7 expresiones fraccionarias y radicales · 2012-01-26 · 18 unidad 7 | expresiones fraccionarias y...

$: 7 Expresiones fraccionarias y radicales · 2012-01-26 · 18 Unidad 7 | Expresiones fraccionarias y radicales 7 Expresiones fraccionarias y radicales ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Has$
18 Unidad 7 | Expresiones fraccionarias y radicales

7 Expresiones fraccionarias y radicales

ACTIVIDADES INICIALES

7.I. Has visto que la meteorología es un sistema caótico. También lo es el recorrido de un

objeto que baja por un río. Piensa en otros dos sistemas caóticos y ponlos en común con tus compañeros.

Actividad abierta

7.II. Construid en clase varios dobles péndulos con ayuda de vuestro profesor, utilizando cuerda, unos bolígrafos y un poco de plastilina. Colocadlos todos en la misma posición inicial y dejadlos oscilar a la vez. Fijaos bien en su comportamiento. ¿Qué observáis? Discutidlo en clase.

Actividad abierta

7.III. El descubrimiento de la teoría del caos se atribuye a Edward Lorenz, un famoso meteorólogo. En www.e-sm.net/3esoz34 tienes una lectura sobre sus descubrimientos. Léela y elabora un resumen escrito de los hallazgos de Lorenz.

Actividad abierta

ACTIVIDADES PROPUESTAS

7.1. Actividad resuelta

7.2. (TIC) Halla el valor numérico de la fracción x xx x

− +− +

2

2

7 10

6 8 para los valores 2, 0 y 4.

Para 2: 0

0

8262

102722

2

=+⋅−

+⋅−. Indeterminado.

Para 0: 4

5

8

10

8060

100702

2

==+⋅−

+⋅−.

Para 4: 0

2

8464

104742

2 −=+⋅−

+⋅−. No existe valor numérico.

7.3. Indica para qué valores de x existe el valor numérico de estas fracciones.

a) ( ) x xR xx− +

=−

2 5 6

4 b) ( ) xS x

x−

=−

2 9

3

a) El denominador se anula para x = 4. Para este valor, el numerador vale 42 – 5 · 4 + 6 = 2. No tiene valor numérico para x = 4. b) El denominador se anula para x = 3. Para este valor, el numerador vale 32 – 9 = 0. Así que el valor de la fracción algebraica para x = 3 es indeterminado.

Unidad 7 | Expresiones fraccionarias y radicales 19

7.4. ¿Es x x+ +2 12

4 una fracción algebraica?

Sí, porque2

2 1 4 8 12

4 4

x xx x

+ ++ + = , donde el numerador es un polinomio y el denominador es

un polinomio de grado 0 no nulo.

7.5. En la unidad anterior viste que x xx

=2

. Sin embargo, el valor numérico de la primera

expresión no existe en x = 0, y el de la segunda sí.

¿Sabrías explicar por qué?

La primera expresión no existe en x = 0, porque no se puede dividir entre 0, y el valor de la segunda expresión en x = 0 es 0.

7.6. Escribe una fracción algebraica que esté determinada en todos los puntos salvo en x = 1 y en x = −3.

Para que no esté determinada en x = 1 ni en x = −3, el denominador tiene que tener los factores

( )( )x x x x− + = + −21 3 2 3 , y el numerador puede ser cualquier polinomio, por ejemplo, x +2 4 .

( ) xR x

x x

+=+ −2

2 4

2 3

7.7. Actividad interactiva 7.8. Actividad resuelta

7.9. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones x

x+ 1

y xx x

−−

2

2

1.

Dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos. De modo que se tiene que cumplir que (x + 1)(x2 – x) = x(x2 – 1). (x + 1)(x2 – x) = x3 – x2 + x2 – 1 = x3 – 1 x(x2 – 1) = x3 – 1 Las fracciones dadas son equivalentes.

7.10. Escribe tres fracciones equivalentes a

a)x

x− 2

b)xx

+−2

1

1

a) x

x

− 2 es equivalente a

( ) ( )2 32

2 3 4

2 22 x x x xx x, ,

x x x

− −−.

b) )1)(1(

1

1

12 −+

+=−

+xx

x

x

x es equivalente a

)3)(1(

3,,

1

12 +−

+−− xx

x

xx

x

x.


7.11. (TIC) Simplifica las siguientes fracciones.

a) xx

+−

2

4

1

1 b)

x xx x

− +− +

2

2

6 5

8 15

a) ( )( ) 1

1

11

1

1

1222

2

4

2

−=

−++=

−+

xxx

x

x

x

b) Factorizando cada una de sus partes tenemos que ( )( )( )( ) 3

1

53

51

158

562

2

−−=

−−−−=

+−+−

x

x

xx

xx

xx

xx.

7.12. Simplifica la fracción xx

−−

3

2

1

1 y calcula su valor numérico para x = 2.

Factorizamos numerador y denominador: ( )( )

( )( ) 1

1

11

11

1

1 22

2

3

+++=

+−++−=

−−

x

xx

xx

xxx

x

x.

Si x = 1, 22 2 1 7

2 1 3

+ + =+

7.13. Observa la figura. a) ¿Cuántos cuadrados pequeños caben dentro del cuadrado grande?

b) ¿Cabrá siempre un número entero de cuadrados, sea cual sea x?

a)( )x xx x

xx x

++ = =+ +

2 1

1 1, cabrán x2 cuadrados pequeños dentro del cuadrado grande.

b) Siempre que x sea un entero positivo. 7.14. Actividad interactiva 7.15. Actividad resuelta 7.16. (TIC) Opera estas fracciones.

a) x x

x x+

++ +3 3

7 6 1

5 5 b)

xy xyx y x y

−−

− −3 1 2

a) 5

113

5

167

5

16

5

73333 +

+=+

++=+++

+ x

x

x

xx

x

x

x

x

b) 3 1 2 3 (1 2 ) 5 1xy xy xy xy xy

x y x y x y x y

− − − −− = =− − − −

x + 1

x 2 + x


7.17. Efectúa las siguientes operaciones.

a) x x

x x+

+− −2

7 3 5

4 16 b)

x xx x

+−

− −2 2

5 1

a) ( )( )( )( ) 16

12367

16

5

44

437

16

5

4

372

2

22 −++=

−+

+−++=

−+

−+

x

xx

x

x

xx

xx

x

x

x

x

b) 56

10

56

10322

)1)(5(

)5)(2()1(2

1

2

5

22

2

2

22

+−++=

+−++−−=

−−−+−−=

−+−

− xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

7.18. (TIC) Realiza estas operaciones:

a)x x x

− ++ − −2

1 1 4

2 2 4 b)

x xx x x

++ −− + −

2 1

1 2 2

a)( ) ( )

04

422

4

4

2

1

2

122

=−

++−−=−

+−

−+ x

xx

xxx

b)2

3 2

2 1 ( 2)( 2) 2( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2) 9 6

1 2 2 ( 1)( 2)( 2) 4 4

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

+ + − + − − − + − + − ++ − = =− + − − + − − − +

7.19. (TIC) Realiza las siguientes sumas.

a) x x

+2

1 1 . c)

x x x x+ + +

2 3 4

1 1 1 1

b) x x x

+ +2 3

1 1 1 d)

x x x x x+ + + +

2 3 4 5

1 1 1 1 1

Fíjate en los coeficientes del numerador y el denominador en cada suma obtenida.

¿Cuánto valdrá x x x

+ + +2 1000

1 1 1... ?

a) x

x x x

++ =2 2

1 1 1 c)

x x x

x x x x x

+ + ++ + + =3 2

2 3 4 4

1 1 1 1 1

b) x x

x x x x

+ ++ + =2

2 3 3

1 1 1 1 d)

x x x x

x x x x x x

+ + + ++ + + + =4 3 2

2 3 4 5 5

1 1 1 1 1 1

x x x

x x x x

+ + + ++ + + =999 998

2 1000 1000

1 1 1 ... 1...

7.20. Actividad interactiva 7.21. Actividad resuelta 7.22. Calcula estos productos.

a) x

x+ 1

· xx

−+

1

2 b)

x x xx x

− − +⋅

− −

2

2

2 1 1

3 2 4

a) 1x

x

+ ·

1

2

x

x

−+

= xx

x

xx

xx

2

1

)2(

)1)(1(2

2

+−=

+−+

b) ( )( )

( )( )22 3 2

2 3 22

2 1 12 1 1 2 3 3 1

3 2 4 2 6 4 123 2 4

x x xx x x x x x

x x x x xx x

− − +− − + − + +⋅ = =− − − − +− −


7.23. (TIC) Efectúa los productos y simplifica el resultado.

a)x x

x x−

⋅+

2 2

3

1

1 b)

x x xxx

+ +⋅

+−

3 2

2

1

11

a) ( )

( ) x

x

xx

xx

x

x

x

x 1

1

11

1 3

22

3

22 −=+

−=−⋅+

b) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )2 23 2 3 2

2

1 1 111

1 1 1 1 1 11

x · x x x xx· xx x x x x x· · x

x x · x x x xx

+ − + − +++ + − +⋅ = = =+ + − + − −−

7.24. Opera estos cocientes.

a) x x:x x

+ ++2

4 7 3 1

5 b)

x x:x x

− −− +

2

2

5 1 1

3 1 2 3

a) ( )( )

( ) 23

2

222 3

35274

13

574

13

574

5

13:

74

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

+++=

+++=

++⋅+=

+++

b) ( )( )( )( ) 133

315210

113

3215

1

32

13

15

32

1:

13

1523

23

2

2

2

2

2

2

+−−−+−=

−−+−=

−+⋅

−−=

+−

−−

xxx

xxx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

7.25. (TIC) Calcula estos cocientes y simplifica.

a) x x:

x x− −

2

2

12

36 6 b)

x xx

− −:

+

100 50

50

1 1

71

a) ( )

( )( ) ( )612

1

6612

6

12

6

366

12:

36 222

2

2 +=

+−−=−⋅

−=

−− xxxxx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

b) ( )

( )( )( )

( )x xx x

x x x x

− −− −: = = =+ + − −

100 100100 50

50 50 50 100

7 1 7 11 17

71 1 1 1

7.26. Ayuda a Laura a resolver su problema.

.

( )

( )( )( )

( )( )( )

( )x x x x xx x x x x x

x xx x x x x x x x

− − − − − − + − + − + = = −− − + − + − −

22 2 2

2 2 2 2 2

3 1 3 2 36 9 4 3 5 6: : : :

14 4 2 1 2 1

( ) ( )

( )( )( )

( )x x x x x

xx x x

− − − − −= =− −

2

2 2

2 3 2 3 2:

1 1


7.27. Actividad resuelta 7.28. Calcula el valor numérico para x = 2 de cada expresión radical.

a) x− 2 b) x−3 3 c) ( )x− 2 d) ( )x− 33

a) 422 −=− , no existe. c) 4)2( 2 =− = 2

b) 33 3 82 −=− = –2 d) 33 3 8)2( −=− = –2

7.29. (TIC) Comprueba que las siguientes expresiones radicales no son equivalentes.

a) x 4 y x3 12 b) x6 y x3 6

a) 3 12312

4224

4 xxxxxx ==≠==

b) 3 636

2326

6 xxxxxx ==≠==

7.30. Keko piensa que estas dos expresiones son equivalentes. ¿Qué opinas tú?

No son equivalentes, porque asignando a x = 1 e y = 2, no se obtiene el mismo valor numérico.

xy

x y ·==

+ → + = =2 2

12

2 1 2 2 9 3 ≠ xy

x y==

+ → + = +12

2 1 2 2 1 2 2

7.31. Actividad resuelta 7.32. Actividad resuelta

7.33. Un alumno dice que los radicales x 4 y x3 6 son iguales. ¿Es cierta esta afirmación?

¿Y si los radicales son x 4 y x4 8

?

Sí, x x x x x= = = =64

34 2 632

Sí, x x x x x= = = =4 8

44 2 82 4

7.34. Simplifica estos radicales.

a) x4 6 b) a8 4 c) x6 3 d) y 812

a) x x x x= = =6 3

4 6 34 2 c) x x x x= = =3 1

6 3 6 2

b) a a a a= = =4 1

8 4 8 2 d) y y y y= = =28

8 2312 312


7.35. Simplifica estos radicales hasta conseguir un radical irreducible.

a) x y z12 36 618 b) x y z15 30 1545

a) x y z x y z x y z= =18

12 36 6612 36 6 2 618 36 6 6 b) x y z x y z xy z= =

4515 30 15

1515 30 15 245 315 15 15

7.36. Reduce a índice común estos radicales.

a) ab15 , ab5 , ab3 b) x y23

, x y7 29, xy 26

a) ab15 b) ( )62 2 12 63 183 6x y x y x y⋅= =

ab5 = ( ) ( )ab ab⋅ =3 35 3 15 ( )·x y x y x y= =27 2 7 2 14 49 189 2

( ) ( )ab ab ab⋅= =5 53 3 5 15 ( )·xy xy x y= =

32 2 3 66 186 3

7.37. Realiza las siguientes operaciones.

a) x y x y⋅2 23 3 b) ( )x y2

33 c) xy 33

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y x y x y x y x y+

⋅ = = = = =1 1 1 1 2

22 2 2 2 2 2 2 4 23 3 333 3 3 3 3

b) ( ) 3 263 232

3 3 yxyxyx ==

c) 6 32·3 33 3 xyxyxy ==

7.38. Efectúa estas operaciones.

a) x y x y : x y⋅2 3 25 5 5 b) ( )x : x x⋅43 65 2 6

a) 5 35 2325 25 35 2 :: yxyxyxyxyxyxyx =⋅=⋅

b) ( ) 6 76 4256 46 223 5466 23 5 ::: xxxxxxxxxx =⋅=⋅=⋅ ⋅

7.39. Extrae factores de estos radicales.

a) x y z15 7 227 b) x y zt9 10 73 c) x y z t10 11 12 135

a) 7327 7777777 22715 xzyzxzzzzxyxxzyx ⋅==

b) 32333 333333333 7109 yzttyxttyztyyyxxxztyx ⋅==

c) 5 3222225 35525555555 13121110 tyztzyxtttzzyzyyxxtzyx ⋅==

7.40. Calcula estas sumas de radicales.

a) x y xy x y− +3 3 5 3 b) x y x y y+ −4 5 8 94 4 4

a) ( ) xyxyxyxyxxyyxyxyyxxyyx +−=+−=+− 223533

b) ( )422424244 94 84 54 yyxxyyyy xyxyyyxyx −+=−+=−+


7.41. (TIC) Realiza estos cálculos.

a) x y xy⋅2 3 45 5 b) a b : a63 5

a) 5 235 735 45 32 yxyyxxyyx ==⋅

b) ( ) 6 346 56 336 53 :: baabaaba ==

7.42. (TIC) Efectúa las siguientes operaciones.

a) ( )ab ab b⋅ ⋅3

2 3 b) ( )xy xy : xy⋅2

25 3 15

a) ( ) 12 79312 432112 4361833332433

2 baabbabbababababbabab ==⋅⋅=⋅⋅=⋅

⋅

b) ( ) 15 1215 151215 101063153 225 2152

35 2 ::: xyyxxyyxyxxyyxxyxyxyxy ==⋅=⋅=⋅

EJERCICIOS

Fracciones algebraicas equivalentes 7.43. (TIC) Determina el valor numérico de estas fracciones algebraicas para x = 1 e y = –2.

a) xy

x y+2 2

2 b)

x yx y

++

3 2 c)

x yx y+

24

5

a) 5

4

)2(1

)2(1222

−=−+−⋅⋅

b) 1)2(1

)2(213 =−+

−⋅+⋅ c)

3

8

)2(15

)2(14 2

−=−+⋅−⋅

7.44. Halla los valores de x para los cuales el valor numérico de la fracción algebraica

x xx x

− −− −

3

2

7 6

6 es indeterminado.

Las raíces del denominador 3 y –2. Vemos qué ocurre con estos valores cuando los sustituimos en el numerador.

Si x = 3, 633

63732

3

−−−⋅−

= 0

0. Indeterminado

Si x = –2, 6)2()2(

6)2(7)2(2

3

−−−−−−⋅−−

= 0

0. Indeterminado

7.45. (TIC) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) x

x+−2

1

1 b)

x xx+ +

−

2

2

4 4

4 c)

x xx x

+ −+ −

2

2

2

2 3 d)

x xx x x

− −− −

2

5 4 3

2

2

a) 1

1

)1)(1(

1

1

12 −

=−+

+=−

+xxx

x

x

x c)

3

2

)3)(1(

)2)(1(

32

22

2

++=

+−+−=

−+−+

x

x

xx

xx

xx

xx

b) ( )

( )( ) 2

2

22

2

4

44 2

2

2

−+=

−++=

−++

x

x

xx

x

x

xx d) ( ) 323

2

345

2 1

2

2

2

2

xxxx

xx

xxx

xx =−−

−−=−−−−


7.46. ¿Puede ser que el resultado obtenido al calcular el valor numérico de una expresión

algebraica sea otra expresión algebraica? Razona tu respuesta.

No, porque al calcular el valor numérico de una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se realizan las operaciones, quedando como resultado un valor numérico y no otra expresión algebraica.

7.47. Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas.

x x xx x x x

− ++ − + −2

1 1 3

2 2 2 8

( )( )( )( )( ) 1644

810

422

)4(21

2

123

23

−−++−+=

+−++−−=

+−

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

( )( )( )( )( )( ) 1644

8147

422

421

2

123

23

−−++++=

++−+++=

−+

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

( )( )( ) 1644

63

282

23

82

323

2

22 −−++=

+−++=

−+ xxx

xx

xxx

xx

xx

x

7.48. Indica qué pares de fracciones algebraicas son equivalentes.

a)xx

+−

1

1 y

x x xx x x

+ − −− − +

3 2

3 2

2 2

2 2 b)

xx −2 1

y x x

x x+

− +

2

22 3 1 c)

( )xx

−−

2

2

3

9 y ( ) ( )

x xx · x

− +− +

2 3 9

3 3

a) Sí son equivalentes, tanto el numerador como el denominador de la segunda coinciden con el de la primera multiplicados por (x2 – 2).

b) No son equivalentes. Si x = 2, 3

2

122

2 =−⋅

y 23

6

12322

222

2

==+⋅−⋅

+.

c) No son equivalentes. El denominador de la segunda es la factorización del denominador de la primera, y en los numeradores no se establece la relación de igualdad porque el numerador de la segunda fracción no coincide con el desarrollo del numerador de la primera.

7.49. Calcula el verdadero valor de cada fracción para x = –2 y para x = 1.

a)x x

x x− −

+ +

2

2

6

3 2 b)

x x xx x− − +

+ −

3 2

2

2 2

2

a) 0

0

2)2(3)2(

6)2()2(2

2

=+−⋅+−

−−−−. Indeterminado. b)

0

0

211

211212

23

=−+

+−⋅−. Indeterminado.

( )( )( )( ) 1

3

12

32

23

62

2

+−=

++−+=

++−−

x

x

xx

xx

xx

xx

( )( )( )( )

23 2 2

2

1 22 2 2

1 2 22

x x xx x x x x

x x xx x

− − −− − + − −= =− + ++ −

Sustituimos x = –2, 512

32 =+−−−

. Sustituimos x = 1, 3

2

21

2112

−=+

−−.

Para x = 1, 2

2

1 1 6 61

61 3·1 2

− − −= = −+ +

. Para x = −2, ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2

2

2 2 2 2 2 12

02 2 2

− − − − − + −=− + − −

.

No tiene valor numérico.

7.50. ¿Cuál de estas fracciones algebraicas no es equivalente a x x x ?x x x

+ ++ −

3 2

4 3 2

5 6

2 3

a) ( )

x xx · x

+−

2

2

2

1 b) ( )

x xx · x

+−

2

2

3

1 c)

xx x

+−2

2

( )( )

( )( )( )( )31

32

32

65

32

65222

2

234

23

+−++=

−+++=

−+++

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

La fracción no equivalente es la b.


Operaciones con fracciones algebraicas 7.51. Simplifica estas fracciones algebraicas.

a) xy yx

−− 1

b) xx

−−

2 4

2 4 c)

xx x

−+ −2

1

1 d)

x xx x

+ −+ −

2

2

2 3

6

a) ( )

yx

yx

x

yxy =−

−=−−

1

1

1 c)

1

12 −+

−xx

x. No se simplifica.

b) ( )( )

( ) 2

2

22

22

42

42 +=−

−+=−− x

x

xx

x

x d)

( )( )( )( ) 2

1

32

31

6

322

2

−−=

+−+−=

−+−+

x

x

xx

xx

xx

xx

7.52. Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a)x

x x+

− +1

1 1 b)

a aa a

− +++ −

2 2

2 2

a) 1

12

1

1

1

)1()1(

1

1

1 2

2

2

2

2 −−+=

−−++=

−−++=

++

− x

xx

x

xxx

x

xxx

xx

x

b) ( ) ( )

4

82

4

4444

4

22

2

2

2

22

2

2

22

2

22

−+=

−++++−=

−++−=

−++

+−

a

a

a

aaaa

a

aa

a

a

a

a

7.53. Realiza las operaciones.

a) x x

x x−

+− +

3 2 1

5 2 b)

x xx x

− −−

− −2

2 1 3 1

4 2 c)

x xx x x− +

⋅− +2

2 1 2

3 3 1 d)

x x x:x x

− + −+

2

3

1 4 7

1

a) ( ) ( )( )

( )( ) 103

555

25

51223

2

12

5

32

2

−−+−=

+−−−++=

+−+

− xx

xx

xx

xxxx

x

x

x

x

b) ( )( )

4

133

4

21312

2

13

4

122

2

22 −+−−=

−+−−−=

−−−

−−

x

xx

x

xxx

x

x

x

x

c) ( )( )

( ) xxx

xx

xxx

xx

xx

x

x

x

393

232

133

212

13

2

3

1223

2

22 +−−+=

+−+−=

+−+⋅−

d) ( )( )

( ) 34

3

3

2

3

2

74

1

74

11

1

74:

1

xx

x

xx

xxx

x

x

x

xx

−+=

−++−=

+−+−

7.54. Opera y simplifica.

a) x x xx x x

+ − − ⋅ − − +

2 2 4

2 2 b)

x x:x x x x

− + − −

1 1

1 1

a) ( ) ( )

84

4

224

2

2

2

2 2

2

22

=−⋅−

−−+=

−⋅

+−−

−+

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

b) ( ) ( ) 1

1

1

1:

1

1

1

1:

1

12

222

−+−+−=

−+−

−−−=

−

+

−

−xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

x

x


7.55. Opera y simplifica, reduciendo previamente a común denominador.

a) x x

x x x+

+ −− + −2

2 1 1

2 2 4 b)

xx x x

+− +

− + +2

1 2 5

3 3 2 2 1 c)

x xx x x

−− +

− + −1 3 1

1 2 3

a) ( ) ( )( )

4

33

4

12122

4

1

2

12

2 2

2

22 −−−=

−−−+++=

−−

+++

− x

xx

x

xxxx

xx

x

x

x

b)

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )2

2 2 2 2

2 2 3 1 6 5 11 2 5 1 2 5 3 9 11

2 2 1 2 1 13 3 3 1 6 1 3 1

x x xx x x x

x x x xx x x x

− ⋅ − + + −+ + + −− + = − + = =+ + + +− − − −

c)

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) 652

194

321

21133132

3

13

2

1

1 23

3

+−−−−=

−+−+−−+−−−−+=

−−+

+−

− xxx

xx

xxx

xxxxxxxx

x

x

xx

x

7.56. Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas, calculando previamente las

áreas de las figuras geométricas que aparecen en los numeradores y en los denominadores.

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) 23422 65

1810

32

243323

3

22

22

2113

xxx

x

xxx

xxxxxx

xxxxx +++=

+++−++++=

+⋅−

+

⋅

+⋅

7.57. Realiza estas operaciones y simplifica el resultado.

a) x x x

x x x x+ +

⋅+ +

3

2 2

1 4 3

2 b)

x x:x x

− −− +

2

2

2 4

9 3

a) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )2

34

12

341

2

34134

2

1 22

22

3

2

3

2 ++=

++++=

++++=

++⋅

++

xx

x

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xx

xx

xx

x

b) ( )( )

( )( ) ( )( )23

1

49

32

3

4:

9

222

2

2 +−=

−−+−=

+−

−−

xxxx

xx

x

x

x

x

7.58. (TIC) Opera y simplifica.

a)x x x x xx

− − : − + 2

1 1 1 1 1 1

2 3 2 b) ( )x x x

x x + : − ⋅ −

1 11 c)

( ) ( )x x x

xx x

+ − + ⋅ : − −

2

2 2

1 1 1

1 1

a) ( ) x

x

xx

x

x

x

xxxxxxx 3626

2

2

2:

6

1

2

111:

3

1

2

11 2

22 −=

−=

−

=

+−

−−

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

11

1

11

1:

11

1:

1 2

2

222

++=−⋅

−+=−⋅

−

+=−

−

+x

xx

xx

xxx

x

x

x

xx

xx

xx

c) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

x x x x xx x x x x: : :

x x x x x xx x x x x x

+ − + + −+ − + + + ⋅ = = = = − + −− − − − −

2 2 2 22

2 2 2 2 2

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1

x

x

−=2 1

31

2

2

x x + 3x + 2

xx

—————— + ——————— – ————————1


7.59. (TIC) Opera las siguientes fracciones algebraicas.

a)

x

−−

−

11

11

11

b)

x

−−

−

12

12

12

a) xx

x

xx

x

x

x

x

x

=−−−=

−−−

−=

−−

−=

−−

−=

−−

−1

11

1

11

1

11

11

11

1

11

11

11

11

b) 1 1 1 1 2 1 4 3

2 2 2 2 21 1 4 2 3 2 3 22 2 2

1 2 1 2 1 2 12

x xx x x x x

x x xx x

− −− = − = − = − = − =− − − −− − −

− − −−

7.60. Calcula cuánto han de valer los números A y B, para que se verifique la siguiente

igualdad: A B x

x x x x x−

+ =− −2 2 3 2

3 6

3 3.

( )( )

( )( )

==

==+

−

−=−

−+=−

−+=+− 2

1

63

3

3

63

3

3

3

3

3 23222

22

22 B

A

B

BA

xx

x

xxx

BxBA

xxx

xxBAx

x

B

xx

A

7.61. Expresa el área del cuadrilátero coloreado, mediante un polinomio en x.

¿Cuánto miden los lados del cuadrilátero? Para resolver el problema, le restaremos al área del rectángulo grande el área de los cuatro triángulos rectángulos, que son iguales dos a dos: 21 AA = , y 43 AA = .

( ) ( ) ( )2

621

xxAÁreaAÁrea

−== ; ( ) ( ) ( )2

443

xxAÁreaAÁrea

−==

Área del 2464 =⋅=rectángulo ; Área de la ( ) ( ) 241024624 2 +−=−−−−= xxxxxxfigura

El cuadrilátero es un paralelogramo y, por tanto, tiene los lados iguales dos a dos. Usamos el teorema de Pitágoras para calcular los lados l y m del paralelogramo:

( ) 16824 222 +−=+−= xxxxl , y ( ) 361226 222 +−=+−= xxxxm

6 cm

4 cm

x

x

xx


Expresiones radicales equivalentes 7.62. Halla el valor numérico de estas expresiones radicales para los valores x = 2 e y = 1.

a) xy

x y+2 2

2 b) x y +3 2 5 c) x y+ −2 3 1

a) 5

4

12

12222

=+

⋅⋅ b) 13512 23 =+⋅ c) 611322 =−⋅+⋅

7.63. Opera las siguientes expresiones radicales.

a) x 4144 c) x3 664

b) x 481 d) x5 2532

a) 4 2144 12x x= c) 23 6 464 xx =

b) 4 281 9x x= d) 55 25 232 xx =

7.64. Indica qué pares de expresiones radicales son equivalentes.

a) x 24 y x− 3 38 b) x3 68 y x9 18512 c) x 49 y x4 1281

a) No lo son, para x = 1, 214 2 =⋅ (cuando no se indica el signo, se considera signo positivo),

y 2183 3 −=⋅− .

b) Sí, ya que ( ) 9 1833 36 5128 xx =⋅

c) No, ya que ( ) 4 124 822 244 818199 xxxx ≠== ⋅

7.65. Escribe tres radicales equivalentes a estos.

a) x y2 84 b) ab3

a) 6 1238 16444 82 yxyxxyyx ===

b) 21 7715 559 333 bababaab ===

7.66. Reduce estos radicales a índice común: x x x3 62 3 5

6 43 2 xx = 6 93 xx = 6 5x

7.67. Simplifica los siguientes radicales.

a) a b16 8 4 c) x y12 1815

b) ( )x y32 212 d) ( )x y

52 420

a) 4 216 48 baba = c) 5 6415 1812 yxyx =

b) ( ) xyyx =12 322 d) ( ) 220 542 xyyx =


7.68. Simplifica las siguientes expresiones radicales.

a) x y z5 20 1015 b) x y z14 7 233 c) a b c12 4 8 6 d) x y z2 4 88

a) 3 2415 10205 zxyzyx = c) 6 34212 684 cbacba =

b) 3 23714 zyx . No se puede simplificar. d) 2 4 8 2 48 4x y z xy z=

7.69. Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula la diagonal del campo de fútbol. Si x = 10 e y = 8, ¿cuál sería la longitud de dicha diagonal?

d = 22 yx + . Si x = 10 e y = 8, d = + =2 210 8 2 41

7.70. (TIC) ¿Cuál de las siguientes expresiones radicales no es equivalente a xy z23 ?

a) x y z2 4 26 b) x y z3 6 29 c) x y z4 8 412 d) x y z5 10 515

La b, porque ≠= 9 3633 2 zyxzxy 9 263 zyx

Operaciones con expresiones radicales 7.71. Realiza estas operaciones con radicales.

a) x y12 6 b) x y : xy5 c) x y x y⋅2 4 23 3 d) ( )xy4

a) yyxyxyx 34 612612 == c) yxyxyxyx 23 363 243 2 ==⋅

b) 2455 :: xxxyyxxyyx === d) ( ) 22444yxyxxy ==

7.72. Extrae factores de los siguientes radicales.

a) x4 864 b) x yz4 53 c)a

b

6

3

16

a) 44 8 6 8 2 464 2 2 4x x x= =

b) 4 5 23 3x yz xz xyz=

c) 6 4 6 3 3

3 3

16 2 4 1 4a a a a

b bb b b b

⋅= = =


7.73. Efectúa estas operaciones con expresiones radicales.

a) x : x3 2 3 b) x y xy⋅2 3 5 c) x x⋅ 33 2 d) xy : x y2 3 53 4

a) 6 5

65

69

4

6 9

6 4

3

3 2 11

xxx

x

x

x

x

x ====

b) 2 3 10 15 2 2 12 17 2 710 10 10 105x y xy x y x y x y xy x y⋅ = ⋅ = =

c) 3 6 6 63 2 9 4 13 2 6x x x x x x x⋅ = ⋅ = =

d) 127512 159

12 84

4 53

3 2 1

yxyx

yx

yx

xy==

7.74. (TIC) Opera las siguientes expresiones radicales.

a) x x x x+ − +12 75 27 48

b) a ab ab ab− + −3 3 33 6 93

c) xy x y xy+ −2 3 4 65 16 9

a) xxxxxxxxx 38323353248277512 4322 =⋅+−⋅+⋅=+−+

b) ( )3323 93 63 33 1 abbbabababa −+−=−+−

c) ( ) xyxyyxyyxxy 326432 3459165 −+=−+

7.75. Calcula estas sumas de radicales.

a) x x x x− +5 34 3 b) x x x+ −4 45 9 4

a) ( ) xxxxxxxxxxx 22235 223234 −=+−=+−

b) ( )42442444 94 5 1 xxxxxxxxxxx −+=−+=−+

7.76. Realiza las siguientes operaciones.

a) xy x y⋅ 233 c) x y · x y2 4 33 5 e) ( )x y3

2 34

b) x y : xy25 5 d) xy6 3 f) x y : x y4 3 23 9

a) 3 23 23 23 yxyxxyyxxy =⋅=⋅ d) 18366 3 xyxyxy == ⋅

b) 55 255 2 :: xxyyxxyyx == e) ( ) 4 224 3323

4 32 yxxyyxyx ==

c) 5 343 2 yx·yx = 15 14715 912510 yxx=yxyx f) 9 233 4 yx:yx = 99 23312 yx=yx:yx


7.77. Extrae factores de los siguientes radicales.

a) x y17 75 b) x y22 87 c) x y12 36 d) x y13 4

a) 5 2235 717 yxyxyx = c) 12 3 2 3 26 6 x y x y x y= =

b) 737 822 xyyxyx = d) xyxyx 26413 =

7.78. (TIC) Opera y simplifica.

a) a b a ba b ab

⋅

⋅

34 3 2 4 5

6 5 4 b)

2 3 4 664

3 210

x y x y

x y

⋅

a) ( ) ( )( ) ( )

3 43 2 4 51234 3 2 4 5 25 2612 12 49 12 9 312

16 146 5 4 2 65 412

·

·

a b a ba b a b a ba b b a b a

a ba b ab a b ab= = = = =

b) ( ) ( )

608

33120

2436

9020

10 23

12 92

10 23

12 264332

10 23

6 644 32

x

yxy

yx

yxxy

yx

yxxy

yx

yxyx

yx

yxyx====

⋅

7.79. (TIC) Realiza estas operaciones.

a) xy xy x y⋅ ⋅3 53 4 b) x x

x⋅ 5 33

6 4

a) ( ) ( ) ( ) 12 9212 212512 356434 53 3 xyyxyxyxxyxyyxxyxy ===⋅⋅

b) 15 41510

14

3 2

15 95

6 4

5 33

xx

x

x

xx

x

xx ===⋅

7.80. Escribe con un solo radical x y z t3 .

x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t= = = = =2 4 2 4 2 12 6 3 12 6 33 3 3 3 44 3 12

7.81. En una expresión radical de índice n, ¿por cuánto hemos de dividir el radicando para que

la expresión radical quede dividida por 2?

Por 2n, porque 22

n

nn

a a=


PROBLEMAS

7.82. Realiza las siguientes operaciones utilizando expresiones algebraicas.

a) El cociente entre un número y su siguiente más el cociente entre dicho número y su anterior. b) El cociente entre dos números pares consecutivos más el cociente entre dos números impares consecutivos. c) La suma de los inversos de dos pares consecutivos. d) La suma de los inversos de dos números impares consecutivos.

a) 11 −

++ x

x

x

x b)

32

12

22

2

+++

+ x

x

x

x c)

22

1

2

1

++

xx d)

32

1

12

1

++

+ xx

7.83. Expresa, mediante una fracción algebraica, el área del triángulo isósceles de la figura.

2 22 15 15

4 16 4

x x xh x

= − = =

2

15152 4

2 16

x xx

A⋅

= =

7.84. Expresa, mediante una fracción algebraica, el área de la parte coloreada. Lado del cuadrado coloreado:

l = 2 2 22 2

2 2 4 2

l l l l⋅ + = =

24

2

2

2 222

lllA ==

⋅=

7.85. Hassan vive en un pequeño poblado de Marruecos y le separan de la escuela tres

campos de cultivo de trigo, avena y centeno, como indica la figura.

¿Cuál es la expresión algebraica que hace mínimo el trayecto recorrido por Hassan para llegar a la escuela?

Primero, Hassan recorre la diagonal del campo de trigo: 221 yxd += .

Después, la del campo de centeno: 2 22 100d y= + .

La distancia total que recorre Hassan es 2 2 2 2100d x y y= + + + .

x

x—2

l

y

y

y

Trigo Avena

Centeno

Escuela 100 m

Poblado


7.86. En la fotografía observamos la catedral de Santiago de Compostela. Esta catedral posee una planta en forma de cruz latina como la de la figura.

Expresa el área de dicha planta como una expresión algebraica en x. Dividimos la planta en tres rectángulos (de izquierda a derecha) y calculamos el área de cada uno de ellos. A1 = 45 · [103 – x – (x – 20)] = 45 (123 – 2x) = 5535 – 90x A2 = x · (103 – x) = 103x – x2 A3 = (x – 20) · 45 = 45x – 900 El área total es A = A1 + A2 + A3 = 5535 – 90x + 103x – x2 + 45x – 900 = –x2 + 58x + 4635.

7.87. En el código de circulación, las señales en forma de triángulo indican peligro. La señal

de ceda el paso solo difiere de un triángulo equilátero en sus vértices, ya que estos están redondeados. Suponiendo que fuese un triángulo equilátero, expresa el área de la señal si el lado mide x centímetros.

2

3

4

3

2

222 xxx

xh ==

−= , 4

3

22

32x

xx

A =⋅

=

7.88. Expresa el área del siguiente trapecio isósceles.

Área de cada triángulo: 29 xh −= 2

9 2xxA

−= . Área del rectángulo: 8 · 29 x−

( ) 222

98982

92 xxx

xxAT −+=−⋅+−=

45 m

103 m

(103 – x)

xx – 20)(

x

x

8 cm

3 cm


7.89. Partiendo de un rectángulo dado se obtiene otro rectángulo duplicando la longitud de ambos lados.

¿La longitud de la diagonal del nuevo rectángulo también es el doble? Razona la respuesta.

Llamamos a los lados del primer rectángulo a y b; por el teorema de Pitágoras, su diagonal

será 2 2d a b= + . Los lados del segundo rectángulo serán 2a y 2b, y su diagonal,

( )2 2 2 24 2 2D a b a b d= + = + = , luego la diagonal del nuevo rectángulo es el doble que la

diagonal del primero.

AMPLIACIÓN

7.90. Al simplificar la expresión:

mm m

m m + + − − −

211 :

1 1 se obtiene:

a) m

m− 2

2

2 b)

mm

− 22 c)

m−2

1 d)

m −1

1

21 2

11 1

mm

m m

−+ + =− −

, y 2

1 1

m mm

m m− =

− −, con lo que la división pedida es

22 m

m

−.

La respuesta correcta es la b.

7.91. El número − + +11 6 2 11 6 2 es igual a:

a) 22 b) 7 c) 22 – 12 2 d) 6

Llamando a a dicho número, tenemos que 2 11 6 2 11 6 2 2 121 72 36a = − + + + − = , y como dicho número a es positivo, a = 6.

La respuesta correcta es la d.

7.92. Si 2a < 3b, a ab b− +2 24 12 9 es igual a:

a) 2a – 3b b) 3b – 2a c) 2a + 3b d) a + b

2 2 24 12 9 (2 3 ) 2 3 3 2a ab b a b a b b a− + = − = − = − , pues 3b es mayor que 2a.

La respuesta correcta es la b.

7.93. Si A += 2 3

2 y B =

+6 2

4, entonces:

a) A < B b) A > B c) A = B d) AB > 1

Comparemos sus cuadrados: 2 2 3

4A

+= , y 2 28 2 12 2 3

4 4B A

+ += = = , y al ser A y B

números positivos, A = B.

La respuesta correcta es la c.


7.94. Si x y> > 0 , ¿cuál de las siguientes expresiones es la misma que y x

y xx yy x

?

a) ( )yxx y− b)

x yxy

−

c) y xx

y

−

d) ( )xyx y−

·

y xy xy x x y

y x

x y xx y

yy x

−− − = ⋅ =

La respuesta correcta es la c.

7.95. Si x ≥ 0 e y ≥ 0, x y x y+ = +2 2 se verifica:

a) Nunca b) Solo si x = 0 c) Solo si |x + y| = 0 d)Solo si xy = 0

Al ser x e y números no negativos, la igualdad dada es equivalente a x2 + y2 = (x + y)2, que es válido solamente si xy = 0.

La respuesta correcta es la d.

AUTOEVALUACIÓN 7.1. Reduce a común denominador estas fracciones.

a) x −2

1

1,

x +1

1,

x x+ +2

1

2 1 b)

x −1

1,

x +1

2,

x x+ −2

1

2

a)1

12 −x

= ( )( ) 1)(x1)(x1x

2+

+=

1+x1x

1 b)

11−x

=)2()1(

2

+−+xx

x

12

12 ++ xx

=( ) )1()1(

1

1

122 −+−=

+ xx

x

x

21+x

=)2()1(

1

+−−xx

x

11+x

=)1()1(

)1()1(2 −+

−+xx

xx

21

2 −+ xx=

)2()1(

1

+− xx

7.2. Opera los siguientes radicales.

a) x x x x+ − +18 50 32 98

b) a b a b a b a b+ − +3 3 3 3 53 2

a) xxxxxxxxx 2112492162252998325018 =⋅+⋅−⋅+⋅=+−+

b) ( ) ababbab

ababbaabbabbaabbaabba

23

23232

4222253333

+−+=

=+−+=+−+


7.3. Realiza estas operaciones con fracciones algebraicas.

a) x x xx x x

− −− +

− − +2

3 2 2 5 2

3 9 3 b)

x x :x x x x−

⋅−

2

2

1 5 2

3

a) ( )( ) ( ) ( )

9

15

9

3252323

3

2

9

52

3

232

2

22 −−−=

−−+−−+−=

++

−−−

−−

x

xx

x

xxxxx

x

x

x

x

x

x

b) ( )

( ) 6

5

23

512:

5

3

12

2

2

2 x

xxx

xxx

xxx

x

x

x =⋅−⋅⋅⋅−=

−⋅−

7.4. Escribe dos expresiones radicales equivalentes a la expresión x y23 .

Respuesta abierta, por ejemplo: 12 486 24 , yxyx

7.5. Simplifica las siguientes fracciones.

a) x x x x

x x x+ − − +

+ + +

4 3 2

3 2

7 6

6 11 6 b)

x x xx x x

+ + +− − −

3 2

3 2

3 3 2

2

a) ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )2

21

213

3211

6116

6723

234

+−−=

++++−−+=

++++−−+

x

xx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

b) ( )( )( )( ) 2

2

12

12

2

2332

2

23

23

−+=

++−+++=

−−−+++

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

7.6. Realiza las siguientes operaciones con expresiones radicales.

a) xy x y xy⋅ ⋅4 25 5 5 b) xy xy : xy⋅3 64

a) 5 45 62455 25 4 yxyyxyxxyxyyxxy ==⋅⋅

b) ( ) ( ) ( )12 512

5

6

1

4

1

3

1643 : xyxyxyxyxyxy ===⋅ −+

7.7. Halla el valor numérico de estas expresiones.

a) x yx

++

23 1

2 1Para x = 1 e y = 2. b)

xyxy

−2 3Para x = –1 e y = –2.

a) 3

7

112

1213 2

=+⋅

+⋅⋅ b)

2

1

)2()1(

3)2()1(2 =−⋅−

−−⋅−⋅

7.8. Simplifica los siguientes radicales.

a) a b c12 4 8 6 b) x y c12 36 618

a) 6 34212 684 cbacba = b) 3 6218 63612 cyxcyx =


PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Aplica e interpreta > Turbulencias

El avión se encuentra a 1 kilómetro de altitud y va a intentar subir hasta los

3 kilómetros. Cada minuto que pasa, la altitud del avión viene dada por la expresión

2

3 2( )

4 6

xA xx x

+=

− +, donde x es la altitud en el minuto anterior. Sin embargo, el altímetro no es

exacto, y la altitud inicial podría variar 50 metros arriba o abajo.

7.1. Copia y rellena la tabla indicando la altitud del avión según pasan los minutos, partiendo de la altitud inicial, que puede variar entre 950 y 1050 metros. Para ello, aplica la fracción A(x) a la altitud en kilómetros del minuto anterior, y redondea en cada paso a dos decimales.

7.2. Representa ahora estos datos en una gráfica como la siguiente.

Observa la pequeña variación en la altitud inicial y cómo evoluciona la altitud del avión a los pocos minutos. ¿Qué conclusiones extraes?

Cuando el avión rebasa los 3 km de altitud desciende, y cuando está por debajo de 3 km sube, intentando siempre estabilizarse alrededor de su altitud óptima de 3 km.

7.3. Haz un breve informe sobre lo que has aprendido y preséntalo en clase.

Actividad abierta

Altitud inicial (km)

Altitud min. 2

Altitud min. 3

Altitud min. 4

Altitud min. 5

Altitud min. 6

Altitud min. 7

Altitud min. 8

Altitud min. 9

1,00 1,67 3,32 3,20 3,37 3,60 2,80 3,94 2,40

0,95 1,56 3,05 3,59 2,82 3,92 2,42 4,26 2,08

1,05 1,77 3,56 2,86 3,86 2,49 4,23 2,10 4,14

3

4

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo (min.)

Altit

ud in

icia

l (km

)


Calcula y construye > El regalo de cumpleaños

7.1. Expresa en lenguaje algebraico las dimensiones de la caja, llamando x a la longitud de la altura en centímetros.

Altura: x Longitud: x + 22 Anchura: 22

2

x x+ + = x + 11

7.2. Expresa en lenguaje algebraico las dimensiones de la caja, ahora llamando y a la longitud de la arista mayor en decímetros.

Longitud: y Altura: y − 22 Anchura: 22

2

y y+ − = y − 11

7.3. Calcula en cada caso la longitud de las diagonales de las caras y la de una diagonal de la caja.

Diagonal altura - longitud: 2 2( 22)x x+ + = 22 44 484x x+ +

Diagonal altura - anchura: 2 2( 11)x x+ + = 22 22 121x x+ +

Diagonal longitud - anchura: 2 2( 22) ( 11)x x+ + + = 22 66 605x x+ +

Diagonal de la caja: 2 2 2( 22) ( 11)x x x+ + + + = 23 66 605x x+ +

En el otro caso:

Diagonal altura - longitud: 2 2( 22)y y+ − = 2 44 484y y− +

Diagonal altura - anchura: 2 2( 22) ( 11)y y− + − = 22 66 605y y− +

Diagonal longitud - anchura: 2 2( 11)y y+ − = 22 22 121y y− +

Diagonal de la caja: 2 2 2( 22) ( 11)y y y+ + + − = 23 66 605y y− +

7.4. Escribe fracciones algebraicas que muestren el cociente entre los lados de cada una de las caras de la caja.

Altura

Longitud =

22

x

x +;

Altura

Anchura =

11

x

x +;

Longitud

Anchura =

22

11

x

x

++

7.5. Determina el valor de las razones halladas anteriormente cuando la altura de la caja es x = 8 centímetros.

Altura

Longitud =

8

8 22+ =

4

15;

Altura

Anchura =

8

8 11+ =

8

19;

Longitud

Anchura =

8 22

8 11

++

= 30

19

7.6. Halla la expresión que determina la superficie y el volumen de la caja en función de la altura x.

Superficie: 2 ( )( 22) ( 11) ( 22)( 11)x x x x x x⋅ + + ⋅ + + + + = 2(3x2 + 66x + 242) = 6x2 + 132x + 484

Volumen: x(x + 22)(x + 11) = x3 + 33x2 + 242x


7.7. Con un cartón rectangular de 70 × 90 centímetros queremos construir la caja más grande posible con esas características. Diseña cómo se ha de cortar y plegar el cartón y las dimensiones de la caja utilizando un cartón, y después pliégala y constrúyela. ¿Cumple todos los requisitos?

Actividad abierta

Observa y reflexiona > Los cuerpos redondos

7.1. Obtén para cada una de ellas la expresión que nos permite calcular el radio.

r = L

π; r =

4

S

π; r =

3Vco

hπ; r = A

π ; r = Vci

hπ ; r = 3

3

4

Ves

π

7.2. Si un cono tiene una altura igual al doble del radio y su volumen es igual al de una esfera, ¿cuál es la razón entre los radios del cono y de la esfera?

Cono: Radio, r. Altura, 2r. Volumen, 1

3π r2 2r = 32

3r

π

Esfera: Radio, R. Volumen, 4

3π R3

32

3r

π =

4

3π R3, es decir: r3 = 2R3, por lo que

r

R = 3 2

7.3. Observa que el radio a veces aparece elevado a 1, a veces al cuadrado y en ocasiones al cubo. ¿A qué se debe esta diferencia? Explícalo con tus palabras en cada caso.

Actividad abierta


Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Rafaela Arévalo, José Luis González, Juan Alberto Torresano Edición: Elena Calvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Domingo Duque, Félix Moreno, Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

7 expresiones fraccionarias y radicales · 2012-01-26 · 18 unidad 7 | expresiones fraccionarias y...

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