la inecuación cuadrática o de segundo grado.docx

La inecuación cuadrática o de segundo grado:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

solución a la ecuación

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

gráfica

S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

solución

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

solución

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0 R

x2 + x +1 > 0 R

x2 + x +1 ≤ 0 vacio

x2 + x +1 < 0 vacio

Ejercicios de inecuaciones cuadraticas

1 7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

solución

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

gráfica

(−4, 1)

2 −x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

solución

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S = R

3inecuación

solución

recta

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

gráfica

(-∞ , −2 ] Unión [2, +∞)

44x2 − 4x + 1 ≤ 0

4x2 − 4x + 1 = 0

solución

solución

5inecuación

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

ecuación

solución

recta

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

gráfica

(-∞, −16] Unión [4, ∞)

6x4 − 25x2 + 144 < 0

x4 − 25x2 + 144 = 0

solución

solución

solución

solución

gráfica

(−4, −3) Unión (−3, 3 ) Unión (3, 4) .

7x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

x4 − 16x2 − 225 = 0

solución

solución

solución

solución

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1er factor.

(x2 − 25) ≥ 0

gráfica

(-∞, −5] Unión [5, +∞)

necuaciones Cuadráticas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c < 0 .

Expresar la solución de inecuaciones cuadráticas en la forma de intervalo o como conjunto.

Trazar en la recta real la solución de inecuaciones cuadráticas.

Introducción

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

En el tutorial de Ecuaciones Cuadráticas, vimos que la gráfica de y= a x 2 + b x + c es una parábola. En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En esta sección vamos a ver que a x 2 + b x + c = 0 es la frontera entre a x 2 + b x + c < 0 y a x 2 + b x + c > 0.

Para visualizar este concepto, grafiquemos la ecuación y = x 2 + 4 x - 5 al escoger a = 1,b = 4 y c = -5 en la siguiente aplicación:

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Ahora notamos lo siguiente:

x 2 + 4 x - 5 = 0 se puede visualizar como los valores de x en la curva y= x 2 + 4 x - 5 donde y = 0. Mirando los interceptos en x, y = 0 cuando x = -5 y x = 1.

Los valores de x = -5 y x = 1 dividen el eje de x en 3 partes.

Cuando x < -5 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.

Cuando -5 < x < 1 los valores de y son negativos asi x 2 + 4 x - 5 <0 . Los puntos se ven en rojo.

Cuando x > 1 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.

Como conclusión, podemos ver que x 2 + 4 x - 5 = 0 es la frontera entre x 2 + 4 x - 5 < 0 y x 2 + 4 x - 5 > 0 .

Usar la aplicación de arriba para encontrar los valores de x consistentes con:

x 2 + 6 x - 7 = 0 , x 2 + 6 x - 7 < 0 y x 2 + 6 x - 7 > 0

x 2 - 3 x - 10 = 0 , x 2 - 3 x - 10 < 0 y x 2 - 3 x - 10 > 0

x 2 - 6 x + 8 = 0 , x 2 - 6 x + 8 < 0 y x 2 - 6 x + 8 > 0

Veamos otro caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = 3 x 2 + x + 2 . Para ello escogemos a = 3, b = 1 y c = 2 en la gráfica de arriba.

Si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 > 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la desigualdad sea cierta. En este caso, para todos los valores de x, la inecuación es cierta ya que toda la gráfica está por encima del eje x, la solución de esta inecuación es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 < 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la gráfica tenga valores menores o iguales a cero en el eje y, es decir, los valores de x para los cuales la gráfica está por debajo del eje x. Pues ninguno de los valores de x satisface ese criterio, la solución de esta inecuación es el conjunto vacío.

Analicemos un tercer caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = x 2 - 2 x + 1 . Para ello escogemos a = 1, b = -2 y c = 1, la gráfica resultante es:

Este caso es muy parecido al caso anterior, la gráfica está por encima del eje x, sin embargo, toca el eje x en un punto. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el conjunto de todos los números reales. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 < 0 , es el conjunto vacío. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 > 0 , es el conjunto de todos los números reales, excepto el punto donde toca el eje x, x=1. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el punto donde toca el eje x, x=1.

En resumen, para resolver inecuaciones cuadráticas usamos el hecho que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como puntos críticos de la inecuación y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.

Método para resolver inecuaciones cuadráticas

Para resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma a x 2 + b x + c < 0

Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:

Como intervalo

Como conjunto

Gráficamente

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c ≥ 0 .

En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.

Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x + 5 = 0 x = - 5

x - 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo

Punto de Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.

( - ∞ , - 5 )

x = -6 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7

( - 5 , 1 )

x = 0 ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5

( 1 , ∞ )

x = 2 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 0 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:

x x ≤ -5 ó x ≥ 1

Expresando la solución como intervalo

( - ∞ , - 5 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 2 x 2 - x < 6

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. Para ello necesitamos que el lado derecho de la inecuación sea igual a cero. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para obtener la forma general.

2 x 2 - x < 6 2 x 2 - x - 6 < 6 - 6 2 x 2 - x - 6 < 0


2 x 2 - x - 6 = ( 2x + 3 ) ( x - 2 )


2x + 3 = 0 x = - 3 2

x - 2 = 0 x = 2


Intervalo

Punto de Prueba


( - ∞ , - 3 2 )

x = -2 2 ( - 2 ) 2 - ( - 2 ) - 6 = 4

( - 3 2 , 2 )

x = 0 2 ( 0 ) 2 - ( 0 ) - 6 = - 6

( 2 , ∞ )

x = 3 2 ( 3 ) 2 - ( 3 ) - 6 = 9

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser < 0 .



x x < - 3 2 ó x > 2


( - ∞ , - 3 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )

Gráficamente

Ejemplo 3:

Resolver la siguiente inecuación x 2 - 4 x + 4 > 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general.



x 2 - 4 x + 4 = ( x - 2 ) ( x - 2 )


En este caso solo tenemos un punto de prueba.

x - 2 = 0 x = 2


Intervalo

Punto de Prueba


( - ∞ , 2 )

x = 0 ( 0 ) 2 - 4 ( 0 ) + 4 = 4

( 2 , ∞ )

x = 3 ( 3 ) 2 - 4 ( 3 ) + 4 = 1

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que ambos intervalos cumplen con ser > 0 . Se debe tener en cuenta que en este caso, no debemos incluir en la solución el punto de prueba, ya que en este punto la desigualdad es falsa (es exactamebte igual a cero).



x x < 2 ó x > 2


( - ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )

Gráficamente

inecuaciones Cuadráticas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c < 0 . Expresar la solución de inecuaciones cuadráticas en la forma de intervalo o

como conjunto. Trazar en la recta real la solución de inecuaciones cuadráticas.

Introducción

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

En el tutorial de Ecuaciones Cuadráticas, vimos que la gráfica de y= a x 2 + b x + c es una parábola. En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En esta sección vamos a ver que a x 2 + b x + c = 0 es la frontera entre a x 2 + b x + c < 0 y a x 2 + b x + c >0. Para visualizar este concepto, grafiquemos la ecuación y = x 2 + 4 x - 5 al escoger a = 1,b = 4 y c = -5en la siguiente aplicación:

Ahora notamos lo siguiente:

x 2 + 4 x - 5 = 0 se puede visualizar como los valores de x en la curva y= x 2 + 4 x - 5 donde y = 0.Mirando los interceptos en x, y = 0 cuando x = -5 y x = 1.

Los valores de x = -5 y x = 1 dividen el eje de x en 3 partes. Cuando x < -5 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven

en azul. Cuando -5 < x < 1 los valores de y son negativos asi x 2 + 4 x - 5 <0 . Los puntos se

ven en rojo. Cuando x > 1 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven

en azul.

Como conclusión, podemos ver que x 2 + 4 x - 5 = 0 es la frontera entre x 2 + 4 x - 5 < 0 y x 2 + 4 x - 5 >0 .

Usar la aplicación de arriba para encontrar los valores de x consistentes con:

1. x 2 + 6 x - 7 = 0 , x 2 + 6 x - 7 < 0 y x 2 + 6 x - 7 > 02. x 2 - 3 x - 10 = 0 , x 2 - 3 x - 10 < 0 y x 2 - 3 x - 10 > 03. x 2 - 6 x + 8 = 0 , x 2 - 6 x + 8 < 0 y x 2 - 6 x + 8 > 0

Veamos otro caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = 3 x 2 + x + 2 . Para ello escogemos a = 3,b = 1 y c = 2 en la gráfica de arriba. Si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 > 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la desigualdad sea cierta. En este caso, para todos los valores de x, la inecuación es cierta ya que toda la gráfica está por encima del eje x, la solución de esta inecuación es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 < 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la gráfica tenga valores menores o iguales a cero en el eje y, es decir, los valores de x para los cuales la gráfica está por debajo del eje x. Pues ninguno de los valores dex satisface ese criterio, la solución de esta inecuación es el conjunto vacío.

Analicemos un tercer caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = x 2 - 2 x + 1 . Para ello escogemos a = 1, b = -2 y c = 1, la gráfica resultante es:

Este caso es muy parecido al caso anterior, la gráfica está por encima del eje x, sin embargo, toca el eje x en un punto. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el conjunto de todos los números reales. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 < 0 , es el conjunto vacío. La solución de la inecuación x 2 - 2 x +1 > 0 , es el conjunto de todos los números reales, excepto el punto donde toca el eje x, x=1. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el punto donde toca el eje x, x=1.

En resumen, para resolver inecuaciones cuadráticas usamos el hecho que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como puntos críticos de la inecuación y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.

Método para resolver inecuaciones cuadráticasPara resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma a x 2 + b x + c < 0

2. Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:

o Como intervaloo Como conjuntoo Gráficamente

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c ≥ 0 .



x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x + 5 = 0 x = - 5 x - 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el

signo en cada intervalo.

IntervaloPunto de Prueba


( - ∞ , - 5 ) x = -6 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7( - 5 , 1 ) x = 0 ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5( 1 , ∞ ) x = 2 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 0 .



x x ≤ -5 ó x ≥ 1


( - ∞ , - 5 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 2 x 2 - x < 6

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. Para ello necesitamos que el lado derecho de la inecuación sea igual a cero. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para obtener la forma general.

2 x 2 - x < 6 2 x 2 - x - 6 < 6 - 6 2 x 2 - x - 6 < 0

Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es

igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

2 x 2 - x - 6 = ( 2x + 3 ) ( x - 2 )Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

2x + 3 = 0 x = - 3 2 x - 2 = 0 x = 2


IntervaloPunto de Prueba


( - ∞ , - 3 2 ) x = -2 2 ( - 2 ) 2 - ( - 2 ) - 6 = 4( - 3 2 , 2 ) x = 0 2 ( 0 ) 2 - ( 0 ) - 6 = - 6( 2 , ∞ ) x = 3 2 ( 3 ) 2 - ( 3 ) - 6 = 9Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser < 0 .



x x < - 3 2 ó x > 2


( - ∞ , - 3 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )

Gráficamente

-> Ecuación

Ecuación

Una ecuación dice que dos cosas son iguales, usando símbolos matemáticos.

Se usa el signo de igual (=)

Ejemplo: 7+2 = 10-1

egún los expertos en Matemática, una ecuación (concepto derivado del latín aequatio) constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebráicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

Cabe resaltar que los datos incluidos en una ecuación pueden ser números, constantes, coeficientes o variables. Las incógnitas, por su parte, están representadas por letras que sustituyen al valor que se intenta hallar.Una ecuación sencilla es la siguiente:4 + x = 9En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente forma:4 + x = 9x = 9 – 4x = 5

El valor de la incógnita, por lo tanto, es 5.En el ámbito de la Química, en cambio, se entiende por ecuación a la expresión que, de manera simbólica, representa a una reacción química. Con ella, pues, es posible señalar las cantidades relativas tanto de los reactantes como de los productos.

En el campo de la astrología, asimismo, una ecuación se caracteriza por ser la diferencia que se desprende de la comparación del movimiento medio con el desplazamiento verdadero o aparente de un astro.Cabe destacar, por último, que se utiliza el término ecuación en el lenguaje cotidiano para hacer referencia a fórmulas o cálculos que implican distintas variables. Por ejemplo: “Si compro un coche nuevo de 30.000 dólares y no me ascienden en el trabajo, la ecuación no va a funcionar”, “La ecuación, en mi opinión, es simple: te conviene renunciar a tu puesto actual, invertir el dinero que tienes ahorrada y abrir tu propia empresa”.E = mc2

Sin duda, la ecuación más famosa e incomprendida es la de la Teoría de la Relatividad, de Albert Einstein, que representa un paso enorme para la ciencia del siglo XX. A pesar de no haber sido él quien desarrollara el concepto de relatividad en primer lugar, su trabajo intentó demostrar que la velocidad de la luz es constante si se encuentra en el vacío.Básicamente, los físicos dividen la Teoría de la Relatividad en dos partes o versiones bien diferenciadas: la Especial, que estudia la posible relatividad de la inercia y el movimiento, así como las repercusiones de lo conjeturado por Einstein, y la General, la cual se centra en la aceleración de partículas y cuestiona radicalmente la teoría planteada por Newton, ya que predice resultados diferentes para cuerpos que se desplazan a altas velocidades, que tengan un gran volumen, o ambas.Si bien esta última puede reproducir fielmente la totalidad de predicciones comprobadas en la teoría newtoniana, lleva el entendimiento de algunos de sus principios básicos a nuevos horizontes. Por ejemplo, Newton había desarrollado que la gravedad trabajaba en espacio vacío, aunque no ahondaba en razones para que la distancia y la masa de un determinado objeto pudieran ser transmitidas a través de él. En este caso, la visión de Einstein ayuda a resolver la paradoja, demostrando que el movimiento persiste en una línea recta, aunque es observada por nosotros como aceleración, ya que la relación espacio-tiempo posee una naturaleza curva.En los últimos tiempos, ambas partes de la Teoría han sido comprobadas en un grado muy alto, ya que han servido para corroborar un sinnúmero de predicciones importantes, tales como la del eclipse solar, que propone que el sol desvía la luz proveniente de las estrellas cuando ésta se le aproxima mientras se dirige hacia la Tierra.

Lee todo en: Definición de ecuación - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/ecuacion/#ixzz3t5Zy6h1f

Inecuaciones de 1er grado con una incógnitaDefinicionesUna inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de primer grado.

Una inecuación de primer grado es una inecuación en la que sus dos miembros son polinomios de grado menor o igual a 1.

Las soluciones de una inecuación son todos los números reales que hacen que dicha inecuación sea cierta.

Inecuaciones de 1er grado con una incógnita

Inecuaciones equivalentes

El proceso de resolución de inecuaciones que veremos después se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla.

Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

En la escena adjunta se detallan los procesos válidos para pasar de una inecuación a otra equivalente.


Resolución

La resolución de una inecuación es un proceso que tiene por objetivo encontrar todas sus soluciones o demostrar que no tiene ninguna.

Este proceso consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más simples hasta que el resultado final sea de alguno de los siguientes tipos:

o hasta que el resultado final sea contradictorio, en cuyo caso, la inecuación no tiene soluciones.


Sistemas de inecuaciones

Un sistema de inecuaciones de primer grado es un conjunto de 2 o más inecuaciones de primer grado.

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita se resuelve cada inecuación por separado. Las soluciones del sistema las forman todos los números reales que satisfagan todas y cada una de las inecuaciones del sistema.

Inecuaciones de 2o grado con una incógnita

Resolución por descomposición

Una inecuación de segundo grado es toda inecuación equivalente a una de las siguientes:

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c<=0ax2+bx+c>0, ax2+bx+c>=0

siendo a, b y c números reales.

Si el polinomio que caracteriza la inecuación tiene raíces reales, se puede usar su descomposición en factores para resolverla como un sistema de ecuaciones de primer grado.

Inecuaciones de 2o grado con una incógnita

Resolución general

El procedimiento empleado en el apartado anterior es válido si el polinomio de segundo grado resultante tiene raíces reales. En caso contrario no nos sirve.

En este apartado veremos un procedimiento general que es válido para cualquier inecuación de segundo grado, tenga o no raíces reales.

Este procedimiento se basa en saber si la representación gráfica del polinomio (una parábola) está abierta hacia arriba o hacia abajo y si corta o no, al eje de abscisas.

Inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas

Definiciones

Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es cualquier inecuación equivalente a alguna de éstas:

ax+by+c<0 ax+by+c<=0ax+by+c>0 ax+by+c>=0

En este caso, las soluciones no son conjuntos de números, sino conjuntos de parejas de números, por lo que no pueden representarse sobre una línea recta: deben representarse como subconjuntos del plano.

3. Inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas

Resolución gráfica

Una solución de una inecuación de dos variables es una pareja de números (x0,y0), tales que al sustituir sus valores en las incógnitas de la inecuación, hacen que la desigualdad sea cierta. Cada pareja de números reales se puede representar como un punto del plano.

Por tanto, resolver la inecuación equivale a obtener todos los puntos del

plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la desigualdad.

la inecuación cuadrática o de segundo grado.docx

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