Funciones reales de variable Funciones reales de variable realreal

José Manuel Reyes José Manuel Reyes BritoBrito

I.E.S. ‘Albert Einstein’I.E.S. ‘Albert Einstein’

SevillaSevilla

y = f(x)

x f(x)

x

Elementos básicos en el estudio de una función.

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN

GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

Df = {x / f(x) }

Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)

RECORRIDO o IMAGEN

Rf = {y / y = f(x), x Df}

Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.

GRÁFICA o GRAFO

{(x, y) 2/ x Df, y Rf}

Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.

Clasificación de las funciones de variable real

F. Lineal: y = mx + nF. Cuadrática: y = ax2+bx+cOtras funciones polinómicas

Enteras o Polinómicas

Pn(x)Qm(x)

Racionales fraccionarias

Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz

ALGEBRAICAS

TRASCENDENTES

ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···

Funciones Lineales: y = mx Funciones Lineales: y = mx + n+ n

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio

3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3

3ª) y = (1/3)x +1

1ª) y = 2x +1

2ª) y = 5x +1D f =

A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal

Ordenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1

2ª) y = -3x + 5

3ª) y = -3x + 2

Igual pendiente: paralelas

Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

RESUMEN:

Funciones lineales: y = mx + n

D f =

Gráfica: RECTA

R f =

D f =

R f =

¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

R f = {-2}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:

A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt

B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)

C) Dilatación: L = L0(1 + kt)

D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura

E) Ley de Ohm: V = IR

F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas

y = axy = ax22 + bx + c + bx + c

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas

D f =

5

36x

5

32x

5

4y 2

Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es

significativo y que puede llamar a

confusiones

Cambiamos el rango de representación y observamos las

variaciones que se producen

Ahora observamos la gráfica con toda su

significación

Las claves están en los siguientes

elementos:

Cortes con el eje OX

Vértice

Funciones cuadráticas D f =

y = ax2 + bx + c

Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:

1. Hallar los puntos de corte con el eje OX

ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)

2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)

3. Completar, si es necesario, con una tabla

Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

1) y = x2 -8x - 9

Vértice (4, -25)

R f = [-25, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX

Obsérvense los coeficientes de x2

9

100x

9

80x

9

20y

9

25x

9

20x

9

5y

5x4xy

2

2

2

V(2, -9) R f = [-9, +)

V(2, -5) R f = [-5, +)

V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

y = x2 - 3x + 2

y = 3x2 + 2x +1

y = 20x2 - 20x + 5

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:

y = - 3x2 + x - 2

y = - 3x2 – x + 2

y = - x2 + 7x - 10

¡Ojo! En este caso:

Rf = (-∞, yv]

Ejemplos de aplicaciones de la

función cuadrática:

A) Movimiento uniformemente acelerado

s = s0 + v0t + ½·at2

B) Teorema de Torricelli

v2 = 2gh

Funciones polinómicas Funciones polinómicas Grado >2 Grado >2

D f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = x3y = 2x3

y = 5x3

Obsérvese el efecto y = c·f(x)

D f =

R f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = x3 + 1 y = x3

y = x3 - 2

y = x3 + 3

D f =

R f =

Obsérvese el efecto y = f(x) + c

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 4x2 + x +6

D f =

R f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x + 1)2(x - 2) = x3 - 3x - 2

D f =

R f =

Solución doble

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x2 + 1)(x - 2) = x3 - 2x2 + x - 2

Raíces complejas

D f =

R f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x3 + 6x2 -11x + 6

D f =

R f =

Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo

Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x4 - 2x3 - x2 + 2x

D f =

Funciones fraccionarias Funciones fraccionarias

y = Pn(x)

Qm(x)

D f = - {x/ Qm(x) = 0}

Funciones fraccionarias

Asíntotas verticales

Asíntota horizontal y = 0

x = 3x = 0

x = -3/4R f = - {0}

Gráfica: HIPÉRBOLA

Funciones fraccionarias

Gráfica: HIPÉRBOLA

5x + 10 = 0 x = -2

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

D f = - {-2}

R f = - {3/5}

Funciones fraccionarias

Asíntota horizontal y = 1

Asíntotas verticales

x = -1 x = 4

D f = - {-1, 4}

Ejemplos de aplicaciones de

funciones fraccionarias:

A. Principio de continuidad hidrodinámica

S1V1 = S2V2 = G (Gasto) S = G/V

B. Ley de Boyle: PV = k V = k/P

C. Ley de Gravitación Universal:

D. Ley de Coulomb:

Funciones trascendentes Funciones trascendentes

ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···

Función exponencialFunción exponencial

y = ax a>0

Función exponencial

y = 2xy = exy = 10x

D f =

R f = (0, +)

Asíntota horizontal y = 0

e 2’718281828459045235360... Función monótona creciente

Función exponencial

y = 0’5x y = 0’1xy = (1/e)x

D f =

R f = (0, +)

Asíntota horizontal y = 0

Función monótona decreciente

D f =

R f = (0, +)

f(0) = 1

Monótona creciente si a> 1

Monótona decreciente si 0 < a < 1

Función exponencialFunción exponencialy = ax a>0

RESUMEN

Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial

A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P0·akt

B. Crecimiento logístico:

C. Presión atmosférica:

a = 8 Km; p(0) = presión a nivel del mar; h en Km

Función logarítmicaFunción logarítmica

y = loga(x) a > 0

Función logarítmica

como función inversa de la función exponencial

Función exponencial y = ax

Bisectriz y = x

Función logarítmica y = loga(x)

D f = R f = (0, +)

R f =

D f = (0, +)

a0 = 1Loga(1) = 0

Función logarítmica

y = log2(x)y = ln(x)

y = log(x)

Función logarítmica

y = log0’1(x)

y = log1/e(x)

y = log0’5(x)

Ejemplos de aplicación de la función logarítmica

A. Ley de Fechner: logI2 - logI1 = 2(logP2 - logP1)

Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL)Pi = Potencia sonora; Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON)

B. Escala de Richter: M = LogA + CA = Amplitud de las ondas superficialesC = 3’3 + 1’66·LogD - LogTT = Período de las ondas registradas en el sismógrafoD = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro

Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas

D f = R f = [-1, 1]D f = R f = [-1, 1]

y = sen(x)

y = cos(x)

La función y = sen(x) es periódica:

Período = 2 sen(x + 2) = sen(x)

La función y = cos(x) es periódica:

Período = 2 cos(x + 2) = cos(x)

y = tg(x) : función periódica

Período = tg(x + ) = tg(x)

D f = - {(2k+1)/2; kZ}Asíntotas verticales

R f =

Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas

RAMAPRINCIPAL

y = arc sen(x)

RAMAPRINCIPAL

y = arc cos(x)

RAM

APR

INCI

PAL

y = arc tg (x)

Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas

A. Intensidad de corriente alterna:

i = im·sen(ωt + φ)

B. Movimiento vibratorio armónico simple:

x = a·sen(ωt + φ)

C. Desarrollos de Fourier

FIN DEL

ESTUDIO GENERAL

SOBRE

FUNCIONES REALES