Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Maestría en Estructuras

Matemática Aplicada a la Ingeniería Estructural

MSc. Fernando Ajiatás Pinto

INVESTIGACIÓN:

PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO INTERNO

ORTOGONALIDAD RESPECTO A LA MASA

Grupo No. 7:

Gilberto de Jesús Guerra Flores, 200946235

Raúl Alonzo Ramírez Méndez, 200615123

Henry David López Rodríguez, 223485934

Índice

I. Resumen ...................................................................................................................................... 3

II. Contenido .................................................................................................................................... 4

A. Producto Escalar y Producto Interno ...................................................................................... 4

B. Ortogonalidad ....................................................................................................................... 10

III. Conclusiones.......................................................................................................................... 15

IV. Bibliografía ............................................................................................................................ 16

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I. Resumen

El producto escalar o producto interno, es una operación entre dos vectores en un mismo espacio

geométrico, donde se satisfacen los axiomas de Euclides (Espacio Euclídeo). Esta operación sirve

para analizar algunas propiedades de la geometría euclídea, como: longitudes, ángulos,

perpendicularidad y ortogonalidad. Es comúnmente utilizado en espacios vectoriales de dos y tres

dimensiones, aunque el mismo está definido en cualquier dimensión. Su resultado se expresa

como un solo número o escalar.

La ortogonalidad en espacios vectoriales es un sinónimo de perpendicularidad, sin embargo fuera

de este contexto pierde significado geométrico. En espacios vectoriales de dos o tres dimensiones,

dos vectores son ortogonales cuando producto interno es igual a cero. De forma similar, se puede

decir que dos funciones distintas son ortogonales si su producto interno es cero, siendo en este

caso una integral definida la que representa al producto interno. Este concepto tiene particular

importancia en la matemática diferencial y en el análisis dinámico de estructuras, en donde el

significado se extiende hasta a llegar al concepto de ortogonalidad con respecto a la masa, el cual

es considerado como la base para la realización de un análisis modal en una estructura.

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II. Contenido

A. Producto Escalar y Producto Interno

Si y son vectores en , entonces y se consideran como matrices de n x 1. La transpuesta

es una matriz de 1 x n y el producto matricial se le llama producto interior de y , y se

escribe como , también se conoce como producto punto.

Si los vectores y son:

Entonces el producto interior de y es:

En matemáticas, se considera que una función es la generalización de un vector. Y los conceptos

vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las

funciones.

Bajo la suposición de que y son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno

de los vectores, que también se escribe posee las siguientes propiedades (Zill, 1997):

i. Propiedad Conmutativa :

ii. Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar

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iii. Propiedad distributiva respecto al producto por un escalar w

iv.

Ejemplo 1:

Suponiendo ahora que son funciones definidas en un intervalo . Como una integral

del producto definida en el intervalo también posee las propiedades anteriores,

siempre y cuando existan las integrales, entonces Zill (1997) expresa la definición del producto

interno de la siguiente manera:

El producto interno de dos funciones en un intervalo es el número:

(

Teorema

Sean y vectores en , y un escalar. Entonces,

Las propiedades b) y c) se pueden combinar varias veces para obtener la siguiente regla útil:

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Longitud de un vector

Si está en , con entradas ,…, , entonces la raíz cuadrada de está definida, ya que

es no negativo.

Suponga que v está en , es decir . Como es usual, si se identifica a con un punto

geométrico en el plano, entonces coincide con el concepto estándar de la longitud del

segmento de recta que va del origen a . Esto se deduce a partir del teorema de Pitágoras

aplicado a un triángulo como el de la figura 1.

Un cálculo similar con la diagonal de una caja rectangular demuestra que la definición de

longitud de un vector en coincide con el concepto habitual de longitud.

Para cualquier escalar , la longitud de es veces la longitud de . Es decir,

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Vector unitario

Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Si un vector distinto de cero se divide

entre su longitud —es decir, se multiplica por —, se obtiene un vector unitario ya que

la longitud de es . El proceso de crear a partir de en ocasiones se llama

normalización de v, y se dice que está en la misma dirección que .

El ejemplo que se presentan a continuación emplea notación de vectores (columnas), para

ahorrar espacio.

Ejemplo 2:

Sea Encuentre un vector unitario en la misma dirección que .

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Distancia en

Ahora ya estamos listos para describir qué tan cerca está un vector de otro. Recuerde que si

son números reales, la distancia sobre la recta numérica entre es el número

. En la figura 3 se ilustran dos ejemplos. Esta definición de distancia en tiene una analogía

directa en .

Productos interiores definidos en espacios Vectoriales usuales:

Estos productos también llamados canónicos son solo algunos de los infinitos productos interiores

que se pueden definir en sus respectivos espacios.

En el espacio vectorial Rn se suele definir el producto interior llamado producto punto

En el espacio vectorial Cn se define el producto interior por:

En el espacio vectorial de las matrices de m x n con elementos reales

B) donde tr(A) es la traza o la suma de los elementos de la diagonal principal de la

matriz A y AT es la matriz transpuesta de A

En el espacio vectorial de las matrices de mxn , con elementos complejos

Donde tr(A) es la traza de la matriz B y A* es la matriz transpuesta conjugada de A

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a,b], acotadas por a

y b

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En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado є R tal que

]

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B. Ortogonalidad

El concepto de líneas perpendiculares en la geometría euclidiana ordinaria tiene un análogo en

. Si se considera o y dos líneas que pasen por el origen determinadas mediante los

vectores y . Las dos líneas que se muestran en la siguiente figura son geométricamente

perpendiculares si, y sólo si, la distancia desde hasta es igual a la distancia desde hasta – .

Esto es análogo a pedir que los cuadrados de las distancias sean iguales (Lay, 2007).

Los mismos cálculos con y – intercambiados muestran que

Las dos distancias elevadas al cuadrado son iguales si, y sólo si, , lo cual sucede si,

y sólo si,

Estos cálculos muestran que cuando los vectores y se identifican con puntos geométricos, las

líneas correspondientes que pasan por los puntos y el origen son perpendiculares si, y sólo si,

La siguiente definición generaliza a esta noción de perpendicularidad (u

ortogonalidad, como se le llama comúnmente en álgebra lineal).

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Dos vectores y en son ortogonales (entre sí) si

Así también, el teorema de Pitágoras establece una relación de ortogonalidad entre dos vectores

y en la siguiente definición:

Dos vectores y son ortogonales si, y sólo si,

Zill (1997) se expresa con respecto a las funciones ortogonales de la siguiente manera:

Dos funciones son ortogonales en un intervalo si cumplen con la siguiente condición

(1):

(

A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”,

en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico.

Ejemplo 3:

Las funciones y son ortogonales en el intervalo porque

(

Una vez explicado el concepto de las funciones ortogonales, es de interés presentar el concepto de

un “conjunto ortogonal”, el cual es un conjunto infinito de funciones ortogonales. Zill (1997) lo

define como:

Un conjunto de funciones de valor real

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Es ortogonal en un intervalo si

Así también, la norma o longitud , de un vector se puede expresar en términos del

producto interno; concretamente, , o bien . La norma, o longitud

generalizada, de una función , es ; es decir,

El número

Se llama norma cuadrada de . Si es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo

y tiene la propiedad que

se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo.

Ejemplo 4:

Demuestre que el conjunto es ortogonal en el intervalo

Si se define y , debemos demostrar que

y que

En el primer caso,

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Y en el segundo caso,

Proyección ortogonal

El Departamento de Matemáticas de ITESM, ofrece el siguiente teorema para definir la proyección

ortogonal:

Teorema: Sea una matriz y un espacio lineal de dimensión , ambos dentro de un

espacio lineal . Entonces, existe una única matriz en tal que ( .

Si entonces

Si entonces se puede expresar como , donde

forman una base ortonormal de y .

Además, si y sólo si . La matriz se llamará la proyección ortogonal de

sobre y cumple que para toda en y hay igualdad si y sólo si .

Ortogonalidad con respecto a la masa en Dinámica de Estructuras

Dentro del campo de la Dinámica de Estructuras, se aplica el concepto de ortogonalidad con

respecto a la masa, el cual se refiere a una propiedad de las estructuras, en donde se verifica que

la masa de la estructura esté distribuida de una manera que permita discretizar los modos de

vibración que pueda tener al momento de responder frente a una fuerza externa.

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Esta propiedad de ortogonalidad con respecto a la masa es utilizada en el análisis modal, donde

sirve para verificar la correcta distribución de la masa de la estructura. Esta condición, es utilizada

además, para realizar comprobación de los cálculos realizados en un análisis modal.

Paz (1992), define esta propiedad como: “la base de uno de los métodos más atractivos para

resolver problemas dinámicos de multigrados de libertad”.

Goicoela (2001), propone la siguiente demostración de la condición de ortogonalidad:

Suponga dos modos de vibración y , correspondientes a autovalores distintos ,

son ortogonales respecto a la matriz de masa :

La expresión anterior se puede interpretar como la anulación del producto interior de los vectores

y , en la métrica definida por .

En efecto, debe cumplirse:

Donde representa la matriz de rigidez de la estructura.

Premultiplicando la primera igualdad por , la segunda por y restando ambas entre sí,

gracias a la simetría de y de obtenemos

Al ser , queda demostrada la ortogonalidad.

La ortogonalidad con respecto a implica también ortogonalidad con respecto a .

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III. Conclusiones

- El producto interno, escalar, interior o punto, es una función que relaciona un par de

vectores u y v, en un espacio vectorial definido. El concepto en este procedimiento

matemático es multiplicar cada elemento de cada vector por su correspondiente

elemento en el otro vector transpuesto, siendo su resultado un número real o escalar,

este concepto se puede ampliar para evaluar de una forma análoga el producto interno de

funciones. Su aplicación, permite examinar algunas importantes propiedades geométricas

del espacio vectorial bajo análisis. Se trata de una de las operaciones esenciales del

algebra lineal y matricial, definido en un espacio vectorial .

- Matemáticamente, una matriz es ortogonal, cuando su matriz inversa concuerda con la

matriz transpuesta. Su representación geométrica, se interpreta como transformaciones

isométricas en espacios vectoriales reales. Debido a sus propiedades, son utilizadas en

múltiples áreas de la física, entre las cuales destaca, el movimiento de cuerpos rígidos.

- La ortogonalidad con respecto a la masa, es una propiedad sumamente importante en la

Dinámica de estructuras, siendo la base de un análisis modal. Sirve para verificar que la

masa, en una estructura sometida a cargas externas, se encuentre debidamente

distribuida y de esta manera discretizar los modos de vibración. Además, suele utilizarse

como una comprobación de los cálculos realizados luego de un análisis de este tipo.

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IV. Bibliografía

- Departamento de Matemáticas ITESM. Álgebra Matricial y Optimización Ma130 Producto

Interno y Ortogonalidad.

- Goicolea Ruigómez, José María (2001) Curso Breve de Dinámica. 1ª edición. Colegio de

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Servicio de Publicaciones - Colección Escuelas.

- Lay, David C. (2007) Álgebra lineal y sus aplicaciones 3ª edición. Pearson Educación,

México. 584p.

- Paz, Mario (1992) Dinámica Estructural, Teoría y Cálculo. 3ª edición. Editorial Reverté.

España.

- Zill, Dennis. G. (1997) Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones del modelado. 6ª edición.

International Thomson Editores. México.