ARMADURAS PLANAS

ARMADURAS PLANASUNI-FIM

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICAAlumno:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Tabla de contenido

ENUNCIADO DEL PROBLEMA: 2SOLUCION DEL PROBLEMA3*ESQUEMA MODELO Y GRADOS DE LIBERTAD ........................................3* UBICACIONES NODALES Y TABLA DE CONECTIVIDAD3 * MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS (Local) 4

* MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS(Global)6*ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDOCIONES DE CONTORNO 7 *ESFUERZOS8PROGRAMACIN EN MATLAB9ANSYS14CONCLUSIONES14

I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Considere la armadura de cuatro barras mostrada en la siguiente figura. Para todos los elementos E= 29.5 x 106 psi y Ae = 1 in.2a) Determine la matriz de rigidez elemental para cada elementob) Ensamble la matriz de rigidez estructural K para toda la armadura.c) Encuentre los desplazamientos nodales.d) Recupere los esfuerzos para cada elemento.e) Calcule las fuerzas de reaccin.

II. SOLUCION1) ESQUEMA MODELO Y GRADOS DE LIBERTAD1

2

4

3

2) UBICACIONES NODALES Y TABLA DE CONECTIVIDAD

Como observamos en la ilustracin 2, hacemos uso de las coordenadas X-Y en la posicin mostrada, para as poder tener las posiciones de los 5 nodos de la armadura plana y as poder cuantificar dichos nodos. Para esto procedemos hacer el siguiente cuadro: Ubicaciones nodales

NodoXY

(1)00

(2)400

(3)4030

(4)030

Tabla de conectividad

elementoNODOS(1) (2)GDL1 2 3 4Le (in)Ae (in.2)lm

11 21 2 3 4 40110

22 35 6 3 43010-1

33 41 2 5 65010.80.6

44 27 8 5 640110

E = 29.5x106psi

3) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS (Local)

Respecto a (traccin simple)

Respecto a (X, Y): donde

Resulta:

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

Elemento 4:

4) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS (Global)

5) ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

Ecuacin de rigidez:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los siguientes desplazamientos:

Y las reacciones:

6) ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Obteniendo:

III. PROGRAMACION EN MATLAB

clear allclcfprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE CALCULAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y\n')fprintf('LOS DESPLAZAMIENTOS DE UNA ARMADURA SIMPLE\n\n') %Ingreso de Datos:E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (PSI): ');A=input('Ingrese rea de los elemntos (in.^2): ');PA=input('Ingrese magnitud de fuerza en el nodo 2 (lb): ');PB=input('Ingrese magnitud de fuerza en el nodo 4 (lb): '); %Ingreso de Coordenadas: (referencia nodo 1)fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos:\n')for i=1:4 fprintf('\nCoordenada nodo %d\n',i) x(i)=input('x: ');y(i)=input('y: ');end %Calculo de las dimensiones de los elementos:%Calculo de las Longitudes:le(1)=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%Elemento 1le(2)=sqrt((x(2)-x(3))^2+(y(2)-y(3))^2);%Elemento 2le(3)=sqrt((x(3)-x(1))^2+(y(3)-y(1))^2);%Elemento 3le(4)=sqrt((x(4)-x(3))^2+(y(4)-y(3))^2);%Elemento 4 %Calculo de Cosenos directores:l(1)=(x(2)-x(1))/le(1);m(1)=(y(2)-y(1))/le(1);%Elemento 1l(2)=(x(2)-x(3))/le(2);m(2)=(y(2)-y(3))/le(2);%Elemento 2l(3)=(x(3)-x(1))/le(3);m(3)=(y(3)-y(1))/le(3);%Elemento 3l(4)=(x(3)-x(4))/le(4);m(4)=(y(3)-y(4))/le(4);%Elemento 4 fprintf('\n/------------/ \n')fprintf(' RESULTADOS \n')fprintf('/------------/ \n')fprintf('\nTabla de Datos: \n')fprintf('-----------------\n')fprintf('\nElemento Long. Elemento l m \n')for i=1:4 fprintf('%2d %18.2f %16.2f %16.2f\n',i,le(i),l(i),m(i))end %Calculo de las matrices de rigidez de cada elemento:acu=[];for i=1:4 H(i)=(E*A)/le(i); Pi=H(i)*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)]'*[1 -1; -1 1]*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)];acu=[acu Pi];endk=acu;k1=k(1:4,1:4);k2=k(1:4,5:8);k3=k(1:4,9:12);k4=k(1:4,13:16); fprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n')fprintf('------------------------------------------\n') for i=1:4 fprintf('Elemento %d:\n',i)%Kp=k(1:4,4*i-3:4*i);%disp(Kp)disp(k(1:4,4*i-3:4*i))end %Conectividad de la Matriz de Rigidez EstructuralK1=[k(1:2,1:2)+k(1:2,9:10);k(3:4,1:2);k(3:4,9:10);zeros(2)];K2=[k(1:2,3:4);k(3:4,3:4)+k(3:4,7:8);k(1:2,7:8);zeros(2)];K3=[k(1:2,11:12);k(3:4,5:6);k(1:2,5:6)+k(3:4,11:12)+k(3:4,15:16);k(1:2,15:16)];K4=[zeros(2);zeros(2);k(3:4,13:14);k(1:2,13:14)];K=[K1 K2 K3 K4];fprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] : \n')fprintf('---------------------------------------\n')disp(K) %Vector Grados de libertad en la estructura:%Q=[Q3 Q5 Q6]';%Vector Fuerzas en la estructuraF=[PA 0 -PB]';%K modificado 1:Km1=[K(3,3) K(3,5) K(3,6);K(5,3) K(5,5) K(5,6);K(6,3) K(6,5) K(6,6)];%DesplazamientosQr=(inv(Km1))*F;Q3=Qr(1,1);Q5=Qr(2,1);Q6=Qr(3,1);fprintf('\nGrados de libertad(in.): \n')fprintf('------------------------\n')fprintf(' Q3: %18.4f\n',Q3)fprintf(' Q5: %18.4f\n',Q5)fprintf(' Q6: %18.4f\n',Q6)%Vector Grados de libertad en la estructura:Q=[0 0 Q3 0 Q5 Q6 0 0]';%K modificado 2:Km2=[K(1:2,1:8); K(4,1:8); K(7:8,1:8)];Rr=Km2*Q;R1=Rr(1,1);R2=Rr(2,1);R4=Rr(3,1);R7=Rr(4,1);R8=Rr(5,1);fprintf('\nReacciones(lb): \n')fprintf('----------------\n')fprintf(' R1: %18.4f\n',R1)fprintf(' R2: %18.4f\n',R2)fprintf(' R4: %18.4f\n',R4)fprintf(' R7: %18.4f\n',R7)fprintf(' R8: %18.4f\n',R8) %Distribucion de Esfuerzos:Js=[];for i=1:4J=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]; Js=[Js;J];end s(1)=Js(1,:)*Q(1:4);s(2)=Js(2,:)*[Q(5:6);Q(3:4)];s(3)=Js(3,:)*[Q(1:2);Q(5:6)];s(4)=Js(4,:)*[Q(7:8);Q(5:6)];fprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n')fprintf('----------------------------------\n')fprintf('\nElemento Esfuerzo (N/mm^2,MPa)\n')for i=1:4 fprintf('%4d %18.4f \n',i,s(i))end

IV. Ansys

v. CONCLUSIONES

Para la solucin de los problemas, el sistema de referencia no es nico, es decir, se puede escoger cualquier sistema, como el que se uso en este caso, teniendo cuidado a la hora de interpretar los resultados al sistema real.

Para la elaboracin de la matriz de rigidez global, es importante los grados de libertad de los nodos en cada elemento, pues algn error en el momento de hallarlos, generara una matriz de rigidez que no corresponde a la armadura.

Las reacciones halladas con el metodo de elementos finitos concuerdan con las encontradas usando la estatica.

Se encuentra que la reaccion son igual a cero.

El programa elaborado sirve para ejecutar la solucin del problema utilizando cualquier valor de posicin, rea y fuerzas.

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOSPgina 15