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DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3


INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 M

Instrucciones Generales: Lee cuidadosa y detenidamente las siguientes cuestiones y resuélvelas mostrando la metodología o procedimiento a seguir, así como los cálculos realizados, en forma clara, ordenada y limpia. ¡ Éxito !.

I. Instrucciones.- Subrayar la respuesta correcta para cada una de las siguientes oraciones:

1. Es una relación entre dos o más Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere uno y solamente un valor.

a) Dominio b) Variable c) Función d) Relación

2. Es una dependencia entre Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere más de un valor.

a) Función b) Relación c) Constante d) Ámbito

3. Son Símbolos Alfabéticos que se caracterizan porque pueden adquirir diferentes valores.

a) Constantes b) Variables c) Imagen d) 2,4,16,23

4. Es el Conjunto de Números Reales para los cuales la expresión matemática (función) existe o esta definida.

a) Contradominio b) Función c) Constante d) Dominio

5. Es el conjunto de Imágenes en una expresión matemática (función).

a) Variable b) Dominio c) Contradominio d) Relación

6. Es el Valor que adquiere una expresión matemática (función) al asignarle un Valor a la Variable Independiente y al aplicar la Regla de

Correspondencia.

a) Ámbito b) Función c) Imagen d) Relación


II. Instrucciones.- Escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la expresión que indique la respuesta correcta en cada una de las siguientes cuestiones:

a)

7. ( ) Es una forma de denotar la Derivada. L) 3.5)(,5)( 22 nnZcccI 8. ( ) Es el conjunto de todos los puntos

),( yx , en el Plano Cartesiano, es decir, de todas las parejas ordenadas )(, xfx .

Q) dx

yd

9. ( ) Son ejemplos de funciones trascendentes. N) Gráfica de una Expresión Matemática

10. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. Ñ) )3(cos)(,)6( xxRA x 11. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. P)

dxd )(

12. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. R) )(2)(,)( xxfmmS 13. ( ) Son ejemplos de RELACIONES. S) 35 14. ( ) Es una forma de denotar el

Operador Diferencial. T) g (gravedad)

b)

15. ( ) Es una forma de denotar la Derivada de Orden Superior de una función. A)

252 2

1,1)( xYmmmA

16. ( ) Se interpreta como la pendiente )(m de la recta tangente a la curva )]([ xf en un punto ),( yxP .

B) 2

2 )(xd

xfd

17. ( ) Son funciones Trascendentes. C) Interpretación Geométrica de la Derivada

18. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. D) )()(,3

1 2hsenhKG

19. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. E) )(xD

20. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. F) La derivada, su interpretación como una tasa de variación.

21. ( ) Se interpreta como la variación del Volumen con respecto al tiempo, es

decir, ')( VtdtVd .

G) 1511

22. ( ) Es una forma de denotar el Operador Diferencial. H) 1q de 2

21)(dqqKdF


III. Instrucciones.- Resuelve correctamente en forma clara y ordenada, mostrando el procedimiento:

1) Determina el Dominio de Definición de las siguientes funciones:

1. 2318)( xxxf

xx

2. 44)( 23 kkk

kkN

22,1, kykkkk

3. 132)( 2x

xxY

xx

4. 2

1)( mmR

2, mmm

5.

312

)(u

uuP

61, uuu

6.

2313

35

8)(i

iQ

11539, iii

7. 122

xxxY

12, xyxxx

8. ttS 7100)(

7100, ttt

9. 3108)( 2 ggwzgO

23

41, gyggg

10. 3yyX

3, yyy

11. 33

97)( bbbE

bb

12. wwwA )(

0, www

13. 0,10,2)( msi

msimmK

0, mmm

14. exY )(

xx

15. 11

112x

xy

11, xxx

16. 11

1)(2

2

xxxf

0,xxx

17. 20)10(1)(ñP

ññ

18. 0)(ny

nn


2. Determina el Dominio y Contradominio de las siguientes funciones:

19. 102xY

xx

10, yyy

20. 0,90,)( ksi

ksimkM

kk

90, MyMMM

21. 29)( yyX

33, yyy

30, XXX

22. qqP )(

PPqq

23. 2)( ttR

tt 0, RRR

24. 5,5

55,5,5

)(nsi

nsinnsi

nP

nn

55, PPP

25. 21)(mA

21, AAA

mm

26. 937)( rrT

3, rrr 7, TTT

27.

43,332,2

21,110,

)(

xsixxsix

xsixxsix

xY

40, xxx

10, YYY

28. yyyN )(

29. 0,10,1)( esi

esieB

11,,

ByBBBee

30. 1,11,1)(

ssisssissf

ss

0, fff

31. xxF 2)(

0, xxx 2, FFF

32. jjC 1)(

0, jjj

0, CCC

33. uy

0, uuu 0, yyy

34. zzP 1)(

0)(,)()(0,

zPzPzPzzz

35. xy 88

),0[]1,(

36. 0,100,10

xsixsiy

]10[]10[),0(0,

y


3. Determina la imagen de las siguientes funciones:

24)( 3 xxxf para:

37. )1(f 38. )2(f 39. )(af

40. 31

21)1()(

qqqqP si 0q

21)( 2x

xxf para:

41. )0(f 42 )1(f 43. )2( af 44. )1( xf

45. 652 )3()1()( xxxF si 1x

46. 3)( 3 xxxxA si 1x 47.

3

5

2

11)( h

hhM si 2h

4. Dada las funciones:

a) 7)( 2wwK b) 25)( zzR

c) 2

35)( vvY

Determina y/o indica, además realiza:

1) El Dominio de definición.

2) El Contradominio. 3) La Variable independiente. 4) La Variable dependiente

5) La imagen si: a) 21w

b)

31z

c)

53v

6) El Gráfico de la función para: a) 43 w , en donde w es entero.

b) 53 z , en donde z es entero. c) 44 v , en donde v es entero.


5. Realiza las OPERACIONES MATEMÁTICAS o DEMOSTRACIONES indicadas para las funciones:

a) Demuestra que si 42)()( yayA , entonces

)42()2()2( 2xAxAxA

b) Obtén )4(fg ,es decir, )4(fg , si 5

4)( xxf y 34)( xxg

c) Obtén )5(gf , es decir, )5(gf , si 5

10)( xxf y 43)( xxg

d) Si 12)( mmA , determina el valor de 1)1(23)3()()2( 2

mmmAmAmA

e) Si aaM 21)( , determina el valor de )()2()3(32)1(1

2 aMaMaMaa

f) Sea xx aaxf 21)( y xx aaxg 2

1)( , demuestra que:

)()()()()( ygxgyfxfyxf

g) Si xxf 2)( , demuestra que: )4()1()3( fxf

xf

h) Si zzR 1)( , demuestra que: zzzzzRzzR 2)()(

6. Resuelve los siguientes cuestionamientos relacionados con el límite de una función: 1. El alcohol es eliminado del organismo por los pulmones, por los riñones y mediante procesos químicos en el hígado. A niveles de concentración moderados el hígado efectúa la mayor parte del trabajo de eliminación del alcohol, mientras que pulmones y riñones eliminan menos del 5%. El hígado procesa el alcohol de la corriente sanguínea en una proporción r relacionada con la concentración x de alcohol en la sangre según la función racional


xxxr )( en donde y son constantes positivas. Este es un caso

especial de la llamada Ley de Michaelis-Menten. Determina el x

xxLim

Obtén, Evalua o Determina:

a)

yyyy

yyyLim2434254.2

45338910

210

b) 0

6523

3

2

xxxxxLim

c)

35

5312527)()(

3

g

gggMsigMLim

d) 0

5424

35

yyy

yyLim

e)

55

43

xx

xLim f)

32

2349 2

x

xxLim

g)

53

925310

2

2

m

mmmLim

h)

11

432

xx

xxLim

i) m

mmmmmmLim 734244.91

457711910

210

j) 2

824

2

2

xxx

xLim

k) 0

1 33

h

xhxhLim l)

0

39

ss

sLim

m) 5

345

yy

yLim n)

0

11

kk

kkLim

o)

aaaa

aaaLim 1243548.30

5499723

895

329

p) 2

110025

2

2

xx

xxLim


q) 0

)()(cos1

xxsenxLim

0

r)

0

1)(cosLim

0

s)

0

)(tan

xx

xLim

1

t)

0)()(cos1

senLim

21

u)

v) x

xxxLim 652

25

w)

0

cos12

xx

xLim

21

x)

0

tan3

xx

xsenxLim

21

y)

x

xaxxLim )(

2a

z)

xx

xxLim 3812

81

aa) 011

xx

xLim

2

bb) axax

axaxLim 33

2 )1(

231

aa

cc) 82

83

xxxLim

12

dd) 0

33

hh

xhxLim

3 231x

ee) 0

11

xx

xsenxsenLim

1

ff) x

xxxLim 132

23

gg)

011525

vvvLim


hh)

51

2

)(x

xfLim

si

262)(

2

xparaxxparaxxf

4

5)(

zzQLim

si

51052)( zparaz

zparazzQ

existeNo

7. Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la CONTINUIDAD de una función:

I. Determina la Continuidad o Discontinuidad de las siguientes

funciones:

a) 1,11)(

3xx

xxf Discontinua en 1x

Continua para cualquier número diferente de 1

b) 2,62,52,

)(2

xxxxx

xf

Discontinua en 2x

c) 22)(

2

kkkkf

Discontinua en 2k

Continua para cualquier número diferente de 2

d) 0,1

0,1)( 2

m

mmmP No es continua en 0m

e) 2,1

2,22

)(2

q

qqqq

qA

Discontinua en 2q

f) 211)(

xxf

Discontinua en el intervalo 1,1

Continua en el intervalo )1,1(

g) 2

11)( ttS

Continua en el intervalo 1,1


8. Obtén la derivada de:

1. 23121

31

41)( 234 xxxxxf 2. 353

8)( kkM

3. 433 1025)( xxy 4. 3 51215 )2()3()( xxqP

5. 3 28 )537()( wwwH 6. 23 22 )10()( qhxqZ

7. 23)5()(

qqqqD 8.

71137

151

31)( 753 xxxxxf

9. 7)()()( 2 yCotyyR y 10. 23 22 )10()( qhxqZ 11. )()()( 3 xTgxSecLnxA 12. 2110 )()( yArcCoteyP yArcSec

13. 344 912)( xxy 14. )9()()7()( 3

5 nTanArcnLognJ n

15. 5 37 )456()( zzzP 16. mSecmLnmH )1()( 2

17. 1003 )1(300

1 xy

9932' )1(xxy

18. 435 )1()12( xxxy

)39617()1()12(2 23334' xxxxxxy

19. 9

122)( t

ttg

10

8'

)12()2(45)( t

ttg

20. 3 2 11)(

xxxf

34)1(3

12)( 2'

xxxxf

21. )(tan)10()( wwT w )(tan)10(ln)(sec)10()( 2' wwwT w

22. )tan(log)( xxR

)10(ln)(tan2)(sec)(

2'

xxxR

23. xx xsenexA )(

)(ln)cos()(' xsenexsenexsenxexxsenexA x

x

xxx 24. xsenxxxsenxy 2cos22

xxy cos2'

25. Demuestra que la derivada de

)2(tan21 xsenxy es igual a )2( xsen .

26. Obtén dxdy

si )(cos21)(

2

2

xxseny

22

2

)(cos212)(cos2

xxx

dxdy

27. Diferenciar o Derivar 34cos 2 xxxxxseny y

demostrar que 42' xxsenxy

28. )(log)3(8

log

xy

x

)(log

18lnlog8ln2)3(

28

8

log

'

8

x

xxy

x

29. xxsenxxseny cos

cos 30. 5

cos23)( zzsenzK


2'

)cos(2

xxseny zzsen

zsenzzKcos10152

2cos3)('

31. aaxsenarcaxxaaxxY 222)()(

2' 22)( xxaxY

32. yaya

yaya

eeeeyH )(

2'

)(4)( yaya ee

ayH

33. xxarcxxy 221tan4)4(ln 2

)4(ln 2' xy

34. )(lncos)ln( xxsenxy )ln(2' xseny

9) Obtén dxdy

de las siguientes expresiones implícitas:

a) xyxyxx 788831 b) 52

2 xy

yx

c) 33622 yxyx d) 123663 xxyxy

e) yxsenyx cos f) 22 zxyx

g) 222 22 yxyyeex xx

yxyeyexyxey x

xx

42)(2)12(

2

22'

h) 13 323 ycyxbxa

xbycxayby 22

22'

i) Obtén dzdy de 48.308.9 736 zyyzz

63

725

78.94.296

yzzyzyz

dzdy

j) ysenxy 3.0

ydxdy

cos31010

k) byxa )(cos2 1'y l) yxytan yx

yyy 2

2'

cos1cos

10) Obtén la derivada sucesiva de las siguientes expresiones matemáticas:

a) Si 85.321432)( 3468 xxxxxxf

Obtén xf V

b) Si 1

1x

xxf , Obtén 2

2

xdyd

c) Si 3223 8632 yyxx , Obtén 2

2

xdyd d) Si xSenxy 43 2 , Obtén 2

2

xdyd

e) Si xSeny 2 , Obtén 3

3

xdyd f) Si 212xseny , Obtén ''y


11) Resuelve los siguientes cuestionamientos de

OPTIMIZACIÓN(Maximización/Minimización):

a) La Potencia eléctrica (Volts) en un circuito de corriente continua con 2

resistencias 1R y 2R , conectados en serie, es 221

21

)( RRRRVP , donde V

es el voltaje. Si V y 1R se mantienen constantes, ¿qué resistencia 2R produce la MÁXIMA potencia?

21 RR

b) Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire que pasa por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un estornudo es: RrrrRKv 0),()( 2 , donde K es una constante, R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el estornudo. ¿Qué radio produce la MÁXIMA velocidad del aire?

Rr 32

c) A partir de 2108in de lámina, se desea construir una caja sin tapa de base

cuadrada, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener un volumen MÁXIMO?

.3.6

inhinl

d) Sea 2001.010)( xxxI el Ingreso Total y 50002)( xxC el Costo Total de manufacturar x artículos. La Utilidad Total se define como

)()()( xCxIxU . Demuestra que en el valor de x que MAXIMIZA la Utilidad, el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal.

e) Un granjero planea cercar un pastizal adyacente al río. El pastizal debe tener 200080 m para que proporcione alimento suficiente para el rebaño. ¿Qué

dimensiones requerirá la MENOR cantidad de cerca, si esta no se necesita a lo largo del río?

.200.400

maml

f) Determina las dimensiones del cuadrilátero de área MÁXIMA que se pueda

inscribir en un círculo de radio r .

rlrl

22

g) Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuya

forma es cuadrada y tiene 12 pulgadas de lado y si se doblan sus 4 lados, se obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener una caja de volumen máximo?


.2

.2inlinl

h) De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de

3100in , ¿cuál de ellos requiere la menor cantidad de material?

3

3

50

502

r

h

i) Una caja rectangular sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de

3500cm . Determina las dimensiones que minimizan el área total de su base y sus 4 lados.

cmycmx

510

j) Un granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 21800ft y

utilizar algo de cerca para construir 2 cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere?

.240 ftP

12) Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la Derivada y

sus Interpretaciones: 1) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN como una TASA DE VARIACIÓN: a) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t

se modela por: 233ttD . Obtén dt

tDd )( cuando

4t segundos.

smD 16)4´(

b) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t

se modela por: 974 23 tttD . Obtén la velocidad cuando 5t segundos.

smtD 230)('

c) Un tanque cilíndrico, con eje vertical, está al principio lleno con 200,000

galones de agua. El tanque tarda 50 min. en vaciarse después de que se abre el desagüe en el fondo. Una consecuencia de la ley de Torricelli es que el


por la función: 2

501000200 ttV en donde: galonesV y

utost min . Determina la razón de cambio instantánea a la que fluye hacia afuera el agua del tanque cuando 30t .

NOTA: Suponer que el desagüe se abre en el tiempo 0t .

utogalonestV min3200)('

d) Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 m/seg., su altura en

21640 tty . Obtén la velocidad instantánea cuando .2 segt

smv 24

e) Una partícula se mueve en una órbita descrita por el modelo matemático

122 yx . Cuando pasa por el punto 321

21P su ordenada disminuye

a razón de segundounidades3 , ¿con qué rapidez varía su abscisa?

su

dtdx 33

f) El peso W en g

tttW 09.02.0 2 Encuentra el índice de crecimiento del tumor, es decir, la variación de peso del tumor con respecto al tiempo, cuando 10t .

semanagtW 91.3)('

g) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de

utocm

min2 , con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 cm.

utocm

dtdV

min3185.6283

h) La altura h sobre el suelo, de un proyectil en el tiempo t está dada por

SoVotgth 2

21 , en donde SoyVog, son constantes.

Encuentra la razón de cambio instantánea de h con respecto a t en .4segt

0' 4)( Vgth

i) El costo de producir x artículos lo da la función xxC 1025000 . Obtén la función de costo marginal.


xxC 5)('

j) La Utilidad obtenida al producir y vender x artículos se indica como

22200)( xxxP . Determina: a) la Utilidad Marginal b) ¿cuándo es igual a 0 la Utilidad Marginal?

artículosxxxP

504200)('

k) La velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por

152100t

ttV en donde smtV . Determina la aceleración al cabo

de 5 seg.

sma 4.2

l) El lado a de un triángulo equilátero aumenta h

cm40 y su área aumenta

hcm2

800 . Calcula el valor numérico del lado del triángulo.

.09.23 cma

m) El radio de una circunferencia aumenta s

cm5 , ¿con qué rapidez varía la

longitud de la circunferencia?

scm

dtdP 10

n) El periodo P (segundos) de oscilación de un péndulo simple de longitud L

(pies) está dado por gLP 2 , donde 232

sftg . Determina la tasa de

variación de P cuando 2L .

fts

dLdP 3926.0

o) Un tanque cónico recibe agua a una tasa de variación constante de .min23ft .

¿Con qué rapidez se eleva el nivel cuando el agua tiene una profundidad de 6 ft.?

Nota: hrVcono2

31

.min368 ft

dtdh


p) En una cisterna cónica fluye agua a una tasa de variación de .min83ft . Si la

altura de la cisterna es de 12 ft. y el radio de su base circular es de 6 ft., ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 ft. de profundidad?

.min2 ft

dtdh

q) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial

igual a sft96 , describiendo su posición el modelo matemático

ttth 9616)( 2 . Si t es el tiempo transcurrido en segundos desde el momento en que el proyectil fue lanzado y que h es la distancia vertical desde el punto de lanzamiento al nivel del suelo, determina:

a) El tiempo que le toma al proyectil alcanzar su altura máxima.

.3st b) La altura máxima del proyectil.

.144)( ftth c) El tiempo que tarda el proyectil en retornar a la tierra.

st 6 d) La velocidad instantánea del proyectil al impactarse con el

suelo.

sftv .96

13) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

a) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva

1223 32 xxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero.

b) Determina la ecuación de la recta tangente y normal a

la curva 723)( 23 xxxxY , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a 1.

c) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva

974 23 xxxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero.

. d) Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva, cuya función es

xxxf , en el punto cuya abscisa es igual a 1.


e) La función 21 xxy La Serpentina Deduce una

ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a 3.

027504 yx

f) La función 211xy La Bruja de Agnesi

Deduce una ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a -1.

022yx g) Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva xxxf 23

en el punto cuya abscisa es igual a -3.

h) Encuentra las ecuaciones de la recta normal y tangente a la curva yxxy 64 44 en el punto 2,1P .

i) Determina las longitudes de la Subtangente, Subnormal, la Tangente

y la Normal a las curvas:

1. 32 )1(xy en )8,5(P

2. 23413 2 xxxy en )3,1(P

3. 2x

xy en )3,3(P

1. Subtangente 3/8

Subnormal 24 Tangente 43.8 Normal 2.25

2. Subtangente 3

Subnormal 4/41 Tangente 7341

15

Normal 7345

3. Subtangente

23

Subnormal 6 Tangente 52

3

Normal 53

j) Obtén los ángulos de intersección de las curvas xy 42 y yx 5122 2 .

'546'4083

k) Determina las ecuaciones de las rectas tangente a la curva

23)( 2 tttR en los puntos cuya ordenada es igual a cero.

0102

tRtR


l) Obtén la ecuación de la recta normal a la curva 41

232

3)( xxxxf en el punto cuya abscisa es igual a 1.

0897712 yx

o) Determina la ecuación de la tangente a la curva 0255 yxyx en el punto )1,1(P .

02yx

14) Realiza el ANÁLISIS de las siguientes funciones a través de concepto, la definición e interpretación de la derivada:

a) 21232 23 xxxxf

b) 232 23 xxxy

c) xxxxf 634 23

d) 693 23 xxxy

e) 23 3xxxf

f) 32 23 xxxxf

g) 23 23 xxxf

h) 2225 23 xxxxf

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