1.5 TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.

Para obtener la gráfica de una función, basta asignarle valores a x en la función y calcular

los valores correspondientes para f(x), posteriormente ubicar estas coordenadas (x, f(x)) en

un plano cartesiano y unir los puntos. El objetivo de este tema es que logres identificar la

gráfica de una función, sin necesidad de calcular las coordenadas (x, f(x)), es decir, que

conozcas el comportamiento de la función, más que calcular los puntos precisos por donde

pasa.

En este tema veremos como las transformaciones afectan la gráfica de una función. Las

transformaciones que analizaremos son: La traslación, la reflexión y el estiramiento.

1.5.1 TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN.

Consiste en desplazar la gráfica de manera vertical, horizontal o combinada (horizontal y

vertical al mismo tiempo).

1.5.1.1 TRASLACIÓN VERTICAL DE FUNCIONES.

Al sumar una constante c a una función f(x) genera un desplazamiento vertical: hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si la constante es negativa. Si consideramos que c es una constante, para graficar g(x)= f(x)+c, desplazar c unidades hacia arriba de la gráfica de f(x). Para graficar h(x)= f(x) -c, desplazar c unidades hacia abajo de la gráfica de f(x).

Ejemplos resueltos.

1. Dada la función f(x)=x, trazar la gráfica de g(x)=x+5 y la de h(x)=x-3.

En esta gráfica se puede observar que si a f(x) se le suma una constante c, la gráfica se desplaza hacia arriba de f(x), c unidades. También observamos que si a f(x) se le resta una constante c, la gráfica se desplaza hacia abajo de f(x), c unidades.

2. Dada la función f(x)=x2, trazar la gráfica de g(x)=x2+2 y la de h(x)=x2-1.

En esta gráfica se puede observar que si a f(x) se le suma una constante c, la gráfica se desplaza hacia arriba de f(x), c unidades. También observamos que si a f(x) se le resta una constante c, la gráfica se desplaza hacia abajo de f(x), c unidades.

𝐠(𝐱) = 𝐱𝟐 + 𝟐

𝐟(𝐱) = 𝐱𝟐

𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

x x

y y

f(x)=x

g(x)=x+5

h(x)=x-3

1.5.1.2 TRASLACIÓN HORIZONTAL DE FUNCIONES.

Si a la gráfica de una función f(x) la trasladamos horizontalmente c unidades, la traslación

ocurre hacia la izquierda cuando c>0 (valores positivos) y la traslación ocurre hacia la

derecha si c< 𝟎 (valores negativos). Ejemplos resueltos.

1. Dada la función f(x)= x2+2, encontrar la gráfica de:

g(x)=(x+2)2 +2 y la de h(x)= (x-3)2 +2

En la gráfica se puede apreciar que si c=+2, esta se traslada hacia la izquierda, cuando c=-3 la gráfica se traslada hacia la derecha.

1.5.1.3 TRASLACIÓN COMBINADA DE FUNCIONES.

1. Sea la función f(x)=log x, exprese a g(x) como la función que desplaza a f(x) 2 unidades a la derecha y a h(x) como la función que desplaza a f(x) 3 unidades hacia arriba.

Si f(x)=log x Para desplazar a f(x) 2 unidades a la derecha, se deberá restar a x 2 unidades, quedando: g(x)= log (x-2). Para desplazar a f(x) 3 unidades hacia arriba, se deberá sumar a f(x) 3 unidades, quedando: h(x)=log(x) +3.

2. Sea la función f(x)=x3+x2, exprese a g(x) como la función que desplaza a f(x) 3 unidades a la derecha y a h(x) como la función que desplaza a f(x) 2 unidades hacia arriba.

Si f(x)=x3+x2 Para desplazar a f(x) 3 unidades a la derecha, se deberá restar a x 3 unidades, quedando: g(x)=(x-3)3+(x-3)2 Para desplazar a f(x) 2 unidades hacia arriba, se deberá sumar a f(x) 2 unidades, quedando: h(x)= x3+x2+2

f(x)= x2+2 g(x)= (x+2)2+2

h(x)= (x-3)2+2

f(x)=log x

g(x)=log (x-2)

h(x)=log(x) +3

h(x)= x3+x2+2

y

x

f(x)=x3+x2

g(x)= (x-3)3+(x-3)2

x

x

y y

Ejercicios para resolver en clase.

1. Dada la función f(x)=-x, trazar la gráfica de g(x)=-x+3 y la de h(x)=-x-2.

2. Dada la función f(x)=-x2, trazar la gráfica de g(x)=-x2+2 y la de h(x)=-x2 -2.

3. Dada la función f(x)=x3, trazar la gráfica de g(x)=(x-3)3 y la de h(x)=(x-2)3.

4. Dada la función f(x)=2x, trazar la gráfica de g(x)=2(x-1) y la de h(x)=2x +3.

y y

x

x

x x

y y

Ejercicios como tarea de evaluación.

1. Dada la función f(x)=x2 +x, trazar la gráfica de g(x)=x2+x+2 y la de h(x)=x2+x-3.

2. Dada la función f(x)=√𝐱, trazar la gráfica de

g(x)= √𝐱 − 𝟒 y la de h(x)= √𝐱 + 𝟑.

3. Dada la función f(x)=x4-x3.

Representar algebraicamente a: g(x)= h(x)=

4. Dada la función f(x)=1/x2.

Representar algebraicamente a: g(x)= h(x)=

f(x)=x4-x3

g(x)=

h(x)= f(x)=1/x2

g(x)=

h(x)=

y y

x

x

x x

y y