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Capital. Finanzas ycapitalización compuesta(primera parte)Autor: Editorial McGraw-Hill

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Presentación del curso

En este curso aprenderás acerca de la capitalización compuesta, que viene a ser laley financiera que calcula los intereses producidos en cada período y que se agreganal capital calculando los intereses del periodo siguiente hasta el momento del cierrede la operación financiera. Siguiendo este nuestro curso sobre el capital y lasfinanzas aprenderás a realizar los cálculos respectivos del interés a través de lasformulas que te indicaremos detalladamente.

Para comprender mejor la capitalización presentamos un análisis comparativo entrela capitalización simple y la compuesta. Veremos también los diferentes tipos deintereses que existen, como el interés nominal y el interés efectivo, y aprenderás arealizar el cálculo de las tasas de interés correspondiente en cada caso.

Aprende con este curso de la editorial McGraw-Hill, fragmento del l ibro: CEO -Gestión Financiera" del autor G. González Velasco. Puedes descubrir más libros de McGraw-HillMcGraw-Hill en: www.mhe.es.

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1. Finanzas. Capitalización compuesta

Capitalización compuesta

Llamamos capitalización compuesta a la ley financiera según la cual los interesesproducidos por un capital en cada periodo se agregan al capital para calcular losintereses del periodo siguiente, y así sucesivamente, hasta el momento de cierre de la operación financiera. En la práctica financiera, la capitalización y la actualizacióncompuesta se utilizan en aquellas operaciones financieras con una duraciónsuperior al año.

Nota: Este curso forma parte del libro " CEO - Gestión Financiera " del autor G.González Velasco , publicado por la editorial McGraw-Hill (ISBN: 84-481-4696-4).

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2. Capital. Capital final o montante

A. Capital final o montante

Partiendo de la definición anterior, la capitalización compuesta consiste en unproceso de acumulación de los intereses al capital para producir conjuntamentenuevos intereses, periodo tras periodo, hasta llegar al momento final de laoperación financiera. Por tanto, para determinar el valor del capital final esnecesario ir calculando los sucesivos montantes al final de cada año.

Y así sucesivamente; por aplicación del método concurrente llegamos a la conclusiónde que al final del año n:

Expresión que nos permite calcular el montante o capital final partiendo del capitalinicial. Gráficamente, obtendremos una curva exponencial al relacionar años ymontante (véase la Figura 5.1).

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Fig. 5.1. Representación gráfica del montante.

Caso Práctico

1 . - La señora Sancho deposita en un banco 10 000 euros, a plazo fijo durante tresaños a un interés compuesto del 4 % anual. Halla la cantidad que recibirá al cabo delos tres años que dura la operación financiera.

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3. Capital inicial. Cálculo de los intereses totales

B. Capital inicial

Sabiendo que y despejando resulta que:

La expresión recibe el nombre de factor de actualización, puesto que alaplicarla sobre el capital final obtenemos el valor del capital inicial o actual.

O bien; ; de donde en el supuesto de conocerse losintereses.

C. Cálculo de los intereses totales

Partiendo de los intereses generados serán la diferencia entre el capitalfinal y el capital inicial:

Casos prácticos

2 .- Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del 4 % anual durante cincoaños, produjo un montante o capital final de 100 000 euros.

3 . - Determina la cantidad que tendrá que ingresar el señor Blasco en concepto deintereses por un préstamo de 100 000 euros dentro de cuatro años en un banco, siel tipo de interés compuesto pactado es del 4,5 % anual.

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4. Interés y tiempo. Cálculo

D. Cálculo del tipo de interés

A partir de la fórmula del capital final o montante, vamos a despejar i:

E. Cálculo del tiempo

Del mismo modo que en el apartado anterior, y partiendo de , tomandologaritmos:

Casos prácticos

4 . - Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados 90 000 euros durantecuatro años, si se convirtieron en 107 327 euros.

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5. Interés y tiempo. Cálculo en casos prácticos

Casos prácticos

5 . - ¿Cuántos años han pasado desde que en una entidad financiera se depositaron500 000 euros, al 5 % de interés compuesto, si hoy se reciben 670 047,80 euros?

6 . - Calcula el tiempo necesario para que un capital colocado al 4% de interéscompuesto se duplique.

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6. Capital. Capitalización compuesta y simple:comparación

Comparación entre capitalización compuesta y simple

Según hemos visto en los apartados anteriores, los montantes obtenidos en lacapitalización compuesta y simple son:

Como se puede observar, estas dos expresiones se diferencian entre sí por losfactores de capitalización: (1 + i)n para la capitalización compuesta,

para la capitalización simple.

Si damos valores a ambas fórmulas, comprobamos que para n = 0 y n = 1 el valorde Cn coincide, siendo diferente para los restantes valores. En el caso de que n estécomprendida entre 0 y 1, observa la Figura 5.2.

Fig. 5.2. Comparación de los montantes en interés compuesto y simple para valoresde n entre 0, 1 y más.

De la comparación anterior podemos decir que el montante de capitalización es mayormayor en la capitalización simple en periodos inferiores al año, igual para un añoy menor en periodos superiores al año.

Por tanto, las operaciones financieras superiores a un año utilizarán el interéscompuesto, en operaciones a un año será indiferente el uso de un sistema decapitalización u otro y en las operaciones inferiores a un año, habitualmente, seadoptará la capitalización simple.

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Tabla. 5.1. Comparación de sistemas de capitalización.

Caso práctico

7 . - Calcula el capital final en capitalización compuesta y simple de 100 000 euroscolocados a un tipo de interés del 5 % anual. Primero, si el periodo de capitalizaciónes de seis meses; segundo, si es de un año, y tercero, si el periodo de capitalizaciónes de cinco años.

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7. Interés compuesto

Tantos equivalentes en interés compuesto

Habitualmente, en las operaciones financieras corrientes se fija el tipo de interésanual aplicable, y el momento de hacer efectivo el interés se corresponde casisiempre con fracciones de año. En las operaciones financieras siempre debeaparecer la Tasa Anual Equivalente (TAE), aunque los periodos de capitalizaciónestén fraccionados en semestres, trimestres, meses, etcétera.

Al realizar el cálculo matemático, el tipo de interés y la duración de la operaciónfinanciera deben estar medidos en las mismas unidades de tiempo.

Tantos equivalentes son aquellos que, aplicados a un mismo capital, producenidéntico montante o capital final durante el mismo tiempo, aunque se refieran aperiodos diferentes de capitalización.

A. Interés nominal

Entendemos por interés nominal el tanto proporcional anual ( J (m) ); se obtienemultiplicando m veces el tipo de interés de un periodo fraccionado (i (m) ).

Caso práctico

8.- Halla el interés nominal anual correspondiente al 2 % efectivo semestral.

De donde, si queremos calcular el tipo de interés de la fracción de año a quecorresponde, debemos simplemente dividir el interés nominal entre el número deveces que estén incluidos los periodos de abono o cargo de intereses en el año (m).

m : Frecuencia de fraccionamiento o número de veces que está incluido el periodode referencia en un año (meses, trimestres, semestres).

En todo contrato financiero deben aparecer tanto el interés nominal como elefectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE).

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8. Interés efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE)

B. Interés efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE)

El interés efectivo 0 Tasa Anual Equivalente es el tipo de interés i realmente abonadoo cargado a las operaciones financieras en un año.Por ejemplo, un euro invertido unaño al tanto i proporciona un capital final igual a Cn = (1 + i)1. El mismo euroinvertido durante el mismo periodo de tiempo, pero con frecuencias decapitalización referidas al tanto i (m), Para que el tanto i sea equivalentefinancieramente a i (m), los dos capitales finales, por definición, han de ser iguales,por lo que:

Si realizamos una serie de operaciones matemáticas, podemos obtener:

a) El tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de Equivalencia (TAE), en funcióndel tipo fraccionado:

b) O bien el tipo de interés efectivo de un periodo fraccionado en función del tipode interés efectivo anual (TAE):

Fig. 5.3. Comparación entre tipo de interés nominal efectivo y de un periodofraccionado.

C. Comparación entre el tipo de interés nominal y el efectivo

Dado que en algunos documentos mercantiles se expresa el tipo de interés nominalsolamente, es necesario poder calcular el tipo de interés efectivo en función delnominal. Para ello basta con sustituir en la fórmula de equivalencia de tantos elvalor i(m) por el correspondiente nominal:

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Si comparamos la Tasa Anual Equivalente, i, y el tipo de interés nominal, J(m),podemos observar que: i> J (m) El tanto real anual (TAE) es el que debemosconocer para comparar diferentes operaciones financieras con distintos periodosde capitalización.

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9. Interés nominal y el efectivo: comparación

9 . - Calcula la TAE correspondiente al 2 % efectivo semestral.

1 0 . - ¿Cuál será el interés efectivo semestral si la TAE es del 6 %?

1 1 . - Calcula la tasa anual equivalente si el tipo de interés nominal anual es del 8 %.Capitalización mensual.

Capitalización fraccionada

Se entiende por capitalización fraccionada cuando el periodo de capitalización noes anual, como, por ejemplo, semestres, bimestres, meses.

En este caso, hemos de trabajar con un tipo de interés referido al periodo decapitalización (tanto fraccionado), ya que, como sabemos, el tanto fraccionado debevenir medido en la misma unidad de tiempo; por ejemplo, periodo de capitalización

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semestral, tanto semestral y el tiempo expresado en semestres.

La fórmula del capital final o montante para capitalización fraccionada será:

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10. Capital. Capitalización en tiempo fraccionado

A. Capitalización en tiempo fraccionado

Entendemos la capitalización compuesta en tiempo fraccionado como laoperación financiera en la que el tiempo de capitalización no es un número exactode periodos (años). Para calcular el capital final en este tipo decapitalización existen las soluciones siguientes:

- Convenio exponencial. El cálculo del capital final se realiza mediante la aplicaciónde la fórmula general de capitalización compuesta.

- Convenio lineal. Capitaliza a interés compuesto un número exacto de años y ainterés simple la fracción restante.

Casos prácticos

1 2 . - Halla el montante de capitalización de 400 000 euros colocados al 3 % deinterés semestral con capitalización mensual durante cuatro años.

1 3 . - Calcula el montante de 300 000 euros al 5% de interés compuesto anualdurante tres años y seis meses. Convenio exponencial y lineal.

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Nota: Con este capítulo hemos llegado al final del curso. Recuerda que este trabajoes un fragmento del libro " CEO - Gestión Financiera " del autor G. GonzálezVelasco, publicado por la editorial McGraw-Hill (ISBN: 84-481-4696-4).

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