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Tema: MATEMATICA FIANANCIERA + EXCEL

Profesor: JORGE LA CHIRA

Ciclo:

II – Puente Piedra

Perteneciente a:

· Nestor Elyut Gamarra Caldas

· Deifi kely Tapia Guevara

· Luis Ramos Apaza

· Miguel Paredes Espinoza

DEDICATORIA

Dedicado a los integrantes del segundo ciclo del aula 301 de la I.S.T. “CESCA” puente piedra

AGRADECIMIENTO

Agradezco en especial al profesor de este curso por asignarme un trabajo que me resulto muy interesante sugiriéndoles así que practiquen mucho sobre este tema en general siendo así lograremos llevar esas practicas a nuestras vidas profesionales.

MATEMÁTICA FINANCIERA

La matemática financiera es una rama de la matemática aplicada que estudia las variaciones cuantitativas que se producen en los capitales financieros en el transcurso del tiempo. El tema naturalmente tiene una cercana relación con la disciplina de la economía financiera, pero su objeto de estudio es más angosto y su enfoque más abstracto. Los dos grandes bloques de operaciones financieras que estudia se dividen en operaciones simples (con un solo capital) y complejas (las denominadas rentas, que involucran corrientes de pagos como es el caso de las cuotas de un préstamo). Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser mediante un régimen de interés simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses se calculan sobre el capital original. Si se trabaja en un régimen de capitalización compuesta los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital original y generan, a su vez, intereses en el futuro (los intereses se capitalizan). Según el sentido en el que se aplica la ley financiera existen operaciones de capitalización: cuando se sustituye un capital presente por otro capital futuro y de actualización o de descuento: cuando se sustituye un capital futuro por otro capital presente

INTERÉS SIMPLE

Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son función únicamente del capital principal, la tasa de interés y el número de períodos.

Su fórmula está dada por:

Despejado las variables Capital, Tasa y Tiempo se obtiene:

·

·

·

Donde:

· IS: Es el interés Simple

· CI: Es el Capital Inicial

· i: Es la tasa de interés expresada en tanto por uno, que al ser multiplicada por 100, quedará expresada en tanto por ciento.

· t: Es el tiempo expresado en años.

Interés compuesto

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

Año

Préstamo inicial

Interés

Préstamo final

0 (Ahora)

$1,000.00

($1,000.00 × 10% = ) $100.00

$1,100.00

1

$1,100.00

($1,100.00 × 10% = ) $110.00

$1,210.00

2

$1,210.00

($1,210.00 × 10% = ) $121.00

$1,331.00

3

$1,331.00

($1,331.00 × 10% = ) $133.10

$1,464.10

4

$1,464.10

($1,464.10 × 10% = ) $146.41

$1,610.51

5

$1,610.51

Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso.

· Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés)

· Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año

· El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente

Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas.

Hagamos una fórmula:

Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.

Así que ahora es todo en un paso:

· Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final"

(¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)

Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo:

$1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100

 

 

es lo mismo que:

$1,000 × 1.10 = $1,100

Ahora viene la magia...

... ¡la misma fórmula vale todos los años!

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331· etc.

Así es como funciona:

De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces: $1,000 × 1.10 × 1.10

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

Año

Préstamo inicial

Interés

Préstamo final

0 (Ahora)

$1,000.00

($1,000.00 × 10% = ) $100.00

$1,100.00

1

$1,100.00

($1,100.00 × 10% = ) $110.00

$1,210.00

2

$1,210.00

($1,210.00 × 10% = ) $121.00

$1,331.00

3

$1,331.00

($1,331.00 × 10% = ) $133.10

$1,464.10

4

$1,464.10

($1,464.10 × 10% = ) $146.41

$1,610.51

5

$1,610.51

Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso.

· Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés)

· Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año

· El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente

Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas.

Hagamos una fórmula

Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.

Así que ahora es todo en un paso:

· Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final"

(¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)

Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo:

$1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100

 

 

es lo mismo que:

$1,000 × 1.10 = $1,100

Ahora viene la magia...

... ¡la misma fórmula vale todos los años!

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331· etc.

Así es como funciona:

De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces: $1,000 × 1.10x1.10

Periodos de interés compuesto:

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual deberían decirlo!

Ejemplo: tomas prestado $1,000 durante 12 meses y dicen "1% al mes", ¿cuánto tienes que devolver?

Sólo tienes que usar la fórmula del valor futuro con "n" el número de meses:

FV = PV × (1+r)n = $1,000 × (1.01)12 = $1,000 × 1.12683 = $1,126.83 a devolver

También se puede tener interés anual pero varias veces en el mismo año, lo que se llama Composición periódica.

Por ejemplo, 6% de interés "compuesto mensualmente" no quiere decir 6% cada mes, sino 0.5% al mes (6% entre 12 meses), y se calcularía así:

FV = PV × (1+r/n)n = $1,000 × (1 + 6%/12)12 = $1,000 × (1.005)12 = $1,000 × 1.06168... = $1,061.68 a devolver

Esto es lo mismo que un 6.168% durante un año ($1,000 se han convertido en $1,061.68).

¡Así que ten cuidado con los significados!

Anualidades

Hasta ahora hemos hablado de lo que pasa con una cantidad cuando el tiempo va pasando... ¿pero qué pasa si tienes una serie de cantidades, como pagos periódicos de un préstamo o inversiones anuales? De esto hablamos en la página de Anualidades, pronto la tendremos lista

Anualidad (Matemática Financiera)

Una Anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El nombre de anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales en todos los casos, a intervalos regulares de tiempo, independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.

Cuando en un país hay relativa estabilidad económica, es frecuente que se efectúen operaciones mercantiles a través de pagos periódicos, sea a interés simple o compuesto, como en las anualidades.

Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar un capital, reciben el nombre de Imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una deuda, se llaman amortizaciones.

Las anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: las rentas, sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de amortización, alquileres, jubilaciones y otros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y muchas diferencias.

Sin embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia es el de anualidad de inversión, que incluye interés compuesto, ya que en otras clases de anualidad no se involucra el interés.

Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Elementos de una anualidad :

En una anualidad intervienen los siguientes elemento:

· Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente.

· Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año.

· Plazo: Es la duración de la anualidad. El número de veces que se cobra o se paga la renta.

· Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

· Valuación de Anualidades Ordinarias:

· (a) Valor futuro de una anualidad ordinaria

· Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo?

· (a)    El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:

·                                                                                         (1.1.)   

·  

·

· R = valor del pago regular.

· i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo.

· n = número total de intervalos de la operación.

· Ejercicios:

· 1.       Una personase ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una 3cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?

· Aplicando (1.1):

·

·

·

· (b) Valor presente de la anualidad.

· Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro?

· La fórmula que responde a la pregunta es:

·

Valor actual neto:

Valor actual neto procede de la expresión inglesa Net present value. El acrónimo es NPV en inglés y VAN en español. Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.

La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:

Vt representa los flujos de caja en cada periodo t.

I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión.

n es el número de períodos considerado.

El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo especifico. En otros casos, se utilizará el coste de oportunidad.

Cuando el VAN toma un valor igual a 0, k pasa a llamarse TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto.

MATEMATICA FINANCIERA CON EXCEL

EJERCICIOS.

Jorge deposita UM 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9 meses?.

1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual:

Solución:

VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ?

2º Aplicamos la fórmula [2] y Excel:

[2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2,455.25

Respuesta:

El valor futuro es UM 2,455.25

EJERCICIO : (Calculando el VF)

Calcular el VF al final de 5 años de una inversión de UM 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual.

Solución:

VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF = ?

Respuesta:

El VF al final de los 5 años es UM 49,766.40

EJERCICIO (Calculando el VF a partir del VA)

Yo tengo un excedente de utilidades de UM 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%; ¿cuánto tendré dentro de 3 años?

Solución:

VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF = ?

Indistintamente aplicamos la fórmula y la función financiera VF:

Respuesta:

El monto al final de los 3 años es UM 1,259.71

EJERCICIO (Calculando el VA a partir del VF)

Inversamente, alguien nos ofrece UM 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el monto a entregar hoy?

Solución:

VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = ?

Aplicamos la fórmula y/o la función financiera VA:

Respuesta:

El monto a entregar el día de hoy es UM 3,757.57

EJERCICIO (Calculando el VF y el plazo de un ahorro)

Un microempresario deposita UM 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de interés del 1.8% mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando dentro de 10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo podrá realizar retiros completos?

Solución:

VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?; n = ?

1º Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10 meses:

[11] VF = 2,500(1 + 0.018)10 = UM 2,988.2559

2º Calculamos el tiempo durante el cual podrá hacer retiros por UM 390 cada uno:

Respuesta:

A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 7 meses