integrales trigonometricos y metodo h
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ejercicios resueltos con integrales trigonométrica como también hay demostraciones de las integrales trigonométricas resuelto paso a paso sustitución trigonométrica el como se usa también paso a paso como tambien usamos el metodo hermiteTRANSCRIPT
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II pág. 1
"AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA
RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL
DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA
CÁTEDRA : ANÁLISIS MATEMÁTICO II
CATEDRÁTICO : ORTEGA VARGAS, Jorge Luis
ESTUDIANTE : ACOSTA YARANGA, Lisbeth Amelia CHANCHA MENDOZA, Karen Fabiola HUAMANI YARANGA, Obed Heber REYES QUISPE, Inés Ximena RODRIGO REGINALDO, Cristhian Alexsander VENTURA HUAMÁN, Dennis Oliver
SEMESTRE : 2013-II CICLO : II - “A”
ENERO - 2014
INTEGRALES
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II pág. 2
𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑥
𝑄1 𝑥 +
𝑦 𝑥
𝑄2 𝑥 𝑑𝑥
1. ∫
SOLUCIÓN:
Por Hermite-Ostrogadsky:
+
+
+
+
+ = [
+
+ +
(
+
+ 2)]
+
+ =
+
+ +
(
+
+ 2)
+
+ =
+
+ +
+ 2 + +
+
+
+ =
+
+ +
+ +
+
+
+ =
+
+ +
+ 2
+ +
+ +
+
+
+ =
+ + + 2 + + +
+
+ = + + + 2 + + +
Realizando un sistema de ecuaciones
Cuando =
= + + +
MÉTODO DE HERMITE
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=
Cuando =
= +
=
Cuando =
= + +
= +
Cuando =
= + +
= +
Cuando =
= + +
= +
Reemplazando el valor de A en las ecuaciones
:
= +
=
= +
=
= +
Reemplazando la igualdad en (6)
= ( +
)
=
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𝐵 =
𝐷 =
𝐶 =
=
Triplicando la ecuación 5
=
= +
Sumando ecuaciones 8 y 9
=
Reemplazando el valor de B en ecuación 5 =
=
Reemplazando los valores de A, B, C y D
+
+ = [
+
+ +
(
+
+ 2)]
+
+ = [
+
+ +
(
+
+ 2)]
Aplicando:∫( + ) = ∫ +∫
+
+ =
+ +
(
+
+ 2)
Aplicando∫ = ∫
+
+ =
+ +
(
+
+ 2)
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∴ 𝑰 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐
𝒙+ 𝟏 𝟐 +
𝟒𝒙 + 𝟑
𝟐 𝒙+ 𝟏 𝟐+ 𝑪
𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑥
𝑄1 𝑥 +
𝑦 𝑥
𝑄2 𝑥 𝑑𝑥
+
+ = | | | + | +
+
+ 2+
Por propiedades de logaritmo
+
+ = 2 + 2 +
+
+ 2+
2. ∫
SOLUCIÓN:
Por Hermite-Ostrogadsky:
2
+ 2 + 2
+ +
2
+ 2 + 2 =
+
+ + +
[
+
+ + ]
2
+ 2 + 2 =
+
+ + + [
[ + ] + + + [ + + ]
[ + + ]2]
2
+ 2 + 2 =
+
+ + + [
2 + + + [ 2 + + ]
[ + + ]2]
2
+ 2 + 2 =
+
+ + + [
2 + + + +
[ + + ]2]
2
+ 2 + 2 =
+
+ + + [
2 + + [ 2 + + + ]
[ + + ]2]
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2
+ 2 + 2 =
+
+ + + [
2 + + 2
[ + + ]2]
2
+ 2 + 2 =
+
+ + + [
2 +
[ + + ]2]
2
+ 2 + 2 =
+ + +
+ 2 + 2+
2 +
[ + + ]2
2 = + + + 2 +
=
2 = + + 2 +
= + +
= +
= +
=
2 = + + 2 +
= + +
= +
= +
=
:
2 = + + + + 2 + +
= + + + + 2 + +
𝑫 = 𝟏𝟐
𝑪 = 𝟓
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= +
=
=
:
2 = + + + + 2 + +
= + + + +
= + +
= +
2
+ 2 + 2 =
+ + + [
+ + ]
2
+ 2 + 2 =
+ + + [
+ + ]
2
+ 2 + 2 = + + +
+ +
2
+ 2 + 2 = (
+
+ ) +
+ +
2
+ 2 + 2 =
+
+ + + (
+
+ )
2
+
∴ 𝑰 = 𝟓𝒙+ 𝟏𝟐
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙+ 𝟖 + 𝒍𝒏 (
𝒙+ 𝟒
𝒙+ 𝟐 )
𝟐
+ 𝑪
𝑩 = 𝟒
𝑨 = 𝟎
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𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑥
𝑄1 𝑥 +
𝑦 𝑥
𝑄2 𝑥 𝑑𝑥
3. ∫
SOLUCIÓN
Por Hermite - Ostrogadsky:
+
2 + 2
Factores cuadráticos: +
+
2 + 2 = [
+
2 + +
(
+
2 + 1)]
+
2 + 2 = [
+
2 + +
( +
2 + )]
+
2 + 2=
+
2 + +
( +
2 + )
+
2 + 2=
+
2 + + (
2 + + + 2 +
2 + 2)
+
2 + 2=
+
2 + + (
2 + +
2 + 2)
+
2 + 2=
+ 2 +
2 + 2 + + (
2 + 2
2 + 2)
+ = + + 2 + + 2 + 2
+ 2 + = + 2 + + + +
Entonces deducimos obtenemos los siguientes sistemas de
ecuaciones:
=
= ………….
= ……….
+ = ………
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𝐴 =
𝐷 =
𝐶 =
𝐵 =
Entonces obtenemos:
En :
=
=
hallemos + :
= +
+ =
+ =
De =
Reemplazando en la integral
= [ +
2 + ] + (
+
2 + )
= [
2 + ] + (
+
2 + )
= [
2 + ] + (
+
2 + )
=
(
2 +
2 + ) +
2 +
=
(
2 +
√
√ ) +
2 +
=
| 2 + |
√
√ +
2 + +
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𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑥
𝑄1 𝑥 +
𝑦 𝑥
𝑄2 𝑥 𝑑𝑥
4. ∫
SOLUCIÓN
2 =
+ 2 2 2 + 2
Por Hermite - Ostrogadsky:
+ 2 2 2 + 2
Factores lineales: +
Factores cuadráticos: +
2 = [
+ +
+
+
2 + +
(
+ 2 + +
+ 2 + )]
2=
+ +
+
+
2 + +
(
+ 2 + +
+ 2 + )
2=
+ +
+
+
2 + +
2 + + + 2 + +
2
∴ 𝑰 =𝟏
𝟐𝐥𝐧 𝒙𝟐 + 𝟐
𝟏
𝟒√𝟐𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒙
√𝟐+
𝟐 𝒙
𝟒 𝒙𝟐 + 𝟐 + 𝒄
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2
= + 2 2 + 2
2+
+ 2 2 + 2
2
+ + + 2 2 2 +
2
+ 2 + + + 2 + +
2
= + 2 2 + 2 + + 2 2 + 2
+ + + 2 2 2 +
+ 2 + + + 2 + +
= + + 2 +
+ + + + 2
+ + 2 + + 2 + +
+ 2 + +
Sumando todos los de grado 7:
+ + =
Sumando todos los de grado 6:
+ + =
Sumando todos los de grado 5:
+ =
Sumando todos los de grado 4:
+ =
Sumando todos los de grado 3:
=
Sumando todos los de grado 2:
=
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𝐸 =
𝐹 =
𝐶 =
𝐺 =
Sumando todos los de grado 1:
+ =
Sumando todos los de grado 0:
+ =
Sumando ecuaciones 8 y 4
=
Sumando ecuaciones 2 y 6
=
Sumando ecuaciones 1 y 5
=
=
Sumando ecuaciones 7 y 3
=
Sumando ecuaciones 1 y 7
=
Sumando ecuaciones 4 y 6
=
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𝐷 =
𝐵 =
𝐴 =
=
=
En ecuación 1
+ =
=
En ecuación 8
+ +
+
1
=
=
Reemplazando valores de A, B, C, D, E, F, G y H
2 = [
+ +
+
+
2 + +
(
+ 2 +
+ 2 + )]
Aplicando:∫( + ) = ∫ ∫
2
=
+
+
2 +
(
+ 2 + )
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∴ 𝑰 =𝟑
𝟏𝟔𝒍𝒏
𝒙+ 𝟏
𝒙 𝟏 +
𝟑
𝟖𝒂𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒙
𝟒 𝒙𝟒 𝟏 + 𝑪
𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑥
𝑄1 𝑥 +
𝑦 𝑥
𝑄2 𝑥 𝑑𝑥
Aplicando ∫ = ∫
2
=
+
+
2 +
(
+ 2 + )
2 =
| + |
| | +
+
2 =
| + | | | +
+
Por propiedad de logaritmo
5. ∫
SOLUCIÓN
Por Hermite - Ostrogadsky:
+ 2 2 + 2
Factores lineales: +
Factores cuadráticos: +
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+ 2 2 + 2 = [
(
2 + +
+ 2 + ) +
2 + +
+ 2 + ]
+ 2 +
= [ + + + + + + +
+ + + + + + ]
[ + 2 2 + ]
Por identidad de polinomios se tiene:
=
+ + =
+ + + =
+ + + =
+ + =
+ =
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
En (1)
=
En (2)
+ =
+ =
En (3)
+ =
+ =
En (4)
+ =
+ =
De (6)-(7)
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𝐶 =
+ =
+ =
=
En (5)
+ =
En (2)
+ + =
+ =
De (8)-(6)
+ =
=
=
En (6)
1
+ =
=
En (1)
=
=
𝐵 =
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En (5)
1
+ =
=
Reemplazando en la Integral
+ 2 2 + 2 = (
2 + +
+ 2 + ) + [
2 + +
+ 2 + ]
+ 2 2 + 2 = (
2
+
+ 2 + ) + [
+
+ 2 + ]
=
(
2
+ 2 + )
[
+ 2 + ]
=
(
2
+ 2 + )
[
+ +
2 +
2 + ]
=
(
2
+ 2 + )
[ | + | + 2 + ] +
6. ∫
SOLUCIÓN
Por Hermite - Ostrogadsky:
2 =
( 2 + +
) + [
2 + +
]
∴ 𝑰 = 𝒙𝟐 𝒙
𝟒 𝒙+ 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 +𝟏
𝟐𝐥𝐧|𝒙+ 𝟏|
𝟏
𝟒𝐥𝐧 𝒙𝟐 + 𝟏 +
𝟏
𝟒𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧𝒙 + 𝒄
𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑥
𝑄1 𝑥 +
𝑦 𝑥
𝑄2 𝑥 𝑑𝑥
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2=
+ 2 + + 2
2+
2 + +
2=
+ 2 + + 2
2+
2 + +
2
= + 2 2 + + + 2 + +
= + + + + + 2 +
Por identidad de polinomios se tiene:
=
+ =
+ =
=
=
=
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
=
=
=
=
=
=
Reemplazando en la Integral:
2 =
( 2 + +
) + [
2 + +
]
2 =
=
+
2 + +
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∴ 𝑰 =𝒙
𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙
𝟒+ 𝒄
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 =𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
=
+
2 + +
=
| |
| 2 + + |
√ (
+
√ ) +
Reemplazando (2) en (1):
INTEGRALES
TRIGONOMETRICOS
9. ∫
SOLUCIÓN:
(
)
10. ∫
SOLUCION:
∴ 𝑰 = 𝒙
𝟑 𝒙𝟑 𝟏 𝟏
𝟗𝐥𝐧
𝒙𝟐 + 𝒙+ 𝟏
𝒙 𝟏 𝟐 +
𝟐
𝟑√𝟑𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (
𝟐𝒙+ 𝟏
√𝟑) + 𝒄
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𝐼 =𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟏𝟎𝒙) + 𝒄
2
+
+
+
+
+
+
+
11. ∫
SOLUCION:
2 2
Cuando es un numero entero positivo par, se usa la identidad
siguiente:
(
)
2
2
+ 2
+
2
𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 =𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
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+
2
(
) (
) +
2
Cuando es un numero entero positivo par, se usa la identidad
siguiente:
Reemplazamos en: ∫
+
(
+
)
+ (
) (
) +
+
+
+
+ (
) (
) +
+
+
+
12. ∫
SOLUCIÓN
=
Sabemos que = , entonces en :
= 2 2
Además = , entonces en :
= 2 2
𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
∴ 𝑰 =𝟏
𝟒𝒙
𝟏
𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙+
𝟏
𝟖𝒙 +
𝟏
𝟑𝟐𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙+ 𝑪
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= 2 +
= 2 +
Por propiedad: ∫ + + = ∫ + ∫ + ∫ , entonces en
:
= 2 +
= +
Dónde:
=
= 2
=
En :
=
En :
2
Aplicamos integración por partes:
= =
= =
Luego en :
= 2
=
= 2
=
=
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=
En :
=
Aplicamos integración por partes:
= =
= =
Luego en :
=
=
=
=
Luego reemplazamos en :
= +
13. ∫
SOLUCIÓN:
2
2
=
1
+
𝑰 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝟐
𝟑𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙 +
𝟏
𝟓𝐬𝐞𝐧𝟓𝒙 + 𝒄
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∴ 𝑰 =𝐜𝐨𝐬𝟖 𝒙
𝟒𝟎 𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝟓 + 𝒄
14. ∫
SOLUCION:
(
) (
)
2
si es un numero entero positivo impar, se usa la identidad
siguiente:
2
donde al derivar:
(
) =
(
) =
(
) =
entonces la integral de ∫ es igual a
reemplazamos en la integral
𝒕𝒂𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝒏 𝟏𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝟏
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+
1
+
15. ∫
SOLUCIÓN:
= 2
Por propiedad de las funciones trigonométricas hiperbólicas:
2 = + 2
= + 2
= + 2
= + 2
Resolviendo
2
=
=
2 = 2
2 = 2 =
2 =
= +
+
∴ 𝑰 =𝟏
𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑪
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𝑰 = 𝒙
𝟏𝟔 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝒙
𝟏𝟗𝟐+𝒔𝒆𝒏𝟑𝟔𝒙
𝟏𝟒𝟒+ 𝒄
𝑰 =𝟏
𝟑𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝟑+ 𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝒙 + 𝑪
Factorizando:
16. ∫
SOLUCION:
2 2 2
2 2
(
)
2
( +
)
2 +
2
(
) +
(
)
+ (
)
+ (
)
+
+
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∴ 𝑰 =𝟏
𝟏𝟑𝒔𝒊𝒏𝒉𝟏𝟑 𝒙 +
𝟐
𝟏𝟏𝒔𝒊𝒏𝒉𝟏𝟏 𝒙 +
𝟏
𝟗𝒔𝒊𝒏𝒉𝟗 𝒙 + 𝒄
𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 = 𝑠𝑖𝑛 2 𝐴 +
17. ∫
SOLUCIÓN:
2 2
2 + 2
+ 2 +
12 + 1 +
1 +
11 +
=
1 +
11 +
+
18. ∫
2
2
2
2 2 2
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𝑰 = 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙
𝟓
𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙
𝟑+ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙+ 𝑪
2 2 2
2 2 2 + 2
Si: =
=
2 + 2
2 + 2
2 + 2
+
+ +
19. ∫
SOLUCIÓN:
=
= 2 2
Por identidad trigonométrica:
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2 𝑥 = 2 𝑥
2 𝑥 = 2 𝑥
2 𝑥 = + 2 𝑥
= 2 2
= 2 +
= 2 +
Aplicando: ∫ = ∫
= 2 +
= 2 2 2 +
Despejando de ecuación 1:
= + 2 2 2 +
= 2 + 2 2
+
= 2 2 +
Desarrollando “a”:
2
=
= 2
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∴ 𝑰 = 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏𝒙| +𝟏
𝟐𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙
𝟏
𝟒𝒄𝒐𝒕𝟒 𝒙+ 𝑪
2𝐴 = 2 𝐴
2 = =
=
Desarrollando “b”:
2
=
= 2
2 = = 2
=
2
Desarrollando “c”:
= | |
Reemplazando:
= 2 2 +
=
(
2
) + | | +
20. ∫
SOLUCIÓN:
Aplicamos
Reemplazando en la Integral
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2 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑢𝑑𝑣
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
Ahora hallando la integral por partes
= 2 = 2
= 2 =
2 2 = 2 2
2 2 = 2 2
2 2 =
2 2 =
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∴ 𝑰 = 𝑥 𝐭𝐚𝐧𝐡𝒙 𝐭𝐚𝐧𝐡𝟑 𝒙
𝟑+ 𝒄
Uniendo la integral
= 2 2
=
21. ∫ √
SOLUCIÓN:
12
2 2 12
2 2 + 12
2 2 12 + 2
12
=
= 2
Remplazamos en la primera integral:
2 12 + 2
12
2 (
) (
)
12 + 2 (
) (
)
12
2 (
) (
12
) + (
) (
12
)
2
2
+
2
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∴ 𝑰 = 𝟐√𝒄𝒐𝒕𝒙+𝟐
𝟑 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙 + 𝒄
2 2 +
2
12 +
2
2
12
2
12
2
12
2
12
√ +
22. ∫ √
SOLUCIÓN:
= 2
= 12
= 12
=
=
12
= 12
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2 𝑥 = 2 𝑥
= 2 2 12
Por identidad trigonométrica:
= 2 2 12
= 2 + 12
= 12 2
12 +
12
=
= 12 2
12 +
12
= 2
2 +
12
= 2
12 +
12
= 2
12
+
12
∫ √ = ∫
∫
+ ∫
Dando forma:
= 2
12 +
12
A B C
Desarrollando “A”:
2
=
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=
2 =
2 =
2
2 =
2
Desarrollando “B”:
12
=
=
12 =
12 =
12
12 =
12
Desarrollando “C”:
12
=
=
12 =
12 =
2
12 =
2
Reemplazando:
= 2
12 +
12
=
2
12 + (
2 ) +
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𝐴 𝐵 =
[ 𝐴 𝐵 𝐴 + 𝐵 ]
∴ 𝑰 =𝟐
𝟓𝐬𝐞𝐜𝟓 𝟐 𝒙 𝟒 𝐬𝐞𝐜𝟏 𝟐 𝒙
𝟐
𝟑𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟐 𝒙+ 𝑪
23. ∫
SOLUCION:
2 2
Sabemos:
= +
2 + 2
2 + 2
+
+
24.
25. ∫
SOLUCIÓN:
Aplicamos
∴ 𝐈 =𝟏
𝟕𝐭𝐚𝐧𝐡𝟕𝐱 +
𝟏
𝟗𝐭𝐚𝐧𝐡𝟗𝐱 + 𝐂
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∴ 𝑰 =𝟏
𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙
𝟏
𝟏𝟔𝐬𝐢𝐧𝟖𝒙+ 𝒄
A B =
[ A B + A + B ]
∴ 𝑰 =𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙
𝟏𝟖+𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙
𝟏𝟎+ 𝒄
𝑥 = 𝑥
= =
Reemplazando en la Integral
[ ]
=
+
26. ∫
SOLUCIÓN:
Aplicamos
= =
Reemplazando en la Integral
[ + ]
[ + ]
(
+
)
=
1 +
1
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27. ∫
SOLUCION:
2 2
Sabemos:
2 = 2
2 2
Dónde: =
=
=
Reemplazamos en la integral
2 2 (
)
2 +
1 + 12
+
1
12
(
)(
) +
11
(
)(
1
) +
Reemplazamos el valor de: =
+
11
1 +
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2𝑥 = 𝑥
; 2𝑥 =
+ 𝑥
∫ 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑢 = ∫𝑎 𝑑𝑢 + ∫ 𝑏 𝑑𝑢
28. ∫
SOLUCIÓN:
=
=
2 2
=
2 2
Sabemos que:
=
(
) (
+
)
=
(
2
)
=
2
Por propiedad:
=
( 2 )
=
( 2 )
∴ 𝐈 = 𝟏
𝟐𝟔𝐜𝐨𝐬𝟏𝟑𝟐𝐱+
𝟏
𝟏𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏𝟏𝟐𝐱
𝟏
𝟏𝟖𝐜𝐨𝐬𝟗𝟐𝐱 + 𝐂
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=
Donde = ∫ ; = ∫
En :
=
= ; =
=
=
=
=
En :
= 2
= = 2 ;
=
2
=
=
=
Luego en :
=
(
+
)
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𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝑨
𝟐= 𝐜𝐨𝐬
𝑨
𝟐 𝑨 = 𝟐𝒙
∴ 𝑰 =√𝟐
𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙
√𝟐
𝟔𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙+ 𝒄
=
+
+
29. ∫ +
SOLUCIÓN:
Aplicamos
Reemplazando en la Integral
√
√
√ 2
√ 2
√ [ 2 ]
= √
√
∴ 𝐈 = 𝟏
𝟏𝟔𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱+
𝟏
𝟒𝟖𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟐𝐱+ 𝐜
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∴ 𝐈 = 𝟏𝟗𝐜𝐨𝐭𝟑(𝟑𝐱) +
𝟏𝟑𝐜𝐨𝐭(𝟑𝐱) + 𝐱+ 𝐜
𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙
𝒅𝒖 = 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙
30. ∫
SOLUCIÓN:
2 2
2 2
2 2 2
2 (
) 2
2 2
+
+ +
+
+ +
31. ∫
SOLUCIÓN:
=
2
Sabemos que: = , entonces también obtenemos
= , luego en :
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2𝜃 = 𝜃
𝒂+ 𝒃 + 𝒄 𝒅𝒖 = 𝒂𝒅𝒖 + 𝒃𝒅𝒖 + 𝒄𝒅𝒖
=
2 2
2
2
=
(
)
2
2
=
2 2
Además conocemos:
=
(
) (
)
=
=
+
Por propiedad:
=
( )
=
=
(
)
=
=
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𝒕𝒂𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝒏 𝟏𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝟏
2𝜃 =1 co 2𝜃
2; Entonces obtenemos que: 𝜃 = 2𝜃
Sabemos que; entonces en :
=
2
=
2
=
2
= ; = ; entonces en :
=
(
) 2
=
=
Reemplazamos en :
=
+
32. ∫
SOLUCION:
si es un numero entero positivo impar, se usa la identidad siguiente:
∴ 𝑰 =𝒙
𝟏𝟔
𝟏
𝟑𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙
𝟏
𝟐𝟒𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙+ 𝒄
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2 𝐴 = 2 𝐴
2
2
2
2 | |
2
| | +
33. ∫
SOLUCIÓN:
2
[ 2 ]
2
=
∴ 𝑰 =𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙
𝟐 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝑪
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∴ 𝑰 =𝐬𝐞𝐜𝟓 𝟑𝒙
𝟓 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟑 𝟑𝒙
𝟑 𝟑+ 𝒄
34. ∫
SOLUCIÓN:
=
2
Por identidad Trigonométrica:
2 = 2
=
2
=
2
∫co
= ∫
co
∫
co
A B
Hallando A
=
=
= =
=
Hallando B
2
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∴ 𝑰 = 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟑 𝒙
𝟑+ 𝑪
=
=
2 = 2 =
1
= 1
2 = 1
=
1 +
Aplicando: =
=
+ +