ResumenEn este laboratorio hemos realizado el anlisis por elementos finitos de las armaduras en el espacio. La mayora de las estructuras reales estn hechas a partir de varias armaduras unidas entre s para formar una armadura espacial.En este laboratorio hemos hecho el anlisis por elementos finitos de la pluma de una gra, sometida a unas cargas y sujetada por unos cables. Al dibujo original se le ha aadido algunos elementos adicionales ya que tenemos que tener armaduras que formen tetraedros, se ha considerado que los cables son rgidos e indeformables y que el peso de cada elemento se encuentra distribuido de igual forma en cada nodo al extremo de este.El objetivo del laboratorio ha sido hallar los esfuerzos a los que estn sometidas las barras adems de las reacciones y deformaciones en cada nodo.

DIAGRAMA DE FLUJOINICIO

CALCULAR LAS REACCIONES, DEFORMACIONES Y ESFUERZOS PARA UNA ARMADURA EN EL ESPACIO

INGRESAR POSICION DE LOS NODOS, CARACTERISTICAS DEL MATERIAL, SECCION DE LOS ELEMENTOS, VARIACIONES DE TEMPERATURA Y LA CONECTIVIDAD ENTRE LOS NODOS

CALCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS ELEMENTOS, LOS COSENOS DIRECTORES

SE CALCULAN LAS COMPONENTES DE LA MATRIC DE RIGIDEZ EN FUNCION DE LOS COSENOS DIRECTORES, DEL VECTOR CARGA PARA CADA NODO, LOS DESPLAZAMIENTOS EN FUNCION DE LA UNIONES Y RESUELVEN LAS ECUACIONES.

SE OBTIENE LAS DEFORMACIONES, REACCIONES Y ESFUERZOS EN CADA ELEMENTO

FIN

DESARROLLO DEL PROBLEMA CON MATLABEl cuerpo a analizar ser el siguiente.

Como en una armadura los elementos tienen que formar tetraedros se le ha agradoo elementos para poder conseguir este arreglo (respetando las vistas dadas inicialmente), de esta forma una vista en el espacio de la estructura seria

Al iniciar los datos que introduciremos al programa sern modulo de elasticidad (MPa) Area de las barras Las posiciones de los nodos (en mm)

Con el programa de matlab, calculamos los cosenos directores entre cada uno de los elementos y la longitud de cada elemento.Con estos datos y ayudndonos del grafico podemos analizar la conectividad del modelo

0.5597

0

Con esto procederemos a construir la matriz de rigidezLa matriz de rigidez local esta dada por:

Obteniendo la matriz de rigidez local para todos los trminos y sumndolos, la matriz de rigidez global se halla mediante la expresin

La matriz resultante es demasiado grande para poder escribirla debido a que es una matriz cuadrada de 33 trminos.Ahora continuamos con el vector carga, para el calculo de este vector en cada nodo se le suma la mitad del peso del elemento que este unido a ese nodo ademas de las cargas externas como la fuerza aplicada en la grua, como la tension en los cables es desconocida, se omitira por el momento, ya que estamos suponiendo que el desplazamiento en el nodo de la armadura unido al cable tiene como desplzamiento cero, estos terminos pueden eliminarse de la matriz para poder hallar la solucion.Con estas consideracion el vector carga sera

Y el vector desplazamiento

son ceros debido a las condiciones del apoyo y son ceros debido a la suposicin que el cable que sujeta la pluma de la gra es indeformable.La ecuacin de rigidez y condiciones de contorno

Sin embargo como tenemos incognitas a ambos lados de la ecuacin vamos a eliminar las filas y sus columnas respectivas de todos los terminos que tengan como desplazamiento cero en el vector carga, desplazamiento y en la matriz de rigidez global, con lo que tenemos

Ser la matriz de rigidez global luego de eliminar las filas y columnas y q el vector desplazamiento luego de la eliminacin.

La nueva ecuacin de rigidez y condiciones de contorno es:

Multiplicando por la inversa de

Con lo que tenemos que resulta:

Con este vector podemos tener el vector carga por completo y hallar el vector carga con todas las reacciones y terminos fasltantes y proceder a hallar los esfuerzos en cada uno de los elementos.Operando

Tenemos que las reacciones son

Ya que tenemos todos los desplazamientos en las barras podemos hallar los esfuerzos en ellas utilizando

Con esto tenemos que el vector de esfuerzos es

CODIGO DE MATLAB UTILIZADOclcclear allclose all %INGRESO DE DATOS, PARAMETROS GEOMETRICOS Y FISICOS E=310000;A=900*3.1415;sg=8*9.81*10^-6;x=[1 1 1 2 2 3 4 5 3 5 6 4 3 3 7 7 8 9 7 8 9 10 3 6 4 3 3 7 1 1];y=[2 4 3 5 6 6 5 6 4 7 10 8 9 7 8 10 9 10 11 11 11 11 8 7 7 10 5 9 5 6];P(1,1:3,1)=[0 0 0];P(1,1:3,2)=[0 0 600];P(1,1:3,3)=[576.943 854.188 0];P(1,1:3,4)=[107.097 1025.198 0];P(1,1:3,5)=[107.097 1025.198 600];P(1,1:3,6)=[576.943 854.188 600];P(1,1:3,7)=[1475.178 4783.968 600];P(1,1:3,8)=[1475.178 4783.968 0];P(1,1:3,9)=[1945.024 4612.958 0];P(1,1:3,10)=[1945.025 4612.958 600];P(1,1:3,11)=[2052.121 5638.155 300];for i=1:30 c(i)=x(i)*3; b(i)=c(i)-1; a(i)=b(i)-1; f(i)=y(i)*3; e(i)=f(i)-1; d(i)=e(i)-1;endW=0;for i=1:30 u=P(1,1:3,y(i))-P(1,1:3,x(i)); L(i)=norm(P(1,1:3,y(i))-P(1,1:3,x(i)),2); l(i)=u(1,1)/L(i); m(i)=u(1,2)/L(i); n(i)=u(1,3)/L(i); w(i)=L(i)*A*sg; W=W+w(i);end %CALCULO DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ LOCALESfor i=1:30 z=zeros(33); z(a(i),a(i))=l(1,i)^2; z(a(i),b(i))=l(1,i)*m(1,i); z(a(i),c(i))=l(1,i)*n(1,i); z(a(i),d(i))=-l(1,i)^2; z(a(i),e(i))=-l(1,i)*m(1,i); z(a(i),f(i))=-l(1,i)*n(1,i); z(b(i),a(i))=l(1,i)*m(1,i); z(b(i),b(i))=m(1,i)^2; z(b(i),c(i))=m(1,i)*n(1,i); z(b(i),d(i))=-l(1,i)*m(1,i); z(b(i),e(i))=-m(1,i)^2; z(b(i),f(i))=-m(1,i)*n(1,i); z(c(i),a(i))=l(1,i)*m(1,i); z(c(i),b(i))=m(1,i)^2; z(c(i),c(i))=m(1,i)*n(1,i); z(c(i),d(i))=-l(1,i)*m(1,i); z(c(i),e(i))=-m(1,i)^2; z(c(i),f(i))=-m(1,i)*n(1,i); z(d(i),a(i))=-l(1,i)^2; z(d(i),b(i))=-l(1,i)*m(1,i); z(d(i),c(i))=-l(1,i)*n(1,i); z(d(i),d(i))=l(1,i)^2; z(d(i),e(i))=l(1,i)*m(1,i); z(d(i),f(i))=l(1,i)*n(1,i); z(e(i),a(i))=-l(1,i)*m(1,i); z(e(i),b(i))=-m(1,i)^2; z(e(i),c(i))=-m(1,i)*n(1,i); z(e(i),d(i))=l(1,i)*m(1,i); z(e(i),e(i))=m(1,i)^2; z(e(i),f(i))=m(1,i)*n(1,i); z(f(i),a(i))=-l(1,i)*m(1,i); z(f(i),b(i))=-m(1,i)^2; z(f(i),c(i))=-m(1,i)*n(1,i); z(f(i),d(i))=l(1,i)*m(1,i); z(f(i),e(i))=m(1,i)^2; z(f(i),f(i))=m(1,i)*n(1,i); r(i)=E*A/L(i); J(1:33,1:33,i)=r(i)*z;endK=zeros(33);for i=1:30 K=K+J(:,:,i);endk=K;for i=1:6 k(:,1)=[]; k(1,:)=[];endfor i=1:6 k(13,:)=[]; k(:,13)=[];endg=zeros(33,1);for i=1:11 for v=1:30 if(x(v)==i | y(v)==i) g(3*i-1)=g(3*i-1)+norm(P(1,1:3,y(v))-P(1,1:3,x(v)),2)*A*sg/2; else end endendk=pinv(k);g=g*(-1);g(31)=g(31)-32766.082;g(32)=g(32)-62943.057;h=g;for i=1:6 h(1,:)=[];endh(13,:)=[];h(13,:)=[];h(13,:)=[];h(13,:)=[];h(13,:)=[];h(13,:)=[];q=k*h;Q=[0 0 0 0 0 0 q(1) q(2) q(3) q(4) q(5) q(6) q(7) q(8) q(9) q(10) q(11) q(12) 0 0 0 0 0 0 q(13) q(14) q(15) q(16) q(17) q(18) q(19) q(20) q(21)];Q=Q';F=K*Q;R(1)=F(1);R(2)=F(2)-g(2);R(3)=F(3);R(4)=F(4);R(5)=F(5)-g(5);R(6)=F(6);T(1)=F(19)/0.7071;T(2)=F(22)/0.7071;for i=1:30 rho(i)=(E/L(i))*[-l(x(i)) -m(x(i)) -n(x(i)) l(x(i)) m(x(i)) n(x(i))]*[Q(a(i)); Q(b(i)); Q(c(i)); Q(d(i)); Q(e(i)); Q(f(i))];endrho=rho';

CONCLUSIONES El mtodo del elemento finito para armaduras en el espacio es muy til ya que nos permite hallar todas las reacciones, esfuerzos y desplazamientos en todas las barras y nodos simultneamente, adems de ser un procedimiento simple, aunque un poco extenso, per ms sencilla que el mtodo tradicional aprendido por esttica. Los esfuerzos hallados fueron todos de traccin y compresin como se esperaba para una armadura, sin embargo a diferencia del caso de la armadura plana en esta armadura los esfuerzos si fueron considerables debido a que se encuentra sometida a fuerzas externas de gran magnitud. Hubo una incongruencia al realizar las operaciones, cuando el ngulo de inclinacin era 70 los cables que sujetan la pluma se encontraban en compresin, cuando el ngulo de inclinacin es 60 los cables se encuentran en traccin como debe ser. Para poder realizar el anlisis se hizo la suposicin que el cable era un cable rgido indeformable. Esta consideracin si puede alterar los resultados que hemos hallado. Se ha considerado el peso de las barras pero se ha considerado que en lugar de ser una fuerza distribuida esta acta de igual forma en cada extremo de los elementos, esto altera un poco los resultados obtenidos sin embargo para una aproximacin del modelo, los resultados obtenidos aun son aceptables.. Los resultados son congruentes con los hallados por la esttica bsica, las sumatorias de fuerzas para toda la armadura son cero.