integrales
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Todo el capitulo de integralesTRANSCRIPT
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DefiniciónDefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploEjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4)( xxF 34 4xxdxd
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Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploEjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
CxFxG R
C
Ix
CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)
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Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
DefiniciónDefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
dxxf
CxFdxxf
xfxFCxFdxd
'
RC
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Partes de la Integración:Partes de la Integración:
CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración
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Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Cxdxx
ln1
dxxgdxxfdxxgxf
11
1
nCn
xdxx
nn
dxxfkdxxkf
Cedxe xx Ca
adxa
xx
ln
Cxsenxdx cos Csenxxdxcos
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Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2
Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc
Cxdxx
12
tan1
1
Cxsendxx
1
2 1
1
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Ejemplo:Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
dxx3
1 dxx
senxdx2 dxx 2
dxxxx 24 53
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Solución:Solución:
C2x1
dxx1
23C
xdxx
2
23
Cx32
dxx 3 CxCx
dxx 232
3
2/1
32
23
C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.
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Solución:Solución:
C2x2x
dx2x2
dxdxx 2
xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24
Cx21
x35
x53 235
C
xxx23
55
3235
4.
5.
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Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 24 sec210
dxxx 63
dx
xxx
23 3
62
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Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 122/3
dxxsenx cos32
dxx
xx 12
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Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senxx
1csc
xx
cos1
sec
xsenx
xcos
tan xsenxx coscot
xx
tan1
cot 1cos22 xxsen
xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot
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Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot
Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc
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Ejemplo:Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:Solución:
dyy 1tan2
Ctany ydydyy 22 sec1tan
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Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a) b)
c)
dxxsenx cos32
dxxxcotcsc1
dxsenxx2sec
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Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.
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Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
b
a
aFbFdxxf )()(
b
a
ba aFbFxFdxxf )()(
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Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
dxxfkdxxkfb
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
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Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
0 dxxfa
a
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Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:
dxxfdxxfa
b
b
a
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EjemploEjemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.dxx
4
1
3
dxxx
1
0 32.
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Solución:Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
14
4
1
2/34
1
21
2/333
xdxx /dxx3
4
1
2/32/3 1242
![Page 24: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
dxx1
0
2
dxx
0
1
2
![Page 25: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/25.jpg)
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
2
12
13
dxx
1
1
3 2
dxx
x
4
1
2
![Page 26: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/26.jpg)
Método de SustituciónMétodo de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.
CxgFdxxgxgf '
CuFduuf
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Ejemplo:Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:Solución:
dxxx 13 32
duuduudxxx 2/132 13
dxxdu
xu2
3
3
1
CuCu
2/32/3
32
23
C1x32 33 cx
2/33 132
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Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
dxxx 42 12
dxxx 22 1
dxx)5cos(5
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Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
4
0
2/34
0
4
0 2/312
21
21221
12
xdxxdxx
326
12731
131
931
1231 2/32/3
4
0
2/3x
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El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
'
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EjemploEjemplo
SoluciónSoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
dxx 4
0
12
dxdu 2 dudx21
110200 ux
914244 ux
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Por lo tanto:
duu 9
1
dx12x4
0
912/39
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
31
32
21
322
121
uuu
duu
326
2/32/3 1931
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Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx
1
0
32 1
xdxdu
xu
2
12
xdxdu
21 11000 2 ux
21111 2 ux
duuduu 2
1
32
1
3
21
21
815
44 1281 214
2
1
4
81
421
uu
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Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
x
5
1 12
dxxxe
1
ln
dxx 7
3
3
![Page 35: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/35.jpg)
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
dxx
xx
732
dxxx
1
1
32 1
dxxx 292
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Índice
1 Área del recinto donde interviene una función
1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]1.3 La función toma valores positivos y negativos en [a, b]
2 Área del recinto donde intervienen dos funciones
2.1 Las dos funciones no se cortan en [a, b]2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]
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1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]
b,aen0)x(f
Área del recinto = b
a
dx)x(f
1 Área del recinto donde interviene una función
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b.
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y=x2
y=x4-2x3+2
Área = 2
4
2
4
2
32 u
3
56
3
8
3
64
3
xdxx
Área =
2
1
2
2
1
4534 u
10
51x2
2
x
5
xdx)2x2x(
Ejemplos1. Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2, el eje OX, la recta x = 2 y la recta x = 4.
2. Hallar el área de la región R limitada por la curva y = x4 – 2x3 + 2 entre x = -1 y x = 2.
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1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]
Área del recinto = - b
a
dx)x(f
Ejemplo:
Área = 2
2
2
2
2
32 u
3
16
3
8
3
8
3
xdx)x(
y = -x2
Hallar el área del recinto determinado por la parábola de ecuación y = -x2, el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b.
![Page 41: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/41.jpg)
1.3 La función toma valores positivos y 1.3 La función toma valores positivos y
negativosnegativos
Área (R) = be
ed
dc
ca
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
![Page 42: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejemplo:
1. Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo [0 , 2]
2
2
3 2
y=cosx
Área (R) = 2u4dxxcosdxxcosdxxcos 2
3
2
2
2
3
2
0
![Page 43: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/43.jpg)
Ejemplo:2. Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX.
Área (R) = 242
2320
23 u8dx)x8x6x(dx)x8x6x(
y = x3 – 6x2 + 8x
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Ejemplo:1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e y = 2x – 3 entre x = 2 y x = 4
Área (R) = 24
22 u
3
38dx)]3x2(x[
y = x2
y = 2x – 3
![Page 45: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/45.jpg)
2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]
Área (R) = bc
ca
dx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[
![Page 46: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/46.jpg)
Ejemplo:1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e xy
y = x2
xy
Área (R) = 2
1
0
323
10
210
21
u3
1
3
xx
3
2dxxdxx
![Page 47: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/47.jpg)
Ejemplo:2. Hallar el área del recinto limitado por la parábola y = x2 , la recta y = -x + 2 y el eje OX
Área (R) = 22
110
2 u6
5dx)2x(dxx
y = x2
y = - x + 2
![Page 48: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/48.jpg)
Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar la fórmula siguiente:
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:
Longitud de arco
La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función lineal.
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Longitudes de arco(EJEMPLO)
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Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
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EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenxxu dxdu
dxxsendv )(xv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
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SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cos(x)dx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
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EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
dxex x 2
2xu xdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
![Page 66: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/66.jpg)
dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
![Page 67: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/67.jpg)
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
![Page 68: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/68.jpg)
Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
![Page 69: Integrales](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062705/556d526ed8b42a94198b5093/html5/thumbnails/69.jpg)
EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
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Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan