divisibilidad algebraica

JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN

ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ


JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN

1111

Este capítulo tiene por finalidad determinar poli-nomios desconocidos, dadas ciertas condiciones, ytambién obtener restos que no se puede obtenerfácilmente por división o por aplicación directa delteorema del resto.

Para tal efecto, se necesita conocer los siguientesprincipios:

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

1º Para determinar la suma de coeficientes de un po-linomio se hace la variable, o variables, igual a 1.Es decir:

∑ de coeficientes de P(x,y) = P(1,1)

donde: ∑ significa sumatoria.

2º Para determinar el término independiente de unpolinomio se hace la variable respecto a la cual serefiere el polinomio, igual a cero. Esto es:

T.I. del polinomio P(x) = P(0)

3º Si un polinomio es divisible separadamente entredos o más binomios, será divisible entre el pro-ducto de ellos.

Si P(x) ÷ (x - a), R = 0

P(x) ÷ (x - b), R = 0

P(x) ÷ (x - c), R = 0

entonces:

P(x) ÷ (x - a)(x - b)(x - c), R = 0

4º Si un polinomio es divisible entre el producto devarios binomios, será divisible separadamente porcada uno de ellos. Esto significa que:

Si P(x) ÷ (x - a)(x - b)(x - c), R = 0

entonces:

P (x) ÷ (x - a), R = 0

P (x) ÷ (x - b), R = 0

P (x) ÷ (x - c), R = 0

5º En toda división, si al dividendo y divisor se lemultiplica por una misma cantidad el resto quedamultiplicado por dicha cantidad. Para determinarel resto verdadero se divide el resto obtenidoentre la cantidad por la cual se multiplicó divi-dendo y divisor.

En general: D = dq + R

multiplicando por “m”:

D . m = d . m . q + R . m

Resto obtenido R . mResto verdadero = ––––––––––––––– = ––––– = Rm m

6º En toda división, si al dividendo y divisor se ledivide por una misma cantidad, el resto quedadividido por dicha cantidad. Para determinar elresto verdadero, se multiplica el resto obtenidopor la cantidad por la cual se dividió dividendo ydivisor.

En general: D = dq + R

dividiendo entre “m”:

D d R–– = –– . q + ––m m m

El resto verdadero = Resto obtenido . m

R= –– . m = Rm

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = (8x3-7x + 2)n+3 (5x5 - 3x + 7)n-1

- (10x - 1)n+1(4x - 1)n-1

Solución:

Como se pide calcular la suma de coeficientes delpolinomio, se halla su valor para x = 1:

P(1) = (8 - 7 + 2)n+3 (5 - 3 + 7)n-1

- (10 - 1)n+1(4 - 1)n-1

TEORÍA Y PROBLEMAS





2222

P(1) = (3)n+3(9)n-1 - (9)n+1(3)n-1

P(1) = (3n+3) (32)n-1 - (32)n+1(3)n-1

P(1) = 3n+3 . 32n-2 - 32n+2 . 3n-1

P(1) = 33n+1 - 33n+1 = 0

∴ ∑ coeficientes = P(1) = 0

Rpta.: ∑ coeficientes = 0

2.- Si el polinomio:

P(x) = (5x - 1)2n-1 (2x + 5)n

+ [(3x + 1)(x + 5)]n + (x2 + n)(x - 2)

tiene como término independiente (-36) Calcular n.

Solución:

Se halla el T.I., para lo cual se hace x = 0:

P(0) = (-1)2n-1 (5)n + [(1)(5)]n + (n)(-2)

2n - 1 es número impar, por lo tanto:

(-1)2n-1 = -1

entonces:

P(0) = (-1) (5)n + 5n - 2n = -5n + 5n - 2n

P(0) = -2n

Este es el T.I., según el enunciado su valor es -36.Luego:

∴ -2n = -36n = 18

Rpta.: n = 18

Solución:

si el polinomio es divisible entre (x -1)(x +1)(x - 3), será divisible separadamente entre (x-1), (x + 1) y(x-3).

3.- Determinar E = abc si el polinomio:

x5 - 2x4 - 6x3 + ax2 + bx + c

es divisible entre (x - 1)(x + 1)(x - 3)

Dividiendo tres veces consecutivas por Ruffini:

1 -2 -6 +a +b +c1 +1 -1 -7 +a-7 +b+a-7

1 -1 -7 a-7 b+a-7 a+b+c-7

-1 -1 +2 +5 -a+2

1 -2 -5 a-2 b-5

3 +3 +3 -6

1 +1 -2 a-8

Los restos deben ser cero, así:

a + b + c - 7 = 0 (α)

b - 5 = 0 (β)

a - 8 = 0 (γ)

De (γ): a = 8

De (β): b = 5

De (α): 8 + 5 +c - 7 = 0

c = -6

∴ E = (8)(5)(06) = -240

4.- Determinar “a” y “b” si el polinomio:

ax8 + bx7 + 1

es divisible entre (x-1)2

Solución:

Como es divisible entre (x - 1)2 será divisibledoblemente por (x - 1). Dividiendo consecutiva-mente entre (x - 1), por Ruffini:

a b 0 0 0 0 0 0 1↓

1 a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b

a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1

↓

1 a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b6a+5b 7a+6b

a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b 6a+5b7a+6b 8a+7b

Por ser divisible debe cumplirse que:

i) a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = -1 (α)

-7bii) 8a + 7b = 0 ⇒ a = –––– (β)8

TEORÍA Y PROBLEMAS





3333

Sustituyendo en (β) en (α):

-7b–––– + b = -1

8

b = -8

Sustituyendo en (β):

-7ba = –––– (-8)8

a = 7

5.- Hallar el cociente entre “q” y “r” si el cociente esexacto:

x5 - 5qx + 4r–––––––––––––

(x-c)2

Solución:

Si el cociente es exacto, el polinomio dividendoes divisible entre (x - c)2 y también dos veces esdivisible entre (x - c), dividiendo por Ruffini:

1 0 0 0 -5q +4r

↓c c c2 c3 c4 -5qc+c5

1 c c2 c3 -5q+c4 4r-5qc+c5

↓

c c 2c2 3c3 +4c4

1 2c 3c2 4c3 -5q+c4+4c4

Como el cociente es exacto, debe cumplirse que:

i) 4r - 5qc + c5 = 0 (α)

ii) -5q + 5c4 = 0

c4 = q (β)

Sustituyendo (β) en (α):

4r - 5c5 + c5 = 0

r = c5 (γ)

De (β) a la quinta y (γ) a la cuarta potencia, seobtiene:

c20 = q5 (ρ)

r4 = c20 (θ)

de estas dos últimas relaciones:

r4 = q5

6.- Hallar “n” y “a” si la división es exacta:

(x2 + x + 2)4 - a [(x + 1)2 - x + 1]3 - nx4(x + 1)4

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––x3 - 1

Solución:

Como el divisor es:

x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)

Por productos notables, el dividendo será divisi-ble entre (x - 1)(x2 + x + 1) y también entre cadauno de ellos. Si es divisible por (x - 1), aplicandoel Teorema del resto se obtiene:

R =P(1)= (1+1+2)4 - a(4 -1+1)3 - n(1)4(2)4 = 0

256 - 64a - 16 n = 0

4a + n = 16 (α)

Si es divisible entre (x2 + x + 1), aplicamos el Teore-ma del Resto, previo cambio de forma del dividen-do, de esta manera:

(x2 + x + 2)4 - a(x2 + 2x + 1 - x + 1)3 - n(x2 + x)4

o: (x2 + x + 2)4 - a (x2 + x + 2)3 - n(x2 + x)4

(Dividendo)

Igualando a cero el divisor:

x2 + x + 1 = 0 x2 + x= -1

Sustituyendo en el dividendo:

R = (-1 + 2)4 - a(-1 + 2)3 - n(-1)4 = 1 - a - n

Como la división es exacta el resto es cero, esto es:

1 - a - n = 0

a + n = 1 (β)

Restando (α) - (β):

3a = 15

a = 5

Sustituyendo en (α):

n = -4

TEORÍA Y PROBLEMAS





4444

7.- Calcular “a” y “b” si el polinomio:

2x4 + ax3 + bx2 + 27x - 10

es divisible entre x2 - 6x + 5

Solución:

Transformando a producto el divisor por produc-tos notables, entonces el polinomio será divisibleseparadamente por (x - 5) y (x - 1)

x2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

Dividiendo por Ruffini dos veces:

2 +a +b 27 -10

↓

1 2 a+2 a+b+2 a+b+29

2 a+2 a+b+2 a+b+29 a+b+29-10

↓

5 10 5a+60 30a+5b+310

2 a+12 6a+b+62 31a+6b+339

Por condición del problema:

a + b + 29 - 10 = 0

a + b = -19 (α)

También:

31a + 6b + 339 = 0

31a + 6b = -339 (β)

De (α):

b = -19 - a

sustituyendo en (β):

31a + 6(-19 - a) = -339

a = -9

sustituyendo en (α):

-9 + b = -19

b = -10

α

8.- Un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-ciente es 1, es divisible por (x - 2) y (x - 1) y alser dividido por (x - 3) da resto 20. Hallar su tér-mino independiente.

Solución:

Datos:

i) P(x) es de tercer grado

ii) Primer coeficiente es 1

iii) P(x) ÷ (x - 2), R = 0

iv) P(x) ÷ (x - 1), R = 0

v) P(x) ÷ (x - 3), R = 20

Incógnita: T.I. = P(0)

De los datos (3) y (4) se obtiene:

P(x) ÷ (x - 2)(x - 1), R = 0

En toda división:

D = dq + R

si R = 0, la división es exacta, para este problema,por lo tanto:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)

Por dato (1), P(x) es de tercer grado:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)123 14243 123

3er.grado 2do.grado 1er.grado

se concluye que q(x) es de primer grado y es dela forma:

q(x) = ax + b

Luego: P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(ax - b)

Por dato (2) el primer coeficiente es 1, luego:

a = 1

Por lo tanto se puede escribir:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + b) (α)

Por dato (5); P(3) = 20

Sustituyendo x = 3 en (α) e igualando a 20:

(3 - 2) (3 - 1) (3 + b) = 20

b = 7

TEORÍA Y PROBLEMAS





5555

El polinomio buscado es:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + 7)

P(0) = (0 - 2)(0 - 1)(0 + 7) = 14

9.- Un polinomio P(x) divisible entre:

(xn-1 + 1)

tiene como T.I. -3 y grado “n”. Calcular el valorde “n” si se sabe que al dividirlo separadamenteentre (x - 1) y (x - 3), los restos que se obtienenson: -2 y 732 respectivamente.

Solución:

Datos:

i) P(x) ÷ (xn-1 + 1), R = 0

ii) P(x) es de grado “n”

iii) P(x) ÷ (x - 1), R = -2

iv) P(x) ÷ (x - 3), R = +732

v) T.I. de P(x) es -3

Incógnita: n

Por el dato (1):

P(x) ≡ (xn-1 + 1) q(x)

Por el dato (2):

P(x) ≡ (xn-1 + 1) q(x)123 14243 123grado n grado (n-1) grado (1)

144424443grado n

por lo tanto, q(x) es de primer grado y de la forma:

q(x) = ax + b

y, el polinomio adopta la forma:

P(x) ≡ (xn-1 + 1) (ax + b)

Por dato 5:

T.I. = P(0) = -3 (α)

P(0) ≡ (0 + 1)(0 + b) (β)

Igualando (α) y (β)

(0 + 1)(0 + b) = -3

b = -3

Con lo cual el polinomio hasta este momentotiene la forma:

P(x) ≡ (xn-1 + 1) (ax - 3)

Por el dato (3):P(1) = -2

P(1) = (1n-1 + 1)(a - 3) = -2

Esto es:

(1n-1 + 1)(a - 3) = -2

a = 2

El polinomio finalmente será:

P(x) ≡ (xn-1 + 1)(2x - 3)

Por el dato (4):

P(3) = 732 (ρ)

P(3) = (3n-1 + 1)(6 - 3) (π)

Igualando (ρ) y (π):

(3n-1 + 1)(6 - 3) = 732

3n-1 + 1 = 244 ; 3n-1 = 243 3n-1 = 35

Como las bases son iguales, los exponentes tam-bién serán iguales:

n - 1 = 5 ; n = 6

10.- Un polinomio P(x) de sexto grado tiene raízcuadrada exacta, es divisible separadamentepor (x2 +1) y (x + 3) y si se le divide por (x + 2)el resto es 225.

Hallar la suma de sus coeficientes.

Solución:

Datos:

i) P(x) es de sexto grado

ii) P(x) tiene raíz exacta

iii) P(x) ÷ (x2 + 1), R = 0

iv) P(x) ÷ (x + 3), R = 0

v) P(x) ÷ (x + 2), R = 225

TEORÍA Y PROBLEMAS





6666

Por los datos (2), (3) y (4):

P(x) ÷ (x2 + 1)2, R = 0

P(x) ÷ (x + 3)2, R = 0

de aquí se concluye que:

P(x) ÷ (x2 + 1)2 (x + 3)2, R = 0

luego:

P(x) ≡ (x2 + 1)2 (x + 3)2 q(x)

Por dato (1):

P(x) ≡ (x2 + 1)2 (x + 3)2 q(x)123 123 123 123

6to. grado 4to. 2do. 01444244436to.grado

se concluye que q(x) es de grado cero y toma laforma de:

q(x) = A

el polinomio será:

P(x) ≡ (x2 + 1)2 (x + 3)2 A

Por el dato (5):

P(-2) = 225

P(-2) ≡ (4 + 1)2 (-2 + 3)2 A = 225

(5)2 (1)2 A = 225

A = 9

El polinomio es:

P(x) = (x2 + 1)2 (x + 3)2 (9)

La suma de coeficientes será:

P(1) = (1 + 1)2 (1 + 3)29 = (4)(16)9 = 576

P(1) = 576

11.- Determinar el polinomio P(x) de 5to. grado quesea divisible entre (2x4 - 3) y que al dividirloseparadamente entre (x + 1) y (x - 2) los restosobtenidos sean 7 y 232 respectivamente.

α

Solución:

Datos:

P(x) ÷ 5to. grado

P(x) ÷ (2x4 - 3), R = 0

P(x) ÷ (x + 1), R = 7

P(x) ÷ (x - 2), R = 232

a) Como P(x) ÷ (2x4 - 3), da R = 0

P(x) = (2x4 - 3) q(x)

b) Como P(x) es de 5to. grado, q(x) es de primergrado:

q(x) = ax + b

Luego: P(x) = (2x4 - 3) (ax + b) (α)

c) Aplicando el Teorema del resto:

P(x) ÷ (x + 1)

haciendo: x + 1 = 0

x = -1

R = P(-1) = 7

En (α):

P(-1) = [2(-1)4 - 3][a(-1) + b] = 7

(-1)(-a + b) = 7

+a - b = 7 (β)

d) P(x) ÷ (x - 2)

haciendo: x - 2 = 0

x = 2

R = P(2) = 232

En (α):

P(2) = [2(2)4 - 3][a(2) + b] = 232

29(2a + b) = 232

2a + b = 8 (γ)

Sumando (β) y (γ):

3a = 15

a = 5

En (β):5 - b = 7

b = -2

TEORÍA Y PROBLEMAS





7777

e) Reemplazando valores en (a):

P(x) = (2x4 - 3)(5x - 2)

efectuando:

P(x) = 10x5 - 4x4 - 15x + 6

12.- Hallar el resto de la división:

(x - 3)8 + (x - 4)5 + 6–––––––––––––––––––

(x - 3)(x - 4)

Solución:

En toda división se cumple:

D = dq + R

En este caso:

(x -3)8 + (x - 4)5+ 6 ≡ (x - 3)(x - 4) q(x) + ax + b

Como es una identidad, se cumple para cualquiervalor de x, así:

para x = 3 se obtiene:

(3 - 3)8+(3 - 4)5 + 6 ≡ (3 - 3)(3 - 4) q(3) + 3a + b

-1 + 6 = 3a + b

3a + b = 5 (α)

para x = 4 se obtiene:

(4 -3)8 + (4 -4)5 + 6 ≡ (4 - 3)(4 - 4) q(4) + 4a + b

4a + b = 7 (β)

restando (β) - (α):

a = 2

En (α): 6 + b = 5

b = -1

R = ax + b

R = 2x - 1

13.- Hallar el resto en:

(x - 5)3 (x + 4)2 (x3 - 3x - 17)n

–––––––––––––––––––––––––––(x - 2)(x + 4)(x - 5)

Solución:

Dividiendo al dividendo y al divisor entre (x- 5)(x + 4),se obtiene:

(x - 5)2 (x + 4) (x3 - 3x - 17)n

––––––––––––––––––––––––––(x - 3)

Aplicando el Teorema del resto:

x - 3 = 0

x = 3

Sustituyendo en el dividendo:

R =(3 - 5)3 (3 + 4)(27 - 9 -17)n = (4)(7)(1)n = 28

Como previamente se dividió, dividendo y divi-sor entre el producto (x-5) (x+4), para obtener elresto verdadero se tendrá que multiplicar el resto28 por (x-5) (x+4), así:

R.verdadero = 28(x - 5)(x + 4)

efectuando:

R = 28x2 - 28x - 560

14.- Hallar el resto en:

x102 - x51 -x4 + 2––––––––––––––––x2 - x + 1

Solución:

Multiplicando el dividendo y divisor por (x+1) seobtiene:

(x102 - x51 - x4 + 2)(x + 1)––––––––––––––––––––––

(x2 - x + 1)(x + 1)

efectuando:

x103 - x52 - x5 + 2x + x102 - x51 - x4 + 2–––––––––––––––––––––––––––––––––

x3 + 1

descomponiendo parcialmente en potencias de “x3”:

(x3)34(x) - (x3)17(x) - (x3)(x2) + 2x + (x3)34

––––––––––––––––––––––––––––––––––––x3 + 1

- (x3)17 - (x3)(x) + 2–––––––––––––––––

aplicando Teorema del resto:

x3 + 1 = 0

∴ x3 = -1

TEORÍA Y PROBLEMAS





8888

R = (-1)34 (x) - (-1)17(x) - (-1)(x2) + 2x

+ (-1)34 - (-1)(x) + 2 - (-1)17

R = x + x + x2 + 2x + 1 + x + 2 + 1

R = x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)

Como se ha multiplicado dividendo y divisor por(x + 1), se tendrá que dividir por este mismovalor el resto para obtener el verdadero.

El resto verdadero será:

(x + 1)(x + 4)R. verdadero = –––––––––––––

(x + 1)

R. verdadero = x + 4

15.- Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) seobtiene un resto que es 3; al cociente se divideentre (x + 1), el resto es 5; al nuevo cociente sedivide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el restode la división P(x) entre (x - 1)(x + 1)(x + 2)

Solución:

Datos:

i) P(x) ÷ (x - 1) = q(x), R = 3

ii) q(x) ÷ (x +1) = q1(x), R = 5

iii) q1(x) ÷ (x + 2) = q2(x), R = 8

Operando para resolver el ejercicio:

Por el dato (1):

P(x) = (x - 1) q(x) + 3 (α)

Por el dato (2):

q(x) = (x + 1) q1(x) + 5 (β)

Por el dato (3):

q1(x) = (x + 2) q2(x) + 8 (γ)

Sustituyendo (γ) en (β):

q(x) = (x + 1) [(x + 2) q2(x)+8] + 5

q(x) = (x + 1) (x + 2) q2(x) + 8(x + 1) + 5 (φ)

Sustituyendo (φ) en (α):

P(x) = (x - 1) [(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8(x + 1) + 5] + 3

α

efectuando:

P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1) q2(x)

+ 8(x + 1)(x - 1) + 5(x - 1) + 3

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8x2 - 8 + 5x - 5 + 3

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8x2 + 5x - 10

La división completa será en consecuencia:

P(x)÷(x -1)(x + 1)(x + 2) = q2(x)+ (8x2 + 5x -10)

Rpta.: 8x2 + 5x-10

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un polinomio P(x) de tercer grado y de primercoeficiente la unidad, al ser dividido entre elpolinomio:

(x2 + 3x + 1)

deja de residuo cero. ¿Entre cuáles de los siguientesbinomios es divisible P(x) si al dividir P(x) entre(x+1) deja de residuo -1?

a) x + 4 b) x = 2 c) x + 3

d) x - 1 e) x - 3

2. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomiof(x) si se sabe que es de tercer grado, su primercoeficiente es la unidad, es divisible entre:(x - 2)(x + 1) y carece de término cuadrático?

a) 4 b) 1 c) 2

d) -3 e) -4

3. Al dividir dos polinomios enteros en “x” seobserva que el término independiente del divi-dendo es 5 veces el término independiente deldivisor y el residuo 2 veces el del divisor. Hallarel término independiente del cociente.

a) 1 b) 3 c) 2

d) 4 e) 5

TEORÍA Y PROBLEMAS





9999

4. Hallar el valor de (m-n) sabiendo que el poli-nomio:

P(x) = 10x5 + x4 - 9x3 +16x2 + mx + n

es divisible entre (x - 1)(2x + 3)

a) 4 b) -4 c) 0

d) 8 e) -18

5. ¿Cuál es el valor de “m” si el polinomio:

P(x) = x3 + m(a - 1)x2 + a2 . (mx + a - 1)

es divisible entre x - a +1?

a) a b) a2 + 1 c) a + 1

d) -1 e) -a

6. ¿Qué valor deberá asignarse a “α” para que elpolinomio:

5x3 - α(x2 + x - 1)

admita como divisor a : 5x2 + 2x - 4?

a) -4 b) 6 c) 8

d) 8 e) 7

7. Al dividir un polinomio P(x) entre x3 + 1, seobtiene como resto:

6x2 + 2x - 3

Hallar la suma de los coeficientes del resto dedividir P(x) entre (x - 1)(x + 1), sabiendo que lasuma de los coeficientes de P(x) es 8.

a) 6 b) 12 c) 4

d) 8 e) 5

8. Averiguar el valor de (a2 - b2) si la diferenciaentre los restos que se obtienen al dividir sepa-radamente el polinomio:

ax4 + bx3 + c

entre (x2+ 1) y (x3 + 1) respectivamente es:

2x - 12

a) -24 b) -16 c) -20

d) -12 e) -8

9. Hallar el resto que se obtiene al dividir:

x3a + 2x3b+1 + x3c+2 + 1–––––––––––––––––––

x2 + x + 1

a) x - 1 b) x c) x + 1

d) -x e) faltan datos

10. Hallar el resto de la división:

(x + 2)6 + 2x3 + 6–––––––––––––––––

(x + 3) (x + 1)

a) 3x + 1 b) 26x + 31 c) 4x + 1

d) 1 e) 2

11. Un polinomio P(x) al dividirlo entre x2 + x + 1 yx 2- x + 1 nos da como resto 1 - x y 3x + 5. Hallarel resto que daría al dividirlo entre:

x4 + x2 + 1

a) 1 b) 4 c) 6

d) 12 e) -6

12. El resto de dividir un polinomio M(x) entre (x - 2)5 es:

x3 -2x + 1

Otro polinomio N(x) al dividirlo entre (x - 2) dacomo resto:

2x2 + 3x - 6

Si en ambos casos el polinomio es el mismo, ¿Cuáles el resto de dividir M(x) + N(x) entre x2- 4x + 5?

a) 20x - 25 b) x + 5 c) 4x =2

d) 3x +1 e) x

13. Hallar a y b de manera que:

x3 + ax2 +11x + 6 y x3 + bx2 + 14x + 8

sea divisible por x2 + mx + n

a) a = 1 b) a = 5 c) a = 8b = 3 b = 7 b =10

d) a = 6 e) a = 4b = 7 b = 3

α

TEORÍA Y PROBLEMAS

e) 14





10101010

α

14. Un polinomio de 4to. grado en x, cuyo primercoeficiente es la unidad es divisible por (x2 - 1)y por (x - 4) y al dividirlo por (x + 3) da comoresiduo 56. Calcular cuánto dará de residuo aldividirlo por (x - 2).

a) 48 b) 12 c) 24

d) 50 e) 15

15. Encontrar un polinomio de sexto grado, cuyoT.I. es 100, que tenga raíz cuadrada exacta, quesea divisible entre (x2 + 2) y que al dividirloentre (x - 1) el resto obtenido sea 81. Hallar elresto del mencionado polinomio cuando se ledivide por (x + 1).

a) 36 b) 144 c) 225

d) 324 e) 441

16. Un polinomio de grado n + 1 cuyo primer coefi-ciente es 1 es divisible entre (xn + 2). Si el resto dedividirlo separadamente entre (x + 1) y (x + 2)son respectivamente 12 y 258. Calcular “n”.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5

17. Tres números reales y diferentes verifican lascondiciones siguientes:

a3 + pa + q = 0

b3 + pb + q = 0

c3 + cp + q = 0

q ab + ac + bcCalcular : E = ––– (–––––––––––––)p abc

a) 1 b) -1 c) a

d) b e) c

18. Un polinomio P(x) de 2do. grado y el primer coe-ficiente la unidad al ser dividido entre (x - 2) dacomo resultado un cierto cociente Q(x) y unresto 6. Si se divide P(x) entre el cocienteaumentado en 3 la división resulta exacta. Hallarel resto de dividir P(x) entre (x - 5).

a) 5 b) 20 c) 10

d) 4 e) 12

19. Calcular “a” si se cumple la siguiente identidad:

3x5 - 2x4 + 3x - 7 ≡ a(x - 1)5 + b(x - 1)4

+ c(x - 1)3 + d(x - 1)2 + e(x - 1) + f

a) 22 b) 18 c) 10

d) 13 e) 8

20. Hallar el resto de la siguiente división:

a(x - b)2n + b(x - a)2n

–––––––––––––––––––––(x - a)(x - b)

a) ax - b b) bx - a

c) (a + b)2nx + b d) (a - b)2nx

1) B 2) E 3) B 4) C 5) D

6) C 7) D 8) A 9) C 10) B

11) C 12) A 13) D 14) A 15) E

16) C 17) B 18) B 19) B 20) D

CLAVE DE RESPUESTAS

TEORÍA Y PROBLEMAS

divisibilidad algebraica

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