laboratorio 4-finitos

7/23/2019 Laboratorio 4-Finitos

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Elaborado por:

Alvick Mallqui Alor

20084006J

PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO


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INDI E

I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA .................................................................... ........................................ 3

I.1. MODELADO DEL CUERPO REAL .......................................................... ........................................ 4

I.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) ....................................................... 7

I.3. VECTOR CARGA ............................................................................................... ............................. 7

I.4. MATRICES DE RIGIDEZ ............................................................... .................................................. 8

I.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO .......................................................... 9

I.6. ESFUERZOS ........................................................... ................................................................. ....... 9

I.7. RESULTADOS .......................... .............................................................. ........................................ 9

II. DIAGRAMA DE FLUJO ................................................................ ................................................. 10

III. CODIGO MATLAB .................................................................................................................... ..... 11

IV. CONCLUSIONES ......................................................................... ................................................. 14


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I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Una armadura tridimensional, compuesta p o r barras tubulares de seccin circular,

se encuentra sometida a cargas concentradas tal como lo muestra la figura.

Determinar:

o El esfuerzo en cada barra de la armadura.

o El desplazamiento de los nodos de la armadura.

Datos:

E = 3.1x105 N/mm2

P =40000 N

El dimetro y el espesor de todas las barras tubulares de la armadura son:

D = 100 mm

t =10 mm


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Adems,

I.1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Para este problema modelaremos a cada barra que compone la armadura como un

elemento finito, puesto que estas son de seccin uniforme a lo largo de su longitud y

a que permiten cuantificar en forma directa el desplazamiento de cada nodo, el

esfuerzo en cada barra y la deformacin de estas.

entonces:


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nodos GDL nodos GDL

1 1 2 3 7 19 20 21

2 4 5 6 8 22 23 24

3 7 8 9 9 25 26 27

4 10 11 12 10 28 29 30

5 13 14 15 11 31 32 33

6 16 17 18

Calculo del rea de los elementos finitos:

Dado que todas las barras son de seccin circular y poseen el mismo dimetro,

entonces el rea de cada elemento finito ser:


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Orientacin de los elementos finitos en el plano x -y-z:

Para este propsito definimos 3 ngulos directores :

Cuadro de conectividad

Elemento Nodos GDL Le

(1) (2) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (mm)

1 1 2 1 2 3 4 5 6 0.6 90 0 90

2 2 3 1 2 3 7 8 9 1.0307764 75.93756 90 14.036

3 3 4 1 2 3 16 17 18 1.0307764 104.036243 90 14.036

4 4 2 4 5 6 10 11 12 1.0307764 75.93756 90 14.036

5 4 1 4 5 6 13 14 15 1.0307764 104.036243 90 14.036

6 4 5 7 8 9 10 11 12 0.6 90 0 90

7 5 1 10 11 12 13 14 15 0.5 0 90 90

8 5 6 13 14 15 16 17 18 0.6 90 0 90

9 6 3 16 17 18 7 8 9 0.5 0 90 90

10 3 7 7 8 9 19 20 21 4 90 90 0

11 4 8 10 11 12 22 23 24 4 90 90 0

12 5 9 13 14 15 25 26 27 4 90 90 0

13 6 10 16 17 18 28 29 30 4 90 90 0

14 7 8 19 20 21 22 23 24 0.6 90 0 90

15 8 9 22 23 24 25 26 27 0.5 0 90 90

16 9 10 25 26 27 28 29 30 0.6 90 0 90

17 10 7 28 29 30 19 20 21 0.5 0 90 9018 7 11 19 20 21 31 32 33 1.0735455 103.46629 106.227 21.33

19 8 11 22 23 24 31 32 33 1.0735455 103.46629 73.77 21.33

20 9 11 25 26 27 31 32 33 1.0735455 76.53371 73.77 21.33

21 10 11 28 29 30 31 32 33 1.0735455 76.53371 106.227 21.33

22 8 10 22 23 24 28 29 30 0.781025 129.80557 39.81 90

23 3 8 7 8 9 22 23 24 4.0447497 90 97.13 7.125

24 5 8 13 14 15 22 23 24 4.0311289 82.875 90 7.125

25 5 10 13 14 15 28 29 30 4.0447497 90 82.875 7.125

26 3 10 7 8 9 28 29 30 4.0311289 97.12501 90 7.12527 3 5 7 8 9 13 14 15 0.781024 129.80557 140.19443 90

28 5 1 13 14 15 1 2 3 1.19268 102.995 120.203 33.02387

29 1 4 1 2 3 10 11 12 1.9268 77.9004 120.203 33.02387


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I.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento)

El empotramiento de la armadura en los nodos (1) y (2) imposibilita el movimiento

de esta, por lo que nuestro vector de desplazamiento global seria el siguiente:

La siguiente tabla resume los GDL de cada elemento finito y su orientacin:

nodos GDL x y z

1 1 2 3 Q1 Q2 Q3

2 4 5 6 Q4 Q5 Q6

3 7 8 9 Q7 Q8 Q9

4 10 11 12 Q10 Q11 Q12

5 13 14 15 Q13 Q14 Q15

6 16 17 18 Q16 Q17 Q18

7 19 20 21 Q19 Q20 Q21

8 22 23 24 Q22 Q23 Q24

9 25 26 27 Q25 Q26 Q27

10 28 29 30 Q28 Q29 Q30

11 31 32 33 Q31 Q32 Q33

I.3. VECTOR CARGA

Partiendo de la premisa de que es posible reemplazar el peso de cada barra, que

acta en el centro de gravedad del cuerpo al que pertenece, por dos fuerzas de igual

magnitud, que actan en los extremos de dicha barra, sin que esta sustitucin afecte

el equilibrio del cuerpo, o sea, que la suma de fuerzas sea igual a cero, y adems, que

la suma de momentos tomados desde cualquier punto de referencia inercial de

movimiento, tambin sea cero.


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Reacciones y tensiones:

nodos GDL x y z

1 1 2 3 F1 F2=0 F3

2 4 5 6 F4 F5=0 F6

9 25 26 27 F25 F26=0 F27

10 28 29 30 F28 F29=0 F30

Diagrama de cuerpo libre:

I.4. MATRICES DE RIGIDEZ

Con ayuda del cuadro de conectividad podemos sumar l o s trminos que

interactan entre s, en la armadura. Utilizando el Matlab se puede obtener en

forma directa la siguiente matriz de rigidez. No mostramos la matriz de rigidez por

ser demasiado grande para este formato.


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I.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO

I.6. ESFUERZOS

I.7. RESULTADOS


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II. DIAGRAMA DE FLUJO


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III. CODIGO MATLAB

%modulo de young:

E=3.1*100000 ;%MPa

%peso especifico:

w=8000; w=w*9.81;

%area:

A=pi*(100^2-80^2)/4 ;A=A*10^-6 %m2

%vector longitud L en m

L=[0.6

1.030776406

1.030776406

1.030776406

1.030776406

0.6

0.5

0.6

0.5

4

4

4

4

0.6

0.5

0.60.5

1.073545528

1.073545528

1.073545528

1.073545528

0.781024968

4.044749683

4.031128874

4.044749683

4.031128874

0.781024968


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1.192686044

1.192686044];

%matriz angulos directores:

ang=[90 0 90

75.93756 90 14.036243

104.036243 90 14.036243

75.93756 90 14.036243104.036243 90 14.036243

90 0 90

0 90 90

90 0 90

0 90 90

90 90 0

90 90 0

90 90 0

90 90 0

90 0 90

0 90 90

90 0 90

0 90 90

103.46629 106.227254 21.33266103.46629 73.772746 21.33266

76.53371 73.772746 21.33266

76.53371 106.227254 21.33266

129.80557 39.805571 90

90 97.12501 7.12501

82.875 90 7.12501

90 82.875 7.12501

97.12501 90 7.12501

129.80557 140.19443 90

102.995 120.20306 33.02387

77.9004 120.20306 33.02387]; n=29;

a=[1 2 3 4 5 6; 1 2 3 7 8 9;1 2 3 16 17 18;4 5 6 10 11 12;4 5 6 13 14 15;7 8 9 10 11 12;10 11 12 13 14 15;13 14 15 16 17 18;

16 17 18 7 8 9;7 8 9 19 20 21;10 11 12 22 23 24;13 14 15 25 26 27;

161718282930;192021222324;222324252627;2526272829 30;28 29 30 19 20 21;19 20 21 31 32 33;22 23 24 31 32 33;25 26 27 31 32 33;

282930313233;22 23 2428 29 30;7 8 922 23 24;13 14 15 2223 24;13 14 15 28 29 30;7 8 9 28 29 30;7 8 9 13 14 15;13 14 15 1 2 3;

1 2 3 10 11 12];

%Calculo de la matriz de rigidez K:

K=zeros(n+4); %donde n+4=GDL

for i=1:n

l=cos(ang(i,1));

m=cos(ang(i,2));p=cos(ang(i,3));

c=[l^2 l*m l*p -l^2 -m*l -l*p

l*m m^2 m*p -l*m -m^2 -m*p

l*p m*p p^2 -l*p -m*p -p^2

-l^2 -l*m -l*p l^2 l*m l*p-l*m -m^2 -m*p l*m m^2 m*p

-l*p -m*p -p^2 l*p m*p p^2];

k=E*A*L(i)^-1;

c=k*c;

z=zeros(n+4);

z(a(i,1):a(i,3),a(i,1):a(i,3))=c(1:3,1:3);

z(a(i,1):a(i,3),a(i,4):a(i,6))=c(1:3,4:6);


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z(a(i,4):a(i,6),a(i,1):a(i,3))=c(4:6,1:3);

z(a(i,4):a(i,6),a(i,4):a(i,6))=c(4:6,4:6);

K=K+z;

end

K %10^6 N/m

%Resolucion del problema:

%calculo de las pesos: W=-

L*w*A;

f=zeros(1,33);ff=zeros(1,33);

for i=1:29

ff(a(i,3))=W(i)/2;ff(a(i,6))=W(i)/2;

f=f+ff;% en x'-z'

end

g=zeros(1,33); % en N

%conversion a x-z:

for i=1:29

g(a(i,1))=f(a(i,3))*sin(pi/6);

g(a(i,3))=f(a(i,3))*cos(pi/6);

end%calculo de las tensiones(T):

G=0;

for i=1:29

G=G+W(i);

end

T=3*G*cos(pi/3)/(2*sin(pi/12)*(5+0.25*tan(pi/12)^-1));

%matriz reducida (sin apoyos fijos):

M=zeros(27);M=K(7:33,7:33);M %en 10^6 N/m

%vector carga reducido (sin reacciones):

F=zeros(1,33);F(31)=3095.26953;F(33)=-70893.32763;

F(25)=-T*sin(pi/12);F(27)=T*cos(pi/12);

F(28)=-T*sin(pi/12);F(30)=T*cos(pi/12);F=F+g;

f1=F(7:33); %en N

%vector desplazamiento reducido(sin apoyos fijos):

Q1=inv(M)*f1';%Entonces, el vector Q es:

Q=[0 0 0 0 0 0 Q1']';%10^-6 m

%Encontrando las reacciones:

F=K*Q; %N

%Resultados:

%Reacciones:

R=F(1:6) %N

%Esfuerzos:

h=0;S=[];

for i=1:n

l=cos(ang(i,1));m=cos(ang(i,2));p=cos(ang(i,3));

d=[-l -m -p l m p];

s= d*[Q(a(i,1)) Q(a(i,2)) Q(a(i,3)) Q(a(i,4)) Q(a(i,5)) Q(a(i,6))]';

s=s*E/L(i);s=s*10^-6;S=[S s];end

S=S' % MPa


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IV. CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos, tanto esfuerzos como reacciones y

desplazamientos, para la pluma (armadura en el espacio) muestran que

esta, est sometida principalmente a un proceso de compresin.

Los desplazamientos encontrados para los nodos de la armadura en

cuestin son, en algunas direcciones, demasiado grandes ya que estn en

el orden de los centmetros. La explicacin lgica para este fenmeno es

la existencia de un ngulo de rotacin, respecto a su posicin inicial, que

presenta la pluma debido a la forma en como est cargada. Resulta

evidente, dado que las dimensiones de la pluma son del orden de los

metros, que cualquier ngulo de rotacin, por pequeo que sea, generar

un desplazamiento grande mientras ms alejado este el nodo del centro

de rotacin. Esta explicacin se demuestra de manera forma l al plotear

las posiciones de los nodos desplazados y compararlas con las posiciones

iniciales.

Tambin estn los desplazamientos pequeos, del orden de los

milmetros, que son efecto nicamente de las deformaciones por tensin

o compresin de las barras que componen la pluma.

Los esfuerzos encontrados para las barras de pluma son bastante

grandes, lo que obedece al elevado valor de las cargas, pero

principalmente a la reducida rea que presentan dichas barras.

El elemento 1 no presenta esfuerzo de traccin y este hecho es coherente

con la forma en como esta sujetado este objeto. , y al hecho de que las

reacciones encontradas se anulan en la direccin del eje de este

elemento.

El mayor desplazamiento nodal en la armadura, est en el nodo (11) que

es a su vez el punto ms alejado de los apoyos fijos y el que a mayor carga

se encuentra sometido.

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