guia unidad 2 cd

8/17/2019 Guia Unidad 2 CD

1/31

1

1.P

REREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son:

Contenidos de la guía de la unidad 1. Reducción de términos semejantes. Factoreo. Simplifcación de racciones. Logarítmos y eponenciales !alores de las unciones trigonométricas de "ngulos nota#les

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -

GUIA DE APRENDIZAJENombre de la asigna!ra : "#$"U$O DI%EREN"IA$ "&digo : '(')Unidad * : %UN"IONES + ,ODE$OS

G!-a : *'Tiem/o esimado /aradesarrollo :

A!ores de la G!-a : I"%, Re0isado /or: I"%,OJETI2OS ESPE"I%I"OS

Resoler inecuaciones de una aria#le /lineales0 cuadr"ticas0 racionales y conalor a#soluto

Representar soluciones de inecuaciones en notación de interalos y ormagrafca

'efnir una unción0 su dominio y su rango %sar la notación /.

'eterminar el dominio y rango de unciones #"sicas y trigonométricas. 'eterminar si una unción es #iuníoca. 'eterminar si una unción es par o impar0 de acuerdo a su simetría. tener unciones como modelos matem"ticos /aplicaciones 'esarrollar una representación ilustratia de una unción a su gr"fco y a su

defnición alge#raica. ,rafcar unciones polinomiales y alge#raicas0 defnida a tramos y

trigonométricas. ,rafcar unciones alor a#soluto0 escalón unitario y signo. Comprender cómo una traslación gr"fca puede alterar la descripción

uncional.

Comprender cómo una re2eión en cual3uiera de los ejes puede alterar unadescripción uncional. Comprender cómo una transormación de escalamiento puede alterar la

descripción uncional. 'eterminar el rango y dominio de una unción compuesta. 'eterminar algunas restricciones so#re / para 3ue la inersa sea una

unción. tener la inersa de una unción simple y compuesta. 'escri#ir dominio0 rango y gr"fca de las unciones trigonométricas inersas


2/31

-

4anejo del círculo trigonométrico )cuaciones trigonométricas Fórmulas para ol5menes y "reas de sólidos elementales

*. ,ATERIA$ DE APO+O :

Li#ro de teto: S6)7+R60 8.: 9C"lculo de una aria#le0 /Seta edición. CengageLearning. -;;


3/31

D

DE

-

-E

- -- y y

y y

'.3 %tili@ando las leyes de los eponentes simplifca lo siguiente:

2 x2( y−1)

2 x+3

7

(¿¿ x7 y)2

7 x+ y

x❑

¿

'.5 Resoler la siguiente ecuación:

(2 x+1 )( 82 x−3 )=64

'.' +plicar logaritmos y sus propiedades a la siguiente epresión:

x3 /4√ x2+1(3 x+2)5

'.) Resoler la siguiente ecuación:

log ( x+1 )−log ( x+2 )=log ( 1 x )

'.( Calcular los alores de las siguientes epresiones utili@ando el círculotrigonométrico sin usar calculadora

D Sec ; A G Cos DG H

'. Reducir las siguientes unciones trigonométricas a otras e3uialentes de "ngulospositios menores a I; sin usar calculadora.

Cot /-1;J Sec /1G

'.; 'etermine el conjunto solución de la siguiente ecuaciones de tal orma 3ue

0≤ x ≤2 π

2cos2( x)❑+3 sen( x )=0

). RE2ISI


4/31


5/31

G

Sean a y b n5meros reales tales 3ue a < b. Se llama interalo cerrado de etremos a yb0 al conjunto cuyos elementos son los n5meros reales x 3ue cumplen la condición:

b x y xa ≤≤

Noa6i&n:

a9 )l interalo cerrado de etremos a y b lo denotaremos por a; bT

# Sib x y xa ≤≤

escri#imosb xa ≤≤

'e esta manera se tiene 3ue:

{ }b xa R xba ≤≤∈= /],[

Se lee: pertenece a los n5meros Reales0 tal 3ue a sea menor o igual 3ue y menor

o igual 3ue #

)l interalo cerrado de etremos a y b lo representamos geométricamente de lamanera siguiente:

De>ni6i&n 3:

Sean a y b n5meros reales tales 3ue a < b. Se llama interalo semiAa#ierto deetremos a y b0 9a#iertoU en a y 9cerradoU en b0 al conjunto cuyos elementos son losn5meros reales x 3ue cumplen la condición:

b x y xa ≤<

Noa6i&n:

a9 )l interalo semiAa#ierto de etremos a y b lo denotaremos por /a; bT

b) Sib x y xa ≤<

escri#imosb xa ≤<

'e esta manera se tiene 3ue:

{ }b xa R xba ≤


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Q

)n orma similar se defne el interalo 9semiAa#iertoU de etremos a y b0 9cerradoU ena y 9a#iertoU en b0 y se denota a; b de la manera siguiente:

{ }b xa R xba ni6i&n 5:

a Sea a un n5mero real. )l conjunto cuyos elementos son los n5meros reales x tales 3ue x >a; lo denotaremos en orma de interalo por /a0 V0 es decir:

{ }a x R xa >∈=∞ /),(

W lo representamos geométricamente de la manera siguiente:

# Sea a un n5mero real. )l conjunto cuyos elementos son los n5meros reales x

tales 3uea x ≥

lo denotaremos por a0X0 es decir:

{ }a x R xa ≥∈=∞ /),[


c Sea a un n5mero real. )l conjunto cuyos elementos son los n5meros reales x tales 3ue x


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Y

{ }a x R xa ≤∈=−∞ /],(


).*.* Ine6!a6iones 6on !na 0ariable

$INEA$ES SEGUNDO GRADO 2A$OR ASO$UTO1353 ≤−− x 0792 2


8/31

<

( )

2372

2.12

2

372.1

12

371

12

37

≤−≤−

≤

−≤−

≤−

≤−

≤−

x

x

x

x

3

53

3

15

3

1)3(

3

19

539

539

7273772

≥≥

≥

≥

≥≥−≤−−≤−

−≤−−≤−−

x

x

x

x

x

).3 DE%INI"I


9/31

I

Pr!eba de la Re6a 2eri6al : %na cura en el plano cartesiano representa unaunción0 si cual3uier recta ertical interseca la gr"fca0 como m"imo0 en un punto

E=em/lo ' : y=√ x−4

!aria#le independiente 90 por lo tanto el dominio ser" condicionado por x−4 ≥0 0

x ≥4

Signifca los alores posi#les de aria#le independiente son mayores o igual a D

)l rango corresponde a los alores de aria#le dependiente mayor o igual a cero.

E=em/lo ) : +plicar la prue#a de la recta ertical

)n este caso no representa unción Si representa una unción

E=em/lo ( Se da la gr"fca de una unción 0 esta#le@ca el dominio y el rango de .

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1;

'e acuerdo a la gr"fca:

'ominio: A0T

Rango: A-0T

E=em/lo (ndi3ue cu"les de las siguientes gr"fcas corresponden a una unción de0 adem"s undamente su respuesta.

Las gr"fcas a y # si son unciones de 9 ya 3ue cada elemento del dominio tieneuna 5nica imagen0 podemos corro#orar la inormación reali@ando la prue#a de la rectaertical.

).5 %UN"IONES + SUS GR#%I"AS%na unción se utili@a para descri#ir pro#lemas o enómenos en campos de la ciencia.>ara interpretar y usar datos o#tenidos de tal unción0 es 5til presentar los datos enorma gr"fcaLa gr"fca de una unción f es el conjunto de puntos /0y en el plano cuyascoordenadas satisacen y=f(x)

%!n6i&n !no a !no 7bi!n-0o6a9: si y solo si cada elemento del rango de 9 est"asociado con eactamente un elemento de su domino.

E=em/lo ; %sando la defnición de unción uno a uno determine si la unción

2)( x x f =

es una unción uno a uno.

2)( x x f =

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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11

1)(

1)(

1

1

)()(

2

1

2

1

2121

==

−==

≠≠

x f

x f

x

x

x xque siempre x f x f

>or lo tanto la unción no es uno a uno.).5.1 %!n6i&n /ar

Si una unción satisace /AH/0 para todo n5mero en su dominio0 entonces sedenomina unción par0 y es simétrica con respecto al eje y.

E=em/lo 1

32)(

3)(2)(

32)(

2

2

2

−=−

−−=−

−=

x x f

x x f

x x f

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Se o#sera en la gr"fca 3ue el eje de simetría corresponde al eje ertical 9y

).5.* %!n6i&n im/ar Si una unción satisace /AH A/0 para todo n5mero en sudominio0 entonces se denomina unción impar0 y es simétrica con respecto al origen.

E=em/lo 11

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1-

)43()(

43)(

)(4)(3)(

43)(

3

3

3

3

x x x f

x x x f

x x x f

x x x f

−−=−

+−=−

−−−=−

−=

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Se o#sera 3ue la gr"fca aparece en cuadrantes opuestos

E=em/lo 1* )n la unción x x f =)( ealuar un punto en la unción0 intersecciones0

ta#la de alores0 gr"fca.

)[0,: R

)[0,: D

0 x Dominio x x f

α

α

≥=)(

Cortes:

)0,0(

0

0

0

)0,0(

0)(

0)0(

)(

0

=

=

=→

=

=

=

=→

x

x

y xejeel con

x f

f

x x f

x yejeel con

1 D Q I / 1 -

6

).' %UN"IONES #SI"ASC$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1

).'.1 %!n6i&n 6onsane: )s una recta Bori@ontal 3ue asigna a cada argumento lamisma imagen c.

c x f =)(

).'.* %!n6i&n lineal : 6iene la orma:

bax x f +=)(. Su gr"fca es una recta.

).'.3 %!n6iones /olin&mi6as: 6iene la orma:

).'.5 %!n6i&n 6!adrFi6a: Son unciones polinómicas de segundo grado0 siendo su

gr"fca una par"#ola. Su orma general es:

cbxax x f ++= 2)(

).'.' %!n6i&n 6bi6a: Son unciones polinómicas de grado tres0 tiene la ormageneral:

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1D

d cxbxax x f +++= 23)(

).'.) %!n6iones ra6ionales: %na unción racional es la ra@ón de dos polinomios. )ldominio consiste de todos los alores de tales 3ue Z/ [ ;

)(

)()(

xQ

x x f =

).'.( %!n6iones algebrai6as: Si una unción puede construirse usando operacionesalge#raicas se llama unción alge#raica.

).'. Oras !n6iones:

%UN"I

−≤+=

1

12)(

2 x si x

x si x x f

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1G

).) %UN"IONES PERIODI"AS: A,P$ITUD@ PERIODO@ %RE"UEN"IA

%na unción / es periódica si eiste un n5mero p tal 3ue pueda Bacer / E p H/ para todas las . +l menor n5mero p se le llama período.

E=em/lo 13 : y H cos/

/ >eríodo

+mplitud

Rango 'ominio Cortes con

cos/

- π 1 A101T /AV0V /J-En donde n pertenece a )

).).1 %!n6iones de 6!alH!ier /er-odo

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1Q

−3 −2 −1 1 2 3

−

1

2

x

yper[y = x; 0.000000


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1Y

>ara una altura h y un radio r en un cono0 el olumen ocupado V de agua es:

!r "

2

3

1π

=

Si proyectamos el cono en un plano ertical0 o#tenemos tri"ngulos semejantes0como se muestra en la fgura 1. %tili@ando las relaciones de semejan@a entre lostri"ngulos0 concluimos 3ue:

r !!despejando

r !

3:

13

=

=

3

2

2

)(

)3(3

1)(

3

1:

r r "

r r r "

!r " endo sustituyen

π

π

π

=

=

=

)l dominio de la unción ! /r es R0 aun3ue el dominio ísico del pro#lema es ;0Xde#ido a 3ue un radio es una cantidad no negatia.

E=em/lo 1' Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a0 y se 3uiere Baceruna caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las es3uinas y do#lando suslados. )prese el olumen de la caja en unción de .

Los lados de la cartulina cuadrada luego del corte de los cuadrados de igualtama?o me 3ueda aA-0 y la altura de la caja a a tener de medida 0 entonces:

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1<

xaax x x"

x xaxa x"

x xa x"

l "

223

22

2

3

24)(

))(44()(

)2()(

+−=

+−=

−=

=

). "O,INA"I


19/31

1I

/d (f /g ) ( x )= √ x+1√ x−4

)l dominio de f es A1. ∞ y el dominio de g es D0 ∞ . +sí0 el dominio de las

unciones resultantes en los incisos /a0 /# y /c es D0 ∞ . )n el inciso /d0 el

denominador es cero cuando HD\ por lo 3ue D tam#ién se ecluye y se o#tiene como

dominio /D0 ∞ ¿

).; %UN"Ior tanto0 el dominio de f

o g es el conjunto de n5meros reales para los cuales - ] P ; o0 e3uialente ¿ .

).1 DESP$AZA,IENTOS 2ERTI"A$ES + ORIZONTA$ES

).1.1 Trasla6i&n 0eri6al

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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-;

Si c N ;0 entonces la gr"fca de f(x)+ c es una traslación de f, c unidades Bacia arri#a.Si c M ;0 entonces la gr"fca de f(x)+c es una traslación de f 0 c unidades Bacia a#ajo.

E=em/lo 1

)ncontrar la gr"fca de /a f(x) = √ x , /# f(x)= √ x +2, (c) /H √ x – 2

serar 3ue los incisos /# y /c son una traslación ertical de la unción g(x)= √ x .

Las gr"fcas se muestran a continuación.

).1.* Trasla6iones oriKonales

Si c M ;0 entonces la gr"fca de f(x-c) es una traslación de f, c unidades Bacia laderecBa.Si c M ;0 entonces la gr"fca de f(x-c) es una traslación de f 0 c unidades Bacia lai@3uierda.

E=em/lo 1;

,rafcar las siguientes unciones /a g(x)= √ x , /# B/H √ x+2 0 /c m/ H √ x−2

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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-1

serar 3ue los incisos /# y /c son una traslación Bori@ontal de la unción g(x) =√ x . Las gr"fcas se muestran a continuación.

).1.3 EB/ansiones@ 6onra66iones 0eri6ales ? reLeBiones 6on los e=es

Si c N 10 entonces la gr"fca de c/0 es un alargamiento ertical de la gr"fca de por un actor de c unidades.Si ; M c M 10 entonces la gr"fca de c/0 es una reducción ertical de la gr"fca de por un actor de c unidades.Si c M ;0 entonces c/ es una re2eión so#re el eje de la unción .

E=em/lo *

,rafcar las siguientes unciones /a /H^0 /# g/H ^0 /c B/H;.-0 /d m/HA^.

Solución:

/a La gr"fca de es una par"#ola 3ue se a#re Bacia arri#a y tiene su értice en eleje .

/# La gr"fca de g es un alargamiento ertical de la unción de por actor de ./c La gr"fca de B es reducción ertical de por actor de ;0G./d La gr"fca de m es una re2eión de so#re el eje .

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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--

).11 %UN"IONES IN2ERSAS

).11M1 De>ni6i&n

Sea una unción uno a uno con dominio + y rango _. )ntonces su unción inersa A1 tiene dominio _ y rango + y se defne mediante

A1/yH /Hy>ara cual3uier y en _.

).11M* E6!a6iones de 6an6ela6i&n

%na unción y su unción inersa se conierten en operaciones de cancelación al seraplicadas de orma sucesia.

Si tomamos un alor del conjunto + y aplicamos la regla de asignación de 0 estaimagen tomamos como entrada de orma inmediata aplicando la regla A10 llegamosal alor inicial .

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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-

f −1 ( f ( x ) )= x

Si tomamos un alor del conjunto _ y aplicamos la regla de asignación de A10 estaimagen tomamos como entrada de orma inmediata aplicando la regla de 0 llegamosal alor inicial .

f (f −1 ( x))= x

E=em/lo *1

Si f −1 (5 )=1 0 /HY y /6a de la !n6i&n in0ersa

)l principio de intercam#iar y y da tam#ién el método para o#tener la gr"fca def −1

. >uesto 3ue /aH# si y sólo si f −1 (b )=a 0 el punto /a0# se encuentra en la

gr"fca de si y sólo si el punto /#0a est" so#re la gr"fca de f −1

. )sto se o#tiene

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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-D

al re2ejar respecto a la línea yH. /*&6+: tener precaución con las escalasseleccionadas para los ejes.

%ig!ra 1 %ig!ra *

).11M' %!n6iones rigonomri6as in0ersas

La unción trigonométrica sen/ no es uno a uno0 pero se puede restringir al

dominio [−π 2 , π 2 ] para 3ue sí lo sea. 'enotamos senA1/ o arcsen/

%ig!ra 3 %ig!ra 5

%ig!ra '

Las ecuaciones de cancelación correspondientes son

sin−1 (sin x )= x para−

π

2≤ x ≤

π

2

sin (sin−1 x)= x para−1≤ x≤ 1

E=em/lo *3 'etermine y justif3ue el alor de:

a senA1/1J-# tan /arcsen /1J

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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-G

Las unciones restantes se tratan de orma similar lo cual se resume con losiguiente.

cos−1

x= y ↔cos y= x y 0≤ y≤ π

cos−1 (cos x )= x para0≤ x≤ π

cos (cos−1 x )= x para−1≤ x≤ 1%ig!ra )

%ig!ra (

tan−1

x= y ↔ tan y= x y−π

2


26/31


27/31

-Y

A") Raael y 4aría ponen a competir0 en una carrera0 a sus caracoles\ uno de ellosllea una tinta roja0 y la otra tinta erde.

)l erde tarda en salir y se para antes de llegar.

a KCu"nto tiempo est" parado en cada caso K+ 3ué distancia de la meta se paradefnitiamente

# KCu"ntos centímetros y durante cu"nto tiempo marcBa el rojo en direccióncontraria

c 'escri#a la carrera.

A"( )ncuentre el dominio y el rango de las siguientes unciones:

a f ( x )= x

2−9 x−3

# f ( x )=√ 9− x2

c f ( x )=e√ x−2

d

t 2

f ( t )=ln ¿ AD

e F (t )=2cos (3 t ) `1

A" (ndicar con una si la unción es #iuníoca0 justif3ue su respuesta

Función #iuníoca

8ustifcación

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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-<

y= x−1

y=4 x2

A"; 'etermine si la unción es par0 impar o ninguna de las dos0 demuestre surespuesta.

f ( x )= x

3

( x−1)2

A"1 'e las siguientes unciones0 analice el dominio y graf3ue con escalasadecuadas.

af ( x )={

1 s i x ≤0

x+1 si0


29/31

-I

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

t

f(t)

A"1* Representar las siguientes unciones0 estudiando su:

a 'ominio

# Simetría

c >untos de corte con los ejes

d Crecimiento y decrecimiento

e (ndi3ue si la unción es #iuníoca

f ( x )=−2 sen (3 x )+1

A"13 %n lote rectangular a a cercarse en tres de sus lados0 si el "rea del lote es de;m-0 eprese la longitud de la cerca como una unción de la longitud del lado nocercado.

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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;

Res/ : x

x x #c 60

)( +=

A"15 'efna la siguiente unción y determine el dominio de la unción resultante /aEg\ /# Ag\ /c bg0 /d Jg\ /d gJ.

/ H ] G 0 g/ H ^ A 1

A"1' Sean f(x) H ^ A - y g/ H E . )ncontrar las unciones compuestas /a /f o g)(x) y /# (g o f)(x) y sus dominios.

A"1) 6race las siguientes gr"fcas y especif3ue la unción original.

y H D^ y /# y H1

4 ^

A"1( 6ra@ar la gr"fca de f para f / H / ] D^ y para f / H / E -^. )specif3ue la

unción original y nom#re el tipo de despla@amiento 3ue reali@a.

A"1 'ada la gr"fca y=√ x use las transormaciones para grafcar y=√ x−2 0

y=√ x−2 0 y=−√ x y y=√ − x .

A"1; !erif3ue 3ue la siguientes unciones cumplen la relación

f

f (¿¿−1 ( x ))= x¿

( ) ( )

x

x x f

x

x x f

41

3,

34

1

−

=

+

= −

A"* 'adas las siguientes unciones f

y $

0 si( ) ( )( ) x $ f x! =

0 determine la unción

inersa

1−!

0 indi3ue su dominio y su rango y trace las gr"fcas de!

y

1−!

en unmismo sistema de ejes.

a

( ) ( )2

3,

3 +== x x $ x x f

A"*1 )ncuentre la inersa /si eiste de la unción dada: g(x)H ^ A - E 1

A"** !erifcar si las unciones siguientes son inersas entre sí.

I. /H ] - y g/H E -

II. /H y g /H 3√ x

C$LC%L& '(F)R)*C(+L ,%(+ %*('+' -


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1

III. f ( x )=1

x yg ( x )=

1

x

A"*3 6race la gr"fca de la unción dada y determine su dominio y su rango( ) ( ) π −+−= − 2cos 1 x x $

(. OSER2A"IONES ESPE"IA$ES

Reise los conceptos istos en clase0 3ue est"n relacionados con esta guía.

'esarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendadospor el docente.

%tilice sot=are matem"tico para ayuda con las gr"fcas de algunosejercicios.

+nte cual3uier duda0 pregunte a su proesor.

guia unidad 2 cd

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