introduccion elementos finitos

UNA INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSF. VADILLO

Estas notas son una muy breve introduccin al Mtodo de Elementos Finitos (FEM) para resolver problemas elpticos que se explica en la asignatura de Resolucin Numrica de E.D.P. del quinto curso de la licenciatura de Matemticas de la UPV. Bsicamente se desarrollan ejemplos y se cometan resultados ms generales, y se acaba resolviendo algunos ejemplos con la herramienta PDETOOL de matlab.Resumen.

ndice

1. Introduccin 2. Formulacin variacional de un problema modelo 3. El mtodo de elementos nitos para el problema modelo 4. Formulacin abstracta de FEM para problemas elpticos 5. Formulacin variacional de problemas elpticos en el plano 6. El mtodo de los elementos nitos en el plano 7. Convergencia del mtodo 8. Mtodos adaptativos 9. La herramienta PDETOOL de matlab Referencias

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1.

Introduccin

La idea general de cualquier mtodo numrico es discretizar, si en las diferencias nitas se reemplazan las derivadas por cocientes en diferencias, en los elementos nitos (FEM) el factor esencial es que la integral de una funcin medible se puede escribir como suma de integrales en dominios disjuntos cuya unin es el dominio original, entonces se puede hacer un anlisis local del problema y haciendo los dominios sucientemente pequeos los polinomios son adecuados para una buena representacin del comportamiento de la solucin.Received by the editors 8 de mayo de 2006.1

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F. VADILLO

El mtodo de los elementos nitos es una tcnica general para resolver ecuaciones diferenciales e integrales en ciencia e ingeniera con races en los mtodos variacionales clsicos. Para ello se comienza reformulando el problema en una formulacin variacional de la forma:

(M ) Hallar

uV

t.q. F (u) = m F (v), nvV

donde V es un espacio funcional de dimensin innita, y la idea del mtodo es resolver el problema (M ) en un subespacio Vh V de funciones polinomiales a trozos. Aunque la idea de utilizar aproximaciones lineales a trozos es antigua, recuerde por ejemplo la solucin de Leibnitz al problema de la braquistcrona propuesto por Johan Bernouilli en el Acta de junio de 1696, es sobre todo en los aos 60 cuando los ingenieros comenzaron a usar estas ideas para resolver problemas de ingeniera, quiz los ms conocidos sean los estudios de estructuras, de donde el mtodo ha heredado los nombres de matriz de rigidez y vector de cargas. Desde ese momento el mtodo ha sido aplicado con notable xito a prcticamente cualquier rea de la ciencia e ingeniera: problemas de estructuras, mecnica de uidos, propagacin de ondas, problemas de conduccin del calor, procesos de difusin-conveccin, procesos de reaccin-difusin, problemas de campos electromagnticos ............ En la introduccin de la referencia [5], J.T. Oden arma que ya existan ms de 100000 referencias bibliogrcas sobre el mtodo de los elementos nitos. Desde sus comienzos han existido dos vas de desarrollo en los elementos nitos. Los ingenieros han estado ms preocupados por las aplicaciones que de resolver las dicultades matemticas, quiz la obra pionera en esta direccin sea el libro de Zienkiewicz de 1971 [4]. Por otra parte, los matemticos se han ocupado fundamentalmente de estudiar los problemas ms prximos a su especialidad muchos de ellos relacionados con el estudio de los errores y la convergencia, el famoso libro de Strang & Fix de 1973 [3] fu pionera en esta otra direccin. Entre las grandes ventajas de los elementos nitos frente a otros mtodos se pueden destacar las siguientes: 1. Las geometras complicadas y las condiciones frontera pueden manipularse con mayor facilidad. 2. Los fundamentos matemticos desarrollados durante los aos 70 y 80 no han conocido el mismo desarrollo en otros mtodos. 3. Permite construir software de propsito general. Para resolver un problem diferencial o integral usando elementos nitos se deben realizar las siguiente etapas: 1. 2. 3. 4. Hallar una formulacin variacional del problema. Construir los espacios de dimensin nita Vh . Resolver el problema discreto en Vh . Implementar el mtodo en un ordenador.

UNA INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

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Estas notas se ocupan ocuparemos de las tres primeras etapas, si bien limitadas a los problemas elpticos por razones de tiempo, aunque se comienza con un ejemplo muy sencillo de una ecuacin diferencial ordinaria.

2.

Formulacin variacional de un problema modelo

Se considera el problema diferencial de segundo orden con dos valores en la frontera: u (x) = f (x) 0 0 t.q. v 2 a(v, v) v V. V L() es continua > 0 t.q. |L(v, )| v V v V .Si se considera el problema variacional abstracto

(V ) Hallar

uV

t.q. a(u, v) = L(v) v V

el lema de Lax-Milgram cuya demostracin se puede seguir en [2], dice lo siguiente

Teorema 4.1. El problema (V ) tiene una nica solucin u V queverica la estimacin de estabilidad u .

Este resultado es fundamental para entender la ecacia de la formulacin variacional de los problemas elpticos, si se demuestra que la forma bilineal es continua y V-elptica y la lineal continua, se concluye la existencia y unicidad de solucin del problema variacional, tambin llamada solucin dbil del problema. Finalmente, si adems se demuestra regularidad suciente en dicha solucin dbil, se recupera la solucin en el sentido clsico. Cuando la forma bilineal a(, ) es simtrica el problema (V ) es equivalente al siguiente problema

(M ) Hallardonde

uV F (v) =

t.q.

F (u) F (v) v V

1 a(v, v) L(v). 2

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F. VADILLO

El mtodo de Galerkin resuelve el problema (V ) en un subespacio Vh V de dimensin nita, es decir

(Vh ) Hallar

u h Vh

t.q.

a(uh , v) = L(v) v Vh ,

cuya solucin tambin verica la desigualdad uh . Si {w1 , , wn } son una base del subespacio Vh , la solucin del problema (Vh ) se puede expresar de la forman

uh =j=1

dj wj ,

que llevada en la ecuacin variacional da el sistema linealn

a(wi , wj )dj = L(wi ),j=1

i = 1, , n,

que en forma matricial es

Ad = b,con el vector de incgnitas d = (d1 , , dn )T , la matriz de rigidez A formada por los elementos a(wi , wj ) y el vector de cargas b = (L(w1 ), , L(wn ))T . Adems, como a es V-elptica, la matriz A es denida positivan n n

dT Ad =i,j=1

di dj a(wi , wj ) = ai=1

di wi ,j=1

dj wj un

2

> 0,

porque los vectores de la base son linealmente independientes. En cuanto al error se demuestra la siguiente acotacin

Teorema 4.2 (Lema de Cea).u uh

uv

v Vh .

Lo que signica que la solucin del mtodo de Galerkin minimiza la norma del error salvo un factor constante. Esto intuitivamente expresa la convergencia si el espacio Vn se aproxima a V .

5.

Formulacin variacional de problemas elpticos en el plano

Se considera el siguiente problema de contorno: hallar u que verique

u =

f

en

,

u = 0 en 0 , u = p en 1 , n donde es un dominio acotado de R2 de frontera = 0 1 , es el operador laplaciano y f y p son datos.


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Sea v una funcin diferenciable que se anula en 0 , multiplicando la ecuacin diferencial por v e integrando se puede usar la frmula de Green para llegar a la igualdad (5.1)

u

v dxdy =

f v dxdy +1

pv d,

que expresa un equilibrio global del sistema y no local como representa la ecuacin diferencial. Para utilizar el lema de Lax-Milgram se dene la norma de Sobolev

v

2

=

(|v|2 + | v|2 ) dxdy = |v|2 + | v|2 , 2 2

que proviene del producto escalar

u, v =

(uv +

u

v) dxdy,

el espacio de Sobolev de funciones

V = {v : R;la forma bilineal

v < +, u

v=0 v dxdy pv d,1

en

0 },

a(u, v) =la forma lineal

L(v) =

f v dxdy +

y ahora se debe demostrar que a(, ) es continua y V-elptica y L() continua. La forma bilineal a es continua porque

a(u, v) =

u

v dxdy | u|2 | v|2 u v .

Para comprobar que a es V-elptica se necesita la desigualdad de Poincar que demuestra la existencia de una constante tal que

|v|2 | v|2 , 2 2porque entonces

v

2

= |v|2 + | v|2 ( + 1)| v|2 = ( + 1)a(v, v). 2 2 2

6.

El mtodo de los elementos finitos en el plano

Si el dominio tiene una frontera poligonal, para construir un espacio nito dimensional Vh V primero se construye una triangularizacin sobre el domino, se tiene entonces un conjunto de tringulos Th = {S1 Sm } no necesariamente del mismo tamao y tales que S, =STh

con la condicin de que ningn vrtice de un tringulo se encuentre sobre el lado de otro tringulo adyacente. El dimetro de la triangularizacin es

h = mx diam(S). aSTh

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F. VADILLO

y el espacio nito dimensional ms sencillo es

Vh = {v C () t.q. v|S es lineal

S Th ,

v|0 0},

que tiene tres grados de libertad porque para denir v es suciente conocer su valor en los vertices del tringulo. Considere por ejemplo el rectngulo de la gura 1 donde

R = S1 S2 S3 S4 .1 n=1 0.8 S1 n=2

0.6 n=5 0.4 S2

0.2 S 04

0.2 S

0.4

3

0.6

0.8 n=4 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

n=3

0.8

1

Figura 1.

Ejemplo de un cuadrado dividido en cuatro rectngulos.

Los nodos en este ejemplo son cinco denidos por la matriz de nodos 1 1 1 1 1 1 , N = 1 1 0,2 0,5 de los cuales slo el ltimo es interior, y la correspondiente de la matriz 1 2 S= 3 1 cada tringulo lo forman los nodos de la

2 3 4 4

5 5 , 5 5

Para cada nodo n se dene la funcin de base global n (x, y) que vale 1 en el nodo n y cero en el resto, las cinco primeras grcas de la gura 2 representan dichas funciones en el ejemplo de la gura 1, mientras que en la sexta grca se ha dibujado 2 + 23 + 34 . La funciones de base globales tienen la forma

n (x, y) n,s (x, y)

= {n,s

para

s = 1...m}

= pn,s (1) + pn,s (2)x + pn,s (3)y,


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1 0.5 0 1 0 1 1 0

1 0.5 0 1 0 1 1 0

1

1

1 0.5 0 1 0 1 1 0

1 0.5 0 1 0 1 1 0

1

1

1 0.5 0 1 0 1 1 0

4 2 0 1 0 1 1 0

1

1

Figura 2.

Funciones de base globales

y suponiendo N nodos la solucin aproximada seraN

uh (x, y) =n=1

cn n (x, y),

donde los cn son la solucin de un sistema lineal. Se pueden construir otros subespacio, por ejemplo

Vh = {v C () t.q.

v|S P2 (S) S Th },

ahora para denir v se necesitan mas valores, adems de los extremos por ejemplo los tres vertices y los tres puntos medios de los tres lados aij i < j , se tienen seis grados de libertad. Tambin se puede utilizar por ejemplo

Vh = {v C () t.q.

v|S P3 (S) S Th },

que tiene diez grados de libertad. En la referencia [1] se pueden encontrar otros ejemplos. En general un elemento nito se dene como una tripleta (S, P, ) donde: 1. S es un objeto geomtrico, por ejemplo un tringulo. 2. P es un espacio nito dimensional de funciones denidas en S . 3. es el conjunto de grados de libertad.

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7.

Convergencia del mtodo

Suponiendo que se aproximado la solucin exacta u usando un elemento nito (S, P, ), el lema de Cea arma que

u uh

V

C u u

V

,

con uh la solucin aproximada, u el interpolador en los nodos del elemento nito, y C es una constante. Por otra parte, es evidente que

u u

2

=STh

u |S u

2 S,

por lo cual el problema de hallar una cota para error u uh lo se reduce al problema local de evaluar los errores de interpolacin u |S u S cuyo estudio es el principal objetivo de la teora de interpolacin en espacios de Sobolev. Evidentemente, el error de interpolacin depender de los grados de libertad del elemento nito, el siguiente resultado demostrado en [2] acota el error de interpolacin

Teorema 7.1. Sea S Th un tringulo con vertices en ai , i = 1, 2, 3. Dado unu C 0 (S), si el interpolador u P1 (S) est denido por u(ai ) = u(ai ), i = 1, 2, 3,

entoncesu uL2 (S)

Ch2 |u|H 2 (S) S

h2 S |u|H 2 (S) , S donde S es el dimetro del crculo inscrito en el tringulo S y |u|H r (S) denota la suma de las normas L2 de todas las derivadas de u de orden r. |u u|H 1 (S) CPara obtener una estimacin del error de interpolacin global se impone una restriccin sobre los tringulos de Th , se pide que > 0 tal que S S Th , hS porque entonces u u L2 () Ch2 |u|H 2 () , y

y

u u1

H 1 ()

Ch|u|H 2 () ,

que demuestra que en H con la interpolacin lineal, el mtodo de elementos nitos es de orden uno, el error tiende a cero como el dimetro. Si en lugar de interpolar en P1 se hiciera en Pr , polinomios de grado menor o igual que r, el resultado es el siguiente

u uy

L2 ()

Chr+1 |u|H r+1 () , Chr |u|H r+1 ()

u u

H 1 ()

por lo cual si u H r+1 () el orden del mtodo es r.


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En estos resultados de convergencia se observa que las cota del error dependen de la regularidad de la solucin exacta u, cuando u no es sucientemente regular, cosa que ocurre con frecuencia, los ordenes anteriores no se alcanzar. Si u H s () con 1 s r + 1 la cota del error son

u uy

L2 ()

Chs |u|H s () ,

u u H 1 () Chs1 |u|H s () . y la convergencia es ms lenta. Curiosamente la regularidad de la solucin u no slo depende de la regularidad de los datos sino tambin de la regularidad de la frontera , por ejemplo cuando tiene una esquina con un ngulo interior , la solucin del problema de Dirichlet prximo a la esquina en coordenadas polares tiene la siguiente forma u(r, ) = r () + (r, ), = , donde y son funciones regulares. Entonces . |Ds u|dx = C 0 R

(rs )2 r dr

que converge cuando 1 < 2( s) + 1 s < + 1 y cuando < 1 < s < 2, es decir, u H 2 por muy regulares que sean los datos.

8.

Mtodos adaptativos

Los mtodos adaptativos son tcnicas para rena la malla que cubre el dominio. Debido a que en las regiones del dominio donde la solucin es menos regular el mtodo es de menor orden parece razonable que los tringulos deban ms pequeos para que el error est equilibrado en todo el dominio. Muy brevemente, los mtodos adaptativos consisten en lo siguiente: jando una tolerancia tal que

|u uh |H 1 () C STh

(hS |u|H 2 (S) )2 2 ) . C

1/2

,

es decir,

(hS |u|H 2 (S) )2STh

(

Para determinar una triangularizacin adecuada Th se elige una triangularizacin inicial Th = {S} con N tringulos y se evala

hS |u|H 2 (S) Los tringulos S para los que

S Th .

2 (hS |u|H 2 (S) )2 > 2 NC se parten en cuatro tringulos uniendo los puntos medios de sus lados, y los tringulos que no veriquen esta condicin no se modican. Repitiendo el proceso para la nueva triangulacin se llegar a equilibrar el error en todo el dominio.

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9.

La herramienta PDETOOL de matlab

Referencias

1. 2. 3. 4. 5.

C.Jhonson, Numerical solution of p.d.e. by the f.e.m., Cambrigde University Press, 1987. P.A.Raviart et J.M.Thomas, Introduction l'analyse numrique de e.d.p., Masson, 1983. G.Strang and G.J.Fix, An analysis of the nite element mtethods, Prentice-Hall, 1973. O.C.Zienkiewicz, The nite element method in engineering science, McGraw-Hill, 1971. P.G.Ciarlet and J.L.Lions, Hanbook of numerical analysis. vol 2, North-Holland, 1991.Dep. Matemtica Aplicada y Estadstica de la Universidad del Pais Vasco

E-mail address : [email protected]

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