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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008

PLANEACIÓN DIDÁCTICA DOCENTES FEPD-004

V 06 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP/PPA/ESF-06

PQ-ESMP-05

Identificación

Asignatura/submodulo: Cálculo Integral 1/1

Plantel Montenegro

Profesor (es): Jenny Soledad Cordero Figueroa

Periodo Escolar: Agosto – Diciembre 2017

Academia/ Módulo: Matemáticas

Semestre: 5°

Horas/semana: 5 horas

Competencias: Disciplinares (x) Profesionales ( )

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su

comportamiento.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias Genéricas: 8.Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Atributos:

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos

equipos de trabajo.

Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante analice e intérprete las relaciones entre las variables de problemas de la vida cotidiana relacionados con áreas, volúmenes, etc., que impliquen variaciones en procesos infinitos y los resuelva aplicando el teorema fundamental del cálculo

Tema Integrador: Valores

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 1. Organiza fu formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y Estructura saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias y los

ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a

su contexto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

Dimensiones de la Competencia

Conceptual: Interpreta: Las aproximaciones, fórmulas de antidiferenciación, las integrales inmediatas, integración por sustitución, fracciones parciales y por partes. Define:

Procedimental: Calcula: Aproximaciones, antiderivadas, integrales inmediatas, la integración por partes, la integración por sustitución, la integración por fracciones parciales, áreas bajo una curva. Resuelve las sumas de Riemann.

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Antiderivada, integrales inmediatas. Comprende la suma de Riemann.

Aplica el cálculo integral para resolver problemas relacionados con otras disciplinas.

Actitudinal: Se relaciona con respetuosamente con la comunidad escolar y practica el autorespeto.

Limpieza: Realizar con pulcritud el trabajo. Observar aseo personal.

Responsabilidad: Realizar el trabajo con puntualidad y apegado a los requerimientos.

Se comprometo con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 75 horas

Tiempo Real:

Fase I Apertura

Competencias a desarrollar (habilidad,

conocimiento y actitud)

Actividad / Transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación

Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a

utilizar en cada clase.

C. G. 8. Participa

y colabora de

manera efectiva

en equipos

diversos.

1.- El docente les proporciona la planeación didáctica, ya sea en copias fotostáticas o en electrónico. (1 sesión) 2.- El docente aplica el examen diagnóstico. (1 sesión) 3.- El docente realiza mediante la técnica expositiva y/o técnica de lluvia de ideas el que se revise la parte conceptual de las matemáticas vistas en semestres anteriores. (5 sesiones) 4.- Aplicación de examen correspondiente. (1 sesión)

1.- Los alumnos tomarán notas sobre la planeación. 2.- El estudiante contesta el examen diagnóstico 3.- El alumno tomará nota del tema expuesto por el docente sobre los temas de aritmética y álgebra. Así como realizará la tarea correspondiente. 4.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. Realiza correcciones

1.- Planeación. 2.- Examen 3.- Material propuesto por el docente. P.32 y 33 del material anexo en planeación. 4.- Examen

1.-NA 2.- Resultados del examen. 3.- Tarea 4.- Resultados del examen

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5.- Implementación de una ficha del proyecto Construye-T “Imagina que esperas” seleccionada según las necesidades generales del grupo. (1 sesión)

en libreta una vez que el examen se le ha regresado ya revisado. 5.- Colabora de manera oral y escrita, según lo exija la ficha seleccionada.

5.- Impresión de la ficha Construye-T.

5.-Ficha

implementada.

N/A

Fase II Desarrollo



Actividad/ transversalidad


Ponderación

Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones


(Aprendizaje)



C. D. 2. Formula y

resuelve

problemas

matemáticos,

aplicando

diferentes

enfoques.

C.D.8. Interpreta

tablas, gráficas,

mapas,

diagramas y

textos con

símbolos

matemáticos y

científicos.

C. G.8. Participa y

colabora de

manera efectiva

en equipos

diversos.

C. G. 8.2 Aporta

puntos de vista

con apertura y

considera los de

otras personas de

manera reflexiva.

C. G. 8.3Asume

1.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: aproximaciones: raíces y funciones trigonométricas. (6 sesiones) 2.- El docente le pide al alumno que resuelva los ejercicios y problemas sobre aproximaciones. (2 sesiones) 3.- Aplicación de examen correspondiente. (1 sesión) 4.- El docente mediante la técnica de exposición da el tema: antiderivadas. (2 sesiones)

1.- El alumno toma notas sobre el tema de aproximaciones. 2.- El alumno resolverá los ejercicios propuestos por el facilitador. Posteriormente se hará una co-evaluación apoyado en la rúbrica de evaluación correspondiente a la actividad. 3.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. 4.- El estudiante toma notas sobre el tema de antiderivda.

1.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 2.- Material didáctico anexo en planeación didáctica P. 34. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 3.- Examen 4.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida.

1.- Apuntes en libreta. 2.- Resultados de la tarea 1 y tarea 2. 3.- Resultados del examen 4.- Apuntes en libreta.

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una actitud

constructiva,

congruente con

los conocimientos

y habilidades con

los que cuenta

dentro de distintos

equipos de

trabajo.

5.- El docente le encarga al alumno la solución de ejercicios y problemas sobre Antiderivada. (2 sesiones) 6.- El docente aplica el examen correspondiente. (1 sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 7.- El docente proporciona el capítulo 3 del libro “El hombre que calculaba” 8.- El facilitador solicita la investigación de las fórmulas de integración inmediatas en la libreta de apuntes. 9.- Proporciona el cápitulo III del libro “El hombre que calculaba”. Coordina el análisis grupal de la misma. TERMINA EL PRIMER PARCIAL 1.- El docente proyecta algunos videos sobre el tema de cálculo integral. (1 sesión)

https://www.youtub

e.com/watch?v=6Px

5.- El alumno resolverá los ejercicios y problemas asignados. Posteriormente se hará una co-evaluación. 6.- El alumno resuelve examen correspondiente. El alumno recibirá la evaluación correspondiente al segundo parcial y elaborará las correcciones de la misma. 7.- Realiza la lectura proporcionada por el docente y colabora en el análisis grupal de la misma. Redacta retroalimentación en libreta 8.- Realiza la investigación de las fórmulas de integrales inmediatas en libreta de apuntes. 9.- Realiza la lectura, participa en el análisis grupal de la misma y escribe la retroalimentación. 1.- El alumno toma notas sobre el tema e investigará aplicaciones del tema integración.

5.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico anexo en planeación didáctica. P. 38. 6.- Examen NA Copias de la lectura. 8.- Portafolio de evidencias. 9.- Copias de la lectura. 1.- Links propuestos

5.-Resultados de la Tarea 3. 6.- Resultados del examen. Calificación final Retroalimentación escrita en libreta. 8.- Investigación en portafolio de evidencias. 9.- Retroalimentación escrita de la lectura. 1.- Investigación

10% 20% NA N/A 10% N/A N/A

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https://www.youtube.com/watch?v=6Px_CKZR8s0


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_CKZR8s0

https://www.youtub

e.com/watch?v=Tkh

F4Cyr5cc

2.- El docente realiza una exposición sobre Técnicas de integración: integrales inmediatas. (4 sesiones) 3.- El docente le pide al alumno que trabaje la solución de problemas que impliquen el trabajo con integrales inmediatas para su solución. (1 sesión) 4.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) 5.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: Técnicas de integración: integración por partes. (4 sesiones) 6.- El docente le pide al alumno que resuelva problemas y ejercicios sobre integración por partes. (1 sesión) 7.- El docente dirige el planteamiento y resolución de problemas por parte de los estudiantes en libreta de apuntes. (1 sesión)

2.- El alumno toma nota sobre el tema expuesto por el docente. 3.- El alumno resolverá los ejercicios propuestos y posteriormente se hará una co-evaluación. 4.- El alumno contesta el examen correspondiente a los temas anteriores. 5.- El alumno toma notas sobre el tema. 6.- El alumno resolverá los ejercicios proporcionados por el facilitador.. Posteriormente se hará una co-evaluación. 7.- Trabaja el planteamiento y resolución de problemas en libreta. Colabora en un intercambio de situaciones problema con 3 compañeros de grupo.

2.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 3.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico anexo a planeación didáctica. P. 43. 4.- Examen correspondiente 5.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico (Apuntes) 6.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. P.48. 7.- Portafolio de evidencias.

2.- Apuntes 3.-Ejercicios resueltos completos. 4.- Resultados del examen. 5.- Apuntes 6.- Problemas resueltos completos. 7.- Actividad terminada.

NA 10% 20% NA 10% 10%

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https://www.youtube.com/watch?v=TkhF4Cyr5cc



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8.- El docente aplica el examen correspondiente. (1 sesión) 9.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: Técnicas de integración: integración por sustitución. (6sesiones) 10.- El docente le pide al alumno que resuelva algunas integrales por el método de sustitución. (1 sesión) 11.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 12.- El docente implementa una ficha Construye-T “Si no te veo, No te escucho”., según las necesidades generales del grupo de trabajo. (1 sesión). 13.- El docente proporciona el capitulo 4 del libro “El hombre que calculaba”. TERMINA EL SEGUNDO PARCIAL 1.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: Técnicas de integración: integración

8.- El alumno contesta el examen correspondiente a los temas anteriores. 9.- El alumno toma notas sobre el tema. 10.- El alumno resolverá la tarea asignada por el profesor. Posteriormente se hará una co-evaluación. 11.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. El alumno recibirá la evaluación correspondiente al segundo parcial. 12. Colabora de manera verbal y escrita, según lo demande la actividad. 13.-Realiza la lectura y participa en el análisis verbal de la misma. Redacta conclusiones en libreta. 1.- El alumno toma notas sobre el tema.

8.- Examen correspondiente 9.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 10.- Material didáctico anexo a planeación didáctica. P. 51. Apuntes y/ o bibliografía sugerida. 11.- Examen NA 12.- Impresión de la ficha Construye-T 13.- Copias de la lectura. 1.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida.

8.- Resultados del examen. 9.- Apuntes 10.- Resultados de la tarea 3. 11.- Resultados del examen. Calificación final 1.- Actividad terminada. 13.- retroalimentación escrita en libreta. 1.-Apuntes completos.

20% NA 10% 20% NA NA N/A N/A

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por fracciones parciales. (2 sesiones) 2.- El docente le pide al alumno que resuelva ejercicios sobre Integración por fracciones parciales. (2 sesión) 3.- El docente realiza una exposición sobre los temas de Sumas de Riemann. (3 sesiones) 4.- El docente le pide al alumno que resuelva ejercicios y problemas sobre Suma de Riemman. (2 sesiones) 5.-Cordina el planteamiento y resolución de problemas por parte de los estudiantes. ( 1 sesión) 6.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) 7.- El docente muestra aplicaciones del cálculo integral. https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/solid_revolution_topic (1 sesión) 8.- El docente expone la solución a ejemplos y ejercicios que implican el trabajo con la Integral definida para su solución.

2.- El alumno resolverá los ejercicios propuestos por el docente. .Posteriormente se hará una co-evaluación. 3.- EL alumno toma notas sobre los temas expuestos por el docente. 4.- El alumno resolverá los ejercicios proporcionados por el facilitador. Posteriormente se hará una auto evaluación. 5.- De manera colaborativa trabaja el planteamiento y resolución de problemas. Colabora en un intercambio de situaciones problema con 3 compañeros de trabajo. 6.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. 7.- EL alumno toma notas sobre los temas expuestos por el docente. 8.- El alumno realiza anotaciones acerca de los ejemplos y sus soluciones.

2.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico anexo a la planeación. P. 55. 3.- Material de Apoyo. Diapositivas, Ejercicios de libro de Keep Reading. P. 90 y 91. 4.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. Material de apoyo del libro Keep Reading. P. 138. 5.- Portafolio de evidencias. 6.- Examen 7.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 8.- Ejercicios de apoyo del libro de Keep Reading. P. 140.

2.-Ejercicios resueltos completos. 3.- Apuntes 4.- Ejercicios resueltos completos. 5.- Actividad terminada. 6.- Resultados del examen. 7.- Apuntes 8.- Ejemplos completos

10% N/A 10% 10% 20% NA N/A

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(2 sesiones) 9.- El docente proporciona ejercicios sobre Integral definida, para que sean resueltos en parejas. 9.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) 10.- El docente trabaja en conjunto con el grupo El teorema fundamental del cálculo aplicado a ejercicios y problemas. ( 3 sesiones)

9.- El estudiante resuelve los ejercicios propuestos por el docente. 9.-El alumno contesta el

examen correspondiente al

tema.

10 .- De manera

colaborativa trabaja

ejercicios de aplicación del

Teorema fundamental del

Cálculo.

9.- Material de apoyo. 9.- Examen 10.- Libro de Keep Reading.. P. 141.

9.- Ejercicios resueltos completos. 9.- Resultados de examen 10.- Ejemplos y ejercicios completos.

10% 20% N/A

Fase III Cierre



Actividad/transversalidad


Ponderación Actividad que realiza

el docente (Enseñanza)

No. de sesiones


(Aprendizaje)



1.- el docente aplica el examen correspondiente. (1 Sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 2.- Trabaja la implementación de una ficha del proyecto Construye-T “Analizo, elijo y actúo”. apropiada al cierre de semestre. 3.- Proporciona el capítulo 7 del libro “El hombre que calculaba”. Coordina el análisis de la actividad.

1.- El estudiante contesta la evaluación escrita correspondiente al parcial. El alumno recibirá la evaluación correspondiente al tercer parcial. 2.- Colabora de manera verbal y escrita en la actividad seleccionada. 3.- Realiza la lectura y colabora en el análisis de la misma. Redacta retroalimentación en libreta.

1.- Examen NA 2.- Impresión de la ficha correspondiente. 3.- Libreta de apuntes.

1.- Resultados de examen. Calificación final 2.-Actividad terminada. 3.- Retroalimentación escrita.

20%% NA N/A N/A

Se cumplieron las actividades programadas:

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SI ( ) NO ( )

Registra los cambios realizados

“EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO D ELOS MISMOS EN ANEXO”

Elementos de Apoyo (Recursos)

Equipo de apoyo Bibliografía

Computadora, cañón, juego geométrico, calculadora. https://www.youtube.com/watch?v=6Px_CKZR8s0


Conamat. Matemáticas Simplificadas. México:PEARSON.

Steward, J. (2008). Cálculo de una variable.México: CENGAGE

Learning.

Sanchez Oscar (2016) Cálculo Integral. Bachillerato tecnológico.

México. Keep Reading.

Edwards y Penney. (1994). CÄLCULO con Geometría Analítica.México:

Prentice Hall.

Granville. (2010). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.

Ayres, F y Mendelson, E. (2001). CÁLCULO. Colombia: Mc Graw Hill. Evaluación

Criterios: Exámenes 60% Otras actividades 40%

Instrumento: Lista de cotejo, rúbrica, portafolio de evidencias, exposición, tareas y examen de conocimiento.

Porcentaje de aprobación a lograr: 70%

Fecha de validación: 9 de agosto de 2017

Fecha de Vo.Bo de Servicios Docentes: 7 de agosto de 2017.

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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL 1° PARCIAL

Nombre del estudiante: _______________________________ Grado y Grupo: _____________

PONDERACIÓN ACTIVIDAD

7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Ejercicios y problemas sobre Temas de contenidos de matemáticas previos al cálculo.

Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.

Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.

Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.

Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible

Ejercicios y problemas sobre aproximaciones.





Ejercicios y problemas sobre antiderivadas e integrales inmediatas sencillas.




Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible.

Fórmulas de integrales inmediatas.

Fórmulas completas. Letra legible y excelente ortografía.

Falta solo una o dos fórmulas. Letra legible y algunas faltas de ortografía.

Tiene solo la mitad de las fórmulas. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.

Tiene la mitad o menos de las fórmulas. Tienes errores ortográficos y letra poco legible

Actividad 7.6 – 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5% 0- 2.5 % Examen diagnóstico

Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.


Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

1° Examen rápido





Actividad 16 - 20 % 11 - 15% 6 - 10% 0 - 5%

2° Examen rápido





Examen parcial Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.




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TOTAL




7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Ejercicios y problemas sobre Integrales inmediatas.





Ejercicios y problemas sobre Integración por partes.





Planteamiento y resolución de problemas por parte de los estudiantes.





Ejercicios sobre integración por sustitción.





Actividad 16 - 20 % 11 - 15% 6 - 10% 0 - 5% 1° Examen rápido





2° Examen rápido









TOTAL

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7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Apuntes y ejemplos sobre Integración por fracciones parciales.

Apuntes y ejemplos completos. Se entrega en tiempo y forma. Los procesos de solución están ordenados. Letra legible y excelente ortografía.

Apuntes y ejemplos completos. Se entrega en tiempo y forma. Letra poco legible y algunas faltas de ortografía.

Apuntes y ejemplos incompletos (falta solo una pequeña parte del trabajo) con algunas faltas de ortografía.

Tiene menos de la mitad de los apuntes con letra poco legible y faltas de ortografía.

Ejercicios y problemas sobre Suma de Riemann.





Planteamiento y resolución de problemas.





Ejercicios y problemas sobre Integral definida.





Actividad 17 - 20 % 11 - 15% 6 - 10% 0 - 5% 1° Examen rápido





2° Examen rápido









TOTAL

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EJERCICIO DIAGNÓSTICO

QUINTO SEMESTRE ASIGNATURA O SUBMÓDULO FECHA:

SEMESTRE Y ESPECIALIDAD: ACIERTOS:

ALUMNO: (Apellido, Nombre)

CALIFICACIÓN:

1. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los

nueve puntos de la ilustración?

2. ¿Con cuánta rapidez puedes multiplicar estos números? y ¿cuál es el resultado?

256 x 3 x 45 x 3961 x 77 x 488 x 2809 x 0

3.- Completa la siguiente multiplicación :

4 □

X □ 3

□□□

□□

5□ 8

4.- Dada la siguiente fracción 24

56 , encontrar la fracción equivalente:

a) 3

7

b) 2

7

c) 2

3

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d) 1

3

5.- El resultado de la operación (2

3) (

9

5) (

5

4) 𝑒𝑠 ∶

a) 24

54

b) 2

3

c) 3

2

d) 108

50

6.-Si sustituimos ⃝ por 6 y Δ por 8, ¿cuánto vale ⃝ + ⃝ x Δ ? ……

a) 36

b) 48

c) 54

d) 96

7.- Un tinaco de 6,000 litros se puede llenar usando las llaves A, B o C. Trabajando solas, la llave A

lo llena en 5 horas, la llave B en 6 horas y la llave C en 30 horas. Si se ponen a trabajar juntas las

tres llaves, ¿qué cantidad de litros de agua habrá en el tinaco asadas 2 horas?

a) 2,000

b) 2,240

c) 2,400

d) 4,800

8.- Un panadero desea dividir una pieza de pan que mide 88 x 72 x 16 cm en cubos del mayor

tamaño posible sin desperdiciar pan. ¿Cuántos centímetros deben medir los lados de cada pieza?

a) 2

b) 4

c) 8

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d) 16

9.- Se necesita empacar latas de alimentos en cajas rectangulares; sus formas y medidas se

muestran en la siguiente figura:

Si se considera a π = 3.14 y 1 pulgada = 2.5 cm, ¿cuántas latas caben en cada caja si estas se

llenan a su máxima capacidad?

a) 20 a 30

b) 160 a 170

c) 480 a 490

d) 610 a 620

10.- Relaciona las columnas y escribe en los paréntesis el inciso que corresponda a cada definición

o expresión algebraica o trigonométrica. A terminar, comparte tus respuestas con el grupo

( ) Ecuación de una hipérbola a) Tangente

( ) ax2 + bx + c = 0 b) 𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1

( ) Si a ≠ b, entonces … c) Coseno

( ) 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶 d) a2 + b2 = c2

( ) Teorema de Pitágoras e) 𝑎 > 𝑏 o a< 𝑏

( ) Ecuación de una circunferencia con centro en el origen

f) Ecuación general

( ) Ecuación de una elipse g) ley de senos

( ) 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 h) x2 + y2 = r2

i) Máximo local

k) ley de cosenos

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11.- Deriva lo siguiente:

11.1) 𝑑

𝑑𝑚(𝑎 +

𝑥3

𝑏) =

11.2) 𝑑

𝑑𝛽√1 − 2𝛽3

=

11.3) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥8) =

11.4 )𝑑

𝑑𝑠( 𝑠3 − 9)7 =

11.5) y = 1- 3x

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CAPITULO VIII (El hombre que calculaba) Donde Beremiz diserta sobre las formas geométricas. De nuestro feliz encuentro con el jeque Salem Nassair y con sus amigos los criadores de ovejas. Beremiz resuelve el problema de las veintiuna vasijas y otro que causa el asombro de los mercaderes. Cómo se explica la desaparición de un dinar de una cuenta de treinta. Se mostró Beremiz satisfechísimo al recibir el bello presente del mercader sirio. —Está muy bien hecho, dijo dando la vuelta al turbante y mirándolo cuidadosamente por un lado y por otro. Tiene sin embargo un defecto, en mi opinión, que podría ser evitado fácilmente. Su forma no es rigurosamente geométrica. Lo miré sin poder esconder mi sorpresa. Aquel hombre, aquel original calculador, tenía la manía de transformar las cosas más vulgares hasta el punto de dar forma geométrica incluso a los turbantes de los musulmanes. —No se sorprenda, amigo mío, prosiguió el inteligente persa, de que quiera turbantes en formas geométricas. La Geometría está en todas partes. Fíjese en las formas regulares y perfectas que presentan muchos cuerpos. Las flores, las hojas e incontables animales revelan simetrías admirables que deslumbran nuestro espíritu. La Geometría, repito, existe en todas partes: en el disco solar, en las hojas, en el arco iris, en la mariposa, en el diamante, en la estrella de mar y hasta en un diminuto grano de arena. Hay, en fin, una infinita variedad de formas geométricas extendidas por la naturaleza. Un cuervo que vuela lentamente por el cielo, describe con la mancha negra de su cuerpo figuras admirables. La sangre que circula por las venas del camello no escapa tampoco a los rigurosos principios geométricos, ya que sus glóbulos presentan la singularidad —única entre los mamíferos— de tener forma elíptica; la piedra que se tira al chacal importuno dibuja en el aire una curva perfecta, denominada parábola; la abeja construye sus panales con la forma de prismas hexagonales y adopta esta forma geométrica, creo yo, para obtener su casa con la mayor economía posible de material. La Geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Es preciso, sin embargo, tener ojos para verla, inteligencia para comprenderla y alma para admirarla . El rudo beduino ve las formas geométricas, pero no las entiende; el sunita las entiende, pero no las admira; el artista, en fin, ve a la perfección las figuras, comprende la Belleza, y admira el Orden y la Armonía. Dios fue el Gran Geómetra. Geometrizó el Cielo y la Tierra. Existe en Persia una planta muy apreciada como alimento por los camellos y las ovejas, y cuya simiente… Y siempre discurriendo, con entusiasmo, sobre la multitud de bellezas que encierra la Geometría, fue Beremiz caminando por la extensa y polvorienta carretera que va del Zoco

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de los Mercaderes al Puente de la Victoria. Yo lo acompañaba en silencio, embebido en sus curiosas enseñanzas. Después de cruzar la Plaza Musaén, también llamada Refugio de los Camelleros, avistamos la bella Hostería de las Siete Penas, muy frecuentada en los días calurosos por los viajeros y beduinos llegados de Damasco y de Mosul. La parte mas pintoresca de esa Hostería de las Siete Penas era su patio interior, con buena sombra para los días de verano, y cuyas paredes estaban totalmente cubiertas de plantas de colores traídas de las montañas del Líbano. Allí se vivía en un ambiente de comodidad y de reposo. En un viejo cartel de madera, junto al que los beduinos amarraban sus camellos, se podía leer: “HOSTERIA DE LAS SIETE PENAS” —¡Siete Penas!, murmuró Beremiz observando el cartel. ¡Es curioso! ¿Conoces por casualidad al dueño de esta hostería? —Lo conozco muy bien, respondí. Es un viejo cordelero de Trípoli cuyo padre sirvió en las tropas del sultán Queruán. Le llaman “El Tripolitano”. Es bastante estimado, por su carácter sencillo y comunicativo. Es hombre honrado y acogedor. Dicen que fue al Sudán con una caravana de aventureros sirios y trajo de tierras africanas cinco esclavos negros que le sirven con increíble fidelidad. Al regresar del Sudán dejó su oficio de cordelero y montó esta hostería, siempre auxiliado por los cinco esclavos. —Con esclavos o sin esclavos, replicó Beremiz ese hombre, el Tripolitano, debe de ser bastante original. Puso en su hostería el número siete para formar el nombre, y el siete fue siempre, para todos los pueblos: musulmanes, cristianos, judíos, idólatras o paganos, un número sagrado, por ser la suma del número “tres” —que es divino— y el número “cuatro”— que simboliza el mundo material. Y de esa relación resultan numerosas vinculaciones entre elementos cuyo total es “siete”. Siete las puertas del infierno; Siete los días de la semana; Siete los sabios de Grecia; Siete los cielos que cubren el Mundo; Siete los planetas; Siete las maravillas del mundo. E iba a proseguir el elocuente calculador con sus extrañas observaciones sobre el número sagrado, cuando vimos a la puerta de la hostería, a nuestro buen amigo, el jeque Salem Nasair, que repetidamente nos llamaba con un gesto de la mano . —Muy feliz me siento por haberte hallado ahora. ¡Oh Calculador!, dijo risueño el jeque cuando nos acercamos a él. Tu llegada es providencial, no solo para mí, sino también para estos tres amigos que están aquí en la hostería. Y añadió, con simpatía y visible interés.

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—¡Pasad! ¡Venid conmigo, que el caso es muy difícil! Nos hizo seguirle por el interior de la hostería a través de un corredor sumido en la penumbra, húmedo, hasta que llegamos al patio interior, acogedor y claro. Había allí cinco o seis mesas redondas. Junto a una de estas mesas se hallaban tres viajeros. Los hombres, cuando el jeque y el Calculador se aproximaron a ellos, levantaron la cabeza e hicieron el salam. Uno de ellos parecía muy joven; era alto, delgado, de ojos claros y ostentaba un bellísimo turbante amarillo como la yema del huevo, con una barra blanca donde lanzaba destellos una esmeralda de rara belleza; los otros dos eran bajos, de anchas espaldas y tenían la piel oscura, como los beduinos de África. Se diferenciaban de los demás tanto por su aspecto como por sus vestidos. Estaban absortos en una discusión que a juzgar por los ademanes era enconada como ocurre cuando la solución al problema es difícil de hallar. El jeque dirigiéndose a los tres musulmanes, dijo: —¡Aquí tenemos al eximio Calculador! Luego señalando a éstos añadió: —¡Aquí están mis tres amigos! Son criadores de carneros y vienen de Damasco. Se les plantea ahora uno de los más curiosos problemas que haya visto en mi vida. Es el siguiente: Como pago de un pequeño de lote de carneros recibieron aquí en Bagdad, una partida de vino excelente, envasado en 21 vasijas iguales, de las cuales se hallan : 7 llenas 7 mediadas 7 vacías Quieren ahora repartirse estas 21 vasijas de modo que cada una de ellos reciba el mismo número de vasijas y la misma cantidad de vino. Repartir las vasijas es fácil. Cada uno se quedará con siete. La dificultad está, según entiendo, en repartir el vino sin abrir las vasijas; es decir, dejándolas exactamente como están. ¿Será posible, ¡oh Calculador!, hallar una solución satisfactoria a este problema? Beremiz, después de meditar en silencio durante dos o tres minutos, respondió: —El reparto de las 21 vasijas podrá hacerse, ¡oh jeque! sin grandes cálculos. Voy a indicarle la solución que me parece más sencilla. Al primer socio le corresponderán: 2 vasijas llenas; 1 mediada 3 vacías. Recibirá así un total de 7 vasijas. Al segundo socio le corresponderán: 2 vasijas llenas; 3 mediadas; 2 vacías.

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Recibirá así también siete vasijas. La parte que corresponderá al tercero será igual a la del segundo, esto es: 2 vasijas llenas; 3 mediadas; 2 vacías. Según la división que acabo de indicar cada socio recibirá 7 vasijas e igual cantidad de vino. En efecto: Llamemos 2 —dos— a la porción de vino de una vasija llena, y 1 a la porción de vino de la vasija mediada. El primer socio recibirá, de acuerdo con la división: 2 + 2 + 2 + 1 y esa suma es igual a siete unidades de vino. Cada uno de los otros dos socios recibirán: 2 + 2 + 1 + 1 + 1 y esa suma es también igual a 7 unidades de vino. Esto viene a robar que la división que he sugerido es cierta y justa. El problema, que en apariencia es complicado, no ofrece la mayor dificultad en cuanto a su resolución numérica. La solución presentada por Beremiz fue recibida con mucho agrado, no solo por el jeque, sino también por sus amigos damacenos.

Exposición gráfica de la resolución del Problema de las Veintiuna Vasijas. La primera hilera está constituida por las siete vasijas llenas, la segunda por las siete vasijas medianas y la

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tercera por las siete vasijas vacías. La partición propuesta deberá efectuarse siguiendo las líneas punteadas. —¡Por Allah!, exclamó el joven de la esmeralda. ¡Ese calculador es prodigioso! Resolvió en un momento un problema que nos parecía dificilísimo. Y volviéndose al dueño de la hostería, preguntó en tono muy amistoso: —Oye, Tripolitano. ¿Cuánto hemos gastado aquí, en esta mesa? Respondió el interpelado: —El gasto total, con la comida, fue de treinta dinares. El jeque Nasair deseaba pagar él solo la cuenta, pero los damacenos se negaron a que lo hiciera, entablándose una pequeña discusión, un cambio de gentilezas, en el que todos hablaban y protestaban al mismo tiempo. Al final se decidió que el jeque Nasair, que había sido invitado a la reunión, no contribuiría al gasto. Y cada uno de los damascenos pagó diez dinares. La cuenta total de 30 dinares fue entregada a un esclavo sudanés y llevada al Tripolitano. Al cabo de un momento volvió el esclavo y dijo: —El patrón me ha dicho que se equivocó. El gasto asciende a 25 dinares. Me ha dicho, pues, que les devuelva estos cinco. —Ese Tripolitano, observó Nasair, es honrado, muy honrado. Y tomando las cinco monedas que habían sido devueltas, dio una a cada uno de los damascenos y así de las cinco monedas sobraron dos. Después de consultar con una mirada a los damascenos, el jeque las entregó como propina al esclavo sudanés que había servido el almuerzo. En este momento el joven de la esmeralda se levantó, y dirigiéndose muy serio a los amigos, habló así: —Con este asunto del pago de los treinta dinares de gasto nos hemos armado un lío mayúsculo. —¿Un lío? No hay ningún lío, se asombró el jeque. No veo por dónde… —Sí, confirmó el damasceno. Un lío muy serio y un problema que parece absurdo. Desapareció un dinar. Fíjense. Cada uno de nosotros pagó en realidad solo 9 dinares. Somos tres: en consecuencia el pago total fue de 27 dinares. Sumando esos 27 dinares a los dos de la propina que el jeque ha dado al esclavo sudanés, tenemos 29 dinares. De los 30 que le fueron dados al Tripolitano, solo aparecen, 29. ¿Dónde está, pues, el otro dinar? ¿Cómo desapareció? ¿Qué misterio es éste? El jeque Nasair, al oír aquella observación, reflexionó: —Es verdad, damasceno. A mi ver, tu raciocinio es cierto. Tienes razón. Si cada uno de los amigos pagó 9 dinares, hubo un total de 27 dinares; con los 2 dinares dados al esclavo, resulta un total de 29 dinares. Para 30 —total del pago inicial— falta uno. ¿Cómo explicar este misterio?

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En este momento, Beremiz, que se mantenía en silencio, intervino en el debate y dijo dirigiéndose al jeque: —Está equivocado, jeque. La cuenta no se debe hacer de ese modo. De los treinta dinares pagados al Tripolitano por la comida, tenemos: 25 para el Tripolitano 2 devueltos 2 propina al esclavo sudanés. No desapareció nada y no puede haber el menor lío en una cuenta tan sencilla. En otras palabras: De los 27 dinares pagados —9 veces 3—, 25 quedaron con el Tripolitano y 2 fueron la propina del sudanés. Los damascenos al oír la explicación de Beremiz, prorrumpieron en estrepitosas carcajadas. —¡Por los méritos del Profeta!, exclamó el que parecía más viejo. Este Calculador acabó con el misterio del dinar desaparecido y salvó el prestigio de esta vieja hostería… ¡allah!

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Anexo. Banco de reactivos

Reactivos de derivadas

Deriva correctamente cada una de las siguientes funciones primitivas.

1. 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝜋)𝑥2

2. 𝑦 = 2√𝑥

3. 𝑦 =√𝑥

3

3

4. 𝑦 = 𝑥5 − 5𝑥

5. 𝑦 = 7𝑥 − 𝑥7 −7

𝑥+

𝑥

7

6. 𝑦 = √𝑥2 − 1

7. 𝑦 =6𝑥2−1

12+11𝑥3

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Reactivos Diferenciales La diferencial de la función es el numerador de la función de a derivada según Leibniz, por lo que

se deduce que la diferencial que obtendremos consistirá generalmente en despejar dy de la

derivada de la función primitiva.

Diferencial de la función: Dada una función primitiva determinada, y luego al derivarla usando la

notación de Leibniz, el numerador de esta expresión es conocida como la diferencial.

𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓´(𝑥) → 𝑑𝒚 = [𝒇´(𝒙)]𝒅𝒙 = 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍

Entonces, la diferenciales el producto de la derivada por el “dx”. Este último va a depender

respecto de la literal con la que se deriva la función primitiva.

Ejemplos:

Dadas las siguientes funciones primitivas, observa cómo se determina el diferencial de su función

a partir de su derivada:

1. 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) → 𝑑𝑦 = [3 𝐶𝑜𝑠(3𝑥)]𝑑𝑥

2. 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 5 → 𝑑𝑦 = [2𝑥 − 5]𝑑𝑥

Actividad

Comprueba que la expresión localizada a la derecha de cada función primitiva es la diferencial

correspondiente de cada función dada:

1. 𝑦 = 𝑥5 − 𝑒5𝑥 𝑑𝑦 = [5𝑥4 − 5𝑒5𝑥]𝑑𝑥

2. 𝑦 =𝑎

𝑥+

𝑥

𝑎 𝑑𝑦 = [

1

𝑎−

𝑎

𝑥2] 𝑑𝑥 = [1

𝑥−

𝑥

𝑎2] 𝑑𝑎

3. 𝑦 = √𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 = [𝑎 𝑑𝑥

2√𝑎𝑥+𝑏] = [

𝑥 𝑑𝑎

2√𝑎𝑥+𝑏] = [

𝑑𝑏

2√𝑎𝑥+𝑏]

4. 𝑦 = √1 − 4𝑥 𝑑𝑦 =2 𝑑𝑥

√1−4𝑥

5. 𝑦 = 𝑥√𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑦 =(𝑎2−2𝑥2)𝑑𝑥

√𝑎2−𝑥2=

𝑎𝑥 𝑑𝑎

√𝑎2−𝑥2

6. 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥𝑦2 + 2𝑦3 − 10 𝑑𝑦 =3𝑥2+6𝑦2

1−12𝑥𝑦−6𝑦2 𝑑𝑥

7. 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑒−2−𝑦 𝑑𝑦 = √𝑦 𝑑𝑥

√𝑥(2√𝑦−1)

8. 𝑦 = √𝑥 + √𝑦 + √𝑎 𝑑𝑦 = √𝑦 𝑑𝑥

√𝑥(2√𝑦−1)

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9. 𝑦 =1−𝑥

𝑥2 𝑑𝑦 =(𝑥−2)𝑑𝑥

𝑥3

10. 𝑦 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(1 − 𝑥) 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

𝑥2−2𝑥+2

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Reactivos Aproximaciones de raíces inexactas La raíz de ciertos números son exactas tales como: √1, √4, √9, √16, √25 … pero tenemos

cantidades próximas a estos números que no nos dan resultados exactos, y si se usara calculadora,

la respuesta sería un número decimal. Los diferenciales nos dan una aproximación a ciertos

resultados de raíces de números próximos a aquellos que sí tienen una raíz exacta, y esta

aproximación es más exacta cada vez que las diferencias sean más pequeñas.

El valor de √9 sin la ayuda de la calculadora, sabemos que es: ±3, aunque su solución principal es

solamente 3, pero calcular la solución principal de √9.01 sin calculadora ya es más complicado,

por lo que aprenderemos a resolverlo con la ayuda de los diferenciales.

Para cualquier radical se tiene que: 𝑦 = √𝑥𝑛

→ 𝑦 = 𝑥1

𝑛, y dependiendo del valor de “n será el

valor del diferencial en cada caso:

Radical Forma exponencial Derivada Diferencial

𝒚 = √𝒙 𝑦 = 𝑥1

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥−

1

2 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

2√𝑥

𝒚 = √𝒙𝟑 𝑦 = 𝑥1

3 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥−

2


3√𝑥2

𝒚 = √𝒙𝟒 𝑦 = 𝑥1

4 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

4𝑥−

3


4√𝑥34

𝒚 = √𝒙𝒏 𝑦 = 𝑥1

𝑛 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑛𝑥1−

1

𝑛 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

𝑛 √𝑥𝑛−1𝑛

Para cualquier aproximación de raíces no exactas por medio de diferenciales utilizaremos la

siguiente expresión: √𝑥 + 𝑑𝑥𝑛

= 𝑦 + 𝑑𝑦

Donde:

𝑥 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 𝑚á𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑙 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜.

𝑦 = 𝐿𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

𝑑𝑥 = 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑟𝑎í𝑧 𝑦 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

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𝑑𝑦 = 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎.

Número con raíz exacta: Es aquel número que al calcular su raíz enésima se obtiene como solución

principal un número entero. Tales como: √25 = 5, √273

= 3, √164

= 2, √−2435

= −3, √16

= 1.

Para nuestro propósito, el número dentro del radical lo llamamos x, y a su solución entera la

llamaremos y.

dx: Es la diferencia entre el número con raíz exacta más próximo al número al cual se le pretende

aproximar su raíz. Así, si se quiere calcular: √25.001, tendremos que el número con raíz exacta

más próximo será: √25. Para este caso en particular tendremos entonces:

dx: 25.001 − 25 = 0.001 =1

1000. El diferencial dy, lo obtendremos al sustituir todos los

anteriores en la expresión que se obtiene de la derivada de la función.

Ejemplo

Observa paso a paso cómo se aproximan las siguientes raíces, usando los diferenciales de cada

función dada:

√9.01 =?

Se usará la expresión: √𝑥 + 𝑑𝑥𝑛

= 𝑦 + 𝑑𝑦. El número con raíz exacta más próximo es √9. Por lo

que: 𝑥 = 9 y 𝑦 = 3. El cálculo del 𝑑𝑥 es a partir de 𝑥 + 𝑑𝑥 = 9.01. Despejando, se tiene: 𝑑𝑥 =

9.01 − 𝑥, pero como ya se conoce que: 𝑥 = 9. Entonces 𝑑𝑥 = 9.01 − 9 = 0.01 =1

100. Para

calcular el dy necesitamos definir la función que estamos aproximando, y para nuestro caso

particular se trata de: 𝑦 = √𝑥 (nótese que es una raíz cuadrada). Ahora, derivaremos para

determinar el diferencial buscando, que sería: 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

2√𝑥. Sustituyendo quedaría: 𝑑𝑦 =

1

100

2√9=

1

600.

Sólo faltaría sustituir en la primera expresión dada:

√𝑥 + 𝑑𝑥𝑛

= 𝑦 + 𝑑𝑦 → √9.01 = 3 +1

600.

Por último, se concluye que: √9.001 =1801

600≈ 3.0017.

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Actividad

Demuestra, usando diferenciales, que el valor la derecha de cada raíz dada, es la aproximación

correcta:

1. √4.001 = 2499

1000

2. √27.033

= 2701

900

3. √36.011 = 72011

12000

4. √124.983

= 18749

3750

5. √256.0054

= 204801

51200

6. √31.9995

= 159999

80000

7. √−26.993

= −8099

2700

8. √1

27.01

3=

2700

8101

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Reactivos antiderivadas

Ya vimos como una función primitiva es derivada para obtener su respectivo diferencial. En la

última expresión, mediante la cual se obtiene la diferencial, se le puede aplicar una formula

especial para obtener nuevamente la función primitiva con la que se inició el proceso. Debido a

que la derivada obtenida es transformada en su función primitiva inicial, a esta operación

matemática se le conoce comoantiderivaday se expresa con el símbolo ∫.

Las siguientes tres fórmulas nos proporcionarán las antiderivadas más comunes con las que se va a

trabajar en este curso. Obsérvese como en cada solución se proporciona una C, la cual es conocida

como constante indefinida, pues no es conocida, y la solución de cada antiderivada representa una

familia de funciones primitivas, las cuales tienen una misma derivada.

∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶

∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1)

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = −1 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑟á: ∫ 𝑢−1𝑑𝑢 = 𝐿𝑛(𝑢) + 𝐶

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐿𝑛(𝑢) → 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 "u".

Antiderivada: Es el proceso contrario a derivar, es decir, la expresión que representa a la derivada

es transformada a su función primitiva de donde proviene.

Ejemplos:

Dada una derivada paso a paso cómo se determina la antiderivada y cómo queda al final la función

primitiva.

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3 → 𝑑𝑦 = 𝑥3𝑑𝑥 → ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥3𝑑𝑥 → 𝑦 =

𝑥3+1

3+1+ 𝐶 =

1

4𝑥4 + 𝐶

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𝐷𝑖𝑟𝑒𝑣𝑖𝑑𝑎 → 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 → 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 → 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝑥−1𝑑𝑥 → ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑣𝑖𝑑𝑎 → 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 → 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 → 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

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Actividad

Demuestra que la expresión de la derecha de cada derivada dada es su función primitiva.

1. 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒙𝟏𝟐𝟐 𝒚 =

𝟏

𝟏𝟐𝟑𝒙𝟏𝟐𝟑 + 𝑪

2. 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟔𝒙𝟓 𝒚 = 𝒙𝟔 + 𝑪

3. 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝟐

𝟑𝒙𝟑 𝒚 =

𝟏

𝟔𝒙𝟒 + 𝑪

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Autoevaluación

Escribe a la derecha de cada enunciado y dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta en

cada caso.

1. Es el producto de la derivada por “dx”

a) Función primitiva b) Antiderivada c) Derivada d) Diferencial

( )

2. Es la operación que se le practica a la función primitiva para obtener una expresión matemática nueva.


( )

3. Es la operación que se le practica a la derivada para obtener una expresión matemática.


( )

4. Es el resultado que se obtiene al aplicar la antiderivada.


( )

5. El diferencial de 𝐴 = 𝜋𝑟2 es igual a:

a) 𝑑𝐴 = 𝜋𝑟2𝑥

b) 𝑑𝐴 = 𝜋𝑟2𝑑𝑟 c) 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟 d) 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟𝑑𝑥

( )

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6. El diferencial de: 𝑦 =𝐴𝑥2

2 es

igual:

a) 𝑑𝑦 = 𝐴𝑥𝑑𝑥

b) 𝑑𝑦 =𝑥2𝑑𝑥

2

c) 𝑑𝑦 = 𝐴𝑥2𝑑𝑥 d) 𝑑𝑦 = 𝐴𝑥𝑑𝐴

( )

7. La aproximación con

diferenciales de: √−8.0013

es:

a) −1

12000

b) −23999

12000

c) −24001

12000

d) −2.00008

( )

8. La aproximación con

diferenciales de: √80.9994

𝑒𝑠:

a) 323999

108000

b) 324001

108000

c) 35999

12000

d) 36001

12000

( )

9. La antiderivada de: 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

4

√𝑥3

es:

a) 12√𝑥23+ 𝐶

b) 6√𝑥23+ 𝐶

c) 8

3√𝑥23

+ 𝐶

d) 3√𝑥43+ 𝐶

( )

10. La antiderivada de 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

4𝑦

√𝑥3 es:

1. 24𝑦 √𝑥3

+ 𝐶

2. 6

√𝑥3 𝑦 + 𝐶

3. 2

√𝑥3 𝑦2 + 𝐶

4. 2𝑦2 √𝑥3

+ 𝐶

( )

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Reactivos Métodos de integración

Evaluación diagnóstica

Dada cada derivada, determina correctamente su función primitiva.

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 3𝑥2

2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2

√𝑥4

3. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 7𝑥 − 𝑥7

4. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

4𝑥+8

2

5. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥2

2+

2

𝑥2

6. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦2

𝑥3

7. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

5𝑥

𝑥6

8. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥+5

𝑥2+2𝑥−3

9. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑒𝑥

10. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥2√5−𝑥2

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Reactivos Integrales inmediatas

Las integrales inmediatas con todas las antiderivadas que como característica fundamental todas

tienen una constante indefinida en su solución, y esta es la razón por la cual se llama a esta

operación matemática integral indefinida.

∫ 𝑦′𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

La expresión 𝐹(𝑥) + 𝐶 es realmente una familia de funciones primitivas, donde todas y cada una

de ellas tienen la misma derivada.

Para poder integrar las diversas funciones contamos con un conjunto de fórmulas, y el uso de

estas fórmulas nos proporciona lo que conocemos como: Integración inmediata, puesto solamente

sustituye la variable principal de la fórmula correspondiente, pero siempre se deberá de

determinar el diferencial de cada función e integrarse, y solo hasta que el diferencial de la variable

principal 𝑑𝑢 esté completo se podrá integrar la función𝑓(𝑢).

𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶

Se debe recordar que antes de integrar correctamente, el diferencial 𝑑𝑢 nos señala cuál es la

variable principal, sobre la cual se integra la función.

La u del problema es la primer pregunta que nos haremos siempre al resolver una integral, porque

definiendo la u del problema, procederemos a resolver conforme a esa referencia. Las integrales

inmediatas que resolveremos serán las que corresponden a las dos fórmulas ya vistas.

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TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Algebraicas y trigonométricas

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶

∫ sec 𝑥 tan 𝑥𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 ∫ csc 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Algebraicas y trigonométricas

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 ∫ cos 𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑡𝑔 𝑢 + 𝐶

∫ sec 𝑢 tan 𝑢𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 ∫ csc 𝑢 𝑐𝑡𝑔 𝑢𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶

El procedimiento general para resolver una integral es el siguiente:

1. Identificar la u del problema

2. Determinar el diferencial de du requerido para poder integrar

3. Comparar el diferencial requerido del paso anterior, con el diferencial

que proporciona el integrador del problema que se está resolviendo,

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y complementarlo, si así se requiere, por medio de la asignación de

una constante y/o signo.

4. Hacer que cada parte de la fórmula que se utiliza tenga su respectivo

valor en el problema a resolver para integrar conforme a la fórmula

correspondiente.

Ejemplos:

Observa cómo se determina la integral en cada caso, identificando la u el diferencial du, para

completarlo cuando así sea necesario.

1. ∫(7𝑥 − 3)3𝑑𝑥 → 𝐿𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠 ∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

Por analogía tenemos que: 𝑢 = 7𝑥 − 3 ∴ 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟á: 𝑑𝑢 = 7 𝑑𝑥.

Entonces, para poder integrar el diferencial original deberá completarse multiplicando el

integrador por: 7

7→ ∫(7𝑥 − 3)3 [

7

7] 𝑑𝑥 =

1

7∫(7𝑥 − 3)3 7 𝑑𝑥

Resolviendo conforme a la fórmula tendremos:

1

7∫(7𝑥 − 3)3 7 𝑑𝑥 =

1

7[(7𝑥 − 3)4

4] + 𝐶 =

1

28(7𝑥 − 3)4 + 𝐶

2. ∫𝑑𝑥

3−7𝑥 → 𝐿𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠: ∫ 𝑢−1𝑑𝑢 = 𝐿𝑛(𝑢) + 𝐶

Por analogía tenemos que: 𝑢 = 3 − 7𝑥 ∴ 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟á: 𝑑𝑢 = −7 𝑑𝑥. Entonces

para poder integrar el diferencial original deberá completarse multiplicando el integrador por:

−7

−7 → ∫

𝑑𝑥

3 − 7𝑥[−7

−7] =

1

−7∫

𝑑𝑥

3 − 7𝑥(−7)

Resolviendo conforme a la formula tendremos:

1

−7∫

𝑑𝑥

3 − 7𝑥 7 =

1

−7[𝐿𝑛(3 − 7𝑥)] + 𝐶 = −

1

7𝐿𝑛(3 − 7𝑥) + 𝐶 = 𝐶 − 𝐿𝑛√3 − 7𝑥

7

𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 5 → 𝑑𝑦 = [2𝑥 − 5]𝑑𝑥

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Actividad

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrastas con modelos establecidos o situaciones reales.

Ejercicios

Comprueba que la expresión de la derecha de cada integral es la respuesta correcta en cada uno

de los problemas siguientes:

1. ∫ 6𝑥2(2𝑥3 + 4)3𝑑𝑥

1

4(2𝑥3 + 4)4 + 𝐶

2. ∫𝑥 𝑑𝑥

𝑥2−10= 𝐿𝑛√𝑥2 − 10 + 𝐶

3. ∫𝑥3𝑑𝑥

2−𝑥4 = 𝐶 − 𝐿𝑛 √2 − 𝑥44

4. ∫(2𝑥 + 3)(3𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑥 = 1

8(3𝑥 + 𝑥2)8 + 𝐶

5. ∫ 𝑆𝑒𝑛(1 − 12𝑥)𝑑𝑥 1

12𝐶𝑜𝑠(1 − 12𝑥) + 𝐶

6. ∫ 𝑥 𝐶𝑜𝑠 (𝑥2)𝑑𝑥 = 1

2𝑆𝑒𝑛(𝑥2) + 𝐶

7. ∫ 𝑇𝑎𝑛 (8𝑥 + 22)𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 √𝐶𝑜𝑠 (8𝑥 + 22) + 𝐶8

8. ∫ 𝑥4 𝐶𝑜𝑡(3 − 5𝑥5)𝑑𝑥 = 𝐶 − 𝐿𝑛 √𝑆𝑒𝑛(3 − 5𝑥5)25

9. ∫ 𝑥 𝐶𝑠𝑐 (𝐴 − 2𝑥2)𝑑𝑥 =

10.

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Reactivos Integración por partes

Las integrales que se resolverán por el método de integración por partes con aquellas que no se

pueden integrar de manera inmediata, y generalmente su integrando está formado por dos

funciones, donde una no es el diferencial de la otra.

Podemos tener integrandos mezclados con funciones algebraicas, trigonométricas directas,

inversas trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. La fórmula que se utilizará en la

integración por partes es:

∫(𝑢)𝑑𝑣 = (𝑢)(𝑣) − ∫(𝑣) 𝑑𝑢

Como el integrando estará compuesto, tendremos algunas alternativas para seleccionar la u de

cada integral por resolver. Para definir correctamente la u en cada integrando debemos utilizar

una sencilla regla, LIATE. Esta regla nos dice la función prioritaria que debe ser considerada como

la w en cada integral por resolver por este método de integración.

L Función Logarítmica |𝑦 = 𝐿𝑜𝑔(𝑥), 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥)|

I Función Inversa Trigonométrica |𝑦 = 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(𝑥), 𝑦 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑥)|

A Función Algebraica |𝑦 = √3𝑥 − 7, 𝑦 = (𝑥3 − 5𝑥)|

T Función Trigonométrica directa |𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(√3𝑥, 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(5𝑥)|

E Función Exponencial |𝑦 = 𝑒4𝑥, 𝑦 = 12𝑆𝑒𝑛(𝑥)|

Entonces cuando el integrando de una integral que se debe resolver por partes tenga una función

logarítmica, esta debe ser la u a elegirse. Si e integrando al que nos referimos no tiene ninguna

función logarítmica, pero si tiene una función inversa trigonométrica, elijase como la u. Si el

integrando al que nos referimos no tiene ninguna función logarítmica ni inversa trigonométrica,

pero si tiene un función algebraica, entonces esta función será la u. Si el integrando al que nos

referimos no tiene ninguna función logarítmica ni inversa trigonométrica ni algebraica, pero si

tiene una función trigonométrica directa, entonces esta función será la u. Si el integrando al que

nos referimos, no tiene ninguna función logarítmica inversa trigonométrica ni algebraica ni

trigonométrica directa, pero si tiene una función exponencial, entonces esta función será la u.

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En cualquiera de los casos anteriores, al desarrollarse la integral por este método, el integrando

secundario deberá ser más fácil de resolver que el integrando inicial.

Al resolver una integral por partes debemos de considerar el siguiente procedimiento sugerido:

1. Definir la u del integrando con LIATE. El resto del integrando será dv.

2. Deducir el du, a partir de la u, y la v, a partir de dv.

3. Sustituir todos los elementos en la fórmula:

∫(𝑢)𝑑𝑣 = (𝑢)(𝑣) − ∫(𝑣)𝑑𝑢

4. Integrar nuevamente: ∫(𝑣)𝑑𝑢

5. Reducir y expresar tu respuesta.

Integrar por partes: Este método consiste básicamente en desglosar integrales compuestas hasta

por dos funciones diferentes (u y v) entre sí, con: ∫(𝑢)𝑑𝑣 = (𝑢)(𝑣) − ∫(𝑣)𝑑𝑢.

Se debe tener especial cuidado que al resolver el integrando secundario: ∫(𝑣)𝑑𝑢sea más fácil de

integrar que el integrando inicial: ∫(𝑢)𝑑𝑣.

Ejemplos:

En éste primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u

∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

u = x du = 1

dv = cos x v = sen x

∫ 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪

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Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el

proceso n veces

∫ 𝑥3 𝑒𝑥 𝑑𝑥

u=x3 du= 3x2

dv =ex v=ex

∫ 𝑥3 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − 3 ∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥

u= x2 du = 2x

dv ex v= ex

∫ 𝑥3𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − 3 (𝑥2𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥3𝑒𝑥 − 3𝑥2𝑒𝑥 + 6 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥

u= x du=1

dv= ex v= ee

𝑥3𝑒𝑥 − 3𝑥2𝑒𝑥 + 6 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − 3𝑥2𝑒𝑥 + 6 (𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥) =

𝑥 3𝑒𝑥 − 3𝑥2𝑒𝑥 + 6𝑥𝑒𝑥 − 6𝑒𝑥 + 𝐶 = 𝒆𝒙(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔) + 𝑪

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Ejercicios

Resuelve correctamente cada una de las siguientes integrales por el método de integración por

partes.

∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑥2 cos 𝑥𝑑𝑥

∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥

∫ √𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥

∫ 𝑒𝑥 (𝑥2 − 2𝑥 − 1)𝑑𝑥

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Integración por sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

∫ 𝒇´(𝒖) ∙ 𝒖´𝒅𝒙 = 𝑭(𝒖) + 𝑪

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por sustitución

∫ 𝑓´(𝑢) ∙ 𝑢´𝑑𝑥

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

𝑡 = 𝑢

𝑑𝑡 = 𝑢´𝑑𝑥

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

∫ 𝑓´(𝑡) ∙ 𝑢´𝑑𝑡

𝑢´= ∫ 𝑓´(𝑡) 𝑑𝑡

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

∫ 𝑓´(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) + 𝐶

3º Se vuelve a la variable inicial:

𝑓(𝑡) + 𝐶 = 𝑓(𝑢) + 𝐶

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Ejemplos

∫(𝑥 − 3)6 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 − 3

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

∫(𝑥 − 3)6 𝑑𝑥 =∫ 𝑢6 𝑑𝑢 =𝑢7

7+ 𝐶 =

1

7𝑢7 + 𝐶 =

𝟏

𝟕(𝒙 − 𝟑)𝟕 + 𝑪

∫ √7𝑥 + 2 𝑑𝑥

𝑢 = 7𝑥 + 2

𝑑𝑢 = 7 𝑑𝑥

𝑑𝑢

7= 𝑑𝑥

∫ √7𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢

7=

1

7∫ √𝑢 𝑑𝑢 =

1

7∫ 𝑢

1

2 𝑑𝑢 =1

7∙

𝑢3

2

3

2

+ 𝐶 = 1

7∙

2

3𝑢

3

2 + 𝐶 =

2

21𝑢

3

2 + 𝐶 =2

21(7𝑥 + 2)

3

2 + 𝐶=𝟐

𝟐𝟏√(𝟕𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪

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Ejercicios

Usa la sustitución para calcular las integrales indicadas.

∫ √5𝑥 + 4 𝑑𝑥

∫(𝑥 + 8)3 𝑑𝑥

∫1

5𝑥 − 2 𝑑𝑥

∫ 𝑥3 (𝑥2 + 1)8𝑑𝑥

∫ 𝑥3 √𝑥4 + 3𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥)𝑑𝑥

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Reactivos Integración por fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma∫𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)𝑑𝑥 donde:

P(x) y Q(x) son polinómios El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

Casos en los que se presentan técnicas de integración de fracciones parciales.

Caso 1. El denominador se descompone en factores lineales distintos. 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝐴1

𝑎1𝑥+𝑏1+

𝐴2

𝑎2𝑥+𝑏2+ ⋯ +

𝐴𝑛

𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛

Ejemplo

∫5𝑥 + 3

𝑥2 − 9 𝑑𝑥

El denominador 𝑥2 − 9 se puede descomponer en factores lineales distintos(𝑥 + 3)(𝑥 − 3). Por

lo tanto:

5𝑥 + 3

𝑥2 − 9=

𝐴

(𝑥 + 3)+

𝐵

(𝑥 − 3)

Enseguida tratemos de determinar el valor de A y B. esto es posible si multiplicamos la fracción

por 𝑥2 − 9.

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5𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 + 3)

La expresión anterior corresponde a una identidad; luego pensemos precisamente en valores para

x que nos permitan conocer lo de A y B; por ejemplo, x=3 y x=-3.

Si x=3, tenemos que 5(3) + 3 = A(3+3) + B(3-3), luego resolvemos y,

𝐵 =18

6= 3

Si x= -3, luego tenemos que 5(-3) + 3 = A(-3-3) +B(-3+3), entonces resolvemos y,

𝐴 =−12

−6= 2

Finalmente,

∫5𝑥 + 3

𝑥2 − 9= ∫

2

(𝑥 + 3)𝑑𝑥 + ∫

3

(𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 𝟐𝒍𝒏(𝒙 + 𝟑) + 𝟑𝒍𝒏(𝒙 − 𝟑) + 𝑪

Ejercicios

Resuelve correctamente las siguientes integrales

∫1

𝑥2 + 𝑥 − 2𝑑𝑥

∫𝑥 − 5

𝑥2 − 1𝑑𝑥

∫𝑥 + 1

𝑥2 − 𝑥 − 6𝑑𝑥

∫𝑑𝑥

𝑥2 − 3𝑥 + 2

∫𝑥 − 9

(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)𝑑𝑥

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Caso 2. El denominador tiene un factor lineal repetido.

Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la

factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple𝐴1

𝑎1𝑥+𝑏1 en (1), se usaría

𝐴1

𝑎1𝑥+𝑏1+

𝐴2

(𝑎2𝑥+𝑏2)2 + ⋯ +𝐴𝑟

(𝑎1𝑥+𝑏1)𝑟 (2)

Ejemplo

∫𝑥

(𝑥 − 3)2𝑑𝑥

La fracción 𝑥

(𝑥−3)2 toma ahora la forma:

𝑥

𝑥 − 32=

𝐴

𝑥 − 3+

𝐵

(𝑥 − 3)2

Enseguida trataremos de determinar el valor de A y B. Es evidente que si multiplicamos la fracción por (𝑥 − 3)2 lo que tenemos es:

X= A(x-3) +B

La expresión anterior es una identidad; luego pensemos precisamente en valores para x que nos permitan conocer los de A y B, por ejemplo, x=3 y x=0.

Si x=3, tenemos que 3=A(3-3)+B, luego resolvemos y B=3

Si x=0, tenemos que 0=A(0-3) +3, luego resolvemos y A=−3

−3=1

Por lo tanto,

∫𝑥

(𝑥 − 3)2𝑑𝑥 = ∫

1

(𝑥 − 3)𝑑𝑥 +

3

(𝑥 − 3)2𝑑𝑥 = ∫

1

(𝑥 − 3)𝑑𝑥 + 3 ∫(𝑥 − 3)−2 𝑑𝑥 =

𝒍𝒏(𝒙 − 𝟑) −𝟑

𝒙 − 𝟑+ 𝑪

Caso 3. Factores cuadráticos distintos que no se pueden factorizar.

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Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac< 0 (esto nos dice que no se puede

expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la

cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión

para𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) tendrá un término de la forma

𝐴𝑥+𝐵

𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.

Ejemplo

∫6𝑥2 − 3𝑥 + 1

(4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)𝑑𝑥

Descomponemos la fracción del integrando de la siguiente manera,

6𝑥2 − 3𝑥 + 1

(4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)=

𝐴

(4𝑥 + 1)+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 1

Multiplicando la igualdad por (4x+1)(𝑥2 + 1)

6𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(4𝑥 + 1)

Las sustitución de x=−1

4, x=0 y x=1 da como resultado A=2, B=1 y C=-1. En consecuencia,

∫6𝑥2 − 3𝑥 + 1

(4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)= ∫

2

4𝑥 + 1𝑑𝑥 + ∫

𝑥 − 1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 =

1

2∫

4𝑑𝑥

4𝑥 + 1+

1

2∫

2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 1− ∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1=

𝟏

𝟐𝒍𝒏(𝟒𝒙 + 𝟏) +

𝟏

𝟐𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) − 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪

BIBLIOGRAFÍA

JIMÉNEZ René (2011). Matemáticas VI. Cálculo integral. Enfoque por competencias. Segunda edición. PEARSON. México D. F. SMITH Robert (2003). Cálculo diferencial e integral. Mc Graw Hill. México D. F. STEWART James (2007). Cálculo diferencial e integral. 2° edición. CENGAGE Learning. México D.F.

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