Problema: (Demuéstrelo!!)Electromagnetismo de Maxwell no es invariante bajo las TGProblema: (Problema: (Demuéstrelo!!Demuéstrelo!!))Electromagnetismo de Maxwell no es invariante bajo las TGElectromagnetismo de Maxwell no es invariante bajo las TG

H. A. Lorentz(1853-1928)

Las transformaciones de LoretnzLas transformaciones de Las transformaciones de LoretnzLoretnz

2

2

2

2

2

1',

1'

cvvtxx

cv

xcvt

t−

−=

−

−=

'tt ≠ Es muy raro!!

2222

2

/1',

/1/'

cvvjj

cvcvj x

xx

−

−=

−

−=

ρρρ

.1

/',

1

/','

.1

/',

1

/','

2222

2222

cv

cvEBB

cv

cvEBBBB

cv

cvBEE

cv

cvBEEEE

yzz

zyyxx

yzz

zyyxx

−

−=

−

−==

−

−=

−

−==

Bajos estasTransformaciones

El electromagnetismode Maxwell es dejado Invariante

Ejemplo, tarea: Dos alambres cargados de largo L , de igual carga Q y Separados una distancia R

Observador (S) en reposo,ve la fuerza de repulsión electroestática j

RLFF ESˆ

2 0

2

)( πελ

==rr

R

Q

QEFr

EFr

Observador (S’) en movimiento relativo,adicionalmente a la fuerza de repulsióneléctrica observa una fuerza de atracción magnética

R

Q

QEFr

EFr

MFr

MFr

vr

vr

Calculamos la fuerza en S’:

jvRLF

BvEqdFFF

T

MET

ˆ)1(2

'

)('

200

0

2

εµπελ

−=

×+=+= ∫r

rrrrrr

jcv

RLFT ˆ)1(

2'

2

20

2

−=πελr

Claramente las fuerzas vistas por los observadores S y S’ son distintas (ya abordamos este punto)

Aplicando las transformaciones de Lorentz a este caso, muestre la consistencia de los resultados

Podemos decir que tenemos dos grupos de simetría distintos en la naturaleza:

El grupo de Galileo para la Mecánica Clásica

El Grupo de Lorentz para el electromagnetismo

Tenemos tres posibles caminos

Abandonar el principio de la relatividad (Existencia del eter)

Modificar las ecuaciones de Maxwell tal que sean consistente con TG

Modificar la mecánica de Newton

Postura de Einstein en 1905, una apuesta bastante arriesgada. La mecánica Newtoniana llevaba mas de dos siglos funcionando con grande exitos, en

cambio la teoría de Maxwell apenas tenias 40 años

TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Postulado 1“Ni los fenómenos de la electrodinámica ni los de la mecánica poseen propiedades que se correspondan con la idea de reposo absoluto ”

Postulado 1Postulado 1“Ni los fenómenos de la electrodinámica ni los de la mecánica poseen propiedades que se correspondan con la idea de reposo absoluto ”

En 1905 Einstein publicó en Annalen der Physik, el Artículo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”En 1905 Einstein publicó en Annalen der Physik, el Artículo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”El introdujo dos supuestos fundamentales o postulados:El introdujo dos supuestos fundamentales o postulados:

Es decir, las leyes de la física son las mismas en todos los

sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante

unos con respecto a otros (Principio de relatividad Galileo)

Es decir, las leyes de la física son las mismas en todos los

sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante

unos con respecto a otros (Principio de relatividad Galileo)

Postulado 2“La Luz se propaga el vacío con una velocidad c independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor”

PostuladoPostulado 22“La Luz se propaga el vacío con una velocidad c independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor”

Es decir, la velocidad de la luz es la misma para todos los

observadores, sin importar su movimiento relativo

Es decir, la velocidad de la luz es la misma para todos los

observadores, sin importar su movimiento relativo

Einstein había buscado una teoría en la cual la velocidad de la luz permanecería constante para los observadores estacionarios y en movimiento

Einstein había buscado una teoría en la cual la velocidad de la luz permanecería constante para los observadores estacionarios y en movimiento

Eliminar el concepto de sistema de referencia absoluto (como el éter) con respecto al cual todo movimiento podía medirse

Eliminar el concepto de sistema de referencia absoluto (como el éter) con respecto al cual todo movimiento podía medirse

Para conseguir esto él tuvo quePara conseguir esto él tuvo que

Considerar que si la velocidad de la luz era constante en todos los sistemas de referencias, entonces nuestros conceptos de distancia y tiempo debían cambiar

Considerar que si la velocidad de la luz era constante en todos los sistemas de referencias, entonces nuestros conceptos de distancia y tiempo debían cambiar

….y esto casi le lleva a una depresión nerviosa ….y esto casi le lleva a una depresión nerviosa

Dolor de cabeza para los conservadoresDolor de cabeza para los conservadores

Consecuencias de las Transformaciones de Lorentz

zzyy

cvvtxx

cv

xcvt

t==

−

−=

−

−=

''

1',

1'

2

2

2

2

2

211β

γ

β

−=

=cv

Definamos la velocidad relativa (β) y el factor relativista (γ)

TL->TG1<<β

05.799.015.15.0

=⇒==⇒=γβγβ

No hay interacciones instantáneas

No hay interacciones instantáneas

El trabajo teórico de Maxwell y los experimentos de Hertzindicaban que las interacciones electromagnéticas se toman un tiempo finito para pasar de un lugar a otro; así Einstein sostuvo:

El trabajo teórico de Maxwell y los experimentos de Hertzindicaban que las interacciones electromagnéticas se toman un tiempo finito para pasar de un lugar a otro; así Einstein sostuvo:

1. En la Naturaleza no hay interacciones instantáneas1. En la Naturaleza no hay interacciones instantáneas

2. Debería haber una velocidad máxima de interacción2. Debería haber una velocidad máxima de interacción

3. La mayor velocidad posible de interacción es la velocidad deinteracción electromagnética

3. La mayor velocidad posible de interacción es la velocidad deinteracción electromagnética

4. La velocidad de interacción electromagnética es la velocidad de la luz4. La velocidad de interacción electromagnética es la velocidad de la luz

5. La velocidad de la luz es la velocidad máxima posible5. La velocidad de la luz es la velocidad máxima posible

Tiempo y distancia no son absolutos

Tiempo y distancia no son absolutos

Si la velocidad de la luz c permanece constante en ambos sistemas de referencia

Si la velocidad de la luz c permanece constante en ambos sistemas de referencia

Son la distancia y el tiempo los que son diferentes para los dos observadores !!Son la distancia y el tiempo los que son diferentes para los dos observadores !!

Luciana viajando mide c = D/TLuciana viajando mide c = D/T

Profesor Lagunas en la Tierra mide c = D’/T’Profesor Lagunas en la Tierra mide c = D’/T’

velocidad = distancia/tiempovelocidad = distancia/tiempo

Tiempo y Simultaneidad¿Qué significa que dos cosas ocurran al mismo tiempo?

Yo no defino el tiempo, espacio y movimiento,como es bien conocido por todos. -Newton

Si usted no me pregunta cual es el tiempo, yo lo seCuando usted me lo pregunta, Yo no puedo decírselo- San. Agustín

¿Cuándo dos eventos son simultáneos?

Fácil si ambos eventos ocurren en la misma posición espacial

Diferente ubicación espacial requiere una SINCRONIZACIÓN, que requiere transmisión de señales entre ambas posiciones

Sucesos SimultáneosSucesos Simultáneos

Consideremos un tren en reposo donde un rayo de luz se lanza desde la mitad del trenConsideremos un tren en reposo donde un rayo de luz se lanza desde la mitad del tren

Un observador en el tren y un observador en el andén verán que la luz alcanza los extremos opuestos del vagón simultáneamente

Un observador en el tren y un observador en el andén verán que la luz alcanza los extremos opuestos del vagón simultáneamente

Sucesos simultáneos en referencias diferentesSucesos simultáneos en referencias diferentes

Si ahora el tren se mueve con velocidad uniforme, el observador en el tren todavía ve cómo la luz llega a los extremos del vagón simultáneamente (recuerda que la luz se mueve a velocidad c)

Si ahora el tren se mueve con velocidad uniforme, el observador en el tren todavía ve cómo la luz llega a los extremos del vagón simultáneamente (recuerda que la luz se mueve a velocidad c)

Pero ahora un observador en el andén ve que la luz alcanza primero el final del vagón (que se mueve hacia la luz), y después el principio del vagón (que se está alejando de la luz) - los acontecimientos no son simultáneos.

Pero ahora un observador en el andén ve que la luz alcanza primero el final del vagón (que se mueve hacia la luz), y después el principio del vagón (que se está alejando de la luz) - los acontecimientos no son simultáneos.

En la teoría de Einstein se rompe el concepto de simultaneidad absoluta de la mecánica Newtoniana, ahora la Simultaneidad se hace Relativa

¿Qué ocurre con la causalidad de la física?

Técnicamente desde las TL

Dos eventos en reposo en O’, dos rayos caen al mismo tiempo

O’ se mueve con velocidad v respecto de O

)','(:'),','(:' BBBAAA xtSxtS 0''' =−=∆ AB tttSimultáneos en O’

Mismo eventos vistos desde O

),(:),,(: BBBAAA xtSxtS 0≠−=∆ AB ttt¿NO Simultáneos en O?

)''(

)''(

2

2

BBB

AAA

xcvtt

xcvtt

+=

+=

γ

γ

Usando las TL

0)''(2 >−=−=∆ ABAB xxcvttt γ

0≠−=∆ AB tttEn efecto

Sucesos que son simultáneos para un observador no necesariamente lo son para otro. Incluso es posible encontrar observadores para los cuales primero llega la señal B y

después en A, es decir un observador para el cual el orden de los sucesos es invertido respecto del observador en el anden

¿causalidad?

Dilatación del TiempoUn experimento sencillo con la luz

Dilatación del TiempoUn experimento sencillo con la luz

Un pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del trenUn pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del trenEl pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del trenEl pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del trenEl tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t’, es registrado por el observador en el tren (O’)El tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t’, es registrado por el observador en el tren (O’)

Continuación experimento sencilloContinuación experimento sencillo

Visto por un observador que es estacionario con respecto al sistema en movimiento:Visto por un observador que es estacionario con respecto al sistema en movimiento:

Un pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del trenUn pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del tren

El pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del trenEl pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del tren

El tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t, es registrado por el observador estacionario con respecto al trenEl tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t, es registrado por el observador estacionario con respecto al tren

Un poco de geometríaUn poco de geometría

Par el observador en la referencia en movimientoPar el observador en la referencia en movimiento

cL2't = cL2't =

Para el observador en la referenciaestacionariaPara el observador en la referenciaestacionaria

ch2t = ch2t =

LL LLhh hh

d/2d/2 d/2d/2

Aplicando Pitágoras al diagrama de la derechaAplicando Pitágoras al diagrama de la derecha 22212 L)d(h += 22212 L)d(h +=

Si la velocidad de la referencia móvil es v, entonces en la referencia estacionaria es d = vtSi la velocidad de la referencia móvil es v, entonces en la referencia estacionaria es d = vt

Sustituyendo los valores de h, d y L tenemosSustituyendo los valores de h, d y L tenemos222

2tc

2vt

2ct

′

+

=

222

2tc

2vt

2ct

′

+

=

Calculando obtenemosCalculando obtenemos

22 c/v1tt

−

′= 22 c/v1

tt−

′=

Dilatación del Tiempo !Dilatación del Tiempo !

22 c/v1tt

−

′= 22 c/v1

tt−

′=

Las implicaciones de esta ecuación son extremadamente profundasLas implicaciones de esta ecuación son extremadamente profundas

t es el tiempo medido por el observador en la referencia en reposot es el tiempo medido por el observador en la referencia en reposo

t’ es el tiempo medido en la referencia en movimiento con velocidad vt’ es el tiempo medido en la referencia en movimiento con velocidad v

Un intervalo de tiempo en la referencia en reposo parece ser mayor que un intervalo de tiempo en la referencia en movimientoUn intervalo de tiempo en la referencia en reposo parece ser mayor que un intervalo de tiempo en la referencia en movimiento

Cuanto más nos acercamos a la velocidad de la luz en la referencia en movimiento, más grande es la diferencia entre los intervalos de tiempo.

Cuanto más nos acercamos a la velocidad de la luz en la referencia en movimiento, más grande es la diferencia entre los intervalos de tiempo.

Cuando la referencia en movimiento viaje a la velocidad de la luz (v=c) cualquier intervalo de tiempo t’ que midamos en ella, por pequeño que sea, será infinito en la referencia estacionaria !

Cuando la referencia en movimiento viaje a la velocidad de la luz (v=c) cualquier intervalo de tiempo t’ que midamos en ella, por pequeño que sea, será infinito en la referencia estacionaria !

Ejemplos de dilatación en el tiempo

Ejemplos de dilatación en el tiempo

22 c/v1tt

−

′=

22 c/v1tt

−

′=

Por ejemplo un astronauta deja la Tierra en un cohete que viajaa 0.95c para visitar la estrella más próxima que dista 4 años luzPor ejemplo un astronauta deja la Tierra en un cohete que viajaa 0.95c para visitar la estrella más próxima que dista 4 años luz

Para el observador terrestre el viaje de ida y vuelta dura 8.42 añosPara el observador terrestre el viaje de ida y vuelta dura 8.42 años

Pero en el sistema temporal del astronauta la duración es sóloPero en el sistema temporal del astronauta la duración es sólo

= × − = × − =2 2' 8 .4 2 1 (0 .9 5 ) / 8 .4 2 1 0 .9 2 .7 a ñ o st c c= × − = × − =2 2' 8 .4 2 1 (0 .9 5 ) / 8 .4 2 1 0 .9 2 .7 a ñ o st c c

Usando TLConsideremos un reloj en reposo en S’, sus tic’s estan dados por ∆T0.

Nos fijaremos en dos eventos

Primer TIC: x’=0, t’Segundo TIC: x’=0, t’+ ∆T0

En S’

S’S

Miramos en S

0

0

202

21

)''(

)''(

TTTT

xcvTtt

xcvtt

∆>∆∆=∆

+∆+=

+=

γ

γ

γ

Reloj en S’ avanza más lento

Ejemplo Muones de los Rayos Cósmicos

Muones son partículas elementales inestables que tienen una carga iguala la del electrón y 207 veces su masa µ-, estas partículas pueden producirsepor el choque de rayos cósmicos con átomos de a gran altura en la atmósfera. Estas partículas inestables tiene un tiempo de vida de 2.2*10-6 (s) cuando se midenEn un sistema de referencia en reposo relativo respecto de ellos

El problema es si suponemos un tiempo de vida media de 2.2*10-6 (s) y que viajan a Una velocidad cercana a la de la luz, se encuentra que estas partículas solo viajan aproximadamente 600 metros antes de desintegrarse, imposible de encontrar en la superficie De la tierra. Y SI SE ENCUENTRAN

Explicación DILATACIÓN DEL TIEMPO

Respecto de un observador en tierra los muones tienen un tiempo igual γτ,donde τ= 2.2*10-6 (s) así para v=0.99c, γ=7.1 y γτ= 16*10-6 (s)

POR LO TANTO LA DISTANCIA RECORRIDA PROMEDIO, MEDIDA POR UN OBSERVADOR EN TIERRA γvτ=4800 (m)

600 (m)

tp=2,2*10-6(s)

tp=16*10-6(s)

4800 (m)

Velocidad relativa de los sistemas

Velocidad de la luz

Dilatación del Tiempo

Sistema de la tierra Sistema

del cohete