Investigación para cálculo diferencial.

Funciones, tipos, clasificación, operaciones, dominio y rango.

Profesor: César Octavio Martínez Padilla.

Alumno: Rodolfo Héctor Rivero.

Registro: 15110239

FUNCIONES:

Se le llama función a la relación o correspondencia existente entre dos o más

cantidades.

Si bien anteriores matemáticos definieron el concepto de función, fue el

matemático alemán J.P.G. Lejeune –Dirichlet (1805-1859) quien definió que una

variable es un símbolo que representa un número, dentro de un conjunto de ellos.

Dos variables X y Y, están asociadas de tal forma, que al asignar un valor a X, por

alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice

que Y es una función de X.

La variable X a la que se asignan los valores, se llama variable independiente,

mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de X, se llaman variables

dependientes.

Los valores permitidos de X constituyen el dominio de la función, y los valores que

toma Y, constituyen su recorrido.

Una función f de A en B, es una relación que hace corresponder a cada elemento

de X y A uno y solo un elemento de Y y B, llamado imagen de X por f, y se

escribe:

Y= f (x)

Es decir que para que una relación sea una función debe de cumplir dos

condiciones:

1- Todo elemento del conjunto de partida A, debe tener imagen, la cual debe

de ser única.

2- El conjunto formado por todos los elementos de B, que son imagen de

algún elemento del conjunto de partida, se denomina conjunto imagen o

recorrido de f.

Ejemplos:

En una función f: A -> B todo elemento X y A tienen una y solo una imagen Y y B.

Un elemento Y y B, pueden no ser imagen de ningún elemento X y A, ser imagen

de algún elemento de X y A, o ser imagen de varios elementos de X y A.

La función inversa f-1 puede no ser una función.

Las formas de expresar una función pueden ser:

Mediante tablas:

X Y

-1 1

0 0

1/2 1/4

1 1

2 4

O gráficamente:

http://es.slideshare.net/nativoloco/01-funciones

TIPOS DE FUNCIONES:

1 - FUNCIÓN CONSTANTE:

Es una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante.

Por ejemplo: f(x) = 3 este corresponde al valor de y, donde el dominio es el

conjunto de los números reales y, el recorrido, es {3} , por consiguiente y=3

Si la graficamos vemos lo siguiente:

http://www.ditutor.com/funciones/funcion_constante.html

2 - FUNCIÓN LINEAL:

Es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya

representación gráfica en un plano cartesiano es una línea recta.

La podemos escribir como:

F (x) = mx+b

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

Donde m y b, son constantes reales y X es una variable real.

La constante m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con

el eje.

Si se modifica m, entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,

entonces la línea se desplazará arriba o abajo.

3 - FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Es una función polinómica definida por:

Y= ax² + bx +c

Con a distinto de 0

http://mundoesmatematico.blogspot.mx/2012/08/funcion-cuadratica.html

La forma de graficar estas funciones, se asemejan a parábolas verticales, con la

particularidad que cuando a es mayor a cero (a>0), el vértice de la parábola se

localiza bajo la misma, abriéndose hacia arriba. En cambio cuando a <0, este

vértice se localiza en la parte superior, siendo un máximo, se abre hacia abajo.

Las funciones cuadráticas son aplicables a numerosos campos como por ejemplo,

la caída libre o también el tiro parabólico.

La función que se deriva de una función cuadrática es una función lineal.

Imagen de una función cuadrática.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html

4 - FUNCIÓN POLINÓMICA:

Las funciones polinómicas son aplicaciones definidas entre conjuntos numéricos

que responden a una forma polinómica. Estas funciones, que son continuas y

derivables, constituyen una de las familias más comunes en la representación de

los fenómenos naturales y se utilizan en los desarrollos algebraicos.

Por ejemplo:

El dominio de estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales,

pues x puede ser cualquier número dentro de los reales.

Imagen de una función polinómica:

http://matematicaspr.com/l2dj/blog/funciones-polinomicas

5 – FUNCION RACIONAL:

Es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios, sólo si el

denominador es un número (polinomio de grado 0). Por consiguiente, estas

funciones polinómicas son funciones racionales.

Es el cociente de dos funciones polinómicas. Una función racional si para toda x

en el dominio se tiene:

6 – FUNCIÓN DE POTENCIA:

Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = x r, donde r es

cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.

Imagen de una función de potencia:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Tfuncele1/funele.htm

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:

Las funciones se clasifican en:

- Algebraicas y trascendentes.

- Continuas y discontinuas.

- Crecientes y decrecientes.

- Uno a uno, sobreyectivas y biyectivas.

Aquí su clasificación en diagrama de llaves:

- Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente

un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y)

pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de

una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para

determinar si las ordenadas “y” se repiten o no.

- Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada

sobreyectiva), si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento

de a, bajo f.

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos

iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de

algún elemento X del dominio.

- Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es

sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la

función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento

de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen

simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Si f es biyectiva, entonces su inversa f - 1 es también una función y además

biyectiva.

- Función Par:

Una función f: R! R es par si se verifica que

“x " R vale f (-x) = f(x)

Si f: R! R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico

respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio

tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f (-x)

- Función Impar:

Una función f: R! R es impar si se verifica que

“x " R vale f (-x) = -f(x)

Si f: R! R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del

origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (El dominio tiene

que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f (-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones

reales no son pares ni impares.

- Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera

del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f(x1) < f(x2).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica,

(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con

X1<x2 se tiene que f(x1)< f(x2) con lo cual prevalece la relación <

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

OPERACIONES CON FUNCIONES:

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo

intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la

función definida por

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta

de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f – g) (x) = f(x) – g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un

mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo

intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f . g) (x) = f(x) . g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo

intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no

se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la

función es la función definida por

(a . f) (x) = a . f(x)

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:

DOMINIO:

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar

una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor,

no tiene ninguna restricción, entonces su dominio está compuesto por todos los

números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los

valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la

función para un valor de x, su resultado nos da un número real.

Por ejemplo la función:

f(x) = ,

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la

función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que

al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz

cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro

de los reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la

función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero;

expresado como:

Se pueden seguir estas recomendaciones para calcular el dominio de una función:

No puede haber una raíz cuadrada (o cualquier raíz par ) negativa, pues se

trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.

Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión

queda indeterminada.

RANGO:

El rango de una función, está dado por todos los valores que pueden resultar al

evaluar una función.

Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).

También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número,

positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes

(es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está

conformado por el cero y todos los números positivos.