ingeniero henry gonzalez - casd manuela beltran 1

LÍMITES

Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran 1

¿Qué te dice esta Frase?


“No hay rama de la matemática, por

abstracta que sea, que no pueda

aplicarse algún día a los fenómenos del

mundo real.”

Nikolay

Lobachevsky (1792 – 1856)

Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.


El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:


¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=2, por la izquierda?


Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

6

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:


7

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=2, por la derecha?


8

Definición de límite

El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a»

Se denota por:


9

Existencia del límite

El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:


10

Propiedades de los límites g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

axaxax

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)limaxaxax

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)limaxaxax

g(x)limKK.g(x)limaxax

n

ax

n

axf(x)limf(x)lim

1

2

3

4

5


11

Pasos para calcular límites

Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada.

Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc.

Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -


12

Evaluar los siguientes límites


13

x 0

x 4 2

xlim

x 4 2 x 4 2

x x 4 2

x 4 4

x x 4 2

x 4 4

x x 4 2

x

x x 4 2 1

x 4 2

x 0 x 0

x 4 2 1

x x 4 2lim lim

1

0 4 2 2

1

2 x 0

1

x 4 2lim4

1

Ejemplo 1:


14

Ejemplo 2:

x 0

1 x 1 x

xlim

1 x 1 x 1 x 1 x

x 1 x 1 x

1 x 1 x

x 1 x 1 x

1 x 1

x

x 1 x 1 x

2 x

x 1 x 1 x

2

1 x 1 x

x 0 x 0

1 x 1 x 2

x 1 x 1 xlim lim

x 0

2

1 x 1 xlim

2

1 0 1 0 1

2

1 2

21


15

Ejemplo 3:

2

3 2x 1

1/3x x 2

x 4x 3xlim

2

3

1/3x x 1

x x x 1

2 x x 1

3 x x x 1

1/3

2

3

1/3x

x x

2

3

2

3 2x 1 x 1

1/31/3x x 2 x

x 4x 3x x xlim lim

2

3

x 1

1/3x

x xlim 2

3

1/31

1 13

2

1/33

3

2


16

Ejemplo 4:

2x 2

x 2lim

4 x

x 2

2 x 2 x 2

x 24 x

2 x2 x 2 x

2 x

2 x 2 x 12 x

1

x 2 x 2lim lim2

x 24 x 2 x

1

x 2

lim 2 x 1

2 2

1

4


17

Ejemplo 5:

2 2x a

x b a blim , a > b

x a

x b a b x b a bx a x a x b a b

x b a +b

x a x a x b a b

x a

x a x a x b a b

1

x a x b a b

1

x a x alim lim2 2

x b a bx a x a x b a b

1

x alim

x a x b a b 1

a a a b a b

1 a a b

1

a ba a b a b

a ba a b


18

Ejemplo 6:

2

x 4

4x xlim

2 x

24x x2 x

x 4 x 2 x2 x 2 x

x 4 x

2 x

4 x x 2 x

x 4 x 4lim lim

24x x x 2 x

2 x

x 4lim x 2 x 4 2 4 16


19

Ejemplo 7:

2

3x

x + x + 2lim

x + x +11 2

1 1

22

32 3

x 1 + +x x

x 1 + +x x

2x1 2

2

3

1 + +x x

x1 1

2 31 + +

x x

1 2

1 1

2

2 3

1 + +x x

x 1 + +x x

1 2

1 1

x xlim lim

2 2

3

2 3

1 + +x + x + 2 x x x + x +1 x 1 + +

x x

1 2

1 1

xlim

2

2 3

1 + +x x

x 1 + +x x

1 2

1 1

2

2 3

1 + +

1 + +

0 0

0 0

1 + +1 + +

1

0


20

Ejemplo 8:

4 2

4 2x

2x 3x + 6lim

3x 5x + 3

3 6

5 3

42 4

42 4

x 2 + +x x

x 3 +x x

3 6

5 3

4 2 2 4

4 2

2 4

2 + +2x 3x + 6 x x 3x 5x + 3 3 +

x xx xlim lim

0 0

0 0

2 + +3 +

2

3

4x3 6

2 4

4

2 + +x x

x5 3

2 43 +x x

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +x x

3 +x x

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +x x

3 +x x

xlim

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +

3 +xlim


21

Ejemplo 9:

5 3

2x

4x 3x +1lim

x x +1

3 1

1 1

52 5

22

x 4 + +x x

x 1 +x x

3 1

1 1

35 3 2 5

2

2

x 4 + +4x 3x +1 x x

x x +1 1 +x x

x xlim lim

5x3 1

2 5

2

4 + +x x

x1 1

21 +x x

3 1

1 1

32 5

2

x 4 + +x x

1 +x x

3 1

1 1

32 5

2

x 4 + +x x

1 +x x

xlim

3 1

1 1

32 5

2

4 + +=

1 +

0 0

0 0

3 4 + +=

1 +3= =


22

Ejemplo 10:

3

2

x

2x +1lim

x 5

3 3

22

12 +

x2x +1

5x 5x

x xlim lim

3

2

12 +

= 5

3

22

1x 2 +

xx 5 3

2

1x 2 +

xx 5

3

2

x 12 +

x xx 5x x

xx

3

2

12 +

xx

x 5

x

3

2

12 +

x5x

3

2

12 +

x

5x

xlim 0

3 0

2 +=

2

3=


23

Conclusión:

x

f(x)lim =

g(x)Dado:

Si [f(x)]º < [g(x)]º, entonces:

x

f(x)lim = 0

g(x)

Si [f(x)]º > [g(x)]º, entonces:

x

f(x)lim =

g(x)

Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:

x

f(x) Coeficiente del término de mayor grado de f(x)lim =

g(x) Coeficiente del término de mayor grado de g(x)


24

Límite de una sucesión

ex1limlim )( x1

ax

n

xn

11


25

Ejemplo 11: n

n+311+lim n

n

n 31 11+ 1+lim n n

n n

n 31 11+ 1+lim limn n

n

311+e lim 31+0e e

n

n+311+lim n

e


26

Ejemplo 12: n

2n11+lim n

2

n

n11+lim n n

2n11+lim n

2

n

n1lim 1+n 2e


27

Ejemplo 13:

n

n 111+lim n+2

2

n

n+2 111+lim n+23

n

n+211+lim n+23

n

n+21 11+ 1+lim n+2 n+2

3

n

n+211+n+2lim11+n+2

3

n

n

n+21lim 1+n+211+lim n+2

3

e11+ +2

3

e11+ 30

e

1+

e


28

Límites trigonométricos

1x

xSenlim

0x

1x Sen

xlim

0x

1x

xTglim

0x

1xTg

xlim

0x

0xSenlim0x

1xCos lim0x

1x

xCos1lim

-0x

1x

1xCoslim

-0x

5

6

7

8

1

2

3

4


29

x 0

Sen 3xlim

2x

Ejemplo 14:

x 0

Sen 3xlim

2x

x 0

Sen 3l m

3 x3

i2x

3

2

x 0

Sen 3xlim

3x3

2 x 0

Sen 3xlim

3x

31

2

3

2

1


30

Ejemplo 15:

x 0

Sen x 1 Cos xlim

x Sen 2x

x 0

Sen x 1 Cos xlim

x Sen 2x 2

x 0

Sen x 1 Cos x 1 Cos xlim

x Sen x Cos x 1 Cos x

2

2

x 0

Sen x 1 xCoslimx Sen x Cos x 1 Cos x

x 0

Sen x Sen xlim

2x Sen x Cos x 1 Cos x 2 x 0

Sen xlim

x Cos x 1 Cos x

1 1

2 x 0

Sen xlim

x Cos x 1 Cos x

1 1

2 x 0 x 0

Sen xlim lim

x Cos x 1 Cos x

1 Cos 0º=1

1

2

22 2

24


31

Ejemplo 16:

x 0

Tg x Sen xlim

1 Cos x

Tg x Sen x1 Cos x

Sen xSen x

Cos x1 Cos x

1

Sen x Sen x Cos xCos x

1 Cos x

1

1

Sen x Cos xCos x

1 Cos x

1

Sen x Cos xCos x 1 Cos x

1Sen x Cos x

Cos x 1 Cos x

Sen xCos x

x 0 x 0

Tg x Sen x Sen xlim lim

1 Cos x Cos x

x 0

x 0

limSen x

limCos xx 0

Sen xlim

Cos x

0

1 0


32

Ejemplo 17:

π

x4

Tg x 1lim

πx

4

Tg x 1π

x4

πTg x Tg

4π

x4

πSenSenx 4

πCos x Cos4

πx

4

π πSenx Cos Sen Cos x

4 4π

Cos x Cos4

πx

4

π πSenx Cos Sen Cos x

4 4π π

x Cos x Cos4 4

πSen x

4π π

x Cos x Cos4 4

1

πSen x

4ππ Cos x Cosx44


33

Ejemplo 17:

1

π πx x

4 4

πSen x

Tg x 1 4lim limπ ππx Cos x Cosx4 44

1

πx

4

πSen x

4limππ Cos x Cosx44

1

π πx x

4 4

πSen x

4lim limππ Cos x Cosx44

11

π πCos Cos

4 4

11

2 2

2 2

2


34

Importante:

π

x h4

; π

Si x h4

π

Si x4

h 0

1

π h 0x4

πSen x

Sen h4lim limπ hx4

Por cambio de variable, tenemos:


35

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

)(lim xfax


36

Ejemplo 18:

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)

2

30,5

11


37

Ejemplo 18:

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);

2

3xlim

3

lim ( ) 9x

f x

3

lim ( ) 0,5x

f x

(3) 11f

limite no existe y además es discontinua


38

-4

-1

1

2

0x1,x

0x4,2xf(x)f(x);lim

0x

0

lim ( ) 1x

f x

0

lim ( ) 4x

f x

(0) 4f

limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 19:


39

( ) 0AN

Y N NB N

Ejemplo 20:

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:


40

El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:

2

2

x100P(x) =+0,5x+0,03x

donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando seutilicen x unidades de droga.¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?

Ejemplo 21:


41


42

Si f(x)= x3,calcular:

h 0

f(x +h) f(x)lim

h

3 3

h 0

(x +h) xlimh

. ..3 2 2 3 3

h 0

+ + -3 3xx x h h +h xlimh

3

h 0

xlim. ..2 2 3 3+ + -3 3xx h h +h x

h

.

h 0

hlim

. . .2 2+3 3xx h+hh

. . .2 2

h 0 h 0

f(x +h) f(x)lim lim +3 3xx h+h

h


43

. . .2 2

h 0lim +3 3xx h+h .. . 22 + (0)3 3x +0x . 23x

Lo que se oye se olvida,

lo que se ve se recuerda,

lo que se hace se aprende.

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