capitalización compuesta

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CAPÍTULO 2. Capitalización compuesta. Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores). Páginas de interés Masters Cursos Oposiciones Convenios Colectivos CEF Legal BB.DD Opositores.com UDIMA - Universidada Distancia de Madrid CLUSTER E-Business Libros Gratis Libro de Contabilidad Libro de Fiscal e Impuestos Libro de Laboral Libro de Civil y Mercantil Libro de Marketing Libro de Networking Libro de Tests Psicotécnicos Libro de Gestión Sanitaria Libro de e-Learning Blogs Blog del Grado en ADE Blog del Grado en CC.TT y RR.HH Blog del Grado en Derecho Blog del Grado en Historia Blog del Grado en Informática Blog del Grado en Ingeniería de Organización Industrial Blog del Grado en Periodismo Blog del Grado en Psicología Blog del Grado en Turismo Blog del Grado en Criminología Blog en Educación y TIC's Síguenos en: Entidades Colaboradoras: Página 1 de 1 21/11/2014

Author: sonia-gutierrez

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Capitalización Compuesta

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  • CAPTULO 2. Capitalizacin compuesta.

    Las operaciones en rgimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en rgimen de simple, a medida que se van

    generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en perodos siguientes (son productivos). En

    definitiva, lo que tiene lugar es una capitalizacin peridica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada perodo se calculan sobre

    capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de perodos anteriores).

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  • 1. Capitalizacin compuesta

    1.1. CONCEPTO

    Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicacin de la ley financiera de

    capitalizacin compuesta.

    1.2. DESCRIPCIN DE LA OPERACIN

    El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulacin al capital inicial (C0) de los intereses que peridicamente se van generando y que, en este

    caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operacin (n), pudindose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente

    invertido.

    1.3. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

    Los intereses son productivos, lo que significa que:

    Grficamente para una operacin de tres perodos:

    1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIN

    El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho perodo. De esta

    forma, la evolucin del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

    Momento 0: C0

    Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i)

    Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) =

    = C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2

    Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) =

    = C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3

    Momento n:

    Cn = C0 x (1 + i)n

    Expresin que permite calcular el capital final o montante (Cn) en rgimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de inters (i) y la duracin

    (n) de la operacin.

    A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los perodos siguientes.

    Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital existente al inicio de dicho perodo.

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  • Expresin aplicable cuando el tipo de inters de la operacin no vara. En caso contrario habr que trabajar con el tipo vigente en cada perodo.

    A partir de la expresin anterior (denominada frmula fundamental de la capitalizacin compuesta) adems de calcular montantes, podremos, conocidos tres

    datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.

    EJEMPLO 1

    Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 aos en rgimen de capitalizacin compuesta.

    C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78

    Si se hubiese calculado en simple:

    C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300

    La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

    1.5. CLCULO DEL CAPITAL INICIAL

    Partiendo de la frmula de clculo del capital final o montante y conocidos ste, la duracin de la operacin y el tanto de inters, bastar con despejar de la

    misma:

    Cn = C0 x (1 + i)n

    de donde se despeja C0:

    EJEMPLO 2

    Cunto deber invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 aos de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inters anual

    compuesto para ese plazo?

    C0 =

    1.500

    -----------------

    (1 + 0,06)2= 1.334,99

    1.6. CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES

    Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencia entre ambos:

    In = Cn C0

    EJEMPLO 3

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  • Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% compuesto anual?

    300 I4?

    C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24

    In = 393,24 300 = 93,24

    1.7. CLCULO DEL TIPO DE INTERS

    Si se conoce el resto de elementos de la operacin: capital inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin

    compuesta y despejar la variable desconocida.

    Cn = C0 x (1 + i)n

    Los pasos a seguir son los siguientes:

    EJEMPLO 4

    Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 aos se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

    1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03

    Pasar el C0 al primer miembro:

    Cn

    ---- = (1 + i)n

    C0

    Quitar la potencia (extrayendo raz n a los dos miembros):

    Despejar el tipo de inters:

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  • 1.8. CLCULO DE LA DURACIN

    Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, basta con tener en cuenta la frmula general de la

    capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.

    EJEMPLO 5

    Un capital de 2.000 euros colocado a inters compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

    2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202

    n =

    log Cn log C0

    ----------------------

    log (1 + i)

    log 3.202 log 2.000

    = ------------------------------

    log 1,04

    = 12 aos

    1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIN SIMPLE Y COMPUESTA

    Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 aos, el siguiente cuadro recoge el montante

    alcanzado al final de cada perodo en un caso y otro:

    Aos 1 2 3 4 5 6

    En simple.......... 1.100,00 1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00 1.600,00

    En compuesta... 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 1.771,56

    Donde se observa que el montante obtenido en rgimen de simple va aumentando linealmente, cada ao aumentan 100 euros (los intereses del ao,

    generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operacin en compuesta, cada ao se van generando ms intereses que en el

    Punto de partida:

    Pasar el C0 al primer miembro:

    Extraemos logaritmos a ambos miembros:

    Aplicamos propiedades de los logaritmos:

    Despejar la duracin:

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  • perodo anterior: la evolucin no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada ao mayor (los intereses generan

    nuevos intereses en perodos siguientes).

    Grficamente:

    Transcurrido un perodo (1 ao si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos regmenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna

    coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores.

    De la misma forma, se cumple que para perodos inferiores al ao el montante es mayor en rgimen de simple y, a partir del ao, es mayor en compuesta.

    ste es el motivo de la preferencia de la capitalizacin simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.

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  • 2. Tantos equivalentes

    La definicin de tantos equivalentes es la misma que la vista en rgimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de

    tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el

    mismo capital final o montante.

    Como ya se coment cuando se hablaba del inters simple, la variacin en la frecuencia del clculo (y abono) de los intereses supona cambiar el tipo de

    inters a aplicar para que la operacin no se viera afectada finalmente. Entonces se comprob que los tantos de inters equivalentes en simple son

    proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:

    i = ik x k

    Sin embargo, esta relacin de proporcionalidad no va a ser vlida en rgimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de

    partida, el clculo de intereses se hace sobre una base cada vez ms grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalizacin antes se

    acumularn los intereses y antes generarn nuevos intereses, por lo que existirn diferencias en funcin de la frecuencia de acumulacin de los mismos al

    capital para un tanto de inters dado.

    Este carcter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicacin de un tipo ms pequeo que el proporcional en funcin de la frecuencia de

    cmputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante

    1 ao en las siguientes condiciones:

    Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalizacin de los intereses se est realizando con diferentes frecuencias manteniendo la

    proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.

    Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalizacin, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de

    los tantos.

    2.1. RELACIN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA

    Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relacin:

    1 + i = (1 + ik)k

    donde k es la frecuencia de capitalizacin, que indica:

    Esta relacin se obtiene a partir de la definicin de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado perodo de

    tiempo (n aos) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulacin de intereses (i o ik):

    Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido ser:

    Cn = C0 x (1 + i)n

    Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido ser:

    1. Inters anual del 12%

    Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

    2. Inters semestral del 6%

    Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60

    3. Inters trimestral del 3%

    Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51

    El nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de referencia que se tome (habitualmente el ao).

    Cada cunto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cunto tiempo se acumulan los intereses, dentro del perodo, al capital para

    producir nuevos intereses.

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  • Cn = C0 x (1 + ik)nk

    Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que

    la operacin es la misma ya que lo nico que ha cambiado es la frecuencia de clculo de los intereses, se debe conseguir el mismo capital final en ambos

    casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes:

    C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)

    nk

    Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n:

    C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)

    nk

    Quedando finalmente:

    (1 + i ) = (1 + ik)k

    Expresin que indica la relacin en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.

    El valor de i en funcin de ik ser:

    i = (1 + ik)k 1

    El valor de ik en funcin de i ser:

    ik = (1 + i)1/k 1

    EJEMPLO 6

    Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 ao a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo:

    Los resultados son los mismos, debido a la utilizacin de intereses equivalentes.

    1. Devengo anual de intereses:

    i = 0,12

    Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

    2. Devengo semestral de intereses:

    Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de clculo es semestral, habr que calcular previamente el tanto semestral

    equivalente al anual de partida, para despus calcular el montante.

    i2 = (1 + 0,12)1/2 1 = 0,05830

    Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00

    3. Devengo trimestral de intereses:

    Igual que en el caso anterior, habr que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido.

    i4 = (1 + 0,12)1/4 1 = 0,028737

    Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00

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  • 3. Tanto nominal (Jk)

    Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relacin anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes

    unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idnticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha

    expresin de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fcilmente de su unidad habitual (en aos) a cualquier

    otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal.

    El tanto nominal se define como un tanto terico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalizacin k por el tanto k-esimal:

    Jk = ik x k

    Expresin pensada para pasar fcilmente de un tanto referido al ao (el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional.

    As pues, en compuesta, los tantos de inters pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (tambin

    conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de l se obtienen tantos efectivos con los que s se harn los

    clculos necesarios.

    A continuacin se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales.

    Tabla de conversin de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE)

    La frmula de clculo es:

    i = (1 + ik)k 1 = (1 + Jk/k)

    k 1

    Frecuencia de capitalizacin

    k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

    Inters nominal Anual Semestral Trimestral Mensual

    8% 8,000% 8,160% 8,243% 8,300%

    9% 9,000% 9,202% 9,308% 9,381%

    10% 10,000% 10,250% 10,381% 10,471%

    11% 11,000% 11,303% 11,462% 11,572%

    12% 12,000% 12,360% 12,551% 12,683%

    El tipo de inters efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo

    nominal est calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y slo en sa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habr que volver a

    recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie.

    Tabla de conversin de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos nominales

    La frmula de clculo es:

    Jk = ik x k = [(1 + i)1/k 1] x k

    Frecuencia de capitalizacin

    k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

    Inters

    efectivo anual Anual Semestral Trimestral Mensual

    8% 8,000% 7,846% 7,771% 7,721%

    9% 9,000% 8,806% 8,711% 8,649%

    10% 10,000% 9,762% 9,645% 9,569%

    11% 11,000% 10,713% 10,573% 10,482%

    12% 12,000% 11,660% 11,495% 11,387%

    El tipo de inters nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones anuales.

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  • Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, ste deber ser diferente en funcin de la frecuencia de

    capitalizacin para la cual se haya calculado.

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  • 4. Descuento compuesto

    4.1. CONCEPTO

    Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la

    aplicacin de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

    4.2. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

    Los intereses son productivos, lo que significa que:

    En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las

    condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado.

    El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los

    intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses,

    hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

    Al igual que ocurra en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, segn cul sea el capital que se considera en el cmputo de los

    intereses que se generan en la operacin:

    4.3. DESCUENTO RACIONAL

    Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un perodo el capital al inicio de dicho perodo, utilizando el tipo de

    inters vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

    Grficamente:

    Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

    Perodo n: Cn

    Perodo n1:

    Cn-1 = Cn In = Cn Cn-1 x i

    Cn-1 x (1 + i) = Cn

    Cn

    Cn-1 = -------------

    (1 + i)

    Perodo n2:

    Cn-2 = Cn-1 In-1 = Cn-1 Cn-2 x i

    Cn-2 x (1 + i) = Cn-1

    Cn-1 Cn

    Cn-2 = ------------ = ------------

    (1 + i)1 (1 + i)2

    Perodo n3:

    Cn-3 = Cn-2 In-2 = Cn-2 Cn-3 x i

    A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.

    Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital del perodo anterior, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

    Descuento racional.

    Descuento comercial.

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  • Cn-3 x (1 + i) = Cn-2

    Cn-2 Cn

    Cn-3 = ----------- = ----------

    (1 + i)1 (1 + i)3

    Perodo 0:

    C0 = C1 I1 = C1 C0 x i

    C0 x (1 + i) = C1

    C1 Cn

    C0 = ---------- = ------------

    1 + i (1 + i)n

    Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipacin del capital futuro. Se trata de la operacin de

    capitalizacin compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual.

    De otra forma, partiendo de la expresin fundamental de la capitalizacin compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0):

    Cn

    C0 = ----------

    (1 + i)n

    Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dr), o descuento

    propiamente dicho:

    Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

    EJEMPLO 7

    Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos

    que entregar si la operacin se concierta a un tipo de inters del 5% anual compuesto?Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

    C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

    24.000

    C0 = -------------- = 20.732,10

    1,053

    Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90

    De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

    Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90

    4.4. DESCUENTO COMERCIAL

    En este caso se considera generador de los intereses de un perodo el capital al final de dicho perodo, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho

    perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

    Grficamente:

    Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

    Perodo n: Cn

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    21/11/2014

  • Perodo n-1:

    Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)

    Perodo n-2:

    Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =

    = Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2

    Perodo n-3:

    Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =

    = Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)

    3

    Perodo 0:

    C0 = Cn x (1 - d)n

    Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dc):

    Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]

    Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar

    si la operacin se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

    C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90

    Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10

    De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

    Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10

    4.5. TANTOS DE INTERS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES

    Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los

    resultados sern diferentes segn se realice por un procedimiento u otro.

    Sera conveniente encontrar la relacin que deben guardar los tantos de inters y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipacin fuera el

    mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relacin de equivalencia entre tantos de descuento y de inters.

    Esta relacin de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos

    descuentos Dr = Dc, por tanto:

    simplificando, dividiendo por Cn:

    Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por 1:

    1

    ---------- = (1 - d)n

    (1 + i)n

    Finalmente, extrayendo raz n a la ecuacin, queda la relacin de equivalencia buscada:

    1

    1 d = --------

    1 + i

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  • El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i ser:

    i

    d = ---------

    1 + i

    Anlogamente, encontraremos un tipo de inters equivalente a un d:

    d

    i = ---------

    1 d

    Hay que tener en cuenta que la relacin de equivalencia es independiente de la duracin de la operacin. Por tanto, se cumple que para un tanto de inters

    solamente habr un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operacin.

    EJEMPLO 9

    Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos

    que entregar si la operacin se concierta?

    1.er caso: a un tipo de inters del 5% anual compuesto (descuento racional):

    C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

    24.000

    C0 = -------------- = 20.732,10

    1,053

    2. caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial):

    C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00

    Por tanto, aplicando un tipo de inters y de descuento idnticos los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional

    debido a que el capital productor de intereses es el capital inicial (ms pequeo) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipacin.

    Para conseguir el mismo resultado habra que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de inters mediante la relacin de equivalencia:

    0,05

    d = ------------ = 0,047619

    1 + 0,05

    Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado ser:

    C0 = 24.000 x (1 0,047619)3 = 20.732,10

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  • 5. Equivalencia de capitales en compuesta

    Para comprobar si dos o ms capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de

    equivalencia de capitales.

    El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o ms capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario,

    hay preferencia por uno de ellos.

    Ya vimos en las operaciones en simple la definicin y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones

    siguen siendo vlidos. La diferencia fundamental viene dada porque en rgimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado

    final de la operacin, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento

    determinado, no se cumple nunca.

    5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIN DE CAPITALES

    La sustitucin de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantas diferentes a las anteriores slo se podr llevar a cabo si financieramente

    resultan ambas alternativas equivalentes.

    Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo

    valor, pudindose plantear los siguientes casos posibles:

    5.1.1. Determinacin del capital comn

    Es la cuanta C de un capital nico que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn,

    respectivamente, todos ellos conocidos.

    5.1.2. Determinacin del vencimiento comn

    Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn,

    respectivamente, todos ellos conocidos.

    Se tiene que cumplir:

    5.1.3. Determinacin del vencimiento medio

    Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn,

    respectivamente, todos ellos conocidos.

    Se tiene que cumplir:

    C = C1 + C2 + ... + Cn

    EJEMPLO 10

    Un seor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 aos, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de

    sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 aos.

    Se pide:

    Calcular el importe a pagar en ese momento si la operacin se concierta al 8% de inters compuesto anual.

    1.er caso: fecha de estudio en 0:

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  • 2.000 4.000 5.000 C

    ----------- + ---------- + ----------- = ---------

    1,086 1,088 1,0810 1,089

    resultando:

    C = 11.469,05

    2. caso: fecha de estudio en 9:

    5.000

    2.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C

    1,08

    resultando:

    C = 11.469,05

    EJEMPLO 11

    Un seor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5 aos, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno

    slo, acordndose la operacin a un tipo de inters del 6%, calcular el momento del cobro nico en los siguientes supuestos:

    1. La cuanta a recibir fuera de 12.000 euros.

    2. La cuanta a recibir fuera de 13.000 euros.

    1.er caso: vencimiento comn

    5.000 8.000 12.000

    ----------- + ----------- = -----------

    1,063 1,065 1,06t

    12.000

    4.198,10 + 5.978,07 = ----------

    1,06t

    12.000

    10.176,17 = -----------

    1,06t

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  • 12.000

    1,06t = ----------------

    10.176,17

    12.000

    log ----------------

    10.176,17 0,071597

    t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 aos

    log 1,06 0,025306

    2. caso: vencimiento medio

    5.000 8.000 13.000

    ---------- + --------- = ------------

    1,063 1,065 1,06t

    13.000

    10.176,17 = -----------

    1,06t

    13.000

    log ----------------

    10.176,17 0,106359

    t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 aos

    log 1,06 0,025306

    Nota. En compuesta no se puede aplicar la frmula vista en rgimen de simple para el clculo del vencimiento medio:

    C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn

    t = vencimiento medio = --------------------------------------------

    C1 + C2 + ... + Cn

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