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Leccion: Ortogonalidad y Series de Fourier

Dr. Miguel Angel Uh Zapata,Centro de Investigacion en Matematicas, Unidad Merida

Facultad de Matematicas, UADY

Octubre 2015

Miguel Uh — Leccion: Ortogonalidad y Series de Fourier 1/24

Contenido

En esta leccion el alumno conocera las series y los coeficientes deFourier y los usara en la resolucion de ecuaciones diferenciales.

Al final debemos de conocer:

Teoremas de convergencia.

Serie en senos, cosenos y completa.

Diferenciacion e integracion termino a termino.

Aproximacion de una funcion por medio de sus serie deFourier usando Maple.


Series de Fourier y condiciones iniciales

Durante la solucion de la ecuacion de calor y la ecuacion de onda condiversas condiciones de frontera nos hemos topado que las condicionesiniciales deben de satisfacer series infinitas de la forma

f(x) =a02

+

∞∑k=1

(ak cos(kπx) + bk sen(kπx)) .

donde

ak =

∫ 1

−1f(x) cos(kπx)dx, k = 0, 1, 2, . . .

bk =

∫ 1

−1f(x) sen(kπx)dx, k = 1, 2, 3, . . .

A estas series las llamamos Series de Fourier.


Definicion: Funciones continuas a trozos

Una funcion f es llamada continua a trozos en el intervalo [a, b] si esta escontinua en todo el intervalo excepto en un numero finito de puntos {xj}donde lımx→x+

jf(x) y lımx→x−

jf(x) existen.

Si asumimos que f una funcion continua a trozos definida en el intervalo[−1, 1], entonces los coeficientes ak y bk de la serie de Fourier estan biendefinidos.


Suma infinita

Sin embargo en este punto debemos de tener cuidado con la igualdad dela serie infinita

f(x) =a02

+

∞∑k=1

(ak cos(kπx) + bk sen(kπx)) .

Esta significa que la sucesion de sumas parciales

SN (f)(x) =a02

+

N∑k=1

(ak cos(kπx) + bk sen(kπx))

converge a f(x) cuando N →∞.

Como tenemos conocimiento de nuestros cursos de calculo estas series nosiempre convergen. De manera que debemos de estudiar que condicionesse necesitan para obtener esta convergencia y esta igualdad.


Definicion: La serie de Fourier completa

Definicion

Sea f una funcion continua a trozos definida en el intervalo [−1, 1]. Laserie infinita

f(x) ∼ a02

+

∞∑k=1


se refiere como la serie de Fourier completa de f , donde loscoeficientes ak y bk estan dados por

ak =

∫ 1

−1f(x) cos(kπx)dx, k = 0, 1, 2, . . .

bk =

∫ 1

−1f(x) sen(kπx)dx, k = 1, 2, 3, . . .

El sımbolo ∼ debe ser leido como tiene la serie de Fourier.


Extensiones a RPeriodicidad

Si g es una funcion p-periodica con perıodo p entonces

g(x+ p) = g(x)

Por otro lado, si g es una funcion definida sobre un intervalo delongitud p entonces este puede ser extendida de manera unica a unafuncion p−periodica definida sobre todo R imponiendo la condiciong(x+ p) = g(x)


Extensiones a R

OBSERVACIONES:

Las funciones trigonometricas seno y coseno estan definidas sobretodo R, entonces la suma parcial SN (f) tambien puede considerarsecomo una funcion definida sobre todo R.

Desde que las funciones trigonometricas on 2π-periodicas, entonceslas sumas parciales SN (f) son 2-periodicas.

Por lo tanto, si SN (f) converge a f(x) sobre [−1, 1], este convergera a laextension periodica de f sobre todo R.

Entonces las series completas de Fourier pueden ser consideradas ya seacomo una expansion de una funcion definida en [−1, 1] o como unaexpansion de una funcion 2−periodica definida sobre todo R.


Funciones impares

f(−x) = −f(x)

Ejemplos: x, sen(x)Propiedades: ∫ 1

−1f(x)dx = 0

Extension:Si f es una funcion definida en [0, 1], entonces f puede ser extendida auna funcion impar imponiendo la condicion f(−x) = −f(x)


Funciones pares

f(−x) = f(x)

Ejemplos: x2, cos(x) Propiedades:∫ 1

−1f(x)dx = 2

∫ 1

−1f(x)dx

Extension:Si f es una funcion definida en [0, 1], entonces f puede ser extendida auna funcion impar imponiendo la condicion f(−x) = f(x)


Series de funciones impares y pares

Lema

Si f es una funcion impar definida en [−1, 1], entonces

f(x) ∼∞∑k=1

bk sen(kπx) donde bk = 2

∫ 1

0

f(x) sen(kπx)dx, k ≥ 1

Lema

Si f es una funcion par definida en [−1, 1], entonces

f(x) ∼ a02

+

∞∑k=1

ak cos(kπx) donde ak = 2

∫ 1

0

f(x) cos(kπx)dx, k ≥ 0


La forma complejaLa funcion exponecial compleja

Las series de Fourier pueden ser escritas de forma mas elegante ycompacta introduciendo la funcion exponencial compleja. Entonces siy ∈ R entonces

eiy = cos(y) + i sen(y)

donde i =√−1. Ademas es facil ver que

e−iy = cos(y)− i sen(y)

De manera que obtenemos

cos(y) =1

2

(eiy + e−iy

), sen(y) =

1

2i

(eiy − e−iy

)


La forma complejaLa serie de Fourier completa

Usando la representacion compleja tenemos

f(x) ∼ a02

+

∞∑k=1

ak1

2

(eikπx + e−ikπx

)+ bk

1

2i

(eikπx − e−ikπx

)y por lo tanto

f(x) ∼∞∑

k=−∞

ckeikπx

donde

ck =1

2(ak − ibk), c0 =

a02, c−k =

1

2(ak + ibk), k > 0

y

ck =1

2

∫ 1

−1f(x)e−ikπxdx


Cambiando la escalaf definida en [−L,L]

Otra pregunta muy obvia serıa como definir nuestras series de Fourierpara funciones definidas en intervalos diferentes a [−1, 1].

Por ejemplo supongamos que f esta definida en [−L,L] para L > 0.Simplemente re-escalamos el eje x. Definimos una nueva funcion f sobre[−1, 1] por

f(y) = f(yL)

y usando la definicion para f obtenemos

f(y) ∼ a02

+

∞∑k=1

(ak cos(kπy) + bk sen(kπy))


Cambiando la escalaf definida en [−L,L]

Entonces introduciendo x por y = x/L y f(x) = f(x/L) obtenemos

Sea f una funcion continua a trozos definida en el intervalo [−L,L]. Laserie infinita

f(x) ∼ a02

+

∞∑k=1

(ak cos

(kπx

L

)+ bk sen

(kπx

L

))se refiere como la serie de Fourier completa de f , donde loscoeficientes ak y bk estan dados por

ak =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

(kπx

L

)dx, k = 0, 1, 2, . . .

bk =1

L

∫ L

−Lf(x) sen

(kπx

L

)dx, k = 1, 2, 3, . . .


Ejemplos de desarrollo de series de Fourier

Ejemplo 1

Consideremos f(x) = x para toda x ∈ [−1, 1]

Como es una funcion impar basta con calcular los coeficientes bk:

bk =

∫ 1

−1f(x) sen(kπx)dx, k ≥ 1

= − 1

kπ[x cos(kπx)]1−1 +

1

kπ

∫ 1

−1f(x) cos(kπx)dx

=2

kπ(−1)k+1

Por lo tanto tenemos que

x ∼∞∑k=1

2

kπ(−1)k+1 sen(kπx)


Ejemplo 1f(x) = x

Si la serie de Fourier converge a x en el intervalo [−1, 1], este converge ala extension sobre todo R.

x ∼∞∑k=1

2



Ejemplo 2La funcion signo (salto)

sign(x) =

−1 x < 0,0 x = 0,1 x > 0.

sign(x) ∼ π

4

∞∑k=1

1

2k − 1sen((2k−1)πx)


Ejemplo 3El valor absoluto

Considerar la siguiente funcion

f(x) = |x|

|x| ∼ 1

2− 4

π2

∞∑k=1

(1

2k − 1

)2

cos((2k−1)πx)


Diferenciacion de las series de FourierTermino a termino

Una de las aplicaciones importantes de las series de Fourier es resolverecuaciones diferenciales. En esas aplicaciones tıpicamente expresamos loscoeficientes de las series de Fourier de f ′(x) por los terminos de loscoeficientes de f(x).

Asumamos que f ′(x) es una funcion continua a trozos tal que

f ′(x) ∼ α0

2+

∞∑k=1

(αk cos(kπx) + βk sen(kπx))

y similarmente

f(x) ∼ a02

+

∞∑k=1



Diferenciacion de las series de Fourier

Si pudieramos derivar termino a termino tendrıamos que

αk = kπbk, y βk = −kπak

Sin embargo en general estas identidades no siempre son ciertas. Porejemplo consideremos f(x) = x.

x ∼∞∑k=1

2


1 ∼ 2

∞∑k=1

2

kπ(−1)k+1 cos(kπx)

Pero la serie de Fourier de una constante es la misma, es decir

1 ∼ 1


Diferenciacion de las series de Fourier

El siguiente teorema proporciona un criterio para cuando los coeficientesde Fourier de f ′ pueden ser determinados diferenciando termino atermino los coeficientes de la serie de Fourier de f .

Teorema

Asumamos que f es una funcion continua sobre [-1,1], f ′ es una funcioncontinua a trozos y

f(−1) = f(1).

Si las series de Fourier estan dadas por las expresiones anteriores,entonces α0 = 0 y

αk = kπbk, y βk = −kπak


ConvergenciaDiferentes nociones de convergencia

Existen diferentes nociones de convergencia de secuencias de funciones.Entre estas podemos mencionar:

Definicion: convergencia uniforme

La secuencia {fN} converge uniformemente a f en [a, b] si

lımN→∞

||fN − f ||∞ = 0

donde||g||∞ = sup

x∈[a,b]|g(x)|

Definicion: convergencia puntual

La secuencia {fN} converge puntualmente a f en [a, b] si

lımN→∞

fN (x) = f(x)

para todo x ∈ [a, b].


Convergencia

Teorema

Sea f una funcion definida sobre [−1, 1] tal que su extension 2-periodicaes continua y diferenciable para todo x ∈ R. Entonces {SN (f)} convergepuntualmente a f en [−1, 1] y por lo tanto la extension periodica de fsobre R.

lımN→∞

fN (x) = f(x)

para todo x ∈ [a, b].


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