Sección 2.5

Gráficas de Funciones –

Transformaciones en el plano

Funciones Pares e Impares

Las funciones se clasifican como pares o

impares dependiendo del tipo de simetría

que reflejan sus gráficas.

Terminología Definición Ejemplo Tipo de simetría

f es una función par f(-x) = f(x) para todo x

en el dominio de la

función

f(x) = x2

con respecto al eje de

y

f es una función impar f(-x) = - f(x) para todo

x en el dominio de la

función

f(x) = x3

con respecto al origen

Ejemplos Determinar si cada función es par, impar o ninguno.

a) Si f(x) = 3x4 – 2x2 + 5 ,

f(–x) = 3(–x)4 – 2(–x)2 + 5

f(-x) = 3x4 – 2x2 + 5 = f(x)

por lo tanto, f, es una función par.

b) Si f(x) = 2x5 – 7x3 + 4x

f(–x) = 2(–x)5 – 7(–x)3 + 4(–x)

f(–x) = –2x5 + 7x3 – 4x = –f(x) ,

por lo tanto, f es una función impar.

Ejemplo (cont.)

c) Si f(x) = x3 + x2 , entonces

d) Si f(x) = |x| entonces

Desplazamiento Vertical

Funciones que se forman sumando o

restando un valor real positivo c a otra

función pertenecen a una misma

“familia”

h(x)= f(x) + c

h(x)= f(x) – c

Cada h(x) es un desplazamiento vertical

de c unidades de la gráfica de y = f(x) .

Desplazamiento Vertical (cont)

Ejemplo He aquí la gráfica de

f(x) = x2 ,

junto a la gráfica de…

g(x) = x2 + 4 and

h(x) = x2 – 4 .

En notación de funciones,

los desplazamientos

verticales de f(x):

g(x) = f(x) + 4

h(x) = f(x) – 4

Ejemplo (cont)

Si f(x) tiene las

siguientes

transformaciones

g(x) = f(x) + 4

h(x) = f(x) – 4

La notación nos indica

que si:

(2,4) pertenece a f(x)

(2,8) pertenece a g(x)

(2,0) pertenece a h(x)

Ejemplo

Sea g(x) = f(x) - 7 , si (4, -5) y (-2, 10) pertenecen a la gráfica de f, ¿cuál es la transformación de estos puntos para g? Solución:

Desplazamiento Horizontal Funciones que se forman de la siguiente

forma

g(x) = f(x – c)

h(x) = f(x + c)

se llaman desplazamientos horizontales

de la gráfica de y = f(x) .

Tomen nota de la dirección del

desplazamiento según se observa en la

siguiente ilustración:

Ejemplo He aquí la gráfica de

f(x) = x2 ,

junto a las de …

g(x) =f(x – 4)=(x – 4)2 ;

h(x) =f(x+2)=(x + 2)2 .

Si (𝟑, 𝟗) ∈ 𝒇(𝒙)

(𝟕, 𝟗) ∈ 𝒈(𝒙)=(x – 4)2

(𝟏, 𝟗) ∈ 𝒉(𝒙) =(x + 2)2 Los desplazamientos verticales y

horizontales se conocen como traslaciones.

Desplazamiento horizontal(cont)

Práctica Trace la gráfica de

g(x) = (𝒙 − 𝟐)𝟐+𝟏

De la ecuación observamos

que la gráfica de f(x) = x2 se

ha trasladado 2 unidades

hacia la derecha y 1 unidad

hacia arriba.

Cada punto de la gráfica

sufre la siguiente

transformación:

(x,y) (x +2, y+1)

Reflexión Dada la gráfica de

y = f(x) , la gráfica de

y = – f(x)

se construye reflejando la gráfica

de f(x) sobre el eje-de-x.

Dado f(x) = x2 construimos

g(x)=-f(x) tomando cada punto,

dejando la abscisa igual y

cambiando el signo de la

ordenada

Si 𝟐, 𝟒 ∈ 𝒇 𝒙 ,

𝟐,−𝟒 ∈ −𝒇(𝒙)

Práctica Sea f el segmento de

recta que pasa por los

puntos (-3, 1) y (2, 4).

Esboce la gráfica de:

-f(x)

f(x + 1)

-f(x + 1)

Estiramiento y compresión vertical

Dado y = f(x) , si se construye una nueva

función

g(x) = cf(x) cuando c > 1 ; ó

g(x) = cf(x) cuando 0 < c < 1 .

entonces, la función nueva será un

estiramiento vertical o una compresión

vertical de la gráfica de y = f(x) .

Estiramiento y compresión vertical

Un estiramiento vertical es un

estiramiento de la gráfica alejándose del

eje de x.

g(x) = cf(x) when c > 1

Una compresión vertical es un

encogimiento de la gráfica hacia del eje de

x.

g(x) = cf(x) when 0 < c < 1 .

Estiramiento y compresión vertical

Ejemplo

Aquí se muestra

f(x) = x2 ,

junto a las gráficas de

f(x) = 4x2

𝒇 𝒙 = 𝟏

𝟒𝒙𝟐

Ejemplo Aquí se muestran las

tablas de valores de las

3 funciones

Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,4y)

Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,𝒚

𝟒)

Ejemplo

Aquí se muestra

f(x) = x3 ,

junto a las gráficas

de

f(x) = 5x3

𝒇 𝒙 = 𝟎. 𝟏 𝒙𝟑

Ejemplo Aquí se muestran las

tablas de valores de las

3 funciones

Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,5y)

Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,𝒚

𝟏𝟎)

Estiramiento y compresión horizontal

Dado y = f(x) , si se construye una nueva

función

g(x) = f(cx) cuando c > 1 ; ó

g(x) = f(cx) cuando 0 < c < 1 .

Entonces, la función nueva será un

estiramiento o una compresión

horizontal de la gráfica de y = f(x) .

Compresión horizontal

Estiramiento horizontal

Ejemplo

v(x) = x3 - 4x La ecuación cuya gráfica es

una traslación 2 unidades

hacia arriba de v(x):

w(x) = x3 - 4x + 2

…una traslación 3 unidades

hacia abajo de v(x)

w(x) = x3 - 4x - 3

…una traslación 4 unidades

hacia la derecha de v(x)

w(x) = (x-4)3 - 4(x-4)

Ejemplo

v(x) = x3 - 4x Estirar verticalmente por un

factor de

w(x) = 2(x3 - 4x) = 2x3 - 8x

Comprimir v(x) horizontalmente

por un factor de 3

w(x) = (3x)3 - 4(3x) = 27x3 - 12x

Reflejar sobre el eje de x:

w(x) = -(x3 – 4x)

Funciones definidas por partes

A veces más de una expresión se necesita

para definir una función.

Tales funciones se conocen como funciones

definidas por partes.

Por ejemplo, la siguiente función, f, se

define usando tres expresiones diferentes:

Funciones definidas por partes (cont.)

Notar que la gráfica pasa la prueba de

la línea vertical.

Para 𝒙 ≤ −𝟏, la gráfica de f coincide

con la gráfica de y = 2x + 5. Evaluamos

esta ecuación para dos puntos en los

cuales la x es menor que 1.

Para −𝟏 < 𝒙 < 𝟏, , la gráfica de f

coincide con la gráfica de 𝒚 = 𝒙𝟐.

Evaluamos esta ecuación para algunos

puntos en los cuales la x está entre -1 y

1.

Para 𝒙 ≥ 𝟏, la gráfica de f coincide con

la gráfica de y = 2. Para cualquier x

mayor que uno el valor de la y es 2.

Funciones definidas por partes (cont.)

Para f(x) definida como

se muestra a la derecha,

hallar f(-5), f(2) y f(4).

𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟏𝟒, 𝒔𝒊 − 𝟏 < 𝒙 < 𝟑−𝒙 + 𝟒, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟑

Ejemplo

Para f(x) definida como

se muestra a la derecha,

hallar f(-5), f(2) y f(4).

Grafique la función.

Ejemplo (cont.)

Para la gráfica

necesitamos dos

puntos de referencia en

cada recta

x f(x)

-5

-3

-2

2

3

4

3

3

3

-1

-4

-4

Ejemplo (cont.)

Hallar el dominio y el

alcance de f(x)

Ejemplo de Valor Absoluto Trazar la gráfica de f(x) = |2x – 3|

Note que 𝟐𝐱 − 𝟑 es

no-negativo para 𝐱 ≥𝟑

𝟐 ,

por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = 𝟐𝐱 − 𝟑. Evaluemos y = 𝟐𝐱 − 𝟑, para algunos valores:

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5

x 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y 0 1 2 3 4 5

Ejemplo (cont.) Debemos determinar para cuales valores y = 𝟐𝐱 − 𝟑, es

negativo: 𝟐𝐱 − 𝟑 es negativo

para 𝐱 <𝟑

𝟐, por

lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = − 𝟐𝐱 − 𝟑 . Evaluemos y = −(𝟐𝐱 − 𝟑), para algunos valores:

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 -1 0 1 2 3 4 5

x 1.4 1.25 1 0.75 0.5

y 0.2 0.5 1 1.5 2