física moderna, las transformaciones de lorentz. relatividad especial. dilatación del tiempo y...

Tema 7. Las transformaciones de Lorentz.

Relatividad especial. Dilatación del tiempo y contracción de las longitudes.

Por:

B. S.

R. C.

Contenido

Introducción

Marcos de referencia inercial

Postulados de la relatividad especial

Las transformaciones de Lorentz

Dilatación del tiempo

Contracción de longitudes

El problema de la simultaneidad

La paradoja de los gemelos

Efecto Doppler en ondas electromagnéticas *

Transformación de la velocidad *

Cantidad de movimiento relativista *

Relatividad, segunda ley de Newton y masa relativista *

Trabajo y energía relativistas *

Bibliografía

Introducción

En este tema estudiaremos tres consecuencias importantes de la Teoría de la Relatividad de Einstein como son la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la simultaneidad. Tanto el espacio como el tiempo dejan de ser conceptos absolutos en la nueva teoría, ahora dependen de la velocidad del observador. Aprovechando las ecuaciones solucionaremos la paradoja de los gemelos y analizaremos el efecto doppler en ondaselectromagnéticas.

Finalmente introduciremos el carácter relativista de la masa, la cantidad de movimiento y la energía.

Marco de referencia inercialTransformación Galileana de coordenadas

Marco de referencia inercial

Sistemas de referencia. Español

Parte1

https://www.youtube.com/watch?v=7jBCZh-6lWg

Parte2

https://www.youtube.com/watch?v=uiQ7r0VkAgU






Ejemplo

Un objeto sale de s’, cual seria la velocidad de ese objeto medido por S?a) Si es una bola lanzada con velocidad ub) Si es un haz de luz con velocidad c

c) La velocidad que observa o es d) La velocidad que se debiera observar es ’ (incorrecto )

Postulados de la Relatividad Especial

1. Las leyes de la Física son las mismas en todo marco de referencia inercial.

2. La velocidad de la luz en el vacío es la misma en todos los marcos de referencia inerciales y es independiente del movimiento de la fuente.

La tranformación de Lorentz

Transformación De Galileo

X=x’+vt

Y=y’

Z=z’

Se parte del hecho de que t’=t (valido a bajas velocidades)

Cuando es pequeña, (gama) es igual a uno y tenemos las transformaciones de Galileo

= factor de Lorentz

X=ɣ(x’+vt)

T=ɣ(t+vx’/c2)

Pares de eventos

1. Δx=ϒ(Δx’+vΔt’)

2. Δx’=ϒ(Δx-vΔt)

3. Δt= ϒ(Δt’+vΔx’/c2)

4. Δt’= ϒ(Δt-vΔx/c2)

Ejemplo

Dos sucesos ocurren en el mismo punto x’ en los instantes t1 y t2 en el sistema s’, que se esta moviendo con velocidad v con respecto al sistema s. ¿Cuál es la separación espacial de estos sucesos en el sistema s?

La separación espacial en s es x2-x1

X1= ϒ(x´+vt1’) x2-x1=v(t2’-t1’)

X2=ϒ(x´+vt2’)

Algunas consecuencias de las ecuaciones de Lorenz

Simultaneidad si dos eventos ocurren simultáneamente en S’ (Δt’=0) no serán simultáneos en S y nos quedaría que

Δt= ϒ(vΔx’/c2)

Dilatación del tiempo. Supongamos que dos eventos ocurren en el mismo lugar, pero en diferentes tiempos (Δx’=0), se obtiene

Δt=ϒΔt’

Contracción de la longitud. Si una varilla paralela a los ejes x y x’, esta en reposo en s’, se mide y Δx’=Lo. La varilla se mueve con respecto a s, y Δx=L solo si Δt=0 Sustituyendo nos queda L=Lo/ ϒ


Dilatación del tiempo. La paradoja de los gemelos

https://www.youtube.com/watch?v=hy3dCTUJOSs




Una premisa básica de la mecánica newtoniana es que existe una escala de tiempo universal que es la misma para todos los observadores.

La mecánica relativista propone, que una medida del intervalo de tiempo depende del marco de referencia en el cual se efectúa medida.


𝑡=𝑙𝑐

𝑡 0=𝑙0𝑐

𝑡>𝑡0

Time Dilation - Albert Einstein and the Theory of Relativity

https://www.youtube.com/watch?v=KHjpBjgIMVk




Consideremos dos sucesos que se producen en en los instantes y en el sistema . Podemos hallar los tiempos y correspondientes a los mismos sucesos en S mediante la ecuación .

Se tiene: y de modo que:


Donde a se le conoce como el factor de Lorentz y está definido como .

El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en un sistema de referencia se denomina el tiempo propio .


En este caso, el intervalo de tiempo medido en el sistema es el tiempo propio. El intervalo de tiempo medido en cualquier otro sistema de referencia es siempre más largo que el tiempo propio. Este crecimiento se denomina dilatación del tiempo.

Dilatación del tiempoEjemplo 1

Los astronautas de una nave espacial que se aleja de la Tierra a una velocidad interrumpen su conexión con el control espacial, diciendo que van a dormir una siesta de 1 hora y que luego volverán a llamar. ¿Cuál es la duración de su siesta según se mide en la Tierra?


Solución:

Como los astronautas van a dormir y se despertarán en el mismo lugar en su sistema de referencia, el intervalo de tiempo correspondiente a una siesta de 1 hora medido por ellos mismos es su tiempo propio. En el sistema de referencia de la Tierra, los astronautas se desplazarán una distancia considerable entre ambos sucesos.


Solución:

El intervalo de tiempo medido en el sistema de referencia de la Tierra (utilizando dos relojes situados donde se producen dichos sucesos) es más largo en un factor de Lorentz Con tendremos:


Solución:

Así pues, la siesta según las medidas terrestres durará 1 hora, 40 min, 12 s.

Y si el viaje a bordo de la nave espacial durara 10 años, ¿Qué tiempo transcurriría en la tierra?


El intervalo de tiempo que se mide en cualquier sistema de referencia en el que los sucesos tienen lugar en distintos lugares es siempre mayor que el tiempo propio, que es el que puede medirse con un único reloj en reposo en el sistema de referencia.


Un fenómeno estrechamente relacionado con la dilatación del tiempo es la contracción de longitudes. La longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo se denomina su longitud propia . En un sistema de referencia en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud propia.


Consideremos una varilla en reposo en el sistema con un extremo en y el otro en . La longitud de la varilla en este sistema es su longitud propia . Para hallar la longitud de la varilla en el sistema S hay que tener cierto cuidado. En este sistema, la varilla se está moviendo hacia la derecha con velocidad , que es la velocidad de S'. Se define la longitud de la varilla en el sistema S como


en donde es la posición de un extremo en un cierto instante y , es la posición del otro extremo en el mismo instante , medidos en el sistema S. Para calcular en un cierto instante es conveniente utilizar la ecuación porque relaciona y

y


como obtenemos

O sea,


La longitud de una varilla es, pues, más corta cuando se mide en un sistema en movimiento.

Antes de que se publicase el artículo de Einstein, Lorentz y FitzGerald intentaron explicar el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley suponiendo que las distancias en la dirección del movimiento se contraían en la cantidad dada por la ecuación anterior. Esta contracción se conoce ahora como contracción de Lorentz-FitzGerald.

Una nave espacial pasa volando cerca de la Tierra con una rapidez de 0.80c. Un miembro de la tripulación a bordo de la nave mide la longitud de ésta, y obtiene un valor de 400.0 m. ¿Qué longitud miden los observadores que se hallan en la Tierra?

Contracción de longitudesEjemplo 1

Solución:

La longitud en cuestión coincide con la dirección del movimiento relativo, por lo tanto, habrá una contracción de longitud medida en uno de los marcos de referencia. La variable que se busca es la longitud medida en el marco terrestre.


Solución:

Del ejemplo anterior por lo tanto,Esta respuesta tiene lógica: la nave espacial es más corta en un marco en el que está en movimiento, que en un marco donde se halla en reposo.


Una nave espacial de longitud propia de 100.0 m pasa junto a nosotros a velocidad elevada , de forma tal que nosotros medimos su longitud como 14.1 m. ¿Cuál es su velocidad ?


Solución:

De los datos dados tenemos que:

Despejamos


Solución:

La nave espacial se mueve a una velocidad de



La longitud de un objeto parece más corta cuando se mide en un sistema de referencia respecto al que el objeto se mueve. La longitud en el sistema de referencia en el que el objeto está en reposo, longitud propia, es siempre más larga.


En principio parece absurdo que podamos plantearnos dudas sobre el concepto de simultaneidad o sobre si dos sucesos son simultáneos o no, pero la cosa no es tan simple.

Si los dos sucesos se producen en el mismo punto, o al menos muy cerca uno de otro, no hay problema en determinar si son sucesos simultáneos o no, pero si estos sucesos ocurren en lugares alejados la determinación de si son o no simultáneos se vuelve difícil y confusa.


Pongamos un ejemplo. Supongamos que en un vagón de un tren disponemos de dos detectores de luz, uno a cada extremo del vagón, y una lámpara en el centro. Encendemos la lámpara y observamos los detectores.

Supongamos que el tren se mueve hacia la derecha a velocidad . Tenemos entonces que el rayo llegará antes al receptor de la derecha que al de la izquierda. Resulta que la llegada de los rayos de luz no es simultánea.


Pero determinar que algo está en reposo o en movimiento es una tarea imposible. Si suponemos ahora que el tren está en reposo y es el anden el que se mueve, entonces los rayos sí llegan simultáneamente a los receptores.

¿Como podemos determinar si realmente dichos rayos llegan simultáneamente o no a los receptores?

La respuesta es que no podemos, ya que no podemos saber si algo se mueve o no cuando dicho movimiento es uniforme.


Pero el principio de relatividad nos dice algo al respecto: la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas de referencia inerciales y podemos tomar como en reposo el sistema de referencia que deseemos. Así que la respuesta está en la decisión que tomemos sobre el sistema de referencia.

Si tomamos como sistema de referencia al andén, entonces los sucesos no son simultáneos. los rayos no llegan a la vez.


Si tomamos en cambio como sistema de referencia al tren, entonces los sucesos sí son simultáneos. Los rayos sí llegan a la vez.

La simultaneidad resulta ser relativa.

El que dos sucesos en diferentes ubicaciones del eje de las x sean simultáneos o no depende del estado de movimiento del observador.

Dicho de otra manera: “Dos sucesos que son simultáneos en un sistema de referencia no lo son en otro sistema que se mueva respecto al primero.”


Simultaneidad - Ejemplo de los rayos propuesto por Einstein

https://www.youtube.com/watch?v=8o2XZiMZOP4

Einstein - El caso de los dos rayos y la simultaneidad, ambos lo ven simultáneo

https://www.youtube.com/watch?v=75I5H3yrZ0I



https://www.youtube.com/watch?v=75I5H3yrZ0I


Las ecuaciones de la dilatación del tiempo sugieren una paradoja aparente conocida como la paradoja de los gemelos. Considere dos astronautas gemelos idénticos llamados Luis y Juan. Luis permanece en la Tierra mientras su gemelo Juan emprende un viaje a gran velocidad a través de la galaxia. Debido a la dilatación del tiempo, Luis observa que el latido cardiaco y todos los demás procesos vitales de Juan se llevan a cabo con más lentitud que los suyos.

Es así que para Luis, Juan envejece más despacio; cuando Juan regresa a la Tierra es más joven (ha envejecido menos) que Luis.


La paradoja es la siguiente. Todos los marcos inerciales son equivalentes. ¿Acaso no puede Juan emplear exactamente los mismos argumentos para concluir que Luis es, de hecho, el más joven? En tal caso las mediciones de cada gemelo indican que el otro es más joven cuando se reúnen de nuevo, y eso es una paradoja.


Para resolver la paradoja, es preciso reconocer que los gemelos no son idénticos en todos los aspectos. En tanto que Luis permanece en un marco aproximadamente inercial en todo momento, Juan debe acelerar con respecto a ese marco inercial durante algunas partes de su recorrido con la finalidad de partir, dar la vuelta y regresar a la Tierra. El marco de referencia de Luis siempre es aproximadamente inercial; el de Juan está en muchos casos lejos de ser inercial.


Así, hay una diferencia física real entre las circunstancias de los dos gemelos. Un análisis minucioso muestra que Luis está en lo correcto; cuando Juan regresa, es más joven que Luis.

Efecto Doppler en ondas electromagnéticas

Otra importante consecuencia de la cinemática relativista es el efecto Doppler en ondas electromagnéticas. El problema es el siguiente: Una fuente de luz se desplaza con rapidez constante hacia un observador, quien se halla inmóvil en un marco inercial. Medida en su marco en reposo, la fuente emite ondas luminosas de frecuencia y periodo ¿Cuál es la frecuencia f de estas ondas como las recibe el observador?


Efecto Doppler en la luz. Una fuente de luz que se desplaza con rapidez v con respecto a un observador emite una cresta de onda, luego recorre una distancia hacia el observador y emite la cresta siguiente. En el marco de referencia S del observador, la segunda cresta se halla a una distancia atrás de la primera.

x


Sea T el intervalo de tiempo entre la emisión de crestas de onda sucesivas observado en el marco de referencia del observador. Durante un tiempo T las crestas que van por delante de la fuente recorren una distancia cT, y la fuente se desplaza una distancia más corta en la misma dirección. Por lo tanto, la distancia λ entre crestas sucesivas, esto es, la longitud de onda, es medida en el marco del observador.


La frecuencia que éste mide es . Por consiguiente,

Debido a la dilatación del tiempo, desde el punto de vista relativista no es correcto equiparar T con . El tiempo se mide en el marco en reposo de la fuente, por lo que es un tiempo propio. Según la ecuación la relación entre es:


o bien, puesto que ,


Debemos sustituir esta expresión de 1/T en la ecuación de f para determinar f.

Puesto que la expresión anterior da:


(efecto Doppler, ondas electromagnéticas, fuente que se aproxima al observador)

Esto demuestra que, cuando la fuente se desplaza hacia el observador, la frecuencia observada f es mayor que la frecuencia emitida .


La diferencia se conoce como el desplazamiento de frecuencia de Doppler. Cuando v/c es mucho menor que 1, el desplazamiento fraccionario también es pequeño y aproximadamente igual a v/c.

Cuando la fuente se aleja del observador, se cambia el signo de v en la ecuación anterior para obtener:


(efecto Doppler, ondas electromagnéticas, fuente que se aleja del observador)

En el caso de la luz, a diferencia del sonido, no existe distinción alguna entre el movimiento de la fuente y el movimiento del observador; sólo importa la velocidad relativa de los dos.


a) b)

Efecto Doppler en ondas electromagnéticasEjemplo 1

La longitud de onda más larga emitida por el hidrógeno en la serie de Balmer tiene un valor de = 656 nm. En la luz procedente de una galaxia lejana, el valor medido es = 1458 nm. Hallar la velocidad de alejamiento o retroceso de dicha galaxia respecto a la Tierra.


Solución:

Si sustituimos y


Solución:

La galaxia, pues, se está alejando a una velocidad de . El desplazamiento hacia longitudes de onda más largas de la luz procedente de las galaxias distantes que se están alejando de nosotros se denomina desplazamiento hacia el rojo.

Transformación de la velocidad

Se puede hallar la forma en que se transforman las velocidades de un sistema de referencia a otro, derivando las ecuaciones de transformación de Lorentz. Supongamos que una partícula tiene una velocidad en el sistema S', que se está moviendo hacia la derecha con velocidad respecto al sistema S. Su velocidad en el sistema S es:


A partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz se tiene:

y

Dividiendo se encuentran la transformación relativista para y de manera similar se obtiene y .


La transformación relativista completa de velocidades es:


Las ecuaciones de la transformación inversa de las velocidades son:

Transformación de la velocidadEjemplo 1

La luz se mueve a lo largo del eje x con velocidad . ¿Cuál es su velocidad en ?

Solución:

como exigen los postulados de Einstein.

Cantidad de movimiento relativista

Hemos visto en las secciones anteriores que los postulados de Einstein exigen importantes modificaciones en nuestros conceptos de simultaneidad y de medición de tiempos y longitudes. Pero, lo que quizás sea aún más importante, requieren también que modifiquemos nuestros conceptos e ideas acerca de la masa, la cantidad de movimiento y la energía.


En mecánica clásica, se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad, , siendo la velocidad. En un sistema aislado de partículas, sin ninguna fuerza neta que actúe sobre el mismo, la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante.


La razón por la cual la cantidad de movimiento es importante en la mecánica clásica, se debe a que la misma se conserva cuando no existen fuerzas externas actuando sobre el sistema, como sucede con las colisiones. Ahora hemos visto que la cantidad se conserva únicamente en la aproximación en que . Definiremos la cantidad de movimiento relativista de una partícula de manera que posea las siguientes propiedades:


1. En las colisiones, se conserva.

2. Cuando tienda a cero, tenderá a .

Cuando una partícula tiene una velocidad su cantidad de movimiento relativista es:

Cuando la rapidez de la partícula es mucho menor que c, esto es aproximadamente igual a la expresión newtoniana

Relatividad, segunda ley de Newton y masa relativista

¿Qué hay de la generalización relativista de la segunda ley de Newton? En la mecánica newtoniana la forma más general de la segunda ley es

Es decir, la fuerza total sobre una partícula es igual a la tasa de cambio de su cantidad de movimiento con respecto al tiempo. Los experimentos muestran que este resultado conserva su validez en la mecánica relativista, siempre y cuando se utilice la ecuación de la cantidad de movimiento relativista.


Con simples operaciones básicas se puede llegar a:

( y a lo largo de la misma línea)

( y perpendiculares) y


Masa Relativista

Es el incremento de la masa efectiva con la velocidad. El incremento de la masa efectiva relativista hace que la velocidad de la luz c, sea el límite de velocidad del universo.

“Cuanto más rápido va un objeto, más difícil es hacerlo ir más rápido.”

Relatividad, segunda ley de Newton y masa relativistaTénganse en cuenta que las siguientes relaciones no son válidas

Trabajo y energía relativistas

Energía cinética relativista

Aplicamos el teorema de trabajo y energía, comenzando por la definición de trabajo. Cuando la fuerza neta y el desplazamiento tienen la misma dirección, el trabajo efectuado por esa fuerza es En seguida sustituimos la expresión correspondiente a F de la ecuación la versión relativista aplicable de la segunda ley de Newton. Al desplazar una partícula de masa en reposo m del punto al punto,


recordemos que la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado sobre ella al llevarla del reposo a la rapidez : . Por lo tanto, fijamos la rapidez en cero en el punto y en en el punto

Podemos evaluar esta integral mediante un simple cambio de variable; el resultado final es:


(energía cinética relativista)

(energía total de una partícula)

En el caso de una partícula en reposo (), vemos que . La energía asociada con la masa en reposo m, y no con el movimiento, se conoce como la energía en reposo de la partícula que también puede expresarse como:


(energía total, energía en reposo y cantidad de movimiento)

La ecuación anterior es la relación entre la energía total, la cantidad de movimiento y la energía en reposo. Puede recordarse mediante la regla mnemotécnica del triángulo indicado en la figura.


Energías cinética relativista y Clásica

Trabajo y energía relativistasEjemplo 1

Un electrón con su energía en reposo 0.511 MeV se mueve con velocidad . Hallar su energía total, su energía cinética y su cantidad de movimiento.

Solución:

Primero calcularemos el factor de Lorentz


La energía total es entonces es:

La energía cinética es la energía total menos la energía en reposo:


El valor de la cantidad de movimiento es:

La unidad es una unidad conveniente de cantidad de movimiento.

Bibliografía

• Tipler. Física para Científicos e Ingenieros Vol. 2, capítulo 34. 3ra Edición.

• Sears, Zemansky, Young & Freedman. Física Universitaria Vol. 2, capítulo 37. 12va Edición.

• http://www.relatividad.org/bhole/simultaneidad.htm

•GRACIAS POR SU ATENCIÓN!

Relatividad general

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