4 - elementos finitos. planteamiento

5/11/2018 4 - Elementos finitos. Planteamiento - slidepdf.com

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4. Planteamiento mediante el método de los elementos finitos

29

4. Planteamiento mediante el método de los elementosfinitos

4 .1 . I N T R O D U C C I Ó N

Las ecuaciones que definen el problema elástico no tienen solución analítica para los problemas

reales. Si las ecuaciones diferenciales son difíciles de resolver, podemos buscar una soluciónaproximada. Si el problema se plantea en base a un principio variacional, y no es fácil obtener

la solución exacta, podemos intentar buscar una solución que minimice de forma aproximada elfuncional correspondiente. Las ecuaciones de elementos finitos pueden obtenerse bien partiendode la formulación diferencial o bien de un principio variacional. En el primer caso el método de

los elementos finitos puede considerarse un método de residuos ponderados (Galerkin, por

ejemplo) que es una técnica que se utiliza para obtener una solución aproximada de lasecuaciones diferenciales. En el segundo caso el método de los elementos finitos puede

considerarse como un método variacional (Rayleigh-Ritz).

En este capítulo consideraremos la formulalción más usual del método de los elementos finitos,

considerando como funcional el principio de la energía potencial total y en consecuenciaobtendremos una formulación en desplazamientos.

4 .2 . M É T O D O D E R A Y L E I G H- R I T Z

Una estructura compuesta por elementos discretos, tales como elementos barra por ejemplo,

puede representarse exactamente por un número finito de gdl; estos gdl son los desplazamientos

de los extremos del elemento. Un continuo, tal como un sólido elástico, tiene un númeroinfinito de gdl; estos gdl son los desplazamientos de todos los puntos materiales. El

comportamiento está definido por un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales. Es difícil, incluso para los problemas más simples, encontrar el campo dedesplazamientos o tensional que resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales y satisface las

condiciones de contorno. Se puede eliminar la necesidad de resolver ecuaciones diferenciales

aplicando el método de Rayleigh-Ritz a un funcional que describa el problema. El resultado es

un problema aproximado que tiene un número finito de gdl y se describe mediante ecuacionesalgebraicas en vez de mediante ecuaciones diferenciales. Una solución de Rayleigh-Ritz no es

exacta en general, pero es más precisa a medida que se utilizan más gdl.

El método de Rayleigh-Ritz se inició en 1870 con los estudios sobre problemas vibratorios deLord Rayleigh. Utilizó un campo aproximado definido mediante un solo gdl. En 1909, Ritz

generalizó el método construyendo un campo aproximado a partir de varias funciones,

satisfaciendo cada una de ellas las condiciones de contorno esenciales (cinemáticas), y cada unade ellas con un grado de libertad asociado. Ritz aplicó el método a problemas de equilibrio y de




30

valores propios. El procedimiento para problemas de equilibrio (estáticos), considerando el

principio de la energía potencial total mínima, es el siguiente.

Consideremos un cuerpo elástico, en donde se desean calcular los desplazamientos y tensiones

causados por las fuerzas aplicadas. El desplazamiento de un punto está descrito por suscomponentes u, v y w. El método de Rayleigh-Ritz parte de unos campos aproximados para u,

v y w. Cada campo está definido mediante una serie, cuyo término típico es una función de las

coordenadas, ( )zyxf f ii

, ,= , multiplicando por la amplitudi

a correspondiente. Estas

amplitudes, desconocidas, se denominan coordenadas generalizadas.

∑

∑

∑

+=

+=

=

=

=

=

n

1mi

ii

m

1li

ii

l

1i

ii

f aw

f av

f au

(Ec. 1)

Cada una de las funciones ( )zyxf f ii

, ,= debe ser admisible, es decir debe satisfacer las

condiciones de compatibilidad y las condiciones de contorno esenciales. No es necesario quesatisfagan condiciones de contorno no esenciales (aunque esto da lugar a una mejor

aproximación para un mismo número de gdl). Usualmente, aunque no es necesario, las

funcionesi

f son polinómicas. El analista debe estimar cuantos términos son necesarios en cada

serie para conseguir la precisión deseada. De esta forma la serie se trunca, teniendorespectivamente l, m-l y n-m términos de un total de n términos.

Los gdl del problema son las n amplitudesi

a . En el caso elástico se pueden determinar

sustituyendo en la energía potencial total el campo de desplazamientos exacto por el

aproximado. De esta forma la energía potencial total será función de las amplitudesi

a , gdl del

problema. De acuerdo con el principio de energía potencial total estacionaria, la configuraciónde equilibrio se define por las n ecuaciones algebraicas.

n21i0a i

p , , , ; L==

∂

∂ΠΠ(Ec. 2)

Después de resolver numéricamente la ecuación 2 para encontrar los valores dei

a , los campos

de desplazamientos están completamente definidos mediante la ecuación 1. Derivando loscampos de desplazamientos se obtienen las deformaciones, y mediante las relaciones tensiones

– deformaciones se obtienen las tensiones.

El procedimiento descrito tiene dos pasos. El primero consiste en establecer una familia de

funciones admisibles. El segundo consiste en aplicar un criterio para seleccionar la mejor formade tal familia de funciones.

Las ecuaciones 1 definen un problema aproximado ya que los infinitos gdl se reemplazan por un

número finito de gdl en el modelo matemático. Una solución Rayleigh-Ritz es en general

aproximada debido a que las funcionesi

f son incapaces usualmente de representar exactamente

los desplazamientos reales. El proceso de solución calcula las amplitudesi

a , de forma que la

combinación de las funcionesi

f sea la mejor posible. Cuando pΠΠ es el funcional, la mejor

solución es la que tiende a satisfacer las ecuaciones diferenciales de equilibrio y las condiciones




31

de contorno en tensiones lo más precisamente posible, ajustándose más a medida que se añaden

más términosii

f a en las series.

Supongamos que resolvemos un problema sucesivamente, añadiendo una función adicional al

campo supuesto. De esta forma generamos una secuencia de soluciones aproximadas. Podemosesperar que esta secuencia converja: al valor exacto de pΠΠ , a los valores exactos de los

desplazamientos y a los valores exactos de las tensiones. Una condición necesaria para la

convergencia es que el campo supuesto sea completo. Esto se consigue si los desplazamientos

exactos, y las derivadas que aparecen en pΠΠ , pueden aproximarse tanto como se quiera a

medida que aparecen más términos en el desarrollo. Una serie polinómica es completa si es degrado suficiente y no se omite ningún término.

Una solución Rayleigh-Ritz es, o bien exacta o más rígida que la exacta. Esto sucede ya que

sólo se permite deformar matemáticamente al sistema según las formas que se pueden describir

mediante una combinación de las funciones ( )zyxf i

, , presentes en el campo de

desplazamientos supuesto. De esta manera, la forma correcta de deformación se excluye, a no

ser que el campo supuesto de desplazamientos la contenga. El campo de desplazamientossupuesto induce por lo tanto restricciones que no permiten que el sistema se deforme como sedeformaría en la realidad. Las restricciones rigidizan el sistema, creando un sistema más rígido

que el real.

Consideremos un cuerpo elástico sobre el que se aplica un conjunto de fuerzas definido por {F}.El trabajo W realizado por las fuerzas que se incrementan gradualmente desde cero a {F}

es { } { } 2FUWT

/ = si el sistema es elástico lineal. La solución aproximada da lugar a

desplazamientos {U} tales que el trabajo W es menor que su valor exacto. Esto no significa que

necesariamente todos los desplazamientos del vector {U} estén subestimados. Sin embargo, si elsistema soporta una única fuerza F, los desplazamientos calculados {U} son un límite inferior a

los reales. La energía de deformación U es numéricamente igual a W, de forma que la solución

aproximada subestima U cuando se prescriben las fuerzas.

Si alternativamente, se prescriben los desplazamientos se sobrestima U debido a que sonnecesarias unas fuerzas extras para deformar un sistema rigidizado matemáticamente. Cuando

se prescriben las fuerzas y los desplazamientos, U puede estar sobre o subestimada.

Las tensiones se calculan a partir de los desplazamientos, de forma que podemos esperar que enun sistema rigidizado se subestimarán las tensiones. Sin embargo, las tensiones aproximadas

pueden ser inferiores en unas zonas y superiores en otras, con lo que no es posible aplicar

ninguna regla en este caso.

4 .3 . F O R M U L A C I Ó N E N D E S P L A Z A M I E N T O S

En este apartado consideraremos el planteamiento de método de elementos finitos endesplazamientos. Por este motivo tomaremos como variables independientes los

desplazamientos. En este caso, la expresión del funcional apropiado para la solución de

Rayleigh-Ritz es la expresión de la energía potencial total.




32

Ma t r i c e s d e e l e m e n t o s [ ]eK y v e c t o r e s F u e r z a s e q u i v a l e n t e s { }e

F

La obtención de las fórmulas de elementos finitos puede describirse de la siguiente forma.

Supondremos que discretizamos el dominio en una serie de elementos finitos. Tales elementos

están definidos en base a sus nodos (ver Figura 1). Seleccionamos un campo dedesplazamientos admisible, definido a tramos de forma que los desplazamientos en cualquier

elemento se interpolan a partir de su valor en los gdl nodales del elemento (ver Figura 2) y

evaluamos el funcional en base a estos desplazamientos nodales. Aplicando el principio deenergía potencial total estacionaria, obtendremos un sistema algebraico de ecuaciones, a partir

del cual es posible obtener los desplazamientos nodales. En el desarrollo del proceso,

identificaremos ciertas expresiones como la matriz de rigidez del elemento [ ]ek y el vector de

fuerzas equivalentes en el elemento { }ef .

Figura 1. Discretización de un problema bidimensional en elementos triangulares de tres nodos.

Figura 2. Interpolación lineal mediante elementos triangulares de tres nodos.

El punto de partida es la expresión de la energía potencial total en un cuerpo elástico lineal:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } { } { } { } { } { } { }PUdStudVbudVDD2

1 T

S

T

V

T

V

0

T

0

TT

p ∫ ∫ ∫ −−−

+−= σσεεεεεεεεεεΠΠ (Ec. 3)




33

En donde:

{ } [ ]Twvuu = : campo de desplazamientos

{ } zxyzxyzyxe γ γ γ γ γ γ εεεεεε= : campo de deformaciones

[ ]D = matriz de propiedades de material

{ } { }00

σσεε , : deformaciones y tensiones iniciales

{ } [ ]T

zyx bbbb = : fuerzas volumétricas

{ } [ ]T

zyx tttt = : fuerzas superficiales

{ }U = desplazamientos nodales del sistema

{ }P = cargas puntuales aplicadas

S, V = Area superficial y volumen del dominio

Consideremos la discretización del dominio en un conjunto de elementos finitos (ver Figura 1).

Tales elementos tienen formas normalizadas, y se describirán en un capítulo posterior.

Los desplazamientos dentro de cada elemento se interpolan a partir de los desplazamientos

nodales { }eu (vector que contiene los desplazamientos de los nodos que definen el elemento),

( ){ } ( )[ ]{ }euzyxNzyxu ,,,, ≈ (Ec. 4)

Donde [N] es la matriz de funciones de forma. Aunque no es necesario especificar por ahora la

forma concreta de la matriz de funciones de forma [N], indicar que sus componentes son

funciones de las coordenadas. Como ejemplo sencillo de interpolación, en la Figura 3 se

muestra gráficamente la interpolación de una función arbitraria Φ en un elemento bidimensionaltriangular de tres nodos, en función del valor de dicha función en los nodos (interpolaciónlineal).

A partir de este momento sólo se requieren unas pocas manipulaciones matemáticas. Las

deformaciones se obtienen de los desplazamientos mediante diferenciación.

{ } [ ]{ }

{ } [ ][ ]{ }{ } [ ]{ }e

e

uB

uNL

uL

=→=→=

εε

εε

εε

(Ec. 5)

con [ ] [ ][ ]NLB = .

La matriz operador diferencial [L] actúa sobre la matriz de funciones de forma. El operador [L]

contiene en el caso del problema elástico primeras derivadas con respecto a las coordenadas, ylas componentes de la matriz [N] son funciones de forma conocidas que dependen de las

coordenadas. Sustituyendo las expresiones de {u} y {εε} en la ecuación 3 se obtiene:

{ } [ ]{ } { } { } { } { }PUf uuku2

1 Tne

1e

eTene

1e

eeTe

p −−= ∑∑==

ΠΠ (Ec. 6)




34

( ) ( ) ( ) ( ) kk j jii zyxNzyxNzyxNzyx ΦΦΦΦΦΦΦΦ , , , , , , , , ++=

( )

( )

=

k

k

j

j

i

i

k ji

k ji

v

u

v

u

v

u

N0N0N0

0N0N0N

zyxv

zyxu

, ,

, ,

Figura 3. Interpolación lineal en elemento triangular de tres nodos. Funciones de forma.

Donde los símbolos de sumatorio indican que se han incluido las contribuciones de todos loselementos finitos. Se ha definido la matriz de rigidez del elemento:

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBk T

V

e

e

∫ = (Ec. 7)

y el vector de fuerzas equivalentes en los nodos:

[ ] [ ] [ ]{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }dStNdVbNdVBdVDBf T

S

T

V

0

T

V

0

T

V

e

eeee

∫ ∫ ∫ ∫ ++−= σσεε (Ec. 8)

dondee

V representa el volumen del elemento ye

S su superficie. En la integral de superficie,

[N] se evalúa ene

S . En la expresión de { }ef se establece cómo se consideran los diferentes

tipos de cargas.

Para completar el desarrollo, debemos determinar las ecuaciones algebraicas para calcular los

desplazamientos nodales. Cualquier desplazamiento nodal del vector de elemento { }eu también

aparece en el vector global {U}. De esta forma se puede expandir conceptualmente la matriz de

rigidez [ ]ek y el vector de fuerzas equivalentes { }e

f de cada elemento al tamaño global. De esta

forma, la ecuación 6 queda:

{ } [ ]{ } { } { }FUUKU2

1 TT

p−=ΠΠ (Ec. 9)




35

donde:

[ ] [ ] { } { } { }∑∑==

+==ne

1e

ene

1e

ef PFkK y (Ec. 10)

Los sumatorios indican ensamblado de matrices de elemento por lal adición de coeficientes que

se solapan con respecto a la numeración de los gdl globales. Ahora pΠΠ es una función de los

desplazamientos nodales {U}. Haciendo pΠΠ estacionario con respecto a pequeños cambios

eni

U , utilizando convenientemente las reglas de diferenciación, se puede escribir:

{ }[ ]{ } { }FUK0

U

p =→=

∂

∂ΠΠ(Ec. 11)

La última ecuación matricial es un conjunto de ecuaciones algebraicas que puede utilizarse para

obtener {U}. Se debe remarcar que 0U ip =∂∂ / ΠΠ es una ecuación de equilibrio nodal

(equilibrio de fuerzas en los nodos), [K] es una matriz simétrica y jip

2

ij UUK ∂∂∂= / ΠΠ .

C á l c u l o d e t e n s i o n e s

Una vez se han calculado las matrices de rigidez y los vectores de fuerzas equivalentes en losnodos de los elementos, ensamblando y aplicando las condiciones de contorno se obtiene un

sistema de ecuaciones. La resolución de tal sistema da lugar al vector de desplazamientos

nodales {U}. A partir del vector de desplazamientos se deberán calcular las tensiones queaparecen en cada uno de los elementos finitos.

Las tensiones { }σσ en un elemento pueden calcularse a partir de los desplazamientos de sus

nodos { }eu . Estos desplazamientos son conocidos a partir del vector global de desplazamientos

nodales {U}. De la teoría de la elasticidad, la relación entre tensiones y deformaciones paracomportamiento lineal es

{ } [ ] { } { }( ) { }00D σσεεεεσσ +−= (Ec. 12)

En la que las tensiones mecánicas { } [ ]{ }euB=εε (Ecuación 5) están producidas por los

desplazamientos de los nodos. La matriz [B] se obtiene de la aplicación del operador [L] (quecontiene primeras derivadas) sobre la matriz de funciones de forma (que dependen de las

coordenadas), con lo que deberá evaluarse en los diferentes puntos del elemento en donde se

deseen calcular las tensiones.

El cálculo { } [ ]{ }euB=εε implica la derivación del campo de desplazamientos. De esta forma, es

de esperar que las tensiones sean menos precisas que los desplazamientos. Los elementos debajo orden (funciones de forma básicamente lineales) presentan una mayor precisión de las

tensiones en su centroide, menor en los puntos medios de los lados y más pequeña en los nodos.

Los elementos de orden elevado presentan en general diversos puntos de precisión óptima parael cálculo de tensiones. La posición de tales puntos depende de la geometría del elemento y del

campo de desplazamientos, y en general puede predecirse numéricamente (en general cercanos

a los puntos de integración numérica). Las tensiones en otros puntos del elemento diferentes a

los óptimos de cálculo de tensiones se obtienen usualmente mediante extrapolación.




36

4.4. EQ U I L I B R I O Y C O M P A T I B I L I D A D E N L A S O L U C I Ó N

En la solución exacta, de acuerdo con la teoría de la elasticidad, cualquier elemento diferencialdel continuo está en equilibrio estático, y prevalece la compatibilidad en cualquier punto. Una

solución aproximada de elementos finitos no se ajusta a estos requisitos. En esta seccióndescribiremos qué condiciones de equilibrio y compatibilidad se satisfacen en los nodos, a lolargo de los contornos entre elementos, y en el interior de cada elemento.

1. Se satisface el equilibrio de las fuerzas nodales y momentos. La ecuación estructural

{ } [ ]{ } { }0UKF =− representa el equilibrio nodal. De esta forma, el vector solución {U} es

tal que las fuerzas y momentos nodales tienen resultante nula en todos los nodos.

2. La compatibilidad prevalece en los nodos. Los elementos conectados entre sí tienen los

mismos desplazamientos en los puntos de conexión, es decir en los nodos.

3. El equilibrio no se satisface usualmente a lo largo de los contornos entre elementos. LaFigura 4 presenta un ejemplo simple. Imaginemos que los elementos son triángulos de tres

nodos. Como la interpolación en desplazamientos es lineal, las tensiones (primerasderivadas de desplazamientos) son constantes dentro de cada elemento. El nodo 4 es el

único que se desplaza. De esta forma )( 2

xσσ es la única tensión no nula y el elemento

diferencial compartido marcado en la figura no está en equilibrio. Otros tipos de elementos

finitos se comportan de forma similar. (La continuidad entre elementos en tensiones puede

ser impuesta utilizando elementos que incluyen deformaciones entre sus gdl nodales, pero

tales elementos no se utilizan frecuentemente.

Figura 4. Elemento diferencial en la frontera interelementos.

Cuando se examinan los resultados en tensiones, no se puede esperar que las tensiones en

elementos adyacentes sean iguales según el lado común, que las tensiones en los nodos sean

iguales para los elementos que comparten el nodo, o que las condiciones de contorno en

tensiones se satisfagan exactamente. Para una malla definida correctamente estasdiscrepancias serán pequeñas y se harán menores a medida que se refina.

4. La compatibilidad puede o no satisfacerse a lo largo de los contornos entre elementos. Lacompatibilidad entre elementos se satisface para la mayor parte de los elementos finitos.

Como se verá posteriormente, por ejemplo, la compatibilidad en el elemento triangular

lineal y el cuadrilátero bilineal (elemento cuadrilátero de cuatro nodos) está garantizada

debido a que sus lados permanecen rectos incluso después de que el elemento se deforme.(que los lados permanezcan rectos se puede demostrar considerando que son inicialmente




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rectos y los desplazamientos a lo largo de un lado son funciones lineales de las

coordenadas).

Figura 5. No compatibilidad de desplazamientos en la frontera entre elementos.

5. El equilibrio no se satisface usualmente dentro de los elementos. En ausencia de fuerzas

volumétricas, las ecuaciones diferenciales de equilibrio se satisfcen exactamente en elelemento triangular lineal, pero no en el elemento rectangular bilineal en todos los casos.

En general, para que se satisfaga la ecuación diferencial de equilibrio en cualquier punto es

necesaria una relación entre gdl que usualmente no resulta de las ecuaciones de elementos

finitos globales [ ]{ } { }FUK = . Si se debe aproximar la solución exacta a medida que una

malla se refina, deberá aproximarse la satisfacción de las ecuaciones de equilibrio en cada

elemento. Los elementos de orden elevado, tales como los caudráticos, pueden satisfacer lasecuaciones diferenciales de equilibrio si pueden representar campos de desplazamientos

constante y lineales. De esta forma, una propiedad importante de un posible elemento es que

pueda representar todos los posibles estados de deformación constante.

6. La compatibilidad se satisface en el interior de los elementos. Sólo necesitamos que elcampo de desplazamientos del elemento sea continuo y univaluado. Estas propiedades se

cumplen automáticamente suponiendo campos de desplazamientos polinómicos, que son los

usuales en la formulación de la interpolación de elementos finitos.

4 .5. R E Q U I S I T O S D E C O N V E R G E N C I A

Si se analiza un problema utilizando cada vez una malla más fina de elementos, se generaráuna secuencia de soluciones aproximadas. Es importante que tal secuencia converja a la

solución exacta, es decir, que el error entre la solución aproximada y la exacta tienda a cero

cuando el número de elementos tienda a infinito (o su tamaño tienda a cero). De esta forma

podremos obtener la solución del problema con el error deseado aumentando el número de gdl.

G e n e r a l

De forma general, considerando interpolaciones polinómicas, los requisitos de convergencia se

pueden establecer de la siguiente forma. Supongamos una variable ( )zyx ,,φφφφ = , y sea

( )φφΠΠΠΠ = el funcional cuya condición de estacionariedad 0d =ΠΠ da lugar a las ecuaciones




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diferenciales que gobiernan el problema físico. Supongamos que contiene derivadas de φφ hasta

un orden m. Si la solución exacta debe alcanzarse a medida que la malla se refina, es necesario:

1. Dentro de cada elemento, la forma del campo supuesta para φφ debe contener un polinomio

completo de grado m.2. Debe existir continuidad en φφ y en sus m-l derivadas a lo largo de los contornos entre

elementos.

3. Consideremos los elementos en una malla (y no individualmente). Supongamos que

imponemos unas condiciones de contorno apropiadas en la malla como para producir un

valor constante de cualquier derivada m-ésima de φφ . En estas condiciones, a medida que la

malla se refina, cada elemento debe poder representar este valor constante.

Por ejemplo, si ( )yx ,φφφφ = (caso plano) y contiene primeras derivadas de φφ , el mínimo orden

polinómico aceptable en cada elemento es321

axaa ++=φφ y, solo es necesario que φφ sea

continua en los contornos entre elementos, y cada elemento de una malla apropiadamente

cargada debe de poder representar un valor constante de x∂∂ / φφ (o de y∂∂ / φφ para otracondición apropiada de carga), por lo menos a medida que se refina la malla.

El requisito 1 asegura que se puedan evaluar los diferentes términos incluidos en el funcional.El requisito 2 es necesario para que el funcional pueda evaluarse a partir de las contribuciones

de cada uno de los elementos finitos en los que se ha discretizado el componente. Por último, a

medida que refinamos una malla de elementos finitos, el tamaño de cada elemento tiende a ceroy el número de elementos a infinito. En esta condición límite, la solución del problema puede

representarse a partir del valor constante de las funciones y sus derivadas que aparecen en el

funcional.

La satisfacción de estos requisitos garantiza la convergencia a los resultados correctos, pero noindica nada con relación a la precisión en una malla, o a la relación de convergencia. En el

siguiente apartado se tratará con detalle este tema.

E l a s t i c i d a d

En general, cuando los elementos se basan en campos de desplazamientos, existen varias

componentes para definir tal campo (por ejemplo, es necesario definir u y v para un problema

plano). El orden de derivación máximo, m, se determina del término de energía de deformación

del funcional pΠΠ . En el caso de la elasticidad que se está considerando, el orden mayor de

derivación en m=1, en cualquier coordenada. Como las deformaciones son primeras derivadasde los desplazamientos, los requisitos 1 y 3 imponen que en una malla cada elemento pueda

representar cualquier estado de deformación constante si se aplican las condiciones de controno

apropiadas. Un caso concreto de deformación constante es la deformación nula, que aparececuando los desplazamientos nodales corresponden a un movimiento de cuerpo rígido

(traslaciones o rotaciones). El grado polinómico completo mínimo será 1 y solo será necesario

que se cumpla la continuidad en los campos de desplazamientos supuestos en la frontera entreelementos.

La continuidad entre elementos se denomina usualmente iC , indicando el superíndice el orden

de derivación que presenta continuidad. En el caso de la elasticidad, el orden de continuidad




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exigido es0

C ya que solo es necesario que exista continuidad en las funciones de interpolación

de los desplazamientos y no en sus derivadas.

Una explicación física del requisito 3 es la siguiente. A medida que la malla se refina, el

tamaño de los elementos tiende a cero. A medida que el tamaño del elemento tiende a cero, ladeformación en cualquier punto dentro del mismo tiende a ser constante. Si un elemento nopuede representar estados de deformación constante en el límite (cuando el tamaño del

elemento tiende a cero), la solución correcta no se alcanzará al refinar sucesivamente la malla.

4.6. ER R O R D E D I S C R E T I Z A CI Ó N E Í N D I C E D E C O N V E R G E N C I A

El método de los elementos finitos es un método numérico aproximado de análisis, con lo que

los resultados obtenidos no serán exactos.

El error entre la solución exacta del problema y la obtenida mediante el MEF está influenciada

por un conjunto de errores (los asociados al MEF y los computacionales), que se pueden

clasificar como:

§ Errores de modelado, que aparecen debido a la diferencia que existe entre el sistema físico y

su modelo matemático (en general se realizan hipótesis simplificativas para abordar el

problema).

§ Errores de discretización, causado por la representación de los infinitos gdl de un continuomediante un número finito de gdl.

§ Errores de redondeo, causado por la utilización de un número finito de dígitos en la

representación de números reales.

§ Errores de manipulación, que son los errores de redondeo inducidos por un algoritmo. Por

ejemplo, en la resolución del sistema de ecuaciones se realizan operaciones tales como

( ) 12112122 KKKK / − , con la matriz de coeficientes, [ ]K . Las divisiones y multiplica-ciones tienen asociados sus errores de redondeo y la resta puede perder muchas cifras

significativas si 22K y ( ) 121121 KKK / son similares.

En este apartado nos centraremos en el análisis del error de discretización. Indicar, no obstante,

que una mala discretización puede originar problemas numéricos asociados a otros tipos deerrores. Por ejemplo, si conectamos dos elementos con rigideces muy diferentes, en el

ensamblado perderemos precisión al sumarse los correspondientes términos de la matriz de

rigidez (esto puede ocurrir al conectar elementos de tamaños muy dispares).

Para establecer los requisitos de convergencia, se ha considerado que la aproximación de

desplazamientos puede representar a la solución exacta a medida que el tamaño del elemento, h,

tiende a cero.

Para una discretización dada, podemos considerar que la solución real del problema, dentro de

un elemento, se puede desarrollar en serie de taylor. Así, la solución exacta en un punto del

elemento se puede escribir como

( ) ( ) ...+−

∂∂+−

∂∂+=

i

i

i

i

iyy

y

uxx

x

uuu (Ec. 13)




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Si dentro de un elemento de tamaño h, se utiliza una expansión polinómica local de grado p,

como x e y son del orden de magnitud de h, el error será del orden ( )1phO+ . De esta forma, en

el caso de elasticidad, si utilizamos elementos lineales el error en desplazamientos será del

orden

( )2

hO , reduciendo por lo tanto el error a una cuarta parte si el tamaño del elemento lo

reducimos a la mitad.

Mediante argumentos similares, las tensiones (o deformaciones), que son derivadas m-ésimas

de los desplazamientos, tendrán convergencia con un error de ( )m1phO−+ . Por ejemplo, en

elasticidad lm = , y si utilizamos elementos lineales el error será del orden ( )hO . La energía de

deformación (tensiones al cuadrado) exhibirá un error de orden ( )( )m1p2hO−+ .

Estos razonamientos, que no constituyen un análisis riguroso del error de discretización, son

válidos siempre y cuando no existan singularidades en el problema considerado. Porsingularidades se entiende en el caso de la elasticidad, puntos en los que el resultado tiende a

infinito, invalidando los argumentos basados en desarrollo en series de Taylor de la solución.

Un ejemplo típico de esta situación es el caso de grietas, en donde teóricamente las tensionesque aparecen en el extremo de la grieta son infinitas (planteamiento elástico lineal).

La medida del error de discretización definida como la diferencia entre el campo de

desplazamientos exacto, por ejemplo, y el campo de desplazamiento calculado mediante el MEFno es práctica. En general se busca cuantificar dicho error mediante una norma, que permita

definirlo sobre la base de escalar. Una medida bastante habitual del error de discretización, por

su interpretación física, es la raíz cuadrada de la energía de deformación del error, que

aproximadamente es igual a la diferencia entre la energía de deformación exacta y la calculada.La expresión del error de discretización es, en función de las tensiones:

{ } { }( ) [ ] { } { }( )[ ] 21

ef ve

1T

ef veve dVDe /

∫ −−= −σσσσσσσσ (Ec. 14)

donde { }veσσ representa el campo tensional exacto solución del problema. Considerando que noexisten singularidades, la convergencia de este error de discretización será función del tamañode elemento elevado a p, es decir se puede escribir como

p

ve hCe ≤ (Ec. 15)

donde C es una constante positiva que depende del problema estudiado. Esta ecuación, que

relaciona el error con el tamaño de elementos y orden del polinomio completo incluido en las

funciones de forma, será de gran utilidad para relacionar, en cuanto a error, discretizacionesdiferentes de un mismo problema. Tal reacción podrá establecerse siempre y cuando la

constante C no varíe de una discretización a la otra. Esta condición se cumple básicamente

cuando se realizan refinamientos uniformes, en los que los elementos de la malla refinada

mantienen una proporción constante con los de la otra malla.

4 .7 . ES T I M A C I Ó N D E L E R R O R D E D I S C R E T I Z A C I Ó N

En general no podremos reconocer el error verdadero de discretización, ya que para ello es

necesario conocer la solución exacta del problema. Sin embargo, en la actualidad se han puesto

a punto diferentes métodos para estimar este error. No existe ningún método óptimo ya que losque son más precisos requieren en general modificaciones importantes de los programas de




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elementos finitos actuales y realizan un conjunto de operaciones que son computacionalmente

costosas.

Uno de los estimadores de error que se está utilizando actualmente es el basado en el cálculo de

campos de tensiones mejorados. La ventaja fundamental del método consiste en que es fácil deadaptar a los programas actuales del MEF y requiere un coste computacional bajo.

Mediante postroceso de la solución de elementos finitos, es posible obtener un campo de

tensiones mejorado, { }*σσ (más preciso que el obtenido directamente mediante el MEF). Si el

error en el campo de tensiones mejorado es un orden inferior al correspondiente a las tensionesde elementos finitos, podremos realizar una estimación del error de discretización como

{ } { }( ) [ ] { } { }( )[ ] 21

ef

1T

ef esve dVDee /

**∫ −−=≈ −σσσσσσσσ (Ec. 16)

Existen diversos procedimientos para obtener el campo de tensiones mejorado { }*σσ ,

postprocesando los resultados obtenidos mediante el MEF. El más sencillo consiste en calcular

las tensiones en los nodos de la malla promediando el valor que se obtiene para ellos en cadauno de los elementos que inciden en dicho nodo. Conocido el valor mejorado de las tensiones

en los nodos, se calcula el nuevo campo de tensiones dentro de los elementos mediante una

intepolación idéntica a la realizada para el campo de desplazamientos. El estimador así

definido es sencillo, no requiere un coste computacional grande y se ha comprobado suconvergencia al valor verdadero a medida que se refina la malla de elementos finitos. No

obstante, la relación entre el error estimado y el verdadero puede variar en función del problema

de 0.5 a 2.0. Utilizando métodos de obtención del campo { }*σσ , computacionalmente más

costosos, la diferencia entre el error estimado y el verdadero disminuye, con lo que es posibleobtener estimaciones del error de discretización más fiables.

La estimación de error no sólo es util para asegurar la calidad de los resultados obtenidos, sino

que se puede utilizar para mejorar la malla de elementos finitos de forma que se obtenga el

error deseado por el usuario refinando automáticamente la malla. Esto se denominaprocedimiento adaptativo del MEF, y se basa en la estimación de error y en la relación de

convergencia definida por la ecuación 15.

Existen tres alternativas para mejorar la discretización del MEF. Se puede disminuir el tamañode los elementos, refinamiento h, (al disminuir h en la ecuación 13, se reduce el error), se puede

aumentar el grado del polinomio de interpolación, refinamiento p, (al aumentar p se disminuye

el error) o se pueden hacer simultáneamente las dos cosas, refinamiento h-p. Además, esto sepuede realizar localmente, es decir mejorando la discretización en aquellas zonas en las que se

produce un mayor error. En la Figura 6 se muestra un proceso h-adaptativo, representándose la

malla inicial y las generadas automáticamente hasta obtener el error deseado por el usuario.




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Figura 6. Secuencia de mallas de un proceso h-adaptativo de elementos finitos.

4 - elementos finitos. planteamiento

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