UNIDAD I: Integrales fundamentales

1.2 Integrales de monomios algebraicos

De la misma manera que se ha dicho que la resta es la operacin inversa a la suma, la divisin de la multiplicacin, etc., afirmaremos que la antidiferenciacin es la operacin inversa de la diferenciacin de una funcin, esto es, que si la derivada de una funcin en un intervalo I es para cualquier x de dicho intervalo, entonces la antiderivada consistir en encontrar la funcin cuando se desconoce su diferencial . Esta operacin se denota as:

En este caso a se le llama antiderivada, funcin primitiva o tambin integral indefinida de en el intervalo I.Por ejemplo:

, porque

, porque Sin embargo, podemos afirmar que:

Y en general:

De manera que es el diferencial de un nmero infinito de funciones cuya nica diferencia es una constante. De la misma manera debe suponerse, inversamente, que tiene un nmero infinito de funciones primitivas cuya nica diferencia es una constante, por lo tanto, cuando se pregunta por la integral indefinida de, la respuesta deber ser la funcin ms general cuya diferencial es, esto es: .Integral de un trmino algebraicoComo la antiderivacin es la operacin inversa de la diferenciacin, entonces las reglas para obtener la antiderivada se obtiene a partir de las reglas de derivacin, luego:La primera regla que se debe aplicar al antiderivar el diferencial de una funcin cuyo coeficiente es la constanteaes:

Si ya se aplic sta, puede enseguida aplicarse alguna de las siguientes:

Problemas propuestos (impares):

1) 3)

5) 7)

9) 11)

13) 15)

17) 19)

21) 23)

25) 27)

29) 31)

33) 35)

37) 39)

1.3 Integrales que conducen a la funcin logaritmo natural

Otra de las integrales fundamentales es que es la regla inversa de Problemas propuestos (impares):

1) 3)

5) 7) Caso General.

En general, si siendo v una funcin de la variable x entonces:

Caso Especial.En el caso de que el numerador dv no sea precisamente el diferencial del denominador v, propondremos el logaritmo natural del denominador y verificaremos su diferencial para ver que nos falta para igualarlo a la integral. Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

1.4 Integral de una suma de trminosLa integral de una suma de trminos es igual a la integral de cada uno de sus trminos, esto es:

Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9)

Caso Especial.Para integrar un polinomio que est afectado de cierta operacin indicada, deber primeramente realizarse la operacin indicada y enseguida integrar el polinomio resultante.Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13)

15)

1.5 Integral de la potencia de una sumaLa integral de la potencia de una suma se obtiene aplicando:

Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9) Casos especiales.

Si al aplicar resulta que a dv le falta una constante o no es la correcta, propondremos primeramente y despus calcularemos su diferencial y as hacerlo que tome la forma del integrando-Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13)

15)

17)

19)

21)

1.6 Integral de las funciones exponencialesUna funcin exponencial es una potencia cuyo exponente es variable. Nos referiremos a dos tipos de funciones:

a) Cuando la base es constante y el exponente es variable. Se expresa de manera general y su integral queda definida por la expresin:

b) Cuando la base es la constante y el exponente es variable; se expresa de manera general y su integral queda definida por la siguiente expresin:

Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13)

15)

17)

19)

21)

23)

1.7 Integrales con la tangente, cotangente, secante o cosecanteLas integrales a las que nos referiremos en este captulo estn dadas por las siguientes expresiones:

Que fueron obtenidas de la siguiente manera:

Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13) 2do. Caso.

Cuando el integrando es una fraccin que tiene la forma para lo cual usaremos la frmula de logaritmo.Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5) 3er. Caso.Algunas veces para integrar fracciones que contienen en su denominador la funcin trigonomtrica de una variable y en su numerador el diferencial de la variable, para integrarse deber primeramente factorizarse y enseguida sustituirla por su identidad recproca y despus aplicar la frmula de integracin correspondiente.Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

1.8 Integrales que conducen a las funciones trigonomtricasEn este apartado nos referiremos a las integrales que conducen a las funciones trigonomtricas, principalmente a las integrales de los diferenciales de las funciones trigonomtricas que estn dadas por las siguientes expresiones y que se obtienen a partir de sus derivadas.

Problemas propuestos (impares):

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13)

Referencias: http://docentes2.uacj.mx/flopez/CURSOS_BAK/CALCULO2/Unidades/default.htmLibro de Calculo II del Mtro. Francisco Lpez de la Universidad Autnoma de Cd. Jurez