ii bim - 2do. año - alg - guía 4 - división algebraica i

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 2DO. AÑO

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003

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No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el Método de “División Larga”. Pero parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el Siglo XII como mínimo y de la India parecer ser que se extendió a China y a Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los siglos XIV y XV. Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por lo tanto es, muy probable que también provenga de la India el método de “división larga” conocido como el “método de la galera”, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Para ilustrar este método, supongamos la división de 44977 por 382; en la figura aparece hecha esta división por el método moderno, y por el método de la galera. Este segundo se parece mucho al primero excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los

minuendos y no debajo. Así pues, el resto final 283 aparece en la parte superior derecha y no en la parte inferior.

El proceso reproducido en la figura es fácil de seguir si tenemos en cuenta que los dígitos de un substraendo dado, como el 2674, o de una diferencia dada, como la 2957, no figuran todos ellos necesariamente en la misma fila, y que los substraendos aparecen escritos por debajo de la línea central y las diferencias por encima; por otra parte, la posición en una columna es importante, pero no la posición en una fila. El cálculo de raíces de números probablemente siguió un esquema análogo al de la “galera”, ligado en la época posterior al teorema binomial en la forma del “triángulo de Pascal”, pero los matemáticos hindúes no daban nunca explicaciones de sus cálculos ni demostraciones de sus reglas; es posible que las influencias china o babilónica jugaran un papel importante en el proceso de evolución del cálculo de raíces. Se oye decir a veces que “la prueba de los nueves” es un invento hindú, pero parece que los griegos ya conocían esta propiedad mucho antes, aunque no la usaron de una manera general, y que este método se popularizó solamente con los árabes hacia el siglo XI.


División

44977 382

382

667

382

29572674283

117

2 2 1 11 9 8

1 6 7 5 34 4 9 7 73 8 2 2 4

3 8 72 6 1

382 117

División por el Método de la Galera, del Siglo XVI, procedente de un manuscrito no

publicado de un monje veneciano. El título de la obra es “Opus Aritmética D. Honorati veneti monachj coenobij S. Lauretig”, Biblioteca de

Mr. Plimpton.

DIVISIÓN ALGEBRAICA IDIVISIÓN ALGEBRAICA I


Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas dividendo y divisor.

En el esquema: Donde:D : Dividendod : Divisorq : Cocienter : Resto o Residuo

Siempre se cumple:

D = dq + r

Llamada identidad fundamental de la división.

Ejemplo:

25 7 Dividendo = 25 59 9 D = 59

21 3 Divisor = 7 54 6 d = 9

4 Cociente = 3 5 q = 6

Resto = 4 r = 5

Según la identidad fundamental de la división: Luego: 59 = 9 . 6 + 5

25 = 7 . 3 + 4

AHORA TU! 17 3 D = 31 5 D =

d = d =

q = q =

r = r =

Luego ¿qué se cumple? Luego:

17 = 31 =

RecordemosLEY DE SIGNOS


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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 SEGUNDO AÑO

D d

r q

Sabías queA la Identidad

Fundamental de la división también se

le conoce como Algoritmo de

Euclides quien fue un matemático griego

Con números¡Es fácil!Pero con

polinomios ¿cómo se opera?

Ten presente:La división de

signos iguales da (+).

La división de signos diferentes da

(–).


Ejemplos:

AHORA TU!

LEYES DE EXPONENTES

Ejemplos:

AHORA TU!

1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOSPara dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte

variable según la Ley de Exponentes.

Ejemplos:


Observa que:

es lo mismo

que escribir es decir

toda fracción

Recuerda siempre que la división entre cero no

esta definida por ejemplo las siguientes

divisiones no se pueden realizar:

Ahora que ya recordamos estudiemos

como se dividen los polinomios.

En la Región de Mesopotamia, lo que actualmente es Irak se han encontrado tablillas para dividir

utilizadas por los Babilonios del 2000

al 600 a.C.


AHORA TU!

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIOPara este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:

Ejemplos:


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Todo número diferente de

cero elevado a la cero es 1.

Ejemplo:5º = 1; 4º = 1; (-

2)º = 1; 0º : indefinido

Sabías que

Según el resto existen 2 clases de división: La

división exacta cuando el resto es idénticamente

nulo y la división inexacta cuando el resto

no es nulo.Ejemplo: 12 3

12 4 0

15 612 2


AHORA TU!

1. Al dividir: 12x3y entre 4xy

Se obtiene: mxn

Hallar:

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5

2. Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3

Se obtiene: mxnypzq

Calcular:

a) 12 b) -4 c) 3

d) -2 e) 1

3. Si:

Calcular: m + n – p

a) 6 b) 7 c) 9


EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN

Por inscripciones que datan desde 3000 a.C. sabemos que

los egipcios tenían la costumbre de expresar todas las fracciones con numerador uno, por ejemplo escribieron:

;

Mientras que 2/5 y 5/6 respectivamente como:

DivisiónExacta

Resto

DivisiónInexacta

Resto

Sabías que


d) 3 e) 1

4. Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x

Calcular la suma de coeficientes del

cociente.

a) 4 b) 8 c) 2

d) 12 e) 24

5. Calcular el cociente en:

Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este

cociente.

a) 12 b) 7 c) 3

d) 14 e) 6

6. Si de: se obtiene un

cociente. Calcular el grado.

a) 7 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

7. Simplificar:

a) x2y b) 3x2y c) -2x2y

d) –x2y e) xy2

8. Reducir:

a) x4y2 b) 0 c) xy2

d) 2x3y2 e) 1

9. Simplificar:

a) 1 b) 3x2y4 c)

3xy2

d) xy2 e) xy

10. Reducir:

a) x2 + y4 b) x2 + x4 c)

x2

d) x4 e) 0

11. Simplificar:

a) x2y + x4y7 b) 0 c) 4x2y

d) x4y7 e) –x2y

12. Reducir:

a) x4 + x6 + x b) 1 c) 3x4

d) 4x4 e) 8x6

13. Reducir:

Si: x3y2 = 3

a) 3 b) 1 c) 27

d) 9 e) 15

14. Hallar el valor de:

Si: x2 + x4 + x3 = 1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15. Calcular el valor de:

Si: x2 = 2 y x4 = 4


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a) 50 b) 44 c) 14

d) 64 e) 94

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

1. Luego de dividir: 20x5y3 entre 5x2y

Se obtiene: mxnyp

Calcular:

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 6

2. En la división de: 48x7y10z12 entre

12x3y5z8

Se obtiene: axbyczd

Hallar:

a) 5 b) 10 c) 16

d) 4 e) 8

3. Si:

Calcular:

a) 24 b) 72 c) 26

d) 14 e) 28

4. En la división: calcular la

suma de coeficientes del cociente.

a) 6 b) 9 c) 3

d) 15 e) 8

5. En la división:

Luego de obtener el cociente.

Calcular: GR(x) – GR(y)

a) 2 b) -10 c) 10

d) 12 e) 14

6. Al dividir: se

obtiene un polinomio homogéneo.

Calcular el grado de homogeneidad.

a) 5 b) 7 c) 2

d) 8 e) 12

7. Simplificar:

a) 13x3y7 b) 7x3y7 c)

6x3y7

d) 1 e) 0

8. Simplificar:

a) 3x5y3 b) 0 c) -2x5y3

d) 1 e) 2

9. Reducir:

a) 3 b) 1 c) 2

d) 15 e) 5

10. Simplificar:

a) 1 b) 0 c) 2

d) x7 + x3 e) x7 – x3



11. Reducir:

a) 5x2 – 6y3 b) 2x2 + 2y3 c) -3x2 +

8y3

d) 1 e) 0

12. Reducir:

a) 1 b) 5x3 – 9x6 c) 2

d) x3 e) x6

13. Simplificar:

Si: x7y3z9 = 2

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 1

14. Hallar el valor de:

Si: x17y23z8 = 4

a) 52 b) 4 c) 1

d) 13 e) 2

15. Calcular el valor de:

Si: 7x6 + 8x2 = 6x7

a) x3 b) 2 c) x2

d) 1 e) 0

ALGORTIMO : Regla o proceso para calcular.

IDENTIDAD : Igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable.

BABILONIOS : Personas que vivieron entre los ríos Tigres y Eufrates región

conocida como Mesopotamia en el período 2 000 al 600 a.C.


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