libro1.sexta capitalización y actualización continuas

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  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    CAPTULO 7. CAPITALIZACIN Y ACTUALIZACIN CONTINUAS.

    El quehacer financiero moderno prcticamente no descansa nunca, mxime en nuestromundo globalizado; desde la apertura de los mercados en el extremo oriente hasta elcierre en Nueva York, esta actividad no cesa un segundo y an ms, en intervalos muy

    peque!os ocurren decenas de operaciones simultneas"

    No resulta extra!o entonces que la literatura financiera refle#e esta dinmica inherente alos mercados y visualice la informaci$n como un con#unto de datos caracterizados por lacontinuidad" %or otra parte, en muchas situaciones, el tratamiento continuo de lainformaci$n resulta ms conveniente, ya sea porque es ms simple o bien porque existeuna carencia de desarrollos provechosos con modelos discretos"

    En niveles ms avanzados del &lculo 'inanciero la continuidad no se discute, es unhecho que constituye una de las premisas te$ricas del tratamiento de la informaci$n" Noes nuestro prop$sito conducir la exposici$n a esos niveles de anlisis, sino que soloqueremos presentar los elementos necesarios que permitan interpretar el tratamiento

    continuo de la informaci$n financiera y conocer las formas bsicas en las cuales sepresentan, es decir, en s(ntesis, de qu) manera pueden calcularse la capitalizaci$n y laactualizaci$n en un mundo continuo"

    En principio se supondr que la funci$n capital, esto es & ( x ), que representa el valor deun capital & en un momento x, es una funci$n continua del tiempo en el intervalo * +; n y,por lo tanto, & ( x )puede ser exigido, al menos te$ricamente, en cualquier punto de eseintervalo" Este momento x es un instante y representa, desde el punto de vistageom)trico, un punto en el intervalo * +; n "

    -a definici$n de continuidad aplicada a & ( x )establece que si esta funci$n es continua,digamos en un punto x . x1, entonces, imaginando que el punto x se aproxima al punto x 1,

    / ya sea por la derecha o por la izquierda0 a variaciones arbitrariamente peque!as de x lecorresponden variaciones arbitrariamente peque!as de &( x )" Esto significa que dadosdos nmeros positivos y arbitrariamente peque!os, entonces si & ( x )es continua, severifica que1

    si l x 2 x 1l

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    & ( x )

    & ( x 1)

    & ( x )

    + x x 1 n x l l

    &uando x se aproxima por la izquierda a x 1de modo que la distancia entre x y x 1 esmenor que /se hace tan peque!a como se quiera0, entonces la diferencia entre losrespectivos valores de la funci$n & ( x )y & ( x 1)se puede hacer ms peque!a que unvalor , que se hab(a establecido de antemano, tambi)n arbitrariamente peque!o" -omismo sucede si la aproximaci$n de x a x 1se efecta por la derecha de este punto"

    6hora bien, x representa el tiempo y si la distancia entre dos momentos se reduceconstantemente, uno puede considerar que los 3instantes4 de tiempo constituirn launidad de referencia en que se basa la cronolog(a" %or otra parte, la diferencia entre &( x 1)y & ( x ),por minscula que sea, representa una masa de intereses, 7 ( x 1, x ),quese han originado por la aplicaci$n de una tasa de inter)s al capital & ( x )en la unidad detiempo" En este caso la unidad es un instante y por este motivo parece razonabledenominarla tasa instantnea de inter)s" -a denotaremos mediante ( x ).

    -a capitalizaci$n continua se efecta en todos los instantes de tiempo del intervalo * + ; n y por esto uno puede pensar que el capital & ( x )puede ser exigido en cada uno de esosinstantes" En la prctica esto no resulta posible y por lo tanto, este proceso decapitalizaci$n no tiene aplicaciones concretas en el mundo financiero, en el sentido quenadie, por e#emplo, podr efectuar un dep$sito empleando una tasa continua , retirar elcapital cuando le plazca y capitalizar intereses hasta ese momento"

    5in embargo, debido a que en el desarrollo de la capitalizaci$n continua se incluyenper(odos arbitrariamente peque!os /3infinitesimales4, los 3tomos4 de los per(odos0 estehecho permite extender su validez y, desde un punto de vista te$rico, la capitalizaci$ncontinua puede ser utilizada para ampliar el alcance de las leyes financieras y generalizar

    los resultados que se deriven de las operaciones analizadas" 8ambi)n, como di#imos, eluso de la capitalizaci$n continua suministra, a veces, demostraciones ms simples quelas que se hallan siguiendo otros caminos"

    En lo que sigue nos proponemos considerar con ms detalle el proceso de capitalizaci$ncontinua, determinar las formas en que puede expresarse, comparar una vez ms lossistemas de capitalizaci$n a inter)s simple y compuesto y analizar tambi)n el proceso deactualizaci$n continuo"

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    7.1 Capital. Inters. El proceso e capitali!aci"n contin#o.

    5i consideramos un intervalo de duraci$n x, * x ; x 9 x , el inter)s correspondiente aese per(odo est dado por1

    7 / x ; x 9 x 0 . & ( x ) . & ( x + x ) : & ( x ) ,

    donde denota el incremento de la funci$n"

    rficamente1 &( x )

    &( x + x )

    &/ x 0 &( x )

    + x x 9 x n

    l x l

    &omo el inter)s se obtiene mediante la aplicaci$n de la tasa de inter)s : que en este casoes la tasa instantnea ( x ) : al capital, por el tiempo que dura la imposici$n, resulta1

    & ( x ) . & ( x + x ) : & ( x ). & ( x ) ( x ) x

    de modo que el incremento de capital por unidad de tiempo es1

    & ( x ) & ( x + x ) : & (x) . . & ( x ) ( x ) x x

    &uando se hace tender a cero el per(odo de tiempo de amplitud x , este per(odo sereduce a un 3instante4 y el resultado, la derivada de la funci$n & ( x )con respecto altiempo, que refle#a el crecimiento del capital en un instante, representa el crecimientoinstantneo del capital"

    5i la operaci$n se expresa de una manera ms concisa, entonces se tiene1

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    & ( x ) & ( x + x) : & (x) & (x) (x)xlim . lim . lim . & (x) (x)x 0 x x 0 x x 0 x

    5i la derivada de &( x )con respecto al tiempo, x, se denota mediante d & ( x )< dx, setiene que1 d & (x)< dx . & (x) (x), que como se di#o, es el crecimiento instantneo delcapital; es decir, esta f$rmula expresa la masa instantnea de intereses correspondiente aun capital & (x)en virtud de la aplicaci$n de la tasa instantnea de inter)s (x) .

    5i ahora, en cambio, se conoce1

    d & ( x ) . & ( x ) ( x ),dx

    que como se di#o, es el crecimiento instantneo del capital; se desea determinar la masade intereses correspondiente al per(odo / +; n 0 habr que 3agregar4 los intereses que segeneraron correspondientes a cada uno de los instantes que componen ese per(odo" Enel campo continuo esto se hace mediante una integral definida"

    =e modo que1

    d & ( x ) . & ( x ) ( x ) />"?"?0 dx

    d & ( x ) . & ( x ) ( x ) dx

    n n d & ( x ) . & ( x ) ( x ) dx

    0 0

    @ecordando que1 n n d & ( x ) . & ( x ) . & ( n ) : & ( 0 ) 0 0

    resulta1 n & ( n ) : & ( 0 ) . 7 ( 0 ; n ) . & ( x ) ( x ) dx 0

    Esta ltima f$rmula muestra como se calculan los intereses correspondientes al per(odo/ + ; n 0"

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    -uego1 n

    & ( n ) . & ( 0 ) 9 & ( x ) ( x ) dx />"?"A0 0

    Esto permite afirmar, con carcter general, que el valor final es igual al capital inicial mslos intereses generados en el per(odo"

    5i ahora se calcula el incremento de capital por unidad de tiempo y por unidad de capital,es decir, si partimos de />"?"?0 1 d & ( x ) /dx . & ( x ) ( x ) y lo dividimos por & ( x )resulta1

    d & ( x ) . ( x )1& ( x )dx

    &omo1 d & ( x ) es la derivada logar(tmica de la funci$n C ( x) con respecto & ( x )dx

    al tiempo, se tiene1

    d & ( x ) . d ln & ( x ) 1 . ( x ) />"?"B0 & ( x )dx dx

    Esta f$rmula expresa que ( x ), la tasa instantnea de inter)s, se puede obtenercalculando la derivada logar(tmica de la funci$n capital"

    5i, ahora partimos de />"?"B0 y deseamos calcular el valor final que alcanza el capital & (x)

    en el per(odo / + ; n 0 resulta1

    d ln & ( x ) 1 . ( x ) de aqu( que1 d ln & ( x ) . ( x ) " dx dx

    esta ltima es una ecuaci$n diferencial y expresa c$mo se calculan los intereses en unper(odo de tiempo continuo arbitrariamente peque!o de amplitud dx" 5i ahora el clculose extiende al per(odo / + ; n 0 se tiene1

    n n

    d ln & (x) . ( x ) dx 0 0

    =ado que1

    n

    d ln & ( x ) . ln & ( x ) se sigue que10

    n n

    ln & ( x ) . ( x ) dx 0 0

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    n

    ln & ( n ) : ln & ( 0 ). ( x ) dx 0

    y como1

    ln & ( n ) : ln & ( 0 ) . ln & ( n ) se llega a1 & ( 0 ) n

    ln & ( n ) . ( x ) dx & ( 0 ) 0

    %ara eliminar el logaritmo se calcula el antilogaritmo y como se trata de logaritmosnaturales o neperianos el antilogaritmo tiene la forma de e (. . .) . exp /""""0 donde lospuntos suspensivos representan el argumento correspondiente de la funci$n"

    -uego1

    n

    (x) dx ln [C (n) / C(o)]

    0

    e . ey puesto que1

    ln [C(n) / C(o)] e . & ( n )< & (0) .Ya que el logaritmo y el antilogaritmo son

    operaciones inversas, sigue que1

    n

    ( x ) dx 0

    & ( n ) . e ; por ltimo1 & ( 0 )

    n

    ( x ) dx 0

    &( n ) . &( 0 ) e />"?"C0

    -a f$rmula />"?"C0 expresa que el valor final es simplemente el capital inicial multiplicadopor un factor de capitalizaci$n representado por n

    exp * ( x ) dx />"?"D0 0

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    &laro est que la tasa instantnea de inter)s ( x ) debe ser una funci$n integrable deltiempo para que tenga sentido />"?"D0"-as f$rmulas />"?"A0 y />"?"C0 permiten obtener, con carcter general, dos resultados quehab(amos obtenido con anterioridad para los reg(menes de inter)s simple y compuesto en

    el campo discreto1 a0 que el capital final es igual al capital inicial ms los interesesacumulados y b0 que el capital final es igual al capital inicial multiplicado por un factor decapitalizaci$n" 6 diferencia de los casos mencionados, aqu( la validez de los enunciadoses general, para cualquier sistema y se extiende a cualquier per(odo, inclusivesi este esarbitrariamente peque!o, es decir un 3instante4"

    7.$. El inters si%ple en el caso e capitali!aci"n contin#a

    &onsideremos el inter)s simple y tomemos como punto de partida la funci$n capital quees1

    & ( x ). ? 9 i x

    8eniendo en cuenta />"?"B0, la tasa instantnea ( x ), resulta1

    ? d &/ x 0 . ? d /? 9 ix0 . ? " i . i />"A"?0 &/ x 0 dx ? 9 i x dx ? 9 i x ? 9 i x

    ya que d / ? 9 i x 0 . d ? 9 d i x . + 9 i d x . i d x d x d x

    -a tasa instantnea de inter)s ba#o el r)gimen de inter)s simple, i < /? 9i x0, es decrecientea cada instante; por lo tanto se reitera lo que hemos expresado para el caso discreto1 nopuede servir como patr$n de medida del rendimiento"

    5i ahora se toma como punto de partida la tasa instantnea de inter)s, />"A"?0,determinaremos el valor final aplicando />"?"C0" @esulta1

    n

    i dx 0 1+i x

    & ( n) . & ( 0 ) e />"A"A0

    -a soluci$n de i dx es relativamente sencilla" @ecordando que1 i d x . d i x ,

    1+i x

    se puede escribir1 i dx . ? d i x />"A"B0

    1+i x 1+i x

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    [email protected] adems que el diferencial de una constante es cero, />"A"B0 se puede escribirtambi)n1

    ? d ix . ? d /? 9 i x0 />"A"C0"1+i x 1+i x

    5i en esta ltima integral se hace ? 9 i x . u resulta1

    ? du cuya soluci$n es1 ln u" u

    5i aplicamos este resultado a />"A"C0 se sigue que1

    n

    i d /? 9 ix0 . ln /? 9 in0 : ln /? 9 i " +0 . ln / ? 9 in0 : ln /?0 . ln /? 9 in 0 ya que ln /?0 . + 0 ?9 i x

    %or lo tanto, considerando />"A"A0, resulta que1

    & ( n ). & ( 0 ) " e ln (1 + in)

    y como el antilogaritmo y el logaritmo son operaciones inversas y, por consiguiente secancelan, se obtiene1 & ( n ). & ( 0 )" / ? 9 i n 0"

    Esta f$rmula es id)ntica a la hallada para el inter)s simple en el campo discreto, pero sualcance es ms general puesto que n puede tomar cualquier valor real, cosa que no esposible en el otro caso"

    7.&. El inters co%p#esto en el caso e capitali!aci"n contin#a

    6nalicemos ahora el r)gimen de inter)s compuesto" -a funci$n capital es & (x). / ? 9 i 0 x"-uego, la tasa instantnea de inter)s aplicando />"?"B0 resultar1

    ? d &/x0 . ? d /? 9 i0x . ? " /?9 i0 x ln ( 1 + i ) = ln (1+ i) = (>"B"?0&/x0 dx /? 9 i0 x dx /?9 i0 x

    puesto que ln /? 9 i0 no depende de x, entonces se escribe como una constante" 5ecomprueba que en el caso del inter)s compuesto y con caracter(sticas vlidas paracualquier instante, el rendimiento es constante y para subrayar su independencia deltiempo lo denotamos con la letra griega.

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    -a relaci$n />"B"?0, ln /?9i0 . , o bien la forma equivalente e . ? 9 i se puede obtenersiguiendo un camino alternativo, mediante la aplicaci$n del razonamiento que conduce ala obtenci$n del nmero e, base de los logaritmos neperianos"

    -a relaci$n bsica que se puede demostrar es que1

    e . lim / ? 9 ? 0 n

    n n

    &onsideremos ahora un per(odo de capitalizaci$n arbitrario, por e#emplo un a!o, en el queest vigente la tasa /que puede ser nominal o efectiva0, careciendo de importancia estehecho a los fines de la demostraci$n" 5e supone que es infinitamente divisible" 5i ahorase subdivide continuamente el per(odo de capitalizaci$n se obtendrn subper(odos deamplitud k y, consecuentemente, la tasa se deber proporcionar /ya sea directamente oen el exponente0 a la amplitud de esos subper(odos" El valor final correspondiente a unsubper(odo ser1 / ? 9 < 0 y como el per(odo se puede dividir tanto como uno quiera, elvalor final para todo el per(odo resultar1

    lim / ? 9 0 k

    5i se hace1

    . < n se obtiene que < .? < n ; . n , y cuando

    entonces n ya que es una constante" =e modo que1

    lim / ? 9 0 k . lim / ? 9 ? 0 n k

    n n

    En la ltima expresi$n k es redundante ya que si n entonces n k " 6s( queel valor final al cabo de un a!o est dado por1

    lim / ? 9 ? 0 n . * lim */ ? 9 ? 0 n ] ] = e

    n n n n

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    -a expresi$n entre corchetes es el nmero e" 6qu( representa una tasa anualsubdividida constantemente" 5i por otra parte la tasa correspondiente a un per(odo decapitalizaci$n, en este caso el a!o, se expresa mediante i, el valor final resulta / ? 9 i 0"

    Entonces se obtiene1 / ? 9 i 0 . e o bien . ln / ? 9 i 0"

    En forma grfica1

    + ?

    ? e

    ? ? 9 i

    -a ltima igualdad significa que el valor final producido por un capital unitario colocado ala tasa continua al cabo de un a!o es e " 5e verifica que . ln / ? 9 i 0"

    5i ahora el punto de partida es el rendimiento instantneo , correspondiente al inter)scompuesto, el valor final aplicando />"?"C0 resulta1 n dx &( n ) . & ( 0 ) . e 0 />"B"A0

    -a integral es muy sencilla1

    n n n

    dx . dx . " x . n y como 1 . ln / ? 9 i 0 entonces1 0 0 0

    n . n ln / ? 9 i 0 . ln / ? 9 i 0 n"

    6s( que aplicando este resultado a />"B"A0 se tiene1

    ln /?9i0 n

    & ( n ) . & ( 0) . e />"B"B0"

    &omo el logaritmo y el antilogaritmo se cancelan se sigue que1

    & /n0 . & / +0 " /?9i0 n />"B"C0"

    El valor final ba#o el r)gimen de inter)s compuesto est dado por />"B"C0 f$rmula id)ntica a

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    -158-la hallada para las funciones discretas, pero aqu( n puede tomar cualquier valor real y

    adems como el punto de partida aqu( es , se!alemos que i . e : ?"&omo hab(amos se!alado estos desarrollos tienen importancia te$rica, pues permitenextender y generalizar las f$rmulas vlidas para el caso discreto"

    7.'. E(e%plos.

    1. allar el valor final al cabo de dos a!os, de un capital de F ?+"+++ colocadocontinuamente al DG anual" 5e supone capitalizaci$n de intereses"

    . ln /? 9 i 0 " &omo i . +,+D , es 1 . ln /?,+D 0 . +,+CH>I+"

    -uego1 & A. & +J exp / A 0 . ?+"+++ J exp /A" +,+CH>I+ 0 . ??"+AD

    %or otra parte11 & A. & +J / ? 9 i 0 A. ?+"+++ J /?,+D 0 A . ??"+AD"

    2. Efectuar el e#ercicio ? mediante capitalizaci$n continua pero considerando las f$rmulasdel inter)s simple"

    &omo i . +,+D y ( x ) . i < / ? 9 i x 0 resulta 1 (x) . +,+D < /? 9 +,+D x0" 2

    6s( que1 & ( 2 ) . & ( 0 ) J exp * i dx ] resulta10 1+ i x

    2

    & ( 2 ) .?+"+++ J exp * (+,+D < /? 9 +,+D " x0 dx ]. ?+"+++ " eln /? 9 +,+D" A 0

    0

    -uego1& ( 2 ) . & ( 0) / ? 9 A i 0 . ?+"+++ J / ?, ? 0 . ??" +++

    5e puede comprobar que1

    & ( 2 ) . & ( 0) J / ? 9 i 0 J * ? 9 i < / ? 9 i 0 . ?+"+++ J / ?, ? 0 J ?,+C>K?I . ??"+++Este e#ercicio pone de manifiesto de una manera general que el inter)s simple puedeconsiderarse como un caso particular del inter)s compuesto, aqu)l en que el rendimientoes decreciente" N$tese que en ambos e#ercicios el ? y el A se emplearon f$rmulasseme#antes para capitalizar, pero en el e#ercicio A, en el caso del inter)s simple, la tasa

    fue menor"

    -159-

    7.'. La act#ali!aci"n en el ca%po contin#o.

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    %artimos ahora de una funci$n continua en / + ; n 0 cuyo valor nominal es N ( x ), a la quehemos valuado en un momento futuro x" El valor presente en el momento x : x, quedenotaremos mediante N / x:x 0, se ha producido por el descuento = / x :x ; x 0 al valornominal N ( x ). Esto es1

    = / x :x ; x 0 . N / x 0 : N / x :x 0

    Lediante un razonamiento sim)trico al que hemos seguido en el caso discreto se puedesuponer que ese descuento fue generado por la acci$n de una tasa de descuento ( x )aplicada durante el per(odo x al valor nominal N / x 0"

    En forma grfica1

    x : x x

    N / x :x 0 = / x :x ; x 0 . N / x 0 " /x0 x N /x0

    =e modo que el decrecimiento del capital N / x 0, que denotaremos mediante N ( x )es1

    : N ( x ) . N ( x - x ) : N ( x ) . N ( x )( x )x

    5i se considera entonces el decrecimiento por unidad de tiempo se obtiene1

    : N ( x ) . N ( x - x ) : N ( x ) . N ( x )( x ) x x

    %ara determinar el decrecimiento que se produce en un instante hacemos tender x acero y obtenemos el l(mite respectivo" -uego1

    lim : N ( x ) . lim N ( x - x ) : N ( x ) . N ( x )( x ) (7.4.1) x + x + x

    Esto significa que1

    : d N ( x ) . N ( x )( x ) o lo que es id)ntico1

    dx

    d N ( x ) . : N ( x )( x ) />"C"A0dx

    -a f$rmula />"C"A0 expresa que la masa de descuento correspondiente a un per(odo-160-

    arbitrariamente peque!o est dada por el producto de la tasa de descuento instantnea

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    ( x ) aplicada al valor nominal N ( x ). -a continuidad de N ( x )y la de ( x ) #ustificanque se denomine a esta ltima, tasa instantnea de descuento, pues ese producto tienevigencia : y por lo tanto genera descuento: en per(odos infinitesimales de tiempo"

    5i ahora se desea determinar el descuento que corresponde al per(odo / :n ; + 0,considerando />"C"A0 se tiene1

    d N ( x ) . : N ( x )(x) dx />"C"B0

    Esta f$rmula permite calcular la cantidad de descuento que tiene un capital N ( x )en uninstante de amplitud dx por la aplicaci$n de la tasa instantnea de actualizaci$n (x)" 5ila relaci$n />"C"B0 se extiende al per(odo /:n ; +0, resulta1

    0 0 0 d N ( x ) . : N ( x ) ( x ) dx . : N ( x ) ( x ) dx -n -n -n

    y como1

    0 0

    d N ( x ) . N ( x ) . N ( -n ) : N( 0 ) se obtiene1 -n -n

    0

    N ( -n ) : N ( 0 ) . : N ( x ) ( x )dx o bien1 -n

    0

    N ( -n ). N ( 0 ): N ( x ) ( x )dx />"C"C0 -n

    rficamente1

    : n +

    0

    N / :n 0 = / :n ; + 0 . N / x 0 / x 0 dx N /+0 -n

    -a ecuaci$n />"C"C0 expresa que el valor presente N ( -n )es el valor Nominal N ( 0 ) 0menos el correspondiente descuento expresado por la integral N / x 0 / x 0 dx" -n

    5i se quiere obtener la tasa instantnea de actualizaci$n, o sea el descuento obtenido porunidad de tiempo :en este caso el 3instante4: y por unidad de capital, se puede dividir

    />"C"A0 por N / x 0 para obtener"

    ? " d N ( x ) . ? "* : N ( x )( x ) . : ( x ) />"C"D0N ( x ) dx N ( x )

    -161-

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    5i se comparan />"C"A0 con la f$rmula relativa al crecimiento instantneo del inter)sderivado de un capital &( x ),esto es d & ( x ) < dx . & ( x ) ( x ), o bien />"C"D0 con laf$rmula que permite obtener la tasa instantnea de inter)s1

    ? " d & ( x ) . ( x ) ,& ( x ) dx

    se comprueba que si N ( x ) es reemplazado por & ( x ) : ya que se trata de dosdenominaciones distintas para una misma funci$n, la funci$n capital : entonces1

    :( x ). ( x ), o bien ( x ). : ( x )" />"C"K0"

    Esto implica que para cualquier per(odo las tasas de inter)s y de descuento son opuestas,es decir ( x ) 9 ( x ) . +" -a relaci$n />"C"K0 adems permite simplificar el tratamientodel proceso de actualizaci$n y referirlo al de capitalizaci$n" %or e#emplo, la tasainstantnea de actualizaci$n que obtuvimos en />"C"D0, podemos deducirla directamentede />"?"B0" En efecto, si se multiplica por /:?0 a ambos miembros de />"?"B0, esto es1

    : ? " d & ( x ) . : ( x ) , se sigue que1 & ( x ) dx

    : ? " d & ( x ) . ( x ) , en virtud de />"C"K01 & ( x ) dx

    N$tese que (x) = : d ln N(x) / dx />"C">0 , la tasa instantnea de actualizaci$n, es laderivada del logaritmo de la funci$n valor nominal, N (x),: o funci$n capital &( x ) :, conrespecto al tiempo, multiplicada por /:?0"

    =e />"C">0 se obtiene que1 d ln N (x) . :(x) .dx " Esta relaci$n permite calcular eldescuento que se genera en un instante, as( que si se considera el per(odo /:n ; +0 resulta1

    0 0

    d ln N ( x ) . : ( x ) dx -n -n

    o bien1

    0 0

    ln N ( x ) . : ( x ) dx -n -n

    -162-

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

    15/31

    5e deduce entonces que1

    0 ln N( -n ): ln N( 0 ) . ln N ( -n ) . : (x) dx, N ( 0 ) -n

    o sea1

    N ( -n ) 0 ln . : ( x ) dx N ( 0 ) -n

    -uego tomando el antilogaritmo1

    0

    ln N (-n) : ( x )dx

    e N (0) . e -n

    y como el logaritmo y el antilogaritmo se cancelan se obtiene1

    0 : ( x )dx N( -n ) . N ( 0 ) " e -n

    o bien1 0

    ( x )dx N ( -n ) . N ( 0 ) " e -n />"C"H0

    Esta ltima relaci$n expresa que el valor actual N / :n 0 es igual al valor futuro N ( 0 )actualizado continuamente en el intervalo /:n ; + 0 mediante la aplicaci$n del factor deactualizaci$n1

    0

    : ( x )dx-n

    e

    0

    Este ltimo factor de actualizaci$n se puede expresar tambi)n como exp * ( x ) dx

    puesto que ( x ) . : ( x ) " -n

    -os resultados anteriores se pueden presentar en forma grfica de la siguiente manera1

    -163-

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    : n +

    0

    N /:n0 . N /+0 " exp * : /x0 dx N / + 0 -n

    0

    N /:n0 . N /+0 " exp * / x 0 dx N /+0 -n

    5i en />"C"H0 se reemplaza / x 0 por : / x 0 se obtiene una relaci$n ya vista durante elproceso de capitalizaci$n continuo"

    En efecto1

    0

    / x 0 dx -n

    N / :n 0 . N / + 0 " e " Esta f$rmula se puede transformar puesto que1

    0 n 0 n

    " " " . : " " " as( que1 / x 0 dx . : / x 0 dx y entonces1-n 0 n 0

    n

    n

    N / :n 0 . N / + 0 "exp *: / x 0 dx o bien1 N /+0 . N /:n0" exp * / x 0 dx que0 0

    n

    es id)ntica a1 & / n 0 . & / + 0 " exp * / x 0 dx puesto que en el caso de la 0

    actualizaci$n continua, por razones didcticas, se desplaz$ el per(odo n unidades hacia laizquierda y la funci$n capital se expres$ medianteN ( x )en lugar de & ( x ).

    -os resultados obtenidos pueden presentarse en forma grfica de la siguiente manera1

    : n +

    0

    / x 0 dx N /:n0 . N /+0 " e - n N / + 0

    0

    : / x 0 dxN /:n0 . N /+0 " e - n N / + 0

    -164- + n

    n

    / x 0 dx

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    & / + 0 & / n 0 . & / + 0 " e 0

    n

    : / x 0 dx& / + 0 . & / n 0 " e 0 & /n0

    8odas las f$rmulas consignadas en el grfico son equivalentes y sintetizan las distintasmaneras que pueden considerarse para capitalizar o bien para actualizar en el campocontinuo"

    7.5. )e*+%enes e esc#ento partic#lares, el esc#ento co%p#esto- el esc#ento irecto el esc#ento racional.

    En el caso del descuento compuesto se tiene que1

    N ( x ) . ? . / ? 9 i 0 x" 5i se utiliza />"C"D0, entonces1

    /? 9 i0 x

    *? < N ( x ) d N ( x ) . : ( x ). ( x )" =e modo que si se aplica adx

    N ( x ). / ? 9 i 0 xse tiene1

    ? " d /? 9 i0 x . ? " /?9i0 x * ln /?9i0 /:?0 . : ln /?9 i0 . 1 . : />"D"?0/? 9 i0 x dx /? 9 i0 x

    reemplazando ln /?9i0 por en virtud de />"A"D0"

    En />"D"?0 1 representa la tasa instantnea de descuento y : la tasa instantnea deinter)s" 5ea que se actualice mediante 1 o bien mediante /:0 se verifica que esas tasasson constantes que no dependen del tiempo" 8ambi)n se verifica que /:0 es opuesta ala tasa instantnea de capitalizaci$n" -a interpretaci$n de /:0 es que en el proceso de

    actualizaci$n del r)gimen de descuento compuesto se puede emplear la tasa instantneade actualizaci$n 1 o bien la tasa instantnea de inter)s con el signo cambiado /:0"

    -165-N$tese que este resultado se pod(a haber obtenido inmediatamente, ya que si en elproceso de capitalizaci$n a inter)s compuesto / x 0 es igual a . ln /?9i 0, en virtud dela igualdad ( x ). : ( x )"se obtiene ( x ) . : ( x ) . : . 1"

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    5i ahora consideramos a :como el punto de partida, entonces el valor actual, aplicando/>"C"H0 para el per(odo / : n ; + 0 resulta1

    0

    :/ x 0 dx -n

    N / :n 0 . N / +0 " e />"D"A0 "y como1

    0 0 0 :dx . : dx . :" dx . :* + : / : n 0 . : n

    -n -n -n

    y dado que1 . ln / ? 9 i 0

    se sigue que1 : n . : n ln / ? 9 i 0 . ln / ? 9 i 0 -n

    %or lo tanto />"D"A0 resulta1:n

    N / :n 0 . N / +0 " eln (1 + i) />"D"B0 "

    y como el logaritmo y el antilogaritmo se cancelan se puede escribir1

    N / :n 0 . N / + 0 " /? 9 i 0 -nes decir1 N / :n 0 . N / + 0 < /? 9 i0 n />"D"C0

    6 continuaci$n se presenta un esquema grfico con este resultado1

    : n +

    N / :n 0 . N / + 0 " N / + 0 /? 9 i0 n

    -a f$rmula />"D"C0 es similar a la hallada en el caso discreto, con la salvedad que ahora esvlida para todo n real perteneciente al intervalo /:n ; +0 y, por lo tanto, se comprueba concarcter general, que en este r)gimen de actualizaci$n el rendimiento instantneo, , esconstante durante todo el proceso ya sea de actualizaci$n o de capitalizaci$n"

    -n

    -a relaci$n />"D"B01 N / :n 0 . N / + 0 " eln (1 + i) teniendo en cuenta que1

    -166-

    ln /? 9 i0 -n. : n ln /?9i 0 . : n "

    se suele expresar tambi)n como1

    N / :n 0 . N / + 0 " e- n

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    y si se considera un solo per(odo de actualizaci$n, esto es n . ?, un capital unitario,N / + 0 . ?, y a N / :? 0 se lo denomina v, resulta1

    v . e - " />"D"D0

    rficamente1

    : ? +

    v . e - F ?

    -a expresi$n />"D"D0, permite determinar que el factor continuo de actualizaci$n para un

    per(odo, correspondiente al capital unitario es e - " &omo el correspondiente factor

    continuo de capitalizaci$n es e se sigue que el inter)s compuesto y el descuento

    compuesto son operaciones con#ugadas puesto que el producto de los respectivosfactores de capitalizaci$n y de actualizaci$n es igual a la unidad"

    En el caso del descuento directo se tiene que N ( x ) . ? : i x" Entonces, si se aplica/>"C"D0 para calcular ( x ), la tasa instantnea de actualizaci$n, se obtiene1

    ? " d N ( x ) . : ( x ) o sea1 ? " d /? : i x0 . ? / : i 0 . 2 N ( x ) dx ? : i x d x ? : i x

    y como1 ( x ) . : ( x )

    entonces1

    ( x ) . : 2 . i />"D"K0" Esta ltima f$rmula pone de manifiesto que la tasa ? : i xinstantnea de rendimiento en el inter)s directo es una funci$n creciente del tiempopuesto que el numerador es constante y el denominador es decreciente" Esto ya hab(asido analizado cuando se consider$ el descuento directo y aqu( simplemente se extiendela validez de esa afirmaci$n a cualquier instante del intervalo / :n ; +0" &omo ya secomentara este resultado pone en entredicho la transparencia de esta modalidad dedescuento"

    5i ahora se parte de />"D"K0 y se aplica />"C"H0 se obtiene1

    0

    N ( -n ) . N ( 0 ) " exp * i dx -n ? : ix

    -167-y como1

    0 0

    i dx . : i d / ? : i x 0 .

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    - n ? : ix - n ? : ix n n

    i d / ? : i x 0 . ln / ? : i x 0 . ln / ? : in 0 : ln ( 1 ). ln /?:i n 0 0 ? : ix 0

    =e modo que1

    N ( -n ) . N ( 0 ) " exp * ln / ? 2 i n0

    o sea1

    N ( -n ) . N ( 0 )" / ? 2 i n 0 />"D">0

    rficamente1

    :n +

    N /: n0 . N/+0 /?:i n0 = /: n ; +0 . N /+0"i"n N /+0

    -a f$rmula />"D">0 indica que si el punto de partida es una tasa instantnea conrendimiento creciente, i < /? 2 i x0, entonces se obtiene el descuento de la operaci$n,= ( - n ; 0 ) como el producto N /+0"i"n en el que la tasa de inter)s i, se aplica sobre uncapital N (0)que nunca fue recibido por el deudor"

    N$tese tambi)n que el factor de actualizaci$n en el descuento directo es1

    N / + 0 . ? < / ? : in 0 N /+0"/ ? :i"n 0

    y como no existe : al menos prcticamente : ningn factor de capitalizaci$n cuya formasea / ? : in 0, entonces esta modalidad de descuento carece de la respectiva operaci$ncon#ugada"

    En el descuento racional se tiene que1

    N / x 0 . ? " . / ? 9 x i 0-1

    ? 9 i x

    -168-

    as( que si aplica />"C"D0 resulta1

    ? " d N (x) . ? " d/?9 xi0-1 . ? " /:?0 " /? 9 xi0 -2" i . : i . 3

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    N (x) dx /?9xi0 -1 dx /?9xi0 -1 ?9xi

    y como1 ( x ). : ( x )"

    se tiene que1

    ( x ) . i />"D">0 " Esta f$rmula refle#a el hecho que el rendimiento?9x i

    es decreciente en el tiempo"

    5i ahora se parte de />"D">0 y se aplica />"C"H0 resulta1

    0

    N ( -n ) . N ( 0 ) " exp * i dx />"D"H0 -n

    ? 9 x i

    como1

    0 0 n n

    i dx . i d / ? 9 ix 0 . : i d / ? 9 ix 0 . : ln / ? 9 ix 0 . -n? 9 ix -n? 9 ix 0 ? 9 ix 0

    . : ln / ? 9 ni 0 : ln /?0 . : ln / ? 9 ni 0 . ln / ? 9 ni 0 -1

    5i este resultado se incluye en />"D"H0 se obtiene1

    N ( -n ) . N ( 0 ) " exp * ln / ? 9 i n 0 -1 . N ( 0 ) "? 9 i n

    rficamente1

    : n +

    N ( -n ) . N (0) " N / + 0 ? 9 in

    El factor de actualizaci$n es en este caso ? < / ? 9 i n 0 y por lo tanto este-169-

    sistema de descuento puede considerarse como el con#ugado del inter)s simple" 5inembargo, se recuerda que esta modalidad de actualizaci$n carece de importanciaprctica"

    -os resultados obtenidos ba#o el r)gimen de capitalizaci$n continua son anlogos a losderivados antes en el campo discreto" =e ellos s$lo emerge el sistema de inter)s

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    compuesto : ya sea en sus variantes de capitalizaci$n o descuento: como el nico conrendimiento constante y esto #ustifica, como ya se se!alara, que se lo utilice como patr$nde medida del rendimiento" El empleo de este sistema evitar efectuar clculosadicionales pues la tasa efectiva de la operaci$n coincide con la tasa contractual pactada;sin embargo, dado que en la prctica financiera habitual, como hemos visto, coexistendiversos sistemas de capitalizaci$n y de descuento, )stos debern ser evaluados

    mediante las reglas del inter)s compuesto para determinar la tasa efectiva impl(cita enesas operaciones"

    7./. E(ercicios.

    1. M&ul ser la tasa anual instantnea de inter)s que corresponde al ?A,AHG vencidoanual efectivo

    Solucin:

    Nuestro dato es la tasa efectiva anual de inter)s y sabemos que la tasa instantnea seobtiene mediante . ln / ? 9 i 0, as( que1 . ln / ? 9 +,?AAH 0

    . +,??DHADK o sea el ??,DHADKG

    2. 5i la tasa instantnea anual de inter)s fuera del ??,D+G " M&ul ser(a lacorrespondiente tasa nominal anual de inter)s para el plazo de I+ d(as

    Oolcamos los datos en un e#e de tiempo1

    + I+ BKD

    8asa instantnea . +,??D

    8asa efectiva anual .

    i 90

    8asa Nominal 6nual .

    allamos la tasa efectiva anual, partiendo de-170-

    = ln (1 + i ) ; i . e : ? ; i . e 0,115: ? . +,?A?H>BC"

    Pbtenemos la tasa equivalente para el plazo de I+ d(as1

    i 90. / ? 9 +,?A?H>BC090 / 35. +,+AH>KA

    -uego se obtiene la tasa nominal anual para el plazo de I+ d(as1

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    +,+AH>KA x BKD 8"N"6" / I+ 0 . . +,??KKCDI

    I+

    Respuesta:-a tasa nominal anual de inter)s para el plazo de I+ d(as es +,??KKCDI o sea el ??,KKCDIG

    3. 5i la tasa efectiva anual de descuento fuera del ?+,D+G" allar la correspondiente tasainstantnea de descuento . :" %artiendo de esta ltima tasa, hallar la tasa equivalentede descuento a K+ d(as"

    Solucin:

    . : ln / ? : d 0 ; . : ln / ? : +,?+D+ 0 . +,??+IB?K

    -a tasa equivalente de descuento a K+ d(as se obtiene aplicando la siguiente f$rmula1

    / ? 2 d 00 35 / 0 . e -0,110931

    despe#amos d 0 y obtenemos nuestra inc$gnita1

    / ? 2 d 00 35/0 . +,HID ; d 0. ? : +,HID0 / 35. +,+?H+>+?

    4. Qn capital de F ?+"+++ colocado el AB

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    & +. & BJ exp * : / ?9 A9 B0 ; ?. ln ?,+> . +,+K>KDI ;

    A. ln /?,+KD0 . +,+KAI>D ; B. ln /?,+KH+0 . +,+KD>H>>"

    & +. ?+"+++ J exp * : / +,?IKCA?> 0 . HA?K,KK"

    6l mismo resultado se llega mediante1 & +. ?+"+++ < * ?,+> J ?,+KD J ?,+KH 0 . HA?K,KK"

    Este ltimo procedimiento es obviamente mucho ms sencillo"

    6. Ru) sentido tiene una propaganda que anuncia que se aplicar tasa continua paracapitalizar los dep$sitos y que estos ganarn intereses hasta el momento del cobro

    Ninguno" Es un mero recurso publicitario" En la prctica no se pueden acreditar intereseshasta el momento del cobro"

    7. Ru) significado te$rico y prctico le asigna a la continuidad de las tasas de inter)s

    emos visto que la continuidad no tiene gran importancia prctica, sin embargo permitegeneralizar la teor(a comprobando su validez hasta en la m(nima unidad de tiempo" Enciertos anlisis ms avanzados como por e#emplo el referido a las opciones de compra esms simple el tratamiento continuo"

    Qna opci$n de compra tambi)n denominada 3call4 es una operaci$n financiera en la queuna parte denominada lanzador o vendedor se obliga a vender a la otra denominadacomprador o titular un cierto activo a un cierto precio, denominado de e#ercicio, en unper(odo o en una fecha dada"

    8. Ru) trata de refle#ar la tasa instantnea de inter)s

    El crecimiento de un capital unitario en la unidad de tiempo m(nima, es decir, en uninstante" n9. Explique por qu) & ( n ) . & ( 0 ) 9 & ( x ) ( x ) dx representa con carcter

    0

    general el valor final de un capital & ( 0 ) valuado en el momenton

    En el segundo miembro de la expresi$n precedente en tanto que & ( 0 ) representa elcapital inicial, la integral representa los intereses ganados en el per(odo * + ; n " Notemos

    -172-

    que el integrando refle#a la aplicaci$n de una tasa de inter)s ( x ) a un capital & ( x )durante un tiempo muy peque!o, digamos un instante, representado por dx" -a integralacumula ese inter)s para todos los instantes comprendidos entre +, el momento de laimposici$n y n, el momento de la acreditaci$n o de cobro" -a generalidad est garantizadaporque la relaci$n es vlida para capitales, tasas y tiempos cualesquiera, con lasrestricciones de continuidad y que los resultados tengan sentido financiero"

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    10.MRu) representa1 ( x ). d & ( x ) !& ( x )dx

    -a tasa instantnea de inter)s, el crecimiento de un capital unitario en la m(nima unidadde tiempo, es decir, en un instante" En tanto que el crecimiento del capital o inter)s estrefle#ado por d & ( x ), el crecimiento por unidad de capital se logra dividiendo por & / x 0 y

    la unidad de tiempo est referenciada por dx"

    N$tese que1 d & ( x ) =& ( x )( x )dx es la relaci$n analizada en el e#ercicio anterior;hab(amos visto que con carcter general el inter)s se obtiene aplicando una tasa : que eneste caso es instantnea 2 a un capital por el tiempo que dura la exposici$n" El intervaloes muy peque!o, tan peque!o como se desee"

    11. Ru) representa la f$rmula1 n ( x ) dx 0

    &( n ) . &( 0 ) e

    -a f$rmula precedente muestra que el valor final se obtiene multiplicando el capital inicialpor un factor de capitalizaci$n representado por n

    exp * ( x ) dx 0Estas f$rmulas son vlidas para los dos sistemas de capitalizaci$n conocidos1 el inter)ssimple y el inter)s compuesto"

    12. M&ul es la tasa de inter)s instantnea en el inter)s simple MRu) significado tiene

    -a tasa de inter)s instantnea en el inter)s simple es ( x ) . i < /? 9 i x 0 " -a f$rmulamuestra que para una tasa de inter)s pactada i, la tasa aplicada o efectivacorrespondiente al momento x es menor que i, de manera que en el inter)s simple, unsistema que se caracteriza por no capitalizar los intereses, por fuerza el rendimiento esdecreciente en el tiempo"

    &omo esta f$rmula tiene carcter general podemos aplicarla a cualquier per(odo detiempo, ya sean a!os, segundos, meses o instantes" %or e#emplo, sea i . +,+D y x . +,?,A, B, C" Entonces1( 0 ) . +,+D < /? 9 +,+D J +0 . +,+D ; ( 1 ) . +,+D < /? 9 +,+D J ?0 . +,+C>K?I

    -173-

    ( 2 ) . +,+D < /? 9 +,+D J A0 . +,+CDCDCD ; ( 3 ) . +,+D < /? 9 +,+D J B 0 . +,+CBC>HB

    ( 4 ) . +,+D < /? 9 +,+D J C0 . +,+C?KKK>"

    6s(1 & D. ? 9 D J +,+D . ?,AD" Este resultado tambi)n se puede obtener mediante1

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    & D. ?,+D J ?,+C>K?I J ?,+CDCDCD J ?,+CBC>HB J ?,+C?KKK> . ?,AD"

    13. Sustificar que1 ? 9 n i . /? 9 i 0 J /? 9 i 10 J / ? 9 i 20 J """"""" J /? 9 i n - 1 0

    donde1 i k . i < /?9 i k 0 e i 0 . i "

    En el punto >"A se ha mostrado que la tasa de inter)s correspondiente al k2)simo per(odoen el inter)s simple es1 ik . i < /? 9 i k 0 y el valor final para n per(odos de capitalizaci$npuede obtenerse efectuando el producto de los n factores de capitalizaci$n, as( que se

    #ustifica el empleo del segundo miembro de la igualdad" %or otra parte, el primer miembrorepresenta el valor final a inter)s simple, de manera que la igualdad formaliza el hecho dehaber obtenido el valor final a inter)s simple mediante dos procedimientos diferentes1 ?0directamente, por medio de la f$rmula ? 9 i" n y A0 mediante el producto de n factores decapitalizaci$n de magnitud decreciente, caracter(stica del rendimiento a inter)s simple"

    14. %robar que1 ? 9 n i . /? 9 i 0 J /? 9 i 10 J / ? 9 i 20 J """"""" J /? 9 i n - 1 0

    1 1(1 ) (1 )....(1 ) (1 ) (1 )....(1 )1 1 ( 1)

    n

    i ii i i i

    i n i

    + + + = + + ++ +

    5i se efectan las sumas indicadas en el segundo miembro este resultar1

    1 2 1

    (1 ) ( )....( )1 1 ( 1)

    i nii

    i n i

    + ++

    + +

    5i ahora cada denominador se simplifica con el factor de capitalizaci$n precedente, elnico factor que no se cancela es ? 9 n i , que es el resultado deseado"

    15.Lostrar que 11

    k

    k

    k

    ii

    i+ =

    +

    5i en 11 ( 1)

    k

    ii

    i k+ =

    + +dividimos el numerador y el denominador del segundo miembro

    por / ? 9 i k 0 la expresi$n se transforma en1 11

    1 1

    1

    k

    k

    k

    i

    iiki

    ik i i

    ik

    +

    += =+ + +

    +

    -174-6s( por e#emplo si i . +,+D, entonces1i 0 . +,+D < /? 9 +,+D J +0 . +,+D ; i 1 . +,+D < /? 9 +,+D J ?0 . +,+C>K?I

    i2 . +,+D < /? 9 +,+D J A0 . +,+CDCDCD ; i3 . +,+D < /? 9 +,+D J B 0 . +,+CBC>HB

    i4 . +,+D < /? 9 +,+D J C0 . +,+C?KKK>"

  • 7/24/2019 libro1.sexta Capitalizacin y actualizacin continuas

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    5e tendr1 iC . i B < / ? 9 i B0 . +,+CBC>HB < ?,+CBC>HB . +,+C?KKK>

    i 3 = i 2 / ( 1 + i 2 ) = +,+CDCDCD < ?,+CDCDCD= +,+CBC>HB y as( siguiendo"

    16.5i la tasa instantnea de inter)s es ( x ). +,> i/ (? 9 +,> i x 0 "&ul es el valor finalal cabo de n per(odos!

    n n

    & /n 0 = C ( 0 ) exp * ( x ) dx . C ( 0 ) exp * T+,+> < /? 9 +,+> " i " x )U dx 0 0

    n

    & /n 0 = C ( 0 ) exp * T? < /? 9 +,+>" i " x )U d / ? 9 +,+> i x . C ( 0 ) exp * ln / ? 9 +,> i n 0 0

    & / n 0 . ? 9 +,> " i " n

    17. M&ul es la tasa instantnea de inter)s correspondiente al inter)s compuesto " MRu)significado tiene M &$mo se puede calcular

    -a tasa instantnea de inter)s correspondiente al inter)s compuesto es " Es unaconstante; significa que en este sistema el rendimiento es constante a trav)s del tiempo"5e puede calcular mediante1 . ln / ? 9 i 0

    18.5i se parte de una tasa anual y se efecta capitalizaci$n continua, M c$mo se#ustifica el empleo de e !

    5i consideramos un per(odo de un a!o, en el que est vigente la tasa y subdividimoscontinuamente el per(odo de capitalizaci$n y la tasa se obtendrn subper(odos deamplitud k donde est vigente la tasa < " El valor final correspondiente a unsubper(odo ser1 / ? 9 < 0 y como el per(odo se puede dividir tanto como uno quiera, elvalor final para todo el per(odo resultar1

    lim / ? 9 0 k

    El l(mite de esta expresi$n es e .

    -175-

    5i por otra parte la tasa correspondiente a un per(odo de capitalizaci$n, en este caso ela!o, se expresa mediante i, el valor final resulta / ? 9 i 0"

    Entonces se obtiene1 / ? 9 i 0 . e o bien . ln / ? 9 i 0"

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    19.MRu) significa que1 & / n 0 . & / + 0 " e n "

    El significado esque se trata del valor final de un capital inicial & / + 0 colocadocontinuamente a inter)s compuesto a la tasa constante " El resultado final esid)ntico a& / n 0 . & / + 0 " ( 1 + i )nen la que . ln / ? 9 i 0"

    20.MRu) representa / x 0 MRu) relaci$n tiene con / x 0

    / x 0 es la tasa instantnea de actualizaci$n, o sea el descuento obtenido por unidad detiempo :en este caso el 3instante4: y por unidad de capital"

    5e tiene que1 ? " d N ( x ) . ? "* : N ( x )( x ) . : ( x )

    N ( x ) dx N ( x )

    &omo11 ? " d & ( x ) . ( x ) ,

    & ( x ) dxse comprueba que si N ( x ) es reemplazado por & ( x ) : ya que se trata de dosdenominaciones distintas para una misma funci$n, la funci$n capital : entonces1

    :( x ). ( x ), o bien ( x ). : ( x )"

    21. MRu) significa que d N / x 0 . : N / x 0 " / x 0 " dx

    Esta f$rmula permite calcular el descuento que tiene un capital N ( x )en un per(odo deamplitud dx"

    0

    22. MRu) significa1 N ( -n ). N ( 0 ): N ( x ) ( x )dx -n

    -a ecuaci$n expresa que el valor actual, N ( -n ),es el valor Nominal N ( 0 ) 0menos el correspondiente descuento expresado por la integral N / x 0 / x 0 dx" -n

    -176-

    5i el tiempo se expresa en el orden usual, entonces1n

    N ( 0 ). N ( n ): N ( x ) ( x )dx0

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    0

    : ( x )dx23. MRu) significa1 N( -n ) . N ( 0 ) e -n "

    Rue el valor actual N / :n 0 es igual al valor futuro N ( 0 )actualizado continuamente en elintervalo /:n ; + 0 mediante la aplicaci$n del factor de actualizaci$n1

    0

    : ( x )dx-n

    e

    0

    : ( x ) dx24. Sustifique que1 N( -n ) . N ( 0 ) e -n "

    0

    : ( x )dx5i en1 N( -n ) . N ( 0 ) e -n

    se reemplaza1 :( x ) por ( x ) se obtiene la expresi$n deseada"

    25.Sustifique que en el r)gimen de descuento compuesto es1

    a0 ( x ). : y b0 & / : n 0 . & / + 0 J exp * : n "

    a0 8eniendo en cuenta que1 ( x ) = y que :( x ). ( x ) sigue que1 / x 0 . : "

    b0 &omo en el inter)s compuesto es & / n 0 . & / + 0 exp * n y la actualizaci$n y lacapitalizaci$n son operaciones inversas, sigue que1

    & / + 0 . & / n 0 exp * : n

    y si ahora se desplaza el e#e del tiempo n unidades hacia la izquierda se obtiene1

    & / : n 0 . & / + 0 J exp * : n

    -177-

    26. MRu) representa v n. exp * : n

    Es el factor de actualizaci$n del descuento compuesto por unidad de valor nominal,correspondiente a n per(odos"

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    + n

    v n. exp * : n ?

    27.MRu) representa ( x ) . i < /? : i x 0 en el descuento directo "-a f$rmula pone de manifiesto que la tasa instantnea de rendimiento en el inter)s directoes una funci$n creciente del tiempo puesto que el numerador es constante y eldenominador decrece" El acreedor obtiene rendimientos crecientes y el deudordecrecientes" Este resultado pone en entredicho la transparencia de esta modalidad dedescuento"

    28. MRu) significado le atribuye a ( x ) . i < /?9x i 0 correspondiente al descuentoracionalEsta f$rmula refle#a el hecho que el rendimiento es decreciente en el tiempo"

    5i por e#emplo, la tasa de inter)s que corresponde a un per(odo dado es i, entonces enel descuento compuesto el rendimiento de la operaci$n en cada per(odo es igual a i, entanto que en el descuento racional, a medida que pasa el tiempo la tasa efectiva de laoperaci$n es cada vez ms peque!a e inferior a i" Esto resulta per#udicial para elacreedor, motivo por el cual este sistema de descuento no se utiliza en la prctica"

    29.&omente por qu) los diversos sistemas de capitalizaci$n y de descuento debern serevaluados mediante las reglas del inter)s compuesto para determinar la tasa efectiva

    impl(cita en esas operaciones"

    El sistema de inter)s compuesto : ya sea en sus variantes de capitalizaci$n o descuento:es el nico sistema con rendimiento constante y esto #ustifica, como ya se se!alara, quese lo utilice como patr$n de medida del rendimiento" -as valuaciones adems sonarm$nicas en el sentido que cualesquiera sea el punto del tiempo en el que se efecte lavaluaci$n los resultados son consistentes, es decir, expresan los mismos rendimientos"

    Esto no ocurre en los otros sistemas de capitalizaci$n o de descuento, en estos el patr$nde medida del rendimiento var(a y no es posible evaluar una operaci$n financiera con unaunidad de medida que no es constante"

    30. 5i la tasa efectiva de descuento a I+ d(as fuera del BG" allar la correspondientetasa instantnea anual de descuento correspondiente al descuento compuesto"

    -178-El punto de partida es d / I+ 0 . +,+B" -uego, la tasa efectiva anual de descuento d,resulta1 d . ?: / ? 2 d /I+ 0 0 35 / 90. +,??KA+C"

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    Entonces i . 86E . d < / ? 2 d 0 . +,??KA+C < / ? 9 +,??KA+C 0 . +,?B?CHB " 6s( que 1. ln / ? 9 i 0 . ln / ?,?B?CHB 0 . +,?ABDAI"

    =e otra forma1 como . ln / ? 9 i 0 . ln *? 9 d < / ? 2 d0 . ln * ? < / ? 2 d 0 .

    ln * ? < / ? 2 +,??KA+C 0 . +,?ABDAI"

    Qn tercer razonamiento nos muestra la siguiente relaci$n que la presentamosgrficamente1

    + n

    exp * : ? ?: d ?

    6s( que1 exp * : .?: d , sigue que 1 . : ln / ?: d 0 . : ln / ? 2 +,??KA+C 0 . +,?ABDAI

    -a tasa instantnea anual de descuento es +,?ABDAI+ $ sea el ?A,BDAIG

    31.5i la tasa continua anual de inter)s puede considerarse que en el a!o A+++ fue KG yen A++? fue K,DG MRu) inter)s puede obtener un capital de FAD"+++ depositado a esastasas al cabo de los dos a!os

    2000. +,+K ; 2001. +,+KD-uego1 2000, 2001. e 1" e 2 : ? . e 0,0 " e 0,05 : ? . +,?BB?CH

    6s( que para F AD"+++ resultarun inter)s de 1F AD"+++ J +,?BB?CH . F BBAH,>+"

    -179-