libro undecimo 2014

Colegio Internacional Canadiense

Undcimo Ao

Lic. Mauricio Ramrez Herrera, 2014

Copyright c 2014 Mauricio Ramrez Herrera

PUBLISHED BY MAURICIO RAMREZ HERRERA

MATEMATICACIC.WORDPRESS.COM

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin puede reproducirse,registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni porningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoquimico, magntico o electroptico, por fotocopia,grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambinla autorizacin del editor o de sus representantes.

Primera Impresin, Diciembre 2013

ndice general

1 Crculo y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 ngulos en la circunferencia 11

1.2 Teoremas importantes de la circunferencia 19

1.3 Relaciones mtricas en la circunferencia 21

1.4 reas en la circunferencia 29

1.5 Longitud de la circunferencia 32

1.6 Posiciones relativas de dos circunferencias en un mismo plano 34

2 Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1 Clasificacin de polgonos 41

2.1.1 Por el nmero de lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2 Por la posicin de sus lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Concepto bsicos de polgonos 43

2.3 Resultados Importantes de un Polgono Regular 44

3 Slidos Geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Cubo 50

3.2 Cilindro 50

3.3 Cono 51

3.4 Esfera 52

3.5 Prismas 53

3.6 Pirmides 55

4 Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1 Medicin de ngulos y dos tringulos especiales 65

4.2 Conversin de un sistema de medicin de ngulos a otro 66

4.3 Posicin y medidas de los ngulos 68

4.3.1 Posicin estndar o normal de un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2 ngulos positivos y Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.3 ngulos Coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.4 ngulos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Razones Trigonomtricas 75

4.4.1 Signos de la razones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Crculo Trigonomtrico 76

4.6 Simetra del Crculo 77

4.7 Identidades Trigonomtricas 78

4.7.1 Identidades bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.2 Identidades Pitgoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.3 Identidades Complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8 Ecuaciones Trigonomtricas 84

4.8.1 Cuadro de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.9 Funciones trigonomtricas 96

4.9.1 Funcin Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9.2 Funcin Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.9.3 Funcin Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 Repaso de Bachillerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1 Factorizacin 103

5.1.1 Factorizacin por el mtodo de factor comn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.2 Factorizacin por Agrupacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.3 Factorizacin por Frmulas Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2 Factorizacin por Inspeccin 108

5.3 Factorizacin por combinacin de mtodos 108

5.4 Fracciones Algebraicas 109

5.4.1 Simplificacin de expresiones algebraicas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4.3 Fracciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Ecuacin Cuadrtica 115

5.5.1 Anlisis del Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.5.2 Mtodos de Solucin de Ecuaciones Cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.5.3 Ecuaciones con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.6 Conceptos Bsicos de Funciones 121

5.6.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6.2 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6.3 Requisitos para que exista funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6.4 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7 Funciones Reales de Variable Real 121

5.7.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7.2 Dominio Mximo de una Funcin Real de Variable Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.8 Funcin Lineal 122

5.8.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.8.2 Ecuacin de una funcin lineal dados dos puntos de su grfico . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.8.3 Funcin Lineal estrictamente creciente, estrictamente decreciente y constante . . . . 123

5.8.4 Monotona de una funcin cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.8.5 Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.9 Funcin Cuadrtica 124

5.9.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.9.2 Estudio o anlisis de la funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.10 Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas 125

5.10.1 Funcin Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.10.2 Funcin Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.10.3 Funcin Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.11 Funcin Inversa 127

5.12 Funcin Exponencial 128

5.12.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.13 Funcin Logartmica 128

5.13.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.13.2 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.13.3 Proposiciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.14 Ejercicios sobre funciones reales de variable real 130

5.15 Ejercicios Sobre Funcin Exponencial y Logartmica 152

5.15.1 Aplicaciones de la Funcin Exponencial y Funcin Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . 155

1 Crculo y circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de los puntos situados en un plano dado, que estn auna distancia especificada de un punto dado en el plano. En cada caso el punto dado se llamacentro u origen y la distancia dada es el radio de la circunferencia o de la superficie esfrica.

OQ1

Q3 Q2

Q4

O : Centro de la circunferenciaQ1 : Q2 : Q3 : Q4 puntos de la circunferenciaOQ1 = OQ2 = OQ3 = OQ4 se llaman radios

OQ2

Q4

Q1Q4

O : Centro de la esferaQ1 : Q2 : Q3 : Q4 puntos de la esfera

OQ1 = OQ2 = OQ3 = OQ4 se llaman radios

Definicin 1.1 Circunferencias iguales. Dos o ms circunferencias son iguales si lalongitud de sus radios es la misma.


Definicin 1.2 Radio y Dimetro. Analice la siguiente figura

COA

B

El radio es el segmento rectilneo que une el cen-tro y cualquier otro punto de la circunferencia. Enla siguiente figura AO, OC y OB son radios delcrculo.

Por su parte el dimetro es el segmento rectilneoque pasa por el centro y que tiene sus puntosextremos sobre la circunferencia. Un dimetro esuna cuerda que contiene al centro, es la mayor delas cuerdas.

AC = AO+OCAC = OB+OBAC = r+ r = 2r

Definicin 1.3 Cuerda, Secante y Tangente. Analice la siguiente figura

La cuerda es el segmento determinado por dospuntos de la circunferencia. En la figura la cuerdaes EB

Una secante es una recta o rayo que contiene auna cuerda de un crculo. En la figura la secantees CD

Por su parte una recta es tangente a un crculo sise encuentra en el plano del crculo y lo intersecasolo en un punto. Este punto se llama punto detangencia o de contacto y se dice que la recta y elcrculo son tangentes en este punto. En la figuraRS es tangente en T .

Si la recta no tiene ningn punto con la circunfe-rencia, se dice que es exterior, como en la figurala MF

OM

F

T SR

C

D

B

E

9Definicin 1.4 Arco de la circunferencia. Analice la siguiente figura

OB

A

C

>AB representa el arco subtendido por los puntosA y B. Se denotan

>AB y>ACB.

>AB ACB para A,B,C no los extremos de un

dimetro.Si A y B son puntos en la circunferencia que nosean los puntos extremos de un dimetro, la uninde A, B y el conjunto de puntos del circulo que soninteriores a AOB es un arco menor del crculo.

Definicin 1.5 Adicin de los arcos. Considere la siguiente figura

Si la interseccin de>RS y>ST, de un crculo es el

punto S, entonces m>RS+m

>ST = m

>RT, es decir

mROS+mSOT = mROT O

R

S

T

Ejercicio 1.1 Ejercicios de aplicacin. Resuelva cada uno de los ejercicios que se solicitana continuacin.

1. I Parte. Indicar cuales de las proposiciones siguientes siempre son verdaderas (V) y cualesno siempre son verdaderas (F).

a) ( ) Todos los ngulos centrales del mismo crculo son congruentes.b) ( ) Dos circulos, cada uno de los cuales tiene un radio de 25 centmetros, tienen

dimetros congruentes.c) ( ) La medida de un arco mayor, es mayor que la medida de un arco menor.d) ( ) Todos los semicrculos son congruentese) ( ) Una cuerda es un dimetrof ) ( ) Todo dimetro es una cuerdag) ( ) La interseccin de un crculo y una de sus cuerdas es un conjunto nuloh) ( ) La interseccin de dos dimetros de un circulo dado es un conjunto de cuatro

puntos


2. II Parte. Realice los siguientes ejercicios. Halle el nmero de grados que se piden en cadauno de los ejercicios siguientes

a) En la figura adjunta, cada una de las circunferencias con centros A, B y C, es tan-gente a los otros dos. Si AB = 10, AC = 14 y BC = 18. Determine el radio de cadacircunferencia. (Sugerencia: Sea x el radio de una circunferencia)

x

Q

P

RB

A

C

B

COA

b) Si m>BC = 70

Halle m>AB

B

COA

c) Si mOAB = 30 y AC es un dimetro.Halle m

>BC

B

COA

d) Si mAOB = 60Halle m

>BC y mABC

B

C

O

A

e) Si m>AB = 70.

Halle mOBC


Respuestas I parte.

1. 3,7 y 11 2. 110 3. 60 4. 90 y 120 5. 35

II parte.

1. F 2. V 3. V 4. F 5. F 6. V 7. F 8. F

1.1 ngulos en la circunferenciaDefinicin 1.6 ngulo Central. Si adoptamos como unidad de ngulos el ngulo centralcorrespondiente al arco unidad

la medida de un ngulo central es igual a la desu arco correspondiente.

m = m>AB

BC

O

A

Definicin 1.7 ngulo Inscrito. Es el ngulo que tiene su vrtice en la circunferencia y suslados son secantes o bien cuerdas.

La medida de todo ngulo inscrito es igual ala mitad del arco comprendido entre sus lados.

m = m>CT2

=x2

x

O

C D

T


Corolario 1.1 Para un ngulo inscrito. Todo ngulo inscrito a una semicircunferencia esrecto

O

O

Corolario 1.2 Para dos o ms ngulos inscritos. Dos o ms ngulos cualesquiera, inscri-tos en un mismo arco de una circunferencia, o de circunferencias congruentes, son congruentes

38O

B1

CB3

AB2

Definicin 1.8 ngulo Semi-inscrito. Es el ngulo que tiene su vrtice en la circunferenciay uno de sus lados es una tangente y el otro una secante o bien una cuerda.

La medida del ngulo semi-inscrito es igual ala mitad de la medida de su arco comprendidoentre sus lados.

m = m>DT2

=x2

x

O

C D

T


Definicin 1.9 ngulo Ex-inscrito. Es el ngulo adyacente a un ngulo inscrito.

La medida del ngulo ex-inscrito es igual a lasemisuma de los arcos que tienen su origen enel vrtice y sus extremos en uno de los lados yen la prolongacin del otro.

m = m[>

DT+>CD

2

]=

x+ y2

y

x

O

C D

T

Cuando en un circulo esta inscrito un cuadriltero(figura de cuatro lados, no necesariamente de un cua-drado), entonces la suma de los ngulos internosopuestos entre s suman 180, esto quiere decir sonsuplementarios:

m+m = 180m +m = 180

Definicin 1.10 ngulo Interior. Es el ngulo cuyo vrtice es un punto interior de lacircunferencia

La medida del ngulo interior es igual a lamitad de la suma de las medidas de los arcosinterceptados por el y por su ngulo opuestopor el vrtice.

m = m>AC+m

>BD

2=

x+ y2

y

x

E

O

C

D

B

A


Definicin 1.11 ngulo Exterior. Es el ngulo cuyo vrtice es un punto exterior de lacircunfenrecia

La medida del ngulo exterior es igual a lasemidiferencia de las medidas de los arcoscomprendidos por sus lados.

mP = m>ACm>BD

2=

x y2

yx

D

BOP

C

A

Corolario 1.3 ngulo exterior entresecante y tangente. La medida del n-gulo formado por una secante y una tan-gente que se intersecan en el exterior de uncrculo es igual a la mitad de la diferenciade las medidas de los arcos interceptados

y

x

B

A

DPC

mP = m>DAm>BD

2=

x y2

Corolario 1.4 ngulo exterior entredos tangentes. La medida del nguloformado por dos tangentes trazadas desdeun punto externo a un crculo es igual a lantad de la diferencia de las medidas delos arcos interceptados

yx

B

DC

A

F

mP = m>DFBm>BD

2=

x y2


Ejercicio 1.2 ngulos y arcos en la circunferencia. Hallar la medida en grados de losngulos , y del arco s. O es el centro de las respectivas circunferencias

1.

3090 E

A

B

D

C

2.70

46

E

B

C

A

D

3.

4055 sE B

C

A D

4.

12040

s

T

DA

AB

5.

15525

T

DC

A B

6.

40

80

140

s

E

P

D

T

BC

A

7.

80

D

B

C

A

8.

65

C

PB

TA

D


9.

65

C

PB

TA

D

10.

3035

s

PR S

Q

T

11.

50

D

TC

A

B

12.s

70 80

AE

BD C

13.

70

150

P

C

D

A

14.

120

A

E

D

O B

C

F

15.

35

s

70

O

16.

56

s

D

B

A O C

17.

110

64

E

C

F

D

BA

18.105

10572

s

C

ED

B

A


19.

130

80

20

P

B

T

A

O

D

C

F

E

20.

P

E

D

C

BA

21.

27

100

130 s

E

D

A

C

B

22.

125

s

P

B

A

O

T

C

23.115

13065

E

PB

D

C

A

24.

9568s

B

D

C

E

A

25.

40

100

P

D

B

A

C

26.

8510050

s

P

C

B

T

A


27.

8638

24s

F

P

C

BA

ED

28.

28

s

Respuestas

1. = 602. = 1223. s = 25

4. = 1085. s = 160

6. = 77,57. = 70, = 110,s = 608. = 259. = 50

10. s = 100

11. = 5012. = 70, = 80,s = 6013. = 4014. = 30, = 60

15. = 17,5, = 72,5,s = 11016. = 56, = 34,s = 11217. = 8618. = 72, = 55,5,s = 11119. = 80, = 3520. = 3621. = 88, = 65,s = 4622. = 35, = l17,5,s = 5523. = 25, = 9024. = 37, = 58,s = 5425. = 3026. = 45, = 70,s = 7027. = 57, = 99,s = 2828. = 44, = 60,s = 32

1.2 Teoremas importantes de la circunferencia 19

1.2 Teoremas importantes de la circunferencia

Teorema 1.1 Del radio y la recta tangente a la circunferencia.

La tangente a una circunferencia es perpendicular() al radio en el punto de tangencia.

OC la recta CD90

r

O

CA D B

Teorema 1.2 De dos cuerdas y sus respectivos arcos.

A

B

O

D

C

En una misma circunferencia, o en circunferenciasiguales, a arcos iguales corresponden cuerdas igualesy recproco.

Si AB =CD entonces

m>AB = m

>CD

Teorema 1.3 Del radio y la cuerda.

Una recta que pasa por el centro de un crculo y esperpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a suarco.

Si la recta OC AB entoncesAM = MB y

m>AC = m

>BC

90

M

C

O

A B


Teorema 1.4 Del dimetro y la cuerda.

Todo dimetro perpendicular a una cuerda, divide aesta y los arcos subtendidos en partes iguales.

Si la recta OC AB entoncesAM = MB y

m>AC = m

>BC

90M

C

O

A B

Teorema 1.5 De dos tangentes a la circunferencia.

90

90

PO

A

B

Los segmentos tangentes desde un pun-to externo a un crculo son congruentesy forman ngulos congruentes con larecta que pasa por el punto y el centrodel crculo.

Sean PB y PA dos rectas tangentes a lacircunferencia de centro O, entonces

PB = PA,

m BPO = m APO y

m BOP = m AOP

Corolario 1.5 Rectas paralelas y sus arcos. En la circunferencia siguiente la recta AB esparalela a la recta CD

DO

A B

C

Dos rectas paralelas siempre subtienden o interceptanarcos congruentes sobre un crculo.

Si AB CD entoncesm>AC = m

>BD


Teorema 1.6 De dos cuerdas congruentes y el centro de la circunferencia.

En una misma circunferencia o en circunferenciascongruentes, cuerdas congruentes son equidistantesdel centro.

Si AB =CD, OE AB yOF CD entonces

OF = OE

F

EB

O

CD

A

Teorema 1.7 Reciproco de dos cuerdas congruentes y el centro de la circunferencia.

En un crculo o en crculos congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

1.3 Relaciones mtricas en la circunferencia

Teorema 1.8 Relacin entre dos cuerdas.

Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan,el producto de los segmentos determinados en unacuerda es igual al producto de los segmentos deter-minados en la otra.

CE CE = AE EBAs, a b = c d

dc

b

aE

O

C

DA

B

Teorema 1.9 Relacin entre dos secantes.

dc

ba

P

C

BA

D

Si por un punto exterior de una circunferencia setrazan dos secantes, el producto de una secante porsu segmento exterior, es igual al producto de la otrasecante por su segmento exterior.

CP DP = AP BPAs, (a+b) b = (c+d) d


Teorema 1.10 Relacin entre una tangente y una secante.

Si por un punto exterior de una circunferencia setrazan una secante y una tangente, la tangente esmedia proporcional entre la secante y su segmentoexterior.

DP2 = AP BPAs, a2 = (b+ c) c

c

b

a P

B

A

DC

Ejercicio 1.3 Ejercicios de aplicacin. Encuentre lo que se solicita en cada caso.

1. En la figura O es el centro de la circunferencia y RS KT

90 P S

T

O

K

Ra) OS = 25,KP = 1,PS = 20,RK =b) KP = 7,OS = 17,PS = 10,KO =

2. En la figura O es el centro de la circunferencia y RS KT

K

O

N

M

En la figura, KN = 40 y MN = 24 Aqu distancia est MN del centro de lacircunferencia?

A

B

3. Si se da un>AB de una circunferencia,

como en la figura, explique como sepuede determinar el centro y el radiode la circunferencia.


4. En una circunferencia cuyo dimetrotiene 30cm se traza una cuerda AC per-pendicular a un radio OB. La distanciade la interseccin de la cuerda y el ra-dio al extremo exterior del radio DBes de 3cm. Determine la longitud de lacuerda AC

D C

O

BA

C

D

B

OA5. Si m

>AB = 100circ, m

>AD = 140 y m

>DC = 66

Halle la medida de los ngulos centra-les definidos por , ,pi y

6. Si LM UV , m V LM = 25. Halle m>VM y m

>UL

U

VL

M

EBC

D

A

7. Las cuerdas AB y CD se intersecan enE. Adems,m AC = 40 y m>BD = 70. Hallar mAEC


8. Si AB al diametro T D, TC es unacuerda; m

>TC = 100. Halle m BTC,

m OTC y m ATC C

T

O

D

A B

E

B

C

O

A

D9. Si mAEC = 80 y m>AC= 100. Ha-

lle m>BD, m DOB, m DAB y m

DCB

10. Si la cuerda AD al diametro ST , m>RS = 50. Halle m RST y m ABR

B C

R

A

T

O

D

S

Ejercicio 1.4 Encuentre en cada caso lo que solicita en cada parte de la prctica.

1. Escriba en el espacio indicado la expresin que permita completar afirmativamente lo quese le solicita, en la proposicin indicada. Use la simbologa correcta.

a) Un ngulo central de un crculo esta formado por dos [ ].

b) Un ngulo inscrito de un crculo esta formado por dos [ ].

c) Un ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo [ ].

d) El nmero mximo de ngulos obtusos que un tringulo inscritopuede tener es de [ ].

e) Los segmentos trazados a un crculo desde un punto exterior son[ ].

f ) La cuerda mayor de un crculo es el [ ] del crculo.


g) Un ngulo esta inscrito en un arco. Si el arco interceptado se incrementa en 10 elngulo inscrito se incrementa en [ ].

h) Los ngulos opuestos de un cuadriltero inscrito son[ ].

i) Una recta que pasa por el centro de un crculo y es perpendicular auna cuerda,[ ] a la cuerda y a su arco.

j) Si una recta es [ ] a un radio en su punto sobre el crculo, estangente al crculo.

k) Si dos crculos se interceptan, la recta que une sus centros esta[ ] de su cuerda comn.

l) En un crculo, o en crculos congruentes, cuerdas equidistantes delcentro de un crculo son [ ].

m) Un ngulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto externo a un crculo esigual, en grados, a la mitad de la [ ] de sus arcos intercepta-dos.

2. Indicar cuales de las proposiciones siguientes siempre son verdaderas y cuales no siempreson verdaderas.

a) ( ) Si un paralelogramo esta inscrito en un crculo, debe ser un rectngulo.

b) ( ) Un polgono equiltero inscrito en un crculo debe ser equingulo.

c) ( ) Un radio de un crculo es una cuerda del crculo.

d) ( ) Si un ngulo inscrito y un ngulo central subtienden al mismo arco, la medidadel ngulo inscrito es el doble de la medida del ngulo central.

e) ( ) Una linea recta puede intersecar a un crculo en tres puntos.

f ) ( ) El ngulo formado por dos cuerdas que se interceptan en un crculo es igual engrados a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

g) ( ) Todos los puntos de un polgono inscrito estn sobre el crculo.

h) ( ) Una recta perpendicular a un radio es tangente al crculo.

i) ( ) La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda esperpendicular a la cuerda.

j) ( ) El segmento rectilneo que une dos puntos sobre un crculo es una secante.

k) ( ) El ngulo formado por una secante y una tangente que se interceptan en elexterior de un crculo se mide por la mitad de la suma de las medidas de los arcosinterceptados

l) ( ) Un ngulo agudo interceptar un arco cuya medida es menor que 90

m) ( ) La interseccin de una recta y un crculo puede ser un conjunto vaco.


n) ( ) Un trapecio inscrito en un crculo debe ser issceles.

) ( ) Los ngulos inscritos en el mismo arco son suplementarios.

o) ( ) Si dos cuerdas iguales se intersecan dentro de un crculo, las medidas de lossegmentos de una cuerda son respectivamente iguales a las medidas de los segmentosde la otra.

p) ( ) Un ngulo inscrito en un arco menor que un semicrculo debe ser agudo.

q) ( ) Una cuerda de un crculo es un dimetro.

3. Encuentre la medida de los segmentos que se solicitan, utilizando las relaciones mtricas

a) Si AP = 3, PB = 3 y PC = 4; halle PD

b) Si AB = 8, PC = 3 y PD = 4; halle AP y PB

c) Si PB = AAP, PC = 4 y CD = 12; halle AB

d) Si AB = 11, AP = 3 y PD = 2PC; halle PC

e) Si CD = 15, PD = 6 y PB = 3PA; halle PA

P

O

D

C

A

B

QOC

D

B

A

f ) Si QB = 12, QA = 4 y QD = 10; halle QC

g) Si QB = 70, QA = 8 y QC = 6; halle QD

h) Si QB = 14, AB = 8 y CD = 10; halle QC

i) Si QA = 8, AB = 12 y CD = 10; halle QC

j) Si QA = AB, QC = 8 y CD = 14; halle QB


k) Si QA = 9, QB = 4; halle QT

l) Si QA = 8, BA = 4; halle QT

m) Si QT = 8, QA = 20; halle QB

n) Si QT = 14, QB = 8; halle QA

) Si QT = 14,PD2

= 6 y QB = 9; halle QT

Q

O

T

A

B

C

Respuestas

1. Complete

a) radiosb) cuerdasc) rectod) uno

e) congruentesf ) dimetrog) 5h) suplementario

i) bisecaj) perpendiculark) mediatrizl) congruentes

m) semiresta

2. Falso y verdadero

a) Vb) Vc) Fd) F

e) Ff ) Fg) Fh) F

i) Vj) Fk) Fl) F

m) Vn) V) Fo) F

p) Vq) V

3. Relaciones mtricas

a) PD = 3,75b) AP = 2 y PB = 6c) AB = 12d) PC = 2

3

e) PA = 3

2f ) QC = 4,8g) QD = 93,33h) QC = 5,4

i) QC = 8,6j) QB = 2

22

k) QT = 6l) QT = 4

2

m) QT = 3,2n) QA = 24,5) QT = 18


Ejercicio 1.5 Para la casa. Determine las medidas que se solicitan en cada caso.

1. En la circunferencia de centro O, m AB= 8cm,m QR = 4cm y m QS = 13cm. Hallar la medi-da de AQ. QA O

S

B

R

2. Comprobar que no se puede dar que las longi-tudes de los segmentos determinados en doscuerdas de una circunferencia, que se interse-can, sean cuatro nmeros consecutivos.

x+2

x+3 x+1

x

S

R

Q

T

3. De acuerdo con la figura adjunta.m AB = 25cm, m AE = 18cm; y m DC = 27cm.Determinar las medidas de EB, DE y EC.

m AB = 25cm y los segmentos AE y EB estn enla razn 2 : 3; m DC = 30cm.Hallar la medida deDE y EC.

ED

C

B

A


1.4 reas en la circunferenciaDefinicin 1.12 Crculo. Una regin circular o un crculo es la unin de una circunferenciay de su interior.

Definicin 1.13 rea del crculo. El rea de un crculo es el lmite de las reas de lospolgonos regulares inscritos.

El rea de un crculo de radio r est dada por A = pi r2

Definicin 1.14 Sector Circular. Considere la figura siguiente

r

O

B

ASi>AB es un arco de una circunferencia con centro

en O y de radio r entonces la unin de todos lossegmentos OP, donde P es un punto cualquiera de>AB, se llama un sector circular.>AB es el arco del sector y r es el radio del sector.El rea de un sector circular es igual a la mitad delproducto de su radio por la longitud de su arco

Asector =pi r 180

r2=

pi r2 360

Definicin 1.15 Segmento Circular. Considere la figura siguiente

Para un sector circular, y el tringulo que tiene comovrtices el origen y los dos puntos que subtiendenel arco

>AB, se define el segmento circular como la

diferencia entre el sector circular y dicho tringulo.>AB es el arco del sector, r es el radio del sector y4ABO.El rea de un segmento circular es igual a

Asegmento =pi r2

360 r

2 sen2

r

O

B

A


R Diferentes frmulas para calcular el rea de un tringulo.

h

b

90DA B

C

c

ab

A B

C

rea4ABC = b h2

rea4ABC =

s(sa)(sb)(s c)Dnde a, b y c son los lados del tringulo y

s =a+b+ c

2

c

ab

A B

C

a

aa

A B

C

rea4ABC = b c sen2

rea del equilatero4ABC = a2

34

Definicin 1.16 Corona Circular. Es el rea que se encuentra contenida entre dos circunfe-rencias que comparten el mismo centro u origen. En ocasiones, basta unicamente con que una delos circunferencias este dentro de la otra.

El rea de una corona circular de radios R y r, tal que R > r es igual al producto de pi por ladiferencia de los cuadrados de dichos radios.

Acorona = pi(R2 r2) Asector corona = pi (R2 r2)360

Rr O2O1 R

rO

R

rO


Ejercicio 1.6 Determine en cada caso el rea que se solicita.

Q

B

M

NA

PA B

O1.>MON y>POQ son arcos de las circunferencias

con centro A y C respectivamente. Si el rea delcuadrado ABCD es de aproximadamente, el reade la regin sombreada.

ROP

Q2. El dimetro del semicrculo es de 10 cm y la

cuerda QR es de 6 cm de longitud. Calcular apro-ximadamente, el rea de la regin sombreada.

M

NP

C

A B

3. El4ABC es equilatero, CA = 10cm y P, M y Nson los puntos medios de dicho tringulo. Deter-mine la regin sombreada.

4. En la figura adjunta la cruz dentro del crculo esdivisible en 5 cuadrados, de lado 4cm. Determineel rea que es interior al crculo y adems aquellaque esta afuera de la cruz.


5. Determine el rea de la arandela mostrada enla figura adjunta, si su dimetro es 4 cm y eldimetro del agujero es de 2 cm

6. El radio de cada uno de los arcos circulares queforman la figura de seis ptalos es el mismo queel radio de la circunferencia que contiene laspuntas exteriores de todos los ptalos. Si el radiomide 1 cm, Cul es el rea de la figura?

Respuestas

1. (328pi)cm22.(

252pi24

)cm2

3.(

25

3 252pi)

cm2

4. 80cm2

5. 3picm26. (2pi33)cm2

1.5 Longitud de la circunferencia

Corolario 1.6 Longitud de la circunferencia. La longitud de una circunferencia es igualal dplo de pi , multiplicado por el radio;

C = 2 pi r

1.5 Longitud de la circunferencia 33

Definicin 1.17 Longitud del arco. Considere la figura

r

O

B

ASi>ABes un arco de una circunferencia con centro en O y

de radio r, entonces la longitud del arco>AB est definido

por la frmula

m>AB =

pi r 180

, donde es la medida del ngulo central.

Ejercicio 1.7 Determine la medida de los segmentos que se le solicitan a continuacin.

1. Si el radio de la circunferencia O es r, cual es el permetro de la Lnula ABCD

rD BE

C

O

A

2. El arco>BC se ha trazado haciendo centro en A. El arco

>CD se ha trazado haciendo centro

en B. Si AB = 5cm, calcular la longitud de la curva BCD

2

1

BA DC

3. Hallar aproximadamente, la longitud de una circunferencia sabiendo que el radio mide8,74 cm.

4. Si la longitud de una circunferencia es 3picm.Cul es la medida de su radio?


5. Si dos circunferencias secantes son congruentes, la medida respectiva de sus radios es2cm y la cuerda AB mide 2cm

a) Cul es la medida de OO?b) Cul es el rea sombreada?c) Cul es la longitud de

>AB?

O'

A

O

B

1.6 Posiciones relativas de dos circunferencias en un mismo plano

Dos circunferencias coplanares se relacionan de acuerdo a su posicin, conforme a ello secumplen una serie de propiedades con respecto a la distancia entre los centros de las circunferencias.

Definicin 1.18 Circunferencias Exteriores. Dos circunferencias son exteriores si lospuntos de cada una son exteriores a la otra, son circunferencias disjuntas, como se muestra en lafigura.

O1O2 Todos los puntos que conforman a a la

circunferencia O1 son puntos exterio-res de la circunferencia O2 y viceversa.

Teorema 1.11 Circunferencias exteriores. En dos circunferencias exteriores la distanciade los centros es mayor que la suma de los radios.

As, O1O2 > r1+ r2r2r1

d

PO2O1 Q


Definicin 1.19 Circunferencias Interiores. Dos circunferencias son interiores cuandotodos los puntos de una de las circunferencias son interiores a la otra, ellas son disjuntas, como semuestra en la figura.

O1

O2 Todos los puntos que conforman a laO1 son interiores a la O2, lgicamentetodos los puntos que conforman a laO2 son exteriores a la O1.

Teorema 1.12 Circunferencias interiores. En dos circunferencias interiores la distancia delos centros es menor a la diferencia de los radios.

As, O1O2 < r1 r2r2

r1

dQO2O1

P

Definicin 1.20 Circunferencias Secantes. Dos circunferencias son secantes si y slo sitienen dos puntos comunes, como se muestra en la figura.

O1O2 = {P,Q}Q

P

O1O2


Teorema 1.13 Circunferencias secantes. En dos circunferencias secantes la distancia entrelos centros es menor que la suma de los radios y mayor que la diferencia.

As, O1O2 < r1+ r2 y

O1O2 > r1 r2 d

r2r1

Q

P

R O2O1

Definicin 1.21 Circunferencias Tangentes Exteriores. Dos circunferencias son tangen-tes exteriores si tienen un punto en comn y los dems puntos de cada una son externos a la otra,vase la figura.

O2O1P O1O2 = {P}.

Teorema 1.14 Circunferencias tangentes exteriores. En dos circunferencias tangentesexteriores la distancia de los centros es igual a la suma de los radios.

As, O1O2 = r1+ r2d

r2r1O2O1


Problema 1.1 Dadas las circunferencias tangentes exteriores con radios r1 = 3cm y r2 = 2cm,Cul es la distancia entre los centros O1 y O2?

por ser tangente exterioresO1O2 = r1+ r2

O1O2 = 3+2 = 5cm

2 cm

3 cmO1

O2

Definicin 1.22 Circunferencias Tangentes Interiores. Dos circunferencias son tangentesinteriores si si tienen un punto en comn, y todos los puntos de una de ellas son interiores a laotra. Como se muestra en la figura.

O1O2 = {P} O1O2

P

Teorema 1.15 Circunferencias tangentes interiores. En dos circunferencias tangentesinteriores la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

As, O1O2 = r1 r2d r2

r1

O2O1P


Problema 1.2 Dadas dos circunferencias tangentes interiores con radios r1 = 6cm y r2 = 4cm,Cul es la distancia entre los centros O1 y O2?

por ser tangente interioresO1O2 = r1 r2O1O2 = 64 = 2cm

2 cm

3 cmO1

O2

Definicin 1.23 Circunferencias Concntricas. Dos circunferencias son concntricas sicomparten el mismo centro u origen, vase la figura.

O2O1 O1 = O2.

Teorema 1.16 Circunferencias concntricas. En dos circunferencias concntricas la dis-tancia entre los centros es nula, es decir como los centros coinciden, es claro que

As, O1O2 = 0

Ejercicio 1.8 Encuentre las distancias entre los origenes de las circunferencias que se presentana continuacin.

1.a) Si r1 = 7 y r2 = 3

b) Si r1 =34

y r2 =12 d

r2r1O2O1


2.

d r2

r1

O2O1P

a) Si r1 = 8 y r2 = 3,6

b) Si r1 =75

y r2 =23

3. Si O1 y O2 son concntricas, r = 14cm y r2 =

49cm.

4. Si O1 y O2 son tangentes interiores, r1 = 9,5cm y r2 =85

cm.

5. Si O1 y O2 son tangentes exteriores, r1 = 2

32cm y r2 =42

cm .

6. Si O1 y O2 son tangentes interiores, la circunferencia de O1 mide 10picm y el rea de O2mide 9picm2.

7. Si O1 y O2 son tangentes exteriores, la circunferencia de O1 mide 3picm y la circunferenciade O2 mide picm

8. Si O1 y O2 son concntricas, la circunferencia de O1 mide pi

2cm y el rea de O2 mide3picm2.

9. Si O1 y O2 son tangentes interiores, el rea de O1 mide4pi

cm2 y el rea de O2 mide1pi

cm2.

Respuestas

1. d = 10 y d =54

2. d = 4,4 y d =1115

3. d = 0

4. d = 7,9

5. d = 10

2

6. d = 2

7. d = 2

8. d = 0,7

9. d =1pi

2 Polgonos

Sean P1,P2,P3, . . . ,Pn1,Pn,n puntos distintos en un plano (n 3). Supongamos que los nsegmentos P1P2,P2P3, . . . ,Pn1Pn,PnP1 tienen las propiedades siguientes

1. Ningn par de segmentos se intersecan, ex-cepto en sus extremos.

2. Ningn par de segmentos con un extremocomn son colineales.

P1

P2

P3 P4

P5

Pn-1

Pn

Entonces la reunin de los n segmentos es un polgono, los n puntos vrtices y los n segmentosson los lados del polgono. Dos lados con un vrtice en comn determinan un ngulo del polgono.

2.1 Clasificacin de polgonos

La palabra polgono viene del griego polygonos. De polys que significa muchos y de gonia quesignifica ngulos. Digamos que la traduccin ms precisa de la palabra polgono sera figura quetiene muchos ngulos.

42 Polgonos

2.1.1 Por el nmero de lados

Lados Nombre3 Tringulo4 Cuadriltero5 Pentgono6 Hexgono7 Heptgono8 Octgono9 Enegono Nongono10 Decgono11 Endecgono12 Dodecgono13 Triskaidecgono14 Tetradecgono15 Pentadecgono16 Hexadecgono17 Heptadecgono18 Octadecgono19 Eneadecgonon n gono

Para saber cmo se llama un polgono de menos de cien lados podemos hacer lo siguiente. Lacombinacin de prefijos como se muestra a continuacin y agregamos la terminacingono.

Decenas y Unidades Terminacin1 hen

20 Icosa 2 di30 Triaconta 3 tri40 Tetraconta 4 tetr50 Pentaconta kai 5 pent gono60 Hexaconta 6 hex70 Heptaconta 7 hept80 Octacnta 8 oct90 Eneaconta 9 ene

Por ejemplo, un polgono de 30 lados se llama triacontgono, mientras que uno de 63 ladosse llama hexacontakaitrigono. Pudiendo as plantear el nombre de todos los polgonos de hastacien lados, el polgono de cien lados se llama hectgono. Como se puede ver, algunos nombres depolgonos son ms fcil es de decir que otros.

La regla es muy sencilla: saber cmo se dice el nmero de lados en griego y agregar la terminacin-gono. Pero, no todos los nombres de los polgonos que utilizamos la siguen, por ejemplo el tringuloy el cuadriltero.

2.2 Concepto bsicos de polgonos 43

2.1.2 Por la posicin de sus ladosDefinicin 2.1 Polgono Convexo. Es aquel donde la prolongacin de sus lados no estacontenido dentro del interior del polgono.

P1 P2

P3

P4P5

P6

Definicin 2.2 Polgono Cncavo. Es aquel donde la prolongacin de al menos uno de suslados esta contenido dentro del interior del polgono.

P1P2

P3

P4

P5

P6

2.2 Concepto bsicos de polgonos

Definicin 2.3 Permetro. La suma de lasmedidas de los lados de un polgono se llamapermetro del polgono, y es siempre un nmeropositivo.

Definicin 2.4 Diagonal. Una diagonalAD es un segmento cuyos puntos extremos deun polgono son vrtices no adyacentes del po-lgono.

Diagonal x

y

A

B

C

DE

Definicin 2.5 ngulo Externo. El ngulo externo ( , , ) de un polgono es un nguloque es adyacente y suplementario a un ngulo interno del polgono.

44 Polgonos

Definicin 2.6 ngulo Interno. El ngulo interno ( ) de un polgono es un ngulo interioral polgono formado por dos lados consecutivos. En la imagen observamos que + = 180

Definicin 2.7 Radio. Es el radio dela circunferencia circunscrita. Simblica-mente tenemos los radios OE y OD.

Definicin 2.8 ngulo Central. Esel formado por dos radios que correspon-den a los extremos de un mismo lado.

Definicin 2.9 Polgono Inscrito.Es el polgono que tiene todos sus vrticessobre una circunferencia.

apotema

radio

F

A B

C

D

O

E

apotema

radio

O

Definicin 2.10 Polgono Circuns-crito. Es el polgono cuyos lados son tan-gentes a la circunferencia.

Definicin 2.11 Apotema. Se llamaapotema de un polgono regular al segmen-to perpendicular trazada desde el centrodel polgono a uno cualquiera de sus lados.La apotema se designa con Ap.

2.3 Resultados Importantes de un Polgono Regular

Sea n el numero de lados de un polgono regular, entonces

Definicin 2.12 Total de diagonales. En un polgono de n lados se puede trazar desdetodos sus vrtices, la siguiente cantidad de diagonales

D =n(n3)

2

Definicin 2.13 Diagonales desde un slo vrtice. En un polgono de n lados se puedetrazar desde un slo vrtice, la siguiente cantidad de diagonales

d = n3


Definicin 2.14 ngulo Central. En un polgono de n lados la medida de cada ngulocentral, es la siguiente

]c =360

n

Definicin 2.15 Suma de ngulos centrales. En un polgono de n lados la suma de lasmedidas de los ngulos centrales, es la siguiente

S]c = 360

Definicin 2.16 ngulo Interior. En un polgono de n lados la medida de cada ngulointerior, es la siguiente

]i =180(n2)

n

Definicin 2.17 Suma de ngulos interiores. En un polgono de n lados la suma de lasmedidas de los ngulos interiores, es la siguiente

S]i = 180(n2)

Definicin 2.18 ngulo Exterior. En un polgono de n lados la medida de cada nguloexterior, es la siguiente

]e =360

n

Definicin 2.19 Suma de ngulos exteriores. En un polgono de n lados la suma de lasmedidas de los ngulos exteriores, es la siguiente

S]e = 360

Definicin 2.20 rea del polgono. En un polgono de n lados la medida de su rea, es lasiguiente

A =P Ap

2

46 Polgonos

Ejercicio 2.1 Encuentre las medidas que se le solicitan para cada polgono.

1. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 3m, si el ladodel cuadrado mide 3

6.

2. Calcular la apotema de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 5m deradio, si el lado del tringulo mide 5

3.

3. Sabiendo que el lado del cuadrado inscrito a una circunferencia de 7m de radio vale 7

2mhallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

4. Sabiendo que el permetro de un hexgono regular inscrito en una circunferencia vale 48m.Calcular el dimetro de dicha circunferencia.

5. Hallar la suma de los ngulos internos de un cuadrado.

6. Hallar la suma de los ngulos internos de un octgono.

7. Hallar la suma de los ngulos internos de un pentgono.

8. Cul es el polgono cuya suma de ngulos interiores vale 540?



11. Hallar el valor de un ngulo interior de un hexgono regular.

12. Hallar el valor de un ngulo interior de un decgono regular.

13. Hallar el valor de un ngulo interior de un dodecgono regular.

14. Determinar cual es el polgono regular cuyo ngulo interior vale 60.

15. Determinar cual es el polgono regular cuyo ngulo interior vale 90.

16. Determinar el polgono regular cuyo ngulo interior vale 135.

17. Calcular el nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice de un decgono.

18. Calcular el nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice de un octgono.

19. Cul es el polgono en el cual se puede trazar nueve diagonales desde un vrtice?

20. Cul es el polgono en el cual se puede trazar seis diagonales desde un vrtice?

21. Cul es el polgono en el cual se puede trazar 20 diagonales desde en total?

22. Cul es el polgono en el cual se puede trazar 14 diagonales desde en total?


Respuestas

1.3

22

2. 25m3. 14m4. 16m5. 360

6. 1080

7. 540

8. pentgono9. enegono

10. dodecgono11. 120

12. 144

13. 150

14. tringulo15. cuadrado

16. octgono17. 718. 519. dodecgono20. enegono21. octgono22. eptgono

3 Slidos Geomtricos

La geometra estudiada hasta el momento ha sido geometra plana, esto es, la geometra defiguras que se encuentran por completo en un plano. Sabemos que las figuras planas tienen ninguna,una o dos dimensiones; por ejemplo un punto no tiene dimensiones, una lnea tiene una dimensin(longitud) y un rectngulo tiene dos dimensiones (longitud y ancho).

No obstante, nosotros vivimos en un mundo tridimensional por lo cual es natural extender elestudio de la geometra a figuras tridimensionales, en otras palabras figuras que ademas de longitudy anchura tengan profundidad.

Los puntos y las lneas de una figura tridimensional no ne-cesariamente pertenecen al mismo plano. En la figura tridi-mensional de la derecha los puntos A,B,C y D pertenece aun plano, los puntos B,E,F y C a otro plano y los puntosD,C,F y G a un tercer plano. Cuantos planos forman lafigura?En ocasiones la geometra de figuras tridimensionales reci-be el nombre de geometra tridimensional o geometra delespacio. Ya que muchas de las figuras tridimensionales se co-nocen como slidos, esta clase de geometra recibe tambinel nombre de Geometra de Slidos.

G F

E

D C

BA

50 Slidos Geomtricos

Definicin 3.1 Slido Geomtrico. Un slido geomtrico es una superficie que encierracompletamente una porcin del espacio. La pirmide, el cono, cilindro y esfera son ejemplos deslidos.

3.1 CuboDefinicin 3.2 Cubo. Un cubo es el primer slido Platnico (tambin llamado hexaedroregular). Esta compuesto de seis caras rectas que se intersecan entre si formando ngulos rectos,tiene ocho vrtices y 12 aristas.

a

aa

Proposicin 3.1 Principales medidas para el Cubo. rea de la base (Abase), rea de las dosbases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales (Atotal), volumen(Vol) y diagonal (d).

Abasal = 2 a2 (3.1)Abase = a2 (3.2)

Alateral = 4 a2 (3.3)

Atotal = 6 a2 (3.4)Vol = a3 (3.5)

d = a

3 (3.6)

3.2 CilindroDefinicin 3.3 Cilindro. Un cilindro es aquella parte de una superficie cilndrica limitadaentre dos planos paralelos que cortan todos los elementos. La interseccin de la superficiecilndrica y uno de los planos es una base del cilindro.

Las bases de un cilindro son congruentes. La superficie cilndrica limitada es la superficielateral del cilindro. La altura de un cilindro es la distancia perpendicular entre las bases.

Un cilindro circular es aquel cuyas bases son circulo y en el cual los elementos son perpendi-culares a las bases. Los elementos de un crculo circular recto son paralelos y congruentes.

3.3 Cono 51

Proposicin 3.2 Principales medidas para el Cilindro. rea de la base (Abase), rea de lasdos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales (Atotal), volumen(Vol).

Abasal = 2 pi r2 (3.7)Abase = pi r2 (3.8)Alateral = 2 pi r h (3.9)Atotal = 2 pi r h+2 pi r2 (3.10)Vol = pi r2 h (3.11)

3.3 ConoDefinicin 3.4 Cono. Un cono es esa parte de la superficie cnica que se encuentra limitadapor el vrtice y un plano que corta todos los elementos en un lado del vrtice.

La altura de un cono es la distancia perpendicular del vrtice al plano de la base. El realateral de un cono es el rea de la superficie lateral.

Un cono circular es uno cuya base es un crculo. Un cono circular recto es aquel en el cual larecta que pasa por el vrtice y el centro de la base es perpendicular a la base.

Con frecuencia, esta perpendicular se denomina eje del cono. Los elementos de un conocircular recto son congruentes, tambin se le conoce como cuerpo de revolucin, pues se forma algirar un triangulo rectngulo sobre un eje.

Adems, la distancia lateral del cono recibe el nombre de generatriz.


Proposicin 3.3 Principales medidas para el Cono. rea de la base (Abase), rea de las dosbases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales (Atotal), volumen(Vol) y generatriz (g).

Abasal = pi r2 (3.12)Abase = pi r2 (3.13)Alateral = pi r g (3.14)Atotal = pi r2+pi r g (3.15)

Vol =pi r2 h

3(3.16)

g =

h2+ r2 (3.17)

3.4 EsferaDefinicin 3.5 Esfera. Una esfera es el conjunto de todos los puntos en el espacio, loscuales son equidistantes de un punto fijo llamado centro.

Un radio de una esfera es un segmento rectilneo que une el centro y cualquier punto dela esfera. Las esferas son congruentes si, y solo si, tienen radios congruentes. Las esferas sonconcntricas si, y solo si, tienen el mismo centro y radios no congruentes.

Un punto se encuentra en el interior o bien en el exterior de una esfera de acuerdo con que sudistancia al centro de la esfera sea menor o mayor que la medida del radio.

Un dimetro de una esfera es un segmento rectilneo que pasa por el centro y que tie-ne sus puntos sobre la esfera. El dimetro de una esfera es el doble de largo que el radio.

Si un plano interseca a una esfera, la interseccin es uncrculo. Si un plano contiene un dimetro de la esfera,el circulo se llama circulo mximo; en caso contrario, elcirculo se llama circulo menor. Todos los crculos mximosde una esfera son congruentes. Todo circulo mximo bisecaa la esfera en dos superficies llamadas hemisferios. Unplano es tangente a una esfera si la interseca exactamenteen un punto.

3.5 Prismas 53

Proposicin 3.4 Principales medidas para la Esfera. rea total (Atotal) y volumen (Vol).

Atotal = 4 pi r2 (3.18)

Vol =4 pi r3

3(3.19)

3.5 PrismasDefinicin 3.6 Prisma. Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son paralelas,llamadas bases, las caras restantes siendo paralelogramos.

Las caras que son paralelogramos se llaman caras laterales y sus interseccionesse llaman aristas laterales. Las aristas laterales son iguales y paralelas. Laaltura h de un prisma es la distancia perpendicular entre los planos de lasbases.

Un prisma recto es un prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares alas bases. Puede demostrarse que, en un prisma recto, las caras laterales sonrectngulos y las aristas laterales son iguales a la altura. Un prisma regular esun prisma recto cuyas bases son polgonos regulares.

Los prismas reciben su nombre dependiendo del nmero de lados que tengansus bases (polgonos) y pueden ser regulares o irregulares. Si son polgonosregulares, entonces todas las caras sern congruentes entre si y el prisma serregular.

Proposicin 3.5 Principales medidas para el Prisma Triangular. rea de la base (Abase),rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales(Atotal)y volumen (Vol).

Abasal =l2 3

2(3.20)

Abase =l2 3

4(3.21)

Alateral = 3 l h (3.22)

Atotal =l2 3

2+3 l h (3.23)

Vol =l2 3 h

4(3.24)


Proposicin 3.6 Principales medidas para el Prisma Cuandrangular. rea de la base(Abase), rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caraslaterales (Atotal)y volumen (Vol).

Abasal = 2 l2 (3.25)Abase = l2 (3.26)

Alateral = 4 l h (3.27)Atotal = 2 l2+4 l h (3.28)Vol = l2 h (3.29)

Proposicin 3.7 Principales medidas para el Prisma Rectangular. rea de la base (Abase),rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales(Atotal)y volumen (Vol).

Abasal = 2 a b (3.30)Abase = a b (3.31)Alateral = 2 a h+2 b h (3.32)Atotal = 2 a h+2 b h+2 a b (3.33)Vol = a b h (3.34)

Proposicin 3.8 Principales medidas para el Prisma Pentagonal. rea de la base (Abase),rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales(Atotal)y volumen (Vol).

Abasal =5 l2 tan54

2(3.35)

Abase =5 l2 tan54

4(3.36)

Alateral = 5 l h (3.37)

Atotal =5 l2 tan54

2+5 l h (3.38)

Vol =5 l2 tan54 h

4(3.39)

3.6 Pirmides 55

Proposicin 3.9 Principales medidas para el Prisma Hexagonal. rea de la base (Abase),rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales(Atotal)y volumen (Vol).

Abasal = 3 l2

3 (3.40)

Abase =3 l2 3

2(3.41)

Alateral = 6 l h (3.42)Atotal = 3 l2

3+6 l h (3.43)

Vol =3 l2 3 h

2(3.44)

3.6 PirmidesDefinicin 3.7 Pirmide. Una pirmide es un poliedro con una cara, llamada base, que esun polgono de cualquier nmero de lados y las otras caras son tringulos que se encuentran enun punto comn llamado vrtice o cspide de la pirmide.

Las caras triangulares se llaman caras laterales y la interseccin de estas carasson las aristas laterales.

La altura de la pirmide es la longitud de la perpendicular trazada desde elvrtice o cspide, al plano de la base. El rea lateral de una pirmide es iguala la suma de las reas de las caras laterales de la pirmide.

El rea total de una pirmide es igual a la suma del rea lateral y el rea de labase.

Las pirmides reciben su nombre dependiendo del nmero de lados que tengansus bases (polgonos) y pueden ser regulares o irregulares. Si son polgonosregulares, entonces todas las caras sern congruentes entre si y la pirmideser regular. Las pirmides pueden ser rectas u oblicuas.


Proposicin 3.10 Principales medidas para el Pirmide Triangular. rea de la base (Abase),rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales(Atotal)y volumen (Vol).

Abasal =l2 3

4(3.45)

Abase =l2 3

4(3.46)

Alateral =3 l hL

2(3.47)

Atotal =l2 3

4+

3 l hL2

(3.48)

Vol =l2 3 h

12(3.49)

Proposicin 3.11 Principales medidas para el Pirmide Cuandrangular. rea de la base(Abase), rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caraslaterales (Atotal)y volumen (Vol).

Abasal = l2 (3.50)

Abase = l2 (3.51)

Alateral = 2 l hL (3.52)Atotal = l2+2 l hL (3.53)

Vol =l2 h

3(3.54)

3.6 Pirmides 57

Proposicin 3.12 Principales medidas para el Pirmide Rectangular. rea de la base(Abase), rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caraslaterales (Atotal)y volumen (Vol).

Abasal = a b (3.55)Abase = a b (3.56)Alateral = a hL+b hL (3.57)Atotal = a hL+b hL+a b (3.58)Vol =

a b h3

(3.59)

Proposicin 3.13 Principales medidas para el Pirmide Pentagonal. rea de la base(Abase), rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caraslaterales (Atotal)y volumen (Vol).

Abasal =5 l2 tan54

4(3.60)

Abase =5 l2 tan54

4(3.61)

Alateral =5 l hL

2(3.62)

Atotal =5 l2 tan54

4+

5 l hL2

(3.63)

Vol =5 l2 tan54 h

12(3.64)


Proposicin 3.14 Principales medidas para el Pirmide Hexagonal. rea de la base (Abase),rea de las dos bases (Abasal), rea de las caras laterales (Alateral), rea de bases y caras laterales(Atotal)y volumen (Vol).

Abasal =3 l2 3

2(3.65)

Abase =3 l2 3

2(3.66)

Alateral = 3 l hL (3.67)

Atotal =3 l2 3

2+3 l hL (3.68)

Vol =l2 3 h

2(3.69)

Ejercicio 3.1 Encuentre las medidas que se solicitan para cada uno de los slidos.

1. Determina el rea de la superficie lateral de un prisma recto cuya altura es 10 cm, cuandolos lados de la base pentagonal son 3 cm, 4 cm y 5 cm.

2. Determina el rea de la superficie total de un prisma triangular recto cuya base es untringulo equiltero, de 8 centmetros de lado, teniendo la altura del prisma que es 10 cm.

3. En un paraleleppedo rectangular, Cuntas caras hay?, Cuntas aristas?, Cuntos vrti-ces?

4. Hallar el rea lateral de un prisma recto que tiene su altura de 18 centmetros y un permetrode 30 centmetros

5. Hallar el rea total de un cubo con cada arista de 20 centmetros.

6. Si se desea forrar las caras laterales de una caja que tiene forma de prisma triangularrectangular, en la cual, el lado de la base mide 4m y la altura de la caja mide 3m. Qucantidad de material necesitamos?

7. Cuanta madera se necesita para construir una caja con forma de prisma hexagonal regular,cuya base tenga 54 cm de permetro y adems su arista lateral (altura) debe medir 20 cm.?(con tapa)

8. Las tres aristas que concurren en los vrtices de un ortoedro (prisma rectangular) miden 5,6 y 4 cm. Hallar la longitud de la diagonal del ortoedro R/

77cm

9. La diagonal de un cubo mide 2

3cm . Hallar la arista. R/ 2cm

10. Hallar el rea lateral de un prisma recto pentagonal regular si el lado de la base mide 5cm yla arista lateral 20 cm. R/ 500cm2

3.6 Pirmides 59

11. Hallar el rea lateral de un prisma recto hexagonal regular cuyo lado de la base mide 6 cmy la arista lateral 15 cm. R/ 720cm2

12. Hallar el rea total de un prisma recto triangular regular si el lado de la base mide 5 cm yla arista lateral 9 cm. R/ 156,62cm2

13. Expresar el volumen V , de un cubo en funcin de la diagonal D. R/ V =

(D2

3

)3.

14. Expresar el rea total de un cubo en funcin del volumen. R/ 6( 3

v)2

15. La diagonal de un cubo mide 12 cm. Hallar su volumen. R/ V=192

3

16. Expresar el volumen de un cubo en funcin del rea total. R/ V =

(At6

)317. Una pirmide regular tiene como base un hexgono regular cuyos lados miden 20 centme-

tros, y su altura es de 37,5 cm. Hallar el rea lateral de la pirmide.

18. Hallar el rea lateral de una pirmide cuadrangular cuya base tiene un permetro de 36centmetros y su apotema es igual a 23 centmetros

19. Hallar el rea lateral de la pirmide que tiene una base cuadrada de 10 centmetros por ladoy una altura de 12 centmetros

20. Calcular la medda de las aristas laterales de una pirmide regular cuya altura mide 6 cm ytal que la base es un hexgono de 24 m de permetro

21. Hallar la medida de la apotema de una pirmide regular cuya altura mide 15cm y cuya basees un cuadrado, en el cual su lado mide 7 cm

22. En una pirmide el pie de la altura coincide con el centro de simetra de la base, que es unrectngulo que mide 24cm de largo y 18cm de ancho. Siendo la medida de la arista lateralde la pirmide de 17 cm. Cul es la medida de su altura?

23. En una pirmide cuadrangular, la apotema de una de sus caras laterales mide 30 cm y laarista de la base mide 40 cm. Cul es su rea total?

24. Si el lado de la base cuadrada de la pirmide de Keops mide 228m y la altura mide 138m,calcular la medida de la apotema y el rea basal de dicha pirmide.

25. Un obelisco esta formado por un prisma cuadrangular cuya dimensin es de 2m, y lalongitud de la altura es 10m; sobre el prisma, una pirmide con la base, con una alturade 1m de longitud. Las caras laterales del prisma y la pirmide estn recubiertas deinscripciones. Calcular el rea que ocupan las inscripciones.

26. Si una arista de la base de una pirmide hexagonal regular tiene 12 cm y la altura de lapirmide es de 9 cm, Cul es el rea lateral?; Cul es el volumen?

27. El volumen de una tienda piramidal con base cuadrada es 1836 m3. Si el lado de la basetiene 18 m, determina la altura de la tienda.


28. Dada una pirmide hexagonal de 8cm de lado y 14 cm de altura, calcular:

a) Apotema de la base. R/ 4

3

b) Arista. R/ 2

65

c) Apotema de la pirmide. R/ 2

61

29. Hallar el rea lateral y el rea total de un tronco de pirmide cuadrada si los lados de lasbases miden 8 y 20 cm respectivamente y la altura del tronco mide 8 cm. R/ AL = 560cm2

y At = 1024cm2

30. Hallar el rea total de un tronco de pirmide regular triangular, si los lados de las basesmiden 6 y 8 pulgadas y la altura 10 pulgadas. R/ At = 25(8,48+

3) pulgadas cuadradas

31. Un cilindro tiene un radio que mide 5cm y su generatriz mide 13 cm. Calcular: La alturadel cilindro, el rea del cilindro.

32. En un cilindro la medida de la altura es el triple de.la de su dimetro. Si la longitud de lacircunferencia de su base es 16 pi cm . Cules son las dimensiones del cilindro?

33. Un rectngulo cuyas dimensiones son 18cm y 24cm, se revoluciono tomando uno de suslados como eje

a) Cul slido puede definir?

b) Cul es el rea del slido?

34. Hallar el rea lateral y total del cilindro circular recto sabiendo que el diametro de la basees 30 cm y su altura es 55 cm.

35. Se quiere pintar un edificio cilndrico cuya altura mide 15 m y cuyo radio mide 3 m.Calcular el rea de la superficie de pintar y el costo de la obra a razn de et 1500 el metrocuadrado. Que resultara ms caro, pintar un prisma de base hexagonal cuyas medidas son:2 cm de lado, 1,73 cm de apotema y 11 cm de altura, o un cilindro de la misma altura cuyoradio mide 2cm?

36. En un anaquel del supermercado hay dos latas de aceitunas importadas. La primera esdoble de alta que la segunda, pero esta tiene el dimetro doble que la primera. Si la segundacuesta el doble que la primera, cul es la mejor compra?

37. Un rodillo de acero tiene 1,5 metros de largo y 75 centmetros de dimetro. Qu reacubrir al rodar dando 250 revoluciones?

38. Cunto pesaran 1000 barras cilndricas de acero cuyo dimetro es de 1,5 cm y tienen unalongitud de 5 m, si un centmetro cbico de acero pesa 7,9 gramos?

39. Hallar la cantidad de acero en un tubo de 144 m de alto que tiene un dimetro interior de2,5cm y un dimetro de 3cm

40. Hallar el rea lateral de un cilindro circular recto, si el radio de la base mide 4 cm y lageneratriz 10 cm R/ 251,2 cm2

3.6 Pirmides 61

41. El rea total de un cilindro es 471 cm2 y su generatriz es el doble de su radio. Hallar lageneratriz y el radio R/ r = 5 cm y g = 10cm

42. Hallar el rea lateral de un cilindro cuya generatriz es igual al lado del triangulo equilteroinscrito en la base del cilindro

43. Hallar el rea total de un cilindro, sabiendo que su generatriz es igual al lado del hexgonoregular inscrito en su base.

44. Hallar el rea lateral de un cono circular recto que tiene una apotema de 24 centmetros yun radio de 8 centmetros

45. Hallar el rea superficial total de un cono circular recto que tiene una apotema de 40 metrosy un radio de 10 metros

46. Hallar el rea lateral de un cono circular recto que tiene una altura de 12 centmetros y unradio de 5 centmetros

47. En un cono la altura y la generatriz miden respectivamente 15 cm y 18 cm. Cul es lalongitud de la circunferencia de la base?

48. Un cono tiene un radio que mide 25 cm y su generatriz mide 40 cm. Determine la medidade su altura.

49. Que precio tendr un sombrero de cartn en forma cnica, con una generatriz y un radiode longitudes 50 cm y 10 cm respectivamente, sabiendo que el metro cuadrado de cartnutilizado en su diseo cuesta 100 colones. Qu longitud tiene la base del sombrero?

50. Se necesita construir una carpa cnica para un circo; Cunta lona se necesita, si el dimetrodebe medir 10 m con una altura de 2 m

a) Sin piso

b) Con piso

51. Cul es el volumen de un cono circular que tiene una altura de 18 cm y un radio de 5 cm?

52. Un cono circular recto esta dentro de un cilindro circular de la misma base y de igual altura.Escriba la frmula para el volumen del espacio comprendido entre el cilindro y el cono.

53. Hallar el rea total de un cono, sabiendo que el radio de la base mide 3 cm y la altura 4 cmR/ 75,36 cm2

54. Hallar el rea lateral de un tronco de cono cuya altura mide 8 cm, y los radios de las basesvalen 4 cm y 10 cm, respectivamente R/ 439,6 cm2

55. El rea lateral de un tronco de cono vale 560 7r cm 2 El radio de la base mayor y lageneratriz son iguales. El radio de la base menor vale 8 cm y la altura del tronco mide 16cm. Hallar la generatriz R/ 20 cm

56. Se funde un cilindro de metal de radio r y altura h, y con el metal se hacen conos cuyoradio es la mitad del radio del cilindro, pero de doble altura. Cuntos conos se obtienen?R/ 6 conos


57. Calcule el rea de una superficie esfrica cuyo dimetro es 8 cm. Cul es el volumen de laesfera correspondiente?

58. Un tanque esfrico tiene de radio 7 centmetros. Cuntos galones puede contener?

59. Un cobertizo de almacn tiene la forma de un hemisferio y hay que pintarlo, Si el pisonecesita 17 galones de pintura, Cunta pintura ser necesario para emplear para cubrir elexterior del cobertizo?

60. Un cono de helado tiene 5 cm de hondo y 2 pulgadas de dimetro superior. Se echan enel dos cucharadas semiesfricas de helado, con un dimetro tambin de 2 pulgadas. Si elhelado se derrite dentro del cono, lo rebasar?

61. Si la longitud del semicrculo que define una esfera al girar, mide 12,56 cm calcular el reade la superficie esfrica

62. Calcular el rea de la luna sabiendo que el dimetro tiene una longitud aproximada de 3475km

63. El radio de un recipiente hemisfrico mide 15 cm. Cuntos centmetros cuadrados dematerial plstico lo conforman?

64. Una superficie esfrica esta inscrita en un cilindro circular recto, de manera que es tangentea ambas bases. Cul es la razn del volumen de la esfera correspondiente al volumen delcilindro?

65. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a, se funden juntas para hacer una esfera mayor.Calcular el radio de la nueva esfera. R/ r = a 3

35 cm

66. Calcular la medida de las aristas laterales de una pirmide regular cuya altura mide 6 cm ytal que la base es un hexgono de 24 cm de permetro.

67. Hallar la medida de la altura de una pirmide regular cuya base es un cuadrado de 32 cm2

de rea u cuyas aristas laterales miden 5 cm.

68. En una pirmide hexagonal regular la medida de la arista lateral es el triple de la medidadel lado de la base, determinar la longitud de la altura de la pirmide. Cul es el rea delplano triangular sombreado?

69. En un cono la altura y la generatriz miden respectivamente 15 cm y 18 cm . Cul es lalongitud de la circunferencia de su base?

70. Un cilindro tiene un radio que mide 3 cm y su generatriz mide 5 cm . Calcular la medidade la altura y la longitud del crculo de la base.

71. En un cilindro la medida de la altura es el triple de la de su dimetro. Si la longitud de lacircunferencia de su base es 1 6 pi cm , cuales son las dimensiones del cilindro?

72. En uno de los interiores de las pirmides de Egipto hay un sarcfago de forma prismticade base rectangular. Las dimensiones de la base son 2,3 m por 1 m y la altura mide 1,03 m.Si sus paredes y bases estuvieran recubiertas de oro, cuantos metros cuadrados habranrecubiertos?

3.6 Pirmides 63

73. Una piscina infantil, en forma de prisma hexagonal regular, tiene una altura de longitud0,5 m, y la apotema de su base mide

3 m. Sabiendo que el agua que contiene equivale a

de su capacidad. cuantos litros de agua contiene la piscina? Sugerencia: 1m3 103dm3,1dm3 1 litro

74. El radio de cada una de las ocho pastillas cilndricas mide 8rnm, si cada una tiene unaaltura de 0,4cm de longitud, Cul es el volumen de las ocho pastillas?

75. Se produce un aumento de 6 cm en el dimetro de una esfera. Esto da lugar a que el rea sevuelva 4 veces mayor. Encontrar la medida del radio de la esfera original.

76. Se quiere hacer una caja de cartn en forma de prisma pentagonal regular, cuya base tenga50 cm de permetro, su apotema mida 7 cm y su arista lateral una longitud de 20 cm.Cunto cartn se necesita?

77. Hallar el volumen de una pirmide cuya apotema mide 4

3 cm y cuya base es un tringuloequiltero de 18 cm de perimetro

4 Trigonometra

4.1 Medicin de ngulos y dos tringulos especiales

Un ngulo es la figura formada por dos rayos con un extremo en comn. A este punto en comnse le llama vrtice del ngulo.

El ngulo se puede representar de las siguientes maneras:

A se lee ngulo A

BAC que se lee ngulo BAC

B

A

C

Hay tres formas fundamentales de medir la rotacin, y las tres se basan en el crculo completo

1. Revoluciones: 1 revolucin = 1 rotacin del crculo. Un punto que gira describiendo un crculocompleto se desplaza 1 revolucin.

2. Grados: Los primeros astrnomos pensaban que la duracin del ao era de 360 das; por esoles pareci que 360 grados era un nmero lgico para las divisiones de un crculo.

3. Radianes: En matemticas superiores, la medida ms conveniente para un ngulo es la raznentre el arco interceptado y el radio de un crculo. La medida de un ngulo central queintercepta un arco de crculo equivalente a la longitud de un radio es un radian.

66 Trigonometra

4.2 Conversin de un sistema de medicin de ngulos a otro

En algunas operaciones, como la medicin de la longitud de un arco o las integrales en calculose dan de forma natural las mediadas en radianes. Otras actividades, como la navegacin y laconstruccin, por lo comn se realizan usando medidas en grados. Para facilitar la conversin entrelos dos sistemas de medida, necesitamos formulas de conversin. La medida de una revolucin puedeser un punto de partida para la form ula de conversin.

Teorema 4.1 Conversin de un sistema de medicin de ngulos a otro.

Cambio de radianes a grados r 180

pi(4.1)

Cambio de grados a radianes pi180

(4.2)

Problema 4.1 Conversin de radianes a grados. Calcule el nmero de grados que hay en2.7 radianes.

Utilizamos el teorema 4.1, la frmula 4.1

2,7 180

pi 154,7

Problema 4.2 Conversin de radianes a grados. Calcule el nmero de grados que hay en16pi radianes.


16pi 180

pi1 pi 180

6 pi = 30

Problema 4.3 Conversin de radianes a grados. Calcule el nmero de grados que hay en1112

pi radianes.


1112

pi 180

pi11 pi 180

12 pi = 165

Problema 4.4 Conversin de grados a radianes. Calcule el nmero de radianes que hay en90.


90 pi180

90 pi180

=pi2

4.2 Conversin de un sistema de medicin de ngulos a otro 67

Problema 4.5 Conversin de grados a radianes. Calcule el nmero de radianes que hay en330.


330 pi180

330 pi180

=116pi

Ejercicio 4.1 Convierta los siguientes ngulos al sistema especificado.

1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ngulos.

a) 600

b) 580c) 515

d) 430e) 875

f ) 120g) 640h) 310

i) 900

j) 450

2. Expresa en grados cada uno de los siguientes ngulos.

a) 23pi

b)136pi

c)176pi

d) 76pi

e) 4pi

f )143pi

g) 52pi

h) 114pi

i) 2pi

j)114pi

3. Calcula y expresa la magnitud en grados de cada uno de los siguientes ngulos, dados enradianes.

a) 2pi

b) 13pi

c) pi

d)23pi

e)34pi

f )16pi

g) 116pi

h)12pi

i) 14pi

j)252pi

4. Calcula y expresa la magnitud en radianes de cada uno de los siguientes ngulos, dados engrados.

a) 150

b) 60

c) 270

d) 330

e) 450

f ) 335

g) 690

h) 850

i) 495

j) 1740

k) 60

l) 100

m) 72

n) 140

) 225

5. Calcula y expresa la magnitud en grados de cada uno de los siguientes ngulos, dados enradianes.

a) 2 b) 5c)

83

d)74

e) 1

68 Trigonometra

4.3 Posicin y medidas de los ngulos

4.3.1 Posicin estndar o normal de un ngulo

En un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, se dice que un ngulo esta en posicinestndar o normal si su vrtice se encuentra en el origen y su lado inicial coincide con la partepositiva del eje x

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 0.5 0.5 1 1.5Ladoinicial

Ladoterminal

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 0.5 0.5 1 1.5

Ladoinicial

Ladoterminal

El lado fijo se denomina lado inicial y el lado que gira se llama lado terminal.

4.3.2 ngulos positivos y Negativos

Un ngulo en posicin estndar o normal ser positivo si gira en sentido contrario a las manecillasdel reloj, mientras que si gira en el mismo sentido ser negativo.

1

0.5

0.5

1

1 1

270 -90

180

-180

-270 90

360

0

-360

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 0.5 0.5 1 1.5

Ladoinicial

Ladoterminal

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 0.5 0.5 1 1.5

Ladoinicial

Ladoterminal


1

0.5

0.5

1

1 1

IVCuadrante

IIICuadrante

IICuadrante

ICuadrante

270 -90

180

-180

-270 90

360

0

-360

Adems en el sistema de ejes coordenados los ngulos seubican en uno de los cuadrantes. Los cuadrantes se enume-ran: I, II, III, IV en sentido contrario al giro de las manecillasde un reloj.

Ejercicio 4.2 En cada caso determine lo que se le solicita.

1. De acuerdo con las graficas adjuntas, determine cuales ngulos estn en posicin estndary en tal caso indique si es positivo o negativo y en que cuadrante se localiza.

a)

b)

c)

d)

70 Trigonometra

e)

f )

g)

h)

i)

j)

k)

l)


2. Determine en que cuadrante se localizan los siguientes ngulos

a) 225 b) 350 c) pi3 d)

83pi e)

76pi

3. Represente los siguientes ngulos en su respectivo sistema de coordenadas rectangulares,considere todos en posicin normal

a) = 150

b) = 320

c) = 170

d) =53

e) =32pi

f ) = pi

72 Trigonometra

g) =pih) =

116pi

4.3.3 ngulos Coterminales

Son dos o ms ngulos en posicin estndar o normal que tienen el mismo lado final o terminal.Al sumar o restar un ngulo una rotacin, se obtiene un ngulo terminal.

Toma en cuenta lo siguiente

1. Si el ngulo esta en grados para hallar coterminales a l podemos sumar o restar 360 lasveces que sea necesario.

= 360 k con k N, k indica las revoluciones2. Si el ngulo esta en radianes para hallar coterminales a el podemos sumar o restar 2pi las

veces que sea necesario.

= 2pi k con k N, k indica las revolucionesProblema 4.6 ngulos coterminales en grados. Determine los ngulos coterminales delngulo 80

Revolucin ngulo Conterminal Revolucin ngulo Conterminal1 80+360 1 = 440 1 80360 1 =2802 80+360 2 = 800 2 80360 2 =6403 80+360 3 = 1160 3 80360 3 =1000

Problema 4.7 ngulos coterminales en grados. Determine los ngulos coterminales delngulo 215

Revolucin ngulo Conterminal Revolucin ngulo Conterminal1 215+360 1 = 145 1 215360 1 =5752 215+360 2 = 505 2 215360 2 =9353 215+360 3 = 865 3 215360 3 =1295


Problema 4.8 ngulos coterminales en radianes. Determine los ngulos coterminales del

ngulo35pi

Revolucin ngulo Conterminal Revolucin ngulo Conterminal

135pi+2pi 1 = 13

5pi 1

35pi2pi 1 =7

5pi

235pi+2pi 2 = 23

5pi 2

35pi2pi 2 =17

5pi

335pi+2pi 3 = 33

5pi 3

35pi2pi 3 =27

5pi

Problema 4.9 ngulos coterminales en radianes. Determine los ngulos coterminales del

ngulo 47pi

Revolucin ngulo Conterminal Revolucin ngulo Conterminal

1 47pi+2pi 1 = 10

7pi 1 4

7pi2pi 1 =18

7pi

2 47pi+2pi 2 = 24

7pi 2 4

7pi2pi 3 =32

7pi

3 47pi+2pi 3 = 38

7pi 3 4

7pi2pi 3 =46

7pi

4.3.4 ngulos de referencia

Sea un ngulo no cuadrantal en posicin estndar; el ngulo de referencia es el ngulo agudoque se forma entre el eje x y el lado terminal del ngulo en posicin estndar o normal.

Notemos que el ngulo de referencia es agudo esta entre 0 y 90, siempre es positivo .

Cuadrante RefI Ref = II Ref = 180III Ref = 180IV Ref = 360

74 Trigonometra

Ejercicio 4.3 Resuelva los siguientes ejercicios

1. Encuentre el ngulo de referencia para los siguientes ngulos

a) 50

b) 35c)

23pi

d) 863pi

e)56pi

f ) 1440

g) 856

h)25pi

i) pi4

j)116pi

2. De acuerdo con las siguientes representaciones, determine el valor de

a)

b)

c)

d)

e)

f )

4.4 Razones Trigonomtricas 75

4.4 Razones Trigonomtricas

Las tres razones elementales se estudiaron en noveno, y son:

Sen =Cateto Opuesto

Hipotenusa

Cos =Cateto Adyacente

Hipotenusa

Tan =Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

Estudiaremos tres nuevas razones, reciprocas de las anteriores

Csc =Hipotenusa

Cateto Opuesto=

1Sen

Sec =Hipotenusa

Cateto Adyacente=

1Cos

Cot =Cateto AdyacenteCateto Opuesto

=1

Tan

4.4.1 Signos de la razones trigonomtricas

De acuerdo al cuadrante donde se localicen, las razones trigonometricas tendrn los siguientesvalores

II cuadrante I cuadranteSen Son Todos SonCsc Positivos Positivos

III cuadrante IV cuadranteTan Son Cos SonCot Positivos Sec Positivos

76 Trigonometra

Ejercicio 4.4 Aplique el diagrama anterior para resolver cada uno de los ejercicios siguientes.

1. Si es un ngulo en posicin esta en posicin estndar tal que Csc < 0 y Tan > 0. Enque cuadrante se localiza ?

2. Sea a un ngulo en posicin normal y las caractersticas dadas; determine en que cuadrantese localiza ?

a) Cot < 0 y Csc < 0

b) Cos > 0 y Sen < 0

c) Csc > 0 y Sec < 0

d) Tan < 0 y Cos < 0

e) Cos > 0 y Tan > 0

f ) Sec < 0 y Tan > 0

g) Csc < 0 y Tan > 0

h) Sec < 0 y Cot > 0

i) Sen < 0 y Cot < 0

j) Csc < 0 y Cos < 0

k) Csc > 0 y Sec > 0

l) Csc > 0 y Sec < 0

4.5 Crculo Trigonomtrico

Es un crculo unitario donde r = 1 , la longitud de todos los arcos que parten del eje x correspondea un punto (x,y) sobre el crculo. Utilizando un arco de longitud s para localizar un punto (x,y),definimos las funciones

Sen = y Cos = x Tan =yx

Csc =1y

Sec =1x

Cot =xy

Hasta el momento se han logrado definir las razones trigonomtricas en trminos de un punto(x,y) que se localiza en el lado terminal de un ngulo, a una distancia r de su vrtice siendo lamedida en grados o bien en radianes.

Interpretando el prrafo anterior y definir funciones trigonomtricas con un dominio en losnmeros reales, podemos tomar de referencia un crculo en donde el radio es r y un ngulo , si lalongitud de r es igual a 1 y asumen todos los valores posibles, entonces el punto (x,y) trazar uncrculo unitario o bien como lo podemos denotar crculo trigonomtrico.

4.6 Simetra del Crculo 77

4.6 Simetra del Crculo

Se dice que dos puntos que tienen la misma coor-denada y son simtricos respecto al eje y y suscoordenadas en x tienen el mismo valor absoluto.

(a,b) y (a,b) son simtricos respecto al eje y.(a,b) y (a,b) son simtricos respecto al eje x.Por medio de tringulos congruentes, es posibledemostrar que las coordenadas de los cuatro pun-tos representados difieren nicamente en el signo.

Problema 4.10 Clculo de las coordenadas de diferentes ngulos. Aplique la simetra del

crculo para calcular las coordenadas de los puntos correspondientes para s =34pi,

54pi y

74pi; a partir

del valor de14pi

78 Trigonometra

4.7 Identidades Trigonomtricas

Un enunciado de igualdad que es vlido para todos los valores de la variable para los cuales lasfunciones involucradas en el enunciado estn definidas, se llama identidad.

Existen identidades entre las funciones trigonomtricas, y su estudio comprende una gran partede la llamada trigonometra analtica. Las identidades fundamentales pertenecen a tres tipos: lasidentidades reciprocas, las identidades de razn (se expresan en cociente) y las identidades pitagricaso cuadrticas.

Para simplificar expresiones trigonomtricas se sugiere efectuar los siguientes pasos.

1. Factorice la expresin dada2. Verifique si se tienen identidades pitagricas3. Transforme todo a trminos de Senos y Cosenos mediante identidades bsicas

La demostracin de una identidad puede efectuarse transformando cualquier miembro con el usode identidades conocidas, junto con operaciones permitidas (respetando restricciones), hasta que seobtenga el otro miembro.

Tambin pueden transformarse ambos miembros independientemente hasta que resulte la mismafuncin por la secuencia de las transformaciones.

4.7.1 Identidades bsicas

Tan =SenCos

Cot =CosSen

Cot =1

Tan

Tan =1

Cot

Sec =1

Cos

Csc =1

Sen

Sen =1

Csc

Cos =1

Sec

4.7.2 Identidades Pitgoricas

Sen2+Cos2 = 1Sen2 = 1Cos2Cos2 = 1Sen2

Tan2+1 = Sec2Tan2 = Sec21Sec2Tan2 = 1

Cot2+1 =Csc2Cot2 =Csc21Csc2Cot2 = 1

4.7.3 Identidades Complementarias

Sen =Cos(90)Cos = Sen(90)

Sec =Csc(90)Csc = Sec(90)

Tan =Cot(90)Cot = Tan(90)


Problema 4.11 Demostracin de una identidad. Demuestre Cosx Tanx = SenxReescribimos la expresin en terminos de Sen y Cos

Cosx Tanx = SenxCosx Senx

Cosx= Senx

Desarrollamos la operacin

Cosx SenxCosx

= Senx

Simplificamos el resultado

Senx = Senx

Problema 4.12 Demostracin de una identidad. Demuestre Senx Secx = TanxReescribimos la expresin en terminos de Sen y Cos

Senx 1Cosx

=SenxCosx

Desarrollamos la operacin

Senx 1Cosx

=SenxCosx


SenxCosx

=SenxCosx

Problema 4.13 Demostracin de una identidad. Demuestre (1+Tan2x) Cos2x = 1Observamos una identidad pitagrica

1+Tan2x = Sec2x

Sustituimos en la expresin original (Sec2x

) Cos2x = 1Escribimos en trminos de Sen y Cos (

1Cos2x

)Cos2x = 1


Cos2xCos2x

= 1

1 = 1

80 Trigonometra

Problema 4.14 Demostracin de una identidad. Demuestre (Senx+Cosx)2+(SenxCosx)2 =2

Desarrollamos los productos notables

Sen2x+2SenxCosx+Cos2x+Sen2x2SenxCosx+Cos2x = 2

Sumamos y restamos trminos semejantes

Sen2x+Cos2x+Sen2x+Cos2x+2SenxCosx2SenxCosx = 22Sen2x+2Cos2x = 2

Extraigo el factor comn

2(Sen2x+Cos2x

)= 2

Indentificamos una identidad pitagrica Sen2x+Cos2x = 1

2 1 = 22 = 2

Problema 4.15 Demostracin de una identidad. Demuestre Cotx+Senx

1+Cosx=Cscx

Reescribimos en terminos de Sen y Cos

CosxSenx

+Senx

1+Cosx=Cscx

Sumamos las dos fracciones

Cosx(1+Cosx)+Sen2xSenx(1+Cosx)

=Cscx

Cosx+Cos2x+Sen2xSenx(1+Cosx)

=Cscx

Indentificamos una identidad pitagrica Sen2x+Cos2x = 1

Cosx+1Senx(1+Cosx)

=Cscx

Simplificamos el lado izquierdo

1Senx

=Cscx

Aplicamos la identidad bsica

Cscx =Cscx


Problema 4.16 Demostracin de una identidad. Demuestre Cot(90) Sen(90) =Sen

Aplicamos identidades complementarias

Tan Cos = Sen

Reescribimos en trminos de Sen y Cos

SenCos

Cos = Sen

Simplificamos el lado izquierdo

Sen CosCos

= Sen

Sen = Sen

Problema 4.17 Demostracin de una identidad. Demuestre Cos2x+Cos2x Cot2x =Cot2xFactorizamos el lado izquierdo mediante factor comn

Cos2x(1+Cot2x

)=Cot2x

Identificamos una identidad pitgorica 1+Cot2x

Cos2x(Csc2x

)=Cot2x

Aplicamos la identidad bsica

Cos2x(

1Sen2x

)=

Cos2xSen2x

Realizamos la operacin

Cos2xSen2x

=Cos2xSen2x

Problema 4.18 Simplificacin de una expresin trigonomtrica. Simplifique

Cos2x(Sec2x1)Identificamos una identidad pitgorica Sec2x1

Cos2x Tan2x

Reescribimos en trminos de Sen y Cos Cos2x Sen

2xCos2x

82 Trigonometra

Realizamos la operacin Cos2x Sen2x

Cos2x

Simplificamos la expresin

Sen2x

Senx

Problema 4.19 Simplificacin de una expresin trigonomtrica. Simplifique Secx Sec(90x)Tan(90 x)Reemplazamos las identidades complementarias

Secx CosxCotx

Reescribimos en trminos de Sen y Cos

1Cosx

1Senx

CosxSenx

Realizamos las operaciones respetando el orden

1Cosx Senx

CosxSenx

SenxCos2xSenxCosx Sen2x

Senx(1Cos2x)Cosx Sen2x


(1Cos2x)Cosx Senx

Identificamos una identidad pitgorica 1Cos2xSen2x

Cosx Senx


SenxCosxTanx


Ejercicio 4.5 Simplifique las siguientes expresiones.

1. Cos2x+Cos2x Cot2x

2.Secx+CscxSenx+Cosx

3. Senx (

Tanx+CotxTanx Cotx

)4.

Cot2xCos2xCot2x

5.(

libro undecimo 2014

Documents