POTENCIAS

1. Calcula el valor exacto de cada expresión:

a) 25 + 33 = b) 34 – 42 = c) (-3)2 – (-3)4 =d) (-8)3 – (-8)2 = e) (0,2)2 – (0,5)2 = f) (-3)1 + (-2)2 + (-2)3 + (-2)4 – (-2)5 = g) 3·23 - (2-5)2 + 50 – (4+5·6)0 =

h) 30 + 3-1 – 3-2 + 3-3 = i) (0,1)-1 + (0,01)-1 + (0,001)-1 =

j) 100 + 101 + 102 + 103 + 104 = k) (0,5)2 – (0,2)2 + 2-2 + 3-1 =

l) (-3)2 + 22 – 40 + 5·(3 – 5)0 = ll) (0,25)-2 + (0,5)-3 – (0,333...)-2 =

m) (0,00001)0 + (0,0001)2 = n) (0,666...)-2 + (0,444...)-3 + (0,25)-3 =

ñ)

(32)2 ·(23 )2 ·3 ·22 · 37

(2 ·32)5 ·(35 ·22 )2 · 27 ·33=

o)

2· 52 ·3·23 · 52 · 23

(3 ·5 )4 · 5 ·24=

2. Aplica las propiedades de las potencias con exponentes enteros para simplificar.

a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = c) xa+3b · x5a-4b = d) an+2b3m-5· a5nb86m+10 =

e) xn+2m · (x3n-m + xn+m – 3x4n+2m) = f) 65x : 63x = g) x5a+7b-4c : x4a-4b+2c =

h)

32 x4 y3

8 x3 y3=

i)

125 a4b6 c2

50 a−3b2c=

j)

( x2n−3 yn−2)3

xn−8 y3 n−7=

k)

(a3 n+1bn−4 c4 n)4

(an−2 b2n−1c2n )2=

l) ( xa+b

xa )a

⋅( xb−a

xb )a+b

=ll)

( x p+q

x p−q )p+q

⋅( x p−q

x p +q )p−q

=

m) (3a4b2c3)2·(2a-2b5c)3=

n) (4a-2b-1)-3·(3a-1b2)2 = ñ)

a−1

b+ b−1

a=

o)

x−1+ y−1

y−1−x−1=

p)

a2 b3 a5 b7

(ab )3 b2 a=

q)

p2 q3 r 5( pq )3

(aq )3 ( pr )2 pq=

r)

an : am

am−n=

s)

p2 q3

q⋅ pq2 p5

⋅p·q=t)

pa−b qb p2a

q2 b pb ( pq )a+b=

u)

(am)n bm a2 n

(ab )n (ab2 )m a=

v) (2x + 3y)-2 = w) (2x-33y-2z-5)-1 = x)

4 y−2+3 x2

( xy )−7=

3) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) a2x + 1 = a3x + 2 b) ax – 2 = a3x + 1 c) b2x – 5 = b d) a5x – 8

= 1

e) ax : a2 = a2x f) bx – 2 · b3x = b– x g) (b2) x = b3x + 2

h) 43x – 1 = (64)3 i) 33x = 2187 j) 25x – 7 = 512

k) –81 = (-3)3x – 5 l)

−1625

=(−15 )

2 x+3

4) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a2 x+ y=ax−1

bx− y=2a5 x− y=a3 :ax

bx · b5− y=b2 :bxp2 x−3 y=px : p y

q2 x+3=qy · q2

a2 x− y=abx

b=b y

Resuelve las ecuaciones y sistemas:

1) xx 3−8=1 2) 3x + 2 – 3x + 1 + 3x + 3x – 1 + 3x – 3 = 16119 3) 3x + 2 + 9x + 1

= 810

4)

53 x−2 y=3125116 x−7 y=14641 5)

m=ay

n=az

1=(m·n)x6)

3x−15

3x−1+3x−3=23

3x−2 (r. 5/2)

POTENCIAS

Propiedades de la potenciación:

Las siguientes propiedades se cumplen ∀ a, b, c ∈ R y n, m ∈ Z

am · an = am+n 22 · 23 = 25 = 32

am : an = am-n 34 : 32 = 32 = 9

a0 = 1 , para todo a ¿ 0 (4,003)0 = 1 ; 00 no está definido

(am)n = am·n (22)3 = 26 = 64

(a · b · c)m = am · bm · cm (2 · 3)2 = 22 · 32

a-n =

1

an2−3= 1

23=1

8

( ab )

−n

=( ba )

n

( 23 )

−3

=(32 )

3

=33

23=27

8 Notas:

+ , si n es par 1) (–)n =

– , si n es impar

2) (–2)4¿ –24

EJERCICIOS1.Calcula el valor exacto de cada expresión:

a) 25 + 33 = b) 34 – 42 = c) (-3)2 – (-3)4 = d) (-8)3 – (-8)2 = e) (0,2)2 – (0,5)2 =

f) (-3)1 + (-2)2 + (-2)3 + (-2)4 – (-2)5 = g) 3·23 - (2-5)2 + 50 – (4+5·6)0 =

h) 30 + 3-1 – 3-2 + 3-3 = i) (0,1)-1 + (0,01)-1 + (0,001)-1 =

j) 100 + 101 + 102 + 103 + 104 = k) (0,5)2 – (0,2)2 + 2-2 + 3-1 =

l) (-3)2 + 22 – 40 + 5·(3 – 5)0 = ll) (0,25)-2 + (0,5)-3 – (0,333...)-2 =

m) (0,00001)0 + (0,0001)2 = n) (0,666...)-2 + (0,444...)-3 + (0,25)-3

=

ñ)

(32)2 ·(23 )2 ·3 ·22 · 37

(2 ·32)5 ·(35 ·22 )2 · 27 ·33=

o)

2· 52 ·3·23 · 52 · 23

(3 ·5 )4 · 5 ·24=

p)

7 ·35 ·24 ·32 ·72 ·7(7 · 3)4 ·23 ·32 · 5 ·22

=q)

4 ·162 · 44 ·32 ·45

3· 48 · 4 · 43 · 33=

2. Aplica las propiedades de las potencias con exponentes enteros para simplificar.

a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = c) xa+3b · x5a-4b = d) an+2b3m-5· a5nb86m+10 =

e) xn+2m · (x3n-m + xn+m – 3x4n+2m) = f) 65x : 63x = g) x5a+7b-4c : x4a-4b+2c =

h)

32 x4 y3

8 x3 y3=

i)

125 a4b6 c2

50 a−3b2c=

j)

( x2n−3 yn−2)3

xn−8 y3 n−7=

k)

(a3 n+1bn−4 c4 n)4

(an−2 b2n−1c2n )2=

l) ( xa+b

xa )a

⋅( xb−a

xb )a+b

=ll)

( x p+q

x p−q )p+q

⋅( x p−q

x p +q )p−q

=m) (3a4b2c3)2·(2a-2b5c)3=

n) (4a-2b-1)-3·(3a-1b2)2 = ñ)

a−1

b+ b−1

a=

o)

x−1+ y−1

y−1−x−1=

p)

a2 b3 a5 b7

(ab )3 b2 a=

q)

p2 q3 r 5( pq )3

(aq )3 ( pr )2 pq=

r)

an : am

am−n=

s)

p2 q3

q⋅ pq2 p5

⋅p·q=t)

pa−b qb p2a

q2 b pb ( pq )a+b=

u)

(am)n bm a2 n

(ab )n (ab2 )m a=

v) (2x + 3y)-1 = w) (2x-33y-2z-5)-1 = x)

4 y−2+3 x2

( xy )−7=

3) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) a2x + 1 = a3x + 2 b) ax – 2 = a3x + 1 c) b2x – 5 = b d) a5x – 8

= 1

e) ax : a2 = a2x f) bx – 2 · b3x = b– x g) (b2) x = b3x + 2 h) 43x – 1 = (64)3

i) 33x = 2187 j) 25x – 7 = 512 k) –81 = (-3)3x – 5 l)

−1625

=(−15 )

2 x+3

4) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a2 x+ y=ax−1

bx− y=2a5 x− y=a3 :ax

bx · b5− y=b2 :bxp2 x−3 y=px : p y

q2 x+3=qy · q2

a2 x− y=abx

b=b y

Resuelve las ecuaciones y sistemas:

1) xx 3−8=1 2) 3x + 2 – 3x + 1 + 3x + 3x – 1 + 3x – 3 = 16119 3) 3x + 2 + 9x + 1

= 810

4)

53 x−2 y=3125116 x−7 y=14641 5)

m=ay

n=az

1=(m·n)x6)

3x−15

3x−1+3x−3=23

3x−2 (r. 5/2)

A L G E B R ACONCEPTOS BÁSICOS :

1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m

En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.

Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado– 5,9a2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6

−√33

h4k5

abc

xy2

4– 8a4c2d3

3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.Ejemplo:

4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina:

Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35zBinomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5bTrinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas:

Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos2x – 5y3 1; 3 = 3 2: binomio

x2 y3

4a – b + c – 2dm2 + mn + n2

x + y2 + z3 – xy2z3

VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

23

ab2−5 ab+6c

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la

expresiónpara determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1

No olvidar:

Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3

5 x2 y−8 xy 2−9 y3=5⋅22⋅(−1 )−8⋅2⋅(−1 )2−9⋅(−1 )3

= 5⋅4⋅(−1)−8⋅2⋅1−9⋅(−1 )= =−20−16+9=−27

Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica

Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0 Resultado

5 a2−2 bc−3 d4 ab – 3 bc – 15d

6 a3 f

2 a2−b3−c3−d5

3( a−b )+2(c−d )

c3+ b

5−a

2

(b+c )2

1.º Reemplazar cada variable por el valor asignado.2.º Calcular las potencias indicadas3.º Efectuar las multiplicaciones y divisiones4.º Realizar las adiciones y sustracciones

Es el valor numérico

Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal.Ejemplos:

En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

En la expresión x2y3 – 8xy2 +

25 x2y3 , x2y3 es semejante con

25 x2y3

Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común.

Ejemplos:

1) –3 a 2 b + 2ab + 6 a 2 b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

2)

34

x3 y2−12

x2 y3+ 23

x2 y3+ 13

x3 y2=

1312

x3 y2+ 16

x2 y3

34+ 1

3=9+4

12=13

12 −1

2+ 2

3=−3+4

6=1

6

Ejercicios:

1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

2) 4,5 a−7 b−1,4 b+0,6 a+5,3 b+b =

3)

35

m2−2 mn+ 110

m2−13

mn+2mn−2m2=

4)

25

x2 y+31+ 38

xy 2−35

y3−25

x2 y−15

xy2+ 14

y3−6=

Uso de paréntesis: () [ ] {}

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

Ejemplos:

1) 2 a+ {−x+a−1 }− {a+x−3 }= 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )

2 a − x + a −1 −a −x +3 = 2 a−2 x+2 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación:

Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más interior.

Ejemplo:

m2−{−7 mn+[−n2−(m2−3mn+2n2 ) ]}=m2 −{−7 mn + [ −n2 − m2+3 mn−2 n2 ] }= m

2 −{−7 mn −n2−m2+3 mn−2 n2 }= m

2 +7 mn + n2 + m2 − 3 mn + 2 n2=2 m2+4 mn+3 n2

Ejercicios: ( desarrolla en tu cuaderno)

1) −4− (x− y )−5+( x+3 y )−2−{x−3 y+5−[−x+ y−1+2+( x− y ) ] }=

2) −{+ [ (x− y+ z ) ] }+{−[ ( z+x− y ) ] }−[ {−( x+ y ) } ]=

Multiplicación en álgebra

Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos:

1.º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación )2.º Multiplicar los coeficientes numéricos.3.º Multiplicar las letras ( multiplicación de potencias de igual base ).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.

Ejemplos:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6

7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=

14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

(2a−3b ) (3 a−7b )=

6a2–14ab –9ab +21b2 =

6a2 –23ab +21b2

( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)=

30 m6n–4p–2

( a x + b y – c z ) • (- x y )=

– ax2y – bxy2 + cxyz

(−25

m2 a−3)⋅(−54

ma−1+ 52

m5 a)=

12

m3 a−4−m7 a−3

( x−2 ) ( x2+2 x+4 )=x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8=

x3 –8

( 34

a4 b)⋅( 23

ab3 )=12

a5 b4 (m2−2 mn−8n2 ) ( m3−3 m2+2 )=

¡ hazlo tú !

ECUACIONES ENTERAS Y FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO

Determinar la solución de las siguientes ecuaciones:

1. 5 + 6x = 2

2. 4b + 1 = -18

3. 18c - 3 = 0

4. 5 - 2d = 9

5. - 3f + 1 = 4

6. - 2 - 5g = 0

7. 13 - h = 13

8. 5j - 9 = 3j + 5

9. 2k + 7 = 12 - 3k

10. 10 - 4x = 7 - 6x

11. 5m - 3,2 = 2m + 2,8

12. 5n - 2n + 12 = 35 - 4n - 9

13. 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ - 11

14. 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p

15. q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q

16. 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0

17. 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)

18. (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)

19. 3 - (8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4)

20. (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)

21. -(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x)

22. 12y = 3(3y - 5)

23. 3z - 1 = 2(z - 1)

24. 2(b + 2) - 5(2b - 3) = 3

25. 7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4)

26. 4-2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3)

27. 8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0

28. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g - 12

29. 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12)

30. 3[2 - (3j - 6)] + 4[6j - (1 - 2j)] = 4 - 5j

31. 2 - {k - [6k - (1 - 2k)]} = 100

32. 3[2x - (5x + 2)] + 1 = 3x - 9(x -3)

33. 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2

34. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1)

35. 2 - (3ñ + 4)-(5ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 10) = 11

36. 2[7p - 2(p - 1)] + 3(4p + 7) = 5 - (p - 1)

37. 8{2 - [q + 2(q - 3)] + 1} = 3 - (8 - 3q)

38. 2 - 3(r - 7) - 7r = 4(r - 2) + 8

39. 33,7 - (1,5s + 2,3) = 3,4s - (0,4 - 5,7s)

40. (t - 3)² - (t - 2)² = 5

41. (2v - 4)² + 6v - 3 = 4v² - (3v - 1)

42. (w + 3)² + 4 = (w - 2)² + 5w - 2

43. (3x - 3)² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5)

44. 2 - (y + 1)² = 5 - 3[y - (5y + 9)] - y²

45. 6z - 1 + 2z + 5z - 9 - 234 = 999

46. 2{x - [x - (x - 1)]} + (x + 2) = 256

47. (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4)

48. 6x - (2x - 1)(2x + 1) = 2 - (3 + 2x)²

49. 7 - [8x - 3(x + 3)] = 5x - (4 - 2x)

50. 1 - a = 1

51. b/5 = 1/2

52. 2.c/7 = 3/4

100.- (x - 2)2 - (x + 1).(x - 1) = 5

SOLUCIONES:

1. -1/22. -19/43. 1/64. -25. -16. -2/57. 08. 79. 110. -3/211. 212. 213. 9/214. 5/615. 3/216. -1/1117. 11/518. 9/719. 1/1820. 1/10

21. 19/2922. -523. -124. 225. 19/2526. -9/1327. 259/10428. 429. 1/230. -4/731. 99/732. -32/333. 1/334. 2106/415935. 19/2436. -19/2337. 77/2738. -21/839. 340. 0

41. 12/742. -11/543. 41/2044. -31/1445. 1243/1346. 256/347. 28/1148. -4/949. 5/350. 051. 5/252. 21/853. 554. 5055. -256. 557. -46/1558. 259. 160. -8

61. 7/1062. 8/363. 67/2564. 91/6265. 539/7366. 734/22367. 173/6668. -491/31469. 53/2870. 78/1771. 47/472. 127/8973. 159/2574. -7/3975. 137/2676. 73/7177. 16/378. 677/8979. -71/480. -15/62

81. -27/3882. 28/383. 19/1384. 767/45185. 6/786. -28/3387. 169/3488. 26/389. 139/6290. -117/12191. 135/14692. 9/1993. 76/4794. -56/1995. 23/1896. 173/29697. 130/7198. -11/399. -23/28100. 0

NM1: PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el

número?

4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es

147. Hallar el número.6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los

números?

7) En el triángulo ABC, los lados AB=3 BC y BC=1

2AC

. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?

8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.

9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.

10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?

11)Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

12)Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la

novia era

34 de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen actualmente?

13)La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente?

14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.

15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?

16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?

18) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?

19) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?

21) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador

se le suma 3, la fracción queda equivalente a

43 . Hallar la fracción.

22) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.23) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.24) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.25) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.26) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la

menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor

aumentada en 100.28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la

mayor.29) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del

mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso

y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el

menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda

por 27, la suma de los cuocientes sea 12.

33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción

813 y

simultáneamente restarse del numerador y del denominador de

4051 para que las

fracciones resultantes sean equivalentes?

34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.

35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?

37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

38) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”

39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

RESPUESTAS

1) 52) P – 33) 174) 25, 27 Y 295) 206) 51 Y 527) AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m.8) 10 m9) largo: 43,75 y ancho: 26,2510) 4 unidaes11) 8 y 28 años12) 28 y 34 años13) 14, 12 y 1 año14) Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años15) Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años16) 14 y 38 años17) Hace 10 años18) Lápiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 9519) Hernán: $ 126, Gladys: $ 63; María: $ 4220) 2 horas 13 minutos 20 segundos

21)

1715

22) 51 y 5223) 67, 68 y 6924) 96 y 9825) 31, 33 y 3526) 27) 28) 29) 30) 11040 gramos31) 30 y 6832) 99 y 8133) 734) 20 cm35) 28 alumnos36) $ 2537) 80 niños38) 4 hombres 16 mujeres39) $ 50; $ 1.250; $ 3.75040) 38 ciruelas.

NM1: Resolución de Problemas

1. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. ¿Cuáles son?2. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado será tres veces el menor. Encontrar los números.3. ¿Cuáles son los números cuya suma es 58 y su diferencia 28?4. Encontrar un número tal que su exceso sobre 50 sea mayor que su defecto sobre 89.5. Si a 288 se le suma un cierto número el resultado es igual a tres veces el exceso del número sobre 12. Encontrar el número.6. Dividir 105 en dos partes una de las cuales disminuida en 20 sea igual a la otra disminuida en 15.7. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84.8. La suma de dos números es 8 y si a uno de ellos se le suma 22 resulta 5 veces el otro. ¿Cuáles son los números?9. Encontrar dos números que difieran en 10 tales que su suma sea igual a dos veces su diferencia.10. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 121. Hallar los números.

11. El área de un terreno circular más el doble de su radio es 250 m 2. Hallar el radio y el área del terreno.12. La diferencia de dos números es 3 y la diferencia de sus cuadrados es 27. Hallar los números.13. Dividir $380,000 entre A, B y C de modo que B tenga $30.000 mas que A, y C tenga $20.000 más que B.14. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años mas el tendrá el doble de la edad de su hijo. Encontrar sus edades.15. La edad de A es 6 veces la edad de B y en 15 años mas la edad de A será el triple de la edad de B. Hallar ambas edades.16. La suma de las edades de A y B es 30 años y 5 años después A tendrá el triple de la edad de B. Hallar sus edades actuales.17. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134.¿Cuántos animales hay de cada clase?18. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?19. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase?20. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?21. Se quieren mezclar vino de 600 pesos. con otro de 35o pesos, de modo que resulte vino con un precio de 50 pesos el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?22. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?23. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 lápices a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?24. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga 1530 pesos Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga 825 pesos No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?25. Con 10000 pesos que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y lechesemidesnatada por un total de 960o pesos. Si el paquete de leche entera cuesta 115o pesos y el desemidesnatada 900 pesos. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?26. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de papas por 835 pesos y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de papas por 1.285 pesos Calcula el precio de los kilogramos de naranja y papa.27. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a 1200 pesos Además, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a 750 pesos el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a 800 pesos el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?28. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron 196.250 pesos Si los adultos pagaban 400 pesos y los niños 150 pesos ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?29. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 pesos y otros a 1200 pesos con los que han obtenido 19.200 pesos ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?30. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2,4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.

31. Un pastelero compra dulces a 65 pesos la unidad y bombones a 25 pesos cada uno por un total de 585 pesos Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a 3 pesos más y cada pastel a 5 pesos más de lo que le costaron perdería en total 221 pesos ¿Cuántos pasteles y bombones compró?32. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.33. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número.34. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.35. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.36. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.37. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?38. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruplo del menor.39. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.40. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco pesos y otras de un peso ¿Puedo tener en total 78 pesos?41. Juan y Roberto comentan:Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú"Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú".¿Cuántas monedas tienen cada uno?42. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de 220 pesos Las monedas son de 5 y 25 pesos ¿Cuántas monedas hay de cada valor?43. Tenía muchas monedas de 1 peso y las he cambiado por centavos. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?44. En la fiesta de un amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuántas monedas para repartía se tenía?45. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba 300 pesos a cada uno le sobraba 600 pesos y si no daba 500 pesos le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?46. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?47. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?48. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?49. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese 1.000 pesos a cada nieta y 500 a cada nieto se gastaría 6.600 pesos ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?50. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?51. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?52. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?53. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando 207.000 pesos El primero le pagaba 6.500 pesos diarias y el segundo 8.000 pesos ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?54. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 500 pesos diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado 33.000 pesos más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.55. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

56. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.57. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.58. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.59. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?60. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?61. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.62. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.63. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.64. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.65. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?66. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la máxima precisión posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos ¿puedes decir cuánto mide una toesa y un pie en metros?67. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?68. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?69. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?70. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?71. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?72. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?73. Un reloj señala las tres en punto. A partir de esa hora, ¿a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez?74. Un reloj señala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ángulo recto?75. Un reloj marca las doce horas. ¿A qué hora la manecilla que marca los minutos se encontrará otra vez con la manecilla que marca la hora?76. Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles ( dos camas ) y simples ( 1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo. (Resp.: 25 camarotes simples y 40 camarotes dobles).77. Cierta vez poseía muchas monedas de 25 centavos y decidí cambiarlas por monedas de un peso. Si el número de monedas disminuyó en 90, ¿cuánto dinero logré ahorrar? (Resp.: 30 pesos)

78. Hallar las edades de dos personas sabiendo que la suma de las mismas es, actualmente, 50 años y que la razón entre las mismas era, hace 5 años, igual a 1/3. (Resp.: 15 años y 35 años)79. Cuántos objetos tiene Aníbal y cuántos Bernardo sabiendo que si Bernardo le da a Aníbal 5 objetos, éste tiene el triple de los que le quedan a Bernardo y que ambos quedan con el mismo número de objetos si Aníbal le da a Bernardo 6 objetos. (Resp.: Aníbal tenía 28 objetos y Bernardo 16 objetos)80. Descomponer el número 149 en dos partes tales que el cociente entero entre dichas partes sea 4 y el resto 4. (Resp.: 120 y 29)81. Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que si se aumenta 3 cm a la altura y se disminuye 2 cm a la base, su área no aumenta ni disminuye, siendo además la altura 2 cm mayor que la base.(Resp.: base = 10 cm; altura = 12 cm)82. Si el largo de un rectángulo fuese 9 cm más corto y el ancho fuese 6 cm más largo, la figura sería un cuadrado con la misma área que el rectángulo. ¿Cuál sería el área del cuadrado? (Resp.: 324 cm2)83. Un total de $5000 fue depositado en dos cuentas de interés simple. Una de las cuentas paga el 8 % de interés simple anual, mientras que la segunda cuenta paga el 12%. ¿Cuánto deberá ser depositado en cada cuenta para ganar un interés total anual de 520?84. Un depósito fue hecho en una cuenta de ahorro que paga el 6% de interés simple anual. En otra cuenta fueron depositados $3500 menos que en la primera cuenta, que paga el 10% de interés simple anual en una cuenta "money market". Si el total de interés ganado en ambas cuentas al cabo de un año fue $450, ¿cuánto dinero fue depositado en la cuenta que paga el 6%?85. Un carnicero mezcla carne de res molida que cuesta a $2.50 la libra con carne molida que cuesta $3.10 la libra. ¿Cuántas libras debe mezclar de cada carne para hacer una mezcla de 80 libras que se venda a $2.65 la libra?86. Un químico tiene una solución de peróxido al 8% y otra al 5 %. ¿Cuántos milímetros de cada uno deberá hacer mezclar para hacer 300 milímetros de una solución que tenga 6% de peróxido?87. Un platero mezcla 50 gramos de un metal que tiene 50% de plata con 150 gramos de otro metal que contiene plata. Si el metal resultante tiene 68% de plata, hallar el por ciento de plata que tiene el de 150 gramos.88. Un corredor de larga distancia comienza una carrera a una velocidad promedio de 6 mph. Una hora más tarde un segundo corredor comienza la carrera a una velocidad promedio de 8 mph. ¿Cuánto tiempo se tardará el segundo corredor en alcanzar el primero?89. Un ejecutivo se va guiando desde su casa al aeropuerto a una velocidad promedio de 30 mph., donde le espera un helicóptero. El ejecutivo borda el helicóptero rumbo a las oficinas corporativas y viaja a una velocidad promedio de 60 mph. Si la distancia tota era de 150 millas y el viaje en total (comenzando en su casa) toma 3 horas, ¿cuánto es la distancia desde el aeropuerto hasta las oficinas corporativas?90. El perímetro de un rectángulo es 120 pies. El largo del rectángulo es el doble del ancho. Hallar el largo y ancho del rectángulo.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Danny Perich C.

Técnicas de resolución

1) Resolución por igualaciónTenemos que resolver el sistema:

esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación.Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:

Luego:

 Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Operamos para hallar el valor de y:

y=2Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

 Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.

2) Resolución por sustitución.Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

 Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

 Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

3) Resolución por reducciónTenemos que resolver el sistema:

El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

 Y la sumamos la primera obteniéndose:-7y = -14

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de x:

Ejercicio: Resuelve por este método:

4) Resolución por determinanteSabemos que un determinante se representa como:

|a bc d

|

Este se calcula de la siguiente manera: a·d – b·c

Sea el sistema:a1x + b1y = c1

a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado por:

x=

|c1 b1

c2 b2

|

|a1 b1

a2 b2

| e

y=

|a1 c1

a2 c2

|

|a1 b1

a2 b2

|

Resolvamos el sistema::

 

x=

|c1 b1

c2 b2

|

|a1 b1

a2 b2

|=

|22 318 5

|

|4 32 5

|=110−54

20−6=56

14=4

y=

|a1 c1

a2 c2

|

|a1 b1

a2 b2

|=

|4 222 18

|

14=72−44

14=28

14=2

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

Resuelve, por determinantes:

Sistemas de Ecuaciones de Segundo Grado

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticos:

1) x + y = 7x·y  = 12

2) x + y = 10xy = 16

3) x + y = 9    x2 + y2 = 41

4) x2 + y2 = 52xy = 24

5) x2 + y2 = 34x - y = -2

6) x2 + 3xy + y2 = 31xy = 6

7) x + y + xy = 14x + y = 6

8) x2 + y2 = 29  x2 - y2 = 21

9) x2 - y2 =640x : y = 7 : 3

10) x2 - y2 = 44xy - y2 = 20

 

II) Resuelve los siguientes problemas verbales, a través de sistemas de ecuaciones:

1. La suma de dos números es 3 y su producto es -4. Hallar los números.

2. Determina dos números cuya suma es 9 y su producto 18.

3. La diferencia de dos números es 5 y su producto 14. Hallar los números

4. Hallar dos números cuya  suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53.

5. Determina dos números cuya suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia de sus cuadrados es 5.

6. Hallar un número que es 3/5 del otro y el producto de ellos resulta 2160.

7. La diferencia entre un número y el doble de otro número es 5. Si el producto de ellos es 18, ¿cuáles son los números?

8. La diferencia entre dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34. ¿Cuáles son los números?

9. La diferencia de dos números es 7 y el producto de su suma por el número menor es 104. Hallar los números.

10. La diferencia entre el quíntuplo del cuadrado de un número y el cuadrado de otro número es 11. Si la suma del primero con el cuadrado del segundo resulta también 11. ¿Cuáles son los números?

11. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuya área mide 24 cm2 si sus lados están en la razón de 2 : 3?

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. Si la diferencia entre sus catetos es 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo?

13. La suma de los cuadrados de dos números es 18. Si  al cuadrado del primero se le suma el producto entre ambos números resulta 0. ¿Cuáles son los números?

14. La diferencia entre dos números es 4. Al sumar sus cuadrados a la diferencia de su producto resulta 112. ¿Cuáles son los números?

15. El área de un rectángulo es 60 m2. Si su diagonal mide 13 m. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

16. La suma de los cuadrados de dos números es 5/36. ¿Cuáles son los números si su diferencia es 1/12?

17. ¿Cuánto mide el área de un rectángulo si su diagonal es  a2 + b2  y la diferencia entre sus lados es a - b?

NM3: Ecuación de Segundo Grado

I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones:

1. x2=100

2. x2−225=0

3. x2=1225

4. x2=50

5. x2−3c2=0

6. x2−10=71

7. x2+23=167

8. 6 x2−27=5 x2+73

9. 7 x2=252

10. 2 x2+35=1315−3 x2

11.

12. x2=4

9m2+mn+ 9

16n2

13. x (2x−3)−3(5−x )=83

14. (2 x+5 )(2 x−5)=11

15. (7+x )2+(7−x )2=130

16. (3 x+5 )(4 x+3 )=(5x−3)(2 z−9 )+80 x+20

17. (2 x−3)(3 x−4 )−( x−13 )( x−4 )=40

18. (3 x−4 )( 4 x−3 )−(2 x−7 )(3 x−2)=214

ab10b25ax 222

19. 8(2−x )2=2(8−x )2

20.

2 x2−83

=2

21.

x2−62

− x2+44

=5

22.

5 x−3x

=7−xx+2

23.

xx+2

+ xx−2

=1

24.

x+2x−2

+ x−2x+2

=40

x2−4

25.

x2−5 x+11x2−7 x+83

=57

26.

1√x+4

=√x−43

27. 3√√5 x2+9−19=2

28. √ x+4−√ x−4= x+1

√ x+4

29. √ x+3−√5 x−25= 8

√ x+3

30. √10+x−√10−x=2

31. 2√5+ x+√9−3 x=√41−3 x

32. √5+x−√25−3 x=2√5−x

33. x2−3x=0

34. 6 x2+42 x=0

35. x2+ax=0

36. ( x−2 )(x−3)=6

37. ( x−2 )(x+5 )=9 x−10

38. (2 x+6 )(2 x−6 )=(2 x+9 )(3x−4 )

39. (8 x+3)(2 x−5 )−(3 x+5)(3 x−5 )=22 x+10

40. ( x+3)2−8 x−9=0

41. ( x+4 )2+( x−3 )2=( x+5 )2

42. ( x+13)2=( x+12)2+( x−5 )2

43. 3 x+54

2 x+3=18

44.

4x+3

− 3x−3

=73

45. √ x+9−√1−x=4

46. √1+4 x−√1−4 x=4√ x

47. x2−18x+80=0

48. x2−4 x−96=0

49. x2−17 x+52=0

50. x2−7 x−12=0

51. 4 x2+5 x−6=0

52. 6 x2+5 x−1=0

53. 3 x2−10 x−25=0

54. 7 x2−16 x+9=0

55. x2+4 ax−12 a2=0

56. x2−5ax+6a2=0

57. abx 2+(a2−b2) x−2ab=0

58. a (x+a)2=b (x+b )2

59.

60.

61.

x−8x+2

= x−12 x+10

62.

xx+1

+ x+1x

=136

63.

4x−1

−3−x2

=2

64. √ x+7=x+1

65. √4−x+√ x−3=1

66.

7−3 x5−x

− 2 x3−x

=8

67. √5 x+1+√3 x=√8 x+1

68.

x−ax−b

+ x−bx−a

=2

69.

xx−1

− 2x+1

= 3

x2−1

70.

x+1

x2−5 x+6+ x+5

x2−6 x+18=13

x−2

II. Determina la ecuación cuadrática de raíces:

1. -3 y -52. 8 y -83. 9 y 74. 0 y 12

5. 5 y

34

6. 6 y

−34

7.

14 y

−56

8.

a+b2 y

a−b4

9. y

10. y 3√3+2

III. Resuelve:

1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – kx + 4 = 0, para que las dos raíces sean iguales.2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las raíces sea 24?3. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 4x2 – 5x + 4k – (6+k) = 0, para que una de las raíces sea cero?4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 7x2 – 9x + k = 0, para que las raíces sean recíprocas una de la otra?5. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las raíces sea 1?

8x

15x

6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k-2)x – (k+6) = 0, para que la suma de las raíces sea 2?7. ¿Para qué valor de m, la ecuación mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus raíces reales?8. Determinar k en la ecuación x2 + kx + 12 = 0, de modo que una de las soluciones sea el triple de la otra?

IV. Grafica, basándote en las propiedades de los coeficientes y el discriminante, las siguientes funciones:

1. y = 2x2 – 3x2. y = -x2 – 5x – 2 3. y = 6x2

4. y = -2x2 + 3x + 65. y = 4x2 – 4x – 1 6. y = -3x2 – 2x7. y = 5x2 + 28. y = 2x2 – 39. y = -3x2 – 2x + 710. y = x2 + x + 2 11. y = -3x2 + 4x – 1 12. y = -x2 + 5

NM3 FORMACION DIFERENCIADA: LA PARÁBOLA

1. Determina la ecuación de la parábola de foco (4,-2) y directriz x = 2.

2. Determina las coordenadas del vértice, del foco, la directriz y el lado recto (L.R.) de las siguientes parábolas:

a) y2 =12x b) y2 = -4x c) x2 = 8y d) (x - 3)2 = 16y

3. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0,0), su eje es el eje x y pasa por el punto (-4,-6).

4. Encuentra la ecuación de la parábola de foco (0,4) y directriz y + 4 = 0.

5. Determina la ecuación de la parábola de foco (0,0) y vértice (-2,0).

6. De la parábola y2 + 4y + 4x = 0 determina las coordenadas del vértice, el foco, el L.R., la ecuación del eje y la ecuación de la directriz.

7. Encuentra la ecuación de la parábola:

a) de vértice (1,4), eje paralelo al eje x y que pasa por el punto (5,-2) b) de eje paralelo al eje x, con vértice en (-2,-1) y de 4 unidades de L.R.

8. Escribe en forma ordinaria:

a) x2 - 6x + 6 = 0 b) y2 + 12x = 24 c) y2 - 4y - 12x +1 = 0

9) Determinar la ecuación de la parábola en cada caso:

a) El vértice es (-2,2) y su directriz la recta y = -3 b) Eje focal paralelo al eje X y pasa por los puntos (0,0), (8,-4) y (3,1)c) Vértice (4,-1), eje focal la recta y = -1 y pasa por el punto (3,-3)d) Vértice (2,1), extremos del lado recto (-1,-5) y (-1,7)e) Vértice (-2,3), Foco (-2,4)

10) Dada la ecuación: x2 – 3x + 5y – 1 = 0, pruebe que corresponde a una parábola. Halle vértice, foco, directriz y lado recto.

11) Considere la parábola de ecuación y2 = 16x. La recta x – y + 4 = 0 es tangente a ella. Halle en punto de contacto.

12) Se lanza un proyectil que describe una trayectoria parabólica de ecuación y = x –

x2

400 . Encuentre el punto de impacto y las coordenadas del punto más alto.

13) Un cable suspendido por soportes a la misma altura, que distan 240 m. entre si, cuelga en el centro 30 m. Si el cable tiene forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en el punto mas bajo. Encuentre la amplitud del cable a una altura de 15 m sobre el punto mas bajo.

14) Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola, los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, hallar la ecuación general de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente.