iv bim - 5to. año - alg - guía 1 - logaritmos

IVB / ÁLGEBRA / 5º

LecturaLectura

Basándose en las propiedades de los logaritmos, se

construyó una sencilla máquina de calcular: la regla de

cálculo. Neper, descubridor de los logaritmos, fue el que

concibió la idea de la regla de cálculo en el siglo XVI. En el

año 1 671, Gunter construye la primera regla de cálculo

con divisiones proporcionales a los logaritmos. La reglilla,

en cambio, se debe a Seth Pastridge (1 671). Lenoir Granet

elaboró en 1 820 el prototipo de las reglas de cálculo

rectilínea, compuesto de una regla provista de ranura, en

la que se puede deslizar una reglilla. En cambio, a

Mannheim (1 851) se debe el funcionamiento de las

escalas y la aplicación del cursor.

La regla de cálculo está basada en la propiedad de los

logaritmos, sobre todo en la que expresa: “el logaritmo de

un producto de dos factores es igual a la suma de los

logaritmos de esos factores”. Con ella pueden efectuarse

multiplicaciones, divisiones, proporciones, cuadrados,

raíces cuadradas y cúbicas, superficies de círculos y cubos,

potencias de orden superior, ecuaciones de primero,

segundo, tercero, cuarto y quinto grado, además de las

bicuadradas. Utilizando las escalas del revés de la regla

móvil, pueden calcularles los logaritmos de los números y

todas las líneas trigonométricas.

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” 76


Sus aplicaciones son innumerables. Entre ellas, el

contenido de un depósito cilíndrico, la escala de un dibujo,

el peso de una viga cuadrada, el cálculo de una placa de

cemento armado, de una columna de fundición, etcétera.

Este elemento matemático es de gran utilidad para

comerciantes, contratistas de obras, carpinteros,

contables, banqueros, técnicos electricistas e ingenieros.

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”77


CONCEPTO

Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto.

Entonces:

LogbN = N = b

DEFINICIÓN

= Logaritmo

R

b = base

b > 0 ; b 1

N = número al cual se le toma logaritmo.

N > 0

Ejemplos:

Log525 = 2 ; por que: 25 = 52

Log1/39 = -2 ; por que: 9 = (1/3)-2

Log31 = 0 ; por que: 1 = 3º

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

De la definición tenemos: = LogbN …………(1)

Tenemos que: b = N ………………

(2)

Reemplazando: (1) en (2)

Identidad Fundamental

x > 0 a R+ - {1}

Ejemplos:

1.

2.

3.

x R

Ejemplos:

1. Log100 102 = 10x

2. Log1000 103 = 10x


Este sistema fue

implementado por Briggs, cuya base es

10.

x = 2

x = 3

Este sistema fue

implementado por Neper

cuya base es e 2.718…


Ejemplos:

1. Ln e e1 = ex , x =

1

2. Lne5 = 5

3. Lne6 = 6

Debemos saber:

Log2 0.3 Log10 = 1

Log3 0.47 Log5 0.69

PROPIEDADES

a)

Ejemplo

Log31 = 0

b)

Ejemplo

Log33 = 1 ; log55 = 1

c) Logxab = Logxa + Logxb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log106 = Log102 + Log103

= 0,3 + 0,47 = 0,77

d) Logx(a/b) = Logxa - Logxb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log10 = Log103 - Log102

= 0,47 - 0,3 = 0,17

e) (n R; m R; N

> 0)

Propiedad del Sombrero

Ejemplo

1)

2)

3)

4)

f)

Propiedad Inversa

Ejemplo

1)

2)



BLOQUE IBLOQUE I

1. Determina los siguientes logaritmos.

a) Log10 =

b) Log30 =

c) Log =

d) Log24 =

e) Log39 =

f) Log36 =

2. Aplicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

g) =

3. Determinar el valor de:E = Log10 + Log1000 + 1

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

4. Determinar el valor de:

A = Log104 + Logee5 + Ine

a) 1 b) 2 c) 5

d) 3 e) 10

5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes

logaritmos:

a) Log39 = x

b) Log5625 = x

c) Log7343 = x

d) Log2x = 3

e) Log5x = 2

f) Logx25 = 2

g) Logx36 = 2

h) Logx25 =

6. Hallar: “E ”

Si:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

7. Indicar el valor de:

a) 1 b) 2 c) 0

d) -1 e) 4



8. Si: Log2 = 0,3Log3 = 0,4

Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6

a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7d) 4,9 e) 5,3


a) Log327 =

b) =

c) =

d) =

10. Hallar “x” en:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

BLOQUE IIBLOQUE II

1. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4

2. Si: L = Log2(Log2256)

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Reducir: (Log23 + Log25) . Log152

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Calcular:

7. Calcular:


a) 4/3 b) 5/2 c) 1/2d) 3/2 e) 4/5

9. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

UNMSM - 87UNMSM - 8710. El valor de “x” en la ecuación:

es:

a) 18 b) 20 c) 10d) 30 e) 25

11. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

a) 0,5 b) 1 c) -5d) 2 e) -1/2

12. Calcular:

a) -1/4 b) 4 c) -4d) 1/2 e) -8

BLOQUE IIIBLOQUE III

1. Calcular:

a) 4 b) 1 c) 2

d) 5 e) 0

2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):



I) LogN = (LogN10)-1

………………………….. ( )

II) Ln10 = 1

………………………………………………. ( )

III) Logbb2 = 2

…………………………………………. ( )

3. Reducir:

a) 2/3 b) 3/2 c) 1/2

d) 2 e) 1

4. Luego de reducir:

Se obtiene:

a) bb-1 b) b1-a c) b1-b

d) aab e) aa-1

5. Calcular:

a) 2 b) 1 c) -1

d) 8 e) 0

6. Calcular:

E = lne + lne2 + lne3 + …… + lnex+1

a) (x + 1)(x + 2) d) 1

b) e)

c)

7. Calcular:

a) 5/6 b) 1/3 c) 1/2

d) 1/6 e) 5/3

8. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9. Si: Log35 = a; Log32 = b

Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b”

a) b) 3 + a – b c)

d) 3 – a – b e) a – b - 3

1. Calcular los siguientes logaritmos:

a) Log864 =b) Log232 =



c) Log927 =

d) Log12525 =

e) =

f) =


a) 5 b) 125 c) 25d) 1/5 e) 1

3. Reducir:

a) 3 b) 9 c) 1

d) 32 e) 27

4. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) 3

5. Hallar: “E”

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 18

6. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0

7. Simplificar:

a) 81 b) 243 c) 9

d) 1/3 e) 36


a) 1/8 b) 3/8 c) 16/5d) 25/8 e) 8/25


a) 1 b) 3 c) 4d) 7 e) 8

10. Calcular el logaritmo de 243 en base 27.

a) 5 b) 2 c) 3/2d) 5/3 e) 2/5

11. Hallar:

a) 27 b) 45 c) 15d) 25 e) 9

12. El logaritmo de 0,0625 en base 2 es:

a) 0,025 b) 0,25 c) 5d) -4 e) -2

13. Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 6 y 5

14. Halle “x” de:

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 4 y 5

15. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2

a) 1 b) 0 c) 3d) -2 e) -3


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