Expresión Algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

El número de metros de valla necesarios para cercar un terreno rectangular es dos veces el largo más dos veces el ancho.

Esta información la podemos expresar de forma más concisa:

Indicamos con la letra x el largo y con la letra y el ancho del mismo:

Por tanto, 2x es dos veces el largo; y 2y dos veces el ancho.

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones.

x

x

y y

La valla necesaria para cercar el terreno será: 2x + 2y.

La expresión 2x + 2y

es una expresión algebraica.

Con el lenguaje algebraico las informaciones se expresan de forma más sencilla.

Frases en lenguaje algebraicoLenguaje ordinario

· El triple de un número 3x

· El cuadrado de la suma de dos números

· Hoy tengo 15 años. ¿Cuántos años tenía hace y años?

Lenguaje algebraico

(a + b)2

· Hoy tengo 15 años. ¿Cuántos años tendré cuando pasen x años?

15 + x

· Dos números naturales consecutivos n, n + 1

15 – y

· Un número par 2n

· Área del triángulo de base b y altura h2

· hb

Perímetro del cuadrado de lado x 4x

El cuadrado de un número x2

El cuadrado de un número menos el mismo número

x2 – x

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica 5x + 3a2, para x = –1 y a = 2.

Sustituimos en la expresión, x por –1 y a por 2:

5x + 3a2 = 5 · (–1) + 3 · 22 = -5 + 3 · 4 = –5 + 12 = 7

Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas. • Dependiendo del número de sumandos,

tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).

• Dos expresiones algebraicas separadas por un signo = se llama ecuación.

• Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

• Monomios:

• Polinomios:

• Ecuaciones: • Identidades:

¿SABES QUÉ ES UN MONOMIO Y SUS CARACTERÍSTICAS?

•Un monomio es una expresión algebraica que consta de un sólo término.

¿MONOMIOS?• LOS MONOMIOS

TIENEN COMO CARACTERÍSTICAS POSEER SIGNO, COEFICIENTE, PARTE LITERAL Y EXPONENTE.

• Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal:

• -2ab2 y 5ab2 son monomios semejantes• 4ab2 y 4a2b no son monomios semejantes• 3x3 y -5x3 son monomios semejantes• 3x3 y 3x2 no son monomios semejantes

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de dos o más monomios. Cada monomio se llama término del polinomio.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

Binomio:a – b2

Trinomio:x4 – 3x2 + 7

Grado 2. Grado 4.

SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• La primera condición que se debe cumplir para poder sumar o restar dos o más monomios es que estos sean semejantes.

• La suma o resta se realiza exclusivamente con los coeficientes.

• Y por último se agrega el termino común.

Suma y resta de monomios

La suma o diferencia de dos monomios semejantes es otro monomios semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados. Reducir términos semejantes es sumarlos o restarlos.

Para que dos monomios puedan sumarse o restarse es necesario que tengan las mismas letras con los mismos exponentes: que sean semejantes.

La suma (o resta)suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

2xy

222 35 yxxy No son semejantes, luego no se pueden sumar.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2xy 2xy 2xy

2xy 2xy

5 3 5 7

10( )

5 3 5 7

Suma y resta de monomios: ejercicios

1. Realizar las siguientes sumas o restas de monomios:

a) 4xy2 + 9xy2

b) 5ab3 + 4ab2

c) x + 5x – 2x

a) 4x3 – 2x2

b) 4a2 + 1 + a2 + a

c) 3x2 – 8x + 2 – x2 – 8

2. Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas:

13xy2

No pueden sumarse porque no son monomios semejantes.

4x

No puede reducirse.

5a2 + a + 1

2x2 – 8x – 6

CUANDO SE TRATA DE SUMAR O RESTAR POLINOMIOS…

• Se acomodan los términos semejantes de manera vertical y se hacen las operaciones correspondientes entre los coeficientes.

-9x³ + 4x² - x + 18

3x³ - 2x² - 5

-6x³ +2x² - x + 13

PROCURA NO OLVIDAR QUE…

• Si la operación a realizar es una resta, los signos de la expresión algebraica precedida del signo menos cambian.

( 2m² + 3m – 15 ) – ( 4m² - 2m + 1 )

2m² + 3m – 15

-4m² + 2m - 1

-2m² + 5m - 16

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.

• Para multiplicar debes de…..

a) Multiplicar los signos.

b) Multiplicar los coeficientes

c) Aplicar la Ley de los Exponentes que dice que cuando multiplicas letras iguales los exponentes se suman.

Para multiplicarmultiplicar,, por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales.

2415 yx

Ejemplo 3: yy 73 2

Ejemplo 4:

3 72y y 321y( )

32 35 xxy ( )5 32xy 3x

OBSERVA CÓMO SE REALIZA LA MULTIPLICACIÓN DE UN

MONOMIO POR UN POLINOMIO

-8n³ + 6n² - 3n + 2

5n

-40n + 30n³ - 15n² + 10n4

DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

• Para dividir expresiones algebraicas no olvides…

a) Aplicar la Ley de los Signos.

b) Dividir los coeficientes

c) Aplicar la Ley de los Exponentes que dice que cuando se dividen letras iguales los exponentes se restan.

RESULTADO

Para dividirdividir,, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

27 7:21 yy

bba 4:25 23

21 7: ( ) ( )7y 2y : 53y

25 4ba3 b 3

4

25a

AQUÍ ESTA OTRO EJEMPLO…

• Divide -27x³ + 18x² + 9x ÷ 3x

-27x³ ÷ 3x = -9x²

18x² ÷ 3x = 6x

9x ÷ 3x = 3

= -9x² + 6x + 3

Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo iguale.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembroUna ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. También se puede llamar igualdad algebraica.e.j: x+10=20-12

La solución de una ecuación son los valores de la incógnita que al sustituirlos en la ecuación hacen que se verifique la igualdad.Resolver una ecuación es hallar su solución.e.j:x-2000=2(x-9000) x-2000=2x-18.000 x-2x=-18.000+2000 -x=-16.000 x=16.000

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta el mismo número o la misma expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.e.j: 5x-7=28+4x // 5x-7-4x=28+4x-4x // 5x-7-4x+7=28-4x+4x+7 x=35Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por el mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.e.j:5/2 x=270 // 2·5/2 x=2·270 // 5x=540 // x=108

1·Quitar paréntesis2·Suprimir de ambos términos los miembros iguales3·Pasar a un miembro los términos que contengan la incógnita, y al otro miembro los números4·Reducir términos semejantes5·Despejar la incógnita.Ecuación: 3x+4=(2x+8)-(6+x)Quitar paréntesis: 3x+4=2x+8-6-xPasar la incógnita al 1º miembro: 3x-2x+x=8-6-4Reducir términos semejantes: 2x=-2Despejar la incógnita: x=-1

1·Leer el problema2·Apuntar datos3·Escribir la ecuación4·Resolver la ecuación5·Interpretar el resultado6·comprobar el resultado obtenido PROBLEMAPaula tiene 16 años y su madre 38.¿cuántos años hace que la edad de la madre de Paula era el triple que la edad de su hija?Paula:16 años // Madre:38 años // 38-x=3(16-x) 38-x=48-3x // x+x=48-38 // 2x=10 // x=10/2=5 x =5

FIN