Investigación para cálculo diferencial.
Funciones, tipos, clasificación, operaciones, dominio y rango.
Profesor: César Octavio Martínez Padilla.
Alumno: Rodolfo Héctor Rivero.
Registro: 15110239
FUNCIONES:
Se le llama función a la relación o correspondencia existente entre dos o más
cantidades.
Si bien anteriores matemáticos definieron el concepto de función, fue el
matemático alemán J.P.G. Lejeune –Dirichlet (1805-1859) quien definió que una
variable es un símbolo que representa un número, dentro de un conjunto de ellos.
Dos variables X y Y, están asociadas de tal forma, que al asignar un valor a X, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice
que Y es una función de X.
La variable X a la que se asignan los valores, se llama variable independiente,
mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de X, se llaman variables
dependientes.
Los valores permitidos de X constituyen el dominio de la función, y los valores que
toma Y, constituyen su recorrido.
Una función f de A en B, es una relación que hace corresponder a cada elemento
de X y A uno y solo un elemento de Y y B, llamado imagen de X por f, y se
escribe:
Y= f (x)
Es decir que para que una relación sea una función debe de cumplir dos
condiciones:
1- Todo elemento del conjunto de partida A, debe tener imagen, la cual debe
de ser única.
2- El conjunto formado por todos los elementos de B, que son imagen de
algún elemento del conjunto de partida, se denomina conjunto imagen o
recorrido de f.
Ejemplos:
En una función f: A -> B todo elemento X y A tienen una y solo una imagen Y y B.
Un elemento Y y B, pueden no ser imagen de ningún elemento X y A, ser imagen
de algún elemento de X y A, o ser imagen de varios elementos de X y A.
La función inversa f-1 puede no ser una función.
Las formas de expresar una función pueden ser:
Mediante tablas:
X Y
-1 1
0 0
1/2 1/4
1 1
2 4
O gráficamente:
http://es.slideshare.net/nativoloco/01-funciones
TIPOS DE FUNCIONES:
1 - FUNCIÓN CONSTANTE:
Es una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante.
Por ejemplo: f(x) = 3 este corresponde al valor de y, donde el dominio es el
conjunto de los números reales y, el recorrido, es {3} , por consiguiente y=3
Si la graficamos vemos lo siguiente:
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_constante.html
2 - FUNCIÓN LINEAL:
Es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya
representación gráfica en un plano cartesiano es una línea recta.
La podemos escribir como:
F (x) = mx+b
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
Donde m y b, son constantes reales y X es una variable real.
La constante m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con
el eje.
Si se modifica m, entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará arriba o abajo.
3 - FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Es una función polinómica definida por:
Y= ax² + bx +c
Con a distinto de 0
http://mundoesmatematico.blogspot.mx/2012/08/funcion-cuadratica.html
La forma de graficar estas funciones, se asemejan a parábolas verticales, con la
particularidad que cuando a es mayor a cero (a>0), el vértice de la parábola se
localiza bajo la misma, abriéndose hacia arriba. En cambio cuando a <0, este
vértice se localiza en la parte superior, siendo un máximo, se abre hacia abajo.
Las funciones cuadráticas son aplicables a numerosos campos como por ejemplo,
la caída libre o también el tiro parabólico.
La función que se deriva de una función cuadrática es una función lineal.
Imagen de una función cuadrática.
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html
4 - FUNCIÓN POLINÓMICA:
Las funciones polinómicas son aplicaciones definidas entre conjuntos numéricos
que responden a una forma polinómica. Estas funciones, que son continuas y
derivables, constituyen una de las familias más comunes en la representación de
los fenómenos naturales y se utilizan en los desarrollos algebraicos.
Por ejemplo:
El dominio de estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales,
pues x puede ser cualquier número dentro de los reales.
Imagen de una función polinómica:
http://matematicaspr.com/l2dj/blog/funciones-polinomicas
5 – FUNCION RACIONAL:
Es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios, sólo si el
denominador es un número (polinomio de grado 0). Por consiguiente, estas
funciones polinómicas son funciones racionales.
Es el cociente de dos funciones polinómicas. Una función racional si para toda x
en el dominio se tiene:
6 – FUNCIÓN DE POTENCIA:
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = x r, donde r es
cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.
Imagen de una función de potencia:
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Tfuncele1/funele.htm
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:
Las funciones se clasifican en:
- Algebraicas y trascendentes.
- Continuas y discontinuas.
- Crecientes y decrecientes.
- Uno a uno, sobreyectivas y biyectivas.
Aquí su clasificación en diagrama de llaves:
- Función Inyectiva:
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente
un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y)
pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de
una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para
determinar si las ordenadas “y” se repiten o no.
- Función Sobreyectiva:
Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada
sobreyectiva), si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento
de a, bajo f.
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos
iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de
algún elemento X del dominio.
- Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es
sobreyectiva e inyectiva a la vez.
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la
función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento
de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen
simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
Si f es biyectiva, entonces su inversa f - 1 es también una función y además
biyectiva.
- Función Par:
Una función f: R! R es par si se verifica que
“x " R vale f (-x) = f(x)
Si f: R! R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico
respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio
tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)
Se dice que una función es par si f(x) = f (-x)
- Función Impar:
Una función f: R! R es impar si se verifica que
“x " R vale f (-x) = -f(x)
Si f: R! R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del
origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (El dominio tiene
que ser un conjunto simétrico respecto al origen)
En el caso de que f(x) = -f (-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones
reales no son pares ni impares.
- Función Creciente:
Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera
del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que
f(x1) < f(x2).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica,
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con
X1<x2 se tiene que f(x1)< f(x2) con lo cual prevalece la relación <
Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
OPERACIONES CON FUNCIONES:
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo
intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la
función definida por
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta
de dos funciones reales de variable real f y g, como la función
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un
mismo intervalo.
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo
intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
(f . g) (x) = f(x) . g(x)
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo
intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no
se anula.)
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la
función es la función definida por
(a . f) (x) = a . f(x)
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:
DOMINIO:
El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar
una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor,
no tiene ninguna restricción, entonces su dominio está compuesto por todos los
números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los
valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la
función para un valor de x, su resultado nos da un número real.
Por ejemplo la función:
f(x) = ,
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la
función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que
al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz
cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro
de los reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la
función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero;
expresado como:
Se pueden seguir estas recomendaciones para calcular el dominio de una función:
No puede haber una raíz cuadrada (o cualquier raíz par ) negativa, pues se
trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión
queda indeterminada.
RANGO:
El rango de una función, está dado por todos los valores que pueden resultar al
evaluar una función.
Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).
También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Por ejemplo:
Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número,
positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes
(es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está
conformado por el cero y todos los números positivos.