institucion educativa manuela beltran aprobada … · ejercicios resueltos que aparecen en la guía...

INSTITUCION EDUCATIVA MANUELA BELTRAN

APROBADA SEGÚN RESOLUCION DE FUSION CON NUMERO

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DE SEPTIEMBRE DE 2002 y 2487 DE NOVIEMBRE DEL 2010

UNIDAD DIDACTICA

Código: MABE-GA-

FUD-02 Versión: 02 Fecha: 01-01-2012 Página 1 de 19

Área: MATEMATICA Asignatura: TRIGONOMETRIA Curso(s): DECIMO

Docente: ERNESTO CUADROS Período 3 : 15 de julio- 16 de octubre /2013

Estándar:

Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias

Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas

Objetivos: 1. Realizar medición indirecta con alto grado de precisión 2. Aplicar el teorema del seno para resolver problemas

cotidianos de medición indirecta 3. Aplicar el teorema del coseno para resolver problemas

cotidianos de medición indirecta

Competencia: Interpretativa: identifica las funciones trigonométricas y los teoremas del seno y del coseno para resolver triángulos Argumentativa: Realiza medición indirecta aplicando los teoremas del seno y del coseno Propositiva: Mide indirectamente la cancha de futbol aplicando los conocimientos dados

Indicadores de Desempeño: 1. Presenta el plan de medición indirecta de la cancha dado por

el docente con alto grado de precisión 2. Mide el área de un triángulo real en el cual se conocen dos

lados y el ángulo comprendido entre ellos A=

donde P es el ángulo formado por m y n (medidos) 3. Mide al área de un triángulo real en el cual se conocen

solamente los tres lados r, s y t A=√ ( )( )( )

donde p=

4. Reconocer la posición de dos rectas en el plano

5. Comprende la definición de la circunferencia, sus elementos y sus ecuaciones

Titulo Unidad: Medición indirecta y resolución de cualquier triángulo

Metodología: Se organiza el salón de clase en grupos de 5 estudiantes, a los cuales se les entrega una unidad didáctica; que previamente se explica en cuanto a contenido y alcances así como los indicadores de competencia a alcanzar una vez finalice el trabajo propuesto en ella. La unidad en su contenido hace referencia a la conceptualización mínima necesaria que el estudiante debe conocer para aprender a desarrollar cada uno de los ejercicios propuestos al igual que las actividades que debe realizar al final de la unidad. Una vez, el estudiante lea e interprete la unidad didáctica y maneje con propiedad los conceptos expuestos en el contenido, será capaz de resolver los ejercicios propuestos, con base en los ejercicios resueltos que aparecen en la guía como ejemplo. Paralelo al desarrollo de la unidad debe ir mostrando avances en

Acciones Evaluativas para la Clase

Evaluación Escrita

X Evaluación Oral

Trabajo en Grupo

X Trabajo Individual

X

Exposición Quist X

Revisión de Cuaderno

Taller X

Tareas Laboratorio

Informe de laboratorio

Mesa redonda

Otras: Porte y utilización del material para



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una investigación de una variable escogida por cada uno de los estudiantes Las actividades planteadas al final de la unidad se resuelven aplicando los conceptos adquiridos en la apertura conceptual. Para aquellos estudiantes que presenten desempeños superiores, se les aplicaran actividades de profundización planteadas en la unidad. Las evaluaciones escritas serán la sustentación individual del trabajo realizado. Al finalizar esta unidad el estudiante deberá entregar los resultados de la investigación para una variable propuesta por él

medición ( transportador, metro, cuadernos, etc Presentación de informe de las actividades propuestas al terminar la clase

CONTENIDO: TEMAS Y SUBTEMAS: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS - Resolución de triángulos rectángulos

- Casos de resolución de triángulos rectángulos - Ángulos de elevación y de depresión

- Resolución de triángulos oblicuángulos - Ley del seno - Ley del coseno - Áreas de triángulos

DESARROLLO DEL CONTENIDO: Tema: Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus tres ángulos. Para solucionar triángulos rectángulos se debe conocer al menos tres de sus elementos de los cuales necesariamente uno debe ser un lado. Ejemplo 1:

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

Tg B= cateto opuesto/cateto adyacente, entonces tg B = 33/21 = 1.5714 Se conoce la tangente del ángulo B, pero el valor del ángulo B se obtiene digitando en la calculadora científica shift tan 1.5714. Por lo anterior B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m



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Ejemplo 2: Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente un ángulo de 70º

y despejando

. El radio es de 21.44cm

Ejercicios propuestos de resolución de triángulos rectángulos

1. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

2. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

3. Calcular el área de una parcela, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

4. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo

de 30° y si nos acercamos 10 m, se observa bajo un ángulo de 60°. Hacer dibujo con información. 5. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo

que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

Ley del seno y del coseno o teorema del seno y teorema del coseno INTRODUCCIÓN: Los triángulos pueden ser de tres tipos, además del conocido triángulo rectángulo (con un ángulo



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de 90º) tenemos también acutángulos, con los tres ángulos agudos, y obtusángulos, que tienen un ángulo de más de 90º. Vamos a utilizar siempre la misma notación: A, B y C para los vértices y a, b y c para los lados del triángulo. LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA ES 180º. RECUERDA ESTO PUES LO VAMOS A UTILIZAR MÁS ADELANTE (A+B+C=180º). El problema general de resolución de un triángulo El problema general de resolución de un triángulo consiste en hallar las longitudes de sus lados a, b y c y el valor de sus ángulos A, B y C. En general basta con conocer tres cualesquiera de estos seis elementos para obtener los otros tres: conocido dos ángulos y un lado, un lado y dos ángulos o los tres lados. El caso de los tres ángulos no tiene solución única pues hay infinitos triángulos semejantes que cumplen la condición. En realidad tenemos cuatro problemas diferentes: 1. Conocidos dos ángulos y un lado. 2. Conocidos dos lados y el ángulo adjunto a uno de ellos. 3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. 4. Conocidos los tres lados Para resolver los cuatro problemas, vamos a utilizar dos teoremas: Teorema del seno Teorema del coseno Ley del seno o teorema del seno

Dado un triángulo cualquiera, trazamos una altura h que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos, en cada uno de ellos se tiene que: h=b·senA h=a·senB Igualando b·senA = a·senB

Razonando igual con los ángulos B y C, se tiene que b·senC=c·senB, reordenando queda:

En el caso de que el triángulo sea obtusángulo, al trazar la altura queda fuera del triángulo y se llega a la misma conclusión. h=b.senC h=c·sen(180º-B) => h=c·senB (al ser B y 180º-B suplementarios, tienen el mismo seno) En virtud de los expuesto anteriormente y reordenando las igualdades se tiene que la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante, a esta igualdad se la conoce como el teorema del seno



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Ejemplos 1: Resolver el triángulo, es decir, halla los lados y ángulos restantes

Siendo a y A, b y B, c y C las parejas de ángulo y lado opuesto. Utilizamos en este caso los 22º y el lado de 8 como referencia y calculamos el lado opuesto a los 79º: 8/sen22 = b/sen79 8/0,37 = b/0,98 b = 21,62(0,98) b = 21,22 Para hallar el resto podría parecer que nos falta el dato del tercer ángulo. Pero recuerda que los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º. Por lo tanto, ese tercer ángulo debe valer

C = 180 – 22 – 79 = 79º Así que es un triángulo isósceles. No hace falta hacer más cálculos: si tiene dos ángulos iguales, también tiene dos lados iguales, y el lado que nos falta también mide 21,22. Ejemplo 2: Resolver el triángulo, es decir, halla los lados y ángulos restantes

Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando el ángulo que está frente al lado que mide 12: 15/sen92 = 12/senB 15/0,99 = 12/senB senB = 12/15,15 B = 52,37º

El tercer ángulo mide 37,63º (180 menos la suma de los otros dos). Con este dato calculamos el tercer lado: 15/sen92 = c/sen37,63 15,15 = c/0,61 c = 9,25 (También podríamos haber usado la otra pareja b/senB; comprueba que da lo mismo). Ejemplo 3: Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre



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Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo. El esquema de la situación sería algo así: Como en el ejercicio anterior, tenemos al menos una pareja ángulo-lado opuesto. Para hallar la medida del lado que nos falta, nos basta recurrir al teorema del seno. El problema es que el ángulo opuesto al lado AC tampoco lo sabemos, algo que tiene fácil solución si primero aplicamos el teorema del seno para hallar el ángulo A y después deducir la medida de B. 25/sen20º = 12/senA 73,10 = 12/senA senA = 12/73,10 sen A = 0,16 A = 9,45º Como los tres ángulos deben sumar 180º, B debe valer 150,55º. Ahora ya tenemos todo lo necesario para volver a usar el teorema del seno y hallar la distancia AC: 25/sen20º = AC/sen150,55º 73,10 = AC/0,49 AC = 73,10·0,49 = 35,94m Ley del coseno o teorema de coseno Ejemplo 1:

Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el teorema del coseno: a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA

Siendo a el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras, sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no rectángulos. a2 = 52 + 62 – 2(5)(6) cos70 a2 = 61 – 60(0,34) a2 = 40,48 a = 6,36 Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos que aún no tenemos: 6,36/sen70 = 5/senB



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6,36/0,94 = 5/senB senB = 5/6,39 B = 51,54º Y por lo tanto, C vale C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º Ejemplo 2: Resolver el triángulo, es decir, halla los lados y ángulos restantes

De nuevo usamos el teorema del coseno. Se resuelve igual que el caso anterior. a2 = 252 + 282 – 2·(25)(28)·cos110 a2 = 625 + 784 – 1400·(-0,34) a2 = 1885 a = 43,42

Y luego el teorema del seno: 43,42/sen110 = 25/sen B Sen B = 25/46,21 = 0,54 B = 32,76º C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º Ejemplo 3: Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A y un pueblo B separados por una abertura de1100 uno del otro. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

Hagamos primero un esquema de la situación. Sería así: El ángulo debajo del globo es de 110º Aquí tendremos que usar el teorema del coseno, porque el ángulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud. d2 = 62 + 42 - 2·(6)·(4)·cos110º d2 = 52 – 48·(-0,34)

d2 = 52 + 16,32 d = 8,27Km Actividad: cada estudiante debe realizar y presentar un teodolito (aparato de medición de alturas) Creando herramientas (tic·s)

METODOLOGÍA: Pegar la fotocopia del transportador al cartón paja. (Entre más grande sea el transportador, mejor mide)



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Recortar el transportador (deje un pequeño margen en la línea principal del transportado: 0-centro-180) Perforar el centro del transportador. Pasar por el orificio un trozo de cordel de algodón de 15 cm de longitud con una arandela en su extremo. Pegar el transportador al tubo en perfecta alineación (0-centro-180 y la mira del tubo)

Antes de pegar asegurarse que la cuerda pase encima de 90º, que indica que el tubo está totalmente nivelado.

Montar el teodolito (aparato de medir) sobre el trípode Ejemplos de teodolitos

RECURSOS MATERIALES:

Octavo de Cartón paja. Fotocopia de un transportador del tamaño de una hoja carta (verificar que no se deforme la medida) Hilo de costura. Arandelas de Acero pequeñas o plomadas de pescar. Tubo de 25 cm de longitud y diámetro inferior a 1 cm. Tijeras y silicona. Pegamento. Nivel de agua.

Ejercicios propuestos: Aplicación de los teoremas del seno y coseno

1. Cada estudiante debe portar los siguientes materiales: el teodolito que fabricó, un metro, el transportador, cuaderno, lapicero, calculadora para sacar funciones trigonométricas El docente determina el objeto distante para ser medido: a) La altura (debe generar un triángulo rectángulo)



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b) La distancia a la que se encuentra el objeto

2. Evaluación práctica: trabajo de campo Los estudiantes deben tomar las medidas que se ilustran en el gráfico. El objetivo es realizar la medición indirecta de distancias utilizando las funciones trigonométricas, ley del seno y ley del coseno. Recursos: cada estudiante debe llevar el teodolito, una fotocopia del transportador tamaño carta, hilo de cometa, metro



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3. Hallar la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.

4. En algunos casos se presentan problemas de medición, por existir obstáculos como pantanos, lagos,

barrancos, colinas, etc. Con los datos de la figura calcula la altura de la montaña



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5. Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25˚ y el otro de 40˚ (véase la figura). Si los observadores están a 100 pies uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une ¿qué tan alto vuela el helicóptero?

6. Un avión es visto por dos observadores que están a 1000 pies de

distancia entre sí. Cuando el avión pasa por la línea que une a los dos observadores, cada uno toma una lectura del ángulo de elevación del avión, como se indica en la figura. ¿Qué tan alto está el avión?

7. El ángulo A es de 35o y el ángulo B mide 50o ¿a qué distancia está el punto B de la base del árbol?

8. La famosa torre de Pisa tenía originalmente 184.5 pies de altura. Después de alejarse uno 123 pies de la base

de la torre, se encuentra que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es de 60º. Encuentre el ángulo CAB indicado en la figura. Encuentre también la distancia perpendicular de C a AB.



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9. El navegante de un barco visualiza dos faros separados 3 millas entre sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la costa miden 15˚ y 35˚. Observa la siguiente figura.

¿Qué tan lejos está el barco de la costa?

10. Se piensa construir un túnel que atraviese una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo toma

las medidas que aparecen en la figura adjunta. Utilice los datos del topógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel.

11. Un avión es observado por dos personas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el

avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?



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12. La altura h del globo sobre el suelo es:

13. La distancia que recorre el Teleférico es:

14. Con los datos del diagrama, la distancia entre la Tierra y Venus es: (los valores están en millones de kilómetros)

15. Calcula la distancia que debe recorrer un obrero para subir y bajar una carretilla por una

rampa, como se muestra en la figura



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16. En cada una de las imágenes calcula las distancias que se te solicitan:



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TEMA: Calculo de áreas de triángulos Para hallar la medida de la superficie de un triángulo, es decir, el área del triángulo se cuenta con tres herramientas que debemos aprendernos y saber utilizar:

a) La fórmula tradicional

. La altura es la línea

perpendicular a la base y pasa por el vértice opuesto a dicha base

b) La fórmula

c) La fórmula de Herón √ ( )( )( )

El perímetro es la medida de todos los lados de un polígono

Actividad: Aplicación de las fórmulas de área a) Estudiar las diferentes fórmulas para hallar área, indicando las medidas a tomar en un triángulo para

aplicar cada una de ellas. El trabajo de campo se realiza solamente con los estudiantes que hayan estudiado las fórmulas

b) Deben portar los materiales necesarios para realizar la medición con alto grado de precisión, metro, transportador. (Evite distraer a los demás pidiendo prestado materiales)

c) Los estudiantes se harán en grupos de 3 personas seleccionadas de aquellos estudiantes que se saben las fórmulas y saben que se debe medir para usar cada una de ellas. Los grupos van asignados y numerados por el docente

Grupo No. Y nombres de los

aprendices

Triángulos a Calcular área con la

fórmula

Triángulos a Calcular área con la fórmula

Triángulos a Calcular área con

la fórmula de Herón



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1: NOMBRES ΔAFB, usar como base lado

ΔAFE y ángulo ΔBEC

2: NOMBRES ΔAFE, usar como base lado

ΔADE y ángulo

ΔBFC

3: NOMBRES ΔDEK, usar como base lado

ΔDEH, y ángulo

ΔDKG

4: NOMBRES ECH, usar como base lado

ΔEKH, y ángulo

ΔGKH

5: NOMBRES AEG, usar como base lado

ΔAEB, y ángulo

ΔAFB

6: NOMBRES BEH, usar como base lado

ΔEFC, y ángulo

ΔCEH

7: NOMBRES AFG, usar como base lado

ΔADE, y ángulo

ΔCDH

8: NOMBRES DCA, usar como base lado

ΔBEC, y ángulo

ΔAEB

a) El docente entrega el plano de la cancha con los triángulos marcados SOBRE la figura

b) El grupo medirá en la cancha los triángulos que le corresponden

c) Las medidas del área de cada triángulo se entregarán en cm2 y m2.

d) Presentar el dibujo (los ángulos deben ser exactos a los medidos en el campo) y los cálculos correspondientes para cada uno de los puntos en una hoja, identificando la fecha, el grado y los participantes.

e) El trabajo en equipo es obligatorio para el desarrollo de competencias transversales de conformación de equipo (si un compañero no colabora midiendo, haciendo cálculos, el grupo debe retirarlo porque es posible que no pueda sustentar la actividad realizada, afectando a los demás)

f) Los trabajos que superen el margen de error del 10% serán devueltos para que vuelvan a medir mejorando el grado de precisión en la medida y en los cálculos



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Resultados de la actividad de medición grado décimo

Grupo No. Y nombres de los aprendices

Triángulos a Calcular área con la

fórmula

Triángulos a Calcular área con la fórmula

Triángulos a Calcular área con la fórmula de Herón

1: NOMBRES ΔAFB, usar como base lado

ΔAFE y ángulo

ΔBEC

2: NOMBRES ΔAFE, usar como base lado

ΔADE y ángulo

ΔBFC

3: NOMBRES ΔDEK, usar como base lado

ΔDEH, y ángulo

ΔDKG

4: NOMBRES ΔECH, usar como base lado

ΔEKH, y ángulo

ΔGKH

5: NOMBRES ΔAEG, usar como

base lado

ΔAEB, y ángulo

ΔAFB

6: NOMBRES ΔBEH, usar como base lado

ΔEFC, y ángulo

ΔCEH

7: NOMBRES ΔAFG, usar como base lado

ΔADE, y ángulo

ΔCDH

8: NOMBRES ΔDCA, usar como base lado

ΔBEC, y ángulo

ΔAEB



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Actividades: (de varios temas, esto es la evaluación, ojala sea tipo icfes, mucho gráfico, proponer a partir del gráfico, usar comparaciones, relaciones, preguntas abiertas, crucigramas, falso o verdadero justificando respuesta , etc)

Área: MATEMATICA Asignatura: TRIGONOMETRIA Curso(s): DECIMO

Docente: ERNESTO CUADROS Período 3 :

Recursos: unidad didáctica, material de laboratorio, Internet ( Conversión de unidades)

Evaluación: Se valorara el trabajo en grupo, la prueba escrita, las actividades realizadas en clase. La evaluación se hará semanalmente y al finalizar cada periodo, teniendo en cuenta la conceptualización y aplicación del trabajo teórico practico desarrollado por los estudiantes.

Bibliografía Trigonometría y geometría analítica 10, Editorial Santillana Símbolos 10 Matemática Aplicada, Editorial Voluntad

Actividades de Profundización:

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