto quiere decir que nombraran los mismos nmeros paratodos los reemplazos que no hacen el denominador 0. 167. Expresiones Racionales Equivalentes5. Multiplique para obtener una expresin equivalente. 2x 3 2 x 3 x 1 x 2 3 x 1 Usando x 1 1 x 1x 1x 1 x 1 x 1 x 1para 16. Multiplique para obtener una expresin equivalente. 1 x 41 x 4 x 4 1 x y1 x y x y 168. Simplificar Expresiones Racionales Simplificamos una expresin racional usando laidentidad del 1 en reversa. Removemos factores que son igual a 1. Primero factorizamos el numerador y el denominadory luego factorizamos la expresin racional para queun factor sea igual a 1. Decimos que hemos removido un factor de 1. 169. Simplificar Expresiones Racionales 1203207. 120Simplifique removiendo el factor de 1:40 3Factorizando el numerador y el320 40 8denominador, buscando por un factorcomn.40 3 Factorizando la expresin racional.40 83 40 1 18 403 Removiendo el factor de 1.8 170. Simplificar Expresiones Racionales8. Simplifique removiendo el factor de 1. 5x25x x Factorizando el numerador y el denominadorx1 x5x xFactorizando la expresin racional. 1 xx5x 11x5x Removiendo el factor de 1 171. Simplificar Expresiones Racionales9. Simplifique removiendo el factor de 1.4a 8 2 2a 4 Factorizando el numerador y el denominador.2 212 2a 4 Factorizando la expresin racional21 2a 4Removiendo el factor de 11 2a 4 172. Simplificar Expresiones Racionales10. Simplifique removiendo el factor de 1. 22x 4x 2x x 2 Factorizando el numerador y el denominador.6 x2 2x 2 x 3x 12xx 2 Factorizando la expresin racional.2x 3x 1x2Removiendo el factor de 1.3x 1 173. Simplificar Expresiones Racionales11. Simplifique removiendo el factor de 1. 2 x 1x 1 x 1 Factorizando elnumerador y el 2 2x x 12x 1 x 1 denominador.x1 x 1Factorizando la expresinracional.x1 2x 1 x 1Removiendo el factor de 1.2x1 174. Simplificar Expresiones Racionales12. Simplifique removiendo el factor de 1.29 x 6 xy 3 y2 3 3x 2 2 xyy2 Factorizando elnumerador y el12 x 2 12 y 2 12 x 2y2denominador.3 3x y x y3 xy3x yFactorizando laexpresin racional.3 4 x y x y 3 xy 4 x y 3x y Removiendo el factor de 1.4 x y 175. Multiplicando y Simplificando 13. Multiplique. Luego simplifique removiendo el factor de1.x 2 x 4 2 x 2 x2 4Multiplicando losnumeradores y losx 3 x2 x 2x 3 x2 x 2denominadores.x 2 x 2 x 2 Factorizando el numerador y el denominador. x 3 x 2 x 1 x 2x 2 x 2 x 2 Removiendo un factor de 1: 1 x 2 x 3 x 2 x 1x 2 x 2 Simplificando x 3 x 1 176. Multiplicando y Simplificando14. Multiplique. Luego simplifique removiendo el factor de 1. a 3 b3 a 2 2ab b 2 a 2 b 2 a 2 ab b 2a 3 b3 a 2 2ab b 2a 2 b 2 a 2 ab b 2 a b a 2 ab b 2 a b a bFactorizando el numeradora b a b a 2 ab b 2 y el denominador. a b a 2 ab b 2 a b a b22 Removiendo el factor de 1 a b a b aab b 1a b Simplificando 1a b 177. Dividiendo y Simplificando Dos expresiones son recprocas (o inversos multiplicativos)de cada una si su producto es 1. Para encontrar el recproco de una expresin racional,intercambiamos el numerador y el denominador. Dividimos con expresiones racionales como lo hacemoscon nmeros reales. Multiplicamos por el recproco del divisor. (Muchas vecesdecimos invierte el divisor y multiplica) 178. Dividiendo y Simplificando15. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si esposible. x 2 x 5 x 2 x 3 Multiplicamos por el recproco del divisor. x 1 x 3 x 1 x 5x 2 x 3 x 1 x 5 179. Dividiendo y Simplificando16. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si es posible.a 2 1 a 2 2a 1 a2 1 a 1Multiplique por el recproco dela 1a 1 a 1 a 2 2a 1divisor.a2 1 a 1Multiplicando los numeradores y losdenominadores.a 1 a 2 2a 1a 1 a 1 a 1Factorizando el numerador y ela 1 a 1 a 1denominador.a 1 a 1 a 1Removiendo el factor de 1.a 1 a 1 a 1a 1 a 1 Simplificandoa 1 a 1 180. Dividiendo y Simplificando17. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si esposible.c3 d 32c d c dc dc3 d 3 12c dc d c dc d c 2 cdd2 c dc d c d c dc d c 2 cdd2 c d Removiendo un factor de 1c d c d c d c 2 cd d 2 c d 181. El principio de lasPotencias Una ecuacin radical tiene variables en uno o masradicandos. Para resolver la ecuacin necesitamos un principio nuevo.El Principio de las PotenciasPara cualquier nmero natural n, si una ecuacin a = b es cierta, entonces an = bn es cierta. 182. El principio de las Potencias Pero tambin, si una ecuacin an = bn es cierta,puede que no sea cierto que a = b. Por lo tantodebemos verificar cuando resolvemos una ecuacinusando el principio de potencias. Por ejemplo, 32 = (-3)2 es cierto, pero 3 = -3 no escierto. 183. El principio de las Potencias1. Resuelva:? Verificamos :3 3 4x 3 4 ? 49 3 4x 4 3?7 3 4x 7 4 422x 7 Usando el principio de las potenciasx 49 184. El principio de lasPotencias2. Resuelva:?x 3 Verificamos :x3?2 293x 33 3x 9FALSOEsta ecuacin no verifica, por lo tantono tiene solucin de nmero real. 185. El principio de las Potencias Para resolver una ecuacin radical primero aislamosel trmino radical a un lado de la ecuacin. Luego usamos el principio de las potencias. 186. El principio de las Potencias3. Resuelva:x 7 2 2 x 1 2 Usando el principio de las potencias x 7 2 x 1 (cuadrando) 2Cuadrando el binomio en la izquierda;2 2x 14 x 49 2 x 1 elevando el producto a una potencia en laderecha.x 2 14 x 49 4 x 1x 2 14 x 49 4 x 4x 2 18 x 45 0x 3 x 15 0Factorizandox 3 0 o x 15 0Usando el principio del cero comoproductox 3 ox 15 187. El principio de las Potencias3. Verificando: Para 3 :Para 15 : x 72 x 1 x 72 x 1 3 72 3 1 15 7 2 15 1 4 2 4 8 2 16 4 2 2 8 2 4 448 8 188. El principio de las Potencias4. Resuelva: x x 7 5 Restando 5 para aislar el trmino x 5 x 7 radical 22 Usando el principio de las x 5 x 7potencias (cuadrando amboslados) x 2 10 x 25 x 7 x 2 11x 18 0 x 2 x 9 0 Factorizandox 2 0 o x 9 0Usando el principio del cero como productox 2 o x 9 189. El principio de las Potencias4. Verificando: Para 9 : Para 2 :x x 7 5 xx 7 5 99 7 52 2 7 5 9 16 529 5 94 52 3 5 9 9CIERTO 2 8FALSO La solucin es 9 190. El principio de las Potencias 5. Resuelva:32x 1 50Restando 5, esto asla el trmino radical32x 15 3Usando el principio de potencias.3 32x 15 (elevando a la tercera potencia)2x 1125Restando 1 2x 126x 63 191. El principio de las Potencias5. Verificando: 3 2x 1 5 0 3 2 63 1 5 0 3 126 1 5 0 3125 5 05 5 00 0 CIERTO La solucin es -63 192. Ecuaciones con Dos Trminos Radicales Para resolver ecuaciones con dos trminosradicales:1. Asle uno de los trminos radicales.2. Use el principio de las potencias.3. Si se mantiene una radical, use los pasos (1) y (2) nuevamente.4. Verifique las posibles soluciones. 193. Ecuaciones con Dos Trminos Radicales6. Resuelva:x 3 x 54x 3 2 4 x 5 2Aislando uno de los trminos radicalesx 34 x 5Usando el principio de las potencias 2 2x 3 4 8 x 5 x 5 Restando y coleccionando losx 3 16 8 x 5 x 5 trminos iguales 248 x 5 Aislando el trmino radical restante 3 x 5 Dividiendo por -8 2 2 3 x 5 Cuadrando 9 x 5 4 x El nmero 4 verifica y es la solucin 194. Ecuaciones con Dos Trminos Radicales7. Resuelva: 2x 5 1 x 3 2x 5 2 1 x 32 lados Una radical ya esta aislada y cuadramos ambos2 2x 5 1 2 x 3 x 3 2x 5 1 2 x 3 x 3x 3 2 x 3 Aislamos el trmino restante 22 x 32 x 3 Cuadramos ambos ladosx2 6 x 9 4 x 3x2 6 x 9 4 x 12x 2 10 x 21 0Factorizandox 3 x 70 Usando el principio del cero como productox 3 0 o x 70x 3 o x 7Los nmeros 3 y 7 verifican y son soluciones 195. Ecuaciones con Dos Trminos Radicales8.Resuelva: 2 2 x 22x 2 1 0 x 1 2 2x 2 x 22x 2 1x2 2x 1 4 2 x 22 2 x 22x 2 1x2 2 x 1 8x 82 x 22x 22 2x 2 1x2 6x 7 0 x 2 2x 2 2 2x 2 1 x 1 x 7 0 x 1 2 2x 2x 1 0o x 7 0 x 1 2 2x 2x 1 o x 7 El nmero 7 verifica, pero el -1 no verifica. La solucin es 7. 196. Nmeros Complejos eImaginarios Nmeros negativos no tienen races cuadradas en elsistema de nmeros reales. Los matemticos inventaron un sistema de nmeros masgrande que contiene el sistema de nmeros reales, peroes tal que los nmeros negativos tienen races cuadradas. El sistema se llama sistema de nmeros complejos. Empezamos creando un nmero que es la raz cuadrada de-1. Llamamos este nuevo nmero i. 197. Nmeros Complejos e Imaginarios Definimos el nmero i a ser1.Esto es, i 1 y i2 1. Para expresar races de nmeros negativos entrminos de i, podemos usar el hecho que en losnmeros complejos,p 1 p1 p cuando p es un nmero real positivo. 198. Exprese en trminos de i:1. 7171 7i 7, o 7i2. 161 16 1 16 i 4 4i3. 131 13 113 i 13 , o13i4. 641 64 164 i8 8i5. 481 48 1 48 i 16 3 i 16 3 i4 3 4 3i 4i 3 199. Nmeros Complejos e Imaginarios Un nmero imaginario es un nmero que se puedenombrar bi, donde b es algn nmero real y b 0. Un nmero complejo es cualquier nmero que sepude nombrar a + bi, donde a y b son cualquiernmero real. (note que en este caso tanto a y/o bpueden ser 0.) 200. Nmeros Complejos eImaginarios Debido a que 0 + bi, todo nmero imaginario es unnmero complejo. Similarmente, a + 0i = a, entonces todo nmero reales un nmero complejo. 201. Suma y Resta de NmerosComplejos Ejemplos. Sume o reste:6. 8 6i 3 2i8 3 6i 2i 11 8i7. 3 2i 5 2i3 5 2i 2i2 4i 202. Multiplicacin de Nmeros Complejos Multiplique: 8. 49 161 491 16i 7 i 42i 281 28 i2 = -1 28 203. Multiplicacin de NmerosComplejos 9. 3 713 1 7 i3 i7 i2 21121i2 = -121 204. Multiplicacin de Nmeros Complejos10. 2i 5i2 10 i 101i2 = -110Usando la ley11. 4i 3 5i4i 3 4i 5i distributiva12i 20i 212i 201 i2 = -112i 2020 12i 205. Multiplicacin de NmerosComplejos12. 1 2i 1 3i 1i3i 2 6i 2Multiplicando por elmtodo FOIL1 5i 6i2 = -1 Coleccionando trminos iguales 5 5i 22 2 Cuadrando el binomio13. 3 2i 32 3 2i 2i 9 12i 4i 2 9 12i 4 5 12i 206. Potencias de i Considere:i,2 Note que las potenciasi1,de i se ciclan ellasi 3 2i i 1ii, mismas por los valores i, -1, -i, y 1.2 24 2i i 1 1,225 4 2i i i i i1i i,3 36 2i i 11 207. Potencias de i Simplifique: 181837 36 214. ii ii i 1i 1i i 292958 215. ii1 1373775 74 216. ii ii i 1i 1i i 404080 217. ii1 1 208. Potencias de i Simplifique a la forma a + bi:18. 8 i2818 1 919. 17 6i 3 17 6 i 2 i 17 61 i17 6i 1111222220. i67i i671167 1 676624112423 48 222 221. iiiii ii1 11 1i 1i 1 1 i 209. Divisin y el Conjugado El conjugado de un nmero complejo a + bi es a bi, y elconjugado de a - bi es a + bi.Encuentre el conjugado :22. 5 7i El conjugado es 5 7i23. 14 3i El conjugado es 14 3i24. 3 9i El conjugado es 3 9i25. 4i El conjugado es4i 210. Divisin y el Conjugado Cuando multiplicamos por un nmero complejo por su conjugado, obtenemos un nmero real.Multiplique : 2226. 5 7i 5 7i5 7i (A + B)(A - B) = A2 B2225 49i25 49 1 i2 = -125 4974 211. Divisin y el ConjugadoMultiplique : 2 227. 2 3i 2 3i 2 3iDiferencia decuadrados24 9i4 9 1i2 = -14 913 212. Divisin y el Conjugado Usamos conjugados en la divisin de nmeroscomplejos.28. Divida y simplifique a la forma a bi :5 9i 1 2i Multiplicando por 1 usando el5 9i 1 2i5 9i 1 2i conjugado del denominador en el 1 2i 1 2i1 2i 1 2ismbolo para 1 5 10i 9i 18i 21 4i 2 5 i 18 1i2 = -1 1 41 23 i 23 1 i5 5 5 213. Divisin y el Conjugado29. Que smbolo por 1 usaras para dividir?Divisin a hacerse Smbolo por 1 3 5i 4 3i 4 3i 4 3i 214. Divisin y el Conjugado30. Divida y simplifique a la forma a bi :3 5i4 3i 3 5i 4 3i3 5i 4 3i Multiplicando por 14 3i 4 3i4 3i 4 3i12 9i 20i 15i 216 9i 212 11i 15 1i2 = -1 16 9 127 11i 2711i25 2525 215. Solucionar Ecuaciones con Nmeros Complejos La ecuacin x2 + 1 = 0 no tiene solucin de nmerosreales, pero tiene dos soluciones complejas no real. Cualquier ecuacin consistiendo de un polinomio enuna variable a un lado y 0 en el otro tiene solucionesde nmeros complejos (algunos pueden ser reales). 216. Solucionar Ecuaciones conNmeros Complejos31. Determine si i es una solucin de la ecuacin x 2 1 0 x2 1 0 i2 1 0Sustituimos i por x en la ecuacin1 1 00 0 CIERTOEl nmero i es una solucin. 217. Solucionar Ecuaciones conNmeros Complejos32. Determine si 1 solucin de la ecuacin i es unax22 x 2.21 i 2 1 i20 1 2i i 22 2i 2 0 1 i2 0 1 100 0 CIERTO El nmero 1+ i es una solucin. 218. Solucionar Ecuaciones conNmeros Complejos 33. Determine si 2i es una solucin de,x2 3x4 022i 3 2i4 04i 26i 4 0416i 4 0 4 6i 40 El nmero 2i no es una 8 6i0 solucin. 219. El Principio de Races Cuadradas Una ecuacin del tipo ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y cson constantes de nmeros reales y a > 0; se llamala forma estndar de una ecuacin cuadrtica. Por ejemplo: Encuentre la forma estndar de laecuacin -5x2 + 4x 7 = 0.1 5x24x 7 1 0Multiplicando por -1 ambos lados ya que a tiene que ser mayor a 25x 4x 7 0cero en su forma estndar (a > 0 ). 220. El Principio de RacesCuadradas El Principio de Races Cuadradas: La ecuacin x2 = d tiene dos soluciones de nmerosrealesdcuando dd 0. La soluciones son>y . La ecuacin x2 = 0 tiene 0 como su nica solucin. La ecuacin x2 = d tiene dos soluciones de nmerosimaginarios cuando d < 0. 221. El Principio de Races CuadradasSolucionando Ecuaciones del Tipo x2 = d1. Solucione: 3x2 = 6. De la solucin exacta y aproxime las soluciones a tres lugares decimales.2Verificando: 3x 6Para 2Para 2x22 3226 32 2 6 x 2 o x2 3 2 63 2 6 6 6 6 6 x 1.414 o x1.414Debido a que ambos verifican, la solucin esx 2 o x 1.414 222. El Principio de Races Cuadradas2. Solucione: -5x2 + 2 = 0. De la solucin exacta y aproxime las soluciones a tres lugares decimales. 5x2 5x2 2 0 2 2 2 2 x 5 5 2 2 Usando el principio de las races x o x cuadradas. 5 5 2 5 2 5 x o x Racionalizando el denominador 5 5 5 5 10 10 x o x 55 x 0.632 o x 0.632 223. El Principio de Races2. Solucione CuadradasVerificando:5x 2 2 0 2 Al verificar encontramos 10que la solucin es, 5 2 0 5105102 0 x0.6322552 2 0 224. El Principio de Races Cuadradas3. Resuelva:2 4x 9 0 2 9 x Restando 9 y dividiendo por 4 4 99 Usando el principio de x o xraces cuadradas 44 9 9 x 1 o x 1 4 43 3 xio xi Simplificando2 23La solucin es xi2 225. El Principio de RacesCuadradasResolviendo Ecuaciones del Tipo (x + c)2 = d4. Resuelva:2x 2 7 x 27 o x 27 x2 7 o x 27 La solucin es x 27 226. El Principio de Races Cuadradas5.2 Resuelva: El lado izquierdo es el cuadradox 6x 9 2de un binomio2 x 32x 3 2 ox 32 x 32 o x 32La solucin es x3 2 227. Completando el Cuadrado Cuando resolvemos una ecuacin, para completar elcuadrado de una expresin como x2 + bx, tomamosla mitad del coeficiente de x, que es b/2, y locuadramos. Luego sumamos dicho nmero, (b/2)2,en ambos lados. 228. Completando el Cuadrado 6. Resuelva:x 26x 8 0 Restando 8, para dejar el binomio en un lado (x2 - 6x)2Tomamos la mitad del coeficiente de x y lox 6x8cuadramos [(-6/2)2 ] y sumamos el resultado (9) en ambos ladosx2 6 x 9 8 9 2x 31Usando el principio de lasraces cuadradasx 31 o x 3 1 x 3 1 o x 3 1x 4 ox2La solucin es 4 y 2. 229. Completando el Cuadrado7. 2 x Resuelva completando el cuadrado:4x 70 2x 4x7 224x 4x 4 7 4Sumando 7 Sumando 4 : 22242x 2 11Usando el principiode las races x 211o x 211 cuadradasx 2 11o x 2 11 La solucin es x 211 230. Completando el Cuadrado Cuando el coeficiente de x2 no es 1, podemos hacerlo 1 siguiendo el siguiente procedimiento. Para resolver una ecuacin ax2 + bx +c = 0 completandoel cuadrado:1. Si a 1, multiplique por 1/a para que el coeficiente de x2 sea 1.2. Si el coeficiente de x2 es 1, sume o reste para que la ecuacin sea de la forma22 b cx bxc, o x x si el paso (1) se aplico. a a 231. Completando el Cuadrado3. Tome la mitad del coeficiente de x y cudrelo. Sume el resultado en ambos lados de la ecuacin.4. Exprese el lado de las variables como el cuadrado de un binomio.5. Use el principio de races cuadradas y complete la solucin. 232. Completando el Cuadrado8. Resuelva completando el cuadrado:2x2 3x 7 2 x 2 3x 71 1Multiplicando por para hacer el2 x 2 3x7coeficiente de x sea 12 22 3 7xxMultiplicando y simplificando2 22 3 9 7 9 9 13 232 9xxSumando :216 2 16 16 224 162 3 9 47xx Encontrando un comn denominador216 16 233. Completando el Cuadrado8. Resuelva 2347 x416Usando el principio3 47 3 47 de las racesx o x4 16 4 16 cuadradas3 47 347x o x4 16 4163 473 47x io xi4 164 163 47 3 47x i o xi4 44 4 3 47Las solucines son x i 4 4 234. Aplicaciones y Problemas Podemos utilizar ecuaciones cuadrticas parasolucionar ciertos problemas de tasas de inters. La formula de inters compuesto: Si una cantidad de dinero P es invertido a una tasa de inters r, compuesta anualmente, entonces en t aos, crecer a la cantidad A dada por A = P(1 + r)t 235. Aplicaciones y Problemas9. $1,000 invertido a 8.4%, compuesto anualmente, por 2 aos crecer a que cantidad? t A P 1 r 2 1000 1 0.084 Sustituyendo 2 1000 1.084 1000 1.175056 1175.06 Calculando y redondeando Por lo tanto la cantidad es $1,175.06 236. Aplicaciones y Problemas 10. $4,000 es invertido a una tasa de inters r, compuestaanualmente. En 2 aos, crece a $4,410. Cul es latasa de inters? 237. t10.A P 1 r24410 4000 1 rSustituimos44102 1r4000 44121 rUsando el principio de races 400 cuadradas y simplificando 441441 1r o1 r 400400 21 21 1r o 1 r 20 20 20 2120 21r o r 20 2020 201 1r o r20 20 238. Aplicaciones y Problemas10.Debido a que la tasa de inters no pueden sernegativos, tenemos que1 ro r = 0.05, o 5%20Por lo tanto la tasa debe ser 5% 239. La Frmula Cuadrtica El procedimiento para solucionar problemas usandola frmula cuadrtica es el mismo siempre. Por lotanto buscamos por una frmula para acelerar eltrabajo.2 ax bx c0, a 0Resolvmosla completando elcuadrado: 240. La Frmula Cuadrticaax 2 bx c 0x2bxc0Multiplicando por 1/aa ab cx2x Restando c/aa a b b2 bb2 cb 2 La mitad de a es2a .x xa 4a 2a4a 2b2 El cuadrado es 2 y lo sumamos a ambos lados. 24ab4acb2 Factorizando el lado izquierdo y encontrandoxun comn denominador en el derecho2a 4a 2 4a 2 2bb 2 4acx2a4a 2 241. La Frmula Cuadrtica b b2 4ac bb2 4acx o x2a 4a 22a4a 2b b2 4ac bb2 4acx o x2a 2a2a2a b b2 4acx o 2a 2ab b24acx2a 242. La Frmula Cuadrtica1. Solucione utilizando la frmula cuadrtica: 5x2 8x 3 0 b b 2 4ac a = 5, b = 8, c = 3x 2a 8 82 4 5 3 864 60 Sustituyendo y resolviendox 2 510 8 4 8 2x 1010 8 2 8 2xo x 1010 610x o x10 10 3x o x 1 5 243. La Frmula Cuadrtica Para resolver una ecuacin cuadrtica:1. Verifique para la forma x2 = d o (x + c)2 = d. Si esta en esta forma, use el principio de races cuadradas.2. Si no esta en la forma del paso 1, escriba la ecuacin en la forma estndar ax2 + bx + c = 0 con a y b que no sean 0.3. Trate de factorizar.4. Si no es posible factorizar o se dificulta, use la frmula cuadrtica. 244. La Frmula Cuadrtica2. Solucione:5x2 8x 3 5x2 8x 3 0 a = 5, b = -8, c = -32b2b 4ac88 4 5 3x Sustituyendo2a2 58 64 60812484 3110 10108 2 31 2(4 31) 4 3110 2 5 5 245. La Frmula Cuadrtica 3. Solucione: 2xx 1 0 bb 2 4ac 1 12 4 1 1x2a21 11 4 1 3 22 1 i 32 246. La Frmula Cuadrtica4. Solucione:752x x22 72 5 Multiplicando por x2 para despejar lax 2xxx2fraccin2 x2 7 x 52 x2 7 x 5 0a = 2, b = 7, c = -5b2 b 4ac7 72 4 2 5 Sustituirx 2a2 2749 40 789 44 247. Ecuaciones Polinmicas Cuando dos polinomios son colocados iguales acada uno, tenemos una ecuacin polinmica. Ejemplos de ecuaciones polinmicas:4x3 + x2 + 5x = 6x 3,x2 x = 63y4 + 2y2 + 2 = 0 248. Ecuaciones Polinmicas Una ecuacin polinmica de segundo grado en unavariable se llama frecuentemente una ecuacincuadrtica. De las ecuaciones mencionadas anteriormentesolamente x2 x = 6 es una ecuacin cuadrtica. Ecuaciones polinmicas y ecuaciones cuadrticasen particular, ocurren frecuentemente, por lo tanto lahabilidad de resolverlas es una destreza importante.Una manera de resolverlas envuelve factorizacin. 249. El Principio del Cero Como Producto El principio del cero como productoPara cualquier nmero real a y b:Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 (o ambas).Si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0. Para resolver una ecuacin usando el principio decero como productos, primero lo escribimos en suforma estndar: con 0 en un lado de la ecuacin y elcoeficiente leader positivo. 250. El Principio del Cero Como Producto1. Resuelva: x2 x = 6 2xx62x x 6 0 Obteniendo el 0 en un ladox 3 x 2 0 Factorizando Usando el principio de cero x 3 0 o x 2 0 como productos. x 3 ox2 251. El Principio del Cero Como Producto Para resolver una ecuacin usando el principio decero como producto:1. Obtenga el 0 a un lado de la ecuacin.2. Factorice el otro lado.3. Coloque cada factor igual a 0.4. Resuelva las ecuaciones resultantes. 252. El Principio del Cero Como Producto 2. Resuelva: 7y + 3y2 = -22 7 y 3y22 3y 7y 2 0 Obteniendo 0 en un lado. 3y 1 y 2 0Factorizando3y 1 0 o y 2 0 Usando el principio del cero como producto.3y1 oy 2 1 y o y2 3 253. El Principio del Cero Como Producto3. Resuelva: 5b2 = 10b 25b 10b Obteniendo 0 en un lado.5b 2 10b 0 Factorizando5b b 2 0Usando el principio decero como producto.5b 0 o b 2 0b 0 ob 2 254. El Principio del Cero Como Producto 4. Resuelva: x2 6x + 9 = 0 Obteniendo 0 en un lado.x2 6 x 9 0 Factorizandox 3 x 30 Usando el principio de cero como producto.x 3 0 o x 3 0x 3 o x 3 Solamente hay una solucin, 3. 255. El Principio del Cero Como Producto 5. Resuelva: 3x3 - 9x2 = 30x 3x3 9 x 2 30 x Obteniendo 0 en un lado. 323x 9x 30 x 0Sacamos el factor comn. 23x x3x 100Factorizamos el trinomio.3x x 5 x 2 0 Usando el principio del cero como producto.3x 0 o x 5 0 o x 2 0x0 ox 5 o x2 256. El Principio del Cero Como Producto6. Dado que y = 3x2 4x, encuentre todos los valores de x por el cual y = 4. Queremos que todos los nmeros de x por el cual y = 4.Dado que y = 3x2 4x, debemos tener: 3x 2 4 x 4 Colocando y = 4 3x 2 4 x 4 0 Obteniendo el 0 en un lado 3x 2 x 2 0Factorizando3x 2 0o x 2 0 3x 2 o x2 2 x ox2 3 257. El Principio del Cero Como Producto7. Encuentre todos los valores de x por el cual la expresinx 22x 15x 2 es indefinida. Debido a que la divisin por 0 es indefinida, la expresin indicada no puede ser calculada para valores de x para el cual el denominador, x2 + 2x 15 es 0. Para encontrar estos valores, resolvemos:2x 2 x 15 0 Colocando el denominador igual a 0 x 5 x 3 0 Factorizandox 5 0 o x 3 0Por lo tanto la expresin es indefinida para x = -5x 5 o x 3y x = 3. 258. Aplicaciones y Solucin de Problemas8.Fuegos Artificiales. Los fuegos artificiales tpicamente son lanzados de un mortero con una velocidad ascendente (velocidad inicial) de cmo 64 pies/seg. La altura h, en pies, en donde adquiere su forma de desplegarse, t segundos despus de haber sido lanzado de un techo a 80 pies de alto, es dado por la ecuacin h = -16t2 + 64t + 80. Despus de cuanto tiempo llega a tierra el cartucho de cartn de los fuegos artificiales? 259. Aplicaciones y Solucin de Problemas8. Fuegos Artificiales 1. Familiarzate. Primero hacemos un dibujo y lo marcamos usando la informacin dada. Note que t no puede ser negativo debido a que representa el tiempo desde su lanzamiento. 260. Aplicaciones y Solucin de Problemas8. Fuegos Artificiales 2. Traduce. Debido a que nos preguntaron determinar cuanto tiempo tomara el cartucho llegar a tierra, estamos interesado en el valor de t por el cual h = 0.3. Resuelva. Resolvemos por factorizacin: 16t 2 64t 80 0 216 t 4t 5 0Factorizando 16 t 1 t 5 0t 1 0 o t 5 0La solucin aparentat1 ot 5 ser -1 y 5 261. Aplicaciones y Solucin de Problemas8. Fuegos Artificiales 4. Verifique. Acurdese una solucin a la ecuacin puede que no sea una solucin al problema original. Debido a que t no puede ser negativo, solamente verificamos el 5: -16 52 + 64 5 + 80 = 0. El nmero 5 verifica.5. Exprselo. El cartucho tocara tierra como en 5 segundos despus de lanzarse los fuegos artificiales. 262. Aplicaciones y Solucin de Problemas 9.Rampa de Patineta. Las longitudes de loslados de un triangulo recto formado poruna rampa de patineta forman tresntegros consecutivos. Encuentre las treslongitudes. 263. Aplicaciones y Solucin de Problemas9. Rampa de Patineta 1. Familiarzate. Primero hacemos un dibujo. Dejamosque: x = a la longitud del primer lado. Debido a que las longitudes son ntegros consecutivos,sabemos que: x + 1 = es la longitud del segundo lado y x + 2 = es la longitud del tercer lado.La hipotenusa es siempre el lado de mas longitud deun triangulo recto, por lo tanto sabemos que es el ladocon la longitud x + 2. 264. Aplicaciones y Solucin de Problemas9. Rampa de Patineta 2. Traduce. Aplicando el teorema de Pitgoras, obtenemos lo siguiente: 2 2 2a b c2 2 2xx 1x 23. Resuelva. Resolvemos la ecuacin2 2 2x x 1 x 2 x2 x2 2 x 1 x2 4 x 4Cuadrando los binomios2x2 2x 1 x2 4x 4 0Coleccionando los trminos igualesy restando para obtener 0 a un ladox2 2 x 3 0x 1 x 3 0 Factorizandox 1 0 o x 3 0 x1 o x 3 265. Aplicaciones y Solucin de Problemas9. Rampa de Patineta 4. Verifique. El integro -1 no puede ser una longitud de un lado porque es negativo. Cuando x = 3;x + 1 = 3 +1 = 4x+2=3+2=5 Por lo tanto 3, 4, y 5 verifican.5. Exprselo. Los ntegros consecutivos 3, 4, y 5 son las longitudes de los lados. 266. Aplicaciones y Solucin de Problemas10. Juegos en una liga de deportes. En una liga dedeportes de n equipos en que los equipos juegan entreellos dos veces, el numero total N de juegos a jugarsees dado porN = n2 n. 267. Aplicaciones y Solucin de Problemas10. Juegos en una liga de deportes a) Una liga de volibol colegial de mujeres tiene 6 equipos.Si asumimos que se juegan entre si dos veces, cuales el total de juegos a jugarse?b) Otra liga de volibol juega un total de 72 juegos. Siasumimos que se juegan entre si dos veces, decuantos equipos se compone la liga? 268. Aplicaciones y Solucin de Problemas10.Juegos en una liga de deportes Resolvemos como sigue:a) Evaluamos N para n = 6: N = n2 n = 62 6 = 36 6 = 30. La liga juega un total de 30 juegos.b) Resolvemos usando los cinco pasos del procedimiento de resolver problemas.1. Familiarzate. Nos dan n como el nmero de equipos en la liga y N como el total de juegos jugados. En (a), nos familiarizamos con el problema encontrando N para un valor n dado. 269. Aplicaciones y Solucin de Problemas10.Juegos en una liga de deportes 2. Traduce. Para encontrar el nmero n de equipos en la liga en que se jugaron 72 juegos, resolvemos n tal que N = 72:n2 n = 72 Sustituimos n2 n por N3. Resuelva. Resolvemos la ecuacin: n 2 n 72 2 n n 72 0 Restando 72 para obtener 0 en un lado n 9 n 80 Factorizando n 9 0 o n 8 0Usando el principio del cero como producto n 9 on 8 270. Aplicaciones y Solucinde Problemas 10. Juegos en una liga de deportes 4. Verifique. La solucin de la ecuacin son 9 y -8.Debido a que el nmero de equipo no puede sernegativo, -8, no puede ser una solucin. Pero 9verifica, ya que 92 9 = 72.5. Exprselo. Hay 9 equipos en la liga. 271. Resolviendo Formulas hacer ciertos tipos de Una formula es una receta paracalculaciones. Las formulas son frecuentemente dadasen ecuaciones. Ejemplos:Base Formula de rea: 1 A bh 2Altura Inters simple: A=P+Prt CantidadPrincipal Inters Tiempo 272. Resolviendo FormulasPara resolver una formula para una letra dada, identifique laletra y: 1. Multiplique en ambos lados para despejar las fracciones ydecimales, si es necesario.2. Si ocurre parntesis, multiplique para removerlos usandola ley distributiva.3. Colecciones los trminos iguales en ambos lados, si esnecesario. Esto puede requerir factorizar si una variableesta en mas de un trmino.4. Usando el principio de suma, obtenga todos los trminoscon la letra a resolverse para un lado de la ecuacin ytodos los dems trminos para el otro lado.5. Coleccione trminos iguales otra vez, si es necesario.6. Resuelva para la letra en cuestin usando el principio demultiplicacin. 273. Resolviendo Formulas T 1. Resuelva para T: I 1.08 N TQueremos solo esta letra.I 1.08 NT N I N 1.08 Multiplicamos por N en ambos lados.N NI 1.08T SimplificamosNI 1.08TDividimos por 1.08 1.08 1.08NIT Simplificamos 1.08 274. Evaluando y Resolviendo Formulas52. Resuelva para b: A b 20 25A b 20 Queremos esta letra sola.22 A 5 b 20 Multiplicamos por 2 para despejar la fraccin.2 A 5b 100 Removemos el parntesis.2 A 100 5b Sumamos 1002 A 100b 5 Dividimos por 5 2Ab 205 275. Evaluando y Resolviendo Formulas3. Resuelva por r: H = 2r + 3mH 2r 3m Queremos esta letra sola.H 3m 2rRestando 3mH 3m r Dividiendo por 224. Resuelva para x: ax + b = c ax b cax c b c b xa 276. Evaluando y Resolviendo Formulas5. Resuelva para a: A1h a b Queremos dejar sola esta letra.2 2A h a b Multiplicando por 2 para despejar fraccin 2 A ha hb Usando la ley distributiva 2 A hb haRestando hb 2 A hb 2 A hb 2 Aa , tambien a bhh hh 277. Evaluando y Resolviendo Formulas6. Resuelva por P: A = P + PrtA P Pr tQueremos dejar sola esta letraA P 1 rtFactorizando (o coleccionando trminos iguales) A PDividiendo por 1 + rt en ambos lados1 rt 278. Evaluando y Resolviendo Formulas7. Resuelva por L: 400 W LQueremos dejar esta letra sola. Rr N 400 WL NR N r Multiplicamos por N para despejar fraccin.N 400 WL NR N rNMultiplicando usando la ley distributiva.N NR Nr 400 WL Simplificando NR Nr400 W L Restando Nr NR Nr400W 400 LUsando la ley distributiva NR Nr 400W 400 L Restando por 400WNR Nr 400WDividiendo por -400L400 279. Evaluando y Resolviendo FormulasEl resultado del problema nmero 7 se puede expresartambin como:Nr 400WNR L, como tambien400NR Nr L W 400 280. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales La regla de Producto para Radicales: Para cualquier nmero real no negativo a y b y cualquier ndice k,k k ka b a b (Para multiplicar, multiplique los radicandos)Note que el ndice k tiene que ser el mismo entodos los radicales 281. Multiplicacin y Simplificacin de Expresiones con Radicales Multiplique:1.3 5 3 5 152.5a 2b5a 2b10ab33.43 534 5 3204.4y47 4y 7 4 7y5 x 5 x5x 282. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales5. Multiplique:5x 4 3yConvirtiendo a notacin 12 14 exponencial5x 4 3y 5x 3y Escribiendo con el comn 24 14 denominador5x 3y214Usando anbn = (ab)n5x 3yCuadrando 5x y convirtiendo anotacin radical425 x 2 3 yMultiplicando dentro del radical475 x 2 y 283. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales Para cualquier nmero real no negativo a y b y cualquier ndice k, k k k aba b(Tome la raz de k para cada factor separado.) 284. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales Simplificar una expresin radical por factorizacin:1. Busque por los factores mayores del radicando que son potencia perfectas de k (donde k es el ndice).2. Luego tome la raz de k de los factores resultantes.3. Una expresin radical, con ndice k, es simplificada cuando sus radicandos no tiene factores que sean perfectos a la potencia de k. 285. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales Simplifique por factorizacin:6. 5025 225 25 27. 3 323 8 4 3 83432 48. 4 484 16 34 16 432 3 4 286. Multiplicacin y Simplificacin de Expresiones con Radicales Ejemplos: Simplifique por factorizacin. Asuma que todas las expresiones dentro de los radicales representan nmeros no negativos.9.2 2Factorizando el radicando 5x x 52Factorizando a dos radicalesx 5La notacin de valor absoluto noTomando la razcuadradax 5 es necesario porque asumimosque las expresiones dentro delradical no so negativas. 287. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales Ejemplos 10. Factorizando el radicando 2 2 18 x y9x 2 y Factorizando a dos radicales 29x 2y Tomando la raz cuadrada 3x 2 y 288. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales Ejemplos 11. 5 34 2 216 x y36 6 x x yy4 2 36 x y 6 x y4 236x y 6 xy 6 x 2 y 6 xy 289. Multiplicacin y Simplificacin deExpresiones con Radicales Ejemplos 12.37 11 3 6 9 216a b 8 2 a a b b336 3 9 3 28 a b 2ab2 33 22a b 2ab 290. Multiplicacin y Simplificacin de Expresiones con Radicales Multiplique y simplifique:13. 20 820 8 4 5 4 24 1033 3 314. 3 25 2 56 25 5 6 125 6 5 3033 323 3233 215. 18 y 4x18 y 4 x72 y x38 y3 9 x23 8 y3 3 9 x2 2 y 3 9x2 291. Divisin de Expresiones con Radicales La regla de Cociente para Radicales Para cualquier nmero no negativo a, cualquiernmero positivo b, y cualquier ndice k,kak akbb(Para dividir, divida los radicandos. Despus dehacer esto, algunas veces puede simplificartomando las races.) 292. Divisin de Expresiones conRadicales Ejemplos: Divida y simplifique. Asuma que todaslas expresiones dentro de los radicales representannmeros positivos.16.8080164 5 5 293. Divisin de Expresiones conRadicales Ejemplos 5 3 3232 17. 3 53 5 3 16 53 8 22253 8 3 25 2 32 10 3 2 72 xy 1 72 xy1 18.36 xy 2 2 2 22 1 6 xy 3 xy 2 294. Divisin de Expresiones conRadicales Para cualquier nmero no negativo a, y cualquiernmero positivo b, y cualquier ndice k,k k aak bb(Tome las races de k del numerador ydenominador separadamente.) 295. Divisin de Expresiones con Radicales Ejemplos: Simplifique tomando las races del numerador y denominador. Asuma que todas lasexpresiones dentro de los radicales representannmeros positivos. 3 2727319. 3 3125 125525 25520. 2yy 2 y 296. Divisin de Expresiones conRadicales Ejemplos 16 x 316 x 3 16 x 2 x21. y4 y4y416 x 2x4x xy4y227 y 5327 y 5327 y 3 y 222. 3343 x 3 3343 x33343 x3327 y 3 3 y23y 3 y23343 x 37x 297. Divisin de Expresiones con Radicales Divida y simplifique:3 2 4 ab 2 4 13 abConvertir a notacin exponencial 12abab 23 43 a bUsando el las reglas de producto ypotencia a1 2b1 2a 2 3 1 2b 4 3 1 2a4 6 36 86 36 ba1 6b5 6Restando los exponentes16 56 ab ab5 298. Multiplicacin de ExponentesDefinicin:n Exponente a BaseMultiplique a3 a2 ,3 25a a a a aa a a3 factores2 factores 299. Multiplicacin de Exponentes La Regla del Producto Para cualquier nmero a y cualquiera ntegros m y n, m nm na a a(Cuando multiplicamos con notacin exponencial, sumamos losexponentes si las bases son iguales.) 300. Multiplicacin de Exponentes Ejemplos Multiplique y simplifique:4 3 4 3 71. x x xx5 3 5 3 22.4 4 4 4 163 7 3 73.2 2 242 16 301. Multiplicacin de Exponentes4. 8xn6x2n8 6xn 2n 3n48 x5.4 2 34 3 2 1Usando la ley 8x y 3x y 83 x x y y asociativa y la leyconmutativa4 3 2 1 24 x yUsando la regla de producto1 24 x24 xy y 302. Divisin de ExponentesRegla del Cociente Para cualquier nmero que no sea cero a y cualquierntegros m y n,mam nn aa (Cuando dividimos con notacin exponencial, reste el exponente del denominador del exponente del numerador, si las bases son iguales.) 303. Divisin de Exponentes Ejemplos Divida y simplifique: 6. 57 7 3 4Restando los exponentes usando la5 5regla del cociente 53 57Restando los exponentes (sumando el7.57357 3510 53opuesto)8. 92 2 5 719 9 9597 4 74 54 59. 57771 7 7 304. Divisin de Exponentes4 710. 16 x y 16 x 4 y 7 22x 3 9 2 xy8x y8 x3 y 9 y211. 40 x 2 n 40 2n 5n7n 10x 10 x 4 x5n4 x7 n12. 14 x 7 y 3 14 x 7 y37 2 2x y 4 x5 y 5 4 x5 y 52 305. Elevando Potencia a Potencia La Regla de Potencia Para cualquier nmero real a y cualquier ntegros m y n,nm mna a(Para elevar una potencia a una potencia,multiplique los exponentes.) 306. Elevando Potencia a Potencia Ejemplos Simplifique 7513. xx5 7 x35Multiplique los exponentes 22 2214. yyy454 54 20115. xxx x 2016. 42t 4 2t 8t 1xxxx 8t 307. Elevando un Producto a una Potencia Elevando un producto a una potencia Para cualquier nmeros reales a y b y cualquier integro n, nn nabab(Para elevar un producto a la nesima potencia,eleve cada factor a la nesima potencia.) 308. Elevando un Producto a una Potencia EjemplosSimplifique:17. 3 3 3 2232 2 3x y 3 x y27 x 627 x 6 y6 y64 4 4418. 35x y z5 2 4 5 x3y 5 z 2625 x12 z 8 625 x12 y 20 8zy 20 309. Elevando un Cociente a una Potencia Elevando un cociente a una potencia Para cualquier nmeros reales a y b, b 0y cualquier integro n, n n a a n b b(Para elevar un cociente a la nesima potencia, eleveel numerador a la nesima potencia y divida por eldenominador a la nesima potencia.) 310. Elevando un Cociente a una Potencia Ejemplos Simplifique. Escriba la contestacinusando exponentes positivos:5 x 2 x25 x 10 119. y3y35 y15x10 y15555 5 3 25 3 2 2 x3 y 22x y 2 x y 32 x15 y 1020. 55 3y43y 4 53 y 4243 y 20 32 x15 y 1020 32 x15 y30 32 x15 243243 243 y 30 311. Elevando un Cociente a una Potencia 22 22 25 3 533a b5 33a b 3 ab21.2 22 2a 2 b 42a b 2 42 2a 2 b 412a10b 6 3 22 10 46 8 4 6 14 4a 62a b ab 1 4 8 ab 3 99b14 2 2 Otra manera de hacerlo es escribiendo el exponente positivo: 222 2 224 2 2 43a b5 3 2a b 2 4 2a b 2 a b 2 2 2 2a 2 b 4 3a 5b33a b5 3 3 2 a 5 b 34a 4 b 8 4 4108 6 4 6 14 4a 6 ab ab9a 10b6999b14 312. Notacin Cientfica Notacin cientfica para un nmero es una expresin deltipo M x 10n,donde n es un integro, M es mayor o igual que 1 y menorque 10 (1 M < 10), y M es expresado en notacindecimal. 10n tambin es considerado ser una notacincientfica cuando M = 1. 313. Notacin Cientfica La notacin cientfica es especialmente til cuandoen las calculaciones se envuelven nmeros muygrandes o muy pequeos y cuando estimamos. Un exponente positivo en notacin cientfica indicaun nmero grande (mayor que uno) y un exponentenegativo indica un nmero pequeo (menor queuno). 314. Notacin Cientfica Ejemplos Convierta a notacin cientfica22. La luz viaja a 9,460,000,000,000 km en un ao.9,460,000,000,000 = 9.46 x 10129.460,000,000,000.12 lugares Nmero grande, por lo tanto el exponente es positivo.23. La masa de un grano de arena es 0.0648 g (gramos). 0.0648 = 6.48 x 10-20.06.48 2 lugares Nmero pequeo, por lo tanto el exponente es negativo. 315. Notacin Cientfica 24.4.893 x 105 = 489,300 4.89300. 5 lugares Exponente positivo, la contestacin es un nmero grande.25.8.7 x 10-8 = 0.0000000878 lugares Exponente negativos, por lo tanto la contestacin es un nmero pequeo. 316. Notacin Cientfica Cada uno de los siguientes no es notacin cientfica:13.95 x 1013 , 0.468 x 10-6Este nmero es mayor que 10. Este nmero es menor que 1. 317. Notacin Cientfica26. Multiplique y escriba el resultado en notacincientfica: (3.1 x 105)(4.5 x 10-3)Aplicamos las leyes conmutativa y asociativa para obtener: 3.1 105 4.5 10 33.14.5 10510 3 13.95 102Para encontrar la notacin cientfica al resultado, convertimos 13.95 anotacin cientfica y luego simplificamos: 21 23 13.95 101.395 10 101.395 10 318. Notacin Cientfica27. Divida y escriba en notacin cientfica lacontestacin: 6.4 10 78.0 106 6.4 10 76.4 10 7 Factorizando ensea dos divisiones 8.0 106 8.0 10613Haciendo la divisin separadamente 0.8 10 1138.0 10 10Convertimos 0.8 a notacin cientfica14 8.0 10 319. Encontrando el Mnimo Comn Mltiplo por Factorizacin Para sumar expresiones racionales cuando losdenominadores son diferentes, primero tenemos queencontrar un comn denominador. Para hacer la suma encontramos un comndenominador. Buscamos por el mnimo comn mltiplo (LCM). Este Numero viene a ser el mnimo comn denominador (LCD). Para obtener el mnimo comn mltiplo (LCM), usamoscada factor el mximo numero de veces que ocurre encualquier factorizacin prima. 320. Encontrando el Mnimo ComnMltiplo por Factorizacin 1. Encuentre el mnimo comn mltiplo (LCM) de 18 y 24.18 = 3 3 2El LCM es 3 3 2 2 2 = 7224= 2 2 2 3 321. Encontrando el Mnimo Comn Mltiplo por Factorizacin 2. Encuentre el LCM de 12xy2 y 15 x3y.12xy2 = 2 2 3 x y yFactorizacin15x3y = 3 5 x x x yLCM = 2 2 3 5 x x x y y = 60x3y2 322. Encontrando el Mnimo ComnMltiplo por Factorizacin3. Encuentre el LCM de x2 + 2x +1, 5x2 -5x y x2 1. 2 x2x 1x 1 x 12 5x 5x 5x x 1Factorizando2x 1 x 1 x 1LCM = 5x(x + 1)(x + 1)(x - 1) 323. Encontrando el Mnimo ComnMltiplo por Factorizacin 4. Encuentre el LCM de x2 y2 , x3 + y3 y x2 + 2xy + y2 . 2 2 x y x y x y 3 3 2 2 x y x y xxy y Factorizando 2 2 x 2 xyyxy x yLCM = (x y)(x + y) (x + y)(x2 xy + y2) 324. Encontrando el Mnimo ComnMltiplo por Factorizacin El opuesto o inverso aditivo, de un LCM estambin un LCM. Por ejemplo, si (x + 2)(x 3) es un LCM,entonces (x + 2)(x 3), o (x + 2)(3 - x) estambin un LCM. Si cuando estamos buscando LCMs, factoresque son opuestos ocurren, no usamos ambos. Por ejemplo, si a b ocurre en una factorizacin y b aocurre en otra, no usamos ambos debido a que sonopuestos. 325. Encontrando el Mnimo ComnMltiplo por Factorizacin 5. Encuentre el LCM de x2 y2 y 3y 3x.2 2x y xy x y Podemos usar (x - y) o (y x), pero no podemos usar ambos.3 y 3x 3 y x , o 3 x yLCM = 3(x + y)(x y), o 3(x + y)(y x), o -3(x + y)(x y)En muchas de las ocasiones, usamos la forma de LCM =3(x + y)(x y). 326. Suma y Resta de ExpresionesRacionales Cuando los denominadores son iguales, sume oreste los numeradores y mantenga el mismodenominador.3 x 46. Sume: .x x 3 x4 3 x 4x 7x x x x 327. Suma y Resta de ExpresionesRacionales7. Sume:4 x 2 5 xy 2 xy y 2 x2 y 2x2 y 24 x 2 5 xy 2 xy y 24 x 2 3xy y 2Sumando losnumeradores x2 y 2 x2 y 2x2 y 2 4x y x yFactorizando los numeradores y xy x ydenominadores 4x y x y Removiendo el factor de 1 xy x y 4x y xy 328. Suma y Resta de Expresiones Racionales4x 5 x 28. Reste: x 3 x 34x 5 x 2 4x 5x 2 Restando los numeradores x 3 x 3x 3 4x 5 x 2 x 3 3x 7x 3 329. Suma y Resta de Expresiones Racionales Cuando el denominador es el opuesto, o inversoaditivo, multiplique una expresin por 1, usando -1/-1.Esto da un comn denominador.9.Sume:aa3 2a2a aa3 a a3 1 Multiplicando por 1 2a2a 2a 2a 1aa3 a a3Sumando los numeradores 2a 2a2a a 1 a2 a 1 a2Factorizando y removiendo el2a2afactor de 1 1 a2 2 330. Suma y Resta de ExpresionesRacionales23 x x 5y5y10. Reste:x2 x3x2x3 1Multiplicando por 15y 5y5y5y 1x 2x3 x2x35y 5y 5yx 2 x3 5y 331. Suma y Resta de ExpresionesRacionales5x x 2y3y 72y x11. Reste: 75x3y5x3y 7 1x 2y 2y x x 2y2y x 15x 3y 7 x 2y x 2y 5x3y 7Restando los numeradoresx 2y 5x 3 y 7 x 2y 332. Suma y Resta de ExpresionesRacionales Cuando los denominadores son diferentes, pero noinverso aditivo uno del otro, primero busca laexpresin racional equivalente con el mnimo comndenominador (LCD) y luego suma o reste losnumeradores. 333. Suma y Resta deExpresiones Racionales 2a 3b5 2a 12. Sume:2a 3b 2a 2a 3b 5 Encontramos el LCD el cual es 5 y 2a, por lo tanto 5 2a 5 2a2a 5 el LCD = 5 2a = 10a.2Multiplicamos por 1 cada4a 15b expresin con smbolos10a 10aque nos de el LCD en cada2denominador.4a 15b Usamos 2a/2a y 5/5.10a 334. Suma y Resta de ExpresionesRacionales3x 2 3 xyx2 313. Sume: x2y2 x yPrimero encontramos el LCD de los denominadores: LCD = (x + y)(x y)x2 y2 = (x + y)(x y)x y = x - yLuego multiplicamos por 1 para obtener el LCD en lasegunda expresin. Luego sumamos y simplificamos, sies posible. 335. Suma y Resta de Expresiones Racionales 13. Sume 3x 2 3xy 2 3x 3x 2 3xy 2 3x x y Multiplicando por 1 x2 y 2x y x y ( x y) x y xypara obtener elLCD 3x 2 3xy2 3x xy3 x 2 3 xy 2 x 2 y 3x 2 3xyx y x y( x y) xy x y x yx y x y 3 x 2 3 xy 2 x 2 y 3 x 2 3 xy2x 2 yCombinando x y x y x y x ytrminos iguales2 xy 2 x yFactorizando el numerador yx y xy x y x yeliminando el factor de 1. 2 x y 336. Suma y Resta de Expresiones Racionales14. Reste: 2y 1y 3 2 2y 7y 6y 5y 62y 1 y 32y 1y 3y2 7 y 6 y2 5 y 6 ( y 6) y 1( y 6) y 1 2y 1y 1 y 3 y 1 ( y 6) y 1y 1 ( y 6) y 1y 12y 1 y 1 y 3 y 12 y2 3y 1 y2 2 y 3y 6 y 1 y 1y 6 y 1 y 1 2 y2 3y 1 y2 2 y 3y2 y 4 y 6 y 1 y 1y 6 y 1 y 1 337. Suma y Resta de Expresiones Racionales13. Ejecute las operaciones indicadas y simplifique. 2x51x242 x 2 x2x51 2x 511 x 2 x 2 2 x2 x x 2 x 22 x 1 2 x2x 5 1 2x5 x 21x 2 x 2 x 2 x 22 x x 2 x 2x 2 x 22 x x 2 2x 5 x 2x 22 x 5 x 10 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 4x 84 x 2 x 2 x 2x 2 x 2 44 o x 2 x 2 338. Bryan Antonio Cortz Higueros 3ro. Bsico A Matemtica Colegio San Agustn