2 - elementos finitos de barra articulada....

Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 2

Joaquim Barros 2.1

2 - ELEMENTOS FINITOS DE BARRA ARTICULADA. CONCEITOS BÁSICOS

2.1 - Introdução Neste capítulo o método dos elementos finitos (MEF) vai ser aplicado a estruturas discretizadas por elementos de barra biarticulada, de que as treliças são exemplo. Na Figura 2.1 representa-se uma treliça bidimensional. Se o seu peso próprio for desprezado, estas barras apenas ficam submetidas a esforços axiais, pelo que estas barras apenas sofrem extensões segundo o seu eixo, isto é, todos os pontos de uma secção da barra sofrem o mesmo deslocamento, paralelo ao eixo da barra.

q

1

L L

3

F5

2 4

x2

1x

H

2, 3

1, 3F

2, 5F

F = força aplicada no nó jsegundo o eixo x

i, ji

Figura 2.1 - Treliça plana.

2.2 - Barra biarticulada submetida a esforços axiais Considere-se a barra de comprimento L, secção transversal A, constituída por material com módulo de elasticidade longitudinal E, submetida a forças distríbuidas por unidade de comprimento segundo o eixo da barra, q , e solicitada por um conjunto de forças aplicadas em pontos do eixo da barra segundo a sua direcção, Qi . Este conjunto de forças introduz extensões na barra segundo a direcção do seu eixo.


Joaquim Barros 2.2

1

1u

L

q

m Q = F

Área A

1

1F iF mF

S

S

Secção SS

1, m m

1x , u1

iQ = F1, iQ = F11, 1i

1x , u1

S1

S1 1S' 2S 2S'

12Su

δ1

q1

Figura 2.2 - Barra biarticulada submetida a forças axiais

Assim, se as secções S1 e S2 sofrerem deslocamentos 1

1Su e 2

1Su , respectivamente, a extensão

ocorrida no elemento S S1 2 de comprimento 1dx é

1

1

1

111

12

dxdu

dxuu SS

=−

=ε (2.1)

pelo que segundo a lei de Hooke desenvolve-se a seguinte tensão

1

112 dx

duEE == εσ . (2.2)

Segundo o princípio dos trabalhos virtuais (Barros 2000), um corpo está em equilíbrio quando o trabalho interno ( )δWint é igual ao trabalho externo ( )δWext realizado durante a deformação virtual desse corpo. Assim, no caso da barra em estudo obtém-se

∑∫∫=

+=

=m

iiiL

T

V

T

ext

QudxqudV

WW

1,1,111111

int

δδσδε

δδ (2.3a)

em que 1uδ e 1δε são o deslocamento e a extensão virtual de um ponto do eixo da barra, segundo 1x , iu ,1δ é o deslocamento virtual do ponto de aplicação da força iQ ,1 , V é o volume da barra e L o seu comprimento. Dado que em (2.3a) as grandezas envolvidas são escalares, o símbolo de transposta pode ser retirado ficando,


Joaquim Barros 2.3

∑∫∫=

+=m

iiiLV

QudxqudV1

,1,111111 δδσδε . (2.3b)

O integral ao volume da barra em (2.3b) pode ser convertido em integral ao comprimento da barra dado que 1dxdAdV = (2.4) em que A é a área da secção transversal da barra. Assim, substituindo (2.2) e (2.4) em (2.3b) e integrando na secção da barra obtém-se,

∑∫∫ ∫=

+=m

iiiLL A

QudxqudxdAE1

,1,1111111 δδεδε

(2.5)

∑∫∫=

+=m

iiiLL

QudxqudxAE1

,1,1111111 δδεδε .

O equilíbrio da barra passa pela determinação do campo de deslocamentos, ( )11 xu , que satisfaça (2.5) e as condições de ligação da barra ao exterior (condições cinemáticas). Por intermédio do método dos elementos finitos pode-se obter um campo de deslocamentos aproximado do real que satisfaça simultaneamente a relação (2.5) e as condições cinemáticas. Assim, considere-se que os deslocamentos ao longo de um elemento de n nós pode ser representado pela função polinomial seguinte,

∑=

=++++=n

i

ii

nn xaxaxaxaaxu

111

21211011 ...)( . (2.6)

As variáveis ai com i = 0, …, n dependem dos valores dos deslocamentos nos pontos nodais do elemento, ( )e

iu ,1 , em que (e) significa que a grandeza é relativa ao elemento. Assim, as variáveis ai são determinadas resolvendo o sistema de n equações que se obtém substituindo em (2.6) ( )11 xu pelo valor que assume nos n pontos nodais do elemento. Note-se que a expressão (2.6) pode ser convertida na seguinte:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )[ ]( )

( )

( ) ( )ee

en

e

en

e

n

i

ei

ei

en

en

eeeee

UN

u

uxNxN

uxNuxNuxNuxNxu

=

=

=+++= ∑=

,1

1,1

111

1,11,112,1121,11111

......

...)(

(2.7)


Joaquim Barros 2.4

em que ( ) )( 1xN ei c/ i = 1,…,n são funções polinomiais de interpolação no domínio do

elemento, designadas de funções de forma do elemento na nomenclatura do MEF, e ( )e

iu ,1 c/ i = 1,…,n são os deslocamentos dos i nós do elemento. A função de forma ( ) )( 1xN ei

denomina-se de função de forma do nó i, dado interpolar os deslocamentos correspondentes ao nó i, dentro do elemento. Analisando (2.7) constata-se que ( ) )( 1xN e

i assume o valor unitário no nó i e nulo nos restantes nós. Substituindo (2.7) em (2.5) e resolvendo os integrais obtêm-se as equações de equilíbrio da barra que permitem obter os deslocamentos dos nós da barra, ( ) ( ) ( )k U Qe e e= (2.8)

em que ( )k e , ( )Q e e ( )U e são a matriz de rigidez da barra, o vector das forças nodais

equivalentes à acção actuante na barra e o vector dos deslocamentos dos nós da barra, respectivamente. Se a barra for discretizada por diversos elementos, determina-se a matriz de rigidez e o vector das forças nodais equivalentes de cada barra e efectua-se o seu espalhamento na matriz de rigidez e no vector solicitação da estrutura, ( )EK e ( )Q E .

Resolvendo o sistema de equações que define o equilíbrio dos nós da estrutura, ( ) ( ) ( )EEE QUK = , (2.9)

determinam-se os deslocamentos dos pontos nodais da estrutura, ( )U E .

2.3 - Barra biarticulada de secção constante. Discretização num elemento linear A barra biarticulada de secção constante representada na Figura 2.3a vai ser discretizada por um elemento finito de dois nós (Figura 2.3b).

Secção SS

q1

S

S

Q1x , u1

1x , u1

Q

2

L

q1

1,1(1)u

1

Área A

(1)

u1,2(1)

Figura 2.3 – Barra biarticulada discretizada por um elemento finito de dois nós.


Joaquim Barros 2.5

O campo de deslocamentos no interior do elemento é definido a partir dos deslocamentos nos nós do elemento. Este campo apresenta uma variação linear representado pela seguinte expressão ( ) 11011 xaaxu += . (2.10) Para determinar as variáveis a0 e a1 substitui-se em (2.10) ( )11 xu pelos deslocamentos nos nós 1 e 2 da barra, obtendo-se

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )12,110

12,1

12,1

11

11

11,110

11,1

11,1

11

11

xaauxxu

xaauxxu

+===

+=== (2.11)

em que o sobreíndice (1) representa a numeração da barra, neste caso a barra 1 e o subíndice a numeração do nó do elemento. Em (2.11) ( )1

1,1u e ( )12,1u representam os deslocamentos dos nós 1 e

2 da barra, enquanto ( )11,1x e ( )1

2,1x as suas coordenadas. Resolvendo o sistema de equações (2.11) obtém-se

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )12,1

11,1

12,1

11,1

1

11,1

12,1

12,1

11,1

11,1

12,1

0

xxuu

a

xxuxux

a

−−

=

−−

=

. (2.12)

Substituindo (2.12) em (2.10) obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2,111

211,11

111

11 )()()( uxNuxNxu += (2.13)

em que

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )11,1

12,1

11,1

11

11

2

11,1

12,1

11

12,1

11

1

)(

)(

xxxx

xN

xxxx

xN

−−

=

−−

=

(2.14)

denominam-se de funções de forma do elemento de barra de dois nós. Se ( ) 01

1,1 =x e ( ) ( )112,1 Lx =

as anteriores funções de forma assumem a configuração seguinte


Joaquim Barros 2.6

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )1

11

11

11

2

1

111

11

1

)(

1)(

LxxN

Lx

xN

=

−=. (2.15)

Na Figura 2.4 representam-se estas funções de forma.

1

1

1

1

N 1

(1)

(1)

2

(1)

2

N 1 2(1)N

1

N2(1)

2

1

(1)

(1)

Figura 2.4 - Funções de forma do elemento de barra biarticulada de dois nós. Assim, ( ) ( ))( 1

11

1 xN assume o valor unitário no nó 1, valor nulo no nó 2 e varia linearmente no interior do elemento. Para aligeirar a simbologia das expressões seguintes, ( ) ( )( )1

11

1 xu , ( ) ( ))( 11

11 xN e ( ) ( ) )( 1

11

2 xN serão substituídos por 1u , ( )1

1N e ( )12N .

Substituindo (2.13) na relação que determina a extensão num determinado ponto do eixo de barra,

1

11 dx

du=ε (2.16)

obtém-se:

( )

( )( )

( )12,1

1

121

1,11

11

1 udx

dNudx

dN+=ε . (2.17)

Tendo em atenção (2.15),


Joaquim Barros 2.7

( )

( )

( )

( )11

12

11

11

1

1

LdxdN

LdxdN

=

−= (2.18)

pelo que (2.17) se pode converter na relação seguinte

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )1

11,1

12,1

12,11

11,111

11

Luu

uL

uL−

=

+−=ε (2.19)

revelando que a extensão é constante no elemento. Na Figura 2.5 representa-se o diagrama de corpo livre da barra representada na Figura 2.3.

(1)1,1x

1,1(1)Q

1

1,1(1)u

L1,2(1)x

q

(1)

u

Q2

1,2(1)

1,2(1)

x ,u1 1 1

Figura 2.5 - Diagrama de corpo livre de um elemento de barra biarticulada de dois nós.

A aplicação do PTV a esta barra conduz à seguinte relação:

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )1

2,112,1

11,1

11,1111111

12

11

12,1

11,1

QuQudxqudxAEx

x

x

xδδδεδε ++= ∫∫ (2.20)

em que ( )1

1,1uδ e ( )12,1uδ são os deslocamentos virtuais dos nós 1 e 2 e ( )1

1,1Q e ( )12,1Q são as forças

aplicadas nos nós 1 (reacção) e 2 (acção). Tendo em atenção (2.13), ( ) ( ) ( ) ( )1

2,11

211,1

111 uNuNu δδδ += (2.21)

e considerando (2.16) e (2.17) obtém-se,

( )( )

( )( )

( )12,1

1

121

1,11

11

11

1 udx

dNudx

dNudxd δδδδε +== . (2.22)


Joaquim Barros 2.8

Substituindo (2.21) e (2.22) em (2.20) obtém-se:

( )( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( ) ( ) ( )1

2,112,1

11,1

11,111

12,1

12

11,1

11

112,1

1

121

1,11

111

2,11

121

1,11

11

12,1

11,1

12,1

11,1

QuQudxquNuN

dxudx

dNudx

dNAEudx

dNudx

dN

x

x

x

x

δδδδ

δδ

+++

=

+

+

∫

∫ (2.23)

que pode ser reordenada da forma seguinte,

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

01

2

11

12,1

11,1

12

11

12,1

11,1

12,111

121

12,1

1

12

1

121

1,11

11

1

121

2,1

11,111

111

12,1

1

12

1

111

1,11

11

1

111

1,1

=−−

+

+−−

+

∫∫

∫∫x

x

x

x

x

x

x

x

QdxqNdxudx

dNAEdx

dNudx

dNAEdx

dNu

QdxqNdxudx

dNAEdx

dNudx

dNAEdx

dNu

δ

δ.(2.24)

Como os deslocamentos virtuais ( )1

1,1uδ e ( )12,1uδ são arbitrários, o cumprimento de (2.24) para

qualquer valor de ( )11,1uδ e ( )1

2,1uδ obriga a que as expressões entre parêntesis rectos em (2.24) devam ser nulas, isto é,

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

∫∫

∫∫

+=

+

+=

+

12,1

11,1

12,1

11,1

12,1

11,1

12,1

11,1

12,111

121

12,1

1

12

1

121

1,11

11

1

12

11,111

111

12,1

1

12

1

111

1,11

11

1

11

x

x

x

x

x

x

x

x

QdxqNdxudx

dNAEdx

dNudx

dNAEdx

dN

QdxqNdxudx

dNAEdx

dNudx

dNAEdx

dN

. (2.25)

Em forma matricial as equações (2.25) assumem a seguinte configuração:

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

+

=

∫∫ 12,1

11,1

1112

11

12,1

11,1

1

12

1

12

1

11

1

12

1

12

1

11

1

11

1

11

12,1

11,1

12,1

11,1 Q

Qdxq

NN

uu

dx

dxdNAE

dxdN

dxdNAE

dxdN

dxdNAE

dxdN

dxdNAE

dxdN

x

x

x

x (2.26)

ou, de forma mais condensada, ( ) ( ) ( ) ( )1111

PQQUk += (2.27a)

ou ainda, ( ) ( ) ( )111 QUk = (2.27b)


Joaquim Barros 2.9

em que ( )K 1 é matriz de rigidez da barra 1 e,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( ) ( )[ ]TP

Tx

x

T QQQdxqNNQuuU 12,1

11,1

111

12

11

112,1

11,1

1 ;;12,1

11,1

=== ∫ (2.28)

são, respectivamente, o vector dos deslocamentos dos pontos nodais da barra, o vector das forças nodais equivalentes a forças distribuídas por unidade de comprimento da barra e o vector das forças aplicadas directamente nos nós da barra. O coeficiente da matriz de rigidez associado aos nós genéticos i e j , ( )kij

1 , obtém-se por intermédio da seguinte relação,

( )( )( )

( )

( )

( )

∫=12,1

11,1

11

1

1

11 x

x

jiij dx

dxdN

AEdx

dNk . (2.29)

Por sua vez, a força no nó i correspondente às forças distribuídas por unidade de comprimento ao longo da barra, 1q , obtém-se da seguinte forma, ( ) ( )

( )

( )

∫=12,1

11,1

1111

,

x

x ii dxqNQ . (2.30)

Se o módulo de elasticidade e a secção da barra forem constantes ao longo da barra, o cálculo dos integrais de (2.26) conduz às relações seguintes,

( )( )

( ) ( )( )

=

−

−

=

11

2;

1111 1

111

1 LqQ

LAEk (2.31)

que são coincidentes com as obtidas na tradicional teoria das estruturas (Barros et al. 1996), dado que em ambas as teorias se admite uma distribuição linear de deslocamentos no elemento. Como a estrutura em análise é constituida por um único elemento, a numeração local dos nós das barras coincide com a numeração global, tal como se representa na Figura 2.6. Assim,

( )1,1

11,1 uu = e ( )

2,112,1 uu = pelo que o vector dos deslocamentos incógnita da estrutura coincide com

os deslocamentos dos nós da barra.


Joaquim Barros 2.10

RQ =1,1(1)

1

1

1,1u

q

(1)

(1)1,2

2

Q 2F=21 1

1,2uNumeração global

Numeração local(1)u1,2u(1)

1,1 Figura 2.6 - Numeração local versus global.

Pela mesma razão a matriz de rigidez da estrutura coincide com a matriz de rigidez do elemento ( ) ( )( )1kK E = e o vector das forças nodais equivalentes às acções que actuam na estrutura coincide com o vector das forças nodais equivalentes às acções que actuam na barra

( ) ( )( )1QQ E = , pelo que (2.27) coincide com a relação seguinte, ( ) ( ) ( )EEE QUK = (2.32a) ou

+

+=

−

−

21

11

2,1

1,1

2

21111

FLq

RLq

uu

LAE (2.32b)

em que ( )Q R

1

11= é a reacção no nó 1 e ( )Q F

2

12= é a força que actua no nó 2.

Dado que o nó 1 não sofre deslocamentos, o sistema (2.32) tem duas incógnitas, o deslocamento do nó 2, 2,1u , e a reacção no nó 1, 1R . Resolvendo (2.32b) obtém-se

( )LqFR

LqFAE

Lu

121

122,1 2

+−=

+=

. (2.33)

Para determinar as extensões e as tensões/esforços numa barra da estrutura é necessário obter os deslocamentos dos nós dessa barra, a partir dos deslocamentos nos nós da estrutura, calculados no passo anterior. No presente exemplo,

( ) ( )

+====

2;0 1

22,112,11,1

11,1

LqFAE

Luuuu (2.34)

que substituídos em (2.19) determina a extensão na barra (note-se que ( )L L= 1 ),


Joaquim Barros 2.11

( ) ( ) AE

LqFLqFAE

LLL

22

1011

21

2111

+=

++−=ε . (2.35)

O esforço axial obtém-se pela aplicação da lei Hooke,

( ) ( )( ) ( )

21

21

111 LqFAEN +== ε . (2.36)

A solução exacta para este problema é a seguinte,

( )

( )( )[ ]1121

112

21

1

12

1

xLqFAE

xLqFxqAE

u

−+=

++−=

ε. (2.37)

Na Figura 2.7 os resultados obtidos com a formulação exacta e com a formulação aproximada do MEF são comparados para o caso de uma barra de secção constante, submetida a forças uniformemente distribuídas ao longo do eixo da barra e discretizadas por um elemento de barra de dois nós. Da análise desta figura constata-se que os deslocamentos nas extremidades da barra (nos nós) são coincidentes nas duas formulações. Contudo, no interior do elemento as duas formulações conduzem a resultados diferentes, dado que, com o MEF e com um único elemento a discretizar a barra obtém-se uma distribuição linear de deslocamentos no interior do elemento enquanto que, com a formulação exacta, o campo de deslocamentos define-se por meio de um polinómio de segundo grau.

E, A

exacta

0.5

EAuL2

MEF(um elemento)

L

q = 1kN/m

L

MEF (um elemento)

x ,u

exacta

1

q LN

1

11 1

1

x1

1

L1x

1 Figura 2.7 - Barra de secção constante submetida a forças uniformemente distribuídas ao longo do eixo da barra.

Solução exacta e aproximada utilizando um elemento de barra de dois nós.


Joaquim Barros 2.12

2.4 - Barra biarticulada de secção constante. Discretização em dois elementos lineares. A barra da Figura 2.3 vais ser discretizada por dois elementos de dois nós, tal como se representa na Figura 2.8. Nesta Figura indica-se ainda a numeração local e global dos nós da estrutura e representa-se as funções de forma dos elementos.

1,31,21,1

Funções de forma

(1)2N(1)

1

11

N1

(1)L = L/2

x

11

1 N1

N2

(1)

(1)

L(1)

1,1

11

(1)

do elemento 2

(2)

2

3

1

1

2

(2)(2)N

122

13

N21

L = L/2(2)

do elemento 1Funções de forma

x1,2

x(2)1,1

2

2

12

1

(1)

12

1,2x

3

N(2)1

2

2N(2)

Coordenadas locais

1

1

x

R

1,1u

(1)1,1u

(1)

q

1

21,2u

(1)1,2u

x

2 2

3

x

(2)

Numeração Global

Numeração Local

Coordenadas globais

F

u1,3

x ,u

Área A

1 1

L

u1,1(2) (2)

1,2u

(2)(1)

12

2

(2)L

Figura 2.8 - Barra de secção constante submetida a forças distribuídas uniformemente ao longo do seu eixo, e

discretizada por dois elementos finitos de dois nós. Os deslocamento no interior de cada elemento obtém-se por intermédio das equações seguintes,


Joaquim Barros 2.13

Elemento 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1

2,111

211,11

111

11 uxNuxNxu += (2.38a)

Elemento 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2

2,112

221,11

211

21 uxNuxNxu += (2.38b)

em que as funções de forma representam-se por funções iguais às determinadas na secção 2.3, pelo que, Elemento 1

( )( )

( ) ( )11,1

12,1

112,11

1 xxxx

N−−

= (2.39a)

( )( )

( ) ( )11,1

12,1

11,111

2 xxxx

N−−

= (2.39b)

Elemento 2

( )( )

( ) ( )21,1

22,1

122,12

1 xxxx

N−−

= (2.39c)

( )( )

( ) ( )21,1

22,1

21,112

2 xxxx

N−−

= . (2.39d)

As derivadas das funções de forma tomarão a configuração seguinte, Elemento 1

( )

( )11

11 1

LdxdN

−= (2.40a)

( )

( )11

12 1

LdxdN

= (2.40b)

Elemento 2

( )

( )21

21 1

LdxdN

−= (2.40c)


Joaquim Barros 2.14

( )

( )21

22 1

LdxdN

= . (2.40d)

Assim, a extensão num ponto qualquer de cada elemento obtém-se por intermédio das relações seguintes Elemento 1

( )( ) ( )

( )( )

( )12,1

1

121

1,11

11

1

111

1 udx

dNudx

dNdx

du+==ε (2.41a)

Elemento 2

( )( ) ( )

( )( )

( )22,1

1

222

1,11

21

1

212

1 udx

dNudx

dNdx

du+==ε . (2.41b)

Desenvolvendo procedimentos similares aos efectuados na secção 2.3 obtém-se, para cada barra, as seguintes equações de equilíbrio: ( ) ( ) ( ) ( )1111

PQQUk += (barra 1) (2.42a)

( ) ( ) ( ) ( )2222

PQQUk += (barra 2) (2.42b)

em que

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1

1

12

1

12

1

11

1

12

1

12

1

11

1

11

1

11

112,1

11,1

dx

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

AEkx

x∫

= (2.43a)

( ) ( ) ( )[ ]TuuU 1

2,111,1

1 = (2.43b) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )

( )

∫=12,1

11,1

11

11

21

11 x

x

T dxqNNQ (2.43c)

( ) ( ) ( )[ ]T

PQQQ 1

2,111,1

1 = (2.43d)


Joaquim Barros 2.15

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1

1

22

1

22

1

21

1

22

1

22

1

21

1

21

1

21

222,1

21,1

dx

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

AEkx

x∫

= (2.43e)

( ) ( ) ( )[ ]TuuU 2

2,121,1

2 = (2.43f) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )

( )

∫=22,1

21,1

12

12

22

12 x

x

T dxqNNQ (2.43g)

( ) ( ) ( )[ ]T

PQQQ 2

2,121,1

2 = (2.43h) são, respectivamente, as matrizes de rigidez, os vectores dos deslocamentos dos nós, os vectores das forças nodais equivalentes às forças distribuídas e os vectores das forças aplicadas nos nós dos elementos 1 e 2. As forças distribuídas nos elementos 1 e 2 designaram-se por ( )1

1q e ( )21q , respectivamente.

Considere-se que as barras têm secção constante de área A e módulo de elasticidade E e estão submetidas a carga uniformemente distribuída, q . Resolvendo os integrais que surgem em (2.43) e substituindo o resultado em (2.42) obtém-se, Elemento 1

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+

=

−

−

12,1

11,1

11

12,1

11,1

1

11

21111

QQLq

uu

LAE (2.44a)

Elemento 2

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+

=

−

−

22,1

21,1

21

22,1

21,1

2

11

21111

QQLq

uu

LAE . (2.44b)

Na tabela 2.1 apresenta-se a correspondência entre as variáveis locais e as variáveis globais.

Quadro 2.1 - Variáveis locais e globais do exemplo da Figura 2.8. Elementos Nós Coordenadas Deslocamento

local global local global local global 1 1 1 ( )1

1,1x 1,1x ( )11,1u

1,1u 2 2 ( )1

2,1x 2,1x ( )12,1u

2,1u 1 2 ( )2

1,1x 2,1x ( )21,1u

2,1u 2 2 3 ( )2

2,1x 3,1x ( )22,1u 3,1u


Joaquim Barros 2.16

Efectuando nas expressões (2.44) a correspondência estabelecida no Quadro 2.1 e tendo em conta as seguintes equações de equilíbrio nos pontos nodais de estrutura,

Nó 1: ( ) RQ =11

Nó 2: ( ) ( ) 021

12 =+ QQ (2.45)

Nó 3: ( ) FQ =22

obtém-se,

Nó 1: ( )

[ ]( )

RLquu

LAE

=

−

−

11

2,1

1,11

211 (2.46a)

Nó 2: ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( )

02

112

112

1

3,1

2,121

1

2,1

1,11

=

−

−

+

−

−

Lq

uu

LAELq

uu

LAE

(2.46b)

Nó 3: ( )

[ ]( )

FLquu

LAE

=

−

−

21

3,1

2,12

211 (2.46c)

Organizando (2.46) em forma matricial obtém-se:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+

+

+

=

−

−

+

−

−

FLq

LqLq

RLq

uuu

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

21

21

11

11

3,1

2,1

1,1

22

2211

11

2

22

2

0

0

(2.47)

que constitui o sistema de equações de equilíbrio da estrutura, que em notação mais condensada se define por: ( ) ( ) ( )EEE QUK = . (2.48) O sistema de equações (2.47) poderia ter sido obtido pela técnica de espalhamento. Assim, após se ter calculado a matriz de rigidez e o vector das forças nodais equivalentes de cada uma das barras que constituem a estrutura, proceder-se-ia ao seu espalhamento na matriz de rigidez e no vector das forças nodais equivalentes da estrutura. Este procedimento está esquematicamente representado na Figura 2.9. Assim, como a barra 1 tem como pontos nodais os nós 1 e 2, a sua matriz de rigidez é espalhada nas células definidas por estes nós. Por sua vez, a barra 2 é caracterizada pelos nós 2 e 3, pelo que a sua matriz de rigidez fica espalhada nas células definidas por estes nós.


Joaquim Barros 2.17

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )E

E

E Q

U

K

Lq

LqLq

Lq

uuu

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

LAE

+

=

−

−

+

−

−

21

21

11

11

3,1

2,1

1,1

22

2211

11

2

22

2

0

0

nó 2 nó 3

nó 3

nó 2

nó 1

nó 1

Figura 2.9 - Espalhamento das matrizes de rigidez e dos vectores solicitação das barras da estrutura da figura 2.8,

na matriz de rigidez e no vector solicitação da estrutura. Dado que ( ) ( )

12

11

1 qqq == , ( ) ( ) 2/21 LLL == e 01,1 =u a resolução de (2.47) conduz aos seguintes resultados,

( )

( )LqFR

LqFAE

LuLqFAE

Luu

1

13,11

2,11,1 22

;4

32

;0

+−=

+=

+==

. (2.49)

Conhecidos os deslocamentos e tendo em conta a correspondência entre os deslocamentos locais e globais definida no Quadro 2.1, pode-se obter as extensões e tensões/esforços nas barras da forma seguinte (ver equações (2.40) e (2.41), Elemento 1

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) AE

LqFu

Lu

Lu

dxdNu

dxdN 4

311

1

2,111,1112,1

1

121

1,11

111

1

+=+−=+=ε (2.50a)

( ) ( )( ) ( )

43 1

11

11

LqF

AEN

+=

= ε (2.50b)

Elemento 2


Joaquim Barros 2.18

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) AE

LqFu

Lu

Lu

dxdNu

dxdN 411

1

3,122,1222,1

1

222

1,11

212

1

+=+−=+=ε (2.50c)

( ) ( )( ) ( )

41

21

22

LqF

AEN

+=

= ε. (2.50d)

Na figura 2.10 os resultados obtidos com a formulação exacta e com a formulação aproximada do MEF são comparados para o caso em que a barra é discretizada por dois elementos de barra biarticulada de dois nós. Tal como no caso da barra discretizada por um elemento de barra de dois nós (ver Figura 2.7), constata-se que as duas formulações (exacta e aproximada) conduzem aos mesmos resultados nos pontos nodais. Entre os nós os resultados obtidos com o MEF não coincidem com os obtidos com a formulação exacta. Contudo, os resultados são agora mais próximos dos exactos do que os obtidos com a discretização com um único elemento. Os esforços também se aproximam mais dos exactos, mas os erros são ainda significativos, maiores que os obtidos nos deslocamentos. Pode-se afirmar que os erros nas extensões e tensões/esforços são maiores que os erros nos deslocamentos dado que as extensões e tensões/esforços obtêm-se por derivação do campo de deslocamentos, que é uma função aproximada do campo de deslocamentos reais. Pode-se concluir ainda que o refinamento da malha, isto é, uma discretização da estrutura por intermédio de um maior número de elementos proporciona resultados mais próximos dos exactos.

111 x ,u

L

q = 1kN/m

E, A

0.5

0.35

MEF (1 elemento)MEF (2 elementos)

Solução exacta

1

1

EAuL2

1q LN

1

L1xx1

L1 0.5 Figura 2.10 - Barra de secção constante submetida a forças uniformemente distribuídas ao longo do eixo da

barra. Solução exacta e aproximada utilizando dois elementos finitos de dois nós.


Joaquim Barros 2.19

2.5 - Generalização da solução com vários elementos de dois nós. Considere-se agora que a barra da Figura 2.3 é discretizada em n elementos finitos de dois nós. Neste caso, o estabelecimento do sistema de equações de equilíbrio da estrutura passa pelo cálculo da matriz de rigidez de cada elemento de barra,

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

2,1

1,1

dx

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

AEke

e

x

x eeee

eeee

ee ∫

= , (2.51)

pelo cálculo do vector solicitação das forças nodais equivalentes à acção actuante em cada elemento finito,

( )( )

( )( )

( )

( )

∫

=

e

e

x

x

ee

ee dxq

NN

Q 2,1

1,111

2

1 , (2.52)

pelo espalhamento de ( )k e na matriz de rigidez da estrutura, ( )EK , e pelo espalhamento de

( )Q e no vector solicitação da estrutura, ( )Q E . A este último haverá que adicionar as forças (de acção e reacção) directamente aplicadas nos pontos nodais da estrutura. Para um determinado elemento, as funções de forma e correspondentes derivadas obtêm-se a partir das equações seguintes

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )ee

eee

ee

eee

xxxx

Nxxxx

N1,12,1

1,112

1,12,1

12,11 ;

−−

=−−

= (2.53a)

( )

( )

( )

( )e

e

e

e

LdxdN

LdxdN 1;1

1

2

1

1 =−= . (2.53b)

Se EA for constante ao longo da barra, (2.51) e (2.52) podem ser calculados utilizando-se as relações (2.53) obtendo-se,

( )( )

( )( )

=

−

−

=

11

2;

1111 1

ee

ee LqQ

LAEk (2.54)

ou

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )

=

= e

ee

ee

eee

QQ

Qkkkk

k2,1

1,1

2221

1211 ; (2.55)


Joaquim Barros 2.20

em que ( )kije é a força aplicada no nó i que impede este nó de se deslocar quando ao nó j é

aplicado um deslocamento unitário, ( ) 1,1 =eju .

Efectuando o espalhamento da matriz de rigidez de cada barra na matriz de rigidez da estrutura e o espalhamento do vector solicitação de cada barra no vector solicitação da estrutura obtém-se,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )EEE Q

nn

nnn

U

n

n

K

nn

nnn

FLqFLqLq

FLqLqFLqLq

FLq

uu

uuu

kkkkk

kkkk

kkkkkk

+++

++++

+

=

+

++

−−

−−

2/2/2/

...

...2/2/2/2/

2/

...

...

...00

...00.....................000...00...0...0

1

111

1

33

12

1

22

11

1

11

1

,1

1,1

3,1

2,1

1,1

2221

12111

22

312

311

222

221

212

211

122

121

112

111

. (2.56)

Note-se que no vector solicitação se incluiu as forças aplicadas directamente nos n pontos nodais da estrutura. Nas posições do vector ( )Q E correspondentes aos nós da estrutura ligados ao exterior haverá ainda que adicionar as reacções.

2.6 - Exemplos de aplicação 1 º Exercício Analisar a barra de secção circular variável representada na Figura 2.11 discretizada com: a) um elemento; b) dois elementos; c) três elementos; de barra biarticulada de dois nós, de secção constante a determinar. d) Sabendo que segundo a solução exacta o deslocamento na extremidade livre da barra é

1.71828FL/( EA0 ), calcule o erro que se obtém com o método dos elementos finitos quando se discretiza a barra com um, dois ou três elementos de barra.


Joaquim Barros 2.21

L

0AA=A .exp(-x/L)0

x , uF

Área A1 1

Figura 2.11 - Barra de secção circular variável ao longo do seu comprimento, submetida a uma carga aplicada na

sua extremidade livre.

Resolução

a) Estrutura discretizada com um elemento de barra de dois nós O elemento de barra tem secção constante igual à secção a meio vão da barra real (ver Figura 2.12). Assim, ( ) 2/1

01 −= eAA (2.57)

Recorrendo a (2.51) e (2.52), a matriz de rigidez e o vector solicitação do elemento (iguais aos da estrutura) apresentam a seguinte configuração:

( )

−

−=

−

−=

−

1111

60653.01111 0

2/101

LAE

LeAEk (2.58a)

( )

=

FR

Q 1 (2.58b)

em que R é a reacção no nó de ligação da barra ao exterior (nó nº 1). Assim, o sistema de equações de equilíbrio é o seguinte:

=

−

−FR

uu

LAE

2,1

1,10

1111

60653.0 (2.59)

em que u1 0= . Resolvendo (2.59) obtém-se os seguintes resultados

FREA

LFu −== ;64872.10

2,1 . (2.60)


Joaquim Barros 2.22

A=A .exp(-1/2)

L/2

R

u1

L/2

(1) 2

u1,2

F

0

x , u1 11,1

Figura 2.12 - Um elemento de barra de dois nós.

A solução exacta é a seguinte:

LxeAF

AF /

01

1==σ (2.61a)

LxeAE

FE

/

0

11

1==σε (2.62)

00

10

/

00 1111 71828.1)1()( 1

AELFe

AELFdxe

AEFdxLxu

L LxL=−==== ∫∫ ε . (2.63)

Note-se que

)1(11

10

0 1/ 11 −=

=∫ eLdxe

Ldxe

LLxL Lx . (2.64)

Comparando (2.60) com (2.63) constata-se a ocorrência de um erro de 4.0% que não é significativo face a ter sido somente utilizado um elemento finito na discretização da estrutura.

b) Estrutura discretizada com dois elementos de barra de dois nós O elemento 1 tem secção igual à da barra real à distância 4/1 Lx = , pelo que (ver Figura 2.13), ( ) 4/1

01 −= eAA . (2.65)

O elemento 2 tem secção constante igual à da barra real à distância Lx 4/31 = , pelo que (ver Figura 2.13),


Joaquim Barros 2.23

( ) 4/30

2 −= eAA . (2.66)

L/4

A =A .exp(-3/4)0(2)A =A .exp(-1/4)

(1)0

1 32 (2)(1)

L/4 L/4 L/4

F

1,3u 1x , u11,1

R

u1,2u

Figura 2.13 - Dois elementos de barra de dois nós.

As equações de equilíbrio de cada elemento são: Elemento 1:

=

−

−011

115576.1

2,1

1,10 Ruu

LAE (2.67a)

Elemento 2:

=

−

−Fu

uLAE 0

1111

9447.03,1

2,10 . (2.67b)

Assemblando estas equações no sistema de equações de equilíbrio da estrutura obtém-se,

=

−−+−

−

F

R

uuu

LAE 0

9447.09447.009447.09447.05576.15576.1

05576.15576.1

3,1

2,1

1,10 . (2.68)

Como 01,1 =u , a resolução de (2.68) conduz aos resultados seguintes,

FRuuAELFu −=== ;377541.0;7005.1 3,12,1

03,1 (2.69)

pelo que o erro é de 1,0%.

c) Estrutura discretizada com três elementos de barra de dois nós Os elementos 1, 2 e 3 têm secção constante igual à da barra real à distância, Lx 6/11 = ,

2/1 Lx = e Lx 6/51 = , respectivamente, pelo que (ver Figura 2.14),


Joaquim Barros 2.24

( ) ( ) ( ) 6/50

32/10

26/10

1 ;; −−− === eAAeAAeAA . (2.70)

A =A .exp(-1/6)

L/6

0(1)

A =A .exp(-5/6)

A =A .exp(-1/2)(2)

0

0(3)

u1,1

R(1)1

1,4u 1x , u1

F4(2)2 (3)3

1,2u u1,3

L/6 L/6 L/6 L/6 L/6

Figura 2.14 - Três elementos de barra de dois nós. As equações de equilíbrio de cada elemento são, Elemento 1

=

−

−011

115394.2

2,1

1,10 Ruu

LAE (2.71a)

Elemento 2

=

−

−00

1111

8196.13,1

2,10

uu

LAE (2.71b)

Elemento 3

=

−

−Fu

uLAE 0

1111

3028.14,1

3,10 . (2.71c)

Assemblando estas equações no sistema de equações de equilíbrio da estrutura resulta,

=

−−+−

−+−−

F

R

uuuu

LAE

00

3028.13028.1003028.13028.18196.18196.1008196.18196.15394.25394.2005394.25394.2

4,1

3,1

2,1

1,1

0 . (2.72)

Como 01,1 =u , a resolução de (2.72) conduz aos seguintes resultados:


Joaquim Barros 2.25

FRuuuuAELFu −==== ;230241.0;551561.0;71036.1 4,12,14,13,1

04,1 (2.73)

pelo que o erro é de 0.5%. Na Figura 2.15 representa-se a evolução do erro do deslocamento da extremidade livre da barra com o número de elementos que a discretizam.

2

erro do deslocamento da extremidade (%)

1

1

4

3

2

Número deelementos

3

0.5

Figura 2.15 - Evolução do erro do deslocamento da extremidade livre da barra da Figura 2.11 com o número de

elementos que a discretizam 2 º Exercício A barra representada na Figura 2.16 é constituída por um perfil HEB 200 de aço FE360 e está submetida ao seu peso próprio e a uma carga aplicada na sua extremidade livre. O peso específico do material da barra (γ) é de 75 kN/m3 e a área da secção transversal da barra é de 78.08×10-4 m2. a) Discretize a barra em três elementos de barra biarticulada de dois nós com o mesmo

comprimento; b) Calcule a matriz de rigidez da estrutura; c) Calcule o vector solicitação da estrutura; d) Calcule os deslocamentos, reacções, extensões e esforços; e) Qual o erro máximo nos deslocamentos e nos esforços quando se utiliza a formulação pelo

método dos elementos finitos, sabendo que pela formulação exacta a solução é:


Joaquim Barros 2.26

++−= 11

211

1 )(2

1 xLpFxpAE

u (2.74)

)( 11 xLpFN −+= (2.75) em que p1 é o peso próprio da barra.

F = 100 kN

1x , u1

HEB200

p1

L =

3m

Figura 2.16 – Estrutura em perfil HEB200 de aço Fe360 submetida ao seu peso próprio e a uma força

aplicada na sua extremidade livre. Resolução: a) Discretização da estrutura em 3 elementos de 2 nós Na Figura 2.17 apresenta-se a estrutura discretizada em em três elementos de barra biarticulada de dois nós, com o mesmo comprimento.


Joaquim Barros 2.27

L/3

1x , u1

1,4u

1,3u

1,2u

1,1u1

2

3

4

(1)

(2)

(3)

R

L/3

L/3

Figura 2.17 – Discretização em três elementos de barra biarticulada de 2 nós.

b) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura

A (HEB200) = 78.08×10-4 m2 ; E = 200×106 kPa ; ( ) ( ) ( ) 13321 ==== LLLL m

−

−=

−

−===

1111

15616001111

)1()3()2()1(

LAEkkk . (2.76)

Efectuando o espalhamento das matrizes de rigidez de cada elemento na matriz de rigidez da estrutura obtém-se,

−−−

−−−

=

−−−

−−−

=

15616001561600001561600312320015616000

01561600312320015616000015616001561600

11001210

01210011

)()(

eE

LAEK (2.77)

c) Cálculo do vector solicitação da estrutura =γ 75 kN/m3 ; A = 78.08×10-4 m2 p1 = γ × A = 0.5856 kN/m


Joaquim Barros 2.28

+

=

2

2)1(

1

)1(1

)1(

Lp

RLp

Q ;

=

2

2)2(

1

)2(1

)2(

Lp

Lp

Q ;

+=

FLp

Lp

Q

2

2)3(

1

)3(1

)3( . (2.78)

Efectuando o espalhamento dos vectores solicitação de cada elemento no vector solicitação da estrutura obtém-se,

+++

+

=

+

+

+

+

=

F

R

FLp

LpLp

LpLp

RLp

Q E

2928.02928.02928.02928.02928.0

2928.0

2

22

22

2

)3(1

)3(1

)2(1

)2(1

)1(1

)1(1

)( . (2.79)

d) Cálculo dos deslocamentos, reacções, extensões e esforços Deslocamentos e reacções Os deslocamentos e as reações obtêm-se por intermédio da resolução do sistema de equações de equilíbrio da estrutura, )()()( EEE QUK = (2.80) ou

+

+

=

−−−

−−−

F

R

uuu

2928.05856.05856.0

2928.00

15616001561600001561600312320015616000

01561600312320015616000015616001561600

4,1

3,1

2,1 . (2.81)

Reorganizado este sistema da forma seguinte

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

+=

EE

f

E

Ef

E

Eff

Ef

Ef

E

RQQ

UU

KKKK

(2.82)

em que ( )EK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade livres, ( )E

ffK

inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade fixos, ( ) ( )TEf

Ef KK = inclui

os termos de rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade livres e fixos, ( )EU e


Joaquim Barros 2.29

( )EfU são os vectores que incluem os graus de liberdade livres, a determinar, e dos graus de

liberdade fixos (de valor nulo ou imposto, como sejam os assentamentos de apoio), conhecidos, respectivamente, ( )EQ e ( )E

fQ são os vectores que englobam as forças nodais

equivalentes em correspondência com os graus de liberdade livres e fixos, respectivamente, e ( )ER é o vector que inclui as reacções nos apoios da estrutura.

Os deslocamentos livres obtém-se da primeira linha de (2.82): )()()()()( E

fE

fEEE UKQUK −= . (2.83)

Como os graus de liberdade livres são os correspondentes aos nós nº 2, 3 e 4, (2.83) resulta em

+=

−−−

−

1002928.05856.05856.0

156160015616000156160031232001561600

015616003123200

4,1

3,1

2,1

uuu

(2.84)

pelo que

×=×=×=

−

−

−

mumumu

44,1

43,1

52,1

109379816.1102957377.1104974385.6

. (2.85)

Da primeira equação de (2.81) obtém-se a reacção R = -101.757 kN. Extensões Elemento 1:

( )

2,11

)1(2

1,11

)1(1

1

11)1(

1 udx

dNudx

dNdx

du+==ε (2.86)

Elemento 2:

( )

3,11

)2(2

2,11

)2(1

1

21)2(

1 udx

dNudx

dNdx

du+==ε (2.87)

Elemento 3:

4,11

)3(2

3,11

)3(1

1

31)3(

1 udx

dNudx

dNdxdu

+==ε (2.88)

em que


Joaquim Barros 2.30

)(1

)3(2

1

)2(2

1

)1(2

)(1

)3(1

1

)2(1

1

)1(1

1

1

e

e

LdxdN

dxdN

dxdN

LdxdN

dxdN

dxdN

===

−===

. (2.89)

Assim,

( )

( ) ( )

( ) ( )

×=×+×−=

×=×+×−=

×=×+=

−−−

−−−

−−

543

42

)3(1

542

51

)2(1

551

)1(1

10422439.6109379816.11102957377.11

104599385.6102957377.11104974385.61

104974385.6104974385.610

LL

LL

L

ε

ε

ε

(2.90)

Tensões 11 εσ E= (2.91) pelo que

=×××==×××==×××=

−

−

−

kPakPakPa

1284510422439.61020012920104599385.61020012995104974385.610200

56)3(1

56)2(1

56)1(1

σσσ

(2.92)

Esforços AN 11 σσ == (2.93) pelo que

===

kNkNkN

3.1009.1005.101

)3(1

)2(1

)1(1

σσσ

(2.94)

e) Erro máximo


Joaquim Barros 2.31

mu 42

464,1 109379816.13)35856.0100(2

35856.01008.7810200

1 −− ×=

××++

×−

×××= (2.95)

pelo que o erro é de aproximadamente 0%. 3 º Exercício A barra representada na Figura 2.18 tem secção circular variável definida pela expressão apresentada na Figura, em que Ao é a área da secção da extremidade livre da barra ( 1x = L) com diâmetro igual a 0.2 m. Esta barra está submetida, para além da acção do seu peso próprio, a uma força concentrada de 50 kN na sua extremidade livre. a) Discretize a barra em dois elementos de dois nós; b) Calcule a matriz de rigidez da estrutura; c) Calcule o vector solicitação da estrutura; d) Calcule os deslocamentos e a reacção. Dados: E = 30 GPa, γ = 25 kN/m3.

A

A(x ) = 3A -4A .x /L+2A .(x /L)0

50 kN

L =

2m

1x , u1

0

3A0

1 0 1 0 12

Figura 2.18 - Barra de secção circular variável submetida ao seu peso próprio e a uma força na extremidade livre. Resolução: a) Discretização da barra em dois elementos de dois nós (ver Figura 2.19)


Joaquim Barros 2.32

x , u

L/4 1 1

1

2

3

(1)

(2)

1,3u

1,2u

1,1u

L/4

L/4

L/4

Figura 2.19 - Barra de secção circular variável submetida ao seu peso próprio e a uma força na extremidade.

A0 = 031416.04

2.0 2

=π m2

b) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura: Elemento 1

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

11

2

0

2121

2121

1)1( )(11

11

dxxAE

LL

LLxAEkL

∫

−

−=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1

2

0

212

0100

2121

2121)1( 24311

11

dxxLA

LxAAE

LL

LLkL

∫

+−

−

−=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

−+−

−

−= 0

382

244

2311

11

2

30

20

0

2121

2121)1(

L

LA

L

LALAE

LL

LLk


Joaquim Barros 2.33

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

+−

−

−=

6311

11

000

2121

2121)1( AAAE

LL

LLk

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

E

LL

LLK

−

−=

2121

2121)1(

11

11

0680678.0

EK

−

−=

1111

0680678.0)1(

Elemento 2

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

∫∫

−

−==

L

L

L

L

T dxxAE

LL

LLdxBxAEBk2 11

2222

2222

2 11)2( )(11

11

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

12

212

0100

2222

2222)2( 24311

11

dxxLA

LxAAE

LL

LLKL

L∫

+−

−

−=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

−+−+−

−

−= 2

30

20

02

30

20

0

2222

2222)2(

382

244

23

32

24311

11

L

LA

LLALA

LLA

LLALAE

LL

LLk

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

−

−= 0

2222

2222)2(

67

11

11

AE

LL

LLk

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

E

LL

LLk

−

−=

2222

2222)2(

11

11

036652.0


Joaquim Barros 2.34

Ek

−

−=

1111

036652.0)2(

Efectuando o espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura obtém-se,

−−−

−=

036652.0036652.00036652.01047198.00680678.0

00680678.00680678.0)( EK E

c) Cálculo do vector solicitação da estrutura Elemento 1:

∫=2

0 11)1( L T dxqNQ

Funções de forma de um elemento de barra de dois nós :

12

1N = (L-x )/L1

1

1

2

1 1N = x /L2

( )( ) 11

2

0 )1(

)1()1( )(

1

1

dxxAQL

LxL

xL

γ∫

=

−

( )( ) 12

210102

0 )1(

)1()1( 243

1

1

dxL

xAL

xAAoQL

LxL

xL

+−

= ∫

−

γ

( )

=

0301069.00379609.01 γQ

Elemento 2:

( ) ∫=L

L

T dxqNQ2 11

2


Joaquim Barros 2.35

( )

( )

( ) 112

22

212 )( dxxA

NN

QL

L

γ∫

=

( ) ( )( ) 12

21010

2)2(

22

)2(

22 4431

1

dxL

xAL

xAAoQL

L LLx

LxL

+−

= ∫ −

−

γ

( )

=

017018.0019635.02 γQ

Assim,

( )

=

=

42545.02435.19490.0

017018.00497419.00379609.0

γEQ e ( )

=

500R

Q E

P

d) Cálculo dos deslocamentos e da reacção

( ) ( )E

P

EEE QQUK +=)()(

+

=

−−−

−

500

42545.02435.19490.00

109956010995600109956031415942042034

020420342042034

3,1

2,1

R

uu

Resolvendo este sistema de equações de equilíbrio obtém-se:

×=×=

−=

−

−

mumu

kNR

53,1

52,1

10116235.710530269.2

618.52.

2.7 Resumo das etapas de análise de uma estrutura segundo o método dos elementos finitos Os passos fundamentais que devem ser adoptados na análise de uma estrutura segundo o método dos elementos finitos são os seguintes:

1- Discretizar a estrutura numa malha de elementos finitos ;


Joaquim Barros 2.36

integração

2- Calcular a matriz de rigidez e o vector das forças nodais equivalentes para cada elemento finito. Estas entidades são obtidas por intermédio das expressões seguintes,

( )

1)(dxBDBk

eL

Te ∫= (2.96a)

( )

1)(dxqNQ

eL

Te ∫= (2.96b)

em que,

1

)()(

dxBDBkeL j

Ti

eij ∫= (2.96c)

( )

1)(dxqNQ

eL

Ti

e

i ∫= (2.96d)

AED = (para o caso das barras biarticuladas). (2.69e)

( ) ( )

=

1

12

1

11

dxxdN

dxxdNB (matriz de deformação). (2.69f)

3- Assemblar as matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura,

( ) )(eE kEeK → (2.97) em que Ee → significa assemblar entidades associadas aos elementos na entidade associada à estrutura.

Assemblar os vectores das forças nodais equivalentes ás acções que actuam no elemento, no vector das forças nodais equivalentes da estrutura,

( ) )(eE QEeQ → . (2.98)

4- Adicionar a )(EQ as forças de acção e reacção que actuam directamente nos pontos nodais;

5- Introduzir as condições de ligação da estrutura ao exterior;

6- Resolução do sistema de equações de equilibrio:

)()()( EEE QUK =⋅ (2.99)

7- Determinação da tensões/esforços para cada elemento da estrutura,


Joaquim Barros 2.37

esforços

)()()()()( eeeeE uU σσε →→→→ (2.100) Lei de Hooke

2 - elementos finitos de barra articulada....

Documents